Мнимая единица в маткаде: Mathcad, , i : z:=1 + i,

MathCAD — это просто! Часть 19. Немного о работе с комплексными числами

Комплексные числа — одна из важнейших математических абстракций, очень часто используемая в реальных расчетах инженерами, физиками, электронщиками и другими специалистами. Само собой, настолько важная часть математики, как работа с комплексными числами, не могла остаться вне поля зрения разработчиков MathCAD’а. Сегодня мы с вами как раз и поговорим о том, как можно работать в MathCAD’е с ними — вы сможете самостоятельно убедиться в том, что это, в общем-то, не представляет каких-либо особых сложностей для пользователя этого мощнейшего математического пакета.

Комплексные числа

Суть теории комплексных чисел заключается, по существу, в том, что множество действительных чисел можно расширить до другого, нового, множества (оно как раз таки и имеет название множества комплексных чисел), в котором каждое число представимо в виде z = a + b*i, где i — мнимая единица (корень из числа -1, или, вернее, один из корней).

При этом a называется действительной частью комплексного числа (обозначается как Re(z)), а b, соответственно, принято называть его мнимой частью. Обозначается же мнимая часть комплексного числа как Im(z). Стоит отметить тот факт, что нередко даже образованные люди теряются, когда им нужно произнести вслух термин «комплексное число». На какую букву ставить ударение в слове «комплексный» — на «о» или «е»? Честно говоря, правильного ответа на этот вопрос я не знаю. Даже в математических словарях и справочниках нет единодушия: в некоторых ударение ставят на одну букву, в некоторых — на другую. Традиционно используют, впрочем, ударение на букву «е» (есть даже шутка такая: «комплексными бывают обеды, а числа — только комплексные»). Но если вы где-то скажете «комплексные числа», то в тюрьму вас за это, конечно же, никто не посадит. Фактически же комплексное число является упорядоченной парой действительных чисел, и часто даже вместо a + b*i записывают комплексные числа в виде (a; b). В ряде практических вычислений нужно оперировать именно такими упорядоченными парами чисел — например, в той же радиоэлектронике такой парой могут служить амплитуда и частота сигнала. Чем же в таком случае комплексное исчисление так принципиально отличается от векторного? В первую очередь, своим математическим аппаратом, позволяющим осуществлять с довольно большой степенью удобства некоторые преобразования над ними.

Существуют различные формы представления комплексного числа, каждая из которых удобна в своем виде операций над этими числами. Та форма, с которой мы с вами уже успели познакомиться, называется алгебраической формой, или алгебраическим представлением комплексного числа. Она удобна для того, чтобы такие числа суммировать (ну, и вычитать, конечно же, тоже). Действительная часть складывается с действительной, мнимая с мнимой, и все получается хорошо. Но вот умножать или возводить в степень комплексные числа в алгебраической форме уже, мягко говоря, не так удобно. Для этого используют тригонометрическую или экспоненциальную формы записи комплексных чисел. В общем-то, эти две формы фактически представляют собой одну и ту же форму записи, которую чаще все же называют тригонометрической.

Получается она из алгебраической формы довольно-таки просто. Для начала нужно получить два параметра, с помощью которых комплексное число представляется в тригонометрической форме. Первый параметр называется модулем числа и вычисляется как корень из суммы квадратов a и b. Второй параметр принято называть аргументом комплексного числа z, и вычисляется он как арктангенс выражения b/a. Для любого из комплексных чисел переход от алгебраической формы к тригонометрической не представляет никакой сложности, поскольку формулы, по которым вычисляются и модуль, и аргумент, очень просты и для понимания, и для запоминания, и для применения. Само же комплексное число z записывается в тригонометрической форме следующим образом: z = r (cos? + i*sin?). Здесь r — это модуль комплексного числа z, а ? — соответственно, как вы уже навреняка успели догадаться, его же аргумент. Экспоненциальная форма записи комплексного числа — это, как я уже говорил, по сути, та же тригонометрическая, поскольку на множестве комплексных чисел экспонента ведет себя совсем не так, как на множестве чисел действительных. Фактически та формула для тригонометрической записи числа, которую я только что показал вам, с помощью экспоненты может быть записана гораздо короче: z = r*ei*?. Как видите, с использованием экспоненциального представления становится особенно просто умножать комплексные числа друг на друга, а также возводить их в степень. Для того, чтобы возводить в степень числа в тригонометрическом их представлении, можно воспользоваться формулой Муавра, которая безо всяких сложностей отыщется в любом справочнике по высшей математике.

Комплексные числа в MathCAD: основы

Весь тот небольшой экскурс в работу с комплексными числами, который я привел выше, нужен только для того, чтобы напомнить (или, если кто-то не знал этого, то разъяснить), что же такое комплексные числа, и как именно с ними нужно работать. При работе в MathCAD’е, само собой, вам не понадобится собственноручно вычислять модуль и аргумент комплексного числа, не надо будет самостоятельно высчитывать степень экспоненты при перемножении комплексных чисел и даже не понадобится самому складывать действительную часть с действительной, а мнимую — с мнимой. Все за вас сделает этот мощный математический пакет. То есть, конечно, не все, а только черновую, вычислительную работу — постановка задачи и интерпретация результатов вычислений все равно останется за вами. Хорошая новость состоит в том, что для работы с комплексными числами не нужно как-то по- особенному настраивать среду MathCAD или применять какие-то новые арифметические операторы. Среда точно так же работает с комплексными числами, как и с действительными. Простой пример — сложение комплексных чисел. Попробуйте сложить два комплексных числа — например, 1+2i и 7-15i. Здесь, правда, стоит отдельно сказать пару слов относительно ввода в MathCAD’е мнимой единицы. Дело в том, что, если вы просто напишете ее как i, нажав на клавиатуре соответствующую клавишу, то система MathCAD посчитает, что вы ввели имя какой-либо переменной. Поэтому можно либо воспользоваться панелью инструментов Calculator (см. иллюстрацию, на которой нужная кнопка обведена кружком), либо вводить с клавиатуры комбинацию 1i.

После того, как вы попробуете складывать комплексные числа, можно попробовать их перемножать, чтобы убедиться в том, что MathCAD умеет делать и это. Можете попробовать возводить комплексные числа в какую-либо степень, а также любым другим образом поиздеваться над ними. Как и следовало ожидать, MathCAD с легкостью справляется с подобными заданиями. Поэтому вы можете работать с комплексными числами фактически точно так же, как и с действительными.

Комплексные числа в MathCAD: подробности и тонкости

Впрочем, конечно же, есть и некоторые тонкие моменты, связанные с отличиями в работе с комплексными и действительными числами. Самое главное из подобного рода отличий состоит, собственно говоря, в том, что операция извлечения корня с ними работает не совсем так, как надо — как, впрочем, и операция возведения в дробную степень, хотя для действительных чисел данные операции и абсолютно корректны. Дело в том, что на множестве комплексных чисел мы рассматриваем корень p n-й степени из числа z как множество решений уравнения pn = z. Если вы попробуете решить это уравнение с помощью оператора solve (хоть о нем мы говорили уже достаточно давно — думаю, вы еще не до конца забыли, как им пользоваться), то увидите, что для n-й степени это уравнение, согласно основной теореме алгебры, будет иметь ровно n решений. Если же для вычисления корня комплексного числа вы воспользуетесь операторами извлечения корня или возведения комплексного числа в дробную степень, то увидите, что подобные вычисления дадут вам только один корень из всех возможных, что не вполне корректно. Впрочем, в ряде практических задач вам будет нужен только один корень, но все равно его лучше получать с помощью solve, а затем уже выбирать среди результатов.

Ну, и напоследок такой вопрос: а как лучше обозначать мнимую единицу? Дело в том, что в литературе встречается два варианта ее обозначения: i и j. Первый более характерен для советских и постсоветских источников, второй — для зарубежных. Вполне может случиться так, что вам потребуется в вашем проекте использовать второе, а не первое, которое используется в MathCAD по умолчанию.

Конечно же, эта мощная математическая среда позволяет нам изменить обозначение мнимой единицы на то, которое будет для нас наиболее удобным. Для того, чтобы поменять обозначение, нужно в меню Format выбрать пункт Result, а в появившемся окне на вкладке Display Options заменить параметр Imaginary Value. Вариантов этого параметра, конечно, не много — собственно, их всего два: либо i, либо j. Но больше вариантов, собственно говоря, и нету.

Резюме

Итак, мы с вами познакомились с комплексными числами, а также с тем, как именно работать с ними в MathCAD’е. Вы смогли сами убедиться, что это совсем несложно, хотя, конечно, некоторые вычисления и имеют свои тонкости. Но тонкости есть везде, и главное — быть заранее готовым к тому, что есть немалый шанс с ними столкнуться. Поэтому, если вы внимательно читаете статьи серии «MathCAD — это просто», то будете хорошо подготовлены к встречам с различными неожиданностями в среде MathCAD. Успехов вам в работе с этим мощным математическим пакетом и интересных вычислений!

SF, spaceflyer@tut. by

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 33 за 2008 год в рубрике soft

Публикация не была найдена — Студопедия

Поделись с друзьями

Mathcad поддерживает вычисления с комплексными числами. Согласно математического определения, любое комплексное число можно записать в виде a+bi, где a – действительная часть, b – мнимая часть, i – мнимая единица. В некоторых случаях мнимую единицу принято обозначать как j, для Mathcad это – равнозначные понятия.

Некоторые операции над действительными числами, например, квадратный корень из отрицательного числа, по умолчанию возвращают результат в виде комплексного числа. Поскольку действительные числа есть подмножество комплексных, никаких переключений не требуется.

Поскольку во многих расчетах часто фигурируют переменные i или j (например, при организации суммирования по i), которые не являются мнимой единицей, для ее записи используются специальные сочетания. В частности, отдельно стоящая мнимая единица вводится как 1i или 1j (без пробела и каких-либо разделительных символов). Если мнимая единица вводится со своим числовым множителем в составе мнимой части комплексного числа, следует вводить число и букву i или j подряд, без пробела и знака «умножить». Однако, если в качестве множителя мнимой части выступает переменная, после ее имени необходимо ввести знак умножить и мнимую единицу в виде 1iили 1j.

Другим способом ввода мнимой единицы (только в виде i) является кнопка на панели инструментов «Калькулятор».

Комплексные числа, наравне с действительными, могут входить в состав массивов (векторов и матриц), быть аргументами функций, участвовать в других вычислениях.

Специально для работы с комплексными числами в Mathcad предусмотрен ряд специальных функций: Re(z) – возвращает действительную часть комплексного числа z; Im(z) – возвращает мнимую часть числа z; arg(z) – возвращает расстояние на комплексной плоскости от начала координат до числа z; csgn(z) – возвращает знак комплексного числа (0, если z=0; 1, если Re(z)>0 или Im(z)>0 при Re(z)=0 и -1 во всех остальных случаях).

Если комплексное число записано в форме a+bi, то у него имеется так называемое сопряженное комплексное число вида a-bi. Для быстрого нахождения комплексного сопряженного числа служит оператор, вводимый при помощи сочетания клавиш Shift+’ (рядом с клавишей Enter).

---

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  

---



мнимых чисел

 

Мнимое число при возведении в квадрат дает отрицательный результат .

Попробуйте

Давайте попробуем возвести некоторые числа в квадрат, чтобы увидеть, сможем ли мы получить отрицательный результат:

• 2 × 2 = 4
• (−2) × (−2) = 4 (поскольку отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительное значение)
• 0 × 0 = 0
• 0,1 × 0,1 = 0,01

Не повезло! Всегда положительный или ноль.

Кажется, мы не можем умножить число само на себя, чтобы получить отрицательный ответ…

… но представьте себе , что есть такое число (назовем его i для воображаемого), которое могло бы сделать это: я × я = −1 Будет ли он полезен и что мы можем с ним сделать?

Итак, извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем:

Это означает, что i является ответом на квадратный корень из −1.

Что на самом деле очень полезно потому что…

… просто принимая , что i существует, мы можем решать задачи
, для которых нужен квадратный корень из отрицательного числа.

Попробуем:

Пример: Чему равен квадратный корень из −9? (см. для упрощения квадратных корней)

Эй! это было интересно! Квадратный корень из −9 — это просто квадратный корень из +9, умноженный на .

Всего:

√(−x) = i √x

До тех пор, пока мы сохраняем эту маленькую букву «i», чтобы напомнить нам, что нам все еще нужно
умножить на √−1, мы можем продолжать наше решение!

Использование

i

Пример: Что такое (5

i ) ² ?

(5 I ) ² = 5 I × 5 I

= 5 × 5 × I × I

= 25 × I ²

= 25 × I ²

= 25 × I ²⁰¹³¹

 = 25 × −1

 = −25

Интересно! Мы использовали мнимое число (5 i ) и получили действительное решение (-25).

Мнимые числа могут помочь нам решить некоторые уравнения:

Пример: Решите x

² + 1 = 0

Используя действительные числа, решения нет, но теперь мы можем решить его !

Вычесть 1 из обеих сторон:

x ² = −1

Извлечь квадратный корень из обеих сторон:

x = ± √(−1)

x = ± i

Ответ: x = −i или +i

Проверить:

• (−i) ² + 1 = (−i) (−i) + 1 = +i ² + 1 = −1 + 1 = 0
• (+i) ² +1 = (+i)(+i) +1 = +i ² +1 = −1 + 1 = 0

Можете ли вы вы извлечь квадратный корень из −1?
Ну и можно!

Воображаемый номер блока

Квадратный корень минус один √(−1) — «единичное» мнимое число, эквивалентное 1 для действительных чисел.

В математике символ √(−1) равен i для мнимого.

Но в электронике используется символ j , потому что i используется для тока, а j стоит следующим в алфавите.

Примеры мнимых чисел

и

12.38i

−i

3i/4

0.01i

πi

Мнимые числа не являются

«Мнимыми»

Воображаемые числа когда-то считались невозможными , поэтому их называли «воображаемыми» (чтобы высмеять их).

Но затем люди исследовали их глубже и обнаружили, что на самом деле они были полезными и важными , потому что они заполнили пробел в математике… но «воображаемое» название прижилось.

Именно так появилось название «Реальные числа» (реальные не мнимые).

Воображаемые числа полезны

Комплексные числа

Мнимые числа становятся наиболее полезными в сочетании с действительными числами для получения комплексных чисел, таких как 3+5i или 6−4i

.

Анализатор спектра

Те классные дисплеи, которые вы видите, когда играет музыка? Да, комплексные числа используются для их вычисления! Использование чего-то под названием «Преобразование Фурье».

На самом деле, используя комплексные числа, со звуком можно делать много умных вещей, например, фильтровать звуки, слышать шепот в толпе и так далее.

Это часть предмета под названием «Обработка сигналов».

 

Электричество

AC (переменный ток) Электричество меняется между положительным и отрицательным синусоиды.

Когда мы объединяем два переменного тока, они могут не совпадать должным образом, и это может быть очень сложно разобраться в новом токе.

Но использование комплексных чисел значительно упрощает вычисления.

И результат может иметь «мнимый» ток, но он все равно может причинить вам боль!

 

Набор Мандельброта

Прекрасное множество Мандельброта (часть его изображена здесь) основано на комплексных числах.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение, которое имеет множество применений,
может давать результаты, содержащие мнимые числа

Также в науке, квантовой механике и теории относительности используются комплексные числа.

Интересное имущество

Единичное мнимое число i обладает интересным свойством. Он «перебирает» 4 разных значения каждый раз, когда мы умножаем:

1 × и   = i и × и   = −1 −1 × i   = − i − i × i   = 1 Вернуться к 1 снова!

Итак, у нас есть это:

i = √−1	i 2 = −1	i 3 = −√−1	i 4 = +1
i 5 = √−1	i 6 = −1	. ..и т. д.

Пример Что такое я

¹⁰ ?

i ¹⁰ = i ⁴ × i ⁴ × i ²

 = 1 × 1 × −1

 = −1

И это приводит нас к другой теме, сложной плоскости:

Заключение

Единичное мнимое число i равно квадратному корню из минус 1

Воображаемые числа не являются «воображаемыми», они действительно существуют и имеют множество применений.

 

 

Проверьте выигрышные номера для Kalyan Satta Matka, Others

РЕЗУЛЬТАТЫ DpBOSS ПЯТНИЦА, 24 ФЕВРАЛЯ 2023 г.: DpBoss вернулся с ежедневными результатами Satta Matka. Помимо результатов лотереи, этот веб-сайт предоставляет наиболее точные числа, на которые можно сделать ставку. На этом веб-сайте игроки также могут играть в такие игры, как Kalyan Result, Kalyan Matka, Market, Panel Chart, Fix Matka Jodi, Boss Matka и Indian Matka. Проверьте полный список выигрышных номеров на 23 февраля и 24 февраля ниже: 

Угадывание чисел на 24 февраля:

Golden Ank: 0-5-3-8

SRIDEVI MORNING: 678-13-355

Результат в 09:30 10:30 AM

9200 73-490

10:00 утра 11:00 утра

Kuber Morning: 288-86-150

10:45 11:45

Утро: 459-86-178

11:00 12 :02 PM

МАДХУРИ: 118-02-589

11:45 12:45

СУПЕР ДЕНЬ: 140-53-580

12:40 14:00

Kalyan: 380-12-336

03:55 вечера 17:55

Kuber: 124-70-127

09:25 11:35

Night: 178-64-789

21:25 23:30

OLD MAIN МУМБАЙ: 224-88-260

21:30 12:05

MAIN BOMBAY: 570-29-568

3 09:20 09:35

ГЛАВНЫЙ БАЗАР: 126-96-240

21:40 00:05

РАТАН ХАТРИ: 568-90-370

22:00 00:00

90 000-50 НАЙТАН: РЫНОК КАЛЯН:

23:00 01:00

МУМБАЙСКИЙ РЫНОК НОЧЬ: 557-75-799

23:35 01:35

ТАКЖЕ ЧИТАЙТЕ:  Выиграл в лотерею? Вот 5 вещей, которые вы можете сделать, чтобы обеспечить свою финансовую безопасность РАДЖАНИ НОЧЬ: 138-21-489

КУБЕР: 124-70-127

МУМБАЙСКИЙ РЫНОК НОЧЬ: 557-7

РАТАН ХАТРИ: 568-9

Goa Night: 577-9

Kalyan Market Night: 500-5

Milan Night: 158-49-360

Worli Mumbai: 225-93-300

Bombay Rajshre МАХАРАДЖ НОЧЬ: 190-08-369

НАВИ МУМБАЙ НОЧЬ: 349-6

ВЕРХНЯЯ НОЧЬ: 347-4

ВОРЛИ МУМБАЙ: 258-52-138

НОЧНОЕ ВРЕМЯ БАЗАР: 9007-37 НОЧНОЙ БАЗАР: 9007-37 ГЛАВНАЯ]: 677-0

СРИДЕВИ [ главная ] НОЧЬ: 349-6

МАРАТВАДА НОЧЬ: 357-5

ВРЕМЯ НОЧЬ: 233-8

Worli: 457-6

Baby Night: 160-78-990

Maharani Night: 137-18-468

Minakshi Night: 669-10-569

Sridevi Night: Night: Night: Night: Night: Night: 669-569

Sridevi: 349-66-367

Mumbai Night: 160-72-110

Navi Mumbai Night: 480-20-244

Super Bazar: 123-66-222

Madhuri Night: 140-56-150

Super Matka : 169-60-127

РИДДХИ СИДДХИ: 245-15-339

САТТА НОЧЬ: 460-09-469

ДАДАР: 788-33-256

ВЕРХОВНЫЙ ДЕНЬ: 440-86-457

ГЛАВНЫЙ БАЗАР ДЕНЬ: 118-04-257

РОЗ БАЗАР ДЕНЬ: 345-28-189

МИЛАНСКИЙ БАЗАР: 169-67-2 БАЗАР ДЕНЬ: 6 ДЕНЬ 6

15-780

Центральный Бомбей: 347-48-558

GOA Day: 345-29-360

Milan Day: 136-02-147

Kalyan Morning: 459-86-178

Tara Mumbai День: 55666: 556: 556: 556: 556: 556: 556: 556: 559-86-178

. -69-270

МАМА БХАНДЖА: 569-01-380

ПУНА БАЗАР: 350-89-469

БОМБЕЙ РАДЖШРИ ДЕНЬ: 169-61-236

День Бхарата: 125-83-139

Ченнаи День: 679-29-289

Махарадж День: 137-13-247

День Мадхура: 456-59-234

День Супер Ратана: 247-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30-30- 280

Мумбай Утро: 236-12-237

Шубханк: 579-19-270

День Шридеви: 147-21-335

Синдицированные: 389-09-559

Страна Базар: 330-68-260

ДЕНЬ МАХАРАНИ: 340-79-225

БАЗАР МАЙЯ: 339-58-260

ДЕНЬ МИНАКШИ: 589-25-258

РАДЖДХАНИ: 119-15-780

Воскресенье Базар: 388-93-247

Worli Mumbai День: 139-31-678

Time Bazar: 147-27-133

Super Day: 140-53-580

Madhuri: 118. -02-589

День Сэтта: 179-74-770

Шридеви: 467-72-147

Madhur Morning: 369-85-500

Карнатака День: 278-73-490

Milan Morning: 123- 65-690

СРИДЕВИ УТРО: 678-13-355

КЕСАРИ УТРО: 347-48-350

ДЖЕЙ ШРИ ДЕНЬ: 279-80-578

Dhanshree: 699-41-236

Pushpavanti Утреннее: 128-19-180

Rajlaxmi: 258-53-238

Srilakshmi: 369-81-290

Time Bazar Morning: 116-82-699

. УТРО: 288-86-150

MOHINI: 578-06-259

ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:  Выиграли в лотерею? Вот 5 вещей, которые вы можете сделать, чтобы обеспечить себе

Несмотря на запрет на азартные игры в Индии, в лотереи, такие как Satta Matka, скачки и некоторые другие, по-прежнему широко играют. Пользователи могут выбирать из множества приложений, доступных в магазине Google Play, чтобы наслаждаться лотерейной игрой. В автономной версии вы можете посетить ближайшее заведение, чтобы делать ставки и отслеживать результаты.

На сайте пользователи могут найти угадывающие числа, которые помогают увеличить шанс выиграть огромные деньги. Несмотря на то, что угадываемые числа не всегда могут быть правильными, они публикуются на веб-сайте после тщательного изучения.

ЧТО ТАКОЕ DPBOSS.NET?

Сайт предоставляет результаты игры Сатта Матка. Вы можете испытать удачу, проанализировав числа, размещенные на сайте перед началом игры. Прежде чем сделать ставку, пользователи могут просмотреть предыдущие выигрышные номера с помощью диаграмм Kalyan Jodi Chart и диаграмм Kalyan Panel Chart.

ЧТО ТАКОЕ ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ АНК СЕГОДНЯ?

Счастливое число на 22 февраля — The Final Ank. Вы можете найти угадывающее число онлайн. Golden Ank на сегодняшний день выглядит следующим образом:

ЧТО ТАКОЕ DPBOSS FIX СЕГОДНЯ?

Игроки могут использовать DpBoss Fix для проверки своих Джоди или пары угадываемых чисел при игре в Сатта Матка.

ЧТО ТАКОЕ DPBOSS FIX JODI?

DpBoss Fix Jodi или DpBoss Fix Patti — это предсказанная пара чисел в Satta Matka. Чтобы получить эти исправленные Джоди или исправить Патти, перейдите на DpBoss.Net.

DPBOSS KALYAN РЕЗУЛЬТАТ СЕГОДНЯ

Перед началом игры участники должны следить за таблицей Kalyan Jodi. Пользователи могут использовать этот график, чтобы предсказать, сколько пар будет присутствовать в игре Kalyan. В результате они смогут понимать игру и принимать решения с большей легкостью. С 11:15 до 13:15. и 15:45 и 17:45 результаты Кальяна становятся общедоступными.

1. Результат Кальян День: 15:45-17:45
2. Результат Кальян Ночи: 9:45–23:45

Читайте все последние новости Индии здесь

Отказ от ответственности! Verve Times — автоматический агрегатор всех мировых СМИ.