Графики функций заданных параметрически: Построение графика параметрических функций в пространстве

Построение графика параметрических функций в пространстве

Введите функцию поверхности

Построим поверхность, заданную параметрической функции x=x(u, v), y=y(u, v) и z=z(u, v)
где параметры u и v лежат в промежутках [a1, b1] и [a2, b2],
и вы можете задать свои границы.
Задайте также функции x, y и z, зависящих от параметров, которые построят поверхность в пространстве.

Примеры поверхностей

x = cos(u)*cos(v)
y = sin(u)*cos(v)
z = sin(v)
u в [-pi, pi] и v в [-pi/2, pi/2]

x = cos(u)*(cos(v) + 3)
y = sin(u)*(cos(v) + 3)
z = sin(v)
u в [-pi, pi] и v в [-pi, pi]

x = cos(u)*(cos(v) + 3)
y = sin(u)*(cos(v) + 3)
z = sin(v) + u
u в [-2*pi, 2*pi] и v в [-pi, pi]

x = u*cos(u)*(cos(v) + 1)
y = u*sin(u)*(cos(v) + 1)
z = u*sin(v)
u в [0, 3*pi] и v в [-pi, pi]

x = u*cos(u)*(cos(v) + 1)
y = u*sin(u)*(cos(v) + 1)
z = u*sin(v) - ((u + 3)/8*pi)^2 - 20
u в [0, 8*pi] и v в [-pi, pi]

x = cos(u)*cos(v) + 3*cos(u)*(3/2 + sin(3/2*u)/2)
y = sin(u)*cos(v) + 3*cos(u)*(3/2 + sin(3/2*u)/2)
z = sin(v) + 2*cos(3*u/2)
u в [-2*pi, 2*pi] и v в [-pi, pi]

x = cos(u)*sin(v)
y = sin(u)*sin(v)
z = cos(v) + lg(tan(v/2)) + u/5 - 4
u в [0, 4*pi] и v в [0.001, 2]

x = (1 + v/2*cos(u/2))*cos(u)
y = (1 + v/2*cos(u/2))*sin(u)
z = v/2
u в [0, 2*pi] и v в [-1, 1]

Правила ввода выражений и функций

absolute(x)

Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)

arccos(x)

Функция — арккосинус от x

arccosh(x)

Арккосинус гиперболический от x

arcsin(x)

Арксинус от x

arcsinh(x)

Арксинус гиперболический от x

arctg(x)

Функция — арктангенс от x

arctgh(x)

Арктангенс гиперболический от x

exp(x)

Функция — экспонента от x (что и e^x)

log(x) or ln(x)

Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))

sin(x)

Функция — Синус от x

cos(x)

Функция — Косинус от x

sinh(x)

Функция — Синус гиперболический от x

cosh(x)

Функция — Косинус гиперболический от x

sqrt(x)

Функция — квадратный корень из x

sqr(x) или x^2

Функция — Квадрат x

ctg(x)

Функция — Котангенс от x

arcctg(x)

Функция — Арккотангенс от x

arcctgh(x)

Функция — Гиперболический арккотангенс от x

tg(x)

Функция — Тангенс от x

tgh(x)

Функция — Тангенс гиперболический от x

cbrt(x)

Функция — кубический корень из x

Действительные числа

вводить в виде 7.3

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

asec(x)

Функция — арксеканс от x

acsc(x)

Функция — арккосеканс от x

sec(x)

Функция — секанс от x

csc(x)

Функция — косеканс от x

floor(x)

Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)

ceiling(x)

Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)

sign(x)

Функция — Знак x

erf(x)

Функция ошибок (или интеграл вероятности)

laplace(x)

Функция Лапласа

asech(x)

Функция — гиперболический арксеканс от

x

csch(x)

Функция — гиперболический косеканс от x

sech(x)

Функция — гиперболический секанс от x

acsch(x)

Функция — гиперболический арккосеканс от x

pi

Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159..

e

Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..

i

Комплексная единица

oo

Символ бесконечности — знак для бесконечности

Заданных неявно и параметрически.

Опр. Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной; например, функция .

Опр. Функция y аргумента x называется неявной, если она задана уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной; например, функция , заданная уравнением (заметим, что последнее уравнение задает две функции, при , и при ).

Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных в виде . Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением .

Для нахождения производной функции y, заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматривая y как функцию от x, а затем из полученного уравнения найти производную .

Пример: Найти производную функции y, заданной уравнением , и вычислить ее значение в точке .

Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что y есть функция от x, получим , откуда .

Значение производной при .

Если x и y рассматривать как координаты точки на плоскости XOY, то при параметрическом задании функции при помощи равенств (1) при изменении параметра t эти точки плоскости описывают некоторую кривую. Про эту кривую говорят, что она задана параметрически. Например, уравнения параметрически задают окружность с центром в начале координат с радиусом R. Если , соответствующие точки координатной плоскости описывают эту окружность.

При параметрическом задании функции, прямая, перпендикулярная к оси абсцисс может пересекать кривую в двух и более точках.

Т. Если функция задана параметрически уравнениями (1) в рассматриваемой точке

Предполагается, что значению t соответствует значение x.

Пример: Написать уравнение касательной и нормали к кривой, заданной параметрически уравнениями: в точке, соответствующей значению параметра .

Решение.

Рассматриваемая кривая представляет собой астроиду.

Найдем точку на этой астроиде, соответствующую значению параметра .

Уравнение касательной: или

Уравнение нормали:

Лекция № 28.

Тема: «Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Использование понятия производной в экономике».

Рассмотрим функцию и докажем, что для любого .

Действительно,

При этом .

Из соотношения , учитывая непрерывность логарифмической функции, получаем:

, и следовательно, .

Если же , то учитывая равенство , получим: .

Найдем теперь производную функции . Эта функция определена при всех , кроме .

Так как , то окончательно получаем: .

Учитывая полученное равенство, найдем производную функции или, что то же, функции , где . При этом предполагается, что функция не обращается в ноль в рассматриваемой точке и имеет производную в этой точке.

Дифференцируя сложную функцию, получим:

, т.е. (1)

Отношение называется логарифмической производной функции . Как это следует из равенства (1), логарифмическая производная функции равна производной логарифма модуля этой функции.

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле:

Для упрощения записи условимся при логарифмическом дифференцировании знак модуля у опускать.

Пример:

Логарифмируя, запишем: .

Дифференцируя, получим: , откуда

Если функция во всех рассматриваемых точках имеет производную , то эта производная в свою очередь тоже является функцией и может иметь производную.

Опр. Производная от производной функции называется второй производной этой функции.

Обозначение: .

По определению .

Аналогично определяются третья производная функции,…, n-ная производная функции .

Определение n-ной производной дается формулой:

.

Производные функции второго, третьего и т.д. порядков называются производными этой функции высших порядков.

Производная функции второго порядка имеет механическое истолкование: она дает скорость изменения скорости изменения самой функции – это ускорение.

Из механики известно, что путь, проходимый телом без сопротивления воздуха, выражается формулой:

Производные высших порядков вычисляются по обычным правилам дифференцирования. Операция нахождения производных называется дифференцированием.

Вывод: При дифференцировании любого многочлена получается многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного многочлена.

n-ная производная многочлена n-ной степени равняется коэффициенту при старшей степени, умноженному на .

С помощью производных можно получить формулу бинома Ньютона:

— представляет собой многочлен n-ной степени. В общем виде его можно записать так:

(1), где — какие-то пока неопределенные числа, коэффициенты.

Предположим, что , тогда . Продифференцируем формулу (1): (2)

Предположим, что , тогда . Продифференцируем формулу (2), в полученном равенстве полагаем, что и рассуждая так же, как и выше, получаем: .

И т.д. После m раз дифференцирования формулы (1) в полученном равенстве, полагая , получаем:

И т.д. После n раз дифференцирования формулы (1) получаем:

Подставляя в равенство (1) найденные значения коэффициентов, получаем формулу бинома Ньютона. Из этой же формулы при и при получим известные формулы для квадрата суммы и для куба суммы двух слагаемых.

Для вычисления высших производных от произведения двух функций существует формула Лейбница. Если и эти функции имеют все производные, то имеет место формула Лейбница:

Экономический смысл производной.

Пусть функция выражает количество произведенной продукции

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной. Издержки производства будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции . Пусть — прирост продукции, тогда — приращение издержек производства и — среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность

Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции.

Опр. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при :

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1%.

Лекция № 29.

Тема: «Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический и механический смысл дифференциала»

Пусть функция с областью определения такова, что при переходе от точки к точке получает приращение, которое представляется так:

(1)

не зависит от , — бесконечно малая величина высшего порядка малости по сравнению с , т.е. .

В записи формулы (1) слагаемое при называется главной линейной частью приращения функции, т.е. величина .

Опр. Дифференциалом функции в точке называется величина вида , которая отличается от соответствующего приращения этой функции на величину .

Такой дифференциал обозначается так:

(2)

Следовательно, по определению дифференциала функции мы должны иметь: или (3)

Подставляя в равенство (3) вместо дифференциала его выражение (2), получаем: .

Разделим обе части равенства на и перейдем к пределу при :

Следовательно, получаем утверждение: если в точке функция имеет дифференциал, то она в этой точке имеет производную .

Верно и обратное утверждение: если в точке имеет производную, то она в этой имеет дифференциал. В самом деле:

, то по связи между функцией, имеющей предел в точке, и бесконечно малой величиной в этой точке имеем:

, где — бесконечно малая величина при .

, а это и означает, что функция в точке имеет дифференциал, причем: (4)

По формуле (4) фактически вычисляется дифференциал функции.

Возьмем функцию , вычислим дифференциал по формуле (4):

Дифференциал независимой переменной равняется приращению этой переменной, поэтому формулу (4) можно записать так:

(5)

Пусть . Вычислим дифференциал по определению:

Из формулы (5) получается новое обозначение для производной функции: .

Таким образом, мы имеем для функции четыре обозначения производной: .

Из определения дифференциала и описания главной линейной части приращения функции следует, что дифференциал функции можно определить так:

Опр. Дифференциалом функции в точке называется главная линейная часть приращения этой функции в точке .

На основании формулы (4) дифференциал функции можно определить чисто формально:

Опр. Дифференциалом функции в точке называется произведение производной функции в этой точке на соответствующее приращение аргумента.

Выясним геометрический смысл дифференциала функции, используя формулу (4), и учитывая геометрический смысл производной функции.

Из последнего равенства получаем геометрический смысл дифференциала функции. Дифференциал функции в точке представляет собой приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой при переходе от точки к точке .

Механический смысл дифференциала функции получается из механического истолкования производной функции. Пусть функция выражает закон прямолинейного движения точки, тогда — есть скорость движения в момент времени t. Дифференциал: , где — некоторый промежуток времени. Из этого равенства и получаем механическое истолкование дифференциала функции. Дифференциал функции, выражающей закон прямолинейного движения, представляет собой длину пути, который точка прошла бы, если бы она за промежуток времени двигалась с постоянной скоростью, равной скорости движения в момент времени t.

Тема: «Инвариантная форма записи дифференциал. Дифференциалы высших порядков. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям значений функции»

Для вычисления дифференциала функции в том случае, когда является независимой переменной, мы имеем две формулы:

(1)

(2)

Дело в том, что в этом случае . Оказывается, что формула (2) остается верной и в том случае, когда является функцией новой переменной, в то время как формула (1) в этом случае не верна. Убедимся в этом.

Пусть имеем функцию , причем . В этом случае имеем функцию . Вычислим дифференциал этой сложной функции по формуле, имеем:

Дифференциал сложной функции вычисляется по формуле (2).

Итак, формула (2) применима для вычисления производной функции как в случае, когда является независимой переменной, так и в случае, когда является новой переменной. Поэтому говорят, что формула (2) дает инвариантную форму записи дифференциала функции.

Если и эта функция имеет дифференциал, то мы имеем:

Вычисляя дифференциал сложной функции по формуле (1), мы имели бы:

Должно быть: . Значит, формула (1) применима только в том случае, когда является независимой переменной, а когда является зависимой переменной, то формула (1) не верна.

Пусть функция во всех рассматриваемых точках имеет все производные. Тогда эта функция имеет дифференциал:

В такой записи рассматривается как постоянная.

Опр. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка для этой функции: .

(3)

Аналогично определяется дифференциал функции в рассматриваемых точках третьего, четвертого и вообще -ного порядка.

Если , то общее определение дифференциала -ного порядка функции дается формулой:

(4)

Рассмотрим, какие вычислительные формулы получаются для дифференциалов высших порядков. Если — независимая переменная, так что рассматривается как постоянная, то по формуле (3) имеем:

Итак, в случае, когда является независимой переменной для вычисления дифференциала второго порядка от функции , получаем формулу:

(5)

Аналогичным образом получаются формулы для вычисления дифференциала третьего и вообще -ного порядка:

(6)

Формула обладает свойством инвариантности. А формула (5) для вычисления дифференциала второго порядка свойством инвариантности не обладает, т.е. она верна в случае, когда является независимой переменной, но она, вообще говоря, не верна, когда является зависимой переменной, иначе говоря, функцией новой переменной. В самом деле, если , то , а .

В этом случае имеем:

Эта формула с формулой (5) не совпадает, так что (5) для дифференциала второго порядка не обладает свойством инвариантности, она не всегда верна. То же самое можно сказать и о дифференциалах третьего и т.д. порядков.

Если функция дифференцируема в точке , то имеем равенство:

, где

Если в этом случае пренебречь бесконечно малой величиной высшего порядка малости по сравнению с , получим равенство:

Это равенство означает, что при малых приращениях приращения функции приближенно равно ее дифференциалу. Геометрически это означает, что для малых приращений аргумента вместо функции можно рассматривать функцию, графиком которой является касательная к графику в данной точке.

Последнее равенство можно записать так:

или (*)

По этой формуле можно вычислять приближенно значения функции в точках при малых значениях . В частности, если , то из равенства (*) получаем: . Заменяя на , получаем: .

Лекция № 30.

Тема: «Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя».

Существует несколько теорем, связанных с производными функций, которые лежат в основе всех применений дифференциального исчисления. Эти теоремы принято называть основными теоремами дифференциального исчисления.

Т. (Ферма): Если функция задана в некоторой окрестности точки и в этой точке принимает наибольшее или наименьшее значение, то , если только эта производная существует.

Док-во:

Предполагается, что принимает наибольшее или наименьшее значение в точке по сравнению с ее значениями вблизи этой точки. Для определенности предположим, что в точке принимает наибольшее значение в указанном выше смысле, и пусть в этой точке существует производная. Имеем: .

Этот предел не зависит от того, каким образом (справа или слева) .

[числитель дроби неположителен, знаменатель тоже, значит дробь неотрицательна] .

(*)

(**)

Оба условия (*) и (**) выполняется, когда .

ч.т.д.

Геометрическое истолкование теоремы Ферма получается из геометрического смысла производной. В точке , в которой дифференцируемая функция имеет местный максимум или минимум, касательная к графику этой функции параллельна оси абсцисс.

Т. (Ролля): Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то существует по крайней мере одна точка , что .

(Без док-ва)

Геометрическое истолкование теоремы Ролля очевидно.

Все условия теоремы Ролля существенны в формулировке этой теоремы. Например, если функция непрерывна на отрезке , имеет равные значения на концах этого отрезка, но не дифференцируема во всех точках отрезка, то теорема не верна.

Пример: на . У графика этой функции нет касательных.

Т. (Лагранжа): ): Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то существует точка такая, что:

(1)

Док-во:

Рассмотрим вспомогательную функцию: .

Эта функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , кроме того, имеем: . Так что для функции выполняются все условия теоремы Ролля, т.е. существует , что .

Из последнего равенства получается равенство (1).

ч.т.д.

Замечание. Теорема Лагранжа, как видно из ее доказательства, является следствием теоремы Ролля. В свою очередь теорема Ролля получается из теоремы Лагранжа, если (смотри формулу (1)).

Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Дробь правой части равенства (1) представляет собой тангенс угла наклона хорды AB, соединяющей соответствующие точки графика функции , к положительному направлению оси абсцисс, следовательно, (1) означает, что существует точка с, в которой касательная к графику параллельна этой хорде.

Читайте также:

Дифференцирование функций, заданных параметрически — Мегаобучалка

Пусть функция задана параметрически уравнениями

(1) — параметр.

Требуется найти производную .

Имеет место формула

или .

Пример

Найти производную функции, заданной параметрически: .

Решение

Найдем производные функций х и у по переменной t:

,

.

Согласно формуле , получим

.

Исследование функций и построение графиков функций

Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика включает следующие этапы решения задачи:

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Определить четность, нечетность.

4. Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

5. Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума.

6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

7. Построить график функции.

Пример

С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции .

Решение

1. Область определения функции находится из условия: , т.е. .

2. Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью Оу, , точка ,

с осью Ох, , точка .

3. Четность, нечетность.

Функция называется четной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Функция называется нечетной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Если не выполнено ни одно из равенств, то функцию называют функцией общего вида.

В нашем случае, , следовательно, функция нечетная, а ее график симметричен относительно начала координат.

4. Точки разрыва функции и асимптоты графика функции.

1) Вертикальные асимптоты. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов

или

равен или . Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот следует найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот.

Заданная функция имеет две точки разрыва второго рода и , так как

, ,

, ,

следовательно, график функции имеет две вертикальных асимптоты и .

2) Горизонтальные асимптоты. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда .

Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, нужно найти пределы:

.

Если эти пределы конечны и различны, то прямые будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен , то не существуют и соответствующие асимптоты.

Так как

,

то график функции имеет горизонтальную асимптоту .

3) Наклонные асимптоты. Пусть прямая является асимптотой графика функции . Такую асимптоту называют наклонной. Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела:

.

Аналогично находится асимптота при .

Так как , то наклонных асимптот нет.

5. Исследование функции на экстремум.

Для определения интервалов возрастания и убывания функции и ее точек экстремума найдем первую производную:

.

Найдем критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует, для чего приравниваем числитель к нулю:

, т.е. вещественных корней нет, следовательно, точек экстремума нет. Так как производная отрицательна во всей области определения функции, то она всюду убывает в этой области.

_ _ _

х

-6 6 у

6. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

Вычислим производную второго порядка:

Необходимое условие точки перегиба: или не существует. Равенство выполняется при , следовательно, эта точка является «подозрительной» на точку перегиба. Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней интервалы выпуклости и вогнутости функции.

_ + _ +

х

-6 0 6 у

Так как при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой является точкой перегиба. Итак, точка перегиба имеет координаты .

7. Построение графика функции.

Использование excel для построения графиков функций заданных в параметрическом виде или в полярных координатах и графиков объемных функций цели урока

Бут Людмила Александровна

учитель информатики лицея №14 г.Жуковский

Использование Excel для построения графиков функций, заданных в параметрическом виде или в полярных координатах и графиков объемных функций.

Цели урока:

Образовательная:

• Научить учащихся применять современное программное обеспечение в решении нестандартных задач;

• Сформировать представление учащихся о способах построения объемных изображений средствами Excel.

Развивающая:

• Продолжить развивать умения учащихся применять компьютер для решения конкретных задач из конкретной предметной области;

• Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.

Воспитательная:

Задачи урока:

• Воспитательная. Развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.

• Учебная. Изучить и закрепить основные навыки работы с электронными таблицами.

• Развивающая. Развитие логического мышления, расширение кругозора.

Тип урока: Комбинированный — урок формирования и закрепления умений и навыков практического использования MS Excel.

План урока.

1. Организационная часть.

2. Повторение пройденного материала.

3. Обобщение и систематизация понятий для выполнения самостоятельной работы.

4. Самостоятельная работа.

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание.

Ход урока.

Вопросы для повторения:

1. Что такое относительная и абсолютная адресация?

2. Как протабулировать функцию, заданную в виде y=f(x)?

3. Как построить график функции, используя Мастер диаграмм?

На уроке мы рассмотрим особенности построения двух наиболее часто употребляемых в инженерной практике типов диаграмм – точечных (графиков) и поверхностных (или объемных).

Построение графиков функций, заданных в параметрическом виде или в полярной системе координат.

Параметрическое представление кривой на плоскости – это две функции, явно выражающие обе координаты x и y через значение некоторого производящего параметра:

Параметрические линии по форме могут быть более разнообразными, чем линии, описываемые одним уравнением. На них не распространяется ограничение по многозначности, поэтому линии могут быть самопересекающимися.

Для примера рассмотрим уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R.

.

Координаты точек окружности вычисляются по формулам:

.

Здесь центральный угол t является генерирующим параметром.

Для построения полной окружности радиуса R=100 составим таблицу, в которой значение параметра t меняется с шагом 0,1 от 0 до 2π.

Для построения графика выделим столбцы x и y таблицы и выберем тип диаграммы Точечная. Точечная диаграмма отображает взаимосвязь между числовыми значениями в нескольких рядах и представляет две группы чисел в виде одного ряда точек в координатах XY.

Получим диаграмму:

Полярные координаты и точки М на плоскости – это расстояние =ОМ от фиксированной точки О (полюса) до точки М и угол между лучами ОМ и ОР (полярная ось).

Полярные координаты являются наиболее употребительными после декартовых. Это нелинейные координаты. При построении кривых, заданных в полярных координатах, полярные координаты переводят в декартовы. Если полюс имеет координаты (x_0, y₀), то формулы преобразования таковы:

Для функций, заданных в полярных координатах формула имеет вид

, где – полярный угол.

Таблица должна содержать данные для построения кривой в полярной системе координат. Затем надо перевести данные из полярных координат в декартовы. Данные для построения точечного графика должны быть представлены в декартовой системе координат.

Рассмотрим Архимедову спираль, ее уравнение в полярных координатах:

ρ = aφ, где а — постоянная.

Составим таблицу для a=2, значение полярного угла меняется с шагом 0,1 от 0 до 6π. Такой диапазон выбран для того, чтобы увидеть несколько витков спирали.

Для построения графика выделим столбцы x и y таблицы и выберем тип диаграммы Точечная.

Получим диаграмму:

Задания для самостоятельной работы:

Построить графики замечательных кривых:

Элементы диаграммы можно видоизменять при помощи контекстного меню, вызываемого правой кнопкой мыши. Видоизменение, как правило, состоит в определении другого цвета для какого-то элемента, нового типа линии или маркера. Внести изменения можно, выбрав в контекстном меню первый пункт – Формат соответствующего объекта и определив нужные параметры.

Построение графика объемной функции.

Поверхности составляют широкое многообразие объектов трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с конструированием, расчетом и, изготовлением различных поверхностей.

Поверхность будем рассматривать как непрерывное множество точек, между координатами которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0.

Рассмотрим зависимость, которая описывает сферу радиуса R.

X² +Y²+Z²=R²

Выразим z:

Поскольку z(x, y) является функцией двух переменных, то ее график будет объемным, т. к. по двум осям (x, y) будут откладываться значения аргументов, а по третьей (z) – вычисленные значения функции.

Сначала нужно создать таблицу значений функции в заданных диапазонах аргументов.

Если бы мы попытались сделать это известными способами, то нам потребовалось бы ввести большое множество значений аргументов, т. к. для каждого значения x пришлось бы ввести все значения диапазона y. При этом таблица имела бы очень большие размеры в длину или ширину. Однако можно построить таблицу по другому – в виде массива(матрицы): по строке отложить значения переменной x, а по столбцу – переменной y, а вычисленные значения функции – в ячейках на пересечении соответствующих значений аргументов. Это компактный способ представления данных.

Рассмотрим пример такой таблицы для R=3.

Значение квадрата радиуса вводится в ячейку B1.

В ячейки A3:A15 введите числа от -3 до 3 с шагом 0,5.2). Для того, чтобы все значения x брались из строки 2, а все значения y из столбца A нужно использовать абсолютную адресацию. Замена относительных адресов в формуле на абсолютные производится с помощью клавиши F4, которая при выборе очередной ячейки при вводе формулы нажимается несколько раз до появления нужного вида адреса. Распространяя формулы на диапазон B3:O19, получим следующую таблицу( в ней удалены сообщения об ошибке в ячейках, где происходило извлечение квадратного корня из отрицательного числа).

Будем использовать стандартную объемную поверхностную диаграмму.

Поверхностные диаграммы отображают два или несколько рядов данных в виде поверхности.

В отличие от остальных диаграмм, в этом случае Excel применяет различные цвета для выделения значений, а не рядов данных.

Для построения графика выделим всю таблицу и выберем тип диаграммы Поверхность. Так как в таблице вычислены только положительные значения z , то на диаграмме будет изображена полусфера.

Получим объемный график.

Для видоизменения поверхностных диаграмм предоставляется больше возможностей. Вызвав через меню Диаграмма –Объемный вид диалоговое окно Формат трехмерной проекции, мы можем задать повороты в разных направлениях, перспективу, изменить высоту графика (задается в процентах от нормальной высоты), а также некоторые другие параметры.

Задания для самостоятельной работы:

Построить объемную диаграмму поверхностей второго порядка.

Требования к выполнению заданий.

Каждое задание выполняется на отдельном листе книги. Таблицы и диаграммы должны быть полностью оформлены. Файл сохранить в Личной папке.

Графические функции и неравенства

Графики, отношения, область и диапазон

Прямоугольная система координат Система с двумя числовыми линиями под прямым углом, определяющими точки на плоскости с помощью упорядоченных пар ( x , y ). состоит из двух вещественных числовых линий, пересекающихся под прямым углом. Номер строка по горизонтали называется -axisThe горизонтальной линии номер х , используемой в качестве эталона в прямоугольной системе координат., А вертикальный номер строка называется у -axisThe вертикальной линии числа, используемая в качестве эталона в прямоугольной системе координат.. Эти две числовые линии определяют плоскую поверхность, называемую плоскостью Плоская поверхность, определяемая осями x и y , и каждая точка на этой плоскости связана с упорядоченной парой ( x , y ), которые определяют положение относительно начала координат на прямоугольной координатной плоскости. действительных чисел ( x , y ). Первое число называется координатой x , а второе число называется координатой y . Пересечение двух осей известно как начало координат Точка пересечения осей x и y , обозначенная (0, 0)., что соответствует точке (0, 0).

Оси x и y разбивают плоскость на четыре области, называемые квадрантами Четыре области прямоугольной координатной плоскости, частично ограниченные осями x и y и пронумерованные римскими цифрами I, II , III и IV., Названные римскими цифрами I, II, III и IV, как показано на рисунке. Упорядоченная пара ( x , y ) представляет положение точек относительно начала координат.Например, упорядоченная пара (-4, 3) представляет позицию 4 единицы слева от начала координат и 3 единицы выше во втором квадранте.

Эту систему часто называют декартовой системой координат. Термин используется в честь Рене Декарта, когда речь идет о прямоугольной системе координат., Названной в честь французского математика Рене Декарта (1596–1650).

Рисунок 2.1

Рене Декарт Википедия

Далее мы определяем RelationshipAny набор упорядоченных пар.как любой набор упорядоченных пар. В контексте алгебры интересующие нас отношения представляют собой наборы упорядоченных пар ( x , y ) в прямоугольной координатной плоскости. Обычно координаты связаны правилом, выраженным с помощью алгебраического уравнения. Например, оба алгебраических уравнения y = | x | −2 и x = | y | +1 определяют отношения между x и y . Ниже приведены некоторые целые числа, удовлетворяющие обоим уравнениям:

Здесь получены два соотношения, состоящие из семи упорядоченных парных решений:

y = | x | −2 имеет решения {(−3,1), (- 2,0), (- 1, −1), (0, −2), (1, −1), (2, 0), (3,1)} и x = | y | +1 имеет решения {(4, −3), (3, −2), (2, −1), (1,0), (2,1 ), (3,2), (4,3)}

Мы можем визуально отобразить любое отношение этого типа на координатной плоскости, нанеся точки.

Наборы решений каждого уравнения образуют отношение, состоящее из бесконечного числа упорядоченных пар. Мы можем использовать данные решения для упорядоченных пар, чтобы оценить все остальные упорядоченные пары, проведя линию через данные точки. Здесь мы помещаем стрелки на концах наших линий, чтобы указать, что этот набор упорядоченных пар продолжается без границ.

Представление отношения на прямоугольной координатной плоскости, как показано выше, называется графом. Визуальное представление отношения на прямоугольной координатной плоскости.. Любая кривая, построенная на прямоугольной координатной плоскости, представляет собой набор упорядоченных пар и, таким образом, определяет отношение.

Набор, состоящий из всех первых компонентов отношения, в данном случае значений x , называется доменом. Набор, состоящий из всех первых компонентов отношения. Для отношений, состоящих из точек на плоскости, домен представляет собой набор всех x -значений .. А набор, состоящий из всех вторых компонентов отношения, в данном случае y -значений, называется диапазоном. состоящий из всех вторых компонентов отношения.Для отношений, состоящих из точек на плоскости, диапазон представляет собой набор всех y -значений. (или codomain Используется при ссылке на диапазон.). Часто мы можем определить область и диапазон отношения, если нам дан его график.

Здесь мы можем видеть, что график y = | x | −2 имеет область, состоящую из всех действительных чисел, ℝ = (- ∞, ∞), и диапазон всех y -значений, больших или равных — 2, [−2, ∞). Область графика x = | y | +1 состоит из всех x -значений, больших или равных 1, [1, ∞), а диапазон состоит из всех действительных чисел, ℝ = (- ∞, ∞ ).

Пример 1

Определите область и диапазон следующего отношения:

PPT — Глава 1: Функции и графики Презентация PowerPoint, скачать бесплатно

Глава 1: Функции и графики Раздел 1-5: Параметрические отношения и инверсии

Цели • Вы узнаете о: • определенных отношениях параметрически • Обратные отношения и обратные функции • Почему: • Некоторые функции и графики лучше всего определять параметрически, в то время как некоторые другие лучше всего понимать как обратные функции, которые мы уже знаем.

Словарь • Параметрический • Обратное отношение • Обратная функция f • Отражения

Отношения, определенные параметрически • Другой способ определения функций или отношений — определение обоих элементов упорядоченной пары (x, y) в терминах f другая переменная t, называемая параметром.

Пример 1 Параметрическое определение отношений • Рассмотрим набор упорядоченных пар (x, y), определенных уравнениями: • x = t + 1 • y = t2 + 2t • Где t — действительное число.• Найдите точки, определяемые -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. • Найдите алгебраическое соотношение между x и y. • Постройте график зависимости в плоскости xy

Пример 2 Использование графического калькулятора в параметрическом режиме • Рассмотрите набор всех упорядоченных пар (x, y), определенных уравнениями: • x = t2 + 2t • y = t + 1 • Используйте графический калькулятор, чтобы найти точки, определяемые t = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. • Изобразите отношение в плоскости xy. • Является ли y функцией x? • Найдите алгебраическую связь между x и y.

Обратная связь • Упорядоченная пара (a, b) находится в отношении тогда и только тогда, когда упорядоченная пара (b, a) находится в обратной зависимости.

Тест горизонтальной линии • Обратное отношение является функцией тогда и только тогда, когда каждая горизонтальная линия пересекает график исходного отношения не более чем в одной точке.

Пример 3 Применение теста горизонтальной линии • Какие из графиков являются графиками: • Взаимосвязей, являющихся функциями.• Совет: используйте тест вертикальной линии. • Отношения, имеющие обратные, являющиеся функциями. • Совет: используйте тест горизонтальной линии.

Обратные функции • Если f является взаимно однозначной функцией с областью определения D и диапазоном R, то обратная функция f, обозначенная f -1, является функцией с областью определения R и диапазоном D, определяемой следующим образом: • f -1 (b) = a тогда и только тогда, когда f (a) = b.

Пример 4 Поиск обратной функции с помощью алгебры • Найдите уравнение для f -1 (x), если:

Принцип обратного отражения • Точки (a, b) и (b, a) в координатная плоскость симметрична относительно прямой y = x.Точки (a, b) и (b, a) являются отражениями друг друга по линии y = x.

Пример 5 Графический поиск обратной функции • Показан график функции y = f (x). Нарисуйте график функции y = f -1 (x). Функция f однозначна?

Правило обратной композиции • Функция взаимно однозначна с обратной функцией f тогда и только тогда, когда: • f (g (x)) = x для каждого x в области значений g и • g (f (x)) = x для каждого x в области f

Пример 6 Проверка обратных функций • Алгебраически показать, что две функции являются обратными:

Как найти обратную функцию алгебраически • Учитывая формула для функции f, действуйте следующим образом, чтобы найти формулу для f -1: • Определите, что существует функция f -1, проверив, что f взаимно однозначно.Укажите любые ограничения на область определения f. • Поменяйте местами x и y в формуле y = f (x). • Решите относительно y, чтобы получить формулу y = f -1 (x). Сформулируйте любые ограничения на область определения f -1.

Пример 7Поиск обратной функции • Покажите, что функция f имеет обратную функцию, и найдите правило для f -1 (x). Покажите любые ограничения на область определения f и f -1.

3.3: Область и диапазон — математика LibreTexts

Если вы хотите посмотреть фильм ужасов, вы можете посмотреть один из пяти самых популярных фильмов ужасов всех времен — «Я легенда», «Ганнибал», «The Кольцо, Обида и Заклятие.Рисунок \ (\ PageIndex {1} \) показывает сумму в долларах, которую получил каждый из этих фильмов на момент выхода, а также продажи билетов на фильмы ужасов в целом по годам. Обратите внимание, что мы можем использовать эти данные для создания функции суммы заработка каждого фильма или общей суммы продаж билетов на все фильмы ужасов по годам. Создавая различные функции с использованием данных, мы можем идентифицировать различные независимые и зависимые переменные, а также можем анализировать данные и функции, чтобы определить область и диапазон.В этом разделе мы исследуем методы определения области и диапазона таких функций.

Нахождение области определения функции, определяемой уравнением

В разделе «Функции и обозначение функций» мы познакомились с концепциями домена и диапазона . В этом разделе мы попрактикуемся в определении доменов и диапазонов для конкретных функций. Имейте в виду, что при определении доменов и диапазонов мы должны учитывать, что физически возможно или значимо в реальных примерах, таких как продажи билетов и год в примере из фильма ужасов выше.Мы также должны учитывать, что математически разрешено. Например, мы не можем включать какое-либо входное значение, которое приводит к извлечению четного корня из отрицательного числа, если домен и диапазон состоят из действительных чисел. Или в функции, выраженной в виде формулы, мы не можем включать в домен какое-либо входное значение, которое привело бы к делению на 0.

Мы можем визуализировать домен как «зону хранения», которая содержит «сырье» для «функциональной машины», а диапазон — как другую «зону хранения» для продуктов машины (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Диаграмма того, как функция связывает два отношения

Мы можем записать домен и диапазон в нотации интервала , которая использует значения в скобках для описания набора чисел. В обозначении интервала мы используем квадратную скобку [когда набор включает конечную точку и круглые скобки (чтобы указать, что конечная точка либо не включена, либо интервал неограничен. Например, если у человека есть 100 долларов, чтобы потратить, он или она нужно выразить интервал, который больше 0, но меньше или равен 100, и написать \ (\ left (0, 100 \ right] \).Мы обсудим обозначения интервалов более подробно позже.

Давайте обратим наше внимание на поиск области определения функции, уравнение которой дано. Часто, чтобы найти область таких функций, нужно запомнить три различных формы. Во-первых, если функция не имеет знаменателя или четного корня, подумайте, может ли домен состоять только из действительных чисел. Во-вторых, если в уравнении функции есть знаменатель, исключите значения в области, которые заставляют знаменатель равняться нулю. В-третьих, если есть четный корень, подумайте об исключении значений, которые сделали бы подкоренное выражение отрицательным.

Прежде, чем мы начнем, давайте рассмотрим соглашения об обозначении интервалов:

• Самый маленький член интервала записывается первым.
• Наибольший член в интервале записывается вторым после запятой.
• Круглые скобки \ ((\) или \ () \) используются для обозначения того, что конечная точка не включена, что называется исключительной.
• Скобки, \ ([\) или \ (] \), используются, чтобы указать, что конечная точка включена, называемая включающей.

См. Рисунок \ (\ PageIndex {3} \) для краткой информации об обозначении интервалов.

Quick-R: графические параметры

Вы можете настроить многие функции ваших графиков (шрифты, цвета, оси, заголовки) с помощью графических опций.

Один из способов — указать эти параметры с помощью функции par () . Если вы установите здесь значения параметров, изменения будут действовать до конца сеанса или до тех пор, пока вы не измените их снова. Формат: пар ( имя опции = значение , имя опции = значение , … )

# Установить графический параметр с помощью par ()

par () # просмотреть текущие настройки
opar <- par () # скопировать текущие настройки
par (col.lab = «red») # красный x и y label
hist (mtcars $ mpg) # создать график с этими новыми настройками
par (opar) # восстановить исходные настройки

Второй способ задания графических параметров — это предоставление пар optionname = напрямую функции построения графика.В этом случае параметры действуют только для этого конкретного графика.

# Установите графический параметр в функции построения графика
hist (mtcars $ mpg, col.lab = "red")

См. Справку по конкретной функции построения графиков высокого уровня (например, plot, hist, boxplot), чтобы определить, какие графические параметры могут быть установлены таким образом.

В оставшейся части этого раздела описаны некоторые из наиболее важных графических параметров, которые вы можете установить.

Размер текста и символа

Следующие параметры можно использовать для управления размером текста и символов на графиках.

Число

опция	описание
cex	, указывающее величину, на которую следует масштабировать отображаемый текст и символы относительно значения по умолчанию. 1 = по умолчанию, 1,5 на 50% больше, 0,5 на 50% меньше и т. Д.
cex.axis	увеличение аннотации оси относительно cex
cex.лаборатория	увеличение меток x и y относительно cex
cex.main	увеличение заголовков относительно cex
cex.sub	увеличение субтитров относительно cex

Графические символы

Используйте опцию pch = , чтобы указать символы, которые будут использоваться при построении точек.Для символов с 21 по 25 укажите цвет границы (col =) и цвет заливки (bg =).

Строки

Вы можете изменить строки, используя следующие параметры. Это особенно полезно для опорных линий, осей и линий подгонки.

Ширина линии

опция	описание
лты	тип линии. см. таблицу ниже.
лвд	относительно значения по умолчанию (по умолчанию = 1). 2 вдвое шире.

Цвета

Параметры, определяющие цвета, включают следующее.

опция	описание
столб	Цвет печати по умолчанию.Некоторые функции (например, строки) принимают вектор значений, которые повторно используются.
ось кол.	цвет аннотации оси
col.lab	цвет для этикеток x и y
цвет основной	цвет для заголовков
цв.	цвет для субтитров
fg	цвет переднего плана графика (оси, прямоугольники — также устанавливает col = таким же)
bg	цвет фона графика

Вы можете указать цвета в R по индексу, имени, шестнадцатеричному или RGB.
Например, col = 1 , col = «white» и col = «# FFFFFF» эквивалентны.

Следующая таблица была создана с помощью кода, разработанного Эрлом Ф. Глинном. См. Его Таблицу цветов, чтобы узнать обо всех подробностях, которые могут вам понадобиться при использовании цветов R.

Вы также можете создать вектор из n смежных цветов, используя функции rainbow ( n ) , heat.цвета ( n ) , terrain.colors ( n ) , topo.colors ( n ) и см. цвета ( n ) .

цветов () возвращает все доступные названия цветов.

Шрифты

Вы можете легко установить размер и стиль шрифта, но семейство шрифтов немного сложнее.

Семейство шрифтов

опция	описание
шрифт	Целое число, определяющее шрифт для текста. 1 = простой, 2 = полужирный, 3 = курсив, 4 = полужирный курсив, 5 = символ
font.axis	шрифт для аннотации оси
font.lab	шрифт для меток x и y
font.main	шрифт для заголовков
font.sub	шрифт для субтитров
л.с.	кегль шрифта (примерно 1/72 дюйма) размер текста = ps * cex
семья	для рисования текста.Стандартные значения: serif, sans, mono, symbol. Отображение зависит от устройства.

В Windows монохромный отображается в «TT Courier New», шрифт с засечками отображается в «TT Times New Roman», шрифт sans отображается в «TT Arial», моно отображается в «TT Courier New», а символ отображается в «TT Symbol» (TT = True Type). Вы можете добавлять свои собственные сопоставления.

# Примеры семейства типов - создание новых сопоставлений
plot (1: 10,1: 10, type = "n")
windowsFonts (
A = windowsFont ("Arial Black"),
B = windowsFont ("Bookman Old Style "),
C = windowsFont (" Comic Sans MS "),
D = windowsFont (" Symbol ")
)
текст (3,3," Hello World Default ")
текст (4,4, family =" A "," Hello World от Arial Black ")
текст (5,5, family =" B "," Hello World от Bookman Old Style ")
text (6,6, family =" C "," Hello World from Comic Без MS ")
текст (7,7, family =" D "," Hello World from Symbol ")

нажмите для просмотра

Поля и размер графика

Вы можете контролировать размер поля, используя следующие параметры.

опция	описание
мар	числовой вектор, указывающий размер поля c (нижний, левый, верхний, правый) в строках. по умолчанию = c (5, 4, 4, 2) + 0,1
mai	числовой вектор, указывающий размер поля c (нижнее, левое, верхнее, правое) в дюймах
штифт	размеры участка (ширина, высота) в дюймах

Полную информацию о полях см. В Earl F.Учебник по марже Глинна.

Идем дальше

Дополнительную информацию о графических параметрах см. В справке (пар.) . Настройка осей черчения и текстовых аннотаций рассматривается в следующем разделе.

к практике

Попробуйте этот курс по построению графиков в р.

График функций и калькулятор

Описание :: Все функции

Описание

Function Grapher — это полнофункциональная программа для построения графиков, которая поддерживает одновременное построение графиков двух функций.2)

(х-3) (х + 3)

Масштабирование и повторное центрирование

Для увеличения используйте ползунок масштабирования. Влево увеличивает масштаб, вправо — уменьшает. Когда вы отпускаете ползунок, он возвращается к середине, чтобы вы могли увеличить масштаб.

Для перемещения графика можно щелкнуть и перетащить.

Если вы просто нажмете и отпустите (не двигаясь), то место, на котором вы щелкнули, станет новым центром

Чтобы сбросить масштаб до исходного, нажмите кнопку Сбросить .

Использование значений «a»

Есть ползунок с «a =» на нем. Вы можете использовать «а» в своей формуле, а затем использовать ползунок, чтобы изменить значение «а», чтобы увидеть, как оно влияет на график.

Обратите внимание, как я использовал a * x для умножения a и x . Если бы я использовал ax (или xa ), программа просто запуталась.

Все функции

Операторы

	+	Оператор сложения
	–	Оператор вычитания
	*	Оператор умножения
	/	Оператор отдела
	^	Оператор экспоненты (степени)

Функции

	sqrt	Квадратный корень значения или выражения.
	грех	синус значения или выражения
	cos	Косинус значения или выражения
	желто-коричневый	тангенс значения или выражения
	asin	обратный синус (арксинус) значения или выражения
	acos	обратный косинус (arccos) значения

Цели обучения Определение параметрических уравнений Графические кривые параметрически в заданном параметрическом интервале Удалите параметр, чтобы получить прямоугольник.

Презентация на тему: «Задачи обучения. Определение параметрических уравнений. Графические кривые параметрически в заданном параметрическом интервале. Исключите параметр, чтобы получить прямоугольник». — Стенограмма презентации:

1 Цели обучения Определение параметрических уравнений Параметрическое построение графиков в пределах заданного параметрического интервала Исключите параметр, чтобы получить прямоугольное уравнение

2 Использование графического калькулятора

3 Функциональный режим vs.Словарь в параметрическом режиме Параметрические уравнения Параметр Параметр Интервал Прямоугольное уравнение (декартово уравнение) Уравнение, содержащее только координаты x и y. … Где t называется параметром…… и t находится в интервале параметров, например 0 ≤ t ≤ 2.

4 txy -3 (-3) 2-2 = 73 (-3) = -9-2 0 1 2 3

5 txy -3 (-3) 2-2 = 73 (-3) = -9-2 (-2) 2-2 = 23 (-2) = -6 (-1) 2-2 = -13 (-1 ) = -3 0 (0) 2 — 2 = -23 (0) = 0 1 (1) 2 — 2 = -13 (1) = 3 2 (2) 2 — 2 = 23 (2) = 6 3 ( 3) 2 — 2 = 73 (3) = 9

6 Использование графического калькулятора

8 Какое окно подходит для этой параметрической кривой? Параметрический интервал: Домен: Диапазон:

10 Использование вашего графического калькулятора Что такое Tstep? Поэкспериментируйте с разными значениями.