Краткий курс паскаль: Урок. "Краткий курс Pascal"

Содержание

Язык программирования паскаль

Вабищевич С.В. Основы программирования

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ (часть 1)

СОДЕРЖАНИЕ

Литература 2

1. Понятие о структурном программировании 2

1.1 Особенности написания программ 3

1.2 Алгоритм и его свойства 3

1.3 Блок-схема 4

2. Общие сведения о языке программирования ПАСКАЛЬ 6

2.1 Название языка Паскаль 6

2.2 Алфавит языка Паскаль 7

2.3 Типы данных 7

2.4 Перечисляемые типы данных 9

2.5 Арифметические операции. Функции. Выражения 9

2.6 Основные математические функции 10

2.7 Структура программы 11

3. Текстовый режим работы в системе Паскаль 13

4. Основные операторы языка Паскаль. 14

4.1 Оператор ввода данных с клавиатуры 14

4.2 Оператор вывода данных на экран 14

4.3 Оператор присваивания. 16

4.4 Составной оператор и пустой оператор 16

5 Оператор условного перехода 16

4.6 Оператор выбора варианта 19

4.7 Оператор безусловного перехода 20

4.8 Операторы цикла(повторения) 20

5. Массивы 30

6. Процедуры и функции 38

7. Строки 43

8. Особенности графики 47

8.1 Переход в графический режим и возврат в текстовый 47

8.2 Начало и окончание программы для работы с графикой: 48

8.3 Рисование контурных геометрических изображений. 49

8.4 Рисование закрашенных изображений. 49

8.5 Вывод текста на графический экран 50

8.6 Очитска экрана, тип и толщина линии 50

8.7 Смещение в точки и смещение на вектор 52

8.8 Иммитация движения 53

8.9 Элементы мультипликации 53

8.10 Построение графиков математических функций 55

8.11 Работа с фрагментами изображения 57

8.12 Управление видеостраницами 58

Литература

1. Абрамов С.А., Гнездилова Г.Г. Задачи по программированию. М.: Наука, 1988.

2. Быкадоров Ю.А., Кузнецов А.Т. Информатика и вычислительная техника 10–11. – Мн.: Народная асвета,– 1977.

3. Бородич Ю.С., Вальвачев А.Н., Кузьмич А.И. Паскаль для персональных компьютеров. Мн.: Вышэйшая школа, 1991.

4. Гудман С., Хидетниеми С. Введение в разработку и анализ алгоритмов. М.: Мир, 1981.

5. Зима В.С., Абрамов С.А. Начала программирования на языке Паскаль.

6. Офицеров Д.В., Старых В.А. Программирование в интегрированной среде -Паскаль. Справочное пособие. Мн.: Беларусь, 1992.

7. Офицеров Д.В., Долгий А.Б., Старых В.А. Программирование на персональных компьютерах . Практикум. Мн.: Вышэйшая школа, 1993.

8. Пильщиков В.Н. Сборник упражнений по языку Паскаль. М.: Наука, 1989.

Литература к лабораторным занятиям

1. Вабишчэвіч С.В., Кузняцоў А.Ц. Асновы алгарытмізацыі. Частка 1. Алгарытмічная мова. Лабараторны практыкум.– Мн.:БДПУ імя М.Танка, 1999.

2. Вабішчэвіч С.В. Уводзіны ў праграмаванне на мове Паскаль: Лабараторны практыкум. – Мн.:БДПУ імя М.Танка, 2000.

3. Дадатковыя магчымасці мовы Turbo Pascal. Лабараторны практыкум //Аўт.-склад. Л.М. Краўчанка.– Мн.: БДПУ імя М.Танка, 2000.

1. Понятие о структурном программировании

С общей точки зрения процесс решения задачи на ЭВМ включает в себя следующие этапы:

1) постановка задачи;

2) построение математической модели;

3) разработка алгоритма;

4) составление программы;

5) реализация программы на ЭВМ;

6) анализ результатов.

Для организации процесса проектирования кодирования программ со сложной иерархической структурой служит структурное программирование, которое включает три главные составляющие:

1) проектирование сверху вниз;

2) модульное программирование;

3) структурное моделирование.

Проектирование сверху вниз по-другому называют «методом последовательных уточнений», т. к. при этом сначала предусматривается определение задачи в общих чертах, а затем идет постепенное уточнение структуры путем выделения более мелких деталей. На очередном шаге каждая подзадача в свою очередь разбивается на ряд задач (модулей), пока они не станут настолько простыми, что программирование их не составит особого труда. Таким образом, при этом действует метод «от общего к частному».

Разбивание задачи на модули (модуляризация) – непременный компонент любого большого программного проекта. Общепризнанно, что с ростом размеров проекта качество выполнения модуляризации играет очень важную роль в конечном успехе проекта.

Пример. Спроектировать квартал.

Однако прежде чем приступать к программированию, следует проанализировать проект с целью выявления логических ошибок, которые могут возникнуть при проектировании. Такие ошибки легче устранить на стадии программирования, чем исправлять программу.

Заключительный этап структурного программирования — написание программы — в основе которого лежит метод структурного программирования. Этот метод позволяет получать программы более удобные для тестирования, модификации и использования. Он основан на принципе, разработанном итальянскими учеными (Бом, Джакони), согласно которому любая программа произвольного размера и сложности может быть написана с использованием ограниченного набора базисных структур.

В теории структурного моделирования доказано, что любая правильная программа эквивалентна программе, которая содержит в качестве логических структур только:

последовательность двух и более операторов;

условие перехода к одному из двух операторов;

повторение операторов, пока условие истинно (цикл «пока»).

Правила структурного программирования:

1. В каждой структуре используется один вход и один выход;

2. Алгоритм может быть построен так, что все его структуры образовывают линейную цепочку;

3. Следует максимально использовать модульный принцип.

Программирование

Главная → Программирование

Основы Си (19)

Основы VB (15)

Практикум (19)

Python (37)

Паскаль (24)

web (39)

Самоучитель по Си с нуля

Краткий курс для начинающих по языку программирования Си с нуля. Основные операторы , алгоритмы, работа с графикой и массивами и матрицами. По всем темам приведены интересные примеры программ, которые превращают обучение языку Си в увлекательный процесс.

Курс python

Курс программирования python. Основные операторы, возможности языка программирования Python питон

Практикум программирования по Си

Практикум программирования по Си. По основным темам условные алгоритмы, циклические алгоритмы, процедуры, графика, массивы, приведены примеры интересных программ и заданий для самостоятельной работы.

Курс по Vb с нуля

Основы программирования на VB Visual Basic. Учимся создавать приложения под Windows. Работа с основными элементами , циклы, массивы графика в VB.

Курс по Паскаль

Курс программирования на Паскале. Основные операторы,структура программы на Паскаль

Web технологии

Курсы по web технологиям html, php

Воспоминания о разработке языка Паскаль

title={Воспоминания о разработке Паскаля}, автор={Никлаус Вирт}, booktitle={HOPL-II}, год = {1993} }
- Н. Вирт
- Опубликовано в HOPL-II 1 марта 1993 г.
- Информатика
Паскаль был определен в 1970 году и после медленного старта стал одним из наиболее широко используемых языков во вводных курсах программирования. В этой статье сначала подводятся итоги событий, приведших к разработке и реализации Паскаля, а затем продолжается обсуждение некоторых достоинств и недостатков языка. В последней части рассказывается о событиях, последовавших за его выпуском. Его влияние в основном связано с тем, что он является средством структурного программирования и основой для дальнейшего развития…
Просмотр на ACM
DL.ACM.ORG
PASCAL и его преемники
- N. Wirth
- Компьютерная наука
  Pioneers Pioneers
- 2002
. Программировал. синтаксис, представляющий парадигму структурного программирования, за которым последовала Modula-2, которая удовлетворяла потребности модульного программирования в командах.

Развитие процедурных языков программирования: личный вклад и точки зрения
- Н. Вирт
- Информатика
  JMLC
- 2000
и Oberon, и фокусируется на процедурной ветви, направленной на системное программирование и формирующей основу методов и инструментов проектирования и обработки данных.
Модуль-2 и Оберон
- Н. Вирт
- Информатика
  HOPL
- 2007
Это отчет о развитии языков Modula-2 и Oberon, которые отражают основные парадигмы программирования последних десятилетий и указывает, что простота конструкции была наиболее важным руководящим принципом.
От Фортрана и Алгола к объектно-ориентированным языкам
- М. Уилкс
- Информатика
  CACM
- 1993
В этой главе представлен обзор FORTRAN и ALGOL, которые теперь можно признать отдаленными предками современных языков программирования высокого уровня.
Создание компиляторов. Искусство Никлауса Вирта
Эта статья не о новых технологиях компиляции, а о том, как Вирт писал компиляторы.
Вектор Паскаль
- П. Кокшот
- Информатика
- 2001
Vector Pascal — это язык, предназначенный для поддержки элегантных и эффективных выражений алгоритмов с использованием модели вычислений SIMD. Он импортирует в Pascal функции, производные от функциональных…
Снижение барьеров для программирования: систематика сред программирования и языков для начинающих программистов
- Кейтлин Л. Келлехер, Р. Пауш
- Информатика
  CSUR
  4 2005
Классификация языков и сред, предназначенная для того, чтобы сделать программирование более доступным для начинающих программистов всех возрастов, организованная по их основной цели: либо обучать программированию, либо использовать программирование для расширения возможностей своих пользователей.
А. Язык программирования
- . предполагает, что полные компиляторы могут быть получены механически путем обработки набора спецификаций, определяющих исходный язык; доступные этапы анализа, оптимизации и распараллеливания; и соответствующие атрибуты целевого компьютера.
  Годы языков программирования высшего порядка
  - А. Ловренчич, Марио Конецкий, Т. Ореховачки
  - Информатика
  - 2009
  Дан краткий обзор компьютерного программирования и языков программирования последних пятидесяти лет. в частности, описаны парадигмы программирования, их намерения и цели, а также наиболее значимые языки всех парадигм.
  ПОКАЗАНЫ 1-10 ИЗ 29 ССЫЛОК
  СОРТИРОВАТЬ ПОСоответствиеНаиболее влиятельные статьиНедавность
  Оценка языка программирования pascal
  Язык программирования Pascal оценивается с точки зрения «надежного программирования» и с учетом пятилетнего опыта работы с этим языком. Некоторые особенности выбраны, чтобы указать…
  Дизайн компилятора Паскаля
  - Н. Вирт
  - Информатика
    Программное обеспечение. Практика. Эксп.
  - 1971
  Подробно описана разработка компилятора для языка программирования PASCAL1. Проектные решения, касающиеся компоновки программы и данных, организации компилятора, включая…
  Вклад в развитие Алгола
  - Н. Вирт, К. Хоар
  - Информатика
    CACM
  - 9066 9066
    Информатика
    Основными изменениями были: (1) словесные улучшения и пояснения, многие из которых были любезно предложены получателями первоначального проекта; (2) дополнительные или измененные особенности языка, в частности замена древовидных структур записями, предложенная вторым автором.
    Справочное руководство пользователя Standard Pascal
    - Д. Купер
    - Информатика
    - 1983
    Эта книга предназначена для студентов и разработчиков, обладающих лишь человеческими способностями к пониманию и лишь скромными способностями к посту и молитве. поиск синтаксиса или семантики доменного типа или варианта-селектора.
    Язык программирования Concurrent Pascal
    Основной вклад Concurrent Pascal заключается в расширении концепции монитора с помощью явной иерархии прав доступа к общим структурам данных, которые могут быть указаны в тексте программы и проверены компилятором.
    Структурированное программирование
    В первой монографии предполагалось, что при анализе проблемы и поиске решения программист должен использовать преимущества абстрактных понятий, таких как множества, последовательности и отображения; и разумно отложить решение о репрезентации до тех пор, пока он не создаст более подробный код программы.
    Pascal Руководство пользователя и отчет
    - К. Дженсен, Н. Вирт
    - Информатика
      Springer New York
    - 1991
    Это руководство предназначено для тех, кто ранее приобрел некоторые навыки программирования, и основано на языке программирования Pascal (пересмотренный отчет) — основном определении Pascal и кратком справочном руководстве для опытных программистов Pascal.
    Обзор Ады
    - Дж. Барнс
    - Информатика
      Программное обеспечение. Практика. Эксп.
    - 1980
    Основная часть документа представляет собой неофициальное описание основных характеристик окончательного языка, пересмотренного после этапа тестирования и оценки проекта Министерства обороны США.
    Разработка программы путем пошагового уточнения
    - Н. Вирт
    - Информатика
      САСМ
    - 1983
    Процесс последовательного уточнения
  проиллюстрирован из ряда нетривиальных выводов обращены к искусству и обучению программирования.
  Pascal — Язык и его реализация
  В этой книге собраны материалы недавнего симпозиума, переиздания ряда редких классических работ по PASCAL и некоторые промежуточные материалы авторов симпозиума, представляющие различные взгляды на язык программирования PASCal.
  Блез Паскаль | Краткий обзор истории математики | В.В. Роуз Мяч
  Для встроенного аудиоплеера требуется современный интернет-браузер. Вы должны посетить Browse Happy и обновить свой интернет-браузер сегодня!
  Среди современников Декарта никто не проявлял большей естественной гениальности, чем Паскаль, но его математическая репутация основывается больше на том, что он мог бы сделать, чем на том, что он действительно совершил, так как в течение значительной части своей жизни он считал своим долгом посвятить все свое время к религиозным упражнениям.
  Блез Паскаль родился в Клермоне 19 июня 1623 г. и умер в Париже 19 августа 1662 г. Его отец, местный судья в Клермоне и сам пользовавшийся некоторой научной репутацией, переехал в Париж в 1631 г., отчасти для того, чтобы преследовать собственные дела. научные занятия, отчасти для того, чтобы продолжить образование своего единственного сына, уже проявившего незаурядные способности. Паскаля оставили дома, чтобы он не переутомлялся, и с той же целью было предписано, чтобы его образование сначала ограничивалось изучением языков и не включало никакой математики. Это, естественно, возбудило любопытство мальчика, и однажды, в возрасте двенадцати лет, он спросил, из чего состоит геометрия. Его наставник ответил, что это наука построения точных фигур и определения пропорций между их различными частями. Паскаль, побужденный, несомненно, запретом на ее чтение, посвятил свое время этому новому исследованию и через несколько недель открыл для себя многие свойства фигур, в частности положение о том, что сумма углов треугольник равен двум прямым углам. Я где-то читал, но не могу приложить руку к авторитету, что его доказательство просто состояло в том, чтобы перевернуть угловые точки треугольного листа бумаги так, чтобы они встретились в центре вписанного круга: подобное доказательство можно получить перевернув угловые точки так, чтобы они встретились у основания перпендикуляра, проведенного из наибольшего угла в противоположную сторону. Его отец, пораженный этим проявлением способностей, дал ему копию «9» Евклида.0283 Элементы , книгу, которую Паскаль читал с жадностью и вскоре освоил.
  В возрасте четырнадцати лет его допустили на еженедельные собрания Роберваля, Мерсенна, Мидоржа и других французских геометров; из которого, в конечном счете, возникла Французская академия. В шестнадцать лет Паскаль написал сочинение о конических сечениях; а в 1641 году, в возрасте восемнадцати лет, он сконструировал первую арифметическую машину, инструмент, который восемь лет спустя он усовершенствовал. Его переписка с Ферма об этом времени показывает, что он тогда обратил свое внимание на аналитическую геометрию и физику. Он повторил опыты Торричелли, с помощью которых давление атмосферы можно было оценить как вес, и подтвердил свою теорию о причине барометрических колебаний, получив в одно и то же мгновение показания на разных высотах на холме Пюи-де-Дом.
  В 1650 г., в разгар этих исследований, Паскаль внезапно отказался от своих любимых занятий, чтобы изучать религию, или, как он говорит в своих « Мыслях» , «созерцать величие и нищету человека»; и примерно в то же время он убедил младшую из двух своих сестер вступить в общество Порт-Рояля.
  В 1653 году ему пришлось управлять имением отца. Теперь он снова вернулся к своей прежней жизни и провел несколько опытов по давлению, оказываемому газами и жидкостями; Примерно в это же время он изобрел арифметический треугольник и вместе с Ферма создал исчисление вероятностей. Он размышлял о свадьбе, когда несчастный случай снова обратил его мысли к религиозной жизни. Он вел четверку 23 ноября 1654 года, когда лошади убежали; два вождя бросились через бруствер моста в Нейи, и Паскаля спасло только то, что оборвались следы. Всегда немного мистик, он считал это особым призывом покинуть мир. Он написал отчет о несчастном случае на маленьком кусочке пергамента, который всю оставшуюся жизнь носил рядом с сердцем, чтобы постоянно напоминать ему о своем завете; и вскоре переехал в Порт-Рояль, где продолжал жить до своей смерти в 1662 году. Конституционно хрупкий, он подорвал свое здоровье непрекращающейся учебой; с семнадцати или восемнадцати лет он страдал бессонницей и острой диспепсией, а к моменту смерти был физически истощен.
  Его знаменитые Провинциальные письма , направленные против иезуитов, и его Мысли были написаны в конце его жизни и представляют собой первый пример той законченной формы, которая характерна для лучшей французской литературы. Единственной математической работой, которую он написал после ухода на пенсию в Порт-Рояль, было эссе о циклоиде в 1658 году. Когда эта идея пришла ему в голову, он страдал от бессонницы и зубной боли, и, к его удивлению, его зубы сразу же перестали болеть. Расценив это как божественное указание приступить к решению задачи, он неустанно работал над ней в течение восьми дней и завершил довольно полное изложение геометрии циклоиды.
  Теперь я приступаю к более подробному рассмотрению его математических работ.
  Его раннее эссе по геометрии коник, написанное в 1639 г., но не опубликованное до 1779 г., похоже, было основано на учении Дезарга. Два результата важны и интересны. Первая из них — это теорема, известная теперь как «теорема Паскаля», а именно, что если шестиугольник вписать в конику, то точки пересечения противоположных сторон будут лежать на одной прямой. Второе, действительно принадлежащее Дезаргу, состоит в том, что если четырехугольник вписать в конику и провести прямую, пересекающую стороны, взятые по порядку в точках A , B , C и D , а конические в P и Q , затем
  ПА . ПК : ПБ . PD = QA . КК : КВ . КД .
  Паскаль использовал свой арифметический треугольник в 1653 году, но описание его метода не было напечатано до 1665 года. Треугольник построен так, как показано на рисунке ниже, каждая горизонтальная линия образована из расположенной над ней путем приравнивания каждого числа в ней к сумма тех, что выше и левее от него в строке непосредственно над ним; упр. гр. четвертое число в четвертой строке, а именно 20, равно 1+3+6+10.
  Числа в каждой строке — это то, что теперь называется фигуративными числами. Те, что в первой строке, называются числами первого порядка; те, что во второй строке, натуральные числа или числа второго порядка; те, что в третьей строке, числа третьего порядка и так далее. Легко показать, что m-е число в n-й строке равно (m+n-2)! / (м-1)!(н-1)!
  Арифметический треугольник Паскаля в любом необходимом порядке получается путем проведения диагонали справа налево сверху вниз, как показано на рисунке. Числа на любой диагонали дают коэффициенты разложения двучлена; например, цифры на пятой диагонали, а именно 1, 4, 6, 4, 1, являются коэффициентами разложения ( а + б ) ⁴ . Паскаль использовал треугольник отчасти для этой цели, а отчасти для того, чтобы найти количество комбинаций m вещей, взятых по n одновременно, которые, как он правильно определил, равны (n+1)(n+2)(n+3). .. м/(м-н)!
  Возможно, как математик Паскаль наиболее известен в связи с его перепиской с Ферма в 1654 г., в которой он изложил принципы теории вероятностей. Эта переписка возникла из задачи, предложенной игроком, шевалье де Мере, Паскалю, который сообщил ее Ферма. Проблема заключалась в следующем. Два игрока с одинаковым мастерством хотят покинуть стол до того, как закончат свою игру. Их очки и количество очков, составляющих данную игру, желательно найти, в какой пропорции они должны делить ставки. Паскаль и Ферма согласились с ответом, но дали разные доказательства. Ниже приводится перевод решения Паскаля. Ферма дается позже.
  Ниже приводится мой метод определения доли каждого игрока, когда, например, два игрока играют в игру на три очка и каждый игрок поставил 32 пистоля.
  Предположим, что первый игрок набрал два очка, а второй игрок — одно очко; теперь они должны играть за очко при том условии, что если первый игрок выиграет, он заберет все деньги, которые поставлены на карту, а именно 64 пистоля; а если второй игрок выиграет, то каждый игрок имеет по два очка, так что на условиях равенства, а если они перестанут играть, то каждый должен взять по 32 пистоля. Таким образом, если первый игрок выигрывает, то ему принадлежит 64 пистоля, а если он проигрывает, то ему принадлежит 32 пистоля. Если поэтому игроки не хотят играть в эту игру, а разошлись, не играя в нее, то первый игрок сказал бы второму: «Я уверен в 32 пистолях, даже если я проиграю эту партию, а что касается остальных 32 пистолей, то, может быть, я они будут у вас, и, может быть, они будут у вас, шансы равны. Давайте тогда разделим эти 32 пистоля поровну и дадим мне также те 32 пистоля, в которых я уверен». Таким образом, у первого игрока будет 48 пистолей, а у второго 16 пистолей.
  Далее предположим, что первый игрок набрал два очка, а второй — ни одного, и что они собираются играть за очко; тогда условие состоит в том, что если первый игрок наберет это очко, то он обеспечит игру и возьмет 64 пистоля, а если второй игрок наберет это очко, то игроки окажутся в уже рассмотренной ситуации, в которой первый игрок имеет право на 48 пистолей, а второй на 16 пистолей. Таким образом, если они не хотят играть, первый игрок сказал бы второму: «Если я получу очко, я получу 64 пистоля; если я его проиграю, мне полагается 48 пистолей. Дайте мне тогда 48 пистолей, из которых я уверен, а остальные 16 делим поровну, так как наши шансы получить очко равны». Таким образом, у первого игрока будет 56 пистолей, а у второго — 8 пистолей.
  Наконец, предположим, что первый игрок получил одно очко, а второй — ни одного. Если они продолжают играть за очко, условие состоит в том, что, если первый игрок наберет его, игроки окажутся в ситуации, рассмотренной первыми, в которой первый игрок имеет право на 56 пистолей; если первый игрок теряет очко, каждый игрок получает по очку, и каждый имеет право на 32 пистоля. Таким образом, если они не хотят играть, первый игрок сказал бы второму: «Дайте мне 32 пистоля, в которых я уверен, а остальные 56 пистолей разделите поровну, то есть разделите 24 пистоля поровну». Таким образом, у первого игрока будет сумма 32 и 12 пистолей, т. е. 44 пистоля, а следовательно, у второго будет 20 пистолей.
  Затем Паскаль переходит к рассмотрению аналогичных задач, когда игру побеждает тот, кто первым наберет 90 283 m 90 284 + 90 283 n 90 284 очков, и у одного игрока 90 283 m 90 284, а у другого 90 283 n 90 284 очков. Ответ получается с помощью арифметического треугольника. Общее решение (в котором мастерство игроков неодинаково) дано во многих современных учебниках по алгебре и согласуется с результатом Паскаля, хотя, конечно, обозначения последнего иные и менее удобные.
  Паскаль незаконно использовал новую теорию в седьмой главе своих « мыслей ». По сути, он приводит свой аргумент, что, поскольку ценность вечного счастья должна быть бесконечной, то, даже если вероятность того, что религиозная жизнь обеспечит вечное счастье, очень мала, все же ожидание (которое измеряется произведением двух) должно быть достаточно значительным, чтобы иметь смысл быть религиозным. Этот аргумент, если он чего-то стоит, в равной степени применим к любой религии, обещающей вечное счастье тем, кто принимает ее учения. Если из этого утверждения можно сделать какой-либо вывод, то это нежелательность применения математики к вопросам морали, некоторые данные по которым неизбежно выходят за рамки точной науки. Справедливо добавить, что никто, кроме Паскаля, не испытывал большего презрения к тем, кто меняет свое мнение в надежде на материальную выгоду, и этот отдельный отрывок противоречит духу его сочинений.
  Последней математической работой Паскаля была работа над циклоидой в 1658 году. Циклоида — это кривая, проведенная точкой на окружности круглого кольца, катящегося по прямой линии. Галилей в 1630 году обратил внимание на эту кривую, форма которой особенно изящна, и предложил строить арки мостов в такой форме. Четыре года спустя, в 1634 г., Роберваль нашел область циклоиды; Декарт мало думал об этом решении и бросил ему вызов, чтобы найти его касательные, тот же самый вызов был также послан Ферма, который сразу же решил проблему. Несколько вопросов, связанных с кривой, а также с поверхностью и объемом, порожденными ее вращением вокруг своей оси, основания или касательной в ее вершине, были тогда предложены различными математиками. Эти и некоторые аналогичные вопросы, а также положения центров масс образующихся твердых тел были решены Паскалем в 1658 г., а результаты были выданы как вызов миру, Уоллису удалось решить все вопросы, кроме тех, связан с центром масс. Собственные решения Паскаля были получены методом неделимых и подобны решениям, которые современный математик дал бы с помощью интегрального исчисления.