Эллипс в паскале: Процедуры Ellipse и FillEllipse.

Теорема Паскаля | это… Что такое Теорема Паскаля?

Шестиугольник вписан в эллипс, точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной (красной) прямой

Теоре́ма Паска́ля — теорема проективной геометрии, которая гласит, что

Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.

Содержание 1 История 2 О доказательствах 3 Применение 4 Вариации и обобщения 5 См. также 6 Ссылки

История

Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа. Эту теорему Паскаль взял за основание своего трактата о конических сечениях. Сам трактат пропал и известно лишь его краткое содержание по письму Лейбница, который во время своего пребывания в Париже имел его в своих руках, и краткое изложение основных теорем этого трактата, составленное самим Паскалем (Опыт о конических сечениях).

О доказательствах

• Одно из доказательств использует счёт в двойных отношениях.
• Возможное доказательство основано на последовательном применении теоремы Менелая.
• Проективным преобразованием можно перевести описанную конику в окружность, при этом условие теоремы сохранится. Для окружности теорема может быть доказана из существования изогонального сопряжения.
  • В случае выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, можно осуществить проективное преобразование, оставляющее окружность на месте, а прямую, проходящую через точки пересечения двух пар противоположных сторон увести на бесконечность. В этом случае утверждение теоремы станет очевидным.

Применение

• Позволяет строить коническое сечение по пяти точкам как геометрическое место точек соответственных шестой точке шестиугольника в конфигурации.

Вариации и обобщения

Теорема верна и в том случае, когда две или даже три соседних вершины совпадают (но не более чем по две в одной точке).

В этом случае в качестве прямой, проходящей через две совпадающие вершины, принимается касательная к линии в этой точке.

В частности:

Касательная к линии 2-го порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятиугольника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятиугольника.

Если ABCD ― четырехугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D соответственно со сторонами AD и ВС и точка пересечения прямых А В и CD лежат на одной прямой.

Точки пересечения касательных в вершинах треугольника, вписанного в линию 2-го порядка, с противоположными сторонами лежат на одной прямой.

Эта прямая называется прямой Паскаля данного треугольника.

Шестиугольник ABCDEF (справа) вписан в окружность, точки пересечения трёх пар продолжений его противоположных сторон лежат (слева) на одной (синей) прямой MNP (прямая Паскаля)

Теорема верна даже для такого шестиугольника ABCDEF, вписанного в круг. Пары (каждая своего цвета — красного, желтого, синего) его противоположных продолженных сторон пересекаются на линии Паскаля (белая)

В 1847 появилось обобщение теоремы Паскаля, сделанное Мёбиусом, которое звучит так:

Если многоугольник с сторонами вписан в коническое сечение и противоположные его стороны продолжены таким образом, чтобы пересечься в точке, то если этих точек лежат на прямой, последняя точка будет лежать на той же прямой.

Теорема Киркмана:

Пусть точки , , , , и лежат на одном коническом сечении. Тогда прямые Паскаля шестиугольников , и пересекаются в одной точке.

• Теорема о 9 точках на кубике

См. также

• Паскалева и непаскалева геометрии
• Теорема Дезарга

Ссылки

• Паскаль. Опыт о конических сечениях с приложением письма Лейбница к Э. Перье. Перевод и комментарии Г. И. Игнациуса. // Историко-математические исследования. Выпуск XIV.
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 2, § 16-19. М., 1883.
• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 8.4.
• Живые чертежи (на Java)
  • Pascal’s theorem на Cut the knot
  • Pascal’s theorem
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0

Паскаль, Блез



	Паскаль, Блез
1623-1662	БИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
 XPOHOC ВВЕДЕНИЕ В ПРОЕКТ ФОРУМ ХРОНОСА НОВОСТИ ХРОНОСА БИБЛИОТЕКА ХРОНОСА ИСТОРИЧЕСКИЕ ИСТОЧНИКИ БИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ГЕНЕАЛОГИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ СТРАНЫ И ГОСУДАРСТВА ЭТНОНИМЫ РЕЛИГИИ МИРА СТАТЬИ НА ИСТОРИЧЕСКИЕ ТЕМЫ МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ КАРТА САЙТА АВТОРЫ ХРОНОСА Родственные проекты: РУМЯНЦЕВСКИЙ МУЗЕЙ ДОКУМЕНТЫ XX ВЕКА ИСТОРИЧЕСКАЯ ГЕОГРАФИЯ ПРАВИТЕЛИ МИРА ВОЙНА 1812 ГОДА ПЕРВАЯ МИРОВАЯ СЛАВЯНСТВО ЭТНОЦИКЛОПЕДИЯ АПСУАРА РУССКОЕ ПОЛЕ	Блез Паскаль Математик Блез Паскаль родился в Клермоне 19 июня 1623 года. Вся семья Паскалей отличалась выдающимися способностями. Что касается самого Блеза, он с раннего детства обнаруживал признаки необыкновенного умственного развития. В 1631 году, когда маленькому Паскалю было восемь лет, его отец переселился со всеми детьми в Париж, продав по тогдашнему обычаю свою должность и вложив значительную часть своего небольшого капитала в Отель де-Вилль. Имея много свободного времени, Этьен Паскаль специально занялся умственным воспитанием сына. Он сам много занимался математикой и любил собирать у себя в доме математиков. Раз в неделю математики, примыкавшие к кружку Этьена Паскаля, собирались, чтобы читать сочинения, предлагать разные вопросы и задачи. С шестнадцатилетнего возраста Блез стал принимать деятельное участие в этих занятиях. В это же время Паскаль написал трактат о конических сечениях, то есть о кривых линиях, получающихся при пересечении конуса плоскостью, — таковы эллипс, парабола и гипербола. Со времени изобретения Паскалем арифметической машины имя его стало известным не только во Франции, но и за ее пределами. В 1643 году один из учеников Галилея, Торричелли предпринял опыты по подъему различных жидкостей в трубках и насосах. Торричелли вывел, что причиною подъема как воды, так и ртути является вес столба воздуха, давящего на открытую поверхность жидкости. Таким образом, был изобретен барометр и явилось очевидное доказательство весомости воздуха. Опыты Торричелли, убедили молодого ученого в том, что есть возможность получить пустоту, если не абсолютную, то, по крайней мере, такую, в которой нет ни воздуха, ни паров воды. Зная, что воздух имеет вес, Паскаль решил объяснить явления, наблюдаемые в насосах и в трубках, действием этого веса. 15 ноября 1647 года Паскаль провел первый эксперимент. По мере подъема на гору Пюи-де-Дом ртуть понижалась в трубке. Этот и другие опыты окончательно убедили Паскаля в том, что явление подъема жидкостей в насосах и трубках обусловлено весом воздуха. Паскаль показал, что давление жидкости распространяется во все стороны равномерно и что из этого свойства жидкостей вытекают почти все остальные их механические свойства; затем — что и давление воздуха по способу своего распространения совершенно подобно давлению воды. После смерти отца Паскаль, став неограниченным хозяином своего состояния, в течение некоторого времени жил светской жизнью. Светские развлечения способствовали одному из математических открытий Паскаля. Некто кавалер де Мере, хороший знакомый ученого, страстно любил играть в кости. Он и поставил перед Паскалем и другими математиками две задачи. Первая: как узнать, сколько раз надо метать две кости в надежде получить наибольшее число очков, то есть двенадцать; другая: как распределить выигрыш между двумя игроками в случае неоконченной партии. Первая задача сравнительно легка: надо определить, сколько может быть различных сочетаний очков; лишь одно из этих сочетаний благоприятно событию, все остальные неблагоприятны, и вероятность вычисляется очень просто. Вторая задача значительно труднее. Обе были решены одновременно в Тулузе математиком Ферма и в Париже Паскалем. По этому поводу в 1654 году между Паскалем и Ферма завязалась переписка, и, не будучи знакомы лично, они стали лучшими друзьями. Ферма решил обе задачи посредством придуманной им теории сочетаний. Решение Паскаля было значительно проще: он исходил из чисто арифметических соображений. Работы над теорией вероятностей привели Паскаля к другому замечательному математическому открытию, он составил так называемый арифметический треугольник, позволяющий заменять многие весьма сложные алгебраические вычисления простейшими арифметическими действиями. Как философ Паскаль представляет соединение скептика и пессимиста с искренно верующим мистиком. «Мысли» Паскаля часто сопоставляли с «Опытами» Монтеня и с философскими сочинениями Декарта. Паскаль признает сознание непреложным доказательством существования. «Я мыслю, стало быть — существую», — говорит Декарт. «Я сочувствую ближним, стало быть, я существую, и не только материально, но и духовно», — говорит Паскаль. У Декарта божество есть не более как внешняя сила; для Паскаля божество есть начало любви, в одно и то же время внешнее и присутствующее в нас. Последние годы жизни Паскаля были рядом непрерывных физических страданий. Потеряв сознание, после суточной агонии он умер 19 августа 1662 года, тридцати девяти лет от роду. Перепечатывается с сайта http://100top.ru/encyclopedia/ Вернуться на главную страницу Паскаля
	ХРОНОС: ВСЕМИРНАЯ ИСТОРИЯ В ИНТЕРНЕТЕ
	ХРОНОС существует с 20 января 2000 года, Редактор Вячеслав Румянцев При цитировании давайте ссылку на ХРОНОС

Случайные иллюстрации теоремы Паскаля

Теорема Паскаля начинается с выбора любых шести различных точек на эллипсе и рисования «шестиугольника». Я поставил шестиугольник в кавычки, потому что результат не должен выглядеть как шестигранная гайка. В данном контексте это просто означает выбрать одну точку, соединить ее с какой-то другой точкой и т. д., соединяя точки в цикле. Точки не обязательно должны располагаться вокруг эллипса, поэтому шестиугольник может и обычно будет иметь неправильную форму.

Теорема Паскаля гласит, что точки пересечения противоположных сторон пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой. Так как шестиугольник может иметь неправильную форму, сразу не понятно, что такое «противоположные» стороны.

Точки соединения сегментов 1 и 2 находятся напротив точек соединения сегментов 4 и 5. Точки соединения сегментов 2 и 3 находятся напротив точек соединения сегментов 5 и 6. Точки соединения сегментов 3 и 4 находятся напротив точек соединения сегментов 6. и 1. Если бы шестиугольник был правильным шестиугольником, противоположные стороны были бы параллельны.

Теорема обычно иллюстрируется чем-то вроде рисунка ниже.

Противоположные стороны одного цвета. Синие, зеленые и красные точки внутри эллипса — это точки пересечения синих, зеленых и красных сторон соответственно. Как и предсказывал Паскаль, три точки лежат на одной прямой.

Формулировка теоремы Паскаля выше неполная. Мы должны смотреть, где пересекаются линии , содержащие сторон, а не где пересекаются стороны. На изображении выше линии пересекаются там, где пересекаются отрезки линий, но это происходит не всегда.

В статье Википедии о теореме Паскаля говорится, что «три пары противоположных сторон шестиугольника (при необходимости расширенного) встречаются в трех точках, лежащих на прямой». Замечание в скобках о расширении сторон «при необходимости» может навести вас на мысль, что необходимость расширения сторон является исключительным случаем. Это не; это типичный случай.

Приведенный выше график типичен для представления теоремы Паскаля, но не типичен для случайно выбранных точек на эллипсе. Я написал программу для выбора случайных точек на эллипсе и их соединения в соответствии с теоремой. Название графика выше — «Прогон 24», потому что это был первый прогон, давший типичную иллюстрацию.

Вот как выглядел первый запуск.

В этом примере все три точки пересечения находятся вне эллипса. Трудно увидеть синюю сторону внизу эллипса; он настолько короткий, что эллипс практически плоский на этом расстоянии, а синяя линия лежит почти на вершине черной дуги эллипса. Это более типичный пример: обычно одна или несколько точек пересечения лежат вне эллипса, и обычно одну или несколько сторон плохо видно.

Вот еще более типичный пример.

Впервые увидев такой сюжет, я подумал, что в моей программе есть ошибка. Более короткую зеленую сторону трудно увидеть, пересечение двух зеленых линий теряется между двумя точками, расположенными близко друг к другу, а серая линия, соединяющая три точки пересечения, практически лежит поверх пары других линий.

Случайные примеры и случайные тесты

Случайные примеры дополняют чистые классные примеры. Первое изображение Run 24 характерно для презентаций по уважительной причине: его легко увидеть со всех сторон, а все действие происходит на небольшой площади. Но случайные примеры дают вам лучшее представление о диапазоне возможностей. Это очень похоже на тестирование программного обеспечения: некоторые тесты должны быть тщательно разработаны, а некоторые должны быть выбраны наугад.

Конические сечения

Теорема Паскаля применима ко всем коническим сечениям, а не только к эллипсам. Вот пример с параболой.

Случайно выбранные примеры для парабол еще менее разборчивы, чем случайные примеры для эллипсов. Обычно строки накладываются друг на друга.

Проективная геометрия

Строго говоря, теорема Паскаля — это теорема проективной геометрии. Он молчаливо предполагает, что рассматриваемые строки делают пересекаются. В евклидовой плоскости две стороны могут быть параллельны и не пересекаться. В проективной геометрии параллельные прямые пересекаются «в бесконечности». Вернее, в проективной геометрии нет параллельных прямых.

При случайно выбранных точках вероятность того, что две прямые параллельны, равна 0. Но возможно, что две прямые почти параллельны и пересекаются далеко от эллипса. Некоторые из прогонов, которые я сделал для этого поста, сделали именно это, например прогон 9 ниже.

Если у вас есть место для одной иллюстрации, вы, естественно, используете что-то вроде Run 24, но хорошо знать, что такие вещи, как Run 9тоже может случиться.

Похожие посты

• Директриса коническая
• Место пересечения двух конических сечений
• Марсианская орбитальная миссия

Теорема Паскаля. Внутренняя система координат

Возьмем два эллипса, один внутри другого. Возьмите точку на внешнем эллипсе и проведите одну из двух касательных к внутреннему эллипсу и найдите его второе пересечение с внешним эллипсом. Используйте эту точку, чтобы начать процесс снова и снова. Вы получите многоугольный путь в эллипсе, который, скорее всего, не замкнется. Но если вам повезет, произойдет чудо: если вы выберете любую другую точку и повторите игру, многоугольник снова замкнется.

Это содержание знаменитой теоремы Жана-Виктора Понселе.

По духу она аналогична теореме Якоба Штайнера, утверждающей, что цепь окружностей в кольце, ограниченном двумя окружностями, либо всегда, либо никогда не замыкается. В то время как теорема Штейнера следует непосредственно из обращения окружностей в пару концентрических окружностей, для теоремы Понселе такое простое доказательство недоступно. До недавнего времени все доказательства, которые я знаю, были, скажем, расширенными .

В основе нового доказательства Лоренца Хальбайзена и Норберта Хунгербюлера лежат некоторые фундаментальные теоремы проективной геометрии.

Давайте сначала вспомним, что пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, определяют единственную конику.

Это потому, что через четыре точки можно найти две разные вырожденные коники, состоящие каждая из пары прямых, и, образуя линейные комбинации, разместить пятую точку. Ниже нам понадобится двойственная теорема: даны пять прямых, и никакие три не пересекаются, к ним существует единственная коническая касательная.

Теорема Паскаля является условием для того, чтобы шесть точек лежали на конике: они лежат тогда и только тогда, когда противоположные стороны пересекаются в точках, лежащих на одной прямой. Выше вы видите это для шести точек на двух ветвях гиперболы.

Двойственно этому теорема Брианшона (показана выше): Стороны шестиугольника касаются коники, если и только его диагонали совпадают.

В качестве приложения Хальбайзен и Хунгербюлер показывают: Если шесть вершин двух треугольников a1,a2,a3 и b1,b2,b3 лежат на конике, то существует коническая касательная к шести сторонам треугольников. Доказательство простое: применение Паскаля к шестиугольнику a1,b2,a3,b1,a2,b3 дает нам три коллинеарных точки c12,c13,c23.