Модифицированные функции бесселя: Недопустимое название — Department of Theoretical and Applied Mechanics

Электростатика и электродинамика

Смайт В. Электростатика и электродинамика. Изд-во иностранной литературы, М., 1954 г. Книга «Электростатика и электродинамика» содержит изложение основ классической макроскопической теории электромагнитного поля. В отличие от большинства подобных курсов в книге наряду с последовательным освещением общетеоретических вопросов значительное место отводится изложению основных методов решения электродинамических задач, а также приводится вспомогательные математические сведения, необходимые для овладения этими методами. С этой точки зрения книга Смайта занимает промежуточное положение между учебником, где задачи, как правило, приводятся лишь для иллюстрации отдельных теоретических положений, и сборником задач, в котором если и сообщаются некоторые результаты теории, то только в весьма конспективной форме. Систематическое изложение теоретического материала и, что особенно существенно, большое количество задач, рассмотренных непосредственно в тексте, а также задач, помещенных вместе с ответами в конце каждой из глав, составляют несомненное достоинство книги и делают ее не только ценным пособием для студентов и аспирантов, изучающих теорию электромагнитного поля, но и полезным справочником для специалистов, работающих в смежных областях. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ ОБОЗНАЧЕНИЯ Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ § 4. Электростатическая индукция. § 5. Элементарные электрические заряды. § 6. Напряженность электрического поля. § 7. Электростатический потенциал. § 8а. Электрические диполи и мультиполи. § 9. Силовые линии. § 10. Эквипотенциальные поверхности. § 11а. Теорема Гаусса о потоке электрической индукции. § 11б. Силовые линии системы коллинеарных зарядов. § 11в. Силовые линии на бесконечности. § 12. Максимумы и минимумы потенциала. Теорема Ирншоу. § 13. Потенциал двойного электрического слоя. § 14. Вектор электрической индукции и силовые трубки. § 15. Натяжения в электрическом поле. § 16. Теорема Гаусса о потоке электрической индукции для неоднородных сред. § 17. Граничные условия и натяжения на поверхности проводников. § 18. Граничные условия и натяжения на поверхности диэлектрика. § 19. Электрическая индукция и напряженность поля в твердых диэлектриках. § 20. Кристаллические диэлектрики. Глава II. КОНДЕНСАТОРЫ, ДИЭЛЕКТРИКИ, СИСТЕМЫ ПРОВОДНИКОВ § 2. Емкость. § 3. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов. § 4. Сферический конденсатор. § 5. Цилиндрический конденсатор. § 6. Плоский конденсатор. § 7. Защитные кольца. § 8. Энергия заряженного конденсатора. § 9а. Энергия электрического поля. § 9б. Плоский конденсатор с кристаллическим диэлектриком. § 10. Натяжения в случае зависимости диэлектрической проницаемости от плотности среды. § 11. Электрострикция в жидких диэлектриках. § 12. Силы, действующие на проводник в диэлектрике. § 13. Теорема взаимности Грина. § 14. Суперпозиция полей. § 15. Индуцированные заряды на заземленных проводниках. § 16. Потенциальные коэффициенты. § 17. Собственная и взаимная емкости. § 18. Электростатическая экранировка. § 19. Потенциальные и емкостные коэффициенты в случае двух отдаленных проводников. § 20. Энергия системы зарядов. § 21. Силы и моменты сил, действующие на заряженные проводники. Глава III. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ § 1. Теорема Остроградского-Гаусса. § 2. Теорема Стокса. § 3. Уравнения Пуассона и Лапласа. § 4. Ортогональные криволинейные координаты. § 5. Представление ротора в ортогональных криволинейных координатах. § 6. Представление оператора … в различных системах координат. § 7. Теорема Грина. § 8. Теорема взаимности Грина для диэлектрических сред. § 9. Функция Грина. § 10. Решение уравнения Пуассона. § 11. Теорема единственности при наличии диэлектрических сред. § 12. Внесение нового проводника. § 13. Эквивалентный слой Грина. § 14. Энергия диэлектрического тела в электрическом поле. § 15. Изменение электрической энергии системы при увеличении диэлектрической проницаемости. § 16. Потенциал аксиально-симметричного поля. Глава IV. ДВУХМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА § 1. Двухмерные поля и потенциалы. § 2. Круговые гармоники. § 3. Представление потенциала поля линейного заряда в виде ряда по гармоникам. § 4. Проводящий или диэлектрический цилиндр в однородном поле. § 5. Диэлектрический цилиндр. § 6. Изображение в проводящем цилиндре. § 7. Изображение в плоской поверхности проводника или диэлектрика. § 8. Задача о диэлектрическом клине. § 9. Комплексные величины. § 10. Сопряженные функции. § 11. Функции потока. § 12. Напряженность электрического поля. § 13. Функции U и V для поля линейного заряда. § 14. Емкость между двумя круглыми цилиндрами. § 15. Емкость между цилиндром и плоскостью. § 16. Конформные преобразования. § 17. Уравнение границы в параметрической форме. § 18. Нахождение сопряженных функций. § 19. Преобразование Шварца. § 20. Многоугольники с одним положительным углом. § 21. Многоугольник с углом, равным нулю. § 22а. Многоугольники с одним отрицательным углом. Двухмерный диполь. Инверсия. § 22б. Изображения при двухмерной инверсии. § 23. Многоугольник с двумя углами. § 24. Щель, прорезанная в бесконечной плоскости. § 25. Римановы поверхности. § 26. Задача о круглом цилиндре, расположенном внутри эллиптического. § 27а. Условия на границе раздела двух диэлектриков. § 27б. Эллиптический диэлектрический цилиндр. § 27в. Момент, действующий на диэлектрический цилиндр. § 28. Многоугольник с закругленным углом. § 29. Плоская решетка из цилиндрических проводов большого диаметра. § 30. Случай углов, нецелократных pi/2. Глава V. ТРЕХМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА § 1. При каких условиях поверхности некоторого семейства могут быть эквипотенциальными? § 2. Потенциал поверхностей второго порядка, определяемых уравнением … § 3. Заряженный проводящий эллипсоид. § 4. Эллиптический и круглый диски. § 5. Метод изображений. Проводящие плоскости. § 6. Плоская граница двух диэлектриков. § 7. Изображение в сферическом проводнике. § 8. Пример применения метода изображений для нахождения поля точечного заряда. § 9а. Бесконечная система изображений. Задача о двух сферах. § 9б. Уравнения в конечных разностях. Задача о двух сферах. § 9в. Сфера над плоскостью и две одинаковые сферы. § 10. Инверсия в пространстве трех измерений. Геометрические свойства. § 11а. Инверсия потенциала и зарядов-изображений. § 11б. Пример инверсии изображений. § 11в. Инверсия заряженной проводящей поверхности. § 11г. Преобразование емкости при инверсии. § 12а. Пространствешпле гармоники. § 12б. Задача о клипе, ортогонально пересекающемся с поверхностью вращения. § 13. Сферические гармоники. § 14a. Общие свойства поверхностных гармоник. § 14б. Потенциал гармонического распределения заряда. § 15. Дифференциальные уравнения поверхностных гармоник. § 16а. Зональные гармоники. Уравнение Лежандра. § 16в. Полиномы Лежандра. Формула Родрига. § 16г. Коэффициенты Лежандра. Обратное расстояние. § 16д. Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра. § 16е. Интеграл от произведения полиномов Лежандра. § 16ж. Разложение функций по полиномам Лежандра. § 16з. Таблица полиномов Лежандра. § 16и. Полиномы Лежандра мнимого аргумента. § 17. Потенциал заряженного кольца. § 18. Заряженное кольцо в проводящей сфере. § 19. Сферическая диэлектрическая оболочка в однородном поле. § 20. Сферический конденсатор с малым расстоянием между центрами внутренней и внешней обкладок. § 21. Задачи с простой конической границей. § 22а. Зональные гармоники второго рода. § 22б. Рекуррентные формулы для функций Лежандра второго рода. § 22в. Выражение функций Лежандра второго рода через полиномы Лежандра. § 22г. Некоторые значения функций Лежандра второго рода. § 22д. Функции Лежандра второго рода мнимого аргумента. § 22е. Применение функций Лежандра второго рода в теории потенциала. § 23. Зональные гармоники нецелого порядка. § 24а. Присоединенные функции Лежандра. § 24б. Интегралы от произведений присоединенных функции. § 24в. Присоединенные функции от мнимого аргумента. § 24г. Рекуррентные формулы для присоединенных функций Лежандра. § 24д. Некоторые значения присоединенных функций Лежандра. § 24е. Равновесные (нейтральные) точки и линии. § 25. Биаксиальные гармоники. § 26. Конические границы. § 27а. Присоединенные функции Лежандра нецелого порядка. § 27б. Функция Грина для конуса. § 27в. Функция Грина для конической полости. § 28а. «Сплюснутые» сфероидальные координаты. § 28б. Гармоники сплюснутого сфероида. § 28в. Проводящий лист с круглым отверстием. § 28г. Момент, действующий на диск в однородном ноле. § 28д. Потенциал заряда, распределенного по поверхности сфероида. § 28е. Представление потенциала точечного заряда через гармоники сплюснутого сфероида. § 29а. Гармоники вытянутого сфероида. § 29б. Вытянутый сфероид в однородном поле. § 30а. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. § 30б. Уравнение Бесселя и функции Бесселя. § 30в. Модифицированное уравнение Бесселя и модифицированные функции Бесселя. § 30г. Решение уравнения Бесселя. § 30д. Рекуррентные формулы для функций Бесселя § 30е. Значения функций Бесееля на бесконечности. § 30ж. Интегралы от бесселевых функций. § 30з. Разложение в ряд по функциям Бесселя. § 30и. Функция Грина для цилиндра. Обратное расстояние. § 30к. Функция Грина для цилиндрической полости. § 31а. Функции Бесселя нулевого порядка. § 31б. Корни и численные значения бесселевых функций нулевого порядка. § 31в. Производные и интегралы от бесселевых функций нулевого порядка. § 31г. Поле точечного заряда, расположенного над диэлектрической пластинкой. § 31д. Потенциал внутри полого цилиндрического кольца. § 32. Функция Бесселя нецелого порядка. Сферические функции Бесселя. § 33а. Модифицированные бесселевы функции. § 33б. Рекуррентные формулы для модифицированных бесселевых функций. § 33в. Значение модифицированных бесселевых функций на бесконечности. § 33г. Интеграл от произведения модифицированных бесселевых функций комплексного аргумента. § 33д. Функция Грина для кольцевой цилиндрической полости. § 34а. Модифицированные бесселевы функции нулевого порядка. § 34б. Интегральное представление модифицированных бесселевых функций второго рода. § 35. Интегральное представление бесселевых функций пулевого порядка. § 36а. Представление обратного расстояния через модифицированные бесселевы функции. § 36б. Цилиндрические границы раздела двух диэлектрических сред. § 37. Потенциал внутри кольцевой цилиндрической полости. § 38. Модифицированные бесселевы функции нецелого порядка. § 39. Приближеиные решения. Электростатические линзы. § 40. Функции клина. Глава VI. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК § 1. Плотность электрического тока. Уравнение непрерывности. § 2. Электродвижущая сила. § 3. Закон Ома. Удельное сопротивление. § 4. Тепловое действие электрического тока. § 5. Линейные проводники. Законы Кирхгофа. Последовательные и параллельные соединения проводников. § 6. Расчет электрических цепей. Контурные токи. Мост Уитстона. § 7. Цепи из одинаковых звеньев. § 8. Линия с непрерывно распределенной утечкой. § 9. Общая теория цепей. § 10. Сопряженные проводники. Двойной мост Кельвина. § 11. Постоянные токи в проводящих средах. § 12. Общие теоремы. § 13. Двухмерный ток. § 14. Длинная лента со скачкообразно меняющейся шириной. § 15. Трехмерное распределение тока. § 16. Системы электродов. Две сферы. Удаленные электроды. § 17. Задача о проводящем шаре. § 18. Задача о сплошном проводящем цилиндре. § 19. Сопротивление земли. § 20. Токи в тонких изогнутых пленках. § 21. Распределение тока в сферической пленке. § 22. Поверхность вращения. § 23. Предельные значения сопротивления. § 24. Токи в анизотропных средах. Слои в земной коре. § 25. Ток, обусловленный движением пространственного заряда. Уравнение Чайльда. Глава VII. МАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОВ § 1. Определение единицы силы тока (ампера) через величину магнитного момента. § 2. Магнитная индукция и магнитная проницаемость. § 3. Магнитный вектор-потенциал. Однородное поле. § 4. Теоремы единственности в магнитостатике. § 5. Разложение вектор-потенциала но ортогональным функциям. § 6. Вектор-потенциал в цилиндрических координатах. § 7. Вектор-потенциал в сферических координатах. § 8. Выражение для вектор-потенциала через значение магнитной индукции на оси. § 9. Уравнение аксиально симметричных трубок магнитной индукции. § 10. Вектор-потенциал и поле двухпроводной линии. § 11. Вектор-потенциал и поле круглой петли. § 12. Поле токов, текущих по сферической пленке. § 13. Зональные токи в сферической пленке. § 14. Представление поля круглой петли через сферические, гармоники. § 15. Закон Био и Савара. Поле прямолинейного провода. § 16. Поле соленоида с произвольным шагом намотки. § 17. Поле в цилиндрической полости внутри проводящего круглого стержня. § 18. Поле токов, текущих вдоль цилиндрической проводящей пленки. § 19. Сила, действующая на электрический контур в магнитном ноле. § 20. Примеры на вычисление сил взаимодействия между электрическими контурами. § 21. Вектор-потенциал и вектор намагниченности. § 22. Граничные условия для магнитных полей и для вектор-потенциалов. § 23. Пример использования векторов a и A. § 24. Метод изображений для токов в случае плоской границы. § 25. Магнитная индукция и магнитная проницаемость в кристаллах. § 26. Двухмерные магнитные поля. § 27. Магнитное экранирование двухпроводной линии. § 28. Метод изображений для токов в двухмерных системах. § 29. Магнитодвижущая сила и напряженность магнитного поля. § 30. Магнитный контур. Тор. § 31. Магнитный контур с воздушным зазором. § 32. Поле в трансформаторе броневого типа. § 33. Полюс с расщепленным наконечником. Эффективный воздушный зазор. Глава VIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ § 1. Закон индукции Фарадея. § 2. Взаимная энергия двух контуров. § 3. Энергия магнитного поля. § 4. Коэффициент взаимной индукции. § 5. Граничные условия для a. § 6. Коэффициент взаимной индукции простейших контуров. § 7. Коэффициент взаимной индукции двух колец. § 8. Переменная взаимная индукция. § 9. Самоиндукция. § 10. Вычисление самоиндукции. Тонкий провод. § 11. Самоиндукция круглой петли. § 12. Самоиндукция соленоида. § 13. Самоиндукция двухпроводной линии. § 14. Энергия n контуров. § 15. Натяжения в магнитном поле. § 16. Энергия магнетика в статическом магнитном поле. Глава IX. ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ § 1. Неустановившиеся электрические процессы. § 2. Энергетические соотношевия в электрической цепи. § 3. Контур, состоящий из емкости, индуктивности и сопротивления. § 4. Зарядка и разряд конденсатора. § 5а. Нарастание и спадание тока в катушке индуктивности. § 5б. Индуктивно связанные контуры. § 6. Кинетическая энергия и электрокинетический импульс. § 7. Общий вид уравнений переходных процессов в цепях. § 8. Решение для цепей общего вида. § 9. Типы собственных колебаний. § 10. Цепь, содержащая постоянную э.д.с. § 11. Собственные частоты двух индуктивно связанных контуров. § 12. Амплитуды колебаний в двух связанных контурах. § 13. Колебательный режим. § 14. Индуктивно связанные контуры, обладающие малым активным сопротивлением. § 15. Настроенные индуктивно связанные контуры, обладающие малым активным сопротивлением. § 16. Цепи из одинаковых звеньев. § 17. Интегральный эффект переходного процесса. § 18. Переходные явления при импульсах конечной продолжительности. Глава X. ПЕРЕМЕННЫЕ ТОКИ § 1. Гармонические электродвижущие силы. Частное решение. § 2. Контур, содержащий сопротивление, емкость и индуктивность. § 3. Мощность, эффективные значения, резонанс. § 4. Графическое представление. Векторная диаграмма. § 5. Последовательное и параллельное соединение импедансов. § 6. Передача мощности. § 7. Мостик импедансов. § 8. Цепь переменного тока в общем случае. § 9. Сопряженные ветви в электрической цепи. Мостик Андерсона. § 10. Вынужденные колебания в индуктивно связанных контурах. § 11. Индуктивно связанные контуры, обладающие малым активным сопротивлением. § 12. Настроенные индуктивно связанные контуры, обладающие малым активным сопротивлением. § 13. Фильтры. § 14. Условия на концах в частотных фильтрах. § 15. Частотные характеристики фильтров. § 16. Полосовой фильтр. § 17. Производные звенья типа M. § 18. Выходное устройство фильтра. § 19. Линии передачи. § 20. Электродвижущие силы несинусоидальной формы. Метод рядов Фурье. § 21. Электродвижущие силы несинусоидальной формы. Метод повторяющегося переходного режима. § 22. Контур с отрицательным активным сопротивлением. Глава XI. ВИХРЕВЫЕ ТОКИ § 1. Индуцированные токи в объемных проводниках. § 2. Решение уравнения для вектор-потенциала вихревых токов. § 3. Скин-эффект в стационарном случае. § 4. Скин-эффект в случае полого цилиндрического проводника. § 5. Скин-эффект в сплошном цилиндрическом проводнике. § 6. Решение в сферических координатах при аксиальной симметрии. § 7. Проводящий шар в переменном поле. § 8. Мощность, поглощаемая шаром в переменном магнитном поле. § 9. Переходные явления в проводящем шаре. § 10. Вихревые токи в плоских пластинках. § 11. Решение задачи о вихревых токах в плоской бесконечной пластинке методом изображений. § 12. Момент, действующий на вращающуюся петлю с током или магнитный диполь. § 13. Вихревые токи, возбуждаемые вращающимся диполем. § 14. Экранирование круглой петли посредством тонкой проводящей пластинки. § 15. Зональные вихревые токи в сферической пленке. § 16. Вихревые токи в тонкой цилиндрической пленке. § 17. Переходные явления при экранировании с помощью толстой цилиндрической оболочки. Глава XII. МАГНЕТИЗМ § 1. Парамагнетизм и диамагнетизм. § 2. Магнитная восприимчивость. § 3. Магнитные свойства кристаллов. § 4. Кристаллический шар в однородном магнитном поле. § 5. Ферромагнетизм. § 6. Гистерезис. Постоянный магнетизм. § 7. Природа постоянного магнетизма. § 8. Равномерное намагничивание. Эквивалентный поверхностный ток. § 9. Намагниченный шар и цилиндр. Магнитные полюсы. § 10. Условия на границе с постоянным магнитом. § 11. Сферический постоянный магнит в однородном поле. § 12а. Подъемная сила подковообразного магнита. § 12б. Поле цилиндрического магнита. § 13. Магнитные иглы. Глава XIII. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ § 2. Волновое уравнение. Электромагнитные потенциалы. Вектор Герца. § 3. Вектор Умова-Пойнтинга. § 4. Плоские волны в однородном незаряженном диэлектрике. § 5. Скорость распространения волны в анизотропных средах. § 6. Поверхность, образованная, лучом, и поляризация в анизотропных средах. § 7. Энергия, давление и импульс плоской волны. § 8. Отражение и преломление плоских волн. § 9. Интенсивности отраженной и преломленной волн. § 10. Частота. Длина волны. Эллиптическая поляризация. § 11. Полное отражение. § 12. Электромагнитные волны в однородных проводниках. § 13. Плоские волны в однородных изотропных проводниках. § 14. Отражение от проводящей поверхности. § 15. Плоские волны вдоль идеально проводящих цилиндрических проводников. § 16. Характеристический импеданс среды § 17. Отражения от иеоднородностей. Согласующие секции. § 18. Комплексный вектор Умова-Пойнтинга. § 19. Квазиплоские волны вдоль неидеальных проводников. Двухпроводная линия Лехера. § 20. Групповая скорость. Глава XIV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН § 2. Два типа вектор-потенциалов. § 3. Сферические электромагнитные волны. Диполь. § 4. Запаздывающие потенциалы. § 5. Излучение линейной антенны. § 6. Поля на больших расстояниях от линейной антенны. § 7. Излучение бегущей волны. § 8. Коническая линия передачи. § 9. Биконическая антенна. § 10. Сложные антенны. § 11. Влияние земли. § 12. Единственность решения. § 13. Решения волнового уравнения в сферических координатах. § 14. Разложение плоской волны по полиномам Лежандра. § 15. Излучение кольцевого тока. Магнитный диполь. § 16. Свободные колебания проводящей сферы. § 17. Вынужденные колебания диэлектрического или проводящего шара. § 18. Решения волнового уравнения в цилиндрических координатах. § 19. Разложение плоской волны по цилиндрическим гармоникам § 20. Излучение из отверстий в плоском проводящем экране. § 21. Диффракция на прямоугольном отверстии в проводящем плоском экране. § 22. Ортогональные функции в задаче о диффракции. Излучение открытого конца коаксиальной линии. Глава XV. ВОЛНОВОДЫ И ПОЛЫЕ РЕЗОНАТОРЫ § 1. Волны в полых цилиндрических трубах. § 2. Учет затухания в волноводах. § 3. Прямоугольный волновод. § 4. Круглый волновод. § 5. Коаксиальный волновод. § 6. Плоские неоднородности в коаксиальной линии. § 7. Возбуждение волноводов. § 8. Возбуждение круглого волновода элементом тока. § 9. Возбуждение круглого волновода петлей с током. § 10. Возбуждение круглого волновода через отверстие. § 11. Плоские неоднородности в прямоугольных волноводах. § 12. Полые резонаторы. Собственные колебания. § 13. Типы независимых собственных колебаний полости. § 14. Емкость и индуктивность цилиндрической полости. § 15. Затухание собственных колебаний. Активное сопротивление полости. § 16. Собственные колебания цилиндрической полости. § 17. Свойства прямоугольного резонатора. § 18. Свойства резонатора, имеющего форму круглого цилиндра. § 19. Многосвязные цилиндрические полые резонаторы. § 20. Отрезок коаксиального кабеля как резонатор. § 21. Собственные колебания сферической полости. § 22. Собственные колебания реальных полых резонаторов. § 23. Полые резонаторы сложной формы. § 24. Возбуждение полого резонатора петлей с током. § 25. Возбуждение круглого цилиндрического резонатора петлей с током. § 26. Возбуждение полого резонатора при помощи электрода. § 27. Возбуждение полого резонатора через отверстие. Глава XVI. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ § 1. Постулаты специальной теории относительности. § 2. Преобразование Лоренца. § 3. Преобразование скорости и ускорения. § 4. Зависимость массы от скорости. § 5. Преобразование сил. § 6. Сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле. § 7. Движение зарядов в однородном магнитном поле. § 8. Энергия движущейся заряженной частицы. § 9. Критическое магнитное поле в магнетроне. § 10. Траектория космической частицы в однородном поле. § 11. Магнитное поле движущегося заряда. § 12. Запаздывающие поля и потенциалы движущегося заряда. § 13. Излучение равномерно ускоренного, прямолинейно движущегося электрона. § 14. Преобразование уравнений Максвелла. § 15. Определение скорости самолета относительно земли. § 16. Движение заряженной частицы в перекрещивающихся электрическом и магнитном полях. § 17. Аберрация и эффект Допплера. ПРИЛОЖЕНИЕ. СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЕДИНИЦ

О некоторых интегральных свойствах модифицированных функций Бесселя

Для цитирования:

Раппопорт Ю. М. О некоторых интегральных свойствах модифицированных функций Бесселя // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 2. С. 167-170. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-2-167-171

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0).

Опубликована онлайн: 

11.06.2015

Полный текст:

(downloads: 106)

Язык публикации: 

русский

Рубрика: 

Математика

УДК: 

517.584

DOI: 

10.18500/1816-9791-2015-15-2-167-171

Авторы: 

Раппопорт Юрий Моисеевич, Институт автоматизации проектирования РАН, г. Москва, Россия

Аннотация: 

Представлены новые интегральные тождества для модифицированных функций Бесселя произвольного комплексного порядка. Изучены свойства интегральных преобразований Лебедева – Скальской.

Ключевые слова: 

модифицированные функции Бесселя комплексного порядка

интегральные преобразования Конторовича – Лебедева

интегральные преобразования Лебедева – Скальской

Список источников: 

1. Saitoh S. Integral Transforms, Reproducing Kernels and their Applications. Pitman Res. Notes in Math. Series. Vol. 369. L. : Addison Wesley Longman Ltd., 1997. 280 p.
2. Kilbas A. A., Saigo M. H-Transform. Theory and Applications. L.; N.Y.; Washington D.C. : Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, 2004. 386 p.
3. Лебедев Н. Н., Скальская И. П. Некоторые интегральные преобразования, родственные преобразованию Конторовича –Лебедева // Вопросы матем. физики. Л. : Наука. Ленингр. отд-ние, 1976. С. 68–79.
4. Лебедев Н. Н., Скальская И. П. Парные интегральные уравнения, связанные с преобразованием Конторовича –Лебедева // Прикл. матем. и мех. 1974. Т. 38, № 6. С. 1090–1097.
5. Yakubovich S. B. Index Transforms. Singapore; New Jersey; L.; Hongkong : World Scientific Publishing, 1996. 248 p.
6. Поручиков В. Б., Раппопорт Ю. М. Формулы обращения для модифицированных преобразований Конторовича –Лебедева // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, № 3. С. 542–546.
7. Раппопорт Ю. М. Некоторые свойства модифицированных преобразований Конторовича – Лебедева // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 4. С. 724–727.
8. Rappoport J. M. Some results for modified Kontorovitch – Lebedev integral transforms // Proceedings of the 7th International Colloquium on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis. Marcel Dekker Inc., 2000. P. 473–477.
9. Rappoport J. M. The properties, inequalities and numerical approximation of modified Bessel function // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 2006. Vol. 25. P. 454–466.
10. Rappoport J. M. About modified Kontorovitch – Lebedev integral transforms and their kernels. Preprint / L. : Imperial College of Science, Technology and Medicine, Department of Mathematics, 2009. 09P/001, 31 p.
11. Rappoport J. M. Some integral equations with modified Bessel function // Proceedings of the 5th ISAAC Congress. More Progresses in Analysis. Singapore; New Jersey; L.; Hongkong : World Scientific Publishing, 2009. P. 269–278.
12. Yakubovich S. B. Beurling’s theorems and inversion formulas for certain index transforms // Opuscula Mathematica. 2009. Vol.29, № 1. P. 93–110.

Некоторые неравенства для модифицированных функций Бесселя | Журнал неравенств и приложений

• Исследовательская статья
• Открытый доступ
• Опубликовано: 24 января 2010 г.

• Андреа Лафорджа ¹ и
• Пьерпаоло Наталини ¹  

Журнал неравенств и приложений том 2010 , Номер статьи: 253035 (2010) Процитировать эту статью

• 3376 доступов

• 54 Цитаты

• Сведения о показателях

Abstract

Обозначим через и функции Бесселя первого и третьего рода соответственно. Руководствуясь актуальностью функции , , во многих контекстах прикладной математики и, в частности, в некоторых задачах эластичности Симпсон и Спектор (1984), мы устанавливаем новые неравенства для . Результаты основаны на рекуррентных соотношениях для и и неравенствах типа Турана для таких функций. Аналогичные исследования разрабатываются для установления новых неравенств для .

1. Введение

Неравенства для модифицированных функций Бесселя и установлены многими авторами. Например, Борделон [1] и Росс [2] доказали оценки

(1.1)

Нижняя граница была также доказана Лафорджиа [3] для большей области . В [3] установлены также следующие границы:

(1.2)

(1.3)

(1.4)

; см. также [4]. функций и ( и ) и, точнее, к отношению . Этот вид соотношений часто встречается в прикладных науках. Недавно, например, отношение было использовано Баричем для доказательства важной леммы (см. [5, лемма 1]), которая дает новые нижние и верхние оценки для обобщенной Маркум-функции

(1. 5)

(см. также [6]). Эта обобщенная функция, а также классическая функция , широко используются в электронной области, в частности, в радиолокационной связи [7, 8] и при анализе характеристик ошибок многоканальной системы, имеющей дело с частично-когерентным, дифференциально-когерентным и некогерентным обнаружением в каналах с замираниями [7]. , 9, 10].

Полученные в статье результаты доказываются как следствие рекуррентных соотношений [11, стр. 376; 9.6.26]

(1.6)

(1.7)

и неравенства типа Турана

(1.8)

(1.9)

, доказанные в [12, 13] соответственно (см. также [14] по поводу (1.9)). Неравенства (1.8)-(1.9) использовались недавно Баричем в [15] для доказательства другим способом известных неравенств теоремы.

Теорема 1.1.

На самом деле пусть — модифицированная функция Бесселя первого рода и порядка . Затем

(1.12)

В частности, при справедливо также неравенство.

Теорема.

На самом деле пусть — модифицированная функция Бесселя третьего рода и порядка . Тогда

(1.13)

В частности, при справедливо также неравенство.

2. Доказательства

Доказательство теоремы 1.1.

Верхняя граница отношения следует из неравенства

(2.1)

, доказанного Сони для [16] и распространенного Нэселлом на [17].

Для доказательства оценки снизу в (1.12) подставим функцию (1.6) в неравенство типа Турана (1.8). Получаем при ,

(2.2)

т. е.

(2.3)

Обозначим через и заметим, что при , через (2.1), . С этими обозначениями (2.3) можно записать как

(2.4)

, что дает для

(2.5)

, то есть

(2.6)

, что и является желаемым результатом.

Примечание.

Для Джонс [18] доказал более сильный результат, чем (2.1), что функция убывает по , когда .

Доказательство теоремы 1.2.

Доказательство аналогично тому, что использовалось для доказательства теоремы 1.1. По

(2.7)

получаем , для .

Подставим функцию (1. 7) в (1.9). Получаем

(2.8)

или, что то же самое,

(2.9)

, то есть

(2.10)

.

Примечание.

С помощью интегральной формулы [11, стр. 181]

(2.12)

следует непосредственно из неравенства

(2.13)

и, следовательно,

(2.14)

Так как при , только в этом случае приведенная выше оценка для улучшает оценку (1.13).

Примечание.

Заметим, что по теореме 1.1 мы получаем оценку сверху для функции , . Исследования свойств мотивированы некоторыми проблемами конечной упругости [19, 20]. По (1.12) находим

(2.15)

в частности, при также имеем .

3. Численные соображения

Барич получил для каждого следующую аналогичную нижнюю оценку отношения (см. [5, формула (5)])

(3.1)

где – единственный простой положительный корень уравнения . Неравенство (3.1) обращается при . Можно доказать, что при наша нижняя оценка в (1.12) для отношения дает улучшение (3. 1).

Предложение.

Пусть будет . Ставить и , надо , на всех .

Доказательство.

Из неравенства простыми вычислениями получаем следующее, которое выполняется для всех при .

Здесь мы сообщаем о некоторых численных экспериментах, рассчитанных с помощью программы Mathematica.

Пример.

В первом случае полагаем . На рисунке 1 представлены графики функций (сплошная линия) и соответствующие нижние границы (короткая пунктирная линия) и (длинная пунктирная линия) на интервале .

В таблице 1 мы сообщаем также соответствующие числовые значения различий и в некоторых точках.

Таблица 1

Полноразмерная таблица

Рисунок 1

Примечание.

С помощью некоторых численных экспериментов мы можем предположить, что нижняя граница (3.1) верна также, когда и, в частности, для этих значений имеем . См., например, на рис. 2 графики функций (сплошная линия) и соответствующие нижние границы (короткая штриховая линия) и (длинная штриховая линия) на интервале при .

Рисунок 2

Пример.

В этом случае мы предполагаем , а затем приводим на рисунке 3 графики функций (сплошная линия) и соответствующие нижние границы (короткая пунктирная линия) на интервале . В таблице 3 мы приводим также соответствующие числовые значения отличия в некоторых моментах.

Рисунок 3

Пример.

Также в этом случае предполагается . На рисунке 4 мы приводим графики функций (сплошная линия) и соответствующую верхнюю границу (короткая пунктирная линия) на интервале . В таблице 2 мы также приводим соответствующие числовые значения разности в некоторых точках .

Стол 2

Полноразмерный стол

Стол 3

Полноразмерный стол

Рисунок 4

Пример.

В этом последнем случае мы предполагаем . На рисунке 5 представлены графики функций (сплошная линия) и соответствующая верхняя граница (короткая пунктирная линия) на интервале . В Таблице 4 мы приводим также соответствующие численные значения разницы в некоторых точках.

Таблица 4

Полноразмерная таблица

Рисунок 5

Примечание.

Заканчиваем эту работу тем, что, разделив на неравенства (1.10)-(1.11) и проинтегрировав их от до (), получим следующие новые нижние оценки для отношений и :

(3.2)

(3.3)

Обзор неравенств типа (3.2) и (3.3) см. в [4].

В следующих таблицах 5 и 6 мы сопоставляем оценки снизу (1.1)–(3.2) и (1.4)–(3.3) соответственно для различных значений в частных случаях и . Пусть

Таблица 5

Полная таблица

Таблица 6

Полная таблица

(3.4)

то у нас есть Таблицы 5 и 6. более жесткая по для для каждого (при этом напомним, что (3.2) верно и для ), а по значениям, приведенным в табл. 6, кажется, что нижняя граница более жесткая по для для (но напомним, что (3.3) справедливо также для и ).

Ссылки

1. Bordelon DJ: Решение задачи 72–15. SIAM Review 1973, 15: 666–668.

   MathSciNet Google Scholar

2. Росс Д.К.: Решение задачи 72–15. SIAM Review 1973, 15: 668–670.

   Google Scholar

3. Laforgia A: Границы для модифицированных функций Бесселя. Журнал вычислительной и прикладной математики 1991, 34(3):263–267. 10.1016/0377-0427(91)

   -Z

   Артикул МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar

4. Baricz Á: Оценки модифицированных функций Бесселя первого и второго рода. Труды Эдинбургского математического общества . В печати Труды Эдинбургского математического общества. В печати

5. Baricz Á: Точные оценки для обобщенной Marcum -функции. Журнал математического анализа и приложений 2009, 360(1):265–277. 10. 1016/j.jmaa.2009.06.055

   Артикул МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar

6. Baricz Á, Sun Y: Новые оценки для обобщенной marcum -функции. IEEE Transactions on Information Theory 2009, 55(7):3091–3100.

   Артикул MathSciNet Google Scholar

7. Маркум Дж.И.: Статистическая теория обнаружения целей импульсным радаром. IRE Transactions по теории информации 1960, 6: 59–267. 10.1109/ТИТ.1960.1057560

   Артикул MathSciNet Google Scholar

8. Маркум Дж.И., Сверлинг П.: Исследования по обнаружению целей с помощью импульсного радара. Транзакции IEEE по теории информации 1960, 6: 227–228.

   Артикул Google Scholar

9. Наттолл А.Х.: Некоторые интегралы, включающие функцию. IEEE Transactions on Information Theory 1975, 21: 95–96. 10.1109/ТИТ.1975.1055327

   Артикул МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar

10. Саймон М.К., Алуини MS: Цифровая связь по замирающим каналам: унифицированный подход к анализу производительности . John Wiley & Sons, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США; 2000.

    Книга Google Scholar

11. Абрамовиц М., Стегун И.А.: Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Национальное бюро стандартов по прикладной математике, серия . Том 55 . Типография правительства США, Вашингтон, округ Колумбия, США; 1964:xiv+1046.

    Google Scholar

12. Лорх Л.: Монотонность нулей векторного произведения функций Бесселя. Методы и приложения анализа 1994, 1(1):75–80.

    МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar

13. Исмаил МЭХ, Малдун МЭ: Монотонность нулей векторного произведения функций Бесселя. Журнал SIAM по математическому анализу 1978, 9 (4): 759–767. 10.1137/0509055

    Артикул МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar

14. Лафорджа А., Наталини П. О некоторых неравенствах типа Турана. Журнал неравенств и приложений 2006, 2006:-6.

    Google Scholar

15. Baricz Á: О произведении модифицированных функций Бесселя. Труды Американского математического общества 2009 г., 137 (1): 189–193.

    Артикул МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar

16. Сони Р.П.: Об одном неравенстве для модифицированных функций Бесселя. Журнал математической физики 1965, 44: 406–407.

    Артикул МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar

17. Неселль I: Неравенства для модифицированных функций Бесселя. Математика вычислений 1974, 28: 253–256.

    Артикул MathSciNet Google Scholar

18. Джонс А.Л.: Расширение неравенства, включающее модифицированные функции Бесселя. Журнал математической физики 1968, 47: 220–221.

    Артикул МАТЕМАТИКА Google Scholar

19. Симпсон Х.К., Спектор С.Дж.: Некоторые результаты монотонности отношений модифицированных функций Бесселя. Ежеквартальный журнал прикладной математики 1984, 42 (1): 95–98.

    МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar

20. Симпсон Х. К., Спектор С.Дж.: О бочкообразной обработке специального материала с конечной упругостью. Ежеквартальный журнал прикладной математики 1984, 42 (1): 99–111.

    МАТЕМАТИКА MathSciNet Google Scholar

Ссылки на скачивание

Благодарность

Эта работа спонсировалась Министерством Университета и Делла Ричерка Научная Грант №. 20060.

Author information

Authors and Affiliations

1. Department of Mathematics, Rome Tre University, L.go S. Leonardo Murialdo, 00146, Rome, Italy

   Andrea Laforgia & Pierpaolo Natalini

Authors

1. Андреа Лафорджа

   Посмотреть публикации автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

2. Pierpaolo Natalini

   Просмотр публикаций автора

   Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

Автор, ответственный за корреспонденцию

Пьерпаоло Наталини.

Права и разрешения

Открытый доступ Эта статья распространяется в соответствии с условиями международной лицензии Creative Commons Attribution 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/2.0), которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.

Перепечатки и разрешения

Об этой статье

Математика | Бесплатный полнотекстовый | Дробно-модифицированная функция Бесселя первого рода целочисленного порядка

1. Введение

Модифицированная функция Бесселя (МБФ) первого рода порядка ν, обозначаемая Iν(z), определяется как [1,2,3]

для неограниченного вещественного (или комплексного) числа ν, где Γ(·) — гамма-функция Эйлера, определяемая равенством

МБФ первого рода является одним из линейно независимых решений дифференциального уравнения

который часто появляется в математической физике. Кроме того, обычно эта функция связана с большим количеством приложений, таких как эластичность [4], визуализация [5,6], спортивные данные [7] и статистика [8], и это лишь некоторые из них. В частности, при ν∈Z МБФ первого рода имеет следующее интегральное представление:

который появляется в аналитическом выражении так называемого индекса Эстрады бесконечного линейного и бесконечного кругового графа [9]. О важности МБФ первого рода свидетельствует и тот факт, что свойствам этих функций посвящено большое количество публикаций по математике (см. [10,11,12,13,14,15,16,17,18 ] для некоторых недавних примеров).

Здесь мы предлагаем дробное обобщение МБФ первого рода. Эта функция, которую мы будем называть дробной МБФ (ДМБФ) первого рода, встречается в аналитических расчетах коммуникативности [19,20] и связанных с ней индексов [21] в некоторых классах бесконечных графов. Поэтому он предлагается не специально, как в других предыдущих случаях [22], а в контексте изучения графов и сетей. Мы вводим контекст, в котором возникает ФМБФ первого рода, а затем изучаем некоторые его свойства, такие как степенной ряд, сходимость и рекуррентные соотношения. Мы надеемся, что эти и другие родственные функции сыграют фундаментальную роль в изучении дробных аналогов функций Бесселя и их приложений.

2. Предварительные сведения

Известно, что МБФ первого рода удовлетворяет следующим трем условиям рекуррентности:

Кроме того, производная МБФ первого рода имеет следующие известные рекуррентные соотношения:

Сначала перепишем эти рекуррентные формулы для МБФ первого рода следующим образом. Применим классическое правило вывода произведения к уравнению (6) и получим

такой, что мы можем написать

Аналогично имеем

Теперь рассмотрим дробную производную Капуто, которую мы будем использовать в этой работе. Начнем с определения интеграла Римана–Лиувилля, который для локально интегрируемой функции f(t) с параметром γ, представляющим дробный порядок, записывается как [23]

где легко доказать, что limγ→0I0,tγf(t)=f(t). Пусть теперь α∈(0,+∞) — параметр дробного порядка и пусть m:=α, где . — функция потолка, производная Капуто от f(t), для которой f(t)=0, если t<0, определяется как [23]:

Здесь мы рассматриваем только случаи, когда α∈(0,1] и γ∈[0,1) для производной Капуто и интеграла Римана–Лиувилля соответственно. В дальнейшем мы будем рассматривать (13) при m=1, которую запишем со следующими обозначениями:

Следующие результаты, возможно, доказаны в другом месте, и мы приводим их здесь для самодостаточности нашей работы. Пусть α∈(0,1) и f(t)=∑n=0∞antn — степенной ряд с радиусом сходимости R∈(0,+∞]. Тогда

Мы также приводим несколько других свойств производной Капуто и интеграла Римана–Лиувилля, которые будут полезны при доказательстве наших результатов.

• Пусть испанский α∈(0,1] и C∈R, тогда: Dtα(C)=0;

• Пусть α∈(0,1] и r>0, тогда Dtα(tr)= Γ(r+1)Γ(r−α+1)tr−α

• Пусть γ∈[0,1) и r>−1, тогда Iγ(tr)=Γ(r+1)Γ( r+γ+1)tr+γ

• Пусть γ∈(0,1) и r>0, тогда Dtγ(Iγ(tr))=Iγ(Dtγ(tr))=tr.

3. Дробная коммуникабельность в графах

Пусть G=(V,E) — простой конечный связный граф, где V — множество вершин, а E — множество ребер. Пусть A — матрица смежности графа G. Пусть v ,w∈V — два узла графа G. Тогда известно, что функция сообщаемости Γv,w(ζ,G) графа с параметром ζ∈R равна

Когда v=w, самокоммуникабельность узла v известна как центральность подграфа этого узла, а сумма центральностей всех подграфов в графе представляет собой так называемый индекс Эстрады: EE(ζ,G)=trexp (ζA), где tr — след матрицы. Функция коммуникабельности и индекс Эстрады могут быть получены в различных теоретических контекстах изучения динамических систем на графах. Это включает, например, линеаризованную, но стабильную эпидемиологическую модель восприимчивого инфицирования, модели жесткой связи в квантовой механике, тепловую функцию Грина системы квантовых гармонических осцилляторов, а также синхронизацию сетей. Во всех них параметр ζ∈R приобретает разный «физический» смысл.

Сделаем следующее обобщение функции коммуникабельности:

которая равна стандартной функции сообщаемости при α=β=1. Очевидно, эта функция соответствует элементу v,w матричной функции Миттаг-Леффлера ζA. Эта функция, в частности Eα,1(ζ,G), была найдена в аналитическом решении дробной версии линеаризованной, но стабильной эпидемиологической модели «восприимчиво-инфицированный», где стандартная производная по времени была заменена дробной производной Капуто. То есть пусть xi будет вероятностью того, что узел i∈V в G заразится заразной болезнью, циркулирующей в графе. Если коэффициент рождаемости болезни равен β, то дробная модель восприимчивых–инфицированных, разработанная в [24], имеет вид

Тогда при некоторых правдоподобных начальных условиях γ=1−c/n (c — константа, n — количество вершин) на графе вектор решений этой модели определяется выражением:

где 1 — вектор единиц.

Другие более специальные встречи с этими функциями недавно появились в литературе Арриго и Дурастанте [25] и рассмотрены Эстрадой [26] в контексте так называемых «индексов Эстрады». В дальнейшем мы будем называть (Eα,β(ζ,G))v,w дробной сообщаемостью между соответствующими узлами. Когда v=w, мы будем называть его дробной подграфовой центральностью узла, а индекс, определяемый tr(Eα,β(ζ,G)) индексом Эстрады–Миттага–Леффлера графа [26]. С этого момента мы сосредоточимся только на случаях, когда β=1, и будем использовать обозначение Eα(ζ,G) для Eα,β=1(ζ,G).

4. Дробные коммуникабельности в графах путей и циклов

Начнем со следующего.

Пусть G — граф путей на n узлах Pn, т. е. граф, в котором все узлы имеют степень два, но два узла имеют степень один. Без ограничения общности в дальнейшем мы будем принимать ζ=1. Теперь мы можем доказать следующий результат.

Следуя той же схеме доказательства, можно показать следующее.

Предыдущие результаты показывают, что дробно-модифицированная функция Бесселя (FMBF) первого рода появляется в выражении дробной коммуникабельности между любой парой узлов в графах путей и циклов, когда число узлов очень велико. Поэтому сейчас мы сосредоточимся на некоторых наиболее важных свойствах этой новой функции. 9(Пн)=1.

6. Степенной ряд ФМБФ первого рода

Начнем с того, что представим ФМБФ первого рода в виде степенного ряда.

7. Дифференциальные свойства ФМБФ первого рода

Теперь получим рекуррентные соотношения для производных Капуто от Eν,α(zα).

Прежде чем перейти к доказательству, необходимо сформулировать следующий вспомогательный результат.

Приступим теперь к доказательству теоремы 3.

8. Открытые проблемы

Здесь мы предложили обобщение МБФ первого рода Iν(z) при ν∈Z, которое преобразует интегральное представление

в Eν,α(z), который для ν∈Z имеет следующее представление:

Поэтому первое расширение текущей работы состоит в том, чтобы обобщить Eν,α(z) для ν∈R. Это расширение можно получить, исходя из полученного здесь выражения степенного ряда ФМБФ первого рода. Основное внимание в текущей работе было уделено ограниченной области ν∈Z, которая естественным образом возникает из проблемы рассмотрения дробных функций, аналогичных функциям коммуникабельности, в простых графах, таких как путь и цикл из n узлов.

Второе обобщение, очевидно, заключается в рассмотрении более общей формы функции Миттаг-Леффлера, такой, что: Формальный анализ, А.М. и Э.Э.; Письмо — первоначальный вариант, EE; Написание — обзор и редактирование, EE; Supervision, E.E. Все авторы прочитали и согласились с опубликованной версией рукописи.

Финансирование

Проект OLGRA (PID2019-107603GB-I00), финансируемый Министерством науки и инноваций Испании, а также проект Maria de Maeztu CEX2021-001164-M, финансируемый MCIN/AEI/ 10.13039/501100011033.

Заявление о доступности данных

В этом документе не использовались данные.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Список литературы

1. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения; Дувр Паб. Inc.: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 1972; п. 108. [Google Scholar]
2. Боумен Ф. Введение в функции Бесселя; Дувр Паб. Inc.: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 1958 г.; п. 41. [Google Scholar]
3. Watson, G.N. Трактат по теории функций Бесселя; Кембриджская математическая библиотека: Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США, 1995; п. 77. [Google Scholar]
4. Симпсон, Х.; Спектор, С. Некоторые результаты монотонности для отношений модифицированных функций Бесселя. Дж. Неравный. заявл. 1984 , 42, 95–98. [Google Scholar] [CrossRef]
5. Хванг, Ю. Моделирование шума изображения на основе различий с использованием распределения Скеллама. IEEE транс. Анальный узор. Мах. Интел. 2012 , 34, 1329–1341. [Google Scholar] [CrossRef] [PubMed]
6. Wolfe, P.; Хиракава, К. Эффективное многомерное сжатие Скеллама для шумоподавления данных изображений, ограниченных фотонами: эмпирический байесовский подход. В материалах 16-й Международной конференции IEEE по обработке изображений (ICIP-09), Каир, Египет, 7–10 ноября 2009 г.; стр. 2961–2964. [Google Scholar]
7. Карлис Д.; Нцуфрас, И. Анализ спортивных данных с использованием двумерных моделей Пуассона. Дж. Р. Стат. соц. сер. Д 2003 , 52, 381–393. [Google Scholar] [CrossRef]
8. Роберт, К. Модифицированные функции Бесселя и их приложения в вероятности и статистике. Стат. Вероятно. лат. 1990 , 9, 155–161. [Google Scholar] [CrossRef]
9. Гутман И.; Граовац, А. Эстрада, указатель циклов и путей. хим. физ. лат. 2007 , 436, 294–296. [Google Scholar] [CrossRef]
10. Gaunt, R.E. Оценки интеграла модифицированной функции Бесселя первого рода и выражения с ним. Дж. Матем. Анальный. заявл. 2021 , 502, 125216. [Google Scholar] [CrossRef]
11. Baricz, Á. Степени модифицированных функций Бесселя первого рода. заявл. Мат. лат. 2010 , 23, 722–724. [Google Scholar] [CrossRef]
12. Ян З.-Х.; Тиан, Дж.-Ф.; Чжу, Ю.-Р. Новые точные оценки для модифицированной функции Бесселя первого рода и среднего значения Тоадера-Ци. Математика 2020 , 8, 901. [Google Scholar] [CrossRef]
13. Baricz, Á. Функциональные неравенства с участием Бесселя и модифицированные функции Бесселя первого рода. Экспо. Мат. 2008 , 26, 279–293. [Google Scholar] [CrossRef]
14. Baricz, Á.; Купан, П.; Сас, Р. Радиус звездности нормированных функций Бесселя первого рода. проц. Являюсь. Мат. соц. 2014 , 142, 2019–2025. [Google Scholar] [CrossRef]
15. Делеваль, Л.; Демни Н. О ряде типа Неймана для модифицированных функций Бесселя первого рода. проц. Являюсь. Мат. соц. 2018 , 146, 2149–2161. [Google Scholar] [CrossRef]
16. Abbas, MI; Рагуза М.А. Нелинейные дробно-дифференциальные включения с невырожденным ядром Миттаг-Леффлера. ЦЕЛИ Матем. 2022 , 7, 20328–20340. [Google Scholar] [CrossRef]
17. Ван, А.В.; Ягдев, С .; Туан, Н.А. Результаты корректности и разрушение полулинейного уравнения дробной диффузии по времени с переменными коэффициентами. Электр. Рез. Арка 2021 , 29, 3581–3607. [Академия Google]
18. Насир, Дж.; Кайсар, С .; Батт, С.И.; Хан, К.А.; Мабела, Р.М. Некоторые интегральные неравенства Римана–Лиувилля Симпсона с приложениями к специальным функциям. Дж. Функц. Spaces 2022 , 2022, 2113742. [Google Scholar] [CrossRef]
19. Estrada, E.; Хатано, Н. Коммуникабельность в сложных сетях. физ. Rev. E 2008 , 77, 036111. [Google Scholar] [CrossRef]
20. Estrada, E.; Хатано, Н.; Бенци, М. Физика коммуникабельности в сложных сетях. физ. Отчет 2012 , 514, 89–119. [Google Scholar] [CrossRef]
21. Эстрада, Э.; Родригес-Веласкес, Х.А. Центральность подграфов в сложных сетях. физ. Rev. E 2005 , 71, 056103. [Google Scholar] [CrossRef]
22. Galué, L. Обобщенная функция Бесселя. интегр. Спец. Функц. 2003 , 14, 395–401. [Google Scholar] [CrossRef]
23. Milici, C.; Драганеску, Г.; Тенрейро Мачадо, Дж. Введение в дробные дифференциальные уравнения; Шпингер: Берлин/Гейдельберг, Германия, 2019 г.. [Google Scholar]
24. Абадиас, Л.; Эстрада-Родригес, Г.; Эстрада, Э. Модель восприимчиво-инфицированных дробного порядка: определение и приложения к изучению основной протеазы COVID-19. Фракт. Расчет заявл. Анальный. 2020 , 23, 635–655. [Google Scholar] [CrossRef] [PubMed]
25. Арриго, Ф.; Дюрастанте, Ф. Функции Миттаг-Леффлера и их приложения в науке о сетях. СИАМ Дж. Матричный анал. заявл. 2021 , 42, 1581–1601. [Google Scholar] [CrossRef]
26. Эстрада, Э. Многие аспекты индексов графов и сетей Эстрады. СеМА Дж. 2022 , 79, 57–125. [Google Scholar] [CrossRef]

Рисунок 1. График функций Eν,α(z) для z∈Z и для ν=0 ( a ) и ν=1 ( b ), а также для различных значений дробного параметра α. Функции вычисляли с помощью численного интегрирования на основе уравнения (21).

Рис. 1. График функций Eν,α(z) для z∈Z и для ν=0 ( a ) и ν=1 ( b ), а также для различных значений дробного параметра α. Функции вычисляли с помощью численного интегрирования на основе уравнения (21). 9α(P20))v,v α=0.4 α=0.6 α=0.8 α=0.4 α=0.6 α=0. 8 1 14.0351209 3.1971466 2.0259468 14.0351209 3.1971466 2.0259468 2 40.2363816 6.2883718 3.2379302 40.2363816 6.2883718 3.2379302 9α(C40))v,v α=0.4 α=0.6 α=0.8 α=0.