Числовые ряды, ряды фурье и преобразование Фурье
Задание 1
Исследовать на сходимость числовые ряды.
А)
Б)
Решение
А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотри ряд из модулей:
При n→∞: →0, поэтому применим формулу при , тогда получим ряд , а этот ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.
— следовательно, на основании второго (предельного) признака сравнения заключаем, что исходный ряд сходится абсолютно.
Б) Воспользуемся интегральным признаком Коши:
Следовательно, исходный ряд расходится, так как расходится соответствующий несобственный интеграл.
Задание 2
Исследовать знакочередующийся ряд На абсолютную и условную сходимость.
Решение
1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
;
Используем 2й признак сравнения:
Так как ряд расходится как обобщённый гармонический. Следовательно, данный ряд не сходится абсолютно.
Исследуем ряд на условную сходимость.
Так как ряд сходится по признаку Лейбница (,) , то сходится условно по 2му признаку сравнения и ряд
Следовательно, данный ряд сходится условно.
Задание 3
Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.
Решение
Найдём интервал сходимости ряда ,
Тогда или , .
Ряд сходится абсолютно на интервале (-8;-2)
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
При x=-8 исходный ряд примет вид , данный ряд является знакопеременным, исследуем его на абсолютную сходимость:
Воспользуемся вторым признаком сравнения: , , . Следовательно и сходятся или расходятся одновременно, а так как ряд расходится (Так как ряд Дирихле
Расходится при р<1), то ряд не сходится абсолютно.
Данный ряд сходится условно по признаку Лейбница: И .
При х=-2 исходный ряд примет вид . Как мы убедились выше этот ряд расходится.
Значит степенной ряд имеет интервал абсолютной сходимости: .
Задание 4
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости полученного ряда. Найти , если Варианта.
А)
Б)
Решение
А) Преобразуем исходное выражение:
Тогда используем стандартное разложение:
, тогда
Используем стандартное разложение:
, тогда
Подставим:
Б) Преобразуем исходную функцию к виду:
Воспользуемся стандартным разложением:
Имеем окончательно:
Задание 5
Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.
Решение
Исходя из неравенств
на
Максимум числителя при n=2, то есть , 3/2<2
Минимум знаменателя на при ,
Имеем: — мажорирующий ряд.
Если мажорирующий ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно.
Ряд сходится как сумма геометрической прогрессии.
Следовательно, мажорирующий ряд сходится.
А значит сходится и функциональный ряд на промежутке .
Задание 6
А) Разложить функцию , заданную па полупериоде , в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства?
Б) Разложить функцию , заданную на полупериоде , в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.
В) Разложить функцию в ряд Фурье, продолжая ее па полупериод функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.
Решение
а) Доопределим функцию на промежутке чётным образом и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. — чётная функция. Тригонометрический ряд Фурье содержит только косинусы. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.
, следовательно
,
Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .
При Имеем и
Равенство Парсеваля:
, так как , то
Б) Доопределим функцию на промежутке нечётным образом, а значение в т : и продолжим её на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 2. Согласно теореме Дирихле тригонометрический ряд Фурье такой функции будет сходиться к этой функции во всех точках непрерывности. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции.
Так как рассматриваемая функция непрерывна всюду, то сумма её ряда Фурье равна данной функции при всех х и .
Так как функция кусочно-дифференцируема на то ряд Фурье сходится в среднем на
В) Разложим в ряд Фурье функцию
Т=2
Вычислим коэффициенты Фурье этой функции
, следовательно
,
Ряд Фурье имеет вид:
Ряд Фурье сходится в среднем (аналогично пункту б)
Задание 7
Методом Фурье найти решение уравнения колебания струны длины , закреплённой на концах и удовлетворяющей следующим
Начальным условиям: ,
,
Решение
Решение ищем в виде ряда
, где l=2 по условию.
Так как , а По условию, то решение имеет вид:
, где
Окончательно:
Задание 8
Найти приближённое решение задачи Коши ; ;
Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда , коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничиваясь суммой , содержащей N + 1 член рада, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в работе облегчается тем, что получающиеся степенные ряды знакочередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила 0,001 при .
Решение
Ищем решение в виде: , тогда
,
,
Используя начальные условия, найдём значения двух коэффициентов ; .
Подставим ряды в заданное уравнение и приводим подобные члены. Получаем:
Приравнивая все коэффициенты ряда, стоящего в первой части, к нулю (только при таком условии ряд будет тождественно равен нулю), получим систему:
,, , , тогда из которой определяем следующие значения всех остальных коэффициенов
, ,,…,,…
Таким образом искомый частный интеграл данного уравнения есть степенной ряд
, который сходится при любом значении x (согласно признаку Даламбера )
Оценим погрешность.
Так как , то достаточно взять первые 2 члена ряда
Задание 9
Приближенно вычислить определенный интеграл
Для вычисления интеграла функцию f(x) разлагают на отрезке интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного таким образом числового ряда, имеем приближенное значение интеграла. В работе погрешность приближения не должна превышать 0.0001, и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.
Решение
Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена
, при
Тогда
Имеем
Получен знакочередующийся ряд, слагаемое меньше чем 0.0001. Отбрасывая это слагаемое, получим приближённое значение интеграла с заданной точностью
Задание 10
А) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность S(u)) следующих функций (сигналов).
Б) Продолжить периодически функцию (сигнал) с интервала [0,Т] (или [-Т/2,Т/2], см.
рисунок) на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.
Решение
а) Найдём функцию, по рисунку. Прямая проходит через 2 точки: И . Запишем уравнение искомой прямой: . Имеем:
Следовательно, исходный сигнал описывается следующей формулой:
Спектральную плотность S(u) найдем с помощью прямого преобразования Фурье:
Первый интеграл берем по частям: U=t dU=dt dV=e-jutdt V=-(e-jut)/(ju),
Б) Продолжим функцию нечётным образом, тогда
Ряд Фурье имеет вид:
Графики частичных сумм:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Радикальный признак Коши
⇐ Предыдущая123Следующая ⇒
Огюстен Луи Коши – еще более знаменитый французский математик. Биографию Коши вам может рассказать любой студент технической специальности. В самых живописных красках.
Не случайно эта фамилия высечена на первом этаже Эйфелевой башни.
Признак сходимости Коши для положительных числовых рядов чем-то похож на только что рассмотренный признак Даламбера.
Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:
а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.
Когда нужно использовать радикальный признак Коши? Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн».
Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда. Есть еще экзотические случаи, но ими голову забивать не будем.
Пример 7
Исследовать ряд на сходимость
Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от , а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:
Таким образом, исследуемый ряд расходится.
(1) Оформляем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство степеней .
(4) В результате у нас получилась неопределенность . Здесь можно было пойти длинным путем: возвести в куб, возвести в куб, потом разделить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени. Но в данном случае есть более эффективное решение: можно почленно поделить числитель и знаменатель прямо под степенью-константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на (старшую степень).
(5) Собственно выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(6) Доводим ответ до ума, помечаем, что и делаем вывод о том, что ряд расходится.
А вот более простой пример для самостоятельного решения:
Пример 8
Исследовать ряд на сходимость
И еще пара типовых примеров.
Полное решение и образец оформления в конце урока
Пример 9
Исследовать ряд на сходимость
Используем радикальный признак Коши:
Таким образом, исследуемый ряд сходится.
(1) Помещаем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, но уже без корня, при этом раскрываем скобки, используя формулу сокращенного умножения: .
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель и указываем, что .
(4) Получена неопределенность вида . Здесь можно прямо в скобке почленно поделить числитель на знаменатель на «эн» в старшей степени.
Нечто подобное у нас встречалось при изучении второго замечательного предела. Но здесь ситуация другая. Если бы коэффициенты при старших степенях были одинаковыми, например: , то фокус с почленным делением уже бы не прошел, и надо было бы использовать второй замечательный предел. Но у нас эти коэффициенты разные (5 и 6), поэтому можно (и нужно) делить почленно (кстати, наоборот – второй замечательный предел при разных коэффициентах при старших степенях уже не прокатывает).
(5) Собственно выполняем почленное деление и указываем, какие слагаемые у нас стремятся к нулю.
(6) Неопределенность устранена, у нас остался простейший предел: . Почему в бесконечно большой степени стремится к нулю? Потому-что основание степени удовлетворяет неравенству . Если у кого есть сомнения в справедливости предела , то я не поленюсь, возьму в руки калькулятор:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
… и т.д. до бесконечности – то есть, в пределе:
(7) Указываем, что и делаем вывод о том, что ряд сходится.
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость
Это пример для самостоятельного решения.
Иногда для решения предлагается провокационный пример, например: . Здесь в показателе степени нет «эн», только константа. Тут нужно возвести в квадрат числитель и знаменатель (получатся многочлены), а далее придерживаться алгоритма из статьи Ряды для чайников. В подобном примере сработать должен либо необходимый признак сходимости ряда либо предельный признак сравнения.
⇐ Предыдущая123Следующая ⇒ |
Дата добавления: 2015-05-10; Просмотров: 798; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Калькулятор сходимости серии
— Обмен файлами
Этот сценарий находит сходимость или расхождение бесконечных рядов, вычисляет сумму, предоставляет график частичной суммы и вычисляет радиус и интервал сходимости степенного ряда.
Включены следующие тесты: тест дивергенции (тест n-го члена), интегральный тест (тест Маклорена-Коши), тест сравнения, тест предельного сравнения, тест отношения (тест отношения Даламбера), тест корня (тест корня Коши), тест чередующихся рядов. (критерий Лейбница), критерий абсолютной сходимости, критерий p-серии, критерий геометрического ряда, критерий Раабе, критерий Бертрана, критерий Ермакова, критерий конденсации Коши и критерий степенного ряда. Тест степенных рядов использует тест отношений, тест корня и теорему Коши-Адамара для расчета радиуса и интервала сходимости степенных рядов. Все тесты имеют графики частичной суммы, кроме теста Power Series. Этот сценарий поможет учащимся исчисления (II или III) с главой «Бесконечные ряды», учащимся, изучающим дифференциальные уравнения, с решениями для рядов и учащимся, изучающим реальный анализ, с расширенными тестами сходимости.
В основном списке (упомянутом выше) 15 тестов сходимости. Тест абсолютной сходимости имеет второй список с 3 тестами сходимости: абсолютная сходимость с интегральным тестом, абсолютная сходимость с тестом сравнения и абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения.
Всего имеется 17 тестов сходимости. Все тесты на сходимость требуют ввода выражения бесконечной последовательности, выбранного номера теста (из 15) и начального k для 12 тестов — это все, что требуется для выполнения этих тестов. Тест абсолютной сходимости имеет дополнительные входные данные из списка Тест абсолютной сходимости (из 3): Абсолютная сходимость с интегральным тестом, Абсолютная сходимость с тестом сравнения и Абсолютная сходимость с тестом предельного сравнения. 2 сравнительных теста и 2 предельных сравнительных теста имеют 2 дополнительных входа: является ли выражение сравнения сходящимся или расходящимся, и, наконец, выражение сравнения. Чтобы ввести входные данные, ответьте на вопросы в нижней части командного окна после запуска скрипта. Слева от заголовка приведен пример снимка экрана с тестом чередующихся серий (описание теоремы и теста чередующихся серий закомментировано, чтобы вместить всю информацию).
Я написал этот скрипт, потому что никто другой этого не делал, и я предположил, что он может получить значительное количество загрузок.
Я изучил и протестировал этот сценарий с помощью книг по бесконечным сериям, интернет-исследований и обширно с ~ 22 книгами по математическому анализу. Первоначально я предназначал этот сценарий для студентов, но он стал настолько мощным, точным, простым и надежным, что профессор скачал его. Если у кого-то есть вопросы или комментарии по этому сценарию, включая возможности трудоустройства, не стесняйтесь обращаться ко мне!
Цитировать как
Дэвид Казенав (2023). Калькулятор сходимости серий (https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/72141-series-convergence-calculator), MATLAB Central File Exchange. Проверено .
Калькулятор радиуса сходимости: найти интервал сходимости
Наш калькулятор радиуса сходимости специально разработан для расчета радиуса сходимости любого заданного степенного ряда.
Что такое конвергенция?
В математике сходимость определяется как:
«Свойство, которое используется для приближения к пределу все более и более абсолютно по мере увеличения или уменьшения переменной функции или по мере увеличения числа членов степенного ряда».
Например;
Рассмотрим функцию ниже;
$$ y=\frac{1}{x} $$
Эта функция сходится к нулю, если мы продолжаем увеличивать значение x. Хотя едва ли возможно сделать y точно равным нулю, предельное значение y приближается к нулю, потому что мы можем сделать y настолько малым, насколько это возможно, выбрав большие значения x.
Сходящийся ряд:
В сходящемся ряду для любого значения x, лежащего в диапазоне от -1 до +1, ряд 1 + x + x2 +⋯+ xn всегда имеет тенденцию сходиться к пределу 1 / ( 1 -x) по мере увеличения количества слагаемых (n) . Вы можете определить радиус сходимости сходящегося ряда с помощью бесплатного онлайн-калькулятора радиуса сходимости
Графическое представление сходящегося ряда:
Прежде чем двигаться дальше, давайте посмотрим, как члены сходящегося ряда отображаются на графике.
Визуализируя приведенный выше график, мы видим, что по мере увеличения числа членов частичная сумма ряда приближается к определенному числу.
Например:
Возьмем сходящийся ряд следующим образом:
1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 + 1 / 64 + ……..
Посмотрим, как изменится сумма по мере добавления членов:
| Слагаемые | Сумма |
| 1 / 2 | 1 / 2 = 0,5 |
| 1/2 + 1/4 | 3 / 4 = 0,75 |
| 1/2 + 1/4 + 1/8 | 7/8 = 0,87 |
| 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 | 15/16 = 0,93 |
| 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 | 63 / 64 = 0,98 |
Отсюда мы можем сказать, как сходящийся ряд приближается к определенному значению, если мы продолжаем добавлять частичные члены один за другим.
Диапазон сходимости:
Для степенного ряда интервал -1 < x < +1 называется диапазоном сходимости или интервалом сходимости ряда.
Если значение x выходит за пределы этого диапазона, то говорят, что ряд расходится.
Например: 94+…. $$
Для вышеприведенного степенного ряда, когда мы положили x = 0 , ряд рассчитывается как 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + … и сходится к 1 и не превосходит ряд за пределами 1, поскольку он сделает ряд расходящимся.
Однако онлайн-калькулятор радиуса и интервала сходимости находит диапазон ряда, для которого он сходится.
Радиус сходимости:
Когда степенной ряд сходится на некотором интервале, расстояние от центра схождения до другого конца называется радиусом схождения. Вы можете использовать наш бесплатный онлайн-калькулятор радиуса сходимости для накопления радиуса заданного ряда Тейлора.
Тест отношений:
Тест отношений — это один из тестов, используемых для определения сходимости, расхождения, радиуса сходимости и интервала сходимости степенного ряда.
$$ L=\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}} {a_n} $$
Как найти радиус сходимости?Давайте решим пример, чтобы понять, как определить радиус сходимости:
Пример № 01:
Найдите радиус сходимости r ряда ниже.
9{1}}{1}* \frac{∞}{\left(x-3\right)}] $$
$$ \left|x-3\right| $$
Теперь этот ряд будет сходиться, только если x-3 < 1 . В противном случае при x-3 > 1 ряд расходится.
Итак, радиус сходимости равен 1.
Теперь, взяв любое из приведенных выше неравенств, мы можем определить интервал сходимости.
$$ \left|x-3\right|≤1 $$
$$ -1<\left|x-3\right|<1 $$
$$ -1+3 $$ 2 Каков интервал сходимости данного ряда. Вы можете упростить любой ряд, используя калькулятор свободного радиуса сходимости рядов Тейлора. Если вы хотите определить радиус сходимости с помощью бесплатного онлайн-калькулятора решений степенных рядов, вам необходимо выполнить следующие шаги. Ввод: Вывод: Для введенного ряда степеней калькулятор вычисляет: Радиус сходимости дает нам половину длины интервала сходимости. Мы можем вычислить радиус сходимости как бесконечный, только если ряд сходится для всех комплексных чисел z. Корневой тест — это простой тест, который говорит нам, что ряд определенно сходится к некоторому значению. Когда степенной ряд сходится в одной точке, то можно сказать, что радиус сходимости равен нулю. Да, радиус может быть отрицательным, что означает, что он измеряется на противоположной стороне стороны круга. Кроме того, окружность с нулевым радиусом — это всего лишь одна точка. Нахождение радиуса сходимости даст вам возможность определить радиус данного степенного ряда. Радиус сходимости фактически представляет собой расстояние от середины степенного ряда до конечных точек. Каждый степенной ряд является рядом Тейлора, но следует помнить, что ряды Тейлора связаны с абсолютной функцией. Как работает калькулятор радиуса сходимости?
Часто задаваемые вопросы:
О чем говорит радиус сходимости?
Можно ли вычислить бесконечный радиус сходимости?
Что такое корневой тест сходимости?
Может ли радиус сходимости быть равен нулю?
Может ли радиус быть отрицательным?
Заключение:
