Совершенные нечетные числа: Математики открыли новый фронт в битве с древней числовой задачей / Хабр

Математики открыли новый фронт в битве с древней числовой задачей / Хабр

Не одно тысячелетие математиков интересовал вопрос существования нечётных совершенных чисел. В процессе его изучения они составили невероятный список ограничений для этих гипотетических объектов. Но новые идеи на этот счёт могут появиться благодаря изучению иных близких к ним объектов.

Если нечётные совершенные числа и существуют, им придётся удовлетворять абсурдно большому списку ограничений

Будучи ещё старшеклассником, Пэйс Нильсен в середине 90-х столкнулся с математическим вопросом, над которым бьётся и по сей день. Но он не расстраивается: очаровавшая его задача, гипотеза о нечётных совершенных числах, остаётся открытой уже более 2000 лет, что делает её одной из старейших нерешённых задач математики.

Частично таким долгоживущим шармом она обязана простоте формулировки. Число называется совершенным, если это положительное целое, n, сумма делителей которого даёт удвоенное число, 2n. Первый и самый простой пример – это 6, делители которого, 1, 2, 3 и 6, в сумме дают 12, или 2*6. Затем идёт 28, с делителями 1, 2, 4, 7, 14 и 28, дающими в сумме 56. Следующие примеры – 496 и 8128.

Леонард Эйлер формализовал это определение в XVIII веке, введя свою сигма-функцию, обозначающую сумму делителей числа. Таким образом, для совершенных чисел σ(n) = 2n.

Леонард Эйлер сформулировал множество формальных правил, касающихся работы с совершенными числами

Однако Пифагор знал о совершенных числах ещё в 500 году до н.э., а два столетия спустя Евклид вывел формулу для получения чётных совершенных чисел. Он показал, что если p и 2^p — 1 – простые числа (делители которых – только 1 и само это число), тогда 2^p−1 * (2^p − 1) будет совершенным числом. К примеру, если p = 2, то формула даёт 2¹ * (2² − 1), или 6. Если p = 3, то формула даёт 2² * (2³ − 1), или 28 – два первых совершенных числа. 2000 лет спустя Эйлер доказал, что эта формула выдаёт все чётные совершенные числа, хотя до сих пор неизвестно, конечно или бесконечно множество совершенных чисел.

Нильсен, сегодня работающий профессором в Университете Бригама Янга, увлёкся связанным с этим вопросом: существуют ли нечётные совершенные числа? Греческий математик Никомах Герасский около 100 года н.э. заявил, что все совершенные числа должны быть чётными, но никто не доказал этого утверждения.

Как и многие его коллеги из XXI века, Нильсен считает, что совершенных чисел существует не особенно много. И, вместе с ними он считает, что доказательство этой гипотезы будет получено нескоро. Однако в июне он наткнулся на новый подход к этой задаче, возможно, способный продвинуть её далее. И он связан с ближайшим к нечётным совершенным числам объектом из всех пока обнаруженных.

Сжимающаяся сеть

Впервые Нильсен узнал о совершенных числах на соревновании по математике в школе. Он углубился в литературу, и наткнулся на работу 1974 года Карла Померанца, математика, сегодня служащего в Дартмутском колледже. Тот доказал, что у любого нечётного совершенного числа должно быть не менее семи различных простых множителей.

«Я в своей наивности решил, что я могу сделать что-то в этой области, если в ней вообще возможен прогресс, — сказал Нильсен. – Это вдохновило меня на изучение теории чисел в колледже, и попытки развить прогресс». Его первая работа по нечётным совершенным числам, опубликованная в 2003 году, наложила дополнительные ограничения на эти гипотетические числа. Он показал, что не только количество нечётных совершенных чисел с k различными простыми делителями конечно, как доказал в 1913 году Леонард Диксон, но и что размер этого числа не должен превышать 2

4^k.

И это было не первым и не последним ограничением, наложенным на гипотетические нечётные совершенные числа. К примеру, в 1888 году Джеймс Сильвестер доказал, что нечётное совершенное число не может делиться на 105. В 1960 году Карл К. Нортон доказал, что, если нечётное совершенное число не делится на 3, 5 или 7, у него должно быть не менее 27 простых делителей. Пол Дженкинс в 2003 году доказал, что крупнейший простой делитель нечётного совершенного числа должен быть больше 10 000 000. Паскаль Очем и Михаёль Рао после этого обнаружили, что нечётное совершенное число должно быть больше 10¹⁵⁰⁰, а потом отодвинули эту границу до 10²⁰⁰⁰. Нильсен в 2015 году показал, что нечётное совершенное число должно иметь не менее 10 различных простых делителей.

Пэйс Нильсен, математик из Университета Бригама Янга

Даже в XIX веке количество ограничений было таким, что Сильвестер сделал вывод, что «появление нечётного совершенного числа – этакий побег от сложной сети условий, окружающих его со всех сторон – будет практически чудом». Спустя более ста лет подобного развития событий существование таких чисел вызывает ещё больше сомнений.

«Доказать существование чего-либо легко, если получится найти хотя бы один пример, — сказал Джон Войт, профессор математики из Дартмута. – Но доказать, что нечто не существует, может быть очень тяжело».

Основным подходом до сего момента было сравнение всех ограничивающих нечётные совершенные числа условий с тем, чтобы выяснить, не является ли какая-то парочка из них несовместимой – то есть, что ни одно число не может удовлетворять обоим ограничениям сразу. «Лоскутное одеяло условий, полученное на сегодняшний день, делает вероятность существования нечётных совершенных чисел крайне малой, — сказал Войт, вторя Сильвестеру. – И Пэйс много лет добавлял к этому списку новые пункты».

К сожалению, несовместимых свойств до сих пор не найдено. Поэтому кроме дополнительных ограничений на нечётные совершенные числа математикам, вероятно, потребуются и новые стратегии.

Для этого Нильсен уже рассматривает новый план атаки, основанный на распространённой тактике математиков: изучение множества чисел через изучение их близких родственников. В отсутствии нечётных совершенных чисел, пригодных для прямого изучения, они с командой изучают «имитации» нечётных совершенных чисел, которые очень похожи на настоящие, но обладают некоторыми интересными отличиями.

Разбираемся в совершенных числах

Сигма-функция обозначает сумму делителей числа. σ(n) = 2n, если это совершенное число.

Примеры:

σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42; 2 * 20 ≠ 42, поэтому 20 – не совершенное число.

σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56; 2 * 28 = 56, поэтому 28 – совершенное число.

Правила Эйлера

1. σ(a × b) = σ(a) × σ (b) в том, и только в том случае, если a и b – взаимно простые.
2. σ(p^a) = 1 + p + p² + … + p^a для любого простого p с положительной целой степенью a.

Примеры:

σ(20) = σ(2² × 5) = σ(2²) × σ(5) [по первому правилу] = (1 + 2 + 2²)(1+5) [по второму правилу] = 42

σ(28) = σ(2² × 7) = σ(2²) × σ(7) [по первому правилу] = (1 + 2 + 2²)(1+7) [по второму правилу] = 56

Новые соблазнительные промахи

Первую имитацию нечётного совершенного числа нашёл в 1638 году Рене Декарт – и он был одним из первых выдающихся математиков, посчитавших возможным существование нечётных совершенных чисел.

«Я считаю, что Декарт пытался найти нечётные совершенные числа, и его вычисления привели его к первой имитации», — сказал Уильям Бэнкс, специалист по теории чисел из Университета Миссури. Судя по всему, Декарт надеялся, что созданное им число можно изменить, получив настоящее нечётное совершенное число.

Но прежде чем углубиться в декартовскую имитацию, полезно будет немного разобраться в том, как математики описывают совершенные числа. Теорема времён Евклида утверждает, что любое целое число, большее 1, можно выразить в виде произведения простых чисел, возведённых в определённые степени. К примеру, 1260 можно так разложить на множители: 1260 = 2² × 3² × 5¹ × 7¹, и не перечислять все 36 множителей по отдельности.

Если число принимает такую форму, вычислять сигма-функцию Эйлера, суммирующую его делители, становится гораздо проще – благодаря двум формулам, которые тоже доказал Эйлер. Во-первых, он продемонстрировал, что σ(a × b) = σ(a) × σ(b), тогда, и только тогда, когда a и b взаимно простые – то есть, у них нет общих простых делителей.

К примеру, числа 14 (2 × 7) и 15 (3 × 5) взаимно простые. Во-вторых, он показал, что для любого простого числа p в положительной целой степени a, σ(p^a) = 1 + p + p² + … + p^a.

Возвращаясь к нашему предыдущему примеру, σ(1 260) = σ(2² × 3² × 5¹ × 7¹) = σ(2²) × σ(3²) × σ(5¹) × σ(7¹) = (1 + 2 + 2²)(1 + 3 + 3²)(1 + 5)(1 + 7) = 4 368. Обратите внимание, что в данном случае σ(n) не равняется 2n, а, значит, 1260 – не совершенное число.

Рене Декарт нашёл первую имитацию совершенного числа

Теперь мы можем разобрать декартову имитацию – число 198 585 576 189, или 3² × 7² × 11² × 13

2 × 22 021¹. Повторяя описанные выше вычисления, мы обнаружим, что σ(198 585 576 189) = σ(3² × 7² × 11² × 13² × 22,021¹) = (1 + 3 + 3²)(1 + 7 + 7²)(1 + 11 + 11²)(1 + 13 + 13²)(1 + 22,021¹) = 397 171 152 378. И это равно удвоенному изначальному числу, что означает, что оно должно быть настоящим совершенным числом – вот только число 22 021 не является простым.

Поэтому это число Декарта является имитацией. Если мы притворимся, что 22 021 – простое, и применим правила Эйлера для сигма-функции, число Декарта ведёт себя как совершенное число. Однако 22 021 на деле является произведением 19² и 61. Если бы мы правильно записали число Декарта, как 3² × 7² × 11² ×13² × 19² × 61¹, тогда σ(n) не равнялась бы 2n. Ослабляя некоторые правила, мы получаем число, вроде бы удовлетворяющее нашим требованиям – такова суть имитации.

На то, чтобы открыть второе число-имитацию нечётного совершенного числа, ушёл 361 год. Войт сделал это в 1999 году, и опубликовал открытие через четыре года. Почему так долго? «Находка числа-имитации похожа на находку нечётного совершенного числа; оба они сходным образом арифметически сложны», — сказал Бэнкс. Да и их поиски не были в приоритете у математиков. Однако Войта вдохновил отрывок из книги Ричарда Гая «Нерешённые задачи теории чисел», где писали о поисках новых имитаций. Войт попытался, и в итоге нашёл новую имитацию, 3⁴ × 7² × 11² × 19² × (−127)¹, или −22 017 975 903.

В отличие от примера Декарта, тут все делители простые, но один из них отрицательный – поэтому это число и является имитацией, а не истинным нечётным совершенным числом.

Имитации нечётных совершенных чисел

Число Декарта:

198 585 576 189, или 3² × 7² × 11² × 13² × 22 021¹.

Повторим вычисления сигма-функции: σ(198 585 576 189) = σ(3² × 7² × 11² × 13² × 22,021¹) = (1 + 3 + 3²)(1 + 7 + 7²)(1 + 11 + 11²)(1 + 13 + 13²)(1 + 22,021¹) = 397 171 152 378 = 2 × 198 585 576 189.

Но число 22 021 не является простым, это 19² × 61. Число Декарта является лишь имитацией нечётного совершенного числа.

Число Войта:

−22 017 975 903, или 3⁴ × 7² × 11² × 19² × (−127)¹.

Повторим вычисления сигма-функции: σ(−22 017 975 903) = σ(3⁴ × 7⁴ × 11² × 19² × (-127)¹) = (1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴)(1 + 7 + 7²)(1 + 11 + 11²)(1 + 19 + 19²)(1 + (-127)¹) = -44 035 951 806 = 2 × −22 017 975 903

-127 – число отрицательное, поэтому число Войта – ещё одна имитация совершенного числа.

После того, как Войт в декабре 2016 года провёл семинар в университете Бригама Янга, он обсудил это число с Нильсеном, Дженкинсом и другими. Вскоре после этого команда университета отправилась на систематические вычислительные поиски других имитаций. Они выбирали наименьшие основания и показатели степени, вроде 3², и потом компьютеры прочёсывали варианты дополнительных оснований и степеней, которые давали бы имитацию совершенного числа. Нильсен решил, что этот проект просто будет неким стимулирующим опытом исследований для его студентов, однако результаты анализа превзошли его ожидания.

Просеивая возможности

После непрерывной работы 20 процессоров в течение трёх лет, команда обнаружила все возможные имитации совершенного числа, которые можно записать при помощи шести или менее оснований – всего 21 штука, включая примеры Декарта и Войта – а ещё две имитации с семью делителями. Искать имитации с большим числом делителей на компьютерах было непрактично, и слишком затратно по времени. Тем не менее, группа набрала достаточно примеров для того, чтобы открыть неизвестные ранее свойства имитаций.

Группа обнаружила, что для любого заданного количества оснований k существует конечное число имитаций, что совпадает с результатом Диксона от 1913 года для настоящих нечётных совершенных чисел. «Однако если k уйдёт в бесконечность, количество имитаций также становится бесконечным», — сказал Нильсен. Это было неожиданно, добавил он, учитывая, что начиная этот проект, он не был уверен в открытии хотя бы одной новой нечётной имитации, не говоря уже о том, чтобы показать, что их число бесконечно.

Ещё один сюрприз, зародившийся из результата, впервые доказанного Эйлером: все простые основания нечётного совершенного числа, кроме одного, должны иметь чётные степени. Одно должно иметь нечётную степень – она называется степенью Эйлера. Большинство математиков считает, что степень Эйлера для нечётных совершенных чисел всегда 1, однако команда показала, что у имитаций она может быть сколько угодно большой.

Некоторые находки команда обнаружила, ослабив требования в определении имитации, поскольку не существует чётких математических правил для их описания – только то, что они должны удовлетворять равенству σ(n) = 2n. Исследователи допустили существование оснований, не являющихся простыми числами (как в примере Декарта) и отрицательных оснований (как в примере Войта). Однако они пошли дальше, разрешив имитациям иметь несколько одинаковых оснований.

Одно основание, к примеру, может быть 7², а другое – 7³, и записываются они отдельно, а не как 7⁵. Или они позволяли основаниям повторяться, как в имитации 3² × 7² × 7² × 13¹ × (−19)². Член 7² × 7² можно записать как 7⁴, но тогда имитации не получится, потому что раскрытие скобок в изменённой сигма-функции было бы другим.

Учитывая значительную разницу между имитациями и реальными нечётными совершенными числами, можно задать вопрос: и как же первые помогают в поисках вторых?

Путь вперёд?

Нильсен сказал, что имитации являются обобщением нечётных совершенных чисел. Нечётные совершенные числа – это подмножество внутри более обширного семейства, куда входят и имитации, поэтому у нечётных совершенных чисел должны быть все свойства имитаций, а также дополнительные, ещё более жёсткие ограничения (как, к примеру, условие, что все основания должны быть простыми).

«Любое поведение более крупного множества должно соблюдаться и для мелкого подмножества, — сказал Нильсен. – Так что, если мы найдём поведение имитаций, неприменимое к более ограниченному классу, мы автоматически сможем отказаться от возможности существования нечётных совершенных чисел». Если, к примеру, можно будет показать, что все имитации делятся на 105 – что невозможно для нечётных совершенных чисел, как Сильвестер показал в 1888 – тогда задача будет решена.

Пока что, однако, ничего такого им не удалось. «Мы открыли новые факты, касающиеся имитаций, однако ни один из них не отрицает существования нечётных совершенных чисел, — сказал Нильсен, — хотя эта возможность всё ещё остаётся». Проводя дальнейший анализ известных на сегодня имитаций, и, возможно, дополняя их список в будущем, Нильсен (а оба этих направления развиваются благодаря ему) и другие математики могут открыть новые свойства имитаций.

Бэнкс считает такой подход стоящим. «Исследование нечётных имитаций может быть полезным для понимания структуры нечётных совершенных чисел, если те существуют, — сказал он. – А если нечётных совершенных чисел не существует, изучение нечётных имитаций может привести к доказательству этого».

Другие эксперты по нечётным совершенным числам настроены не так оптимистично. Команда из университета Бригама Янга «проделала отличную работу», сказал Войт, «но я не уверен, что мы приблизились к вариантам атаки на проблему нечётных совершенных чисел. Это и правда задача на века, и, вероятно, она будет таковой оставаться».

Пол Поллак, математик из университета Джорджии, также осторожничает: «Было бы круто, если бы мы могли посмотреть на список имитаций, и увидеть какое-то их свойство, и как-то доказать, что нечётных совершенных чисел с таким свойством не существует. Это была бы прямо мечта, но, кажется, она слишком хороша, чтобы быть правдой».

Нильсен согласился, что шансов на успех тут мало, но чтобы решить эту древнюю задачу, математикам надо попробовать всё. Кроме того, исследование имитаций только начинается. Его группа предприняла некие ранние шаги, и уже открыла неожиданные свойства этих чисел. Поэтому он оптимистично относится к возможности открытия дополнительных «скрытых структур» внутри имитаций.

Нильсен уже определил одну вероятную тактику, основываясь на том, что у всех найденных на сегодня имитаций, кроме оригинального примера Декарта, есть хотя бы одно отрицательное основание. Если доказать, что у всех остальных имитаций должно быть отрицательное основание, то это докажет, что нечётных совершенных чисел не существует, поскольку, по определению, их основания должны быть простыми и положительными.

«Эта задача кажется более трудной, — сказал Нильсен, поскольку она касается более крупной и общей категории чисел. – Но иногда, когда ты преобразуешь задачу в более, казалось бы, сложную, можно увидеть путь к решению».

В теории чисел требуется терпение – иногда вопрос легко поставить, но трудно найти на него ответ. «Приходится размышлять о задаче, иногда подолгу, и проявлять к ней особое внимание, — сказал Нильсен. – Мы движемся вперёд. Мы копаем шахту. Надеемся, что если будем копать достаточно долго, то сможем найти алмаз».

Совершенное число | это… Что такое Совершенное число?

Совершенное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже.

Совершенные числа образуют последовательность:

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, … (последовательность A000396 в OEIS).

Содержание 1 Примеры 2 История изучения 2.1 Чётные совершенные числа 2.2 Нечётные совершенные числа 3 Свойства 4 Примечательные факты 5 См. также 6 Примечания 7 Ссылки

Примеры

• 1-е совершенное число — 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма 1 + 2 + 3 равна 6.
• 2-е совершенное число — 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма 1 + 2 + 4 + 7 + 14 равна 28.
• 3-е совершенное число — 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 равна 496.
• 4-е совершенное число — 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 равна 8128.

История изучения

Чётные совершенные числа

Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида, где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна)^[1]. Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.

Первые четыре совершенных числа приведены в Арифметике Никомаха Геразского. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческие возможности.

На апрель 2010 года известно 47 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS.

Нечётные совершенные числа

Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел.

Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности. Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений OddPerfect.org.

Свойства

• Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел: ().
• Все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть, могут быть представлены в виде n(2n−1) для некоторого натурального числа n.
• Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его само), равна 2.
• Все чётные совершенные числа, кроме 6 и 496, заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56 или 76.
• Все чётные совершенные числа в двоичной записи содержат сначала p единиц, за которыми следует p—1 нулей (следствие из их общего представления).

Примечательные факты

Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, базирующихся на авраамических религиях, — утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.

Джеймс А. Эшельман (en:James A. Eshelman) в книге «Еврейские иерархические имена Брии»^[2] пишет, что в соответствии с гематрией:

«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова Малькут, означающего „Царство“. Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».

«Левиафан (буквально „змей изгибающийся“) — это один из четырех Князей Тьмы, воплощенный в форме змея. Поэтому удерживать Левиафана — это значит контролировать энергии Нефеш, ассоциируемые с Йесод. Во-вторых, „змей изгибающийся“ может означать и „свернувшийся кольцами змей“, то есть Кундалини. В-третьих, число слова „Левиафан“, равно 496, точно так же как и слова „Малькут“; представление о том, что архангел Йесод сдерживает природу Малькут, дает богатую пищу для размышлений. В-четвертых, число 496 — это сумма чисел от 1 до 31, то есть полное расширение, или проявление, имени „Эль“, божественного имени трех высших сефирот в Брии (в том числе и сефиры Кетер, архангелом которой является Йехоэль)».

В сочинении «Град Божий» Св. Августин писал^[3]:

«Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.»

См. также

• Избыточные числа
• Недостаточные числа
• Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
• Слегка недостаточные числа
• Дружественные числа
• Полусовершенные числа
• Открытые математические проблемы
• Магические числа (физика)

Примечания

1. ↑ Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел
2. ↑ Числа
3. ↑ Саймон Сингх. Великая Теорема Ферма. с. 9

Ссылки

• Депман И. Совершенные числа // Квант. — 1991. — № 5. — С. 13-17.

Теорема Эйлера о нечетных совершенных числах

| Мэтью Уорд

Фото Тима Моссхолдера на Unsplash

Совершенные числа уже давно очаровывают меня. Концепция проста. Возьмите любое число и выпишите числа, которые его делят (не включая само себя).

Например: 1,2 и 3 делят 6 поровну. Теперь добавьте эти множители 1+2+3=6.

Когда вы возвращаете число таким образом, оно называется совершенным числом .

Позже мы захотим работать с полными Функция суммы делителей.

Определите σ( N ) как сумму всех делителей числа N (включая само N ). Обратите внимание, что когда вы включаете само число, мы получаем определение: число N равно совершенному , если σ( N )=2 N .

Большинство чисел не идеальны. На самом деле, вы можете быстро проверить для себя, что 6 — это наименьшее совершенное число, а следующее за ним — 28. Существует удивительно много результатов о форме совершенных чисел, но два наиболее очевидных вопроса остаются нерешенными по сей день:

• Бесконечно ли много?
• Существуют ли нечетные совершенные числа?

Если бы ты смог решить любую из них, ты бы стал знаменитым. Они выглядят такими простыми, и все же они сопротивлялись тысячам попыток доказательств или контрпримеров.

Первый вопрос можно преобразовать во многие другие известные вопросы, поэтому сегодня мы не будем его рассматривать.

Что мне кажется интересным, так это то, что Эйлер доказал, что нечетные совершенные числа должны иметь очень специфическую форму еще в 1700-х годах, и все же мы до сих пор не знаем, существуют ли они!

В настоящее время компьютеры проверили около 10¹⁵⁰⁰ и ничего не нашли. Новые результаты о нечетных совершенных числах были опубликованы совсем недавно, в этом году. Так что это все еще активная область исследований.

Сегодня мы рассмотрим элементарное доказательство Эйлера формы нечетных совершенных целых чисел, и, возможно, кто-нибудь из вас сможет его взломать.

Несмотря на то, что мы не знаем, существуют ли они, форма, которую должно принимать нечетное совершенное число, известна на протяжении веков.

Вот формулировка теоремы. Если N — нечетное совершенное число, то

, где p — простое число вида p = 4 n+ 1 и не делит Q . Другими словами, нечетное совершенное число должно быть произведением совершенного квадрата определенного типа простого числа в определенной степени (1, 5, 9, …).

Вы можете подставить числа, чтобы почувствовать это. Если n равно 1, то простое число p = 5. Если Q равно 3, то полный квадрат равен 9. Таким образом, N = 45. (Правильные) делители числа 45 — это 1, 3, 5, 9, 15. Складывая их, мы получаем 33, поэтому 45 не идеально.

Как видите, теорема не дает нечетных совершенных чисел. Он просто говорит нам, что если он существует, то он должен быть такой формы. Опять же, за столетия, прошедшие с тех пор, как это было впервые доказано, было проделано много работы, поэтому в наши дни у нас есть более совершенные формы. Я упомяну их в конце.

А пока давайте на самом деле докажем это. Доказательство совершенно элементарно и требует только разумного обдумывания четных и нечетных значений и проработки всех возможностей.

Несмотря на то, что здесь не используется высокоуровневая математика, я предупреждаю вас, что это трудно удержать в голове сразу, потому что это просто грубая сила проверяет все случаи. Так что легко потерять представление о том, что мы делаем и почему. Я постараюсь внести ясность.

Прежде чем мы начнем, нам нужны формальные определения четных и нечетных чисел. Число x равно нечетному , если оно может быть выражено как x=2k+1 для некоторого k. Число x равно и даже , если оно может быть выражено как x=2k для некоторого k.

Факт 1: Нечетное число плюс нечетное число всегда четное. В этом можно убедиться, подумав, но можно и формально доказать.

Пусть x и y нечетны. Тогда x=2k+1 и y=2j+1 для некоторых k и j. Таким образом,

x+y=2k+1+2j+1
=2k+2j+2
=2(k+j+1).

Это определение равенства, так что мы закончили.

Факт 2: Нечетное число плюс четное число всегда нечетное. Вы можете убедиться в этом сами, следуя приведенному выше аналогичному доказательству.

Факт 3: Делители pⁿ, где p — простое число, равны 1, p, p², …, pⁿ. Это просто определение простого числа.

Факт 4: Сумма делителей pⁿ (обозначается как σ(pⁿ)) четна тогда и только тогда, когда n нечетно. Это всего лишь комбинация трех приведенных выше фактов: 1+p — четное, 1+p+p² — нечетное, 1+p+p²+p3 — четное и так далее.

Аналогично, σ(pⁿ) нечетно тогда и только тогда, когда n четно.

Факт 5: Сумма делителей слабо мультипликативна . Это означает, что если N и M не имеют общих простых делителей, то σ( NM )=σ( N )σ( M ).

Я не буду доказывать это в полной мере, но простой пример дает точную картину доказательства. Попробуйте это для N=3 и M=5.

σ(15)=1+3+5+15
=(1+3)(1+5)
=σ(3)σ(5)

Общее доказательство следует той же логике. Вы разбиваете число на его простую факторизацию, а затем факторизуете.

Пусть N — нечетное совершенное целое число. Используйте Фундаментальную теорему арифметики , чтобы разложить N на его уникальную простую факторизацию:

Поскольку N нечетно, ни одно из простых чисел в факторизации не равно 2. Поскольку N совершенно, мы знаем, что σ(N) =2Н. Теперь мы будем использовать определение с приведенными выше фактами, чтобы получить ключевое уравнение, которое нам понадобится.

Вот ключевой момент. Только один из этих множителей может быть четным.

Это потому, что верхняя левая часть уравнения имеет только один множитель 2, так как N нечетный. Если бы два нижних правых множителя были четными, мы могли бы вынести 4, противоречие.

Поскольку только один множитель четный, это означает, что все остальные множители нечетные. Факт 4 говорит нам, что все aᵢ в простой факторизации N четны, за исключением одного нечетного.

Другими словами, мы можем написать N=pˣQ², где x нечетно и p не делит Q.

Предположим, что p=4b+3 для некоторого b. Затем мы замечаем, что можем разложить на множители σ(pˣ)=(1+p)(1+p²+…+pˣ⁻¹)). Это означает, что 1+p делит σ(pˣ), которое по предположению делит 2N.

Но это противоречие, потому что 1+p=4b+4=4(b+1), а мы уже сказали, что 4 может быть множителем 2N. Поскольку p нечетно, единственная другая возможность состоит в том, что оно имеет вид 4b+1 для некоторого b, что мы и собирались доказать.

Тот же трюк показывает нам, что x также должен иметь форму 4m+1 (если вы подставите p=4b+1 и умножите σ(pˣ), вы обнаружите, что можете вынести 4, если x= 4м+3).

Если всего этого слишком много, не беспокойтесь. Суть доказательства сводится к одному факту. Определение совершенства таково: σ(N)=2N. Определение нечетности N состоит в том, что мы не можем вынести за скобки любую дополнительную копию числа 2 из N.

Это просто заставляет разные части σ(N) при записи также не содержать слишком много копий 2.

Таким образом, если N — нечетное совершенное число, оно должно иметь вид:

, где p является простым числом вида p= 4 n+ 1 и не делится на Q.

С момента открытия этой формы было получено много результатов. В 1980 году Хагис показал, что должно быть не менее 8 различных простых множителей, а затем в 2005 году Хэйр показал, что должно быть не менее 75 (не обязательно различных) множителей. В 2012 г. Охем и Рао показали, что он должен иметь не менее 101.

Результаты о размерах факторов также были доказаны, но вычисления делают это несколько менее интересным, чем настоящие «теоремы о структуре» нечетного совершенного числа. Существуют десятки подобных результатов о показателях степени, которые могут возникнуть, и отношениях конгруэнтности, включающих все N.

Если вы хотите решить давнюю проблему и добиться известности, стоит поработать с этим. Все, что вам нужно сделать, это найти какую-то гарантированную форму нечетного совершенного числа, которая противоречит этой форме, и вы раз и навсегда докажете, что их не существует (что является текущим консенсусным предположением).

До тех пор компьютеры будут продолжать проверки.

Где в мире находятся нечетные совершенные числа?

• Share on Facebook

• Share on Twitter

• Share on Reddit

• Share on LinkedIn

• Share via Email

• Print

A ladybug with a perfect number пятен. Изображение: фотография Лорен Такер, через flickr.

Запуск Roots of Unity был как раз вовремя для Совместных Математических Совещаний этого года, матапалуза, организованная двумя крупнейшими профессиональными математическими обществами (Американским математическим обществом и Математической ассоциацией Америки). Около 6000 моих ближайших друзей-математиков находятся со мной в солнечном Сан-Диего, принимая участие в лекциях, панельных дискуссиях, постерных сессиях, светских мероприятиях и в художественной галерее. В среду, в первый день встреч, я присутствовал на докладах об использовании искусства на уроках математики, моделировании атмосферных и океанских течений, небесной механике и дешифровщиках времен Второй мировой войны, но этот пост посвящен докладу, который я не посещал. Я был в отведенной комнате в то время, когда должна была состояться беседа, но говорящего там не было.

Доклад назывался «Некоторые недавние результаты по нечетным совершенным числам». Число называется совершенным, если оно является суммой своих положительных множителей, отличных от самого себя. Например, 6 = 3 + 2 + 1, а 3, 2 и 1 — делители 6. Следующие два совершенных числа — это 28 и 496, и пока открыто только 47* совершенных чисел. (Числа, которые не являются совершенными, называются недостаточными или избыточными, в зависимости от того, является ли сумма множителей меньше или больше, чем число.) Я не теоретик чисел, но я был очарован совершенными числами с тех пор, как я был маленьким. ребенок и мой папа сказали мне, что они с мамой поженились 28-го числа месяца, потому что 28 — идеальное число.

Одним из интересных аспектов совершенных чисел является их связь с определенным типом простых чисел, называемых простыми числами Мерсенна. Простые числа Мерсенна — это простые числа, которые на единицу меньше степени двойки, поэтому их можно записать как 2 ⁿ -1 для некоторого числа n. Число 3, например, является простым числом Мерсенна, потому что его можно записать как 2 ² -1. Евклид, которого иногда называют отцом геометрии, доказал, что когда 2 90 247 n 90 248 -1 является простым, число (2 90 247 n — 1 90 248 )(2 90 247 n 90 248 -1) является совершенным числом, и более 2000 лет спустя, Швейцарский математик Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют вид (2 ^n-1 )(2 ⁿ -1). Совершенное число 6=2×3 обладает этим свойством при n=2, а 28 и 496 вы можете проверить сами.

Итак, четные совершенные числа более-менее разобраны, а как быть с нечетными? Ну, никто не знает ни одного, и могут ли они существовать. Вот почему меня (и нескольких других потенциальных слушателей) очень забавляло то, что спикер не появлялся на сессии по нечетным абсолютным числам. Я проверил абстрактный буклет на тот случай, если мы все были частью розыгрыша или произведения абстрактного перформанса, а это, похоже, не так. В частности, в аннотации говорилось: «В 1991, Брент, Коэн и те Риле доказали, что нечетные совершенные числа больше 10 ³⁰⁰ . В 2012 году Охем и Рао модифицировали свой метод, чтобы показать, что нечетные совершенные числа больше 10 ¹⁵⁰⁰ . В этой презентации будут обсуждаться некоторые недавние результаты по нечетным совершенным числам. счел поэтичным, что из всех разговоров, на которых я мог бы присутствовать, говорящий не смог бы материализоваться, это был бы разговор о возможно пустом наборе чисел.0003

Я не должен размышлять о том, почему говорящий не явился на выступление, но я все равно приду. Встречи проходят в Сан-Диего, поэтому Кармен Сандиего похитила спикера и все нечетные совершенные числа.