Исследовать на сходимость числовой ряд онлайн: Необходимые и достаточные признаки сходимости числового ряда

Необходимые и достаточные признаки сходимости числового ряда

Определение. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов последовательности:
.
Признаки сходимости знакопостоянного числового ряда можно разделить на необходимый и достаточные.
Необходимый признак сходимости состоит в том, что: .
Если этот признак не выполняется, то ряд расходится.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

С помощью данного калькулятора можно проверить сходимость ряда. В случае знакопеременного или знакочередующегося ряда проверются выполнение условий Лейбница.
Для степенного ряда используйте этот калькулятор.

∞ ∑ n =

Применять признак сравнения (по умолчанию)
Использовать признак Даламбера
Применять радикальный признак Коши

Правила ввода данных

1. В качестве переменной используйте только n. 2/(n+2)
   ≡ n+sqrt(n-1)

   Рассмотрим четыре достаточных признака сходимости числового ряда .

   1. Признак Даламбера.
   Если , то
   при q = 1 получаем неопределенность.

   2. Радикальный признак Коши.
   Если ,
   при q = 1 получаем неопределенность.

   3. Интегральный признак Коши.
   Если существует, то ряд сходится; если интеграл не существует (т. е. равен ±∞) – ряд расходится.

   4. Признак сравнения.
   Если сходится и u_n ≤ v_n, то также сходится, если расходится и u_n ≥ v_n, то также расходится.
   Для признака сравнения в качестве ряда часто используется , который , A — произвольная постоянная величина; причем .

   Пример 1. Исследовать ряд на сходимость.
   Решение:
   

   Применим признак Даламбера:
   ;
   = = ряд сходится.

   Пример 2. Исследовать ряд на сходимость.
   Решение:
   Применим радикальный признак Коши:

   ряд сходится.

   Замечание: вычисляем следующим образом: так как в числителе и знаменателе дроби старшие степени переменной n равны, то выписываем коэффициенты при n² соответственно из числителя и знаменателя.

   Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.
   Решение:
   Применим интегральный признак Коши:

   , так как интеграл не существует, то ряд расходится.

   Пример 4. Исследовать ряд на сходимость.
   Решение:
   Сравним ряд с , который сходится, так как степень α переменной

   n: α=2 > 1. При этом , следовательно ряд также сходится.

   Сходимость или расходимость ряда | Онлайн калькулятор

2. org/ListItem»>Все калькуляторы
/
3. Учеба и наука
/
4. Математика
/   Сходимость или расходимость ряда

Данный калькулятор предназначен для исследования ряда на сходимость. Под числовым рядом понимается сумма членов числовой последовательности следующего вида: ∑^∞_n=1a_n=a₁+a₂+a₃+…, где все a — это числа. Если говорить о функциональном ряде, то все члены последовательности являются функциями: ∑^∞_n=1f_n

(x)=f₁(x)+f₂(x)+f₃(x)+… Ряд, членами которого являются степенные функции, называется степенным рядом: ∑^∞_n=1a_nxⁿ. Чтобы найти сходимость числового ряда, функционального ряда или степенного ряда, необходимо знать признаки сходимости рядов. Существует необходимый признак сходимости ряда: если ряд ∑^∞_n=1a_n сходится, то (lim)┬(n→∞)⁡an=0.

Однако данный признак не является гарантией сходимости ряда, поэтому рассматриваются также достаточные признаки сходимости. Признаки сравнения рядов заключаются в следующем. Даны два ряда ∑^∞_n=1a_n и ∑^∞_n=1b_n, при этом 0 n n. В таком случае, если ∑^∞_n=1b_n сходится, то также должен сходиться ряд ∑^∞_n=1

a_n. Если ∑^∞_n=1a_n расходится, то ∑^∞_n=1b_n тоже расходится. Предельные признаки сравнения рядов состоят в следующем. Даны два ряда ∑^∞_n=1a_n и ∑^∞_n=1b_n, при этом a_n и b_n – положительны. Тогда, во-первых, если 0 n/b_nn/b_n=0, то ∑^∞_n=1a_n сходится, если сходится ∑^∞_n=1b_n. В-третьих, если lim a_n/b_n=∞, то ∑^∞_n=1a_n расходится, если расходится ∑^∞_n=1b_n. x
5. : Log[a, x]
6. : Log[x]
7. : cos[x] или Cos[x]
8. : sin[x] или Sin[x]
9. : tan[x] или Tan[x]
10. : cot[x] или Cot[x]
11. : sec[x] или Sec[x]
12. : csc[x] или Csc[x]
13. : ArcCos[x]
14. : ArcSin[x]
15. : ArcTan[x]
16. : ArcCot[x]
17. : ArcSec[x]
18. : ArcCsc[x]
19. : cosh[x] или Cosh[x]
20. : sinh[x] или Sinh[x]
21. : tanh[x] или Tanh[x]
22. : coth[x] или Coth[x]
23. : sech[x] или Sech[x]
24. : csch[x] или Csch[е]
25. : ArcCosh[x]
26. : ArcSinh[x]
27. : ArcTanh[x]
28. : ArcCoth[x]
29. : ArcSech[x]
30. : ArcCsch[x]
31. [19.67] =19: integral part of (19.67) — выделяет целую часть числа (integerPart)
    

Select rating12345

Рейтинг: 3 (Голосов 401)

Сообщить об ошибке

Смотрите также

Калькулятор сходимости серии

Существуют различные способы проверки сходимости рядов. Во-первых, можно просто найти сумма серии. Если полученное значение является конечным числом, то Серия

сходится с . Например, из-за

этот ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы проверки сходимости ряда.

Одним из таких методов является Тест соотношения , который можно записать в следующем виде:

здесь а также это а также членов ряда соответственно, а сходимость ряда определяется значением . Если – ряды сошлись, если – сериалы разошлись. Если – тест соотношения неубедителен и необходимо провести дополнительные исследования.

В качестве примера проверьте сходимость следующего ряда с помощью теста соотношения. Прежде всего запишите выражения для а также .

Затем найдите соответствующий предел:

Потому что , в соответствии с критерием соотношения ряды сошлись.

Другой метод, который может проверить сходимость рядов, — это корневой тест , который можно записать в следующем виде:

здесь является n-м членом ряда, а сходимость ряда определяется значением способом, аналогичным тесту отношения. Если – ряды сошлись, если – сериалы разошлись. Если – тест соотношения неубедителен и необходимо провести дополнительные исследования.

В качестве примера проверьте сходимость следующего ряда с помощью корневого теста. Прежде всего, запишите выражение для Затем найдите соответствующий предел:

Потому что , в соответствии с корневым тестом ряды расходились.

Следует отметить, что наряду с перечисленными выше методами существуют и другие методы проверки сходимости рядов, такие как интегральный тест, тест Раабе и т.д.

Наш онлайн-калькулятор, построенный на системе Wolfram Alpha, умеет проверять сходимость различных рядов. Следует отметить, что если калькулятор находит сумму ряда и это значение является конечным числом, то этот ряд сходится. В противном случае следует обратить внимание на блок «Тест сходимости серий».

Ниже приведено объяснение возможных значений модуля «Тест сходимости рядов»:

Значение пода «Тест сходимости ряда»	Пояснение
По критерию гармонического ряда ряд расходится.	Затем ряд сравнивался с гармоническим , исходный ряд был признан расходящимся.
Проверка отношения не дает результатов.	Применение теста отношения не смогло дать понимания сходимости рядов, поскольку значение соответствующего предела равно 1 (см. выше).
Корневой тест не дает результатов.	Применение корневого теста не смогло дать понимания сходимости рядов, так как значение соответствующего предела равно 1 (см. выше).
По критерию сравнения ряд сходится.	Когда к ряду применялся сравнительный тест, он был признан расходящимся.
По соотношению ряд сходится.	Тест отношения смог определить сходимость ряда
По предельному признаку ряд расходится.	Из-за , либо указанный предел не существует, ряд признан расходящимся.

Калькулятор теста сходимости + онлайн-решатель с бесплатными шагами

Калькулятор теста сходимости используется для определения сходимости ряда. Он работает, применяя набор из тестов к серии и узнавая результат на основе его реакции на эти тесты.

Вычисление суммы Расходящихся рядов может быть очень трудной задачей, так же как и определение типа любого ряда. Таким образом, определенные тесты должны применяться к Функция из серии, чтобы получить наиболее подходящий ответ.

Что такое калькулятор теста сходимости?

Калькулятор теста сходимости — это онлайн-инструмент, предназначенный для определения того, является ли ряд сходящимся или расходящимся.

Тест сходимости является особенным в этом отношении, так как не существует единственного теста, который может вычислить сходимость ряда.

Итак, наш калькулятор использует несколько различных методов тестирования , чтобы получить лучший результат. Мы рассмотрим их более подробно по мере продвижения в этой статье.

Как пользоваться калькулятором теста сходимости?

Чтобы использовать Калькулятор теста сходимости , введите функцию ряда и предел в соответствующие поля ввода и нажмите кнопку, и вы получите Результат . Теперь, чтобы получить пошаговое руководство для получения наилучших результатов от вашего калькулятора , посмотрите на данные шаги:

Шаг 1

Начнем с настройки функции в соответствующем формате, так как рекомендуется использовать переменную n вместо любой другой. Затем введите функцию в поле ввода.

Шаг 2

Есть еще два поля ввода, это те, которые предназначены для пределов «до» и «от». В этих полях вы должны ввести нижний предел и верхний предел вашей серии.

Шаг 3

После завершения всех вышеперечисленных шагов вы можете нажать кнопку «Отправить». Откроется новое окно, в котором будет предоставлено ваше решение.

Шаг 4

Наконец, если вы хотите узнать больше о сходимости рядов, вы можете ввести новые задачи в новом окне и получить результаты.

Как работает калькулятор теста сходимости?

Калькулятор теста сходимости работает, проверяя серию до предела бесконечности, а затем делая вывод, является ли это серией Convergent или Divergent . Это важно, потому что сходящийся ряд будет сходиться к определенному значению в какой-то момент на бесконечности, и чем больше мы добавляем значений в такой ряд, тем ближе мы подходим к этому 9.0083 Определенное значение .

Хотя, с другой стороны, Расходящиеся ряды не получают определенного значения по мере их сложения, вместо этого они расходятся либо в бесконечность, либо в некоторые случайные наборы значений. Теперь, прежде чем мы перейдем к обсуждению того, как найти Конвергенцию серии, давайте сначала обсудим, что такое серия.

Series

A Series в математике называется процессом, а не количеством, и этот Process включает добавление определенной функции к своим значениям снова и снова. Таким образом, ряд по своей сути является своего рода полиномом с 9{\infty} f(n) = x \]

Здесь f(n) описывает функцию с переменной n, а выход x может быть любым от определенного значения до Infinity .

Сходящийся и расходящийся ряды

Теперь мы исследуем, что делает ряд сходящимся или расходящимся . Конвергентный ряд — это тот, который при многократном суммировании дает определенное значение. К этому значению можно подходить как к собственному значению, поэтому пусть наш Convergent Series приводят к числу x после 10 итераций суммирования.

Затем, после еще 10, оно приблизится к значению, которое будет не слишком далеко от x, но будет лучше аппроксимировать результат ряда. Важный факт , который следует отметить, заключается в том, что результат от большего количества сумм будет почти всегда Меньше , чем результат от меньших сумм.

A Расходящаяся серия , с другой стороны, при добавлении большего количества раз обычно получается большее значение, которое будет продолжать увеличиваться, таким образом расходясь, что приблизится к 9{\infty} 112 n \приблизительно \infty \]

Тесты сходимости

Теперь, чтобы проверить сходимость ряда, мы можем использовать несколько методов, называемых Тесты сходимости . Но следует отметить, что эти тесты вступают в игру только тогда, когда сумма серии не может быть рассчитана. Это происходит очень часто при работе со значениями, составляющими Infinity .

Первый тест, который мы рассмотрим, называется тестом соотношения.

1. Тест соотношения

   9{th}$ номер.

   Где D здесь самое важное значение, если оно меньше 1, то ряд Convergent , а если больше 1, то иначе. И если значение D становится равным 1, тест становится неспособным дать ответ.

   Но мы не будем останавливаться на одном тесте, а перейдем к другому, называемому корневым тестом.

   2. Корневой тест

   A Корневой тест можно математически описать как:

   \[ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = D \]

   Аналогично тесту отношения, an представляет значение ряда в точке n. Где D — определяющий фактор, если он больше 1, то ряд равен Расходящийся , а если меньше 1 — в противном случае. А при равенстве 1 тест становится недостоверным, и ответ становится Неубедительным .

   Решенные примеры

   Теперь давайте посмотрим глубже и лучше поймем концепции, используя несколько примеров.

   Пример 1

   Рассмотрим серию, выраженную как: 9n} \]

   Узнать, сходится ряд или нет.

   Решение

   Начнем с анализа ряда и проверки возможности вычисления его Сумма . И как видно, функция содержит переменную $n$ как в числителе , так и в знаменателе . Единственный намек на то, что знаменатель имеет вид Экспоненциальное , но для этого нам, возможно, придется полагаться на тест.

   Итак, мы сначала применим 9{6 \cdot n + 2} \]

   Определите, является ли ряд сходящимся или расходящимся.

   Решение

   Начнем с рассмотрения самой серии и того, можем ли мы ее подытожить. И очень легко понять, что мы не можем. Серия очень сложная, поэтому мы должны полагаться на тест.