1.5. Системы счисления Позиционные Системы Счисления
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.
Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно 10, т.к. запись чисел производится с помощью 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая 3 означает 3 сотни, вторая – 3 десятка, третья – 3 единицы (значение каждой цифры зависит от того места, которое эта цифра занимает).
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n<10 используют n первых арабских цифр, а при n>10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:
Основание | Название | Алфавит |
n=2 | двоичная | 0 1 |
n=3 | троичная | 0 1 2 |
n=4 | четверичная | 0 1 2 3 |
n=5 | пятеричная | 0 1 2 3 4 |
n=6 | шестеричная | 0 1 2 3 4 5 |
n=7 | семеричная | 0 1 2 3 4 5 6 |
n=8 | восьмеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 |
n=10 | десятичная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
n=16 | шестнадцатеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу: 1011012, 36718, 3B8F16
Запишем первые 17 чисел в двоичной и восьмеричной системах счисления:
Основание системы счисления | ||||||
10 | 2 | 8 | | 10 | 2 | 8 |
0 | 0 | 0 | 9 | 1001 | 11 | |
1 | 1 | 1 | 10 | 1010 | 12 | |
2 | 10 | 2 | 11 | 1011 | 13 | |
3 | 11 | 3 | 12 | 1100 | 14 | |
4 | 100 | 4 | 13 | 1101 | 15 | |
101 | 5 | 14 | 1110 | 16 | ||
6 | 110 | 6 | 15 | 1111 | 17 | |
7 | 111 | 7 | 16 | 10000 | 20 | |
8 | 1000 | 10 | ||||
Непозиционные Системы Счисления
Кроме позиционных, существуют и другие – непозиционные системы счисления, построенные на иных принципах.В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Общеизвестным примером такой системы является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:
I | V | X | L | C | D | M |
1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 1000 |
В этой системе имеется некоторый набор основных символов и каждое число представляется как комбинация этих символов; смысл каждого символа не зависит от места котором он стоит.
В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются:
VI = 5 + 1 = 6 | LX = 50 + 10 = 60 |
Если же слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются:
IV = 5 – 1 = 4 | XL = 50 – 10 = 40 |
Рассмотрим числа:
а) LXXXVII = (50 + 30) + (5 + 2) = 87. В данном примере цифра Х, участвуя 3 раза, каждый раз означает одну и ту же величину – 10 единиц.
б) MCMXCVI = 1000 + (1000 — 100) + (100 — 10) + (5 + 1) = 1996
Римские цифры мы часто встречаем и сейчас, например, на циферблатах часов, в книгах при нумерации глав, в обозначении веков. Однако, в математической практике они не применяются. Позиционные системы удобны тем, что позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого количества знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем – это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами. Попробуйте для сравнения перемножить два трехзначных числа, записав их римскими цифрами.
studfiles.net
Позиционные системы счисленияВо многих системах счисления выбирается некоторое число p – основание системы счисления, и каждое число N представляется в виде комбинации его степеней с коэффициентами, принимающими значение от 0 до p-1, т. е. в виде ak * pk + ak-1 * pk-1 + … + a1 * p + a0. Такая форма записи называется развёрнутой формой числа. Далее такое число сокращённо записывается в виде (akak-1 … a1a0)p. В этой записи значение каждой цифры зависит от того места, которое эта цифра занимает. Например, в числе 222 двойка учaствует три раза. Но самая правая из них означает две единицы, вторая справа – два десятка, т. е. двадцать, а третья – две сотни: 22210 = 2 * 102 + 2 * 101 + 2 * 100.Системы счисления, построенные таким образом, называются позиционными. Для дробных чисел развёрнутая форма числа будет выглядеть следующим образом: ak * pk + ak-1 * pk-1 + … + a0 * p0+ a-1 * p-1+ … + a-m * p-m . Например: 555,5510 = 5 * 102 + 5 * 101 + 5 * 100+ 5 * 10-1 + 5 * 10-2 . Итак: позиционная система счисления — это система счисления, в которой числовое значение каждой цифры зависит от номера её позиции (разряда) в последовательности цифр, представляющей число. Числовое значение цифры определяется по строгому правилу. Самой распространенной позиционной системой счисления является современная десятичная система счисления, в которой используется 10 арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Рассмотрим некоторые позиционные системы счисления:
Задания для самоконтроля: Что обозначает вторая цифра в десятичной записи числа 256? Количество сотен Назовите самую большую цифру шестеричной системы счисления 5 Какой системе счисления позволил появиться счет на пальцах? Пятеричной системе счисления В какой системе счисления для записи цифр используются латинские буквы? Шестнадцатеричная система счисления Назовите самую большую цифру двенадцатеричной системы счисления 12 |
number-systems.3dn.ru
Арифметика: десятичная система счисления
советы → Полезные сведения → Арифметика → Десятичная система счисления
Десятичная система счисления
На этой странице рассмотрим следующие понятия:
Целые и дробные числа
В арифметике рассматриваются целые (натуральные) числа, дробные числа и нуль. Целое число есть единица или собрание нескольких единиц. Дробное число (дробь) есть одна доля или собрание нескольких одинаковых долей единицы.
Понятие о натуральном числе является одним из простейших понятий. Это понятие известно с древнейших времен и возникло он из счета предметов хозяйственной деятельности, людей, животных и пр.
Ряд целых чисел 1, 2, 3, 4,… продолжается бесконечно; он называется натуральным рядом.
Система счисления
Нумерацией, или системой счисления, называется общий способ обозначения и наименования целых чисел.
Десятичная система
В практической жизни принята десятичная система счисления. Для записи любого числа в этой системе существует десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которые называются цифрами. В записи числа по десятичной системе первая, вторая, третья и т.д. цифра этого числа, считая справа налево, называются единицами первого, второго, третьего и т.д. разрядов. Например, в числе 1524 имеется 4 единицы первого разряда, 2 единицы второго, 5 единиц третьего и 1 единица четвертого разряда. Десять единиц какого-нибудь разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда. Число 10 поэтому называется основанием десятичной системы счисления.
Другие системы счисления
(Проиллюстрируем на примере шестеричной системы счисления.)
За основание системы счисления можно взять не 10, а другое число. В случае с шестеричной системой это будет 6. Тогда получится шестеричная система. Для изображения любого числа в этой системе понадобилось бы только шесть цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Шесть единиц какого-нибудь разряда составляют единицу следующего высшего разряда.
Римские цифры
Цифры, употребляемые в десятичной системе, называются арабскими. Для обозначения знаменательных дат, записи веков, для нумерации глав в книгах и других случаях традиционно приняты римские цифры. Их семь: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.
Как записывать римскими цифрами
Числа первого десятка записываются так:
| I 1, | II 2, | III 3, | IV 4, | V 5, | VI 6, | VII 7, | VIII 8, | IX 9, | X 10 |
Другие числа записываются путем повторения цифр, причем если бóльшая цифра предшествует меньшей, то они складываются, если же бóльшая следует за меньшей, то они вычитаются. Больше трех раз подряд одна и та же цифра не ставится.
Примеры:
XX = 20, XXV = 25, CCCV = 305, XLII = 42, MCCXVI = 1216.
Использованная лит-ра:
Справочник по элементарной математике — Выгодский М.Я., «Наука», 1974 г.
Справочник по математике. Пособие для учащихся 9—11 кл. — Шахно К. У., «Учпедгиз», 1961 г.
→ Читайте по теме: Арифметические действия
→ в раздел Советы
При полной или частичной публикации статьи в Интернете обязательно указание активной гиперссылки на источник http://programmistan.narod.ru
programmistan.narod.ru
1.5. Системы счисления Позиционные Системы Счисления
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.
Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Ее основание равно 10, т.к. запись чисел производится с помощью 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Позиционный характер этой системы легко понять на примере любого многозначного числа. Например, в числе 333 первая 3 означает 3 сотни, вторая – 3 десятка, третья – 3 единицы (значение каждой цифры зависит от того места, которое эта цифра занимает).
Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n<10 используют n первых арабских цифр, а при n>10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы. Вот примеры алфавитов нескольких систем:
Основание | Название | Алфавит |
n=2 | двоичная | 0 1 |
n=3 | троичная | 0 1 2 |
n=4 | четверичная | 0 1 2 3 |
n=5 | пятеричная | 0 1 2 3 4 |
n=6 | шестеричная | 0 1 2 3 4 5 |
n=7 | семеричная | 0 1 2 3 4 5 6 |
n=8 | восьмеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 |
n=10 | десятичная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
n=16 | шестнадцатеричная | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно приписывается нижним индексом к этому числу: 1011012, 36718, 3B8F16
Запишем первые 17 чисел в двоичной и восьмеричной системах счисления:
Основание системы счисления | ||||||
10 | 2 | 8 | | 10 | 2 | 8 |
0 | 0 | 0 | 9 | 1001 | 11 | |
1 | 1 | 1 | 10 | 1010 | 12 | |
2 | 10 | 2 | 11 | 1011 | 13 | |
3 | 11 | 3 | 12 | 1100 | 14 | |
4 | 100 | 4 | 13 | 1101 | 15 | |
5 | 101 | 5 | 14 | 1110 | 16 | |
6 | 110 | 6 | 15 | 1111 | 17 | |
7 | 111 | 7 | 16 | 10000 | 20 | |
8 | 1000 | 10 | ||||
Непозиционные Системы Счисления
Кроме позиционных, существуют и другие – непозиционные системы счисления, построенные на иных принципах.
В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Общеизвестным примером такой системы является римская система (римские цифры). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:
I | V | X | L | C | D | M |
1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
В этой системе имеется некоторый набор основных символов и каждое число представляется как комбинация этих символов; смысл каждого символа не зависит от места котором он стоит.
В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются:
VI = 5 + 1 = 6 | LX = 50 + 10 = 60 |
Если же слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются:
IV = 5 – 1 = 4 | XL = 50 – 10 = 40 |
Рассмотрим числа:
а) LXXXVII = (50 + 30) + (5 + 2) = 87. В данном примере цифра Х, участвуя 3 раза, каждый раз означает одну и ту же величину – 10 единиц.
б) MCMXCVI = 1000 + (1000 — 100) + (100 — 10) + (5 + 1) = 1996
Римские цифры мы часто встречаем и сейчас, например, на циферблатах часов, в книгах при нумерации глав, в обозначении веков. Однако, в математической практике они не применяются. Позиционные системы удобны тем, что позволяют записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого количества знаков. Еще более важное преимущество позиционных систем – это простота и легкость выполнения арифметических операций над числами. Попробуйте для сравнения перемножить два трехзначных числа, записав их римскими цифрами.
studfiles.net
1.5 Арифметические операции в различных системах счисления. Системы счисления и основы двоичных кодировок
Похожие главы из других работ:
Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями
1. Идентификация параметров в системах, описываемых ОДУ
…
Комплексные числа: их прошлое и настоящее
1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами.
Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа — это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел…
Линейные алгебры малых размерностей
4.1 Эквивалентность различных определений нильпотентности
Теорема. Следующие условия на алгебру Ли L над кольцом К эквивалентны (с — некоторое натуральное число): 1. Lс {0}, Lс+1={0}; 2. Zc-1(L) L, Zc(L)=L; 3. L обладает конечным центральным рядом длины с и не обладает таким рядом длины с -1; 4…
Математика в средние века
1.2 Арифметические действия
Пользование счетной доской избавляло от необходимости применения таблиц сложения. Поэтому в текстах зафиксированы лишь правила умножения и деления. Пример на умножение: =. Действия производятся, начиная со старших, а не с младших разрядов…
Проектирование уроков математики по теме «Нумерация» с использованием современных средств обучения
2.1 Нумерация чисел в десятичной системы счисления. Позиционная система счисления
Впервые позиционная система счисления возникла в древнем Вавилоне. В Индии система работает в виде позиционной десятичной нумерации с использованием нуля, у индусов данную систему чисел позаимствовала арабская нация, у них, в свою очередь…
Решение математических задач средствами Excel
1.3.4 Арифметические операции на множестве комплексных чисел
Упражнение №21. Условие: Вычислить:. Решение: 1) В свободные ячейки вводим комплексные числа 2 + 4i,-3-2i,1-2i,-2+4i. 2) Выделим свободную ячейку и воспользуемся функцией «МНИМ.ПРОИЗВЕД». 3) Выделим свободную ячейку и воспользуемся функцией «МНИМ.РАЗН»…
Система счисления. Запись действий над числами
История систем счисления
Система счисления — это способ записи (изображения) чисел. Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: · позиционные, · непозиционные…
Система счисления. Запись действий над числами
Позиционные и непозиционные системы счисления
Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами…
Система счисления. Запись действий над числами
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Некоторые идеи, лежащие в основе двоичной системы, по существу были известны в Древнем Китае…
Система счисления. Запись действий над числами
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Наиболее часто встречающиеся системы счисления — это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная и восьмеричная…
Системы счисления и основы двоичных кодировок
1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
1.1 История возникновения различных систем счисления Первобытному человеку считать почти не приходилось. «Один», «два» и «много» — вот все его числа. Но нам — современным людям — приходится иметь дело с числами буквально на каждом шагу…
Системы счисления и основы двоичных кодировок
1.2 Непозиционные и позиционные системы счисления
Система счисления (Нумерация) — это способ представления числа символами некоторого алфавита, которые называются цифрами. Путем длительного развития человечество пришло к двум видам систем счисления: позиционной и не позиционной…
Системы счисления и основы двоичных кодировок
1.2.1 Непозиционная система счисления
В самой древней нумерации употреблялся лишь знак «|» для единицы, и каждое натуральное число записывалось повторением символа единицы столько раз, сколько единиц содержится в этом числе…
Системы счисления и основы двоичных кодировок
1.4 Системы счисления с другими основаниями, их происхождение и применение
Кроме десятичной системы счисления возможны позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием. В разные исторические периоды многие народы широко использовали различные системы счисления…
Урок зачет как одна из форм контроля учебных достижений семиклассников по алгебре
1.2. Характеристика различных методов контроля
Существуют различные системы контроля: устный и письменный опрос, математический диктант, итоговые контрольные работы, тесты, зачеты, экзамены, повседневные наблюдения за учебной работой учащихся, проверка домашней работы…
math.bobrodobro.ru
Шестидесятеричная система счисления — Традиция
Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»
Шестидесятери́чная систе́ма счисле́ния — система счисления по целочисленному основанию 60 . Первая в истории позиционная система счисления. Появилась в древние времена в Междуречье.
Гипотезы происхождения[править]
У современных учёных существует несколько гипотез происхождение шестидесятеричной системы, наибольшего внимания заслуживают следующие:
- Гипотеза Тюро-Данжена: основой для возникновения шестидесятеричной системы послужила шумерская десятирично-шестеричная система, безусловно, появившаяся раньше первой. Обе эти системы имеют генетическое родство: основания в шумерских системах —10 и 6, а в вавилонской—60=10*6. Выбор в качестве системы счисления числа 10 у шумеров, как и у всех других народов, естественно, связан с пальцевым счётом. Выбор числа 6 в качестве другого основания также обусловлен пальцевым счётом, но только имеющем свою особую технику. Различные вычисления, в том числе умножение и деление, при наличии двух оснований было производить сложно, поэтому древний математик, фиксируя промежуточные результаты умножения и деления, решил перейти к новой системе с одним основанием.
- Гипотеза проф. И. Н. Веселовского: основание 60 появилось в результате особого пальцевого счёта. Рассмотрим ладонь левой руки. Пусть каждая фаланга большого и указательного пальцев = 10 (5 фаланг—в сумме = 50), а остальные фаланги пальцев (их 9)— по единице. Тогда все фаланги в сумме дают 59, а ещё вся рука —60. На правой руке всё увеличиваем в 60 раз, тогда на обеих руках получим 3600=602. Такую гипотезу автор выдвинул исходя из способа, которым русские купцы в старину между собой обозначали стоимость тайной сделки с помощью пальцев рук, засунутых друг другу в широкие рукава кафтанов. Позиционный принцип записи автор объяснял использованием абаки (счётной доски с камешками). Следует заметить, что существование абаки у вавилонян не подтверждено (хотя, несомненно, счётные инструменты у них были), поэтому и его гипотезу инструментального происхождения позиционности системы пока нельзя проверить.
- Гипотеза О. Нейгебауэра[1](1927) : после аккадского завоевания шумерского государства там долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причём было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей. Позднее это деление стало привычным и породило соответствующую систему записи любых чисел в вавилонская математике.
Каждая цифра кодировалась в двубуквенном алфавите — клин обозначал 1, клин — 10. Для более компактной и красивой записи клинья-единицы в цифре могли объединяться в группы, располагаясь ярусами, клинья-десятки также могли записываться в виде разных компактных комбинаций. Например пятьдесят шестая цифра так: , или так:.Число 60 снова записывалось как .
Клинья в цифре могли примыкать друг к другу вплотную, а при записи числа больше 60 между разрядами ставился пробел: — 165 (2*60+45). Вавилоняне не пользовались нулём, клин мог значить и 10, и 600, и \(\frac{10}{60}=\frac{1}{6}\). Что именно автор имеет в виду определялось из контекста документа. В V в. до н.э. появился специальный знак для нуля , но он использовался только в середине записи числа (например — 601), в конце записи он всё равно не ставился.
В Вавилоне, где собственно говоря, эта система появилась, она использовалась только в научных документах того времени (например, при составлении астрономических таблиц). В быту для простого обозначения числа и счёта и в клинописных табличках, если и содержащих, то только несложные, вычисления, применялась десятиричная непозиционная система.
Вавилонсяне передали её вместе с таблицами наблюдений за небом, греческим астрономам. В более позднее время шестидесятеричная система использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами, в первую очередь, для представления дробей. Поэтому средневековые учёные часто называли шестидесятеричные дроби «астрономическими». Начиная с XVI века, десятичные дроби в Европе полностью вытесняют шестидесятеричные. Сейчас остатки шестидесятеричной системы используются в измерении углов и времени.
Структура шестидесятеричного числа[править]
Первый шестидесятеричный знак после запятой называется минута (′), второй — секунда (″). Ранее использовались названия терция (‴) для третьего знака, кварта (IV) для четвёртого знака, квинта (V) для пятого знака и т. д.
Примеры использования[править]
- 1 радиан ≈ 57°17′45″ = \(57 + \frac{17}{60} +\frac{45}{60^2}\) градусов.
- ↑ Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964, с. 100-101.
traditio.wiki
Системы счисления | Социальная сеть работников образования
Всероссийская интернет-выставка достижений учащихся
Раздел — учебные проекты
математика
Системы счисления
Авторы: Семакина Маргарита Сергеевна
Исаева Аида Мукаиловна
ученицы 5Г класса
МБОУ «Средняя
общеобразовательная школа
№ 6» г. Когалым ХМАО-Югра
Руководитель: Плашевская Светлана
Григорьевна
учитель математики
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 6» г. Когалым
ХМАО-Югра
г. Когалым, 2013
Оглавление
Введение | стр.2 |
| стр.2 |
| стр.3 |
2.1 Непозиционные системы счисления | стр.3 |
2.2 Позиционные системы счисления | стр.3 |
3. Практическая часть | |
3.1 Сложение и вычитание | стр.4 |
| стр.4 |
| стр.5 |
Заключение | стр.7 |
Список используемой литературы | стр.7 |
Приложение | стр.8 |
1
Введение
На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся. А откуда возникли числа и счет? Что такое система счисления? Где сейчас мы сталкиваемся с ними? Нам стало очень интересно, и мы решили изучить эту тему.
Данная тема нам интересна еще и потому, что в настоящее время двоичная система счисления приобрела большое значение в связи с ее применением в электронных вычислительных машинах. Системы счисления с основанием 8 и 16 применяются в программировании различных процессов на вычислительной технике.
Мы поставили перед собой цель: познакомиться с историей возникновения счета и систем счисления, изучить перевод чисел из одной системы в другую и арифметические действия в различных системах счисления.
1. Из истории
В древности людям приходилось считать на пальцах. Кроме пальцев считать нужно было много предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй – десятки, третий – сотни. Очевидно, такой счет лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов, она называется десятичной системой. Счет с основанием десять применяли и у восточных славян.
Где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Сохранились следы использования при счете основания двадцать. Например, во французском языке число 80 в дословном переводе на русский язык звучит как «четырежды двадцать».
Так же был распространен счет дюжинами, то есть счет, при котором пользовались системой с основанием 12 (приложение 1). Её происхождение связано с 12 фалангами на четырёх пальцах руки (кроме большого). Еще и сейчас некоторые предметы принято считать дюжинами. Столовые приборы состоят из полудюжины или дюжины комплектов.
В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала весьма сложная шестидесятеричная система счисления. В наше время мы тоже используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.
Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась, и наибольшее распространение получила в Америке. Ее создание относится к эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система счисления сохранилась еще в чистом виде.
2
Все системы (пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная) связаны с тем или иным способом счёта по пальцам рук (или рук и ног). Переход человека к пальцевому счету привел к созданию различных систем счисления.
2. Система счисления
Система счисления — это способ записи чисел с помощью цифр.
Цель создания системы счисления — выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.
Системы счисления, которые использовали ранее, и которые используются в настоящее время можно разделить на две большие группы: позиционные и непозиционные.
2.1. Непозиционные системы счисления.
В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Пример непозиционной системы счисления – римская система счисления (приложение 2). Возникшая в древнем Риме она просуществовала до наших дней. Традиционно применяют ее при нумерации веков или при составлении оглавлений печатных трудов. Римские цифры можно встретить на циферблатах часов.
В современной жизни наиболее яркий вариант использования непозиционной системы счисления — это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем в магазине за продукты, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе. Номинал монеты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.
2.2. Позиционные системы счисления.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем: двоичная, состоящая из цифр 0 и 1; троичная, состоящая из цифр 0,1,2; и так далее.
3
Позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью небольшого числа знаков, просто и легко выполняются арифметические действия.
3. Практическая часть.
Для чисел, записанных в десятичной системе, мы пользуемся правилами сложения и умножения чисел «столбиком», деления – «углом». Эти же правила полностью применимы и для чисел, записанных в любой другой позиционной системе. Считать мы будем в каждой системе своей меркой. Например в троичной системе мерка 3, в пятеричной мерка 5, в восьмеричной мерка 8.
3.1 Сложение и вычитание. | ||
Пример 1 4435 + 345; Решение: 4435 345 10325 | Пример2 2478 + 6538; Решение 2478 6538 11228
| Пример 3 75428 – 7568; Решение: 75428 7568 65648 |
3.2 Умножение и деление. При умножении и делении, можно использовать мерки, но для более быстрого счета мы составили таблицы умножения ( приложения 3; 4; 5; 6; 7 ). | ||
Пример 1 2458 ∙ 318; Решение: 2458 318 245 757 100358 | Пример 2 6337 ∙ 2547; Решение: 6337 2547 3465 4431 1566 2410057 4 | Пример 3 2234 ∙ 324; Решение: 2234 324 1112 2001 211224 |
Пример 4 14126 : 356; Решение: 14126 356 114 246 232 232 0
| Пример 5 130325 : 145; Решение: 130325 145
43 33 102 102 0 | Пример 6 3228 : 168; Решение: 3228 168 16 178 142 142 0 |
3.3. Перевод чисел из одной системы в другую
Как перевести число, записанное в одной системе, например в четверичной, в десятичную?
Любое число можно разложить по разрядам и каждый разряд измеряется своей меркой. В десятичной системе у единиц мерка 1, у десятков 10, у сотен 100. Следовательно, в четверичной системе счисления, у единиц мерка 1, у десятков – 4, у сотен – 16, у тысяч – 64,
у восьмеричной системы мерками будут 1; 8; 64 и так далее.
Пример 1 Пример 2
Перевести 1378 в десятичную систему. Перевести 3124 в десятичную систему.
Решение: Решение:
1378 = 1 ∙ 64 + 3 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 95. 3124 = 3 ∙ 16 + 1 ∙ 4 + 2 ∙ 1 = 54.
Пример 3
Перевести 1011012 в десятичную систему.
1011012 = 1∙ 32 + 1 ∙8 + 1 ∙ 4 + 1 = 45.
Пример 4
Перевести число 860 в восьмеричную систему счисления.
В данном примере мы воспользуемся меркой 8. Но если при переводе в десятичную систему мы умножали каждый разряд, то теперь будем делить число на мерку. Если частное больше мерки, то мы частное опять делим на мерку и так делим, пока частное не
5
станет меньше мерки. Остатки от деления как раз и есть разряды в данной системе счисления. Первый остаток – это разряд единиц, второй остаток – это разряд десятков и так далее.
Решение:
- 8 860 = 15348
- 107 8
60 8 13 8
56 27 8 1
4 24 5
3
Пример 5 Пример 6.
425 = 1156 382 = 30125
Решение: Решение:
- 6 382 5
- 7 6 35 76 5
5 6 1 32 5 15 5
1 30 26 15 3
2 25 0
1
При переводе чисел из троичной системы счисления в семеричную, мы сразу переводили из троичной в десятичную, а потом в семеричную. Этот способ занимает больше времени. Мы предположили, а что если при переводе из одной системы в другую сразу считать мерками той системы, в которую переводим. Проверили на нескольких примерах, и оказалось, что наше предположение верно. Тогда мы записали правило перевода.
Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, нужно каждый разряд считать той меркой, в которую переводим данное число.
Пример 7.
Перевести 1425 в семеричную систему.
1425 = (3 ∙ 7 + 4 ) + (2 ∙ 7 + 6) + 2 = 30 + 20 + 15 = 657;
Число 15 считаем следующим образом: 4 + 6 + 2 =12 = 157.
Проверка: 1425 = 1∙ 25 + 4 ∙ 5 + 2 = 47; 47 : 7 = 657
Пример 8.
Перевести 3234 в шестеричную систему.
3234 = (8 ∙ 6 + 0) + (1 ∙ 6 +2) + 3 = 120 + 10 + 5 = 1356;
6
Проверка: 3234 = 3 ∙ 16 + 2 ∙ 4 + 3 = 59; 59 = 1356
- 6
54 9 6
5 6 1
3
Пример 9.
Перевести 689 в пятеричную систему.
689 = (10 ∙ 5 + 4) + (1∙ 5 + 3) = 200 + 10 + 12 = 2225
Проверка: 689 = 6 ∙ 9 + 8 = 62; 62 : 5 = 2225
- 5
5 12 5
12 10 2
10 2
2
Заключение
При выполнении данной работы мы самостоятельно изучили математические операции сложения, вычитания, умножения и деления в различных системах счисления. Составили таблицы, которые помогают гораздо быстрее умножать и делить числа.
Познакомившись с системами счисления, мы узнали очень много нового и полезного, и считаем, что эта наука необходима для развития общества. Сложно представить мир без вычислительной техники. Ведь именно двоичная система получила широкое распространение в различных областях техники, в особенности в современных вычислительных машинах и компьютерах.
Числа правят миром.
Пифагор
Список литературы
- Виленкин Н.Я., Шибалов Л.П, Шибалова З.Г. За страницами учебника математики. М. Просвещение. АО Учебная литература 1996г.
- Выгодский Н.Я. Справочник по элементарной математике. М.Наука 1972г.
- Математика и программирование. «Универсальная энциклопедия школьников». Минск ТОО «ХАРВЕСТ», 1996г.
- Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин А.П., М.Педагогика 1989г.
7
Приложение 1
8
Приложение 2
Примеры римских чисел.
7 | VII |
13 | XIII |
27 | XXVII |
45 | VL |
90 | XC |
120 | CXX |
9
Приложение 3
Таблица умножения в четверичной системе счисления.
Х | 2 | 3 |
2 | 104 | 124 |
3 | 124 | 214 |
10
Приложение 4
Таблица умножения в пятеричной системе счисления.
х | 2 | 3 | 4 |
2 | 45 | 115 | 135 |
3 | 115 | 145 | 225 |
4 | 135 | 225 | 315 |
11
Приложение 5
Таблица умножения в шестеричной системе счисления.
х | 2 | 3 | 4 | 5 |
2 | 46 | 106 | 126 | 146 |
3 | 106 | 136 | 206 | 236 |
4 | 126 | 206 | 246 | 326 |
5 | 146 | 236 | 326 | 416 |
12
Приложение 6
Таблица умножения в семеричной системе счисления.
х | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
2 | 47 | 67 | 117 | 137 | 157 |
3 | 67 | 127 | 157 | 217 | 247 |
4 | 117 | 157 | 227 | 267 | 337 |
5 | 137 | 217 | 267 | 347 | 427 |
6 | 157 | 247 | 337 | 427 | 517 |
13
Приложение 7
Таблица умножения в восьмеричной системе счисления.
х | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | 48 | 68 | 108 | 128 | 148 | 168 |
3 | 68 | 118 | 148 | 178 | 228 | 258 |
4 | 108 | 148 | 208 | 248 | 308 | 348 |
5 | 128 | 178 | 248 | 318 | 368 | 438 |
6 | 148 | 228 | 308 | 368 | 448 | 528 |
7 | 168 | 158 | 348 | 438 | 528 | 618 |
14
Приложение 8
Таблица умножения в девятеричной системе счисления.
х | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
2 | 49 | 69 | 89 | 119 | 139 | 159 | 179 |
3 | 69 | 109 | 139 | 169 | 209 | 239 | 269 |
4 | 89 | 139 | 179 | 229 | 269 | 319 | 359 |
5 | 119 | 169 | 229 | 279 | 339 | 389 | 449 |
6 | 139 | 209 | 269 | 339 | 409 | 469 | 539 |
7 | 159 | 239 | 319 | 389 | 469 | 549 | 629 |
8 | 179 | 269 | 359 | 449 | 539 | 629 | 719 |
15
nsportal.ru