Построение точек в трехмерной системе координат: Трехмерные Координаты | Уроки Автокад © Студия Vertex

Каждый урок или занятие TeachEngineering соотносится с одной или несколькими науками K-12, технологические, инженерные или математические (STEM) образовательные стандарты.

Все более 100 000 стандартов K-12 STEM, включенных в TeachEngineering , собираются, поддерживаются и упаковываются Сеть стандартов достижений (ASN) , проект D2L (www.achievementstandards.org).

В ASN стандарты структурированы иерархически: сначала по источнику; напр. по штатам; внутри источника по типу; напр. , естественные науки или математика; внутри типа по подтипу, затем по классам, и т.д. .

Общие базовые государственные стандарты — математика

• Найдите и расположите целые числа и другие рациональные числа на горизонтальной или вертикальной числовой линейной диаграмме; найти и расположить пары целых чисел и других рациональных чисел на координатной плоскости. (Оценка 6) Подробнее
  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Решайте реальные и математические задачи, отображая точки во всех четырех квадрантах координатной плоскости.
  Включите использование координат и абсолютного значения для нахождения расстояний между точками с одной и той же первой координатой или одной и той же второй координатой. (Оценка 6) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Решайте реальные и математические задачи, связанные с площадью, объемом и площадью поверхности двух- и трехмерных объектов, состоящих из треугольников, четырехугольников, многоугольников, кубов и прямых призм. (Оценка 7) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!
• Создавайте формальные геометрические построения с помощью различных инструментов и методов (циркуль и линейка, струна, отражающие устройства, складывание бумаги, динамическое геометрическое программное обеспечение и т. д.). Копирование сегмента; копирование угла; разделение сегмента пополам; деление угла пополам; построение перпендикулярных линий, включая перпендикулярную биссектрису отрезка прямой; и построение прямой, параллельной заданной прямой, через точку, не лежащую на этой прямой. (Оценки 9- 12) Подробнее
  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

Международная ассоциация преподавателей технологий и инженерии — Технология

• Информационно-коммуникационные системы позволяют передавать информацию от человека к человеку, от человека к машине и от машины к человеку. (Оценки 6 — 8) Подробнее
  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

• Использование символов, размеров и рисунков способствует четкому общению, предоставляя общий язык для выражения идей. (Оценки 6 — 8) Подробнее

  Посмотреть согласованную учебную программу

  Согласны ли вы с таким раскладом? Спасибо за ваш отзыв!

ГОСТ

Какое альтернативное выравнивание вы предлагаете для этого контента?

Подписаться

Подпишитесь на нашу рассылку новостей, чтобы получать внутреннюю информацию обо всем, что связано с TeachEngineering, например, о новых функциях сайта, обновлениях учебных программ, выпусках видео и многом другом!

PS: Мы никому не передаем личную информацию и электронные письма.

Список материалов

• 3-футовый штифт из пробкового дерева размером ¼ дюйма x ¼ дюйма или деревянный дюбель
• быстродействующий клей, такой как пистолет для горячего клея, резиновый клей или глиняный шарик размером с мяч для гольфа
• маркер
• линейка
• Канцелярский нож или ножницы
• Квадрат 1 дюйм x 1 дюйм из гофрированного картона, пенопласта или картона для плакатов

Рабочие листы и вложения

Рабочий лист 3D-координат (pdf)

Больше учебных программ, подобных этому

Высший элементарный урок

Трехмерная система координат для картирования галактик: следующее измерение

Учащиеся узнают о трехмерной декартовой системе координат и получают представление о размере нашей галактики (Млечный Путь) и расстоянии до ближайшей спиральной галактики (галактики Андромеды), используя трехмерную модель. Предоставляется рабочий лист ученика.

Трехмерная система координат для карт галактик: новое измерение

Урок средней школы

Все о линейном программировании

Учащиеся узнают о линейном программировании (также называемом линейной оптимизацией) для решения задач инженерного проектирования. Они применяют эту информацию для решения двух практических задач инженерного проектирования, связанных с оптимизацией материалов и стоимости, путем построения графиков неравенств, определения координат и уравнений из …

Все о линейном программировании

Урок средней школы

Проекции и координаты: превращение трехмерной Земли в плоскость

Учащиеся узнают о проекциях и координатах в географических науках, которые помогают нам лучше понять природу Земли и то, как описать местоположение.

Проекции и координаты: превращение трехмерной Земли в плоскость

Урок средней школы

Координаты и декартова плоскость

Краткий обзор декартовой плоскости включает в себя то, как точки записываются в формате (x, y) и ориентированы по осям, а также какие направления являются положительными и отрицательными. Затем учащиеся узнают, что означает, что отношение является функцией, и как определить домен и диапазон набора точек данных.

Координаты и декартова плоскость

Предварительные знания

Минимальный предварительный опыт построения графиков в двух измерениях полезен, но не обязателен.

Введение/Мотивация

Содержимое раздела «Введение/мотивация» урока «Трехмерная система координат для картирования галактик: следующее измерение» также служит введением в это задание.

Процедура

Перед занятием

Соберите материалы и сделайте копии рабочего листа 3D-координат.

Выполните следующие действия, чтобы построить один набор осей для каждой группы. В качестве альтернативы, пусть группы сами построят оси.

1. Разрежьте пробковое дерево на три сегмента по 1 футу каждый. (Вероятно, это займет дополнительные 15-20 минут.)
2. С помощью клеевого пистолета (или другого клея или глины) склейте три детали вместе так, чтобы все три были перпендикулярны друг другу и встречались в одной точке. Это формирует три оси.
3. С помощью линейки и маркера сделайте отметки через каждый дюйм по каждой из трех осей, удаляясь от исходной точки. Сделайте в общей сложности 10 меток на каждой оси. При желании пронумеруйте метки так, чтобы на каждой оси «1» была ближе всего к началу координат, а «10» — дальше всего от оси.
4. С помощью канцелярского ножа или ножниц вырежьте из картона, пенопласта или картона для плакатов квадрат размером 1 фут x 1 фут. Сделайте небольшое отверстие в одном углу квадрата, примерно на полдюйма от краев. Сделайте отверстие достаточно большим, чтобы ось из пробкового дерева прошла через него.
5. Эта доска из пеноматериала служит плоскостью XY. Сдвиньте его по одной из осей (ось Z) до упора вниз, пока он не ляжет на две другие оси. Отверстие, в котором ось Z проходит через плоскость XY, теперь находится в начале координат.
6. С помощью линейки начертите на плоскости сетку размером 10 x 10 дюймов. Раздвигайте сетку через каждый дюйм, чтобы они совпадали с отметками на осях X и Y. Затем пометьте оси на плоскости «X» и «Y» и пронумеруйте от 1 до 10 (снова считая по мере удаления от исходной точки. Эти цифры должны совпадать с цифрами на осях X и Y бальсовых деревянных осей.
7. Вы построили трехмерную систему координат с подвижной плоскостью XY. Чтобы найти точку, сначала найдите нужные координаты X и Y на плоскости XY (традиционный двухмерный график), а затем сдвиньте всю плоскость до указанной координаты Z.

Со студентами

1. Разделите класс на группы по три ученика в каждой. Дайте каждой группе набор из трех осей.
2. Раздайте рабочий лист, который поможет учащимся выполнить 3D-упражнение.

Словарь/Определения

ось: В математике линия, используемая в качестве ориентира для описания местоположения точки. Например, в декартовой системе координат ось представляет собой линию, отмеченную нулем в определенной точке. Затем местоположение объекта можно описать, измерив, насколько далеко (на линии) он находится от этого начала координат и в каком направлении. Во многих отношениях ось похожа на числовую прямую, которая бесконечно продолжается в обоих направлениях (положительном и отрицательном). Ось является одномерной.

Декартова система координат: прямоугольная система координат, разработанная знаменитым математиком Декартом. Он состоит из 2 или 3 осей (X, Y и Z), расположенных под прямым углом друг к другу и пересекающихся в заданном начале координат.

размерность: Мера особой степени. То, что мы видим вокруг себя, — это трехмерный мир, потому что предметы имеют три измерения: длину, ширину и высоту. Линия находится в одном измерении, площадь (например, прямоугольник, нарисованный на листе бумаги) — в двух измерениях, а прямоугольник (куб) — в трех измерениях.

график: визуальное представление математической функции или набора чисел. В предыдущем определении упорядоченной пары, если поверхность вашего стола представляет собой график, вы нанесли на график точку (2,3), то есть представили эти числа визуально (или графически).

упорядоченная пара: два числа, используемые для описания положения точки на плоскости относительно заданной опорной точки. Например, если вам сказали, что передний левый угол вашего стола является исходной точкой, и вы хотите найти точку, заданную упорядоченной парой (2, 3), и вы знаете, что используемая вами единица измерения — дюймы, вы начинаете с что передний левый угол вашего стола, сдвиньте на два дюйма вправо, а затем на 3 дюйма к задней части стола, и вы найдете эту точку.

origin : указанная опорная точка [(0,0,0) в большинстве систем координат]

плоскость: множество всех точек между двумя пересекающимися прямыми. Плоскость двухмерна, поэтому это плоская поверхность. Плоскую столешницу, например, можно представить как плоскость.

Оценка

Рабочий лист : Если учащиеся могут удовлетворительно заполнить Рабочий лист 3D-координат практически без помощи учителя или сверстников, то они демонстрируют хорошее понимание основ 3D-графики.

Вопросы безопасности

• Если учащиеся используют канцелярские ножи для резки картона или пенопластовой плиты, тщательно контролируйте их и следите за опасным использованием этих острых инструментов.
• Предупредите учащихся, что клеевые пистолеты и клей сильно нагреваются. Также будьте осторожны с другими клеями и соблюдайте инструкции по безопасности
.

Расширения деятельности

Предложите учащимся найти точки для описания фигур, которые сложнее коробки.

Попробуйте нарисовать 3D-оси на листе бумаги. Затем попробуйте нарисовать куб в 3D, расположив точки на осях

Измените плоскость с плоскости XY на плоскости XZ или YZ, сдвинув ее вниз по другой оси. Точки могут быть расположены таким же образом, и учащиеся узнают, что конкретные буквы и ориентация плоскостей произвольны.

Масштабирование активности

• Предложите менее продвинутым учащимся выполнить только двухмерную часть.
• Чтобы сэкономить время и деньги, создайте только один набор трехмерных осей и представьте упражнение в виде демонстрации класса вместо того, чтобы каждая группа имела свой собственный набор осей.

Авторские права

Авторы

Программа поддержки

Благодарности

Этот контент был разработан в рамках программы MUSIC (Понимание математики через науку, интегрированную с учебной программой) Инженерной школы Пратта Университета Дьюка в рамках гранта Национального научного фонда GK-12 №. DGE 0338262. Однако это содержание не обязательно отражает политику NSF, и вы не должны исходить из того, что оно одобрено федеральным правительством.

Последнее изменение: 15 февраля 2018 г.

Векторы в двух- и трехмерных декартовых координатах

Во введении к векторам мы обсуждали векторы без привязки к какой-либо системе координат. Работая только с геометрическим определением величины и направления векторов, мы смогли определить такие операции, как сложение, вычитание, и умножение на скаляры. Мы также обсудили свойства этих операций.

Часто система координат оказывается полезной, потому что проще управлять координатами вектора, чем непосредственно его величиной и направлением. Когда мы выражаем вектор в системе координат, мы идентифицируем вектор с помощью списка чисел, называемых координатами или компонентами, которые определяют геометрию вектора в терминах системы координат. Здесь мы обсудим стандартные декартовы системы координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Векторы на плоскости

Мы предполагаем, что вы знакомы со стандартной декартовой системой координат $(x,y)$ на плоскости. Каждая точка $\vc{p}$ на плоскости отождествляется со своими компонентами $x$ и $y$: $\vc{p} = (p_1,p_2)$.

Чтобы определить координаты вектора $\vc{a}$ на плоскости, первый шаг — перевести вектор так, чтобы его хвост находился в начале координат системы координат. Тогда голова вектора будет в некоторой точке $(a_1,a_2)$ на плоскости. Мы называем $(a_1,a_2)$ координатами или компонентами вектора $\vc{a}$. 2$, чтобы обозначить, что его можно описать двумя действительными координатами. 92} = 5$.

Приведенный ниже апплет, повторяющийся из введения вектора, позволяет исследовать взаимосвязь между компонентами вектора и его величиной.

Величина и направление вектора. Синяя стрелка обозначает вектор $\vc{a}$. Два определяющих свойства вектора, величина и направление, показаны красной полосой и зеленой стрелкой соответственно. Длина красной полосы — это величина $\|\vc{a}\|$ вектора $\vc{a}$. Зеленая стрелка всегда имеет длину единицу, но ее направление совпадает с направлением вектора $\vc{a}$. Единственным исключением является случай, когда $\vc{a}$ является нулевым вектором (единственным вектором с нулевой величиной), для которого направление не определено. Вы можете изменить любой конец $\vc{a}$, перетащив его мышью. Вы также можете переместить $\vc{a}$, перетащив середину вектора; однако изменение положения $\vc{a}$ таким образом не меняет вектор, так как его величина и направление остаются неизменными.

Дополнительная информация об апплете.

Векторные операции, которые мы определили во введении к векторам, легко выразить в терминах этих координат. Если $\vc{a}=(a_1,a_2)$ и $\vc{b}=(b_1,b_2)$, их сумма просто $\vc{a}+\vc{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$, как показано на рисунке ниже. Также легко видеть, что $\vc{b}-\vc{a} = (b_1-a_1,b_2-a_2)$ и $\lambda \vc{a} = (\lambda a_1, \lambda a_2)$ для любого скаляра $\lambda$.

Приведенный ниже апплет, также повторяющийся из введения вектора, позволяет вам исследовать взаимосвязь между геометрическим определением сложения векторов и суммированием компонентов вектора.

Сумма двух векторов. Сумма $\vc{a}+\vc{b}$ вектора $\vc{a}$ (синяя стрелка) и вектора $\vc{b}$ (красная стрелка) показана зеленой стрелкой . Поскольку векторы не зависят от их начального положения, обе синие стрелки представляют один и тот же вектор $\vc{a}$, а обе красные стрелки представляют один и тот же вектор $\vc{b}$. Сумму $\vc{a}+\vc{b}$ можно составить, поместив хвост вектора $\vc{b}$ в начало вектора $\vc{a}$. То же самое можно сделать, поместив хвост вектора $\vc{a}$ в начало вектора $\vc{b}$. Обе конструкции вместе образуют параллелограмм, сумма $\vc{a}+\vc{b}$ которого является диагональю. (По этой причине закон перестановки $\vc{a}+\vc{b}=\vc{b}+\vc{a}$ иногда называют законом параллелограмма.) Вы можете изменить $\vc{a} $ и $\vc{b}$, перетаскивая желтые точки.

Дополнительная информация об апплете.

Вы могли заметить, что мы используем одни и те же обозначения для обозначения точки и вектора. Мы не склонны подчеркивать какое-либо различие между точкой и вектором. Вы можете думать о точке как о представлении вектора, хвост которого зафиксирован в начале координат. Вам придется выяснить по контексту, думаем ли мы о векторе или нет. как с фиксированным хвостом в начале координат.

Другой способ обозначения векторов — стандартные единичные векторы обозначаются $\vc{i}$ и $\vc{j}$. Единичный вектор — это вектор, длина которого равна единице. Вектор $\vc{i}$ является единичным вектором в направлении положительной оси $x$. В координатах мы можем написать $\vc{i}=(1,0)$. Точно так же вектор $\vc{j}$ является единичным вектором в направлении положительной оси $y$: $\vc{j}=(0,1)$. Мы можем записать любой двумерный вектор в терминах этих единичных векторов как $\vc{a}=(a_1,a_2) = a_1\vc{i}+a_2\vc{j}$.

Векторы в трехмерном пространстве

В трехмерном пространстве существует стандартная декартова система координат $(x,y,z)$. Начиная с точки, которую мы называем началом координат, построим три взаимно перпендикулярные оси, которые мы называем осью $x$, осью $y$ и осью $z$. Вот один из способов изобразить эти оси. Встаньте в углу комнаты и посмотрите вниз, в точку, где стены соприкасаются с полом. Затем пол и стена слева от вас пересекаются по линии, являющейся положительной осью $x$. Пол и стена справа от вас пересекаются по линии, являющейся положительной осью $y$. Стены пересекаются по вертикальной линии, являющейся положительной осью $z$. Эти положительные оси изображены в приведенном ниже апплете и помечены как $x$, $y$ и $z$. Отрицательная часть каждой оси находится на противоположной стороне начала координат, где оси пересекаются.

Загрузка апплета

Трехмерные декартовы оси координат. Представление трех осей трехмерной декартовой системы координат. Положительная ось $x$, положительная ось $y$ и положительная ось $z$ — это стороны, помеченные $x$, $y$ и $z$. Начало — это пересечение всех осей. Ветвь каждой оси на противоположной стороне от начала координат (немаркированная сторона) является отрицательной частью. Вы можете перетащить фигуру с помощью мыши, чтобы повернуть ее.

Дополнительная информация об апплете.

Мы установили относительное расположение положительных осей $x$, $y$ и $z$ чтобы сделать систему координат правой системой координат . Обратите внимание, что если согнуть пальцы правой руки от положительной оси $x$ к положительной оси $y$, большой палец правой руки будет указывать в направлении положительной оси $z$.

Если вы поменяли местами положительную ось $x$ и положительную ось $y$, тогда у вас будет левосторонняя система координат. Если вы сделаете это, вы будете жить в математической вселенной, в которой некоторые формулы будут отличаться на знак минус от формулы во вселенной, которую мы здесь используем. Ваша вселенная будет такой же достоверной, как и наша, но будет много путаницы. Мы предлагаем вам жить в нашей вселенной, изучая эти страницы.

С помощью этих осей любой точке $\vc{p}$ в пространстве можно присвоить три координаты $\vc{p}=(p_1,p_2,p_3)$. Например, учитывая приведенную выше аналогию с углом комнаты, предположим, вы начинаете с угла комнаты и проходите четыре метра по оси $x$, затем поворачиваете налево и проходите три метра вглубь комнаты. Если ваш рост два метра, то ваша макушка находится в точке $(4,3,2)$. 93$ для обозначения того, что его можно описать тремя действительными координатами. Суммы, разности и скалярные умножения трехмерных векторов выполняются для каждого компонента. Если $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$ и $\vc{b}=(b_1,b_2,b_3)$, то $\vc{a}+\vc{b}=(a_1+ b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$, $\vc{b}-\vc{a}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)$ и $\lambda\vc{a}= (\лямбда а_1, \лямбда а_2, \лямбда а_3)$.

Загрузка апплета

Вектор в трехмерном пространстве. Представление вектора $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$ в трехмерной декартовой системе координат. Вектор $\vc{a}$ изображается в виде зеленой стрелки с хвостом, закрепленным в начале координат. Вы можете перетащить мышкой кончик зеленой стрелки, чтобы изменить вектор. Чтобы показать трехмерную перспективу, розовый треугольник соединяет вектор с его проекцией $(a_1,a_2,0)$ на $xy$-плоскость (серая стрелка). Фиолетовые векторы показывают проекции $\vc{a}$ на каждую ось и представляют координаты $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Вы также можете перетаскивать головки фиолетовых векторов, чтобы изменить только одну из координат вектора. Или перетащите вершину серого вектора в плоскости $xy$, чтобы изменить только координаты $x$ и $y$.

Дополнительная информация об апплете.

Как и в двух измерениях, мы также можем обозначать трехмерные векторы is в терминах стандартных единичных векторов $\vc{i}$, $\vc{j}$ и $\vc{k}$. Эти векторы являются единичными векторами в положительных направлениях $x$, $y$ и $z$ соответственно. В терминах координат мы можем записать их как $\vc{i}=(1,0,0)$, $\vc{j}=(0,1,0)$ и $\vc{k}= (0,0,1)$. Мы можем выразить любой трехмерный вектор как сумму скалярных кратных этих единичных векторов в форме $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3) = a_1\vc{i}+a_2\vc{j}+a_3\vc{k}$.

Загрузка апплета

Стандартные единичные векторы в трех измерениях. Стандартные единичные векторы в трех измерениях, $\vc{i}$ (зеленый), $\vc{j}$ (синий) и $\vc{k}$ (красный), представляют собой векторы длины один, которые указывают параллельно ось $x$, ось $y$ и ось $z$ соответственно. Перемещение их с помощью мыши не меняет вектора, поскольку они всегда указывают в положительном направлении соответствующей оси.

Дополнительная информация об апплете.

Какова длина вектора $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$? Мы можем разложить вектор на $(a_1,a_2,a_3) = (a_1,a_2,0)+(0,0,a_3)$, где два вектора справа соответствуют двум зеленым сегментам линии в вышеуказанном апплете. Эти два отрезка образуют прямоугольный треугольник, гипотенуза — это вектор $\vc{a}$ (синий отрезок).