Как исследовать ряды на сходимость: Как исследовать ряд на сходимость: примеры решений

Глава 93. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости

Ряды с неотрицательными членами часто встречаются в различных приложениях. Сразу отметим основное свойство таких рядов: Последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами является неубывающей.

Теорема

Для того чтобы ряд с неотрицательными членами Сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была Ограничена.

Доказательство

По определению сходящегося ряда последовательность его частичных сумм сходится, значит, она необходимо ограничена. Что касается достаточности, то ограниченная монотонная неубывающая последовательность сходится в силу признака сходимости монотонной последовательности.

Определим несколько признаков, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость числового ряда.

Теорема

Пусть для двух рядов с неотрицательными членами

	(9. 3.1)
	(9.3.2)

Выполняется неравенство для всех . Тогда из Сходимости ряда (9.3.2) следует Сходимость ряда (9.3.1).

Рассмотрим несколько Примеров применения Теоремы 2 по установлению сходимости (расходимости) неотрицательных рядов.

Пример

Исследовать сходимость ряда .

Решение

Поскольку при , а ряд сходится (сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии), то Сходится и данный ряд.

Пример

Исследовать сходимость ряда .

Решение

Так как для достаточно больших (это легко проверить по правилу Лопиталя для функции при , ), то . Ряд расходится, значит Расходится и данный ряд.

Теорема

Пусть ряд (9.3.1) – ряд с неотрицательными членами, а ряд (9.3.2) – ряд с положительными членами. Если существует предел

,

(9.3.3)

То оба ряда Сходятся Или Расходятся одновременно.

Теорема (признак Даламбера)

Пусть для ряда (9.3.1) с положительными членами существует предел

.

(9.3.4)

Тогда этот ряд Сходится при и Расходится при .

Замечание

При необходимо дополнительное исследование ряда с других признаков, так как в этом случае ряд (9.3.1) может как сходится, так и расходится.

В качестве применения признака Даламбера исследуем сходимость следующих рядов.

Пример

Исследовать сходимость ряда , .

Решение

Составим соотношение и перейдем к пределу(9.3.4).

. По признаку Даламбера имеем: если . то данный ряд Расходится, если же , то данный ряд Сходится.

Пример

Исследовать сходимость ряда , .

Решение

Находим предел отношения

Т. е. при данный ряд Сходится, при он Расходится.

Теорема (признак Коши)

Если существует предел

,

(9. 3.5)

То ряд (9.3.1) сходится при и Расходится при .

Пример

Исследовать сходимость ряда , где .

Решение

Применяя признак Коши, получаем . Следовательно, при данный ряд Сходится, а при он Расходится.

Теорема (интегральный признак сходимости)

Пусть функция непрерывная, положительная и убывающая всюду на промежутке . Тогда числовой ряд

(9.3.6)

Сходится вместе с несобственным интегралом

.

(9.3.7)

Пример

Исследовать сходимость ряда , .

Решение

Членами этого ряда являются значения функции в целочисленных точках. Ранее было исследовано, что соответствующий несобственный интеграл первого рода сходится при и расходится при . Следовательно, данный ряд также сходится при и расходится при . {\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$.

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$. Для начала определим, является ли этот ряд положительным, т.е. верно ли неравенство $u_n≥ 0$. Сомножитель $\frac{1}{\sqrt{n}}> 0$, это ясно, а вот что насчёт арктангенса? С арктангесом ничего сложного: так как $\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}} >0$, то и $\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}>0$. Вывод: наш ряд является положительным. Применим признак сравнения для исследования вопроса сходимости этого ряда.

Для начала выберем ряд, с которым станем сравнивать. Если $n\to\infty$, то $\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\to 0$. Следовательно, $\arctg\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}\sim\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$. Почему так? Если посмотреть таблицу в конце этого документа, то мы увидим формулу $\arctg x\sim x$ при $x\to 0$. Мы эту формулу и использовали, только в нашем случае $x=\frac{\pi}{\sqrt[3]{2n-1}}$. n\cdot n!}$.

Ответ: ряд сходится.

Первая часть

Вторая часть

Третья часть

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

Резюме тестов сходимости — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

17116

Эта страница является черновиком и находится в активной разработке.

9∞_{n=1}a_n\) с ненулевыми членами, пусть \( ρ=\lim_{n→∞}∣\frac{a_{n+1}}{a_n}∣\)

Если \( 0≤ρ<1\), то ряд сходится абсолютно.

Часто используется для рядов, содержащих факториалы или экспоненты.

Если \( ρ>1\) или \( ρ=∞\), ряд расходится. Если \( ρ=1\), тест неубедительный.

9н_н\). Если \( ρ>1\) или \( ρ=∞\), ряд расходится. Если \( ρ=1\), тест неубедительный.

---

Сводка тестов сходимости распространяется по лицензии CC BY-NC-SA и была создана, изменена и/или курирована LibreTexts.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Показать страницу TOC

   да

   Стадия

   Проект

2. Теги

   1. расчет: да
   2. юпитер: питон

Тесты сходимости серии

— Статистика Как сделать

• Тест Абеля
• Абсолютная конвергенция
• Тесты сходимости чередующихся серий
• Удаление первых N терминов
• Тест Дирихле
• Тест прямого сравнения
• Проверка сходимости геометрических рядов
• Интегральные тесты сходимости серии
• n-й термин Тест на дивергенцию
• Серия Р
• Проверка соотношения
• Корневой тест
• Конвергенция серии Тейлора

Что означает «конвергенция»?

• Абсолютная конвергенция
• Условная сходимость
• Поточечная сходимость
• Скорость сходимости
• Радиус и интервал сходимости
• Равномерная сходимость

Что означает «расхождение»?

Часто вам нужно знать, сходится ли ряд (то есть достигает определенного числа) или расходится (не сходится). Выяснение этого с нуля может быть чрезвычайно трудной задачей — что-то, что выходит за рамки даже курса исчисления II. К счастью, математики до вас рассчитали тесты на сходимость рядов: сходимость или расхождение многих обычных рядов. Это позволяет вам выяснить, может ли конкретный ряд сходиться или нет.

Критерий Абеля — критерий сходимости бесконечных рядов; Он говорит нам, сходится ли некоторый бесконечный ряд в определенных ситуациях.

Подробнее: Тест Абеля.

Если абсолютное значение ряда

сходится, то сходится и ряд

.

Если для всех n a _n положительное, невозрастающее (т. е. 0 < = a _n ) и приближается к 0, то проверка знакопеременного ряда говорит нам, что следующий знакопеременный ряд сходится:

Если ряд сходится, то остаток R,sub>N = S – S _N ограничен |R _N |< = a _{N + 1} . S — точная сумма бесконечного ряда, а S _N — сумма первых N членов ряда.

Следующие ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся , если N — натуральное число.

Критерий Дирихле является обобщением критерия переменного ряда.

Тест Дирихле — это один из способов определить, сходится ли бесконечный ряд к конечному значению. Тест назван в честь немецкого математика XIX века Петера Густава Лежена Дирихле.

Формально критерий Дирихле утверждает, что бесконечный ряд
a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + … + a _n b _{6 истинен, если сходится два следующих утверждения:}

1. Последовательность частичных сумм
   с _n = a ₁ + a ₂ + … a _n
   — ограниченная последовательность. Другими словами, существует положительное число K, такое что
   S _n < K для всех n.
2. b ₁ + b ₂ + … b _n – монотонно убывающая последовательность (т. е. неуклонно убывающая последовательность), сходящаяся к нулю (т.е. b _n < b _n-1 и lim _{n→∞ ) b n = 0).}

Когда использовать критерий Дирихле

Тест Дирихле — один из менее известных тестов. В общем, общие правила сходимости рядов — те, которые вы изучаете в элементарном исчислении, — достаточны для проверки подавляющего большинства рядов. Но есть некоторые конкретные случаи, когда «обычные» тесты просто не работают.

Например, вы можете использовать тест отношения или тест корня, чтобы показать, что следующий степенной ряд расходится (при |z|> 1) или абсолютно сходится при |z| < 1.

Однако ни один из этих тестов не говорит вам, что происходит, когда z = 1. Для этого вы можете использовать тест Дирихле, чтобы показать, что ряд сходится (Evans, 2009).

Пример критерия Дирихле

Используйте критерий Дирихле, чтобы показать, что следующий ряд сходится:

Шаг 1: Перепишите ряд в виде a ₁ b ₁ + a _{5 … + a n b n :}

Шаг 2: Показать, что последовательность частичных сумм a _n ограничена. Один из способов решить эту проблему — оценить первые несколько сумм и посмотреть, есть ли тенденция:

• a ₂ = cos(2π) = 1
• a ₃ = cos(2π) + cos(3π) = 1 – 1 = 0
• a ₄ = cos(π) + cos(2π) + cos(3π) = 1 – 1 + 1 = 0

Оказывается, последовательность частичных сумм ограничена (≤1).

Шаг 3: Оцените b _n , чтобы увидеть, уменьшается ли оно. Один из способов сделать это — построить график функции (я использовал Desmos.com):

Ясно, что функция (и, следовательно, последовательность) убывает, а предел при n→∞ равен 0. Следовательно, этот ряд сходится.

Доказательство теста Дирхле

Посмотрите следующее видео для доказательства сходимости с помощью теста Дирхле:

Доказательство того, что сумма(sin(n)/n) сходится с помощью теста Дирихле

Посмотрите это видео на YouTube.

В тесте прямого сравнения применяются следующие два правила, если 0 < = a _n &lt ;= b _n для всех n, превышающих некоторое натуральное число N. r между -1 и 1, то ряд сходится к ¹ ⁄ _{(1 – правая)} .

Следующие ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся, если для всех n> = 1 f(n) = a ⁿ и f положительна, непрерывна и убывающа. Если ряд сходится, то остаток R _N ограничен числом

См.: Интегральный ряд / Оценка остатка.

Предельный сравнительный тест

Предельный сравнительный тест утверждает, что следующие ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся, если lim(N → ∞) ( ^{a _n} ⁄ _{b n} , где a _n ,b _n >0, а L положительна и конечна.

Следующий ряд расходится, если последовательность {a _n } не сходится к 0:

Несколько примеров см. в: Тест N-го члена на расхождение.

Если p > 1, то p-ряд сходится.
Если 0 < p < 1, то ряд расходится.

Следующие правила применяются, если для всех n n≠0. L = lim (n→ ∞)|a ^{n + 1} ⁄ _{a n} |.
Если L<1, то ряд

сходится.

Если L>1, то ряд

расходится.
Если L = 1, то проверка отношения не дает результатов.

Подробнее: Проверка отношений

Пусть L = lim(n→ ∞)|a _n | ^1/n
Если <, то ряд

сходится.
Если >, то ряд расходится.
Если L = 1, то тест неубедительный.

См.: Корневой тест

Ряд Тейлора сходится, если f имеет производные всех порядков на интервале «I» с центром в точке c, если lim(n→ infin;)RN = 0 для всех x в l:

Остаток ряда Тейлора R _N = S – S _N равно (1/(n + 1)!)f ^{(n + 1)} (z)(x – c) ^{n + 1} , где z – константа между x и с.

Схождение означает расчет по определенному номеру . Например, ряд {9, 5, 1, 0, 0, 0} остановился или сошелся на числе 0.

Интегралы, пределы, ряды и последовательности могут сходиться. Например, если лимит устанавливается на определенное (конечное) число, то лимит существует. Противоположным является diverge , где интеграл, предел, ряд или последовательность не могут быть установлены на числе. В случае предела, если он расходится, то его не существует.

Поточечная сходимость — это когда последовательность функций сходится к одной функции, называемой предельной функцией (или предельной функцией ). Последовательность функций , обозначаемая {f _n (x)}, представляет собой семейство функций с набором параметров натуральных чисел (целых неотрицательных чисел, которые мы используем для счета, например 1, 2, 3,… ).

Например, последовательность функций f(x) = x/n сходится к предельной функции f(x) = 0 для отрезка [0, 1], как показано на следующем рисунке:
Этот ряд функций сходится поточечно к f(x) = 0.

По сравнению с равномерной конвергенцией это довольно простой тип сходимости. Одно из основных различий между двумя типами сходимости состоит в том, что предельная функция поточечно сходящейся последовательности не обязательно должна быть непрерывной функцией, а предельная функция равномерно сходящейся последовательности должен ли быть непрерывным.

Тесты сходимости рядов: формальное определение поточечной сходимости

Поточечная сходимость — относительно простой способ определить сходимость для последовательности функций. Итак, вам может быть интересно, зачем вообще нужно формальное определение. Хотя сходимость кажется естественной (как показанная выше последовательность функций f(x) = x/n), не все функции ведут себя так хорошо. Чтобы показать, что ряд функций имеет поточечную сходимость, вы должны доказать, что он удовлетворяет формальному определению. Тем не менее, определение довольно простое:

Последовательность функций f _n показывает поточечную сходимость для множества A, если для всех x ∈ A верно следующее: (достигает) определенной точки или предела . Он используется как инструмент для сравнения скорости алгоритмов, особенно при использовании итерационных методов.

Существует множество различных способов расчета скорости сходимости. Один относительно простой способ — следующая формула (Senning, 2020; Hundley, 2020),

Где:

• α = порядок сходимости (действительное число > 0) последовательности. Например: 1 (линейная), 2 (квадратичная) или 3 (кубическая),
• x _n = последовательность,
• λ = асимптотическая ошибка; Действительное число ≥ 1,
• r = значение, к которому сходится последовательность.

Как правило, алгоритмы с более высоким порядком сходимости достигают своей цели быстрее и требуют меньшего количества итераций. См.: Асимптотическая ошибка.

А радиус сходимости связан со степенным рядом, который будет сходиться только для определенных значений x. Интервал, в котором происходит эта сходимость, называется интервалом сходимости и обозначается (-R, R). Буква R в этом интервале называется радиусом сходимости. Это называется «радиус», потому что, если коэффициенты являются комплексными числами, значения x (если |x| < R) образуют открытый диск радиуса R.

Хотя обычно можно сказать, что нечто сходится, если оно располагается на число, сходимость в исчислении обычно определяется более строго, в зависимости от того, равна ли сходимость условное или абсолютное .

Пример геометрического ряда. Этот абсолютно сходится.

Ряд абсолютно сходится если ряд сходится и он также сходится, когда все члены ряда заменены их абсолютными значениями.

Условная сходимость — это особый вид сходимости, при котором ряд сходится, если его рассматривать как целое, но расходятся абсолютные значения. Иногда его называют полусходящийся .

Ряд абсолютно сходится если ряд сходится (приближается к определенному числу) и он также сходится при замене всех членов ряда их абсолютными значениями. Другими словами,

…if |u ₁ | + |u ₂ | +… сходится, то ряд u ₁ + u ₂ +… абсолютно сходится.

Этот оператор обычно записывается с символом суммирования:

если Σ | и _н | сходится, то ряд Σ u _n имеет абсолютную сходимость.

Ряд положительных членов

Если ряд положительных членов сходится, то сходится как ряд положительных членов, так и ряд знакопеременных членов (т. е. ряд с чередующимися положительными и отрицательными членами).

Если сходящийся ряд представляет собой набор положительных членов , то этот ряд также абсолютно сходящийся. Это потому, что Σ u _n и Σ| и _н | это одна и та же серия.
Например, следующий геометрический ряд является и тем, и другим:
Геометрический ряд.

Ряды с положительными и отрицательными членами

Если сходящийся ряд имеет бесконечное число положительных членов и бесконечное число отрицательных членов, он имеет абсолютную сходимость, только если Σ| u _n также сходится.

Условная сходимость — это особый вид сходимости, при котором ряд сходится (т. е. останавливается на определенном числе), если его рассматривать как единое целое. Однако есть одна загвоздка:

• Сумма его положительных членов стремится к положительной бесконечности и
• Сумма его отрицательных членов стремится к отрицательной бесконечности.

У него есть очень особое свойство, называемое теоремой о рядах Римана , которое гласит, что его можно заставить сходиться к любому желаемому значению — или расходиться — путем простой перестановки членов.

Один из способов определения условно сходящегося ряда

Чтобы определить, является ли ряд условно сходящимся:

1. Узнать, сходится ли ряд, тогда
2. Определить, что оно не является абсолютно сходящимся.
   1. Тест чередующихся рядов говорит нам, что если члены ряда чередуются по знаку (например, -x, +x, -x…), и каждый член больше, чем член после него, то ряд сходится.
   2. Возьмите абсолютные значения знакопеременного (сходящегося) ряда. Если новый (все положительные члены) ряд сходится, то ряд абсолютно сходится. Если этот новый ряд не сходится, исходный ряд сходится лишь условно.

Пример условной сходимости

Одним из примеров условно сходящегося ряда является знакопеременный гармонический ряд, который можно записать как:

Он сходится к пределу (ln 2) условно, но не абсолютно; создайте новый ряд, взяв абсолютное значение каждого из членов, и ваш новый ряд будет расходиться.

Понимание теоремы о рядах Римана

Может показаться нелогичным, что ряд можно заставить сходиться к чему угодно, просто переставляя члены. Но если у вас есть четко определенный предел, к которому вы хотите приблизиться, все, что вам нужно сделать, это:

1. Возьмите достаточно положительных терминов, чтобы чуть-чуть превысить желаемый предел, затем
2. Добавьте достаточно отрицательных терминов, чтобы опуститься ниже желаемого предела, затем
3. Продолжайте в том же духе.

Поскольку все члены исходного ряда стремятся к нулю, новый перестроенный ряд будет сходиться к выбранному вами пределу.

В качестве примера ряда Римана рассмотрим знакопеременный гармонический ряд, который мы рассмотрели выше. Как написано, он сходится к ln2. Но можем ли мы заставить его сходиться к половине этого, (ln2)/2. Обычным способом было бы написано

1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 +….
и т. д.

Все остальные члены отрицательные. Но если мы расположим это как (один положительный член) + (два отрицательных члена), мы получим это:

1 – 1/2 -1/4 + 1/3…

Мы можем переписать это как:

Что составляет половину того, к чему сходилась исходная серия.

Литература

Абсолютная и условная сходимость. Получено с https://www.math.utah.edu/lectures/math2220/22PostNotes.pdf 22 декабря 2018 г.

Неабсолютная (условная) сходимость

Ряд не абсолютно (условно) сходится, если ряд сходится, но множество абсолютных значений ряда расходится. Это также называется полусходимостью или условной сходимостью . Например, следующий знакопеременный ряд сходится:

Однако ряд

расходится.

Выбор теста сходимости ряда для положительного ряда.

Равномерная сходимость — это когда ряд непрерывных функций сходится к одной конкретной функции f(x), называемой предельной функцией . Этот тип сходимости определяется более строго, чем поточечная сходимость.

Идея равномерной сходимости очень похожа на равномерную непрерывность, когда значения должны оставаться внутри определенной «рамки» вокруг функции. Если вы не знакомы с тем, что значит быть единообразным, вы можете сначала прочитать о непрерывности единообразия.

Что означает сходимость ряда функций?

Например, ряд f(x) = x/n сходится к f(x) = 0 на отрезке [0, 1]:

Этот ряд функций равномерно сходится к f(x) = 0 , называемая ограничивающей функцией .

Обратите внимание, как наклон каждой функции становится все ниже и ниже, в конечном итоге сходясь к f(x) = 0 (что, по сути, является функцией, которая идет вдоль оси x).

Хотя эти функции сходятся к предельной функции (f(x) = 0 в приведенном выше примере), последовательность может сходиться, а может и не сходиться равномерно для этой функции. Равномерная сходимость — это особый тип сходимости, при котором предельная функция должна находиться в пределах заданной «границы» вокруг двух значений: между двумя крошечными значениями («эпсилон»): -ε и ε.

Формальное определение равномерной сходимости

Последовательность непрерывных вещественных функций ( f ₁ , f ₂ … f _{n 9034 ), определенная на замкнутом интервале a, [ba 9034] , имеет равномерную сходимость , если для всех x в области верно следующее неравенство:}

| f _n (x) – f ( x )| < ε для всех x ∈ D всякий раз, когда n ≥ N ,

Где:

• N = натуральное число, зависящее только от ε,
• D = домен,
• ∈ = «является элементом» (т. е. «находится в множестве»)

Следующее изображение графически поясняет, что здесь происходит:

Равномерно сходящаяся функция f(x), окруженная полосой ε. Целое число N выбирается таким образом, чтобы предельная функция f _u (x) находилась внутри полосы для всех x в области.

Точечная сходимость против равномерной сходимости

Если функция сходится равномерно, то она также сходится поточечно к тому же пределу (но обратите внимание, что это не работает наоборот). Основное отличие заключается в значениях, от которых N зависит:

• Точечный : N зависит от ε и x. Выбирается одно значение (x), затем вокруг этой точки рисуется произвольная окрестность.
• Равномерный : N зависит только от ε Окрестность рисуется вокруг всей предельной функции,.

Серийные тесты сходимости для равномерной сходимости

Вы можете проверить равномерную сходимость с помощью критерия Абеля или М-критерия Вейерштрасса.

История

Считается, что термин «равномерная сходимость» впервые был использован Кристофером Гудерманном в его статье 1838 года об эллиптических функциях. Термин не был официально определен до тех пор, пока Карл Вейерштрасс не написал Zur Theorie der Potenzreihen в 1841 году (Kadak, 2014).

«Расходящийся» обычно означает либо:

• Рассчитывается на определенное число (т.е. имеет лимит), либо
• Не сходится.

В некоторых областях математики расхождение может просто означать «идет по другому пути» (например, в KL «Расхождение в статистике»). Однако в исчислении это почти всегда относится к ограничениям или поведению последовательностей и рядов.

Серии и последовательности, которые расходятся (тест на расхождение)

Тест на расхождение.

Серии и последовательности тоже может расходиться. В общем смысле расхождение означает, что последовательность или ряд не ограничиваются конкретным числом.

Расходящийся ряд будет (обычно) продолжаться и продолжаться до бесконечности (т.е. эти ряды не имеют пределов). Например, ряд

9 + 11 + 13 …

будет расти вечно.

Однако не все ряды расходятся: некоторые расходятся все время , другие сходятся или расходятся при очень специфических обстоятельствах . Например:

• Постоянно расходящиеся ряды включают все бесконечные арифметические ряды и гармонические ряды.
Ряды
• , которые сходятся , иногда , включают степенные ряды, сходящиеся везде или в одной точке (вне которой ряд будет расходиться).

Доказательство расхождения (или сходимости) чрезвычайно сложно за некоторыми исключениями. Например, вы можете показать, что бесконечный ряд расходится, показав, что последовательность частичных сумм расходится.

Сравнение четырех популярных тестов (Boardman & Nleson, 2015). Тесты сходимости серии

: связанные статьи

М-тест Вейерштрасса

Тесты сходимости серии

: ссылки

Arfken, G. (1985). Математические методы для физиков, 3-е изд. Орландо, Флорида: Academic Press.
Боас, Р. и др. (1996). Учебник реальных функций. Издательство Кембриджского университета.
Браудер, А. (1996). Математический анализ: введение. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996.
Clapham, C. & Nicholson, J. (2014). Краткий Оксфордский математический словарь. ОУП Оксфорд.
Эванс, П. (2009). Math 140A Test 2. Получено 18 сентября 2020 г. с: http://math.ucsd.edu/~lni/math240/math240a_Midterm_Sample2.pdf
Hundley, D. Notes: Rate of Convergence. Получено 8 сентября 2020 г. с: http://people.whitman.edu/~hundledr/courses/M467F06/ConvAndError.pdf
Хантер, К. Последовательности и ряды функций.
Джеффрис, Х. и Джеффрис, Б.С. (1988). «Равномерная сходимость последовательностей и рядов» и сл. §1.112-1.1155 в методах математической физики, 3-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, стр. 37–43, 19.88.
Кадак, У. (2014). О равномерной сходимости последовательностей и рядов нечеткозначных функций. Получено 10 февраля 2020 г. с: https://www.hindawi.com/journals/jfs/2015/870179/
Kevrekidis, P. 132class13 (PDF). Получено 14 декабря 2018 г. с: http://people.math.umass.edu/~kevrekid/132_f10/132class13.pdf
Кнопп, К. «Равномерная сходимость». §18 в Теории функций, части I и II, два тома, связанные как один, часть I. Нью-Йорк: Довер, стр. 71–73, 1996.
Куратовски, К. (2014). Введение в исчисление. Эльзевир.
Матонлайн. Тест Дирихле на сходимость рядов действительных чисел Примеры 1. Получено 18 сентября 2020 г. с: http://mathonline.wikidot.com/dirichlet-s-test-for-convergence-examples-1
Nelson, D. (2008) . Математический словарь пингвинов. Пингвин Букс Лимитед.
Рудин В. (1976). Основы математического анализа, 3-е изд. Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 147–148.
Сеннинг, Дж. Вычисление и оценка скорости сходимости. Получено 8 сентября 2020 г. с: http://www.math-cs.gordon.edu/courses/ma342/handouts/rate.pdf
Спивак, М. (2006). Исчисление, 3-е издание. Издательство Кембриджского университета.
Васиштха, А. Алгебра и тригонометрия.
Фогель Т. Поточечная и равномерная сходимость последовательностей функций (7.