Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях: Геометрические фигуры и композиция фотографии

Содержание

Геометрические фигуры и композиция фотографии

Какие мысли, какие понятия приходят к вам в голову в первую очередь, когда вы вспоминаете о фотографической композиции? Многие скажут: равновесие в кадре, правило третей, ритмика, направляющие линии… Да, всё это так. Всё это влияет на композицию кадра. Всё это работает и работает прекрасно. Но не только это! Еще есть ракурс, перспектива, взаимоотношение тонов, цветов, контрастов… Всё это фотографу нужно знать и обязательно изучать композицию, законы построения изображения на плоскости. Те, кто недавно решил серьезно заняться фототоворчеством, кто только-только пришел в фотографию и пока еще открывает ее для себя, знакомится с правилами и законами композиции, порой даже и предположить не может, как много интересного включает в себя это интереснейшее искусство. Законы композиции намного глубже, чем это может показаться на первый взгляд. Но приступая к изучению композиции, волноваться ни в коем не стоит. Это не так уж и сложно. Просто постепенно знакомясь с ее законами, осваивая их, нужно тренироваться.

Как? Как говаривал известный киногерой, «Элементарно. Ватсон!». Больше фотографировать! Благо, нынешняя техника позволяет фотографировать много. В фотопленке и дорогих расходных материалах сегодня нужды практически нет.

Сегодня же мы решили поговорить с вами о геометрии в композиции. Да-да! Не удивляйтесь! Именно геометрия является одним из самых важных аспектов композиции. И в этой статье мы попробуем вам это доказать.

Основная масса имеющих фотоаппарат, сами о том не думая, при фотографировании неосознанно используют свои познания в геометрии, вводя в тот или иной кадр различные геометрические формы. Не верите? Читайте статью дальше – и вы убедитесь в нашей правоте. Хочется думать, что изложенная чуть ниже информация даст вам толчок к дальнейшему развитию владения композицией, к дальнейшему совершенствованию вашего мастерства в фотоискусстве.

Прямоугольники

Использование в композиции фотографии этих, пожалуй, самых популярных в геометрии фигур сродни использованию правила третей. Но, в отличие от этого известного правила, кадр делится не на три воображаемые равные части, а на воображаемые прямоугольники самых разных размеров. Посмотрите хотя бы вот на этот снимок. Нижняя часть фотографии, берег и трава, образуют горизонтальный прямоугольник. А левая сторона снимка, там где большое голубое пятно водной глади — прямоугольник вертикальный. Эти два прямоугольника в композиции снимка очень хорошо выделяют стоящий на берегу фонарь. Он выглядит как изолированный, самостоятельный объект.

Круги

У кругов своя энергетика. Они как бы концентрируют в себе некую энергию, и тем самым направляют взгляд зрителя в глубину кадра. Для того чтобы создавать эффектную композицию, опытные фотографы и хорошие художники часто используют не только круги, но и полукруги. Вот на этой фотографии, которую мы привели для примера, это очень хорошо видно. Круги в ее композиции концентрируют внимание рассматривающего снимок и постепенно подводят его к главному в кадре – к рассматриванию находящихся вдалеке красивых горных вершин.

Треугольники

Треугольник – самый, пожалуй, часто встречающийся в композиции любого изображения на плоскости геометрический элемент. Посмотрите внимательно хотя бы на свои собственные фотографии. Обратите внимание: треугольники повсюду! Они буквально рассыпаны по вашим снимкам! Вот вам для примера – самый обыкновенный горный пейзаж. Треугольники на этой фотографии создают воображаемый, но вполне естественный путь, который ведет взгляд зрителя, рассматривающего снимок, от изгороди на переднем плане по направлению к собственно горам. Да и сами горы, приглядитесь, тоже имеют форму треугольника!

Многоугольники

Смотря в видоискатель фотокамеры, большинство фотографов, особенно начинающих, вряд ли думают о том, что вот сейчас, мысленно работая над композицией будущего кадра, они будут представлять себе какие-то многоугольники. Но потом, когда свои снимки они увидят уже на экране монитора, будут очень и очень удивлены: многоугольников на них будет огромное количество! Именно они и придают фотографиям визуальный смысл. Обратите внимание вот на эти снимки. На них хорошо видно, что геометрические многоугольники появляются в плоскости кадра не только за счет формы самих объектов съемки. Они хорошо просматриваются также и за счет контраста отдельных участков, за счет световых пятен и теней.

Квадраты

Квадрат считается идеальной фигурой не только в геометрии, но и вообще в изобразительном искусстве в целом. Вспомните, хотя бы, знаменитый «Черный квадрат» Казимира Малевича. И для фотографии квадрат – идеальная форма. Посмотрите на эту иллюстрацию. Главный объект фотографии легко и непринужденно вписывается в квадрат. И этот квадрат, в свою очередь, прекрасно гармонирует с другими квадратами – квадратами, образующимися из книг и книжных полок на втором плане.

Арки

Арки в своем проявлении в композиции построения изображения на плоскости в чем-то повторяют «работу» окружностей. Но, в отличие от окружностей, арки – это, скорее, фоновый элемент, нежели чем самостоятельная геометрическая форма. Вот на этой фотографии, например, женские руки, держащие розу и сложенные в форме сердца, образуют собой целых три арки! И эти воображаемые арки образуют как бы рамку, обрамляющую красивый и нежный цветок.

Сходящиеся и параллельные линии

Любой опытный фотограф или художник вам скажет о том, что правильно использовать в композиции различного рода линии бывает очень тяжело. Тем не менее, это вполне возможно. И сходящиеся линии, и параллельные, могут, и даже, больше того, должны быть эффектно использованы в композиции кадра! Особенно эффектно работают такие линии при компоновке фона. Вот посмотрите на этот снимок. На нем легко увидеть и сходящиеся, и параллельные линии. Они очень хорошо направляют взгляд зрителя к главному объекту фотографии – к сидящему на траве человеку. Плюс ко всему, эти линии визуально как бы отражаются друг от друга.

Отношение и баланс пространства

Если вы хотите добавить в свои фотоработы побольше смысла, в некотором роде увеличить их эмоциональное воздействие на зрителя, то постарайтесь разобраться с пониманием пространства.

В некоторых случаях, композиционно фотографии могут быть на первый взгляд достаточно просты. Вот как эти, например. Что тут важнее всего? Правильно. Близость зрителя к показанной автором скамейке и наличием пространства, а точнее даже, пустоты непосредственно за ней. Подобного рода композиционное построение кадра позволяет зрителю мысленно, на уровне подсознания воссоздать в своем представлении историю этого сюжета, основываясь на своих переживаниях, на своем личном опыте, на своих эмоциях.

Не пожалейте своего времени для того, чтобы разобраться со всем тем, о чем мы вам сегодня рассказали. Постарайтесь понять, как влияют геометрические элементы на композицию изображения на плоскости. Возможно, это понимание придет к вам не сразу. Но это совсем не страшно. Главное, нам кажется, что мы, так сказать, посеяли свое семечко. Вам же осталось дожидаться сначала всходов, а через некоторое время и плодов.

Татьяна Ё — персональный бизнес-коуч

Геометрия.

Учебник для 7-9 классов. Погорелов А.В.

http://www.alleng.ru/d/math/math63_1.htm

ОГЛАВЛЕНИЕ

вопросы

7 КЛАСС

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур

1. Геометрические фигуры

2. Точка и прямая

3. Отрезок

4. Измерение отрезков

5. Полуплоскости

6. Полупрямая

7. Угол

Откладывание отрезков и углов

9. Треугольник

10. Существование треугольника, равного данному

11. Параллельные прямые

12. Теоремы и доказательства

13. Аксиомы

Контрольные вопросы

1. Приведите примеры геометрических фигур

2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости

3. Как обозначаются точки и прямые?

4. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых

5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках

Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой

7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков

8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?

9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?

10. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости

11. Что такое полупрямая, или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?

12. Как обозначаются полупрямые?

13. Какая фигура называется углом?

14. Как обозначается угол?

15. Какой угол называется развернутым?

16. Объясните, что означает выражение: «полупрямая проходит между сторонами угла»

17.

В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение

18. Сформулируйте основные свойства измерения углов

19. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов

20. Что такое треугольник?

21. Что такое угол треугольника при данной вершине?

22. Какие отрезки называются равными?

23. Какие углы называются равными?

24. Какие треугольники называются равными?

25. Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?

26. Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному

27. Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?

28.

Сформулируйте основное свойство параллельных прямых

29. Приведите пример теоремы

30. Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с. 4-15)? Приведите другие примеры геометрических фигур

Задачи

§ 2. Смежные и вертикальные углы

14. Смежные углы

15. Вертикальные углы

16. Перпендикулярные прямые

17. Доказательство от противного

18. Биссектриса угла

19. Что надо делать, чтобы успевать по геометрии

Контрольные вопросы

Какие углы называются смежными?

2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°

3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны

4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?

5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол

6. Какие углы называются вертикальными?

7. Докажите, что вертикальные углы равны

8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые

9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?

10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну

11.

Что такое перпендикуляр к прямой?

12. Объясните, в чем состоит доказательство от противного

13. Что называется биссектрисой угла?

14. Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с. 22-26)? Приведите свои примеры геометрических фигур

Задачи

§ 3. Признаки равенства треугольников

20. Первый признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними

21. Использование аксиом при доказательстве теорем

22. Второй признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам

23. Равнобедренный треугольник

24.

Обратная теорема

25. Высота, биссектриса и медиана треугольника

26. Свойство медианы равнобедренного треугольника

27. Третий признак равенства треугольников по трём сторонам

28. Как готовиться по учебнику самостоятельно

Контрольные вопросы

1. Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?

2. Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников

3. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?

Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны

5. Какой треугольник называется равносторонним?

6. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный

7. Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?

8. Что такое высота треугольника?

9. Что такое биссектриса треугольника?

10. Что такое медиана треугольника?

11. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой

12. Докажите третий признак равенства треугольников

13. Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с.

29-32)? Приведите свои примеры геометрических фигур.

Задачи

§ 4. Сумма углов треугольника

29. Параллельность прямых

30. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

31. Признак параллельности прямых

32. Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

33. Сумма углов треугольника

34. Внешние углы треугольника

35. Прямоугольный треугольник

36. Существование и единственность перпендикуляра к прямой

37.

Из истории возникновения геометрии

Контрольные вопросы

1. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны

2. Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?

3. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°

4. Докажите признак параллельности прямых

5. Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот

6. Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую.

Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?

7. Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°

8. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой

9. Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°

10. Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые

11. Что такое внешний угол треугольника?

12. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним

13. Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним

14.

Какой треугольник называется прямоугольным (остроугольным, тупоугольным)?

15. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

16. Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?

17. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников

18. Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один

19. Что называется расстоянием от точки до прямой?

20. Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми

Задачи

§ 5. Геометрические построения

38.

Окружность

39. Окружность, описанная около треугольника

40. Касательная к окружности

41. Окружность, вписанная в треугольник

42. Что такое задачи на построение

43. Построение треугольника с данными сторонами

44. Построение угла, равного данному

45. Построение биссектрисы угла

46. Деление отрезка пополам

47. Построение перпендикулярной прямой

48. Геометрическое место точек

49. Метод геометрических мест

Контрольные вопросы

Что такое окружность, центр окружности, радиус?

2. Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?

3. Какая окружность называется описанной около треугольника?

4. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

5. Какая прямая называется касательной к окружности?

6. Что значит: окружности касаются в данной точке?

7. Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?

8. Какая окружность называется вписанной в треугольник?

9. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис

10.

Объясните, как построить треугольник по трем сторонам

11. Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу

12. Объясните, как разделить данный угол пополам

13. Объясните, как разделить отрезок пополам

14. Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой

15. Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек?

16. Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с. 43-60)? Приведите свои примеры геометрических фигур

Задачи

8 КЛАСС

§ 6. Четырёхугольники

50.

Определение четырёхугольника

51. Параллелограмм

52. Свойство диагоналей параллелограмма

53. Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма

54. Прямоугольник

55. Ромб

56. Квадрат

57. Теорема Фалеса

58. Средняя линия треугольника

59. Трапеция

60. Пропорциональные отрезки

61. Замечательные точки в треугольнике

Контрольные вопросы

Какая фигура называется четырехугольником?

2. Какие вершины четырехугольника называются соседними, какие – противолежащими?

3. Что такое диагонали четырехугольника?

4. Какие стороны четырехугольника называются соседними? Какие называются противолежащими?

5. Как обозначается четырехугольник?

6. Что такое параллелограмм?

7. Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом

8. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

9. Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны

10.

Что такое прямоугольник?

11. Докажите, что диагонали прямоугольника равны

12. Что такое ромб?

13. Докажите, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом; диагонали ромба являются биссектрисами его углов

14. Что такое квадрат? Перечислите свойства квадрата

15. Докажите теорему Фалеса

16. Докажите, что средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны

17. Какой четырехугольник называется трапецией?

18. Какая трапеция называется равнобокой?

19. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований

20. Докажите теорему о пропорциональных отрезках

21.

Что такое ортоцентр треугольника и окружность Эйлера?

22. Докажите, что середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника лежат на окружности Эйлера

23. Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с. 72-82)? Приведите свои примеры геометрических фигур

Задачи

§ 7. Теорема Пифагора

62. Косинус угла

63. Теорема Пифагора

64. Египетский треугольник

65. Перпендикуляр и наклонная

66. Неравенство треугольника

67.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

68. Основные тригонометрические тождества

69. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

70. Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании угла

Контрольные вопросы

1. Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника

2. Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника

3. Докажите теорему Пифагора

4. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов

Докажите, что cos α < 1 для острого угла α

6. Докажите, что если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше

7. Докажите неравенство треугольника

8. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон

9. Дайте определения синуса, тангенса и котангенса острого угла. Докажите, что они зависят только от градусной меры угла.

10. Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет?

11. Докажите тождества: sin²α + cos²α = 1; 1 + tg²α = 1 / cos²α; 1 + ctg²α = 1 / sin²α

12.

Докажите, что для любого острого угла α: sin (90° — α) = cos α, cos (90° — α) = sin α

13. Чему равны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60°?

14. Докажите, что sin α и tg α возрастают при возрастании острого угла α, а cos α и ctg α убывают

Задачи

§ 8. Декартовы координаты на плоскости

71. Определение декартовых координат

72. Координаты середины отрезка

73. Расстояние между точками

74. Уравнение окружности

75. Уравнение прямой

76. Координаты точки пересечения прямых

77.

Расположение прямой относительно системы координат

78. Угловой коэффициент в уравнении прямой

79. График линейной функции

80. Пересечение прямой с окружностью

81. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла от 0° до 180°

Контрольные вопросы

1. Объясните, как определяются координаты точки

2. Какие знаки у координат точки, если она принадлежит первой (второй, третьей, четвертой) четверти?

3. Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси ординат? Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс? Чему равны координаты начала координат?

Выведите формулы для координат середины отрезка

5. Выведите формулу для расстояния между точками

6. Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?

7. Выведите уравнение окружности

8. Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ax + by + c = 0

9. Как найти координаты точек пересечения двух прямых, если заданы уравнения этих прямых?

10. Как расположена прямая, если в ее уравнении коэффициент a = 0 (b = 0, c = 0)?

11. Что такое угловой коэффициент прямой и каков его геометрический смысл?

12. Докажите, что график линейной функции – прямая

13. При каком условии прямая и окружность не пересекаются, пересекаются в двух точках, касаются?

14.

Дайте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла от 0° до 180°

15. Докажите, что для любого угла α (0° < α < 180°) sin (180° — α) = sin α, cos (180° — α) = -cos α, ctg (180° — α) = -ctg α

Задачи

§ 9. Движение

82. Преобразование фигур

83. Свойства движения

84. Симметрия относительно точки

85. Симметрия относительно прямой

86. Поворот

87. Параллельный перенос и его свойства

88. Существование и единственность параллельного переноса. Сонаправленность полупрямых

89.

Геометрические преобразования на практике

90. Равенство фигур

Контрольные вопросы

1. Какое преобразование фигуры называется движением?

2. Докажите, что точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения

3. Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при движении?

4. Докажите, что при движении сохраняются углы

5. Объясните, какие точки называются симметричными относительно данной точки

6. Какое преобразование называется симметрией относительно данной точки?

7. Какая фигура называется центрально-симметричной?

Что такое центр симметрии фигуры? Приведите пример центрально-симметричной фигуры

9. Докажите, что симметрия относительно точки есть движение

10. Какие точки называются симметричными относительно данной прямой?

11. Какое преобразование называется симметрией относительно данной прямой?

12. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

13. Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример

14. Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение

15. Какое движение называется поворотом?

16. Что такое параллельный перенос?

17. Какие вы знаете свойства параллельного переноса?

18.

Докажите существование и единственность параллельного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку

19. Какие полупрямые называются одинаково направленными; противоположно направленными?

20. Докажите, что если полупрямые a и b одинаково направлены и полупрямые b и c одинаково направлены, то полупрямые a и c тоже одинаково направлены

21. Какие фигуры называются равными?

22. Какие геометрические фигуры и их свойства можно увидеть на фотографиях (с. 125-133)? Приведите свои примеры из окружающего мира

Задачи

§10. Векторы

91. Абсолютная величина и направление вектора

92. Равенство векторов

93.

Координаты вектора

94. Сложение векторов

95. Сложение сил

96. Умножение вектора на число

97. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

98. Скалярное произведение векторов

99. Разложение вектора по координатным осям

Контрольные вопросы

1. Что такое вектор? Ка обозначаются векторы?

2. Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)?

3. Что такое абсолютная величина вектора?

4. Что такое нулевой вектор?

Какие векторы называются равными?

6. Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равны по абсолютной величине, равны

7. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один

8. Что такое координаты вектора? Чему равна абсолютная величина вектора с координатами a₁, a₂?

9. Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны

10. Дайте определение суммы векторов

11. Докажите, что для любых векторов a ̅ и b ̅ a ̅+b ̅= b ̅+ a ̅ .

12. Докажите, что для любых трех векторов a ̅,b ̅,c ̅ a ̅+(b ̅+ c ̅ )=(a ̅+ b ̅ )+ c ̅

13.

Докажите, что для получения суммы векторов a ̅ и b ̅ надо от конца вектора a ̅ отложить вектор (b’) ̅ равный b ̅. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a ̅, а конец – с концом вектора (b’) ̅, равен a ̅+b ̅

14. Сформулируйте «правило параллелограмма» сложения векторов

15. Дайте определение разности векторов

16. Дайте определение умножения вектора на число

17. Докажите, что абсолютная величина вектора λā при ā ≠ 0 ̅ совпадает с направлением вектора ā, если λ > 0, и противоположно направлению вектора ā, если λ < 0

18. Какие векторы называются коллинеарными?

19. Докажите, что если векторы a ̅ и b ̅ отличны от нулевого вектора и не коллинеарны, то любой вектор c ̅ можно представить в виде c ̅ = λā + μ b ̅

20.

Дайте определение скалярного произведения векторов

21. Докажите, что для любых трех векторов a ̅,b ̅,c ̅ (a ̅+b ̅ ) c ̅=a ̅c ̅+b ̅c ̅

22. Как определяется угол между векторами?

23. Чему равен угол между одинаково направленными векторами?

24. Докажите, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними

25. Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны

Задачи

9 КЛАСС

§11.

Подобие фигур

100. Преобразование подобия

101. Свойства преобразования подобия

102. Подобие фигур

103. Признак подобия треугольников по двум углам

104. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

105. Признак подобия треугольников по трём сторонам

106. Подобие прямоугольных треугольников

107. Углы, вписанные в окружность

108. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

109. Измерение углов, связанных с окружностью

Контрольные вопросы

Что такое преобразование подобия?

2. Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)?

3. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия

4. Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми

5. Какие фигуры называются подобными?

6. Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?

7. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам

8. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

9. Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам

10.

Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу

11. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу

12. Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам

13. Что такое плоский угол?

14. Что такое центральный угол?

15. Какой угол называется вписанным в окружность?

16. Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла

17. Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих

Задачи

§ 12.

Решение треугольников

110. Теорема косинусов

111. Теорема синусов

112. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами

113. Решение треугольников

Контрольные вопросы

1. Докажите теорему косинусов

2. Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. От чего зависит знак «+» или «-»?

3. Докажите теорему синусов

4. Докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона

Задачи

§ 13.

Многоугольники

114. Ломаная

115. Выпуклые многоугольники

116. Правильные многоугольники

117. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников

118. Построение некоторых правильных многоугольников

119. Вписанные и описанные четырёхугольники

120. Подобие правильных выпуклых многоугольников

121. Длина окружности

122. Радианная мера угла

Контрольные вопросы

1. Что такое ломаная, длина ломаной?

Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы

3. Что такое многоугольник, выпуклый многоугольник?

4. Что такое плоский многоугольник?

5. Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине?

6. Выведите формулу для суммы углов выпуклого многоугольника

7. Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?

8. Докажите, что правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности

9. Что называется центром многоугольника? Центральным углом многоугольника?

10. Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного n-угольника

11.

Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника

12. Как построить правильный выпуклый шестиугольник, треугольник, четырехугольник, восьмиугольник?

13. Докажите, что правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны

14. Докажите, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т.е. одно и то же для всех окружностей

15. По какой формуле вычисляется длина окружности?

16. По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?

17. Что такое радианная мера угла?

18. Чему равны радианные меры углов 180° и 90°?

Задачи

§ 14.

Площади фигур

123. Понятие площади

124. Площадь прямоугольника

125. Площадь параллелограмма

126. Площадь треугольника

127. Равновеликие фигуры

128. Площадь трапеции

129. Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

130. Площади подобных фигур

131. Площадь круга

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте свойства площади для простых фигур

Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон

3. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне

4. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне

5. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними

6. Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту

7. Как относятся площади подобных фигур?

8. Выведите формулу площади круга

9. По каким формулам вычисляются площади кругового сектора и кругового сегмента?

Задачи

§ 15.

Элементы стереометрии

132. Аксиомы стереометрии

133. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

134. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

135. Многогранники.

Задачи

136. Тела вращения

Задачи

Ответы и указания к задачам (надо перенести в соответсвующую колонку, рядом с задачей)

Предметный указатель (список слов) в эту графу

10-11 класс

Геометрия.

Учебник для 10-11 классов. Погорелов А.В.

http://www.alleng.ru/d/math/math63_2.htm

СОДЕРЖАНИЕ

10 КЛАСС

§ 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

1. Аксиомы стереометрии

2. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку

3. Пересечение прямой с плоскостью

4. Существование плоскости, проходящей через три данные точки

5. Замечание к аксиоме I

6. Разбиение пространства плоскостью на два полупространства

Контрольные вопросы 10.

1. Что такое стереометрия?

2. Назовите основные фигуры в пространстве

3. Сформулируйте три аксиомы стереометрии

4. Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну

5. Докажите, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости

6. Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну

Задачи 10.

§ 2. Параллельность прямых и плоскостей

7. Параллельные прямые в пространстве 11.

Признак параллельности прямых 13.

9. Признак параллельности прямой и плоскости 14.

10. Признак параллельности плоскостей 15.

11. Существование плоскости, параллельной данной плоскости 16.

12. Свойства параллельных плоскостей 17.

13. Изображение пространственных фигур на плоскости 18.

Контрольные вопросы 20.

1. Какие прямые в пространстве называются параллельными?

2. Какие прямые называются скрещивающимися?

3. Докажите, что через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну

Докажите признак параллельности прямых

5. Что значит: прямая и плоскость параллельны?

6. Докажите признак параллельности прямой и плоскости

7. Какие плоскости называются параллельными?

8. Докажите признак параллельности плоскостей

9. Докажите, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну

10. Докажите, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны

11. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны

12. Перечислите свойства параллельного проектирования

13.

Что такое центральное проектирование и чем оно отличается от параллельного проектирования?

Задачи 20.

§ 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей

14. Перпендикулярность прямых в пространстве 25.

15. Признак перпендикулярности прямой и плоскости 26.

16. Построение перпендикулярных прямой и плоскости 27.

17. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости 28.

18. Перпендикуляр и наклонная 30.

19. Теорема о трех перпендикулярах 31.

20. Признак перпендикулярности плоскостей 32.

21.

Расстояние между скрещивающимися прямыми 33.

22. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении 34.

Контрольные вопросы 35.

1. Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?

2. Докажите, что пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны

3. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости

4. Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости

5. Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой

6. Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны

Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?

8. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

9. Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной?

10. Докажите теорему о трех перпендикулярах

11. Какие плоскости называются перпендикулярными?

12. Докажите признак перпендикулярности плоскостей

13. Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся прямых?

14. Докажите, что скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые

15. Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?

Задачи 35.

§ 4. Декартовы координаты и векторы в пространстве

23. Введение декартовых координат в пространстве 42.

24. Расстояние между точками 43.

25. Координаты середины отрезка 44.

26. Преобразование симметрии в пространстве 45.

27. Симметрия в природе и на практике 46.

28. Движение в пространстве 46.

29. Параллельный перенос в пространстве 47.

30. Подобие пространственных фигур 48.

31. Угол между скрещивающимися прямыми 49.

32.

Угол между прямой и плоскостью 51.

33. Угол между плоскостями 52.

34. Площадь ортогональной проекции многоугольника 53.

35. Векторы в пространстве 54.

36. Действия над векторами в пространстве 55.

37. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам 56.

38. Уравнение плоскости 57.

Контрольные вопросы 59.

1. Объясните, как определяются координаты точки в пространстве

2. Выразите расстояние между двумя точками через координаты этих точек

3. Выведите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов

Что такое преобразование симметрии относительно точки? Какая фигура называется центрально-симметричной?

5. Объясните, что такое преобразование симметрии относительно плоскости. Что такое плоскость симметрии фигуры?

6. Какое преобразование фигуры называется движением?

7. Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость

8. Какие фигуры в пространстве называются равными?

9. Дайте определение параллельного переноса

10. Перечислите свойства параллельного переноса

11. Докажите, что при параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную плоскость

12. Что такое преобразование подобия? Перечислите его свойства

13.

Какое преобразование называется гомотетией? Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя)

14. Дайте определение угла между скрещивающимися прямыми

15. Дайте определение угла между прямой и плоскостью

16. Дайте определение угла между плоскостями

17. Докажите, что площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции

18. Что такое абсолютная величина вектора? Какие векторы называются одинаково направленными?

19. Дайте определение координат вектора с началом в точке А₁ (х₁; у₁; z₁) и концом в точке А₂ (х₂; у₂; z₂)

20.

Дайте определение действий над векторами: сложения, умножения на число, скалярного произведения

21. Какие векторы в пространстве называются коллинеарными, компланарными?

22. Докажите, что любой вектор в пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам

23. Выведите уравнение плоскости

24. Какой геометрический смысл имеют коэффициенты a, b, c в уравнении плоскости ax + by + cz + d = 0?

25. По какой формуле вычисляется расстояние h от точки А (x; y; z) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d =0?

Задачи 60.

11 КЛАСС

§ 5. Многогранники

39.

Двугранный угол 66.

40. Трехгранный и многогранный углы 67.

41. Многогранник 68.

42. Призма 69.

43. Изображение призмы и построение ее сечений 70.

44. Прямая призма 71.

45. Параллелепипед 73.

46. Прямоугольный параллелепипед 74.

47. Пирамида 76.

48. Построение пирамиды и ее плоских сечений 76.

49. Усеченная пирамида 77.

50. Правильная пирамида 79.

51. Правильные многогранники 80.

Контрольные вопросы 81.

1. Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)?

2. Что такое линейный угол двугранного угла?

3. Почему мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла?

4. Объясните, что такое трехгранный угол (грани и ребра трехгранного угла)

5. Объясните, что такое плоские и двугранные углы трехгранного угла

6. Что такое многогранник?

7. Какой многогранник называется выпуклым?

8. Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, вершина, развертка?

9. Что такое призма (основания призмы, боковые грани, ребра)?

10.

Докажите, что у призмы основания лежат в параллельных плоскостях и равны, боковые ребра параллельны и равны, боковые грани – параллелограммы

11. Что такое высота призмы?

12. Что такое диагональ призмы?

13. Что представляет собой сечение призмы плоскостью, параллельной боковым ребрам, в частности диагональное сечение?

14. Как строится сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания призмы и данную точку на одной из боковых граней?

15. Какая призма называется прямой (наклонной)?

16. Какая призма называется правильной?

17. Что такое боковая (полная) поверхность призмы?

18. Докажите, что боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы

19.

Что такое параллелепипед?

20. Докажите, что у параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны

21. Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам

22. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии

23. Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепипеда?

24. Что такое куб?

25. Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений

26. Сколько плоскостей симметрии у прямоугольного параллелепипеда?

27. Что такое пирамида (основание пирамиды, боковые грани, ребра, высота)?

28.

Что представляют собой сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину?

29. Что такое диагональное сечение пирамиды?

30. Как построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания пирамиды и заданную точку на одной из боковых граней?

31. Докажите, что плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду

32. Объясните, что такое усеченная пирамида

33. Какая пирамида называется правильной? Что такое ось правильной пирамиды?

34. Что такое апофема правильной пирамиды?

35. Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему

36. Какой многогранник называется правильным?

37.

Перечислите типы правильных многогранников и опишите их

38. Сформулируйте теорему Эйлера для выпуклых многогранников

Задачи 83.

§ 6. Тела вращения

52. Цилиндр 90.

53. Сечения цилиндра плоскостями 91.

54. Вписанная и описанная призмы 92.

55. Конус 93.

56. Сечения конуса плоскостями 94.

57. Вписанная и описанная пирамиды 95.

58. Шар 96.

59. Сечение шара плоскостью 96.

60.

Симметрия шара 97.

61. Касательная плоскость к шару 98.

62. Пересечение двух сфер 99.

63. Вписанные и описанные многогранники 100.

64. О понятии тела и его поверхности в геометрии 101.

Контрольные вопросы 102.

1. Объясните, что такое круговой цилиндр (образующая цилиндра, основания цилиндра, боковая поверхность цилиндра)

2. Какой цилиндр называется прямым?

3. Что такое радиус цилиндра, высота цилиндра, ось цилиндра, осевое сечение цилиндра?

4. Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания

Что такое призма, вписанная в цилиндр (описанная около цилиндра)? Что такое касательная плоскость к цилиндру?

6. Что такое круговой конус, вершина конуса, образующая конуса, основание конуса, боковая поверхность конуса?

7. Какой конус называется прямым?

8. Что такое высота конуса, ось конуса, осевое сечение конуса?

9. Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает боковую поверхность по окружности с центром на оси конуса

10. Что такое усеченный конус?

11. Какая пирамида называется вписанной в конус (описанной около конуса)? Что такое касательная плоскость к конусу?

12. Что такое шар (шаровая поверхность или сфера)?

13.

Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными?

14. Докажите, что пересечение шара с плоскостью есть круг

15. Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? Что такое большой круг?

16. Докажите, что любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии; центр шара является его центром симметрии

17. Какая плоскость называется касательной к шару?

18. Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания

19. Какая прямая называется касательной к шару?

20. Линия пересечения двух сфер есть окружность. Докажите

21. Какой многогранник называется вписанным в шар (описанным около шара)?

Задачи 103.

§ 7. Объемы многогранников

65. Понятие объема 108.

66. Объем прямоугольного параллелепипеда 108.

67. Объем наклонного параллелепипеда 110.

68. Объем призмы 111.

69. Равновеликие тела 113.

70. Объем пирамиды 114.

71. Объем усеченной пирамиды 115.

72. Объемы подобных тел 115.

Контрольные вопросы 116.

1. Сформулируйте основные свойства объема

2. Докажите, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров

Докажите, что объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту

4. Докажите, что объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту

5. Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту

6. Докажите, что треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики

7. Выведите формулу для объема треугольной пирамиды

8. Докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту

9. Докажите, что объемы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров

Задачи 117.

§ 8. Объемы и поверхности тел вращения

73.

Объем цилиндра 121.

74. Объем конуса 121.

75. Объем усеченного конуса 122.

76. Объем шара 123.

77. Объем шарового сегмента и сектора 124.

78. Площадь боковой поверхности цилиндра 125.

79. Площадь боковой поверхности конуса 126.

80. Площадь сферы 127.

Контрольные вопросы 128.

1. Выведите формулу для объема цилиндра

2. Введите формулу для объема конуса

3. Выведите формулу для объема тел вращения

Выведите формулу для объема шара

5. Что такое шаровой сегмент? Выведите формулу для объема шарового сегмента

6. Что такое шаровой сектор? По какой формуле вычисляется объем шарового сектора?

7. По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности цилиндра?

8. По какой формуле находится площадь боковой поверхности конуса (боковой поверхности усеченного конуса)?

9. По какой формуле вычисляется площадь сферы?

Задачи 128.

§ 9. Избранные вопросы планиметрии

81. Решение треугольников 132.

82. Вычисление биссектрис и медиан треугольника 134.

83. Формула Герона и другие формулы для площади треугольника 137.

84. Теорема Чевы 139.

85. Теорема Менелая 141.

86. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников 143.

87. Углы в окружности 146.

88. Метрические соотношения в окружности 148.

89. О разрешимости задач на построение 149.

90. Геометрические места точек в задачах на построение 150.

91. Геометрические преобразования в задачах на построение 151.

92. Эллипс, гипербола, парабола 153.

Контрольные вопросы 157.

1. Даны сторона и два угла треугольника. Как найти третий угол и две остальные стороны?

2. Даны две стороны треугольника и угол между ними. Как найти остальные два угла и третью сторону?

3. Даны две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них. Как найти остальные два угла и третью сторону?

4. Даны три стороны треугольника. Как найти его углы?

5. Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы треугольника

6. Выведите формулы для вычисления биссектрис треугольника по его сторонам

7. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон

8. Выведите формулы для вычисления медиан треугольника по его сторонам

Докажите формулу Герона для площади треугольника

10. Выведите формулы для вычисления высот треугольника по его сторонам

11. Выведите формулы для площади треугольника через его стороны и радиус описанной или вписанной окружности

12. Сформулируйте теорему Чевы и теорему Менелая

13. Докажите, что сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180°

14. Докажите, что если у выпуклого четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность

15. Докажите, что в описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны

16. Докажите, что если у выпуклого четырехугольника суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность

17.

Какая дуга окружности называется соответствующей данному центральному углу в окружности?

18. Докажите, что угол, вершина которого лежит внутри круга, равен полу сумме двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключенные между сторонами данного угла и их продолжениями

19. Докажите, что угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны пересекают его окружность, равен полу разности двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключенные между сторонами данного угла

20. Сформулируйте и докажите теорему об угле между хордой и касательной

21. Докажите свойство отрезков пересекающихся хорд окружности

22. Сформулируйте и докажите свойство отрезков секущей и касательной к окружности

23. Какие геометрические места точек используются обычно при решении задач на построении?

24.

Какие существует методы решения задач на построение с помощью геометрических преобразований?

25. Дайте определение эллипса (гиперболы, параболы) как геометрического места точек

26. При каком геометрическом условии сечение полной конической поверхности является эллипсом (гиперболой, параболой)?

Геометрические фигуры в искусстве — современный дизайн натюрмортов

Натюрморт на сегодняшний день и во все времена являлся одним из популярнейших стилей в мире искусства. Предлагаем ознакомиться с вариантами использования его в современном дизайне интерьера.

Darkroom

Мода этого сезона – это клетка, все предметы в клетку. На фотографии коллекции Darkroom это можно увидеть.

Натюрморт на снимке ниже от той же фирмы показывает переосмысление винтажного стиля прошлого века. Здесь мы видим The Tiler Cube Table, результат работы дизайнеров – огромный куб со сторонами из стеклянной мозаичной плитки.

Очень стильно смотрятся красивые подушки , а также яркие сочетания цветов в интерьере и таких оттенков, как зелёный, жёлтый и синий. Травяного тона треугольник на подушке смотрится весьма эффектно.

Изображение на керамической пластине, расписанной акрилом, смотрится очаровательно благодаря взаимосвязи линий и геометрических форм жёлтых оттенков.

Предложения фотолаборатории показывают, что данный способ оформления позволяет создавать настоящие шедевры.

Fern Living

Я просто упиваюсь прекрасными натюрмортами от Fern Living! Эти ребята умеют вдохнуть новую жизнь в элементы декора. Следующее представленное изображение в стиле ретро, акцентируемой деталью здесь является кувшин на фоне обоев, которые тоже по своему рисунку напоминают мозаику.

Хотите поближе рассмотреть кувшин? На фото ниже он гармонично смотрится с чашкой и молочником.

На белом фоне замечательно смотрится деревянная полка, которая крепится при помощи двух металлических крючков-треугольников.

Такую полку не стоит перегружать ненужными вещами, достаточно будет одного цветка в красивом горшке, фитодизайна в помещении для украшения.

На снимке ниже представлена композиция из плакатов с геометрическими фигурами и Brass Cup из латуни внизу.

На изображение показано сочетание гладких поверхностей с яркими геометрическими материалами. Данная композиция позволяет создать шедевр в своём доме. Давайте поближе посмотрим, с чего тут начинается.

Получается довольно весело, если соединять геометрические фигуры между собой.

Следующий объект нашего внимания – журнальный столик с тремя цилиндрами. Таким нехитрым способом специалисты Fern Living подчёркивают, что стеллаж не стоит засорять лишними предметами, лучше подобрать минимальное количество, но они должны идеально сочетаться между собой.

Fort Standard

Предметы занимают центральное место в произведениях и натюрмортах Fort Standard, они включают в себя мебель, освещение и ряд аксессуаров.

Геометрические формы, вырезанные из камня, смотрятся сказочно. Если скрыть царапины и дефекты, то получится произведение искусства. На фото изображена подставка, сделанная из каррарского мрамора.

Ниже из такого же материала, только красного цвета, сделаны треугольные подставки. Если их поставить друг на друга, можно получить шестигранник, девятигранник или многогранный элемент декора для дома.

С помощью таких предметов можно поиграть с тенями.

Если к подставкам добавить мраморный треугольник с зеленоватым отливом, то изюминкой в этой композиции будет именно он.

Пора заканчивать разговор об этих плитках. Они не предназначены для того, чтобы ставить на них пищу, просто служат украшением вашего интерьера и замечательно смотрятся в качестве дополнения или даже основной части натюрморта.

Eric Trine

Хотелось упомянуть и о студии дизайнера Eric Trine, талантливого художника, который придумывает различные необычные натюрморты. Ниже вы видите снимок с плетёным креслом. Позади розовая драпировка из натуральной кожи и ткани добавляют некую пикантность изображению.

А здесь вы видите очень интересные и геометрические фигуры, которые можно использовать как тумбочки или шкафчики.

А последнее изображение демонстрирует нам подставку, на которой прекрасно разместится всё что угодно, начиная от цветочного горшка и заканчивая пищей .

Искренне надеемся, что от этой статьи у вас останутся только положительные эмоции.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ В ОГРАНКЕ ДРАГОЦЕННЫХ И ПОЛУДРАГОЦЕННЫХ КАМНЕЙ

Ковалева А.Д. 1

1МБОУ Лесногородская СОШ

Гречухина Е.Б. 1

1МБОУ Лесногородская СОШ

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

фигуры встречаются только в геометрии».

Древнегреческий математик Евклид

Введение

Геометрия – это величайшее достижение ученых древней Греции. Именно благодаря этой науке мы узнаем множество нового, необычного и интересного. Также это первая по рейтингу квадривиума наука, так как является самой точной. Но в тоже время, между драгоценными камнями и геометрией лежит очень крепкая связь. Что же это за связь? В своей работе я и попробую найти ее.

Абсолютно все красивейшие минералы зарождаются в горах, земле и многих других местах. Но через некоторое время, словно как по волшебству, рождается иной минерал – драгоценный камень. В свой истинный, невероятно красивый вид, это сокровище приходит после огранки — технологического процесса обработки драгоценных и полудрагоценных камней для придания им определённой формы и максимального выявления их игры и блеска. Этот процесс каждый камень приобретает за различное время и с помощью приложения различной силы. В итоге при качественной огранке получается невероятное многообразие геометрических фигур, такие как прямоугольники, треугольники и другие. Все они представлены в планиметрии. На первый взгляд, мы можем увидеть только некоторые из них, но если присмотреться получше, то можно рассмотреть множество необычного, что я и попытаюсь вам показать.

Проблема: по данным опроса Минобрнауки, многие ученики не любят изучать предмет геометрия. Он кажется им очень скучным и неинтересным, но это отнюдь не так. Моя задача состояла в том, чтобы показать в развлекательной форме, как драгоценные камни с правильной огранкой могут рассказать много интересного о геометрических фигурах.

Цель исследовательской работы: Выяснить, как геометрия помогает в огранке камней; исследовать какие геометрические формы и фигуры встречаются в драгоценных камнях. В игровой форме показать, насколько интересно изучение геометрии, с использованием макетов драгоценных камней и фотоматериала, узнать уровень просвещенности учащихся школы по этому вопросу.

Задачи:

Изучить разнообразие геометрических форм и фигур в огранке;
Рассмотреть варианты использования геометрических фигур в отдельных драгоценных камнях
Выяснить какие геометрические фигуры встречаются чаще и почему
Провести анализ литературы и Интернет-источников по данной проблеме;
Найти предметы практической части проекта;
Оценить уровень знаний учащихся 7-ых классов по вопросу огранки и примеров применения уже ограненных камней.

Данная работа относится как к теоретическому, так и прикладному исследованию. Значимость прикладного исследования заключается в полученных результатах, а именно на практике были подробно исследованы грани камней, какие геометрические фигуры они представляют.

Источниками для написания работы послужили книги, описывающие способы и методы огранки и содержащие геометрические сведения о гранях. А также мной был использован интернет-источник Википедия.

Результат исследовательской работы: Проведено глубокое изучение темы, анкетирование учащихся 7-ых классов, также были проведены научно-просветительские беседы среди учеников школы и успешная обработка полученного материала.

Практическая значимость исследования заключается в том, что собранный и проанализированный материал можно использовать в школьном курсе геометрии. Прикладная ценность полученных результатов: в результате комплекса проведенных научно-просветительских бесед большинство учащихся 7-ых классов пересмотрели свой взгляд на геометрию и начали изучать ее с большим интересом и желанием.

Глава 1. Первое представление о драгоценных и полудрагоценных камнях

1. Первое упоминание о камнях, имеющих большую ценность

Очень ценные камни, как правило, ограненные, отшлифованные и вставленные в оправу из драгоценного металла (обычно золота или серебра). Еще в библейские времена мужчины и женщины украшали себя драгоценными камнями. Сегодня во многих странах к драгоценным камням относят только алмаз, рубин, сапфир и изумруд, а все остальные редкие и красивые камни – к полудрагоценным.

О благосостоянии человека часто судили по тому, сколько у него драгоценных камней; по-видимому, множество этих камней было у таких царей, как Соломон и Езекия. Драгоценные камни преподносили в дар, брали на войне как добычу, ими также торговали, например, в Древнем Тире. В скорбной песне «О царе Тира» Иезекииль под вдохновением Бога сказал: «На тебе были всякие драгоценные камни: рубин, топаз и яшма, хризолит, оникс и жадеит, сапфир, бирюза и изумруд. А правые гнезда были искусно сделаны из золота.» О символическом Вавилоне Великом говорится, что он был богат и украшен драгоценными камнями.

Хотя в древности люди предавали драгоценным камням круглую форму и полировали их, кажется, что они не ограняли их, как это делают современные ювелиры. Евреи и египтяне полировали драгоценные камни наждачным камнем (корундом) или корундовым порошком. Из них часто изготавливали различные предметы, их гравировали. Очевидно, евреи владели искусством гравировки задолго до своего порабощения в Египте, где это ремесло также было известно. Даже то самое кольцо с печатью, принадлежавшее Иуде, по-видимому было украшено гравировкой.

Глава 2. Наше время

2.1. Современные представления ценностей

Сегодня ювелирные украшения рассматриваются в качестве одной из ярких форм художественного творчества. О мастерстве ювелиров принято говорить, как об искусстве. Ювелирные предприятия используют все более профессиональные инструменты, а материалы, служащие основой украшения, становятся разнообразнее и доступнее. Многие ювелирные изделия, которые сегодня создаются из синтетических материалов, зачастую, даже соперничают с самыми дорогими камнями и металлами, подаренными нам природой. Но, конечно же, натуральные драгоценные камни еще не скоро потеряют свое лидерство не только на рынке, но и в самом искусстве.

Ювелирное искусство стало больше подразумевать именно творческое и художественное самовыражение художника.

В современном ювелирном искусстве продолжают появляться и развиваться новые оригинальные тенденции, что увеличивает разнообразие прекраснейших произведений мирового ювелирного искусства.

В современном мире кроме понятия «драгоценные камни», иногда употребляется термин «благородные камни», объединяющие драгоценные и декоративные (поделочные) камни. Основную ценность представляет не камень, а изделие или поделка из него.

Редкая встречаемость драгоценных камней в природе и их большая стоимость вызывают стремление создавать искусственные заменители и подделки.

К сожалению, массовое и поточное производство ювелирных изделий, привело к тому, что зачастую теряются индивидуальные художественные особенности каждого камня.

Наиболее редкие и ценные камни и декоративные горные породы нужно использовать только для высокохудожественных и монументальных произведений искусства.

2.2. Виды обработки камней.

В настоящее время обработку и изготовление изделий из мягкого камня производят в основном камнеобрабатывающие предприятия, расположенные в районах распространения этих пород. Всего в камнерезном производстве существует четыре способа обработки:

Металлическими резцами (змеевик, гипс, янтарь, сланец).
Камнетесный, скалывание камня ударными инструментами (гранит, песчаник, известняк).
Абразивами – пиление, шлифование (агат, нефрит, яшмы, родонит, кварц).
Огранка камней для ювелирных изделий (бриллиант, сапфир, изумруд, рубин).

Нанесение граней — фацетов под определенным углом относительно друг друга, позволяет алмазу максимально преломлять световые лучи. Фацет получают путем трения о шлифовальное колесо (алмазный диск), а в качестве шлифовального агента применяется льняное масло. Сначала снимается большой гладкий фацет на вершине камня — площадка. Затем наносятся основные грани снизу и эта конусообразная часть называется павильон. Далее точатся фасеты на верху — это корона. Затем наносятся дополнительные грани на павильоне, далее снова на короне. Каждый фацет требует соблюдения точных размеров, формы и угла. Камень также обводится граненым пояском — рундистом, а внизу, в самой нижней части павильона, появляется калетта (шип), параллельная площадке.

Глава 3. Огранка

3.1. Определение

Огранка – это технологический процесс обработки драгоценных и полудрагоценных камней для придания им определенной формы и максимального выявления их игры и блеска. Огранка производится для наиболее полного выявления их свойств: блеска, окраски, дисперсии света. При огранке камня ему придают строго определенные геометрические формы с тем или иным числом, формой и размером граней. Ограненный камень состоит из двух частей: верхней — коронки и нижней – павильона, или базы.

Только высококлассные мастера могут разглядеть в мутном осколке минерала блистающий всеми гранями драгоценный или полудрагоценный камень. Всего существует 3 вида огранки (фацетная, круг и кабошон), которые насчитывают более 250 разновидностей. Выбор обработки зависит от множества факторов, например, вида и размера минерала, его твёрдости, чистоты, оптических свойств и, конечно же, мастерства огранщика.

Основная задача огранки – сохранение массы камня. Огранка часто исправляет дефекты роста и различных деформаций кристалла, раскрывает оптические свойства, присущие данному минералу. При выборе формы огранки учитываются плеохроизм (рубин, сапфир), необходимость просветления окраски или ее усиления (изумруд, александрит).

3.2. Виды огранки

Кабошон

Один из самых древних видов обработки, при котором камню придаётся выпуклая форма без граней. Название произошло от французского «caboshe» – шляпка гвоздя. Обычно кабошон выбирают для огранки полупрозрачных или непрозрачных вставок, «звёздчатых» камней, а также минералов с эффектом «кошачьего глаза». Кабошон должен быть идеально гладким, поэтому чрезвычайно важно качество шлифовки и полировки камня.

Круг

Пожалуй, самая распространённая огранка ювелирных камней. Круглые вставки симметричны, хорошо поддаются полировке и отлично пропускают свет. Из всех разновидностей круглой огранки самая известная – «бриллиантовая» с 57 гранями. Именно она считается эталонной.

Овал

Вставка имеет форму овала с гранями в виде клиньев. Эта огранка считается разновидностью круглой, используется, как правило, для крупных камней. В отличие от круглой, которая была известна уже в конце XVII века, овальная огранка появилась сравнительно недавно, лишь в 1960-е годы.

Груша

Вопреки своему названию, эта огранка больше напоминает не грушу, а каплю с верхней гладкой площадкой, которая обеспечивает игру света, и боковыми гранями-клиньями. В форме груши обрабатываются как крупные, так и небольшие камни. Разновидностями классической грушевидной формы являются капля и бриолет.

Маркиз

При правильной огранке маркиз напоминает лодочку или зерно с заострёнными уголками. Обычно ширина камня примерно в два раза меньше его длины, что позволяет ювелирам закреплять маркизы не только в кольца, но и в серьги, подвески и браслеты. Разновидность этой огранки – форма челночок, которая имеет меньшее количество граней и более узкую верхнюю площадку.

Багет

Разновидность ступенчатой огранки, которая имеет прямоугольный контур. Багет – своего рода зеркало качества, отражающее как достоинства, так и недостатки камня. Так, во вставках этой формы даже невооружённым глазом заметны внутренние дефекты или плохая огранка. Поэтому при покупке украшений с багетами обращайте внимание на качество камня.

Квадрат

Квадрат – та же ступенчатая огранка, которая имеет равную длину и ширину. Камни этой формы могут быть как центральными, так и обрамляющими, складываться в линию (например, на браслете) или узор.

Октагон

Восьмигранная ступенчатая огранка. Самая известная разновидность октагона получила название изумрудной. Эта огранка предохраняет от повреждений и сколов даже самые хрупкие минералы, а также выигрышно представляет цвет камня и его чистоту.

Триллион

Одна из самых эффектных форм камней, представляет собой треугольник с клиньями. Преимущество триллиона в том, что форма и количество граней может меняться в зависимости от характеристик минерала, дизайна изделий и вкуса огранщика. Триллион впервые был изобретён в Амстердаме, но в настоящее время это одна из самых популярных в мире огранок для драгоценных и полудрагоценных камней.

Сердце

Считается одной из самых сложных и дорогостоящих видов огранки, поэтому её часто применяют в эксклюзивных украшениях, созданных специально в подарок любимым. Приобретая украшения с камнями в виде сердца, обратите внимание на ровность контура вставки – красота сердца всецело зависит от мастерства огранщика.

Кушон

Иногда эту огранку ещё называют античной или антик. Как правило, кушон используется тогда, когда необходимо максимально сохранить первоначальный вес минерала. Так, большинству бриллиантов эпохи Барокко придавалась именно такая форма.

Пятигранник

Пятигранные камни полностью повторяют форму известной геометрической фигуры. Они смотрятся достаточно основательно, поэтому обычно вставляются в объёмные украшения, которые приобретаются не на один сезон, например, гарнитуры с полудрагоценными вставками.

Шестигранник

Грани отражаются друг в друге, благодаря чему камень напоминает одну из причудливых фигур калейдоскопа. Как правило, шестигранную форму придают крупным вставкам, которые становятся центральным элементом украшений.

Восьмигранник

Одна из фантазийных огранок. Восьмигранные камни повторяют форму геометрической фигуры и выглядят особенно впечатляюще. Огранка позволяет раскрыть цвет камня, поэтому такая форма обычно придаётся крупным вставкам или полихромным минералам, например, аметринам.

Также существует множество фантазийных огранок, благодаря которым ювелиры могут создавать шедевры, остающиеся в веках. (Приложение 1)

3.3. Геометрические фигуры в огранке камней

Сама по себе огранка какого-либо драгоценного или полудрагоценного камня состоит исключительно из геометрических фигур. Их великое множество. Прямоугольники, треугольники, квадраты, трапеции, овалы, круги – все это и делает любую огранку уникальной и неповторимой. Геометрические фигуры можно рассмотреть и с первого взгляда на камень, даже не прибегая к помощи лупы или других увеличительных предметов. А если уж хорошенько постараться, то можно и увидеть то, чего совсем не ожидал увидеть.

В основном, грани представляют собой правильные многоугольники. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.

Это может быть треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т.д. (Приложение 2)

Глава 4. Работа с практической частью проекта

1. Обзор геометрических фигур на макетах камней

Во время работы над проектом я нашла макеты ограненных камней, которые помогли намного лучше разобраться в рассматриваемой мной теме, а также с их помощью я подготовила практическую часть моего проекта. На каждой фотографии можно наблюдать отличное просматривание таких геометрических фигур, как прямоугольники, треугольники, овалы, квадраты, круги и трапеции. (Приложение 3)

1. Анкетирование

В процессе исследования я провела анкетирование среди школьников, чтобы выяснить какие геометрические фигуры смогут разглядеть и назвать в драгоценных камнях. Для проведения анкетирования мы выбрали детей из 7-го класса нашей школы т.к. дети могут сказать о камне больше и красочнее, используя меньше слов, чем любой ювелир. Было опрошено 20 обучающихся. По результатам анкетирования мы выявили, что большинство ребят видит в драгоценных камнях треугольники и прямоугольники, также дети выбирали те камни, которые имели форму прямоугольника, треугольника и трапеции. Они объяснили это тем, что прямоугольные формы привлекают их больше, чем округлые .

Немалым было наше удивление, когда дети ответили, что блеск камня зависит от огранки. Также ребята ответили, что самые красивые драгоценные камни для них это те, которые имеют ослепительный блеск. На вопрос «почему» дети ответили, что блеск завораживает их, манит к себе и им сложно «оторвать» взгляд от «блестящей прелести».

Анкета состояла из следующих вопросов:

1) Какие геометрические фигуры можно рассмотреть в огранке камней?

а) треугольники и прямоугольники

б) овал, круг

в) многоугольники

2) Какие из предложенных форм вам больше нравятся?

3) По вашему мнению для чего приобретают драгоценные камни?

а) для самовыражения

б) для демонстрации богатства

в) просто так

4) Как вы считаете от чего зависит блеск камня?

а) от его огранки

б) от материала

в) от умений ювелира

5) Какие геометрические формы делают камень более четким и выразительным?

а) треугольники

б) прямоугольники

в) Ваш вариант ответа:

6) Какие из драгоценных камней самые красивые для вас?

а) они все красивые

б) те, которые имеют ослепительный блеск

в) те, которые имеют замысловатую форму

(Приложение 4)

Заключение

В результате своей исследовательской работы, я пришла к выводу, что геометрия не является скучным предметом, состоящим из теорем и аксиом. В общеобразовательной школе предмет «Геометрия» изучается с 7 класса и, по мнению многих учащихся, является одним из сложнейших школьных предметов. Многие учащиеся не понимают назначения геометрии в жизни, так как не собираются связывать свою будущую профессию с математикой вообще. На самом деле, чтобы стать ювелиром-огранщиком, надо знать, как минимум, геометрические фигуры, их свойства. Ведь даже самый чистый алмаз, не имея алмазной огранки, выглядит ничем не лучше обыкновенного осколка или куска льда.

Главная роль, которую играли, играют и будут играть драгоценные камни, — это украшения! Ювелирные изделия украшают нас в повседневной жизни, придают особый шик, индивидуальность каждому человеку. Изучая использованную литературу для подготовки данной работы, мной было приобретено много интересных знаний из истории и геометрии, что еще раз убеждает в многогранности применения этой науки (геометрии) и необходимости ее изучения. Богатый ассортимент огранок, используемый в современном ювелирном деле, предусматривает изменение формы камня, числа фасет, а также симметрии в целом.

В будущем я вижу перспективу своего исследования огранки драгоценных камней, в разделе геометрии – стереометрии. Стереометрию начинают изучать в 10 классе. Ведь драгоценные камни представляют собой многогранники в пространстве.

Список используемой литературы:

Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7—9 классы, 2010.
Буканов В.В. Цветные камни: Энциклопедия. — Санкт-Петербург, 2008. Изд-во Otava Book Printing Ltd Финляндия. стр 416.
Гураль С. К., Драгоценные камни, 2011
Киевленко Е.Я. Декоративные разновидности цветного камня СССР. — М.: Недра, 1989. 287 с.
Путолова Л. С., Самоцветы и цветные камни, 1991
Самсонов Я. П., Туринге А. П. Самоцветы СССР, 1985
Ферсман А. Е., Самоцветы России, 1921
ru.m.wikipedia.org/wiki/Ювелирное_изделие
wol.jw.org/ru/wol/d/r2/lp-u-ru/1200002461

Приложение 1

Приложение 2

Правильные многоугольники

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Просмотров работы: 3006

Геометрия в архитектуре

Джамбаева М.Б. 1

1Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Среднее общеобразовательное школа аул Верхний Учкулан»

Джамбаева Ф.Н. 1

1Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Среднее общеобразовательное школа аул Верхний Учкулан».

Введение

Идея нашего исследования появилась на уроках геометрии.

Актуальность нашего исследования в том, что архитектурные объекты являются неотъемлемой частью нашей жизни. Наше настроение, мироощущение зависят от того, какие здания нас окружают. Назрела необходимость исследования того многообразия объектов, которые появились в нашем мире. Если раньше архитектурные конструкции представляли собой однообразные сооружения, то в настоящее время геометрические формы позволили разнообразить архитектурный облик городов.

Цель нашей работы – исследование взаимосвязи геометрии и архитектуры.

Гипотеза: все здания, которые нас окружают – это геометрические фигуры.

Объект исследования: архитектура зданий и пирамид.

Предмет исследования: взаимосвязь архитектуры и геометрии.

Задачи нашего исследования:

Изучить литературу о взаимосвязи геометрии и архитектуры.

Рассмотреть геометрические формы в архитектурных стилях, и как гарант прочности конструкций.

Рассмотреть наиболее интересные архитектурные сооружения, и выяснить, какие геометрические формы в них встречаются.

Методы исследования: наблюдение, фотографии, изучение и анализ теоретических сведений по данному вопросу.

Геометрические формы в разных архитектурных стилях.

Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела.

Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел.

Посмотрите на фотографию, на которой изображено здание клуба имени И.В.Русакова в Москве (см. приложение рис.1). это здание построено в 1929 г. по проекту архитектора К.Мельникова. базовая часть здания представляет собой невыпуклую прямую призму. При этом гигантские нависающие объемы также являются призмами, только выпуклыми.

Некоторые архитектурные сооружения имеют довольно простую форму. Например, на фотографии (см. приложение рис.2), вы видите башню с часами, которая является обязательным атрибутом любого американского университета. Отвлекаясь от некоторых деталей, мы можем сказать, что она имеет форму прямой четырехугольной призмы, которую еще называют прямоугольным параллелепипедом.

Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи, когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических фигур. Так, здание военного ведомства США носит название Пентагон, что означает пятиугольник. Связано это с тем, что, если посмотреть на это здание с большой высоты, то оно действительно будет иметь вид пятиугольника. На самом деле только контуры этого здания представляют пятиугольник. Само же оно имеет форму многогранника (см. приложение рис.3).

Часто в архитектурном сооружении сочетаются различные геометрические фигуры. Например, в Спасской башне Московского кремля в основании можно увидеть прямой параллелепипед, переходящий в средней части в фигуру, приближающуюся к многогранной призме, завершается же она пирамидой (см. приложение рис.4). При детальном рассмотрении и изучении деталей мы сможем увидеть: круги – циферблаты курантов; шар – основание для крепления рубиновой звезды; полукруги – арки одного из рядов бойниц на фасаде башни и т.д.

Нужно сказать, что у архитекторов есть излюбленные детали, которые являются основными составляющими многих сооружений. Они имеют обычно определенную геометрическую форму. Например, колонны это цилиндры; купола – полусфера или просто часть сферы, ограниченная плоскостью; шпили – либо пирамиды, либо конусы (см. приложение рис.5).

У архитекторов различных эпох были и свои излюбленные детали, которые отражали определенные комбинации геометрических форм. Например, зодчие Древней Руси часто использовали для куполов церквей и колоколен так называемые шатровые покрытия. Это покрытия в виде четырехгранной или многогранной пирамиды. Другой излюбленной формой древнерусского стиля являются купола в форме луковки. Луковка представляет собой часть сферы, плавно переходящую и завершающуюся конусом. На рисунке 6 (см. приложение) вы видите церковь Ильи Пророка в Ярославле. Она была построена в Ярославле в середине XVII века. При ее создании зодчие использовали как шатровые покрытия, так и купола в виде луковок.

Рассмотрим еще один яркий архитектурный стиль – средневековая готика (см. приложение рис.7). готические сооружения были устремлены ввысь, поражали величественностью, главным образом за счет высоты. И в их формах также широко использовались пирамиды и конусы.

Наконец, обратимся к геометрическим формам в современной архитектуре. В архитектурном стиле «Хай Тек», вся конструкция открыта для обозрения. Здесь мы можем видеть геометрию линий, которые идут параллельно или пересекаются, образуя ажурное пространство сооружения. Примером, своеобразной прародительницей этого стиля может служить Эйфелева башня

Современный архитектурный стиль, благодаря возможностям современных материалов, использует причудливые формы, которые воспринимаются нами через их сложные, изогнутые (выпуклые и вогнутые) поверхности. Их математическое описание сложно, поэтому здесь мы его не представляем. Архитектура, или зодчество — искусство и наука строить, проектировать здания и сооружения, а также сама совокупность зданий и сооружений, создающих пространственную среду для жизни и деятельности человека. Архитектура непременно создает материально организованную среду, необходимую людям для их жизни и деятельности, в соответствии с их устремлениями, а также современными техническими возможностями и эстетическими воззрениями. В архитектуре взаимосвязаны функциональные, технические и эстетические свойства объектов.

Архитектурные работы часто воспринимаются как культурные или политические символы, как произведения искусства. Исторические цивилизации характеризуются своими архитектурными достижениями. Архитектура позволяет выполняться жизненным функциям общества, в то же время направляет жизненные процессы. Однако архитектура создается в соответствии с возможностями и потребностями людей.

Предметом работы с пространством является и организация населенного места в целом. Это выделилось в отдельное направление — градостроительство, которое охватывает комплекс общественно-экономических, строительно-технических, архитектурно-художественных, санитарно-гигиенических проблем. По этой же причине трудно дать правильную оценку архитектурному сооружению, не зная градостроительства.

Одной из высших международных наград в области архитектуры является Притцкеровская премия, присуждаемая ежегодно за наиболее выдающиеся достижения в области архитектуры.

По решению Двадцатой Генеральной ассамблеи Международного союза архитекторов (МСА), проходившей в Барселоне в 1996 году, ежегодно в первый понедельник октября отмечается международный профессиональный праздник архитекторов и ценителей архитектурных шедевров — Всемирный день архитектуры.

Архитектура окружает человека повсюду в течение всей его жизни: это и жилище, и место работы, общественной деятельности, отдыха, развлечений. Иными словами, это среда, в которой человек существует. Эта искусственно созданная среда одновременно и противостоит природе, изолируя от нее человека, защищая от ее воздействий, и связывает человека с природой. Архитектура удовлетворяет практические нужды человека, она утилитарна и потому должна быть в первую очередь удобной, прочной, соответствующей своему назначению.

Произведение архитектуры — это такое инженерное, конструктивное сооружение, в котором заложен определенный замысел — идея его создателя. Архитектор вкладывает в свое творение не только научные и технические знания, но и свой темперамент, свои мысли, чувства. Это сооружение, помимо утилитарных качеств, несет идейно-образное, художественно-эстетическое начало, воздействуя на наши эмоции, вызывая ответные чувства, определенное настроение.

Древнеримский теоретик искусства Витрувий назвал три основы, на которых основана архитектура: «Прочность, Польза, Красота».

Архитектура создает реальное пространство. В этом ее главная отличительная особенность. Если для живописи определяющим является цвет, для скульптуры — объем, то для архитектуры — пространство. Пространство в архитектуре ограничивается конструктивными формами, выполненными из различных материалов.

В создании пространственно-объемной архитектурной формы принимают участие, как и в других видах искусства, такие художественные средства и приемы, как ритм, симметрия и асимметрия, нюанс и контраст, соотношения и пропорции целого и частей.

Ритм — закономерное повторение и чередование однородных элементов или групп форм — пронизывает объемно- пространственную структуру сооружения, сообщая ему гармонию.

Симметрия — одинаковое расположение равных частей по отношению к оси здания — очень действенное средство организации архитектурных форм, вносящее в объемно-пространственную композицию строгую упорядоченность, статичность, покой.

Асимметрия противоположна симметрии; она сообщает композиции гибкость, динамичность, остроту, способствуя единству целого за счет соподчинения частей.

Определенные соотношения и соподчинение всех объемных геометрических элементов, всех частей архитектурного сооружения составляют пропорции.

Контраст в противоположность нюансу — соотношение резко противоположных признаков (формы, элементы легкие и тяжелые, высокие и низкие, вертикальные и горизонтальные, светлые и темные). Контраст подчеркивает, заостряет формы и способствует ощущению динамичности, напряженности движения.

Большое значение для восприятия архитектурного сооружения имеют силуэт и местоположение, связь с окружающей средой — естественной, природной или городской; противопоставление или единение, согласие с ней.

Наконец, существенную роль в создании идейно-художественного архитектурного образа играет содружество пластических искусств — архитектуры, скульптуры и живописи. Ведущей в этом содружестве выступает архитектура: скульптура и живопись становятся композиционными элементами архитектуры, не теряя при этом своего своеобразия.

Архитектура, как и все другие виды искусства, является порождением своей эпохи. В архитектуре отражается социальный строй и уровень развития производительных сил, быт и обычаи людей, господствующая идеология, религиозные и философские представления, эстетические идеалы данного времени. В свою очередь в рамках одного стиля ярко дают себя знать черты национальные, а в каждом отдельном произведении архитектуры — черты индивидуального почерка его создателя.

Геометрическая форма как гарант прочности сооружений.

Прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. Математик бы сказал, что здесь очень важна геометрическая форма (тело), в которое вписывается сооружение. Оказывается, что геометрическая форма также определяет прочность архитектурного сооружения. Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды. Как известно они имеют форму правильных четырехугольных пирамид. Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания.

На смену пирамидам пришла стоечно – балочная система. Которая представляет собой один прямоугольный параллелепипед, опирающийся на два прямоугольных параллелепипеда. С появлением арочно – сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей, вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры. Первоначально в архитектуре использовались полусферические купола. Это означает, что граница арки представляла собой полуокружность, а купол – половину сферы. Например, именно полусферический купол имеет Пантеон – храм всех богов – в Риме.

Арочная конструкция послужила прототипом каркасной конструкции, которая сегодня используется в качестве основной при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона. Телебашня на Шаболовке (см. приложение рис.11) состоит из нескольких поставленных друг на друга частей гиперболоидов. Причем каждая часть сделана из двух прямолинейных балок. Эта башня построена по проекту замечательного инженера В.Г.Шухова.

Когда люди стали строить дома, пришлось глубже разобраться в том, какую форму придавать стенам и крыше. Стало ясно, что бревна лучше обтесывать, а крышу делать покатой, чтобы с нее стекала вода. И, сами того не зная, люди все время занимались геометрией. Геометрией занимались женщины, изготовляя одежду, охотники, изготовляя копья и бумеранги сложной формы. Только самого слова «геометрия» тогда не было, а форму тел не рассматривали отдельно от других их свойств.

Когда стали строить дома из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого издревле применяли катки. Так люди познакомились с одной из важнейших фигур — цилиндром. Перевозить грузы на катках было трудно из-за большого веса самих бревен. Чтобы облегчить работу, люди стали вырезать из стволов тонкие плоские круглые пластинки. Так появилось первое колесо. Неизвестный изобретатель первого колеса сделал величайшее открытие! Только на минуту представьте, что все колеса на земле исчезли. Это будет настоящая катастрофа. Потому что в каждой машине, от карманных часов до космических кораблей работают десятки и сотни разнообразных колес.

Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическими фигурами. Издавна они любили украшать себя, свое жилище и свою одежду. Древние мастера научились придавать красивую форму бронзе и золоту, серебру и драгоценным камням. А художники, расписывая дворцы, находили все новые геометрические формы. Гончару нужно было знать, какой формы изготовить сосуд, чтобы в него входило то или иное количество жидкости, и древние египтяне научились находить объемы довольно сложных фигур. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе своих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы.

Различной была и форма крестьянских полей. Поля отделялись друг от друга межами, а разлив Нила каждую весну смывал эти межи. Поэтому были особые чиновники, которые занимались межеванием земель, по — русски сказать — землемеры. Так из практической задачи о межевании возникла наука о землемерии. По — гречески земля называлась «геос», измеряю — «метрио», а поэтому наука об измерении полей получила название «геометрия». Только не вздумайте современного геометра назвать землемером. За многие тысячи лет с ее возникновения она лишь в малой степени занимается землемерием.

Геометрические фигуры интересовали наших предков не только потому, что помогали решать практические задачи. Некоторые из фигур имели для людей магическое значение. Так, треугольник считался символом жизни, смерти и возрождения; квадрат – символом стабильности. Вселенную, бесконечность обозначали правильным пятиугольником – пентагоном, правильный шестиугольник – гексагон, являлся символом красоты и гармонии. Круг – знаком совершенства.

Разнообразны геометрические формы, созданные природой и руками человека; в геометрии они рассматриваются как формы плоские (фигуры) и формы объемные (тела).

Геометрия делится на два раздела: планиметрия и стереометрия.

Именно с планиметрии начинается изучение геометрии в школах.

Планиметрия происходит от латинского «planum»- плоскость, и греческого «metreo» — измеряю.

Этот раздел геометрии изучает фигуры, которые располагаются на плоскости: точка, прямая, квадрат, прямоугольник, треугольник, ромб, пятиугольник и другие многоугольники, круг, овал. Геометрические фигуры на плоскости имеют два измерения: длину и ширину.

Стереометрия — это раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве. У них, кроме длины и ширины, есть высота.

К объемным относятся: куб, параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар.

Итак, какие же геометрические фигуры и формы мы изучили.

1) Многоугольники, виды многоугольников

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев).

Если замкнутая ломаная линия состоит из трех отрезков, то такой многоугольник называется треугольником, из четырех отрезком — четырехугольником, из пяти отрезков — пятиугольником и т. д.

а) Треугольники

Треугольник — это плоская геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, т. к. эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.

б) Четырехугольники

Четырехугольник — это плоская геометрическая фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих их отрезков (сторон четырехугольника). У них четыре угла и четыре стороны. У четырехугольника никогда на одной прямой не лежат три вершины.

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Квадрат — правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Квадрат по определению имеет равные стороны и углы, и, как выяснилось, обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб так же обладает всеми свойствами параллелограмма, но его диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Высоты ромба равны.

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

— Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

— Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

2) Округлые формы

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Окружность является лишь частью круга, его границей, в то время как круг является более обширной и полноценной фигурой.

Овал — это плоская геометрическая фигура.

Представляет собой слегка вытянутую по горизонтали или вертикали окружность. В отличие от круга овал не имеет ровной формы. В некоторых точках форма овала наиболее искривлена.

Многогранники

а) Призма

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки эти многоугольников.

По основанию: треугольная призма, четырехугольная призма, пятиугольная призма и т.д.

По расположению боковых ребер:

Наклонная призма – боковое ребро наклонено к основанию под углом отличным от 90º.

Прямая призма – боковое ребро расположено перпендикулярно к основанию.

б) Параллелепипед

Параллелепипед — призма, в основании которой находится параллелограмм.

Параллелепипеды, как и всякие призмы, могут быть прямые и наклонные.

Наклонный параллелепипед — это наклонная призма, в основании которой параллелограмм Прямой параллелепипед — это прямая призма, в основании которой параллелограмм или параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.

Прямоугольный – это прямой параллелепипед, в основании которого прямоугольник (или прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник).

Куб – это прямой параллелепипед, все грани которого квадраты.

в) Пирамида

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника — основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, — вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Тела вращения

Новая группа геометрических тел – тела вращения, т.к. получаются вращением плоских фигур.

а) Цилиндр

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основанием цилиндра, а отрезки образующими цилиндра. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, образующие параллельны и равны. Цилиндр получен вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

б) Конус

Конусом называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.

в) Сфера и шар

Сфера – это множество всех точек пространства, находящихся на положительном расстоянии R от данной точки О, называемой центром сферы.

Слово сфера — латинская форма греческого слова (сфайра) — мяч.

Шар – это множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки не превосходит заданного положительного числа R. Шар получается при вращении полукруга относительно диаметра.

Красота геометрии неоднократно завораживала человеческий глаз. Казалось бы, строишь самые обыкновенные и достаточно заурядные построения, а потом, если посмотреть на них с другой точки зрения, и попробовать несколько изменить картинку, получается уже нечто иное, необычное, очень красивое. Таким образом, из геометрических фигур, можно получить построения необычные и завораживающие.

3.Симметрия – царица архитектурного совершенства.

Вам хорошо знакомо слово симметрия. Наверное, когда вы его произносите, то вспоминаете бабочку или кленовый лист, в которых мысленно можно провести прямую ось и части, которые будут расположены по разные стороны от этой прямой и будут практически одинаковыми. Это представление – правильное. Но это только один из видов симметрии, которую изучает математика, так называемая осевая симметрия. Кроме того, существует более общее понятие симметрии.

Рассматривая симметрию в архитектуре, нас будет интересовать геометрическая симметрия – симметрия формы, как соразмерность частей целого. замечено, что при выполнении определенных преобразований над геометрическими фигурами, их части, переместившись в новое положение, вновь будут образовывать первоначальную фигуру.

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаз, их люди считают красивыми. Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения.

Стоит только посмотреть на великолепное произведение А.Н.Воронихина Казанский собор в Санкт – Петербурге (см. приложение рис.12), чтобы убедиться в этом. Если мы мысленно проведем вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидим, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения колоннады и здания собора.

Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию. Антисимметрия – это противоположность симметрии, ее отсутствие. Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве (см. приложение рис.13), где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом.

Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатериновский дворец в Царском селе под Санкт – Петербургом.

В современной архитектуре все чаще используются приемы как антисимметрии, так и диссимметрии. Эти поиски часто приводят к весьма интересным результатам. Появляется новая эстетика градостроительства.

Необычная архитектура

Небоскрёб DC Tower One

В Вене Доминик Перро построил самое высокое здание Австрии, 250-метровую башню DC Tower One. Благодаря изящной форме, небоскрёб на берегу Дуная сразу после завершения в феврале занял второе место в ежегодном конкурсе Emporis, уступив лишь «Осколку» Ренцо Пиано. Внутри здания разместились офисы медицинских компаний, а на первых пятнадцати этажах находится четырёхзвёздочный отель. В следующем году рядом с DC Tower One появится второй небоскрёб высотой в 150 метров — Перро задумал весь комплекс как две части разделённого монолита, между которыми разместится новое общественное пространство.

«Башня инноваций»

Заха Хадид — самый известный и массовый архитектор современности, суперзвезда индустрии в эпоху, когда звёзды, в общем, больше не нужны. Сотни архитекторов её бюро каждый год открывают по пять масштабных зданий в разных концах света, а проекты раз за разом номинируются на премию Стерлинга. Самый интересный новый проект Хадид стоит искать в Гонконге: там открылся корпус местного Политехнического университета из стекла, алюминия и железобетона.

«Башня инноваций» — передовой технологический продукт, большой гаджет, который выглядит фрагментом идеально просчитанного на компьютере будущего, внезапно оказавшимся на несовершенной планете. Пятнадцатиэтажное здание, в котором будут учиться полторы тысячи студентов, оказалось зажато между широким шоссе и существующим футбольным полем, но архитектурное бюро нашло выход из положения и создало летящий объём, напоминающий то ли выступающую из моря скалу, то ли космический корабль, который оказался бы впору жокеям из «Прометея» Ридли Скотта.

Учебная постройка является личной попыткой Хадид рассчитаться с Гонконгом: в начале 1980-х здесь должно было появиться первое здание архитектора, которое могло бы запустить её карьеру. Однако проект был отменён из-за переговоров о присоединении города к Китаю, и до самого начала XXI века британке пришлось оставаться почти не имеющим заказов «бумажным» архитектором.

Художественный музей Аспена

Шигеру Бан известен своей «бумажной архитектурой» — проектами быстровозводимого жилья и общественных зданий для беженцев и пострадавших от стихийных бедствий. Для их строительства японец использует обработанный специальной пропиткой картон, это идеальный материал для неказистых временных зданий. Он недорого стоит, его легко производить, из него можно быстро создать крупные сооружения и его просто переработать после завершения срока службы дома (да, вы не ослышались: в 2014 году архитектура окончательно перестала восприниматься как нечто незыблемое). Именно за свою социальную работу Бан в 2014 году стал лауреатом Притцкеровской премии.

Куда реже упоминаются постоянные постройки Бана. В них он показывает себя как последовательный японский минималист, который любит белый цвет, стекло, металл и дерево. Его первый проект после получения Притцкера — здание художественного музея в американском горнолыжном курорте Аспен. Фасад музея напоминает большую корзину, а крыша поддерживается красивым деревянным каркасом. Между внутренними помещениями и лёгким фасадом из переплетённых между собой и специально обработанных листов фанеры зажата лестница на крышу здания. Там располагается общественная зона и вестибюль музея: посетители должны осматривать коллекции, постепенно спускаясь на нижние этажи.

Фонд Louis Vuitton

Патриарх американской архитектуры и автор музея Гуггенхайма в Бильбао Фрэнк Гери — полная противоположность Шигеру Бана. Он расточительный деконструктивист, который ради эффектного визуального образа готов придумать десятки новаторских технических решений. При этом эффективность использования постройки может оказаться под вопросом. Именно так случилось с его opus magnum и главным зданием этого года — Фондом Louis Vuitton, который осенью открылся в парижском Булонском лесу.

Создание частного музея современного искусства обошлось миллиардеру и самому богатому человеку Франции Бернару Арно в 150 миллионов долларов и растянулось на восемь лет. Результат — огромный стеклянный кит с отсылками к Татлину и традиционной парковой архитектуре. При проектировании искривлённых форм музея Гери пришлось применить специальное программное обеспечение, используемое в авиационной и аэрокосмической промышленности.

Внутри накрытого дюжиной стеклянных пластин здания — 11 залов, в которых представлены работы современных художников из коллекции Арно. Для выставок отведена лишь треть общего пространства, всё остальное — зал-трансформер на 350 мест и общественные зоны, включая кафе и книжный магазин.

Фонд Пате

Сам Ренцо Пиано, автор Центра Помпиду и лондонского «Осколка», в этом году завершил постройку штаб-квартиры фонда Пате, занимающегося сохранением наследия одноимённой киностудии. Здание находится в XIII округе Парижа, значительно перестроенном во время модернистских экспериментов 1960-х годов, но, несмотря на свою радикальную форму, оно не ломает сохранившуюся историческую застройку. Архитектор поместил сферический объём офиса, напоминающий из-за своей отделки панцирь броненосца, в небольшой внутренний двор, спрятанный за историческим фасадом. Контраст старого и нового лишь подчёркивает изысканность решения.

4.Вывод.

Принципы симметрии являются основополагающими для любого архитектора, но вопрос о соотношении между симметрией и асимметрией каждый архитектор решает по-разному. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоническую композицию симметричных элементов.

Удачное решение определяется талантом зодчего, его художественным вкусом и его пониманием прекрасного. Прогуляйтесь по нашему городу и убедитесь, что удачных решений может быть очень много, но неизменным остается одно – стремление архитектора к гармонии, а это в той или иной степени связано с симметрией.

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир — это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг — геометрия. Никогда мы не видели так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, шар, выполненных так отчетливо, с такой тщательностью и так уверенно». «Ле Корбюзье»

Заключение.

Итак, мы окунулись в мир архитектуры, изучили некоторые ее формы, конструкции, композиции. Рассмотрев множество ее объектов, мы убедились в том, что геометрия играет важную, если не главную роль в архитектуре.

Геометрия украшает архитектуру, придает ему строгость, индивидуальность и красоту.

Изучая использованную литературу для подготовки данной работы, было приобретено много интересных знаний из истории архитектуры и геометрии, что еще раз убеждает в многогранности применения этой науки (геометрии) и необходимости ее изучения.

Список литературы

1. Академия педагогических наук СССР «Что такое? Кто такой?» М.; Издательство «Просвещение» 1968; 479 стр.

2. «Большая иллюстрированная энциклопедия школьника» М.; Издательство «Махаон» 2003; 490 стр.

3.http://5klass.net/mkhk-11-klass/Geometrija-v-arkhitekture/004-Istorija-geometrii.html.

4. http://www.myshared.ru/slide/40354/.

Просмотров работы: 10211

Геометрические фигуры и их названия

Здесь вы с ребенком можете изучить геометрические фигуры и их названия с помощью веселых заданий в картинках. Но обучение будет проходить наиболее эффективно в том случае, если к распечатанному заданию вы добавите еще и различные образцы геометрических фигур. Для этой цели могут подойти такие предметы, как мячики, пирамидки, кубики, надутые воздушные шары (круглые и овальные), кружки для чая (стандартные, в форме цилиндра), апельсины, книги, клубки ниток, квадратные печенья и многое другое — все, что подскажет вам фантазия.

Все перечисленные предметы помогут ребенку понять, что значит объемная геометрическая фигура. Плоские фигуры можно подготовить, вырезав из бумаги нужные геометрические формы, предварительно раскрасив их в разные цвета.

Чем больше различных материалов вы подготовите для занятия, тем интереснее будет ребенку изучать новые для него понятия.

Также вам может понравиться наш онлайн тренажер по математике для 1 класса «Геометрические фигуры»:

Геометрические фигуры 1 класс — Онлайн-тренажер

Онлайн-тренажер по математике «Геометрические фигуры 1 класс» поможет первоклассникам потренироваться в умении различать основные геометрические фигуры: квадрат, круг, овал, прямоугольник и треугольник.

Геометрические фигуры и их названия — Проводим занятие с ребенком:

Чтобы легко и непринужденно ребенок смог запомнить геометрические фигуры и их названия, скачайте сначала картинку с заданием во вложениях внизу страницы, распечатайте на цветном принтере и положите на стол вместе с цветными карандашами. Также к этому времени у вас уже должны быть заготовлены различные предметы, которые мы перечисляли ранее.

1 этап. Сначала пусть ребенок выполнит задания на распечатанном листе — проговорит вслух названия фигур и раскрасит все картинки.
2 этап. Необходимо наглядно показать ребенку отличия объемных фигур от плоских. Для этого разложите все предметы-образцы (как объемные, так и вырезанные из бумаги) и отойдите с ребенком от стола на такое расстояние, с которого хорошо видны все объемные фигуры, но потерялись из виду все плоские образцы. Обратите внимание малыша на этот факт. Пусть он поэкспериментирует, подходя к столу то ближе, то дальше, рассказывая вам о своих наблюдениях.
3 этап. Дальше занятие нужно превратить в своеобразную игру. Попросите ребенка, чтобы он внимательно посмотрел вокруг себя и нашел предметы, которые имеют форму каких-либо геометрических фигур. Например, телевизор — прямоугольник, часы — круг и т.д. На каждой найденной фигуре — громко хлопайте в ладоши, чтобы добавить энтузиазма в игру.
4 этап. Проведите исследовательскую и наблюдательную работу с теми материалами-образцами, которые вы заготовили к занятию. Например, положите на стол книгу и плоский прямоугольник из бумаги. Предложите ребенку пощупать их, посмотреть на них с разных сторон и рассказать вам свои наблюдения. Таким же образом можно исследовать апельсин и бумажный круг, детскую пирамидку и бумажный треугольник, кубик и бумажный квадрат, воздушный шар овальной формы и овал, вырезанный из бумаги. Список предметов вы можете дополнить сами.
5 этап. Положите в непрозрачный пакет различные объемные образцы и попросите ребенка достать на ощупь квадратный предмет, затем круглый, затем прямоугольный и так далее.
6 этап. Разложите перед ребенком на столе несколько различных предметов из тех, которые участвуют в занятии. Затем пусть ребенок отвернется на несколько секунд, а вы спрячьте один из предметов. Повернувшись к столу ребенок должен назвать спрятанный предмет и его геометрическую форму.

Скачать геометрические фигуры и их названия — Бланк задания — вы можете во вложениях внизу страницы.

Названия геометрических фигур — Карточки для распечатки

Изучая с малышом геометрические фигуры, вы можете использовать во время занятий карточки для распечатки от Лисёнка Бибуши. Скачайте вложения, распечатайте на цветном принтере бланк с карточками, вырежьте каждую карточку по контуру – и приступайте к обучению. Карточки можно заламинировать, либо наклеить на более плотную бумагу, чтобы сохранить внешний вид картинок, ведь использоваться они будут неоднократно.

Первые шесть карточек дадут вам возможность изучить с ребенком такие фигуры: овал, круг, квадрат, ромб, прямоугольник и треугольник, под каждой фигурой в карточках можно прочесть ее название.

После того, как ребенок запомнил название определенной фигуры, попросите его выполнить следующее: обвести по контуру все имеющиеся на карточке образцы изучаемой фигуры, а затем раскрасить их в цвет основной фигуры, расположенной в верхнем левом углу.

Скачать названия геометрических фигур — Карточки для распечатки — вы можете во вложениях внизу страницы

Карточки для распечатки с изображением плоских геометрических фигур

С помощью следующих шести карточек ребенок сможет познакомиться с такими геометрическими фигурами: параллелограмм, трапеция, пятиугольник, шестиугольник, звезда и сердце. Как и в предыдущем материале под каждой фигурой можно найти ее название.

Чтобы разнообразить занятия с малышом, совмещайте обучение с рисованием – такой метод не даст ребенку переутомиться, и малыш с удовольствием будет продолжать учебу. Следите за тем, чтобы обводя фигуры по черточкам, ребенок не спешил и выполнял задание аккуратно, ведь подобные упражнения не только развивают мелкую моторику, они могут повлиять в дальнейшем на почерк малыша.

Скачать карточки для распечатки с изображением плоских геометрических фигур вы можете во вложениях

Объемные геометрические фигуры и их названия — скачать карточки

В процессе, того, как вы будете изучать с ребенком объемные геометрические фигуры и их названия, используя новые шесть карточек от Бибуши с изображениями куба, цилиндра, конуса, пирамиды, шара и полусферы, приобретите изучаемые фигуры в магазине, либо воспользуйтесь предметами, находящимися в доме, имеющими подобную форму.

Покажите малышу на примерах, как в жизни выглядят объемные фигуры, ребенок должен потрогать и поиграть с ними. Прежде всего, это необходимо для того, чтобы задействовать наглядно – действенное мышление малыша, с помощью которого ребенку проще познавать окружающий мир.

Скачать — Объемные геометрические фигуры и их названия — вы можете во вложениях внизу страницы

Также вам будут полезны и другие материалы по изучению геометрических фигур:

Рисунки из геометрических фигур — Задания в картинках и раскраски

Веселые и красочные задания для детей «Рисунки из геометрических фигур» являются очень удобным обучающим материалом для детей дошкольного и младшего школьного возраста по изучению и запоминанию основных геометрических форм:

Геометрические фигуры — Раскраска для дошкольников

Задания ознакомят ребенка с основными фигурами геометрии — кругом, овалом, квадратом, прямоугольником и треугольником. Только здесь не занудное зазубривание названий фигур, а своеобразная игра-раскраска.

Плоские геометрические фигуры — Обведи и дорисуй

Как правило, геометрию начинают изучать, рисуя плоские геометрические фигуры. Восприятие правильной геометрической формы невозможно без выведения ее своими руками на листе бумаги.

Найди формы геометрических фигур в картинках

Это занятие изрядно позабавит ваших юных математиков. Ведь теперь им придется находить знакомые формы геометрических фигур среди множества картинок.

Наложение фигур друг на друга — Задание для детей

Наложение фигур друг на друга — это занятие по геометрии для дошкольников и младших школьников. Смысл упражнения состоит в решении примеров на сложение. Только это необычные примеры. Вместо цифр здесь нужно складывать геометрические фигуры.

Свойства геометрических фигур для дошкольников

Это задание составлено в виде игры, в которой ребенку предстоит менять свойства геометрических фигур: форму, цвет или размер.

Счет геометрических фигур — Картинки с заданиями

Здесь вы можете скачать задания в картинках, в которых представлен счет геометрических фигур для занятий по математике.

Чертежи геометрических тел — Задание для детей

В этом задании ребенок познакомится с таким понятием, как чертежи геометрических тел. По сути, это занятие представляет собой мини-урок по начертательной геометрии

Геометрические фигуры из бумаги — Вырезаем и занимаемся

Здесь мы подготовили для вас объемные геометрические фигуры из бумаги, которые нужно вырезать и склеить. Куб, пирамиды, ромб, конус, цилиндр, шестигранник, распечатать их на картоне (или цветной бумаге, а затем наклеить на картон), а затем дать ребенку для запоминания.

Счет до 5 — Картинки с заданиями для малышей

Здесь мы выложили для вас счет до 5 — картинки с математическими заданиями для малышей, благодаря которым ваши дети потренируют не только свои навыки счета, но и умение читать, писать, различать геометрические фигуры, рисовать и раскрашивать.

И еще можете поиграть в математические игры онлайн от лисенка Бибуши:

Игра «Что лишнее? — Геометрические формы»

В этой развивающей онлайн игре ребенку предстоит определить, что является лишним среди 4 картинок. При этом необходимо руководствоваться признаками геометрических форм.

Исследовательский проект на тему «Геометрические фигуры в жизни человека»

Содержание

Введение

1. Актуальность темы;

2. Проблемная ситуация;

3. Цель и задачи исследования;

4. Гипотеза исследования.

Основная часть.

Плоские и объёмные геометрические фигуры.

Как применяются геометрические формы в жизни человека.

Геометрические фигуры в строительстве и архитектуре.

4. Геометрические фигуры в природе.

Заключение.

Список литературы.

Приложение №1.

Приложение №2

Введение

«Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры». Галилей

С первого класса на уроках математики мы стали знакомиться с различными геометрическими фигурами. Это меня очень увлекло. Я стал видеть в каждом предмете фигуры. Геометрические фигуры окружают каждого человека в повседневной жизни, но мы их не замечаем. У меня зародились вопросы: почему все окружающие нас предметы имеют геометрическую форму?

Цель — исследовать геометрические фигуры и тела, понять их роль и место в повседневной жизни.

Задачи: 1. Изучить использование геометрических форм и линий в практической деятельности человека:

провести наблюдение в своей квартире
провести анкетирование среди одноклассников на тему «Какие предметы вокруг себя вы видите в форме различных фигур?»
проанализировать использование различных геометрических фигур в архитектуре;

2. Познакомится с природным творением в виде геометрических фигур; узнать, как используют геометрические фигуры животные;

3. Сделать своими руками макет храма из геометрических фигур.

Объект исследования: геометрические фигуры и тела, окружающие нас.

Гипотеза: я предположил, что все предметы, которые создает природа и человек, имеют форму геометрических фигур и что геометрические фигуры берут свое начало в природе.

Методы исследования: обзор литературы, повседневные наблюдения в квартире, в парке, на улицах города, анкетирование одноклассников, самостоятельная исследовательская работа, сравнение, обобщение, формулирование выводов.

Основная часть.

1.Плоские и объёмные геометрические фигуры.

Знакомясь с литературой, я узнал, что геометрические фигуры бывают плоскими и объёмными, а главные свойства этих фигур определяет их использование в различных целях. Плоские фигуры, например, треугольник, четырехугольник, круг можно вырезать из листа бумаги, целиком можно уложить на столе или приложить к доске. Объемные же фигуры называются геометрическими телами, такие как куб, шар, цилиндр, конус. Мячик похож на круг, но он весь выпуклый, а значит это уже шар, благодаря чему он легко катится. Кубик тоже нельзя назвать простым квадратом, так как он не плоский! Фигуру, которая состоит из 6 квадратных сторон (граней), называют кубом. Кирпич, из которого строят дома, имеет прямоугольные стороны, поэтому его называют параллелепипед. Параллелепипед — одна из самых устойчивых фигур, поэтому её максимально используют в строительстве. Колеса автомобилей и велосипедов круглые, для того чтобы легко передвигаться.

2. Как применяются геометрические формы в жизни человека.

Как же применяются геометрические фигуры в жизни? Наблюдение я начал со своей квартиры. Я заметил, что окна, двери, стены, картина, пол и потолок имеют прямоугольную форму и не имеют объема, значит, они являются прямоугольниками. Сама комната, шкафы, комод, тумба напоминает форму прямоугольника, но они объемные и у них по шесть граней, значит, они имеют форму параллелепипеда. Посмотрев на люстры, я заметил цилиндры, конусы и круги. В комнате также имеется светильник в виде конуса, гимнастический мяч в виде шара. Пройдя в ванную комнату, я увидел, что плитки пола и стен – это прямоугольники или квадраты.Все прямые трубы (водопровод, газопровод) имеют цилиндрическую форму. Пройдя на кухню, можно встретить много геометрических фигур: буханка хлеба – параллелепипед; тарелка – круг; помидор, яблоко – шар, воронка – усеченный конус. Проведя наблюдение, я убедился, что посуда чаще всего имеет форму круга.

Кроме того, я провёл анкетирование среди одноклассников. Детям надо было ответить на вопросы:

1. Какие предметы вокруг себя вы видите в форме различных фигур?

2. Какие геометрические фигуры используются в строительстве?

3. Людям каких профессий нужна геометрия?

Ребята заметили, что форму круга имеет пуговица, новогодняя игрушка, диск, часы, зеркало, солнце; форму квадрата и прямоугольника – телефон, стиральная машина, стул, доска, линейка, ластик, пенал, сумка, ковер; треугольника – горка, флажок, тарелка для фруктов, крыша, утюг, наконечник стрелы, крыша домов, египетские пирамиды, дорожные знаки. Форму пятиугольника не все участники смогли назвать. Назвали снежинки, звезду. В форме многоугольника назвали пчелиные соты, кристаллы, гайку, алмаз, карандаш, паутину. Почти все участники считают, что в строительстве используют формы прямоугольника и квадрата, но есть и те, которые назвали и фигуры пирамиды, конуса. Самыми привлекательными зданиями города считают ФСК «Асамат», Дом культуры и Тихвинский женский монастырь. Мои одноклассники считают, что наука геометрия нужна людям таких профессий как инженерам, строителям, архитекторам, конструкторам, модельерам, дизайнерам и учителям.

Анализируя результаты анкетирования, я обнаружил, что ребята видят многие предметы как плоские. Поэтому я считаю, что на уроках математики, окружающего мира, изобразительного искусства, рассматривая иллюстрации, нужно обращать внимание учеников на то, что многие предметы имеют объём.

3. Геометрические фигуры в строительстве и архитектуре.

Проведя исследование дома, я решил выйти на улицу. Какие же фигуры я найду там?

По улице движутся автомобили. Их колеса с геометрической точки зрения — круги. Я заметил, что в зданиях жилых домов, школ, магазинов, детских садов преобладают четкие линии и прямые углы, что очень схоже с формой квадрата и прямоугольника (куба и параллелепипеда). Объясняется это тем, что человек при постройке своего жилья думает, чтобы он был прочен, но также заботится и об экономии – чтобы размеры предмета (площадь, поверхность, объем) имели наименьшее значение. Тем самым он сначала экономит строительные материалы, а затем тепловую энергию для отопления построенного дома. В этом человек сродни пчелам. Не случайно иногда современные многоэтажные дома называют сотами. Еще в древние века жилище человека и его гробница имела форму пирамиды, прямоугольника, куба. Современные архитекторы, используя различные геометрические фигуры, создают уникальные произведения искусства. (Чаще всего в архитектурном сооружении сочетаются различные геометрические фигуры.) Основание любого дома имеет вид прямоугольного параллелепипеда. Параллелепипед одна из самых устойчивых фигур, поэтому её максимально используют в строительстве.

Но люди, для того чтобы украсить жизнь и сделать мир вокруг красивее, придумали науку – архитектуру. Архитекторы – это те же строители, но ещё они проектируют здания. Для украшения они используют кованные заборы и колонны, перила мостов и лестниц, арки, купола и многое другое. Я обратил внимание, что чаще взгляд останавливается на зданиях, сочетающих различные геометрические формы. Это здания общественного, культурного назначения. Они созданы для привлечения внимания людей, создания у них положительных эмоций. Многие такие здания украшены колоннами. Колонны в большинстве случаев – цилиндры, но могут иметь и более сложную форму. В нашем городе колонны есть в историко-краеведческом музее.

Рассматривая фотографии из семейного архива, я искал знакомые фигуры и заметил, как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько геометрических фигур положено в его основу. Например, в основании Спасской башни Московского кремля можно увидеть прямоугольный параллелепипед, переходящий в средней части в фигуру, похожую на цилиндр, завершается же она конусом.

При построении русских церквей архитекторы применяли фигуры: прямоугольный параллелепипед, цилиндр, конус и пирамиду. В этом я убедился, увидев Цивильскую церковь и Тихвинский женский монастырь. Я обратил внимание, что чаще взгляд останавливается на зданиях, сочетающих различные геометрические формы. Часто конус составляет какую-то часть здания, например крыши и архитектурные украшающие детали.

4. Геометрические фигуры в природе и использование геометричеких форм животными.

Я решил поискать геометрические фигуры в природе. Гуляя по парку, я понял, что стволы деревьев похожи на цилиндры. А на одном из деревьев висело гнездо — шар, свитый из веток. Грибы — в виде полушара, а ягоды земляники – в виде конуса. Разные деревья имеют различную форму кроны. Ёлки имеют узкие макушки и широкие основания и напоминают фигуру конуса. Это необходимо им, чтобы зимой снег не сломал их, а скатывался с макушки вниз. Форму пирамиды имеет туя, которую я нашел перед зданием ПАО «Ростелеком». Округлую форму имеет крона липы, дуба.

Зимой на нас падают красивые снежинки – в форме шестиугольника. Пауки плетут необычную паутину в форме многогранников. Морская звезда – пятиугольник. Форму шара имеют многие ягоды, фрукты и овощи – вишня, яблоко, арбуз, капуста, помидор, горошина. Я предполагаю, что многие ягоды, фрукты имеют округлую форму для того, чтоб солнечный свет попадал на плод максимально для скорейшего созревания. Почему же горошина и многие другие семена имеет форму шара? Оказывается, когда стручок созреет и лопнет, горошины упадут на землю и благодаря своей форме покатятся во все стороны, захватят все новые территории. Шаровую форму принимают капля росы, капля ртути, капля масла в воде.

Как бы забавно не показалось, но даже животные подсознательно используют свойства геометрических фигур.Многие птицы – воробьи, крапивники, лирохвосты – строят свои гнезда в форме шара или полушара. Гнездо рыбы – колюшки в виде шара. Принцип экономии хорошо «усвоили» животные. Они спят, свернувшись в клубочек, поверхность тела уменьшается, и тепло лучше сохраняется. Рыба – шар имеет удивительную способность надуваться. Прочитав журнал про насекомых, я узнал, что пчелы строят соты в виде шестиугольника, В правильный шестиугольник поместится больше меда, а зазоры между ячейками будут наименьшими! Тем самым они наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек, а также такая форма создает прочность структуры, способная выдержать огромный вес наполненного медом улья.

Заключение

Проведя исследование, я сделал такие выводы.

Моя гипотеза подтвердилась: вокруг нас находится большое количество предметов, имеющих форму геометрических фигур. Человек в своей деятельности – при строительстве зданий, сооружений, мостов, машин использует разные геометрические формы.

Природа же подсказывает нам самые правильные варианты их применения, так как наблюдаемые людьми природные творения не просто красивы, но и детально продуманы. Человеку есть откуда черпать свои идеи, главное научиться внимательно наблюдать за природой. Я понял, что если нужна прочность, то люди используют прямые , строгие линии в виде многогранников, как используют пчелы при постройки сот. Чтобы предмет катился, быстрее двигался используется форма круга, шара, как катится роса, горошина для захвата территории. Форму цилиндра имеют трубы для хорошего движения воды. Шар очень популярен, потому что для него используется меньше энергии. Поэтому видимо, вся посуда для варки еды, которую я видел имеет форму круга, полушара, конуса. Это знают и животные при постройки жилищ и сохранение тепла. Форму конуса имеют крыши домов, как имеют такую же форму елки, чтоб зимой снег скатывался вниз, так же это «знают» и муравьи при постройки муравейника.

До начала работы над темой я очень мало задумывался о геометрии окружающего нас мира. Теперь не просто смотрю на форму окружающих предметов и творений, а пытаюсь логически объяснить выбор формы каждого из них, нахожу им объяснения. Геометрические фигуры играют очень важную роль в жизни человека, а знание их свойств может существенно её облегчить.

Список литературы

1.Математический энциклопедический словарь. Гл.ред.Ю.В. Прохоров;Сов. Энциклопедия,1988

2.Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.Г. Рогожкин-1981

3.Занимательная геометрия/ К.И. Шевелёв-М.: Ювента,2009

4.Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика./Сост. А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова./Под общ. Ред. О.Г. Хинн. – М.: Аванта +, 2002. – 680 с.

5.Большая энциклопедия знаний. Пер. с немецкого Л. С. Беловой, Е. В. Черных- М.:Эскимо,2011-344с.

6. Еженедельный журнал «настоящие насекомые и их знакомые» №5, 20014г.

7.Детская энциклопедия. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Научные редакторы: Воронцов-Вельяминов Б. В., Маркушевы А. И. Из-во «Педагогика», Москва, 1972г.

Попробуйте эти 10 классных идей геометрической фотографии

Геометрическая фотография документирует геометрию окружающего нас мира.

В этой статье мы рассмотрим 10 идей, которые помогут вам начать заниматься геометрической фотографией.

Знакомство с геометрической фотографией

Помните геометрию в школе?

Меня всегда очаровывало, как формы сочетаются друг с другом, создавая пространство.

По общему признанию, я никогда не был хорош в математике, но я действительно думаю, что мой интерес помог мне направить меня в сторону фотографии…

Линии, окружности, сферы, треугольники.Почти каждый физический аспект нашего окружения можно отобразить с помощью геометрии.

В фотографии геометрические изображения обозначают визуальный акцент на смелых формах, линиях и узорах.

Распространенные примеры геометрической фотографии часто встречаются в архитектурных образах.

Геометрические объекты можно использовать в таких жанрах, как минимализм, абстракция и модная фотография.

Фото Дэвида Вербрука на Unsplash

10. Ведите линии

Смелые, тонкие, волнистые, острые — в мире существует бесчисленное множество вариантов линий.

Геометрия линии соответствует тому, как мы визуализируем наше окружение. Они определяют пространство, импульс и акцент.

Линии очерчивают как концептуальный, так и физический дизайн. Они предоставляют основу для идей и опыта.

Линия также может быть предметом сама по себе, выражая эмоции через форму и форму.

Ведущие линии обеспечивают визуальный путь для зрителя. Горизонтальные / вертикальные линии позволяют нам ориентироваться в изображении.

Линейная и геометрическая фотография почти неразделимы.Это самый основной элемент изобразительного искусства.

Фото isaac sloman на Unsplash

9. Repeat Yourself

Повторение подразумевает многократное повторение объекта для большего эффекта на изображении.

С каждым повторением тема усиливается. Это создает прочную основу для работы с фотографией.

Повторяющиеся геометрические узоры особенно эффективны, потому что они создают смелое заявление.

Геометрические структуры часто зависят от повторения.Объединить две концепции может быть проще, чем вы думаете!

Обратите внимание на кирпичные стены, окна, плитку, цветы и т. Д. Многие повторяющиеся предметы одновременно подчеркивают геометрические качества.

Фото Кейта Миснера на Unsplash

8. Предложите симметрию

Симметрия — это визуальный баланс одного или нескольких предметов в композиции.

Симметрия возникает как естественно, так и искусственно. Часто это связано с геометрическими свойствами фотографии.

С ним приятно общаться визуально и психологически.И это добавляет плавности фотографии.

Изображение не обязательно должно быть идеальным, чтобы добиться впечатления симметрии.

Достаточно предположить, что геометрические элементы равномерно распределены по изображению. Он сам по себе вызовет чувственный опыт геометрической симметрии.

Фото Джеймса Беста на Unsplash

7. Используйте Color

Color может оживить геометрическое изображение, притягивая взгляд зрителя. Но цвет также может работать на более глубоком психологическом уровне.

Связанный с эмоциональным переживанием, для многих людей разные цвета имеют определенное значение.

Красный цвет может означать страсть, а синий — спокойствие.

Добавляя цвет, вы вводите новый уровень восприятия геометрической фотографии.

Фото Даниэле Левиса Пелуси на Unsplash

6. Попробуйте Black and White

Черно-белое изображение может создавать запоминающиеся образы. Он привлекает внимание формой и формой. Он улучшает качество света, взаимодействующего с геометрической поверхностью.

Черно-белый цвет, не отвлекаясь от цвета, вдохновляет на размышления.

Фото Pop & Zebra на Unsplash

5. Go Textural

Текстура определяет восприятие изображения. Это позволяет зрителю подключиться к фотографии на физическом уровне.

Шероховатая, гладкая, морщинистая, скользкая. Большинство предметов состоят из одного или нескольких текстурных качеств.

Геометрические предметы оперируют различными текстурными уровнями.

Полированные металлические ведущие линии создают впечатление гладкости и современности.

Изношенная геометрическая архитектура может казаться грубой и старой.

Вы также можете использовать геометрические элементы как инструмент для разделения текстуры. Он усиливает каждый отдельный текстурный компонент, разделяя изображение на удобоваримые сегменты.

Фото Патрика Томассо на Unsplash

4. Свернуть!

Минимализм — это произведения искусства, состоящие из простых геометрических фигур.

Для него характерно единичное или повторяющееся использование форм. Это могут быть квадраты, прямоугольники и треугольники. Минималистичная фотография включает в себя вдохновляющие простые изображения.

С годами минимализм эволюционировал. Теперь он используется во многих разных жанрах фотографии.

Геометрический минимализм остался неизменным. Его цель — передать красоту геометрической фотографии через изоляцию и композицию.

Фото Беренис Мелис на Unsplash

3. Получите некоторую перспективу

Перспектива — мощный инструмент в арсенале фотографа. Он часто отмечает разницу между скучным и привлекательным изображением.

Перспектива относится к пространственным отношениям между фотографом и объектом.

Регулируя перспективу, вы управляете точкой, в которой зритель входит в фотографию.

Фотография, сделанная камерой на земле, передаст одно визуальное впечатление. Камера, расположенная над объектом, смотрящим вниз, другая.

В геометрической фотографии множество объектов появляется в повседневных ситуациях и условиях.

Поэкспериментируйте с расположением камеры относительно геометрического объекта. Вы можете создать необычную и интригующую перспективу.

Фото Шейна Раунса на Unsplash

2. Исследование органических / неорганических объектов

В геометрическом изобразительном искусстве формы и линии либо органические, либо неорганические.

Органическая геометрия плавная, расслабленная и гладкая. Обычно он встречается в естественных условиях.

Неорганическая геометрия часто бывает резкой, резкой, энергичной и искусственной.

Проведение различия между ними может выделить основные темы геометрической фотографии.

Если вы хотите выразить современность или энергию, неорганический геометрический объект может быть идеальным.

Если вы хотите развить чувство непринужденности или природы, то органическая геометрия может быть вашим решением.

Конечно, есть момент, когда эти двое могут взаимодействовать вместе. Органический / неорганический поток или источник геометрического объекта будет определять настроение изображения.

Фото Самуэля Зеллера на Unsplash

1. Найдите геометрию в архитектуре

Отметим самый популярный геометрический предмет — архитектуру.

С древней истории люди искали убежище в искусственных сооружениях.

Будучи человеческими жилищами, эти сооружения превратились в свидетельство искусства и изобретательности.

Запись геометрических элементов в архитектурной фотографии говорит о нашем стремлении к порядку.

Фото Кимона Марица на Unsplash

Заключение

Геометрическая фотография привлекает зрителей, которые стремятся к эстетическому изучению физического мира.

Сосредоточившись на геометрии, вы можете создавать увлекательные фотографии. И это основано на врожденной человеческой склонности пытаться навести порядок в нашей визуальной среде.

Страница не найдена »ExpertPhotography

404 — Страница не найдена» ExpertPhotography

404

Простите! Страница, которую вы искали, не найдена…

Он был перемещен, удален, переименован или, возможно, никогда не существовал. Пожалуйста, свяжитесь с нами, если вам понадобится помощь.

Мне нужна помощь с…

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[‘rmockx.RealPlayer G2 Control’, ‘rmocx.RealPlayer G2 Control.1 ‘, ‘RealPlayer.RealPlayer ™ ActiveX Control (32-бит)’, ‘RealVideo.RealVideo ™ ActiveX Control (32-бит)’, ‘RealPlayer’]

[‘rmockx.RealPlayer G2 Control’, ‘rmocx.RealPlayer G2 Control.1’, ‘RealPlayer.RealPlayer ™ ActiveX Control (32-бит)’, ‘RealVideo.RealVideo ™ ActiveX Control (32-бит)’, ‘RealPlayer’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[‘rmockx.RealPlayer G2 Control ‘, ‘rmocx.RealPlayer G2 Control.1’, ‘RealPlayer.RealPlayer ™ ActiveX Control (32-бит)’, ‘RealVideo.RealVideo ™ ActiveX Control (32-бит)’, ‘RealPlayer’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

Страница не найдена »ExpertPhotography

404 — Страница не найдена» ExpertPhotography

404

Простите! Страница, которую вы искали, не найдена…

Мне нужна помощь с…

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

Страница не найдена »ExpertPhotography

404 — Страница не найдена» ExpertPhotography

404

Простите! Страница, которую вы искали, не найдена…

Мне нужна помощь с…

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

Страница не найдена »ExpertPhotography

404 — Страница не найдена» ExpertPhotography

404

Простите! Страница, которую вы искали, не найдена…

Мне нужна помощь с…

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

[type = ‘text’]

[type = ‘password’]

Геометрические формы и диагонали в фотографии

Одна из главных проблем новичков в фотографии заключается в том, что они много времени думают о пейзаже.Они думают о фотографировании пейзажей и гор, портретах или облаках. Но чтобы улучшить свои навыки фотографии, вам нужно оторваться от этого и научиться смотреть на объекты абстрактно. Для объекта или человека, на которого вы смотрите в реальном мире, оказывает совершенно иное влияние, когда вы смотрите на них на двухмерном изображении.

Следовательно, вам нужно свести композицию к ее основным компонентам, таким как географические формы и диагонали. Итак, давайте подробнее рассмотрим эти компоненты фотографии и начнем с диагоналей.

Диагонали в фотографии

Нашему взору нравится следить за линиями и диагоналями в двухмерных композициях. Вы можете использовать эту особенность для создания напряженности и динамики в ваших фотографиях. Иногда через это можно также поддержать правило третей. Кроме того, диагонали усиливают эффект глубины пейзажных фотографий. В нашем западном культурном кругу мы привыкли читать слева направо. По этой причине мы также бессознательно следуем диагоналям слева направо.

Теперь внимательно рассмотрите три изображения в слайд-шоу и прочтите описание изображения .

Геометрические формы

Геометрические формы четкие и привлекают наше внимание. Вот почему они производят сильное впечатление на двухмерных фотографиях. Геометрические узоры уже использовались в прошлом известными художниками. Видимо, они знали о психологическом воздействии тех.

Не только это: геометрические формы добавляют структуру и могут помочь зрителю удерживать взгляд в кадре изображения.Действительно, у каждой формы есть свое выражение. Например, наш разум воспринимает такие формы, как прямоугольник или квадрат, как соответствие.

Круги говорят о полноте. Треугольники, с другой стороны, представляют напряжение, а линии показывают некоторое движение и указывают направление на фотографии.

Таким образом, цель фотографа — привлечь внимание наблюдателя и увлечь его, пытаясь как можно чаще использовать геометрические формы в фотографии. Вы узнаете, сделали ли вы хорошую фотографию, используя геометрические узоры, когда зритель скажет, что это удачный снимок, не имея возможности объяснить, почему он хороший.Но вы это узнаете.

Таким образом, фотографическое зрение также означает повышение чувствительности глаза к геометрическим формам. Когда вы смотрите на интересный для вас мотив, постарайтесь найти в нем какие-то линии, диагонали и т. Д., Чтобы вы могли эффективно разместить его в своей композиции.

Две формы геометрии

Есть две основные формы геометрии: истинная и воспринимаемая . Что это значит? Истинной формой было бы круглое окно или прямоугольная дверь дома.Другими словами, все, что показывает вам реальный и обнаруживаемый геометрический узор. Взгляните на изображения ниже, чтобы понять, что я имею в виду.

Воспринимаемая геометрическая форма может быть, например, тремя объектами на изображении, которые при соединении воображаемой линией образуют треугольник. Или это может быть просто круглый предмет, например, солнцезащитные очки или будильник. Посмотрите на примеры ниже.

Ладно, ребята. Пожалуйста, расценивайте эту статью как введение в захватывающий мир фотографии.Чтобы серьезно изучить фотографию и улучшить свои навыки, вам следует прочитать несколько книг или посмотреть учебник. Я могу порекомендовать эту работу Дэйра Стивенса, которая называется «Начало фотографии» *, или присоединиться к Флеарну * от Аарона Нейса. А если еще не сделали, посмотрите другие мои статьи о фотографии для начинающих.

* Партнерская ссылка: Если вы перейдете по ссылке, для вас не возникнет никаких затрат. Если вы решите совершить покупку, я получу небольшую выгоду от поставщика, которую я реинвестирую, чтобы поддерживать этот блог.

7 способов использовать геометрию в фотографии, чтобы оживить ее

Попадаете в колею фотографирования? Добавьте ценности и интриги своим изображениям, проявив творческий подход к использованию геометрии в фотографии.

Ознакомьтесь с нашими путеводителями по архитектуре и уличной фотографии прямо сейчас!

Симметрия

Симметрия лежит в основе законов природы. Когда изображение имеет симметричную композицию, это успокаивает и приятно радует глаз.Но фотография не обязательно должна быть разделена прямо посередине, чтобы добиться симметрии. Когда изображение кажется сбалансированным, вы можете добиться того же (а иногда и более интересного) результата.

Осмотритесь в следующей поездке; симметрию можно найти везде.

Фигуры

Использование форм — это еще один способ творчески кадрировать объекты на фотографиях.

Квадраты и прямоугольники предполагают соответствие и порядок. Следите за этими формами и используйте их, чтобы усилить это ощущение.

С другой стороны, круг представляет единство, завершенность и совершенство. При использовании в изображении круглые формы могут помочь привлечь взгляд внутрь и удержать внимание зрителя на объекте.

Наконец, треугольники — хороший способ сосредоточить внимание на определенной точке. И, в зависимости от угла наклона треугольника, он может вызывать у зрителя чувство спокойствия или энергии.

Сходящиеся линии

Сходящиеся линии можно использовать, чтобы добавить глубины и направить внимание зрителя в определенном направлении.Эти линии сами по себе не обязательно должны быть физическими, их можно создать, используя узор, который направляет взгляд вперед.

Параллельные линии

Геометрия параллельных линий вызывает в фотографии порядок и ритм. Параллельные вертикальные линии создают иллюзию роста, а горизонтальные линии создают впечатление спокойствия или умиротворения.

Пересекающиеся линии

Диагональные или наклонные ведущие линии могут сделать изображение более динамичным. Выделив эти линии, фотографии станут более активными.В зависимости от угла обзора пересекающиеся ведущие линии также могут помочь соединить более одного объекта или добавить глубины фотографии.

Узоры

Узоры — полезный инструмент как для кадрирования, так и для композиции в фотографии. Когда рамка заполнена фигурами, она может добавить драматичности фотографии или, если она выровнена, изменить ее порядок.

Вы можете найти узоры в оформлении окон в зданиях, формы плитки, гальку на пляже, кирпичи на стене и т. Д. Когда вы знаете, что искать, вы можете найти их повсюду.