N2 1 n 1: Mathway | Популярные задачи

2}4. $$

Заметно сложнее угадать формулу для суммы четвертых степеней. В отличие от предыдущих случаев, у $S_4(n)$ практически не видно общих делителей с $S_1(n)$ (кроме двойки). Зато можно заметить, что 14 и 98 делятся на 7, 55 и 979 на 11… Посмотрим на отношение $S_4/S_2$.

$n$	1	2	3	4	5	6
$S_2$	1	5	14	30	55	91
$S_4$	1	17	98	354	979	2275
$S_4/S_2$	1	17/5	7	59/5	89/5	25

Видно, что после домножения этого отношения на 5 получится последовательность целых чисел: 5, 17, 35, 59, 89, 125… Тут уже нельзя сказать, что разность соседних чисел неизменна… Все же посмотрим на эти разности: 12, 18, 24, 30… — закономерность сразу видна!

Таким образом, гипотеза состоит в том, что $$ S_4(n)/S_2(n)= \frac{5+6\cdot2+6\cdot3+\ldots+6n}5= \frac{6\frac{n(n+1)}2-1}5= \frac{3n^2+3n-1}5, $$ и соответственно $$ S_4(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}. 2}6$ (т. е. значений знаменитой дзета-функции), и в комбинаторике, и в теории чисел, и в топологии…

Содержание

Литература

Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения (М.: Наука, 1975)
https://mathedu.ru/text/poya_matematika_i_pravdopodobnye_rassuzhdeniya_1975
Мало где можно прочитать не о конкретной области математики, а о том, как вообще решать новую для себя математическую задачу. Подсказки и решение выше по существу следуют главе 7 этой замечательной книги.
Интервью с академиком И. М. Гельфандом // Квант, 1989, № 1, 3–12
http://kvant.mccme.ru/1989/01/akademik_izrail_moiseevich_gel.htm
В решении выше сделана попытка объяснить, как некоторые формулы для сумм степеней мог бы искать любой человек. Интересующимся математикой может быть интересно прочитать, как такую задачу решал в школьные годы один из выдающихся математиков 20 века (собственно про это — небольшой фразмент на стр. 8–9, но все интервью интересное).
В. наверх
Формула
— Что является доказательством (N–1) + (N–2) + (N–3) + … + 1= N*(N–1)/2

спросил 13 лет, 1 месяц назад
Изменено 5 лет, 11 месяцев назад
Просмотрено 142к раз
Я взял эту формулу из книги по структуре данных по алгоритму пузырьковой сортировки.
Я знаю, что нас (n-1)*(n раз), но почему деление на 2?
Может ли кто-нибудь объяснить мне это или предоставить подробное доказательство.
Спасибо
- формула
- пруф
14
(N-1) + (N-2) +...+ 2 + 1 — сумма N-1 позиций. Теперь переупорядочите элементы так, чтобы после первого шел последний, затем второй, затем предпоследний, то есть
(N-1) + 1 + (N-2) + 2 +. . . Теперь вы видите, как упорядочены элементы, что каждая из этих пар равна N (N-1+1 равно N, N-2+2 равно N). Поскольку элементов N-1, таких пар (N-1)/2. Итак, вы добавляете N (N-1)/2 раза, так что общее значение равно 9.0027 Н*(Н-1)/2 .
Начните с треугольника…
```
 *
   **
  ***
 ****
 
```
пока представляет 1+2+3+4. Разрежьте треугольник пополам по одному измерению…
```
 *
    **
  * **
 ** **
 
```
Поверните меньшую часть на 180 градусов и приклейте ее поверх большей части…
```
 **
    *
     *
    **
    **
    **
 
```
Закройте зазор, чтобы получился прямоугольник.
На первый взгляд, это работает, только если основание прямоугольника имеет четную длину — но если оно имеет нечетную длину, вы просто разрезаете средний столбец пополам — он по-прежнему работает с шириной в полединицы в два раза больше. длинная (все еще целая площадь) полоса на одной стороне вашего прямоугольника.

Каким бы ни было основание треугольника, ширина вашего прямоугольника равна (основание + 1) , а высота равна (основание + 1) , что дает ((основание + 1) * основание) / 2 .
Однако моя база — это ваша n-1 , поскольку пузырьковая сортировка сравнивает пару элементов за раз и, следовательно, выполняет итерацию только (n-1) позиций для первого цикла.
0
Попробуйте составить пары чисел из набора. первый + последний; второй + позапрошлый. Это означает n-1 + 1; n-2 + 2. Результат всегда n. А поскольку вы складываете два числа вместе, из (n-1) чисел можно составить только (n-1)/2 пары.
Получается как (N-1)/2 * N.

См. треугольные числа.
1
Я знаю, что нас (n-1)*(n раз), но почему деление на 2?
Это всего лишь (n - 1) * n , если вы используете простую пузырьковую сортировку. Вы можете получить значительную экономию, если заметите следующее:
- После каждого сравнения и замены самый большой элемент, с которым вы столкнулись, будет в последнем месте, в котором вы были.
- После первого прохода самый большой элемент будет в последней позиции; после прохода k ^th самый большой элемент k ^th будет в последней позиции k ^th.
Таким образом, вам не нужно каждый раз сортировать все целиком: вам нужно отсортировать только n — 2 элемента во второй раз, n — 3 элемента в третий раз и так далее. Это означает, что общее количество сравнений/перестановок, которые вам нужно сделать, равно
(n - 1) + (n - 2) + ... . Это арифметический ряд , и уравнение для общего количества раз равно (n — 1)*n / 2.
Пример: если размер списка N = 5, то вы делаете 4 + 3 + 2 + 1 = 10 свопов — и обратите внимание, что 10 равно 4 * 5 / 2.
5
Сумма арифметической прогрессии
(A1+AN)/2*N = (1 + (N-1))/2*(N-1) = N*(N-1)/2
Это довольно распространенное доказательство. Один из способов доказать это — использовать математическую индукцию. Вот ссылка: http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.mathinduction.html 92 +2k — k)/2 = k+(k-1) k/2 = k f(k)
Таким образом, это должно выполняться для каждого k, и на этом доказательство завершается.

Вот доказательство по индукции, учитывая термины N , но то же самое для N - 1 :
Для N = 0 формула, очевидно, верна.
Предположим, что 1 + 2 + 3 + ... + N = N(N + 1)/2 верно для некоторого натурального N .
Докажем 1 + 2 + 3 + ... + N + (N + 1) = (N + 1)(N + 2) / 2 также верно, если использовать наше предыдущее предположение:
1 + 2 + 3 + ... + N + (N + 1) = (N(N + 1) / 2) + (N + 1) = (N + 1)((N / 2) + 1) = (N + 1)(N + 2)/2 .
Итак, формула верна для всех N .
1
Сумма первых n членов ряда
Горячая математика
Сумма членов последовательности называется ряд .

Если последовательность является арифметика или геометрический есть формулы для нахождения суммы первых н термины, обозначаемые С н , фактически не добавляя все термины.
(Обратите внимание, что последовательность не может быть ни арифметической, ни геометрической, и в этом случае вам нужно будет добавлять с помощью грубой силы или какой-либо другой стратегии.)
Сумма членов арифметической последовательности (арифметического ряда)
Чтобы найти сумму первых н члены арифметической прогрессии используют формулу,
С н «=» н ( а 1 + а 2 ) 2 ,
где н это количество терминов, а 1 является первым термином и а н это последний срок.

Пример 1:
Найдите сумму первых 20 члены арифметического ряда, если а 1 «=» 5 и а 20 «=» 62 .
С 20 «=» 20 ( 5 + 62 ) 2 С 20 «=» 670
Пример 2:
Найдите сумму первых 40 члены арифметической прогрессии
2 , 5 , 8 , 11 , 14 , ⋯
Сначала найдите 40 ^й срок:
а 40 «=» а 1 + ( н − 1 ) д «=» 2 + 39( 3 ) «=» 119
Затем найдите сумму:
С н «=» н ( а 1 + а н ) 2 С 40 «=» 40 ( 2 + 119) 2 «=» 2420

Пример 3:
Найдите сумму:
∑ к «=» 1 50 ( 3 к + 2 )
Первая находка а 1 и а 50 :
а 1 «=» 3 ( 1 ) + 2 «=» 5 а 20 «=» 3 ( 50 ) + 2 «=» 152

Затем найдите сумму:
С к «=» к ( а 1 + а к ) 2 С 50 «=» 50 ( 5 + 152 ) 2 «=» 3925
Сумма членов геометрического ряда (геометрического ряда)
Чтобы найти сумму первых н члены геометрической последовательности используют формулу,
С н «=» а 1 ( 1 − р н ) 1 − р , р ≠ 1 ,
где н это количество терминов, а 1 является первым термином и р это обыкновенное отношение .
Пример 4:
Найдите сумму первых 8 членов геометрического ряда, если а 1 «=» 1 и р «=» 2 .
С 8 «=» 1 ( 1 − 2 8 ) 1 − 2 «=» 255
Пример 5:
Находить С 10 геометрического ряда 24 + 12 + 6 + ⋯ .
Сначала найдите р .
р «=» р 2 р 1 «=» 12 24 «=» 1 2
Теперь найдите сумму:
С 10 «=» 24 ( 1 − ( 1 2 ) 10 ) 1 − 1 2 «=» 306964
Пример 6:
Оценивать.