Разное

Асимметрия статистика: Асимметрия и эксцесс. Коэффициент асимметрии и эксцесс распределения. Задачи по статистике с решением онлайн

Содержание

Асимметрия и эксцесс. Коэффициент асимметрии и эксцесс распределения. Задачи по статистике с решением онлайн

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

Коэффициент асимметрии характеризует скошенность распределения по отношению к математическому ожиданию. Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания.

На рисунке показаны две кривые распределения: I и II. Кривая I имеет положительную (правостороннюю) асимметрию , а кривая II – отрицательную (левостороннюю) .

Кроме вышеописанного коэффициента, для характеристики асимметрии рассчитывают также показатель асимметрии Пирсона:

Коэффициент асимметрии Пирсона характеризует асимметрию только в центральной части распределения, поэтому более распространенным и более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента третьего порядка.

Для оценки «крутости», т. е. большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой - эксцессом.

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число:

Число 3 вычитается из отношения  потому, что для наиболее часто встречающегося нормального распределения отношение .

Кривые, более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные - отрицательным эксцессом.

Задача 1

Для заданного вариационного ряда вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса.

0-0.4 0.4-0.8 0.8-1.2 1.2-1.6 1.6-2.0 2.0-2.4 Итого
3 17 21 25 24 10 100

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт, вступайте в группу ВК.

Составим расчетную таблицу

 

Средняя:

Найдем моду - варианту, которой соответствует наибольшая частота.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент асимметрии Пирсона:

 

Коэффициент асимметрии можно найти по формуле:

Центральный момент 3-го порядка:

Получаем:

 

Эксцесс можно найти по формуле:

Центральный момент 4-го порядка:

Получаем:

 

Задача 2

Для заданного вариационного ряда (см. условие задачи 1) вычислить коэффициенты асимметрии и эксцесса методом произведений, используя условные моменты.

0-0.4 0.4-0.8 0.8-1.2
1.2-1.6
1.6-2.0 2.0-2.4 Итого
3 17 21 25 24 10 100

Решение

Составим расчетную таблицу

Перейдем к условным вариантам

В качестве ложного нуля возьмем 3-ю варианту 0

Условные варианты вычислим по формуле:

где 4 (разность между соседними вариантами)

 

Условный момент 1-го порядка:

Средняя:

 

Условный момент 2-го порядка:

Дисперсия:

 

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент асимметрии можно найти по формуле:

Условный момент 3-го порядка:

Центральный момент 3-го порядка:

Получаем:

Эксцесс можно найти по формуле:

Условный момент 4-го порядка:

Центральный момент 4-го порядка:

Получаем:

  • К оглавлению решебника по

Симметричные и асимметричные распределения. Показатели асимметрии и эксцесса для характеристики асимметричных рядов распределения

При анализе вариационных рядов смещение от центра и крутизну распределения характеризуют специальные показатели. Эмпирические распределения, как правило, смещены от центра распределения вправо или влево, асимметричны. Нормальное распределение строго симметрично относительно средней арифметической, что обусловлено четностью функции.

Асимметрия распределения возникает вследствие того, что какие-либо факторы действуют в одном направлении сильнее, чем в другом, или процесс развития явления таков, что доминирует какая-то причина. Кроме того, природа некоторых явлений такова, что имеет место асимметричное распределение.

Наиболее простой мерой асимметрии является разность между средней арифметической, модой и медианой:

- в симметричном ряду: = Мо = Ме;

- при правосторонней асимметрии: Мо < Ме < ;

- при левосторонней: Мо > Ме > .

Для определения направления и величины смещения (асимметрии) распределения рассчитывается коэффициент асимметрии, представляющий собой нормированный момент третьего порядка:

As = m3/s3, где m3 – центральный момент третьего порядка; s3 – среднее квадратическое отклонение в кубе. m3 = (m3 – 3m1 m2 + 2m13)k3.


При левосторонней асимметрии коэффициент асимметрии (As<0), при правосторонней (As>0) .

Если вершина распределения сдвинута влево и правая часть ветви оказывается длиннее левой, то такая асимметрия является правосторонней, в противоположном случае левосторонней

.

Рис. Асимметрия распределения: а – правосторонняя; б – левосторонняя Рис. Характеристика распределений в соответствии с эксцессом: 1 – высоковершинное; 2 – нормальное; 3 – низковершинное

Соотношение между модой, медианой и средней арифметической в симметричном и асимметричном рядах позволяет в качестве меры асимметрии использовать более простой показатель коэффициента асимметрии Пирсона:

Кa = (–Мо)/s. Если Кa>0, то асимметрия правосторонняя, если Кa<0, то асимметрия левосторонняя, при Кa=0 ряд считается симметричным.

Более точно асимметрию можно определить, используя центральный момент третьего порядка:

, где m3 = (m3 – 3m1 m2 + 2m13)k3.

Если > 0, то асимметрию можно считать значительной, если < 0,25 асимметрию можно считать не значительной.

Для характеристики степени отклонения симметричного распределения от нормального по ординате используется показатель островершинности, крутизны распределения, называемый

эксцессом:


Ex = (m4/s4) – 3, где: m4 – центральный момент четвертого порядка.

Для нормального распределения Ех = 0, т.е. m4/s4 = 3. m4 = (m4 – 4m3 m1 + 6m2 m21 – 3 m41)*k4.

У высоковершинных кривых эксцесс положительный, у низковершинных отрицательный (рис. Г.2).

Показатели эксцесса и асимметрии необходимы в статистическом анализе для определения неоднородности совокупности, асимметричности распределения и близости эмпирического распределения к нормальному закону. При значительных отклонениях показателей асимметрии и эксцесса от нуля нельзя признать совокупность однородной, а распределение близким к нормальному. Сопоставление фактических кривых с теоретическими позволяет математически обосновать полученные статистические результаты, установить тип и характер распределения социально-экономических явлений, прогнозировать вероятность появления изучаемых событий.

Обоснование близости эмпирического (фактического) распределения к теоретическому нормальному распределению. Нормальное распределение (закон Гаусса-Лапласа) и его характеристики. «Правило трех сигм». Критерии согласия (на примере критерия Пирсона или Колгомогорова).

Можно заметить определенную связь в изменении частот и значений варьирующего признака. Частоты с ростом значения признака сначала увеличиваются, а затем после достижения какой-то максимальной величины уменьшаются. Такие закономерные изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения.

Для выявления закономерности распределения необходимо, чтобы вариационный ряд содержал достаточно большое количество единиц, а сами ряды представляли собой качественно однородные совокупности.

Построенный по фактическим данным полигон распределения - это эмпирическая (фактическая) кривая распределения, отражающая не только объективные (общие), но и субъективные (случайные) условия распределения, не характерные для изучаемого явления.

В практической работе закон распределения находят путем сравнения эмпирического распределения с одним из теоретических и оценки степени различия или соответствия между ними.

Теоретическая кривая распределения отражает в чистом виде, без учета влияния случайных факторов, общую закономерность распределения частот (плотности распределения) в зависимости от значений варьирующих признаков.

В статистике распространены различные виды теоретических распределений: нормальное, биномиальное, Пуассона и др. Каждое из теоретических распределений имеет свою специфику и область применения.

Закон нормального распределения характерен для распределения равновероятных событий, происходящих при взаимодействии множества случайных факторов. Закон нормального распределения лежит в основе статистических методов оценки параметров распределения, репрезентативности выборочных наблюдений, измерения взаимосвязи массовых явлений.

Для проверки, насколько фактическое распределение соответствует нормальному, необходимо сравнить частоты фактического распределения с теоретическими частотами, характерными для нормального закона распределения. Эти частоты являются функцией нормированных отклонений. Поэтому по данным эмпирического ряда распределения вычисляют нормированные отклонения t. Затем определяют соответствующие им теоретические частоты. Таким образом, выравнивается эмпирическое распределение.

Нормальное распределение или закон Гаусса-Лапласа описывается уравнением , где yt – ордината кривой нормального распределения, или частость (вероятность) величины х нормального распределения; – математическое ожидание (среднее значение) индивидуальных значений х. Если значения (х – ) измерить (выразить) в величинах среднего квадратического отклонения s, т.е. в стандартизованных (нормированных) отклонениях t = (x – )/s, то формула примет вид: . Нормальное распределение социально-экономических явлений в чистом виде встречается редко, однако, если соблюдена однородность совокупности, часто фактические распределения близки к нормальному. Закономерность распределения изучаемых величин выявляют посредством проверки соответствия эмпирического распределения теоретически нормальному закону распределения. Для этого фактическое распределение выравнивается по кривой нормального и рассчитываются критерии согласия.

Нормальное распределение характеризуется двумя существенными параметрами, определяющими центр группирования индивидуальных значений и форму кривой: средней арифметической и средним квадратическим отклонением s. Кривые нормального распределения различаются положением на оси абсцисс центра распределения и разбросом вариант около этого центра s (рис. Г.3, Г.4). Особенностью кривой нормального распределения является ее симметричность относительно центра распределения – по обе стороны от ее середины образуются две равномерно убывающие ветви, асимптотически приближающиеся к оси абсцисс. Поэтому при нормальном распределении средняя, мода и медиана совпадают: = Мо = Ме.

-3s -2s -s s 2s 3s x

Рис. Г.3. Нормальное распределение Рис. Г.4. Нормальное распределение с различными дисперсиями (s12 < s22)

Кривая нормального распределения имеет две точки перегиба (переход от выпуклости к вогнутости) при t = ±1, т.е. при отклонении вариантов от средней (х – ), равном среднему квадратическому отклонению s. В пределах ± s при нормальном распределении заключается 68,3%, в пределах ± 2s – 95,4%, в пределах ± 3s – 99,7% количества наблюдений или частот ряда распределения. На практике почти не встречаются отклонения, превышающие ±3s, поэтому приведенное соотношение называется «правилом трех сигм».

Для расчета теоретических частот применяется формула:

.

Величина есть функция от t или плотность нормального распределения, которая определяется по специальной таблице, выдержки из которой приведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1. Значения плотности нормального распределения

t j(t) t j(t) t j(t) t j(t)
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,3989 0,3910 0,3683 0,3332 0,2897 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 0,2420 0,1942 0,1497 0,1109 0,0790 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 0,0540 0,0355 0,0224 0,0136 0,0079 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 0,0044 0,0024 0,0012 0,0006 0,0003

График на рис. 9.1 наглядно демонстрирует близость эмпирического (2) и нормального (1) распределений.

Рис. 9.1. Распределения филиалов почтовой связи по численности работников: 1 – нормальное; 2 – эмпирическое.

Для математического обоснования близости эмпирического распределения закону нормального распределения рассчитываются критерии согласия.

Критерий Колмогорова - критерий согласия, позволяющий оценить степень близости эмпирического распределения к нормальному. А. Н. Колмогоров предложил для определения соответствия между эмпирическим и теоретическим нормальным распределениями использовать максимальную разность накопленных частот или частостей этих рядов. Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения закону нормального распределения рассчитывают критерий согласия l = D/ , где D – максимальная разность между кумулятивными (накопленными) эмпирическими и теоретическими частотами, n – численность единиц совокупности.По специальной таблице определяют Р(l) – вероятность достижения l, которая означает, что если вариационный признак распределен по нормальному закону, то из-за случайных причин максимальное расхождение между эмпирическими и теоретическими накопленными частотами будет не меньшим, чем фактически наблюденное.

На основании значения Р(l) делают определенные выводы: если вероятность Р(l) достаточно велика, то гипотезу о соответствии фактического распределения нормальному закону можно считать подтвержденной; если вероятность Р(l) мала, то нулевая гипотеза отвергается, расхождения между фактическим и теоретическим распределениями признаются существенными.

Значения вероятностей для критерия согласия l:

l Р(l) l Р(l) l Р(l)
0,3 1,000 0,8 0,544 1,5 0,022
0,4 0,997 0,9 0,399 1,8 0,013
0,5 0,964 1,0 0,27 2,0 0,006
0,6 0,864 1,1 0,18 2,1 0,003
0,7 0,711 1,2 0,11 2,3 0,000

Критерии Пирсона c2 ("хи-квадрат") - критерий согласия, позволяющий оценить степень близости эмпирического распределения к нормальному:,где fi, f'i – частоты эмпирического и теоретического распределений в определенном интервале. Чем больше разность между наблюдаемыми и теоретическими частотами, тем больше критерий c2. Чтобы отличить существенность различий частот эмпирического и теоретического распределений по критерию c2 от различий в результате случайностей выборки, рассчитанное значение критерия c2расч сравнивают с табличным c2табл при соответствующем числе степеней свободы и заданном уровне значимости.

Уровень значимости выбирается так, что Р(c2расч>c2табл) = a. Число степеней свободы равно hl, где h – число групп; l – число условий, которые должны выполняться при вычислении теоретических частот. Для расчета теоретических частот кривой нормального распределения по формуле необходимо знать три параметра , s, Sf, поэтому число степеней свободы равно h–3. Если c2расч>c2табл, т.е. c2 попадает в критическую область, то расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами существенно и его нельзя объяснить случайными колебаниями выборочных данных.

В этом случае нулевая гипотеза отвергается. Если c2расч£ c2табл, т.е. рассчитанный критерий не превышает максимально возможное расхождение частот, которое может возникнуть в силу случайности, то в данном случае гипотеза о соответствии распределений принимается. Критерий Пирсона эффективен при значительном числе наблюдений (n³50), причем частоты всех интервалов должны насчитывать не менее пяти единиц (при меньшем количестве интервалы объединяют), а число интервалов (групп) должно быть большим (h>5), поскольку оценка c2 зависит от числа степеней свободы.

Критерий Романовского - критерий согласия, позволяющий оценить степень близости эмпирического распределения к нормальному. В.И. Романовский предложил близость эмпирического распределения к кривой нормального распределения оценивать по отношению:

, где h – число групп.

Если отношение больше 3, то расхождение частот эмпирического и нормального распределений нельзя признать случайным и гипотезу о нормальном законе распределения следует отвергнуть. Если отношение меньше или равно 3, то можно принять гипотезу о нормальном характере распределения данных.

CFA - Симметрия и асимметрия в распределениях доходности | программа CFA

Среднее значение и дисперсия могут неадекватно описывать распределение доходности инвестиций. Например, при расчете дисперсии, отклонения от среднего значения возводятся в квадрат, и поэтому мы не знаем, являются ли большие отклонения положительными или отрицательными.

Нам необходимо выйти за рамки мер центральной тенденции и дисперсии, чтобы выявить другие важные характеристики распределения. Одной из важных характеристик, представляющих интерес для аналитиков, является степень симметрии в распределениях доходности.

Если распределение доходности симметрично относительно его среднего значения, то каждая сторона распределения является зеркальным отражением другой. Таким образом, равные интервалы убытков и доходов показывают одинаковые частоты. Например, убытки от -5% до -3% происходят примерно с той же частотой, что и доходы от 3% до 5%.

Одним из наиболее важных распределений является нормальное распределение, изображенное на рисунке ниже. Это симметричное распределение в форме колокола играет центральную роль в модели среднего отклонения (англ. 'mean-variance model'), которая используется для выбора портфеля. Оно также широко используется в управлении финансовыми рисками.

Нормальное распределение (англ. 'normal distribution') имеет следующие характеристики:

  • Его среднее значение и медиана равны.
  • Оно полностью описывается двумя параметрами - его средним значением и дисперсией.
  • Примерно 68% его наблюдений лежат между плюс и минус 1-м стандартным отклонением от среднего. 95% лежат между плюс и минус 2-мя стандартными отклонениями; и 99% лежат между плюс и минус 3 стандартными отклонениями.

Свойства нормального распределения.

Распределение, которое не является симметричным, называется скошенным или ассиметричным.

Распределение доходности с положительной скошенностью (положительно ассиметричное) часто приносит небольшие убытки и несколько экстремальных доходов.

Распределение доходности с отрицательной скошенностью (отрицательно ассиметричное) часто приносит небольшие доходы и несколько экстремальных убытков. На графиках ниже показаны положительно и отрицательно скошенные распределения.

Свойства асимметричных распределений.

Распределение скошено вправо (положительно ассиметричное).

Распределение скошено влево (отрицательно ассиметричное).

Показанное на графике положительно скошенное распределение имеет длинный хвост с правой стороны. Отрицательно скошенное распределение имеет длинный хвост на левой стороне.

Для положительно скошенного унимодального распределения мода меньше медианы, а медиана меньше среднего. Для унимодального распределения с отрицательной скошенностью среднее значение меньше медианы, а медиана что меньше моды.

Инвесторов привлекает положительная ассиметричность, поскольку средняя доходность находится выше медианы. Вместе с тем, положительная ассиметричность (относительно среднего значения) означает небольшие, хотя и частые, убытки при крупных, но менее частых доходах.

Ассиметрия или скошенность (англ. 'skewness' или 'skew') - это термин, означающий статистическую меру ассиметрии. Как и дисперсия, асимметрия вычисляется с использованием отклонения каждого наблюдения от его среднего значения.

Асимметрия (иногда упоминаемая как относительная асимметрия) вычисляется как среднее кубическое отклонение от среднего, деленное на стандартное отклонение в кубе, что делает меру независимой от шкалы.

Здесь мы обсуждаем обычный коэффициент асимметрии. В некоторых учебниках представлен коэффициент асимметрии Пирсона, равный 3 * (Среднее - Медиана) / Стандартное отклонение, который имеет недостаток, заключающийся в необходимости вычисления медианы.


Симметричное распределение имеет асимметрию равную 0, положительно асимметричное распределение имеет положительную асимметрию, а отрицательно асимметричное распределение имеет отрицательную асимметрию.


Мы можем проиллюстрировать принцип, лежащий в основе этой меры, сосредоточившись на числителе. Куб, в отличие от квадрата, сохраняет знак отклонения от среднего. Если распределение положительно ассиметрично при среднем значении, превышающем его медиану, то более половины отклонений от среднего значения являются отрицательными, а менее половины - положительными.

Чтобы сумма была положительной, убытки должны быть небольшими и вероятными, а доходы менее вероятными, но более экстремальными. Следовательно, если асимметрия положительна, средняя величина положительных отклонений больше, чем средняя величина отрицательных отклонений.

Простой пример показывает, что симметричное распределение имеет показатель асимметрии, равный 0.


Предположим, у нас есть следующий ряд значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.3} }\).

Для выборки размером 100 или более наблюдений, с нормальным распределение, коэффициент асимметрии ± 0,5 будет считаться необычно большим.


Таблица 27 показывает несколько сводных статистических показателей для годовой и месячной доходности S&P 500.

Ранее мы обсуждали среднеарифметическую доходность и стандартное отклонение доходности, и а в следующей теме мы кратко обсудим эксцесс.

Таблица 27. Годовая и месячная совокупная доходность S&P 500 за 1926-2012 гг .: Сводная статистика.

Доходность

Кол-во периодов

Среднее ариф-мети-ческое (%)

Стан-дартное откло-нение (%)

Коэфф-ициент ассимет-рии

Коэфф-ициент эксцесса

S&P 500 (Годовая)

87

11.82

20.18

-0.3768

0.0100

S&P 500 (Месячная)

1,044

0.94

5.50

0.3456

9.4288

Источник: Ibbotson Associates.

Таблица 27 показывает, что годовая доходность S&P 500 в течение этого периода была отрицательно ассиметрична, в то время как ежемесячная доходность была положительно ассиметрична, и размер асимметрии был больше для годовой доходности.


При аналогичном анализе других рыночных рядов мы обнаружили бы, что форма распределения доходности часто зависит от исследуемого периода владения активом.

Некоторые исследователи считают, что инвесторам следует отдавать предпочтение положительной асимметрии, при прочих равных условиях, то есть им следует отдавать предпочтение портфелям с распределениями, предлагающими относительно большую частоту необычно больших выплат.

О роли асимметрии при выборе портфеля - см. Reilly and Brown (2012) и Elton et al. (2013).

Для различных инвестиционных стратегий характерны различные типы и значения коэффициента асимметрии. Пример, приведенный ниже, иллюстрирует расчет асимметрии для управляемого портфеля.

Пример расчета асимметрии для взаимного фонда.

В Таблице 28 представлена 10-летняя годовая доходность фонда T. Rowe Price Equity Income (PRFDX).

Таблица 28. Годовая доходность T. Rowe Price Equity Income, 2003-2012 гг.

Год

Доходность (%)

2003

25.78

2004

15.05

2005

4.26

2006

19.14

2007

3.30

2008

-35.75

2009

25.62

2010

15.15

2011

-0.72

2012

17.25

Источник: performance.morningstar.com.

Используя информацию из Таблицы 28, сделайте следующее:

  1. Рассчитайте асимметрию PRFDX, с точностью до двух десятичных знаков.
  2. Охарактеризуйте форму распределения доходности PRFDX, основываясь на результате для части 1.3 \)

    2003

    25.78

    16.87

    4,801.150

    2004

    15.05

    6.14

    231.476

    2005

    4.26

    -4.65

    -100.545

    2006

    19.14

    10.23

    1,070.599

    2007

    3.30

    -5.61

    -176.558

    2008

    -35.75

    -44.66

    -89,075.067

    2009

    25.62

    16.71

    4,665.835

    2010

    15.15

    6.24

    242.971

    2011

    -0.72

    -9.63

    -893.056

    2012

    17.25

    8.34

    580.094

    n =

    10

    R =

    8.91%

    Сумма =

    -78,653.103

    s =

    18.12%

    s3 =

    5,949.419

    Сумма / s3 =

    -13.2203

    n / [(n - 1) (n - 2)] =

    0.1389

    Ассиметрия =

    -1.3} = -1.84 }\)


    Решение для части 2:

    Для этой небольшой выборки, распределение годовой доходности фонда представляется отрицательно ассиметричным.

    В этом примере 4 отклонения отрицательны, а 6 - положительны. Хотя в распределении больше положительных отклонений, они более чем компенсируются огромным отрицательным отклонением в 2008 году, когда фондовые рынки резко обвалились в результате мирового финансового кризиса.

    Итоговый коэффициент асимметрии является отрицательным числом. Это подразумевает, что распределение скошено влево.

    Характеристика асимметрии и эксцесса - Статистика Библиотека русских учебников

    При смещении вправо от центра асимметрия будет характеризоваться положительным числом, при смещении влево - отрицательным

    Коэффициент асимметрии (. А) рассчитывается как отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квад-

    А = 4А

    копытных отклонения: в естьл.=0 - распределение симметричный, если. А1 0 - распределение имеет

    Ап

    правостороннюю асимметрию: если1 0 - левосторонняя асимметрия

    Кривые, изображенные на рисунке 8, позволяют иллюстрировать симметрию и два наиболее распространенных вида асимметрии распределения. При симметричном распределении (а) средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой. Для асимметричных кривых эти статистические величины неодинаковы. Причем средняя арифметическая и медиана смещены от центра в сторону длинной ветки кривой. Поскольку средняя арифметическаяна (х)"молва"к"точному"положение более отдаленных от моды ( м0) точек кривой, а медиана ( е)"нечутки", то средняя (х) сдвинута больше, чем медиана (ме). В этом случае медиана находится между

    . Рис 8. Формы распределения при различных значениях коэффициента асимметрии (. А *)

    модой и средней арифметической

    Как видим, направление асимметрии геометрически устанавливается очень просто. в формулу коэффициента асимметрии, имеем:

    А, = 4=. Щ-_ 1ИА_ 0,3181 в3 6,33 250,0

    Положительное значение показателя * свидетельствует о правостороннюю асимметрию распределения хозяйств по урожайности, а абсолютное его значение 0,25 | 0,3181 0,5 | означает наличие умеренной асимметрии в дослиджува аномий ряде распределениеподілу.

    В завершение следует отметить, что при преобладающем количестве вариант в ряде распределения меньших по размеру от выборочной средней коэффициент асимметрии будет отрицательным. Если в вариационном ряду преобладают ют варианты по размерам больше средней, будет иметь место положительная асимметрийя.

    Отрицательной стороной коэффициента асимметрии, как меры асимметрии, следует назвать ту, что этот показатель не имеет ни верхней, ни нижней границы. Особенно большой размер коэффициента асимметрии практически почти не м имеет местоя.0). Формы"вершинности"для указанных случаев представлено на графике (рис 9)

    . Рис 9. Формы распределения для различных значений эксцесса (*)

    Если величина показателя эксцесса * '' кривая считается слабоексцесивною. Наибольшая абсолютная величина отрицательного эксцесса составляет минус 2. При таком значении вершина кривой опускается до оси абсцисс и и кривая распределения делится на две самостоятельные одновершинни крылві.

    Следует отметить, что термин"эксцесс"греческого происхождения (китишиз), и названия формы эксцесса в различных кривых распределения имеют корень этого слова подразумевает стричкокуртични, платокуртични и мезокурты ични кривые (рис 10ві (рис. 10).

    . Рис 10. Типы эксцесса: а - стричкокуртичний, б - платокуртичний, в - мезокуртичний

    соответствии с графиком, стричкокуртичнои кривой (а) характерно размещение большинства единиц наблюдений вблизи центра. В случае платокуртичнои кривой (форма силуэта плато) варианты значительно отдалены во от центра распределения (б). - соответственно третий и первый квартиль;

    г р

    . И9 ° и10 - дев яностиы и десятый перцентили

    Таким образом, коэффициент эксцесса определяется отношением половины размаха между двумя квартили к разнице 90-го и 10-го перцентиля (Величины, характеризующие разделение распределения на четыре, десять ь и сто равных частей, называются соответственно квартили, децили и перцентили).

    Согласно распределению предприятий по урожайности зерновых культур (табл. 38), величина коэффициента эксцесса составляет:

    =4 _ 3= 233450:57 _ 3 * сг4 6,34

    Согласно величины рассчитанного показателя эксцесса (. Е =~ 0,52), кривая распределения характеризуется платокуртичною форме со слабовыраженной ексцесивнистю, т.е. форма кривой на графике - плосковершинные

    Асимметрия — Википедия

    Материал из Википедии — свободной энциклопедии

    Асимметри́я[1] (др.-греч. ασυμμετρία «несоразмерность» от μετρέω «измеряю») — отсутствие или нарушение симметрии. Чаще всего термин употребляется в отношении визуальных объектов и в изобразительном искусстве. В художественном творчестве асимметрия может выступать (и очень часто выступает) в качестве одного из основных средств формообразования (или композиции). Одно из близких понятий в искусстве — аритмия. Также термины асимметрия, асимметрический, асимметричный могут означать:

    В живой природе

    В связи с постоянным делением клеток в организме асимметрия в организмах является обычным явлением по крайней мере в одном измерении наравне с биологической симметрией (также см. Межполушарная асимметрия).

    Луи Пастер полагал, что биологические молекулы асимметричны из-за космических [то есть физических] сил, которые осуществляют контроль над их формированием, закладывая свойства (асимметричность), аналогичные своим. Хоть и в его время, и даже сейчас, симметрии в физических процессах придаётся большее значение, так же известны фундаментальные физические асимметрии, начиная с времени.

    Полезность для организмов

    • Преобладающая рука — асимметрия в развитии навыков людей и животных. Тренировка нервных путей во время обучения навыку с одной рукой (лапой) занимает меньше времени, чем та же тренировка с двумя.[2]

    Краб-скрипач, Uca pugnax

    Камбала

    Природа также предоставляет несколько примеров хиральности в чертах, которые обычно симметричны. Ниже приведены примеры животных с явными признаками асимметрии левой и правой стороны тела:[3]

    • У крабов-скрипачей одна клешня большая и одна малая.
    • У нарвалов бивень вырастает из левого резца, который может достигать 10 футов и формируется в спираль.
    • Камбала эволюционировала плавать всегда одной стороной вверх, в результате чего имеет оба глаза с одной стороны.
    • Некоторые виды сов имеют асимметрию в размере и расположении ушей, как полагают, чтобы помочь найти добычу.
    • У многих самцов животных (от насекомых до млекопитающих) гениталии асимметричны. Для чего это было нужно эволюции — в большинстве случаев до сих пор загадка.[4]

    Тип Porifera состоит из губок, состоящих из нескольких видов, демонстрирующих практически полное отсутствие симметрии тела. Вместо этого они развивались для максимального использования водяного потока через свою центральную полость.

    Как индикатор непригодности

    Поскольку врожденные дефекты и повреждения, скорее всего, указывают на плохое состояние здоровья организма, дефекты, приводящие к асимметрии часто ставят животное в невыгодное положение, когда речь заходит о поиске партнера. В частности, степень симметрии лица связана с физической привлекательностью, но полная симметрия невозможна и, вероятно, непривлекательна.

    В физике

    В математике

    В архитектуре

    В архитектурных стилях, предшествовавших современным, акцент, как правило, делался на симметрии, за исключением когда расположение в экстремальных условиях или исторические разработки вынуждают отойти от классических идеалов. В противоположность этому, архитекторы современности стали гораздо свободнее использовать асимметрию как элемент дизайна.

    Пока большинство мостов используют симметричную форму для внутренней простоты проектирования, анализа, изготовления и экономии в использовании материалов, ряд современных мостов намеренно отошёл от этого, либо в ответ на запросы конкретного участка, либо для создания эффектного дизайна.

    Некоторые строения, использующие идею асимметрии

    См. также

    Примечания

    Ссылки


    Симметрия, асимметрия и эксцесс | Реальная статистика с использованием Excel Реальная статистика с использованием Excel

    Мы рассматриваем случайную величину x и набор данных S = { x 1 , x 2 ,…, x n } размера n , который содержит возможные значения размером x . Набор данных может представлять либо изучаемую совокупность, либо выборку, взятую из совокупности.

    Если рассматривать S как представление распределения, асимметрия для S является мерой симметрии, а эксцесс является мерой пиковости данных в S .

    Симметрия и асимметрия

    Определение 1 : Мы используем асимметрию как меру симметрии. Если асимметрия S равна нулю, тогда распределение, представленное S , совершенно симметрично. Если асимметрия отрицательная, то распределение смещено влево, а если асимметрия положительное, то распределение смещено вправо (см. Рисунок 1 ниже в качестве примера).

    Excel вычисляет асимметрию образца S следующим образом:

    , где x - среднее значение, а с - стандартное отклонение S .Чтобы избежать деления на ноль, эта формула требует, чтобы n > 2.

    Наблюдение : Когда распределение является симметричным, среднее значение = медиана, когда распределение положительно смещено, среднее> медианное, а когда распределение отрицательно смещено, среднее значение <медиана.

    Функция Excel : Excel предоставляет функцию SKEW как способ вычисления асимметрии S , т.е. если R - это диапазон в Excel, содержащий элементы данных в S , тогда SKEW (R) = асимметрия S .

    Excel 2013 Функция : существует также популяционная версия асимметрии, заданная формулой

    Эта версия была реализована в Excel 2013 с использованием функции SKEW.P .

    Получается, что для диапазона R, состоящего из данных в S = { x 1 ,…, x n }, SKEW.P (R) = SKEW (R) * ( n - 2) / SQRT ( n ( n– 1)), где n = COUNT (R).

    Функция реальной статистики : Кроме того, вы можете рассчитать асимметрию совокупности с помощью функции SKEWP (R), которая содержится в пакете ресурсов реальной статистики.

    Пример 1 : Предположим, S = {2, 5, -1, 3, 4, 5, 0, 2}. Асимметрия S = -0,43, то есть SKEW (R) = -0,43, где R - это диапазон на листе Excel, содержащий данные в S . Поскольку это значение отрицательное, кривая, представляющая распределение, смещена влево (т.е.е. более толстая часть кривой находится справа). Также SKEW.P (R) = -0,34. См. Рисунок 1.

    Рисунок 1 - Примеры асимметрии и эксцесса

    Наблюдение : SKEW (R) и SKEW.P (R) игнорируют любые пустые ячейки или ячейки с нечисловыми значениями.

    Эксцесс

    Определение 2 : Эксцесс обеспечивает измерение концов (т. Е. Хвостов) распределения данных и, следовательно, указывает на наличие выбросов.

    Excel вычисляет эксцесс образца S следующим образом:

    , где x - среднее значение, а с - стандартное отклонение S . Чтобы избежать деления на ноль, эта формула требует, чтобы n > 3.

    Наблюдение : Обычно считается, что эксцесс дает меру остроконечности (или плоскостности), но это не так. Эксцесс относится к конечностям, а не к центру распределения.

    Функция Excel : Excel предоставляет функцию KURT как способ вычисления эксцесса S , т.е. если R - это диапазон в Excel, содержащий элементы данных в S , тогда KURT (R) = эксцесс S .

    Наблюдение : эксцесс населения рассчитывается по формуле

    , который можно рассчитать в Excel по формуле

    = (КУРТ (R) * ( n -2) * ( n -3) / ( n -1) -6) / ( n +1)

    Функция реальной статистики : Excel не поддерживает функцию эксцесса генерации, но для этой цели можно использовать следующую функцию реальной статистики:

    KURTP (R, превышение ) = эксцесс распределения для популяции в диапазоне R1.Если превышение = ИСТИНА (по умолчанию), то из результата вычитается 3 (обычный подход, при котором нормальное распределение имеет нулевой эксцесс).

    Пример 2 : Предположим, S = {2, 5, -1, 3, 4, 5, 0, 2}. Эксцесс S = -0,94, то есть KURT (R) = -0,94, где R - это диапазон на листе Excel, содержащий данные в S . Экспресс населения -1,114. См. Рисунок 1.

    Наблюдение : KURT (R) игнорирует любые пустые ячейки или ячейки с нечисловыми значениями.

    Графическая иллюстрация

    Теперь мы рассмотрим пример этих концепций с использованием распределения хи-квадрат.

    Рисунок 2 - Пример асимметрии и эксцесса

    На рис. 2 представлены графики двух распределений хи-квадрат (с разными степенями свободы df ). Мы изучаем распределение хи-квадрат в другом месте, а пока отметим следующие значения эксцесса и асимметрии:

    Рисунок 3 - Сравнение асимметрии и эксцесса

    Обе кривые асимметричны и смещены вправо (т.е.е. жирная часть кривой находится слева). Это согласуется с тем фактом, что асимметрия для обоих положительная. Но синяя кривая больше наклонена вправо, что согласуется с тем фактом, что наклон синей кривой больше.

    Среднее значение, режим и калькулятор медианы

    калькулятор показателей центральной тенденции - онлайн-инструмент для анализа вероятностных и статистических данных, позволяющий найти среднее, медианное значение и режим для данной выборки или совокупности данных.Мода, медиана и среднее значение называются вместе мерами центральной тенденции. Меры центральной тенденции - это меры положения в распределении. Они суммируют в одном значении ту оценку, которая лучше всего описывает центральность данных

    Среднее значение набора данных иллюстрирует среднее значение. Чтобы найти среднее значение, сложите все числа в наборе данных, а затем разделите на общее количество экземпляров в данном наборе данных. На среднее значение будет значительно влиять, если одно из чисел в наборе данных является выбросом.Среднее значение является хорошей мерой центральной тенденции к использованию, когда в наборе данных нет выбросов, на которое часто ссылаются с оценкой стандартного отклонения .

    Медиана набора данных показывает среднее значение, когда набор упорядочен по возрастанию или убыванию. Медиана - это среднее значение двух средних значений, если набор данных содержит четное количество значений. Медиана является хорошей мерой центральной тенденции к использованию, когда набор данных имеет выброс.

    Режим набора данных показывает, какое значение встречается очень часто.Другими словами, максимальное повторение одного и того же числа в наборе данных считается режимом для набора данных. В наборе данных нет режима, когда каждое число в наборе данных встречается в одно и то же время

    Набор инструментов включает изучение методов и процедур, используемых для сбора, систематизации и анализа данных, чтобы понять теорию вероятности и статистика. Набор идей, которые призваны предложить способ научного вывода из таких итоговых обобщенных данных.В статистическом анализе данных для многих приложений необходимо вычислить меру центральной тенденции для набора данных. С помощью этого онлайн-калькулятора среднего, медианного и модового значений вы можете легко рассчитать любой набор наблюдений.

    Среднее, мода и медиана - Меры центральной тенденции - Когда использовать с различными типами переменных и асимметричных распределений

    Введение

    Мера центральной тенденции - это одно значение, которое пытается описать набор данных, определяя центральное положение в этом наборе данных.Таким образом, меры центральной тенденции иногда называют мерами центрального расположения. Они также относятся к категории сводной статистики. Среднее (часто называемое средним), скорее всего, является мерой центральной тенденции, с которой вы наиболее знакомы, но есть и другие, такие как медиана и мода.

    Среднее значение, медиана и мода - все это действительные меры центральной тенденции, но в разных условиях некоторые меры центральной тенденции становятся более подходящими для использования, чем другие. В следующих разделах мы рассмотрим среднее значение, режим и медиану, а также узнаем, как их вычислить и при каких условиях они наиболее подходят для использования.

    Среднее (арифметическое)

    Среднее (или среднее) является наиболее популярным и хорошо известным показателем центральной тенденции. Его можно использовать как с дискретными, так и с непрерывными данными, хотя чаще всего он используется с непрерывными данными (типы данных см. В нашем руководстве по типам переменных). Среднее значение равно сумме всех значений в наборе данных, деленной на количество значений в наборе данных. Итак, если у нас есть \ (n \) значения в наборе данных, и они имеют значения \ (x_1, x_2, \)… \ (, x_n \), выборочное среднее, обычно обозначаемое \ (\ overline {x} \ ) (произносится как «х бар»), это:

    $$ \ overline {x} = {{x_1 + x_2 + \ dots + x_n} \ over {n}} $$

    Эта формула обычно записывается слегка по-разному, используя греческую заглавную букву \ (\ сумма \), произносимую «сигма», что означает «сумма... ":

    $$ \ overline {x} = {{\ sum {x}} \ over {n}} $$

    Возможно, вы заметили, что приведенная выше формула относится к среднему значению выборки. Итак, почему мы назвали его выборочным средним? Это связано с тем, что в статистике выборки и совокупности имеют очень разные значения, и эти различия очень важны, даже если в случае среднего они рассчитываются одинаково. Признать, что мы вычисляют среднее значение генеральной совокупности, а не выборочное среднее, мы используем строчную греческую букву «му», обозначаемую как \ (\ mu \):

    $$ \ mu = {{\ sum {x}} \ over {n }} $$

    Среднее значение - это, по сути, модель вашего набора данных.Это наиболее распространенное значение. Однако вы заметите, что среднее значение не всегда является одним из фактических значений, которые вы наблюдали в своем наборе данных. Однако одним из его важных свойств является то, что он сводит к минимуму ошибку в предсказании любого значения в вашем наборе данных. То есть это значение, которое вызывает наименьшее количество ошибок среди всех других значений в наборе данных.

    Важным свойством среднего является то, что оно включает каждое значение в вашем наборе данных как часть расчета.Кроме того, среднее значение является единственной мерой центральной тенденции, при которой сумма отклонений каждого значения от среднего всегда равна нулю.

    Когда не использовать среднее значение

    Среднее значение имеет один главный недостаток: оно особенно подвержено влиянию выбросов. Это значения, которые необычны по сравнению с остальной частью набора данных, будучи особенно маленькими или большими по числовому значению. Например, рассмотрим заработную плату персонала на заводе ниже:

    10
    Персонал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Заработная плата 15k 18k 16k 14k 15k 15k 12k 17k 90k 95k

    Средняя зарплата для этих десяти сотрудников7к. Однако проверка необработанных данных показывает, что это среднее значение может быть не лучшим способом точно отразить типичную зарплату рабочего, поскольку у большинства рабочих зарплата составляет от 12 до 18 тысяч долларов. Среднее значение искажается двумя большими зарплатами. Поэтому в этой ситуации мы хотели бы лучше измерить центральную тенденцию. Как мы узнаем позже, взятие медианы было бы лучшей мерой центральной тенденции в этой ситуации.

    Другой случай, когда мы обычно предпочитаем медиану среднему (или режиму), - это когда наши данные искажены (т.е.е., частотное распределение для наших данных искажено). Если мы рассмотрим нормальное распределение - так как это наиболее часто оценивается в статистике - когда данные совершенно нормальные, среднее значение, медиана и мода идентичны. Более того, все они представляют собой наиболее типичное значение в наборе данных. Однако по мере того, как данные становятся искаженными, среднее значение теряет способность обеспечивать наилучшее центральное расположение данных, поскольку искаженные данные уводят его от типичного значения. Однако медиана лучше всего сохраняет это положение, и на нее не так сильно влияют искаженные значения.Это объясняется более подробно в разделе «Перекошенное распределение» далее в этом руководстве.

    Медиана

    Медиана - это средний балл для набора данных, упорядоченных по порядку величины. На медианное значение меньше влияют выбросы и искаженные данные. Для вычисления медианы предположим, что у нас есть данные ниже:

    Нам сначала нужно переставить эти данные по порядку величины (сначала наименьшие):

    Наша средняя отметка - средняя отметка - в данном случае 56 (выделено на смелый).Это средний балл, потому что до него 5 баллов и 5 баллов после него. Это отлично работает, когда у вас нечетное количество баллов, но что происходит, когда у вас четное количество баллов? Что, если бы у вас было всего 10 очков? Что ж, вам просто нужно взять два средних значения и усреднить результат. Итак, если мы посмотрим на пример ниже:

    Мы снова переставим эти данные по порядку величины (сначала наименьшие):

    Только теперь нам нужно взять 5-й и 6-й баллы в нашем наборе данных и усреднить их, чтобы получить медианное значение. из 55.5.

    Mode

    Этот режим является наиболее частой оценкой в ​​нашем наборе данных. На гистограмме он представляет собой самый высокий столбец на столбчатой ​​диаграмме или гистограмме. Поэтому иногда вы можете рассматривать этот режим как самый популярный вариант. Пример режима представлен ниже:

    Обычно режим используется для категориальных данных, где мы хотим знать, какая категория является наиболее распространенной, как показано ниже:

    Мы видим выше, что наиболее распространенные транспортным средством в этом конкретном наборе данных является автобус.Однако одна из проблем с режимом заключается в том, что он не уникален, поэтому он оставляет нас с проблемами, когда у нас есть два или более значений, которые имеют самую высокую частоту, например, ниже:

    Мы теперь застряли в том, какое Режим лучше всего описывает центральную тенденцию данных. Это особенно проблематично, когда у нас есть непрерывные данные, потому что у нас, скорее всего, не будет ни одного значения, которое встречается чаще, чем другое. Например, измерьте вес 30 человек (с точностью до 0.1 кг). Насколько велика вероятность того, что мы найдем двух или более человек с точно одинакового веса (например, 67,4 кг)? Ответ, вероятно, очень маловероятен - многие люди могут быть близки, но с такой небольшой выборкой (30 человек) и большим диапазоном возможных весов вы вряд ли найдете двух людей с точно таким же весом; то есть с точностью до 0,1 кг. Вот почему режим очень редко используется с непрерывными данными.

    Другая проблема режима заключается в том, что он не дает нам очень точного измерения центральной тенденции, когда наиболее распространенная метка находится далеко от остальных данных в наборе данных, как показано на диаграмме ниже:

    На приведенной выше диаграмме режим имеет значение 2.Однако мы ясно видим, что режим не является репрезентативным для данных, которые в основном сосредоточены в диапазоне значений от 20 до 30. Было бы неверно использовать этот режим для описания основной тенденции этого набора данных.

    Асимметрия распределения, среднее и медиана

    Мы часто проверяем, нормально ли распределены наши данные, потому что это общее предположение, лежащее в основе многих статистических тестов. Пример нормально распределенного набора данных представлен ниже:

    Когда у вас есть нормально распределенная выборка, вы можете законно использовать как среднее, так и медианное значение в качестве меры центральной тенденции.Фактически, в любом симметричном распределении среднее значение, медиана и мода равны. Однако в этой ситуации среднее значение широко предпочтительнее как лучший показатель центральной тенденции, потому что это показатель, который включает все значения в наборе данных для его расчета, и любое изменение любого из баллов повлияет на значение значить. Это не относится к медиане или моде.

    Однако, когда наши данные перекошены, например, как в приведенном ниже наборе данных со смещением вправо:

    Мы обнаруживаем, что среднее значение перетаскивается в прямом направлении от перекоса.В этих ситуациях медиана обычно считается наилучшим представителем центрального расположения данных. Чем больше искажено распределение, тем больше разница между медианной и средним и тем больший акцент следует делать на использовании медианы, а не среднего. Классическим примером приведенного выше распределения со смещением вправо является доход (зарплата), когда более высокие заработки дают ложное представление о типичном доходе, если выражаются как среднее, а не медианное значение.

    Если вы имеете дело с нормальным распределением, и тесты на нормальность показывают, что данные ненормальные, обычно вместо среднего используется медиана.Однако это скорее практическое правило, чем строгое правило. Иногда исследователи хотят сообщить среднее значение асимметричного распределения, если медиана и среднее значение существенно не различаются (субъективная оценка), и если это позволяет провести более легкое сравнение с предыдущими исследованиями.

    Сводная информация о том, когда использовать среднее значение, медиану и моду

    Воспользуйтесь следующей сводной таблицей, чтобы узнать, как лучше всего измерить центральную тенденцию по отношению к различным типам переменных.

    Медианный
    Тип переменной Наилучший показатель центральной тенденции
    Номинальный Режим
    Порядковый
    Средний угол 9010 Смещение 9010 Среднее значение 9010
    Интервал / отношение (с перекосом) Медиана

    Для ответов на часто задаваемые вопросы о показателях центральной тенденции перейдите на следующую страницу.

    Главная О нас Связаться с нами Положения и условия Цены и файлы cookie © Lund Research Ltd, 2018

    Принцип асимметрии ерунды «Статистическое моделирование, причинно-следственный вывод и социальные науки

    Джордан Анайя пишет: «Мы много говорим об этой концепции, я не понимал, что у нее есть название». Из записи в Википедии:

    Впервые публично сформулированный в январе 2013 года итальянским программистом Альберто Брандолини, принцип асимметрии чуши (также известный как закон Брандолини) гласит:

    Количество энергии, необходимое для опровержения чуши чуши, на порядок больше, чем для ее производства.

    Он стал особенно популярным после того, как фотография презентации Брандолини на XP2014 30 мая 2014 года была размещена в Twitter. Брандолини был вдохновлен чтением книги Даниэля Канемана «Мыслить, быстро и медленно» прямо перед просмотром итальянского политического ток-шоу, в котором журналист Марко Траваглио и бывший премьер-министр Сильвио Берлускони нападают друг на друга. Похожее понятие, «гора дерьмовой теории», было сформулировано итальянским блогером Уриэлем Фанелли в 2010 году, примерно так же.

    Закон Брандолини подчеркивает сложность опровержения чуши. Напротив, более быстрое распространение чуши - это старая пословица: «Ложь облетит полмира, прежде чем правда станет на место».

    Тогда возникают два вопроса:

    1. Верен ли этот принцип? Или, более конкретно, когда это правда, а когда нет?

    2. Если принцип верен, откуда он берется? Я могу придумать пару теорий:

    а.Асимметрия в стандартах доказательств: гораздо легче предположить, что что-то может быть правдой, чем окончательно продемонстрировать, что это , а не . Например, рассмотрим «холодный синтез»: единственный эксперимент с аномальными результатами привлек много внимания, но потребовалось много усилий, чтобы выяснить, что пошло не так.

    г. Этическая асимметрия: люди, которые лгут, с большей вероятностью будут людьми, которые искажают доказательства, избегают исправления своих ошибок и запугивают инакомыслящих, поэтому в какой-то момент люди, которые могут сбить чушь , могут решить, что это не стоит Беда: зачем бороться с чушью, если эти чуши собираются развернуться и лично атаковать вас? С этой точки зрения, как только ерунда становится «слишком большой, чтобы потерпеть неудачу», она может оставаться навсегда.

    П.С. В комментариях Кайзер пишет:

    Я должен высказаться за другую сторону. Закон Брандолини ложен.

    Контрпример: математикам требуется очень мало времени, чтобы опровергнуть «заведомо неправильные» заявленные доказательства любого количества нерешенных проблем.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *