Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания[⇨], умножения[⇨] и деления[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше[⇨]. Удобно представлять комплексные числа a+bi{\displaystyle a+bi} точками на комплексной плоскости[⇨]; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси
Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики, как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение i{\displaystyle i} для мнимой единицы, Декарт, Гаусс[⇨]. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году[1].
Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других [4][⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.
Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы[⇨].
Связанные определенияПравить
Всякое комплексное число z=a+bi{\displaystyle z=a+bi} состоит из двух компонентов[5]:
Противоположным для комплексного числа z=a+bi{\displaystyle z=a+bi} является число −z=−a−bi.{\displaystyle -z=-a-bi.} Например, для числа 1−2i{\displaystyle 1-2i} противоположным будет число −1+2i.{\displaystyle -1+2i.}
Четыре арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. В отличие от последних, комплексные числа нельзя сравнивать на
- a+bi=c+di{\displaystyle a+bi=c+di} означает, что a=c{\displaystyle a=c} и b=d{\displaystyle b=d} (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).
Сложение и вычитаниеПравить
Определение сложения и вычитания комплексных чисел[5]:
- (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,{\displaystyle \left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i,}
- (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i.{\displaystyle \left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i.}
Следующая таблица[5] показывает основные свойства сложения для любых комплексных u,v,w.{\displaystyle u,v,w.}
УмножениеПравить
Определим произведение[5] комплексных чисел a+bi{\displaystyle a+bi} и c+di{\displaystyle c+di} :
- (a+bi)⋅(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac+bdi2)+(bc+ad)i=(ac−bd)+(bc+ad)i{\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i} .{2}=-1.} Множество комплексных чисел обычно обозначается символом C.{\displaystyle \mathbb {C} .} Вещественные числа можно рассматривать как частный случай комплексных, они имеют вид a+0i{\displaystyle a+0i}. Главное свойство C{\displaystyle \mathbb {C} } — в нём выполняется основная теорема алгебры, то есть любой многочлен n{\displaystyle n}-й степени (n⩾1{\displaystyle n\geqslant 1}) имеет n{\displaystyle n} корней. Доказано[⇨], что система комплексных чисел логически непротиворечива[K 2]. Иерархия чисел
Так же как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания[⇨], умножения[⇨] и деления[⇨]. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, нельзя указать, какое из двух комплексных чисел больше или меньше[⇨]. Удобно представлять комплексные числа a+bi{\displaystyle a+bi} точками на комплексной плоскости[⇨]; например, для изображения сопряжённых чисел используется операция отражения относительно горизонтальной оси[⇨]. Альтернативное представление комплексного числа в тригонометрической записи оказалось полезным для вычисления степеней и корней[⇨]. Функции комплексного аргумента изучаются в комплексном анализе[⇨].
Первоначально идея о необходимости использования комплексных чисел возникла в результате формального решения кубических уравнений, при котором в формуле Кардано под знаком квадратного корня получалось отрицательное число[3]. Большой вклад в исследование комплексных чисел внесли такие математики, как Эйлер, который ввёл общепризнанное обозначение i{\displaystyle i} для мнимой единицы, Декарт, Гаусс[⇨]. Сам термин «комплексное число» ввёл в науку Гаусс в 1831 году[1].
Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других[4][⇨]. Преобразования комплексной плоскости оказались полезны в картографии и гидродинамике. Современная физика полагается на описание мира с помощью квантовой механики, которая опирается на систему комплексных чисел.
Известно также несколько обобщений комплексных чисел — например, кватернионы[⇨].
Связанные определенияПравить
Всякое комплексное число z=a+bi{\displaystyle z=a+bi} состоит из двух компонентов[5]:
Противоположным для комплексного числа z=a+bi{\displaystyle z=a+bi} является число −z=−a−bi.{\displaystyle -z=-a-bi.} Например, для числа 1−2i{\displaystyle 1-2i} противоположным будет число −1+2i.{\displaystyle -1+2i.}
Четыре арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. В отличие от последних, комплексные числа нельзя сравнивать на больше/меньше; доказано, что нет способа распространить порядок, заданный для вещественных чисел, на все комплексные так, чтобы порядок был согласован с арифметическими операциями (например, чтобы из a<b{\displaystyle a<b} вытекало a+c<b+c{\displaystyle a+c<b+c} ). Однако комплексные числа можно сравнивать на равно/не равно)[5]:
- a+bi=c+di{\displaystyle a+bi=c+di} означает, что a=c{\displaystyle a=c} и b=d{\displaystyle b=d} (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части).
Сложение и вычитаниеПравить
Определение сложения и вычитания комплексных чисел[5]:
- (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,{\displaystyle \left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i,}
- (a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i.{\displaystyle \left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i.}
Следующая таблица[5] показывает основные свойства сложения для любых комплексных u,v,w.{\displaystyle u,v,w.}
УмножениеПравить
Определим произведение[5] комплексных чисел a+bi{\displaystyle a+bi} и c+di{\displaystyle c+di} :
- (a+bi)⋅(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac+bdi2)+(bc+ad)i=(ac−bd)+(bc+ad)i{\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac+bdi^{2})+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i} .{5}=i} и т. д.
ДелениеПравить
Комплексное число z¯=x−iy{\displaystyle {\bar
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра
Алгебраическая форма записи комплексных чисел
Пусть x и y — произвольные вещественные числа.
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).
Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.
Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.
Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y), записывается в виде
где использован символ i , называемый мнимой единицей.
Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z.
Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z.
Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами.
Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Сложение и вычитание комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов) x1 + i y1 и x2 + i y2 , т.е. в соответствии с формулами
z1 + z2 =
= x1 + i y1 + x2 + i y2 =
= x1 + x2 + i (y1 + y2) ,z1 – z2 =
= x1 + i y1– (x2 + i y2) =
= x1– x2 + i (y1– y2) .Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:
По этой причине
z1z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) =
= x1x2 + i x1 y2 +
+ i y1x2 + i 2y1 y2 =
= x1x2 + i x1y2 +
+ i y1x2 – y1 y2 =
= x1x2 – y1 y2 +
+ i (x1 y2 + i x2 y1) .Комплексно сопряженные числа
Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.
Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:
Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
Замечание. Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.
Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).
Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Аргумент комплексного числа
Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z.
Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z.
Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:
Тогда оказывается справедливым равенство:
Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам
(3) Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле
(4) а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
Расположение числа z :
Положительная вещественная полуось
Знаки x и y :
x > 0 , y = 0
Главное значение аргумента:
0
Аргумент:
φ = 2kπ
Примеры:
Расположение числа z :
Первый квадрант
Знаки x и y :
x > 0 , y > 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Расположение числа z :
Положительная мнимая полуось
Знаки x и y :
x = 0 , y > 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Расположение числа z :
Второй квадрант
Знаки x и y :
x < 0 , y > 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Расположение числа z :
Отрицательная вещественная полуось
Знаки x и y :
x < 0 , y = 0
Главное значение аргумента:
π
Аргумент:
φ = π + 2kπ
Примеры:
Расположение числа z :
Третий квадрант
Знаки x и y :
x < 0 , y < 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Расположение числа z :
Отрицательная мнимая полуось
Знаки x и y :
x = 0 , y < 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Расположение числа z :
Четвёртый квадрант
Знаки x и y :
x < 0 , y < 0
Главное значение аргумента:
Аргумент:
Примеры:
Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
z = r (cos φ + i sin φ) , (5) где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.
Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа
В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:
cos φ + i sin φ = e iφ . (6) Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.
Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:
а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа
cos φ + i sin φ,
или, что то же самое, числа e iφ, при любом значении φ равен 1.
Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме
Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.
Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Корнем n — ой степени из числа z0 , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения
Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде
и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства
следствием которых являются равенства
(9) Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней
(10) где
причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , … , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Замечание. В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:
z2 = – z1 .
Пример 1. Найти все корни уравнения
z3 = – 8i .
Решение. Поскольку
то по формуле (10) получаем:
Следовательно,
Пример 2. Решить уравнение
z2 + 2z + 2 = 0 .
Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:
Так как
то решения уравнения имеют вид
z1 = – 1 + i , z2 = – 1 – i .
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Глава 3
%PDF-1.6 % 1 0 obj >/Metadata 5898 0 R/Outlines 6516 0 R/OutputIntents[>]/Pages 2 0 R/StructTreeRoot 1559 0 R/Type/Catalog>> endobj 7865 0 obj >/Font>>>/Fields[]>> endobj 5898 0 obj >stream application/pdf
- Глава 3
- Кормина Ольга Григорьевна
2014-06-10T13:15:23+06:00Microsoft® Word 20102015-01-14T15:21:49+06:002015-01-14T15:21:49+06:00Microsoft® Word 2010uuid:205f1499-a348-44cd-a084-f259956de9a5uuid:ca4f1f2c-3893-439c-a462-11522b1fa1c2default1- converteduuid:7d10fc0c-88f3-4a85-9358-413415ca2ab5converted to PDF/A-1aPreflight2015-01-14T15:21:48+06:00
1A- http://ns.adobe.com/pdf/1.3/pdfAdobe PDF Schema
- internalA name object indicating whether the document has been modified to include trapping informationTrappedText
- http://ns.adobe.com/xap/1.0/mm/xmpMMXMP Media Management Schema
- internalUUID based identifier for specific incarnation of a documentInstanceIDURI
- internalThe common identifier for all versions and renditions of a document.OriginalDocumentIDURI
- http://www.aiim.org/pdfa/ns/id/pdfaidPDF/A ID Schema
- internalPart of PDF/A standardpartInteger
- internalAmendment of PDF/A standardamdText
- internalConformance level of PDF/A standardconformanceText
endstream endobj 6516 0 obj > endobj 2 0 obj > endobj 1559 0 obj > endobj 1561 0 obj > endobj 1560 0 obj > endobj 1740 0 obj [1739 0 R 1742 0 R 1741 0 R 1743 0 R 1744 0 R 1746 0 R 1748 0 R 1747 0 R 1749 0 R 1752 0 R 1751 0 R 1753 0 R 1754 0 R 1757 0 R 1756 0 R 1759 0 R 1763 0 R 1760 0 R 1764 0 R 1761 0 R 1765 0 R 1762 0 R 1767 0 R 1769 0 R 1768 0 R 1772 0 R 1771 0 R 1774 0 R 1777 0 R 1775 0 R 1778 0 R 1776 0 R 1781 0 R 1780 0 R] endobj 1784 0 obj [1783 0 R 1788 0 R 1785 0 R 1789 0 R 1786 0 R 1790 0 R 1787 0 R 1792 0 R 1796 0 R 1793 0 R 1797 0 R 1794 0 R 1798 0 R 1795 0 R 1800 0 R 1802 0 R 1801 0 R 1803 0 R 1806 0 R 1805 0 R 1808 0 R 1810 0 R 1809 0 R 1813 0 R 1812 0 R 1815 0 R 1818 0 R 1816 0 R 1819 0 R 1817 0 R 1820 0 R 1822 0 R 1825 0 R 1823 0 R 1826 0 R 1824 0 R 1829 0 R 1828 0 R 1831 0 R 1833 0 R 1832 0 R 1836 0 R 1835 0 R 1838 0 R 1840 0 R 1839 0 R 1842 0 R 1846 0 R 1843 0 R 1847 0 R 1844 0 R 1848 0 R 1845 0 R] endobj 1850 0 obj [1849 0 R 1853 0 R 1852 0 R 1854 0 R 1860 0 R 1856 0 R 1861 0 R 1857 0 R 1862 0 R 1858 0 R 1863 0 R 1859 0 R 1865 0 R 1867 0 R 1866 0 R 1868 0 R 1871 0 R 1870 0 R 1873 0 R 1876 0 R 1874 0 R 1877 0 R 1875 0 R 1879 0 R 1882 0 R 1881 0 R 1885 0 R 1884 0 R 1888 0 R 1887 0 R 1889 0 R 1892 0 R 1891 0 R 1878 0 R] endobj 2271 0 obj [2272 0 R 2270 0 R 2274 0 R 2276 0 R 2275 0 R 2278 0 R 2280 0 R 2279 0 R 2283 0 R 2282 0 R 2284 0 R 2287 0 R 2286 0 R 2289 0 R 2292 0 R 2290 0 R 2293 0 R 2291 0 R 2295 0 R 2297 0 R 2296 0 R 2298 0 R 2300 0 R 2303 0 R 2301 0 R 2304 0 R 2302 0 R 2308 0 R 2306 0 R 2307 0 R 2310 0 R 2312 0 R 2311 0 R 2316 0 R 2314 0 R 2315 0 R 2318 0 R 2322 0 R 2319 0 R 2323 0 R 2320 0 R 2324 0 R 2321 0 R 2326 0 R 2328 0 R 2329 0 R 2327 0 R 2332 0 R 2331 0 R 2334 0 R 2336 0 R 2335 0 R] endobj 2339 0 obj [2338 0 R 2341 0 R 2340 0 R 2344 0 R 2343 0 R 2346 0 R 2348 0 R 2347 0 R 2351 0 R 2350 0 R 2353 0 R 2355 0 R 2354 0 R 2357 0 R 2359 0 R 2358 0 R 2361 0 R 2372 0 R 2362 0 R 2373 0 R 2363 0 R 2374 0 R 2364 0 R 2375 0 R 2365 0 R 2376 0 R 2366 0 R 2377 0 R 2367 0 R 2378 0 R 2368 0 R 2379 0 R 2369 0 R 2380 0 R 2370 0 R 2381 0 R 2371 0 R 2384 0 R 2383 0 R 2387 0 R 2386 0 R 2388 0 R 2391 0 R 2390 0 R 2392 0 R 2393 0 R 2399 0 R 2395 0 R 2400 0 R 2396 0 R 2401 0 R 2397 0 R 2402 0 R 2398 0 R 2408 0 R 2404 0 R 2409 0 R 2405 0 R 2410 0 R 2406 0 R 2411 0 R 2407 0 R 2417 0 R 2413 0 R 2418 0 R 2414 0 R 2419 0 R 2415 0 R 2420 0 R 2416 0 R 2426 0 R 2422 0 R 2427 0 R 2423 0 R 2428 0 R 2424 0 R 2429 0 R 2425 0 R 2431 0 R 2433 0 R 2432 0 R 2435 0 R 2437 0 R 2436 0 R 2440 0 R 2439 0 R] endobj 2443 0 obj [2442 0 R 2445 0 R 2444 0 R 2448 0 R 2447 0 R 2449 0 R 2452 0 R 2451 0 R 2453 0 R 2456 0 R 2455 0 R 2458 0 R 2460 0 R 2459 0 R 2463 0 R 2462 0 R 2465 0 R 2466 0 R 2467 0 R 2468 0 R 2469 0 R 2470 0 R 2471 0 R 2472 0 R 2477 0 R 2474 0 R 2475 0 R 2476 0 R 2478 0 R 2481 0 R 2480 0 R 2482 0 R 2488 0 R 2487 0 R 2491 0 R 2490 0 R 2492 0 R] endobj 2495 0 obj [2494 0 R 2497 0 R 2496 0 R 2499 0 R 2501 0 R 2500 0 R 2506 0 R 2503 0 R 2504 0 R 2505 0 R 2508 0 R 2511 0 R 2509 0 R 2513 0 R 2510 0 R 2514 0 R 2516 0 R 2518 0 R 2517 0 R 2521 0 R 2520 0 R 2523 0 R 2525 0 R 2524 0 R 2528 0 R 2527 0 R 2530 0 R 2533 0 R 2531 0 R 2534 0 R 2532 0 R 2537 0 R 2536 0 R 2539 0 R 2542 0 R 2540 0 R 2543 0 R 2541 0 R 2545 0 R 2548 0 R 2546 0 R 2549 0 R 2547 0 R 2550 0 R 2552 0 R 2555 0 R 2553 0 R 2556 0 R 2554 0 R 2557 0 R] endobj 2559 0 obj [2558 0 R 2561 0 R 2565 0 R 2562 0 R 2566 0 R 2563 0 R 2567 0 R 2564 0 R 2574 0 R 2569 0 R 2570 0 R 2571 0 R 2572 0 R 2573 0 R 2576 0 R 2584 0 R 2577 0 R 2585 0 R 2578 0 R 2586 0 R 2579 0 R 2587 0 R 2580 0 R 2588 0 R 2582 0 R 2589 0 R 2583 0 R 2591 0 R 2594 0 R 2592 0 R 2595 0 R 2593 0 R 2597 0 R 2600 0 R 2598 0 R 2601 0 R 2599 0 R 2604 0 R 2603 0 R 2606 0 R 2609 0 R 2607 0 R 2610 0 R 2608 0 R 2613 0 R 2612 0 R 2615 0 R 2618 0 R 2616 0 R 2619 0 R 2617 0 R 2621 0 R 2624 0 R 2622 0 R 2625 0 R 2623 0 R 2627 0 R 2629 0 R 2628 0 R 2632 0 R 2631 0 R 2634 0 R 2638 0 R 2635 0 R 2636 0 R 2640 0 R 2637 0 R 2643 0 R 2642 0 R] endobj 2646 0 obj [2645 0 R 2649 0 R 2647 0 R 2650 0 R 2648 0 R 2653 0 R 2652 0 R 2655 0 R 2659 0 R 2656 0 R 2660 0 R 2657 0 R 2661 0 R 2662 0 R 2658 0 R 2665 0 R 2664 0 R 2667 0 R 2673 0 R 2668 0 R 2674 0 R 2669 0 R 2675 0 R 2670 0 R 2676 0 R 2671 0 R 2677 0 R 2672 0 R 2680 0 R 2679 0 R 2682 0 R 2684 0 R 2683 0 R 2686 0 R 2687 0 R 2688 0 R 2689 0 R 2691 0 R 2696 0 R 2692 0 R 2697 0 R 2693 0 R 2698 0 R 2694 0 R 2699 0 R 2695 0 R 2704 0 R 2701 0 R 2702 0 R 2703 0 R 2706 0 R 2710 0 R 2707 0 R 2711 0 R 2708 0 R 2712 0 R 2709 0 R 2714 0 R 2717 0 R 2715 0 R 2718 0 R 2716 0 R 2723 0 R 2720 0 R 2721 0 R 2722 0 R 2725 0 R 2727 0 R 2726 0 R 2730 0 R 2729 0 R 2732 0 R 2736 0 R 2733 0 R 2737 0 R 2734 0 R 2738 0 R 2735 0 R 2740 0 R 2746 0 R 2741 0 R 2747 0 R 2742 0 R 2748 0 R 2743 0 R 2749 0 R 2744 0 R 2750 0 R 2745 0 R 2753 0 R 2752 0 R] endobj 2992 0 obj [2991 0 R 2997 0 R 2993 0 R 2998 0 R 2994 0 R 2999 0 R 2995 0 R 3000 0 R 2996 0 R 3003 0 R 3002 0 R 3005 0 R 3007 0 R 3006 0 R 3009 0 R 3011 0 R 3010 0 R 3014 0 R 3013 0 R 3016 0 R 3018 0 R 3025 0 R 3019 0 R 3026 0 R 3020 0 R 3027 0 R 3021 0 R 3028 0 R 3022 0 R 3029 0 R 3023 0 R 3030 0 R 3024 0 R 3035 0 R 3034 0 R 3037 0 R 3045 0 R 3038 0 R 3046 0 R 3039 0 R 3047 0 R 3040 0 R 3048 0 R 3041 0 R 3049 0 R 3042 0 R 3050 0 R 3043 0 R 3051 0 R 3044 0 R 3015 0 R 3032 0 R] endobj 3121 0 obj [3120 0 R 3124 0 R 3122 0 R 3125 0 R 3123 0 R 3128 0 R 3127 0 R 3130 0 R 3133 0 R 3131 0 R 3134 0 R 3132 0 R 3136 0 R 3143 0 R 3137 0 R 3144 0 R 3138 0 R 3145 0 R 3139 0 R 3146 0 R 3140 0 R 3147 0 R 3141 0 R 3148 0 R 3142 0 R 3150 0 R 3152 0 R 3151 0 R 3154 0 R 3158 0 R 3155 0 R 3159 0 R 3156 0 R 3160 0 R 3157 0 R 3162 0 R 3165 0 R 3163 0 R 3166 0 R 3164 0 R 3167 0 R 3180 0 R 3180 0 R 3181 0 R 3181 0 R 3182 0 R 3182 0 R 3183 0 R 3183 0 R 3185 0 R 3187 0 R 3186 0 R 3189 0 R 3191 0 R 3190 0 R 3171 0 R 3171 0 R 3171 0 R 3173 0 R 3174 0 R 3177 0 R 3175 0 R 3178 0 R 3176 0 R 3179 0 R] endobj 3194 0 obj [3193 0 R 3197 0 R 3195 0 R 3196 0 R 3200 0 R 3202 0 R 3201 0 R 3203 0 R 3206 0 R 3205 0 R 3208 0 R 3212 0 R 3209 0 R 3213 0 R 3210 0 R 3214 0 R 3211 0 R 3215 0 R 3216 0 R 3219 0 R 3218 0 R 3221 0 R 3223 0 R 3222 0 R 3224 0 R 3226 0 R 3228 0 R 3227 0 R 3229 0 R 3230 0 R] endobj 3400 0 obj [3439 0 R 3442 0 R 3443 0 R 3440 0 R 3445 0 R 3441 0 R 3449 0 R 3448 0 R 3450 0 R 3450 0 R 3450 0 R 3401 0 R 3399 0 R 3403 0 R 3406 0 R 3404 0 R 3407 0 R 3405 0 R 3409 0 R 3415 0 R 3410 0 R 3416 0 R 3411 0 R 3417 0 R 3412 0 R 3418 0 R 3413 0 R 3419 0 R 3414 0 R 3422 0 R 3421 0 R 3424 0 R 3429 0 R 3425 0 R 3430 0 R 3426 0 R 3431 0 R 3427 0 R 3432 0 R 3428 0 R 3437 0 R 3436 0 R 3452 0 R 3463 0 R 3453 0 R 3464 0 R 3454 0 R 3465 0 R 3455 0 R 3466 0 R 3456 0 R 3467 0 R 3457 0 R 3468 0 R 3469 0 R 3470 0 R 3458 0 R 3459 0 R 3460 0 R 3471 0 R 3461 0 R 3472 0 R 3462 0 R 3474 0 R 3480 0 R 3475 0 R 3481 0 R 3476 0 R 3482 0 R 3477 0 R 3483 0 R 3478 0 R 3484 0 R 3479 0 R 3487 0 R 3486 0 R 3434 0 R 3434 0 R 3434 0 R 3434 0 R] endobj 3576 0 obj [3600 0 R 3602 0 R 3603 0 R 3601 0 R 3606 0 R 3605 0 R 3609 0 R 3608 0 R 3610 0 R 3610 0 R 3610 0 R 3610 0 R 3585 0 R 3584 0 R 3577 0 R 3578 0 R 3575 0 R 3581 0 R 3580 0 R 3587 0 R 3593 0 R 3588 0 R 3594 0 R 3589 0 R 3595 0 R 3590 0 R 3597 0 R 3591 0 R 3598 0 R 3592 0 R 3613 0 R 3612 0 R 3615 0 R 3621 0 R 3616 0 R 3617 0 R 3623 0 R 3618 0 R 3624 0 R 3619 0 R 3625 0 R 3620 0 R 3628 0 R 3629 0 R 3627 0 R 3632 0 R 3631 0 R 3633 0 R 3635 0 R 3638 0 R 3636 0 R 3639 0 R 3637 0 R 3641 0 R 3644 0 R 3642 0 R 3645 0 R 3643 0 R] endobj 3648 0 obj [3647 0 R 3651 0 R 3649 0 R 3652 0 R 3650 0 R 3653 0 R 3655 0 R 3657 0 R 3656 0 R 3659 0 R 3662 0 R 3660 0 R 3663 0 R 3661 0 R 3665 0 R 3667 0 R 3666 0 R 3669 0 R 3670 0 R 3671 0 R 3672 0 R 3673 0 R 3674 0 R 3675 0 R 3676 0 R 3678 0 R 3683 0 R 3679 0 R 3684 0 R 3680 0 R 3685 0 R 3681 0 R 3686 0 R 3682 0 R 3689 0 R 3688 0 R 3691 0 R 3695 0 R 3692 0 R 3696 0 R 3693 0 R 3697 0 R 3694 0 R 3700 0 R 3699 0 R 3701 0 R 3703 0 R 3705 0 R 3704 0 R 3707 0 R 3712 0 R 3708 0 R 3713 0 R 3709 0 R 3714 0 R 3710 0 R 3715 0 R 3711 0 R 3718 0 R 3717 0 R 3720 0 R 3722 0 R 3721 0 R 3725 0 R 3724 0 R 3727 0 R 3731 0 R 3728 0 R 3732 0 R 3729 0 R 3733 0 R 3730 0 R] endobj 3736 0 obj [3735 0 R 3738 0 R 3737 0 R 3740 0 R 3743 0 R 3741 0 R 3744 0 R 3742 0 R 3747 0 R 3746 0 R 3749 0 R 3756 0 R 3750 0 R 3757 0 R 3751 0 R 3758 0 R 3752 0 R 3759 0 R 3753 0 R 3760 0 R 3754 0 R 3761 0 R 3755 0 R 3764 0 R 3763 0 R 3766 0 R 3769 0 R 3767 0 R 3770 0 R 3768 0 R 3772 0 R 3774 0 R 3773 0 R 3777 0 R 3776 0 R 3779 0 R 3781 0 R 3780 0 R 3784 0 R 3783 0 R 3785 0 R 3788 0 R 3787 0 R 3790 0 R 3794 0 R 3791 0 R 3795 0 R 3792 0 R 3796 0 R 3793 0 R 3797 0 R] endobj 3799 0 obj [3798 0 R 3800 0 R 3802 0 R 3805 0 R 3803 0 R 3806 0 R 3804 0 R 3808 0 R 3811 0 R 3809 0 R 3812 0 R 3810 0 R 3814 0 R 3817 0 R 3815 0 R 3818 0 R 3816 0 R 3820 0 R 3823 0 R 3821 0 R 3824 0 R 3822 0 R 3826 0 R 3837 0 R 3827 0 R 3838 0 R 3828 0 R 3839 0 R 3829 0 R 3840 0 R 3830 0 R 3841 0 R 3831 0 R 3842 0 R 3832 0 R 3833 0 R 3844 0 R 3834 0 R 3845 0 R 3835 0 R 3846 0 R 3836 0 R 3847 0 R 3849 0 R 3855 0 R 3850 0 R 3856 0 R 3851 0 R 3857 0 R 3852 0 R 3858 0 R 3853 0 R 3859 0 R 3854 0 R 3860 0 R 3862 0 R 3866 0 R 3863 0 R 3867 0 R 3864 0 R 3868 0 R 3865 0 R 3869 0 R 3871 0 R 3879 0 R 3872 0 R 3880 0 R 3873 0 R 3881 0 R 3874 0 R 3882 0 R 3875 0 R 3883 0 R 3876 0 R 3884 0 R 3877 0 R 3885 0 R 3878 0 R] endobj 3888 0 obj [3887 0 R 3897 0 R 3889 0 R 3898 0 R 3890 0 R 3899 0 R 3891 0 R 3900 0 R 3892 0 R 3901 0 R 3893 0 R 3902 0 R 3894 0 R 3903 0 R 3895 0 R 3904 0 R 3896 0 R 3906 0 R 3916 0 R 3907 0 R 3917 0 R 3908 0 R 3918 0 R 3909 0 R 3919 0 R 3910 0 R 3920 0 R 3911 0 R 3921 0 R 3912 0 R 3922 0 R 3913 0 R 3923 0 R 3914 0 R 3924 0 R 3915 0 R 3925 0 R 3926 0 R 3928 0 R 3932 0 R 3929 0 R 3933 0 R 3930 0 R 3934 0 R 3931 0 R 3936 0 R 3940 0 R 3937 0 R 3941 0 R 3938 0 R 3942 0 R 3939 0 R 3944 0 R 3947 0 R 3945 0 R 3948 0 R 3946 0 R 3950 0 R 3952 0 R 3951 0 R 3954 0 R 3957 0 R 3955 0 R 3958 0 R 3956 0 R 3960 0 R 3962 0 R 3961 0 R 3965 0 R 3964 0 R 3967 0 R 3970 0 R 3968 0 R 3971 0 R 3969 0 R] endobj 3973 0 obj [3972 0 R 3975 0 R 3981 0 R 3976 0 R 3982 0 R 3977 0 R 3983 0 R 3978 0 R 3984 0 R 3979 0 R 3985 0 R 3980 0 R 3988 0 R 3987 0 R 3989 0 R 3991 0 R 3993 0 R 3992 0 R 3994 0 R 3997 0 R 3996 0 R 4001 0 R 3999 0 R 4002 0 R 4000 0 R 4003 0 R 4003 0 R 4003 0 R 4003 0 R 4003 0 R 4006 0 R 4005 0 R 4007 0 R 4009 0 R 4012 0 R 4010 0 R 4013 0 R 4011 0 R 4015 0 R 4018 0 R 4016 0 R 4019 0 R 4017 0 R 4021 0 R 4025 0 R 4022 0 R 4026 0 R 4023 0 R 4027 0 R 4024 0 R 4029 0 R 4033 0 R 4030 0 R 4034 0 R 4031 0 R 4035 0 R 4032 0 R] endobj 4038 0 obj [4039 0 R 4040 0 R 4037 0 R 4042 0 R 4047 0 R 4043 0 R 4048 0 R 4044 0 R 4049 0 R 4045 0 R 4050 0 R 4046 0 R 4053 0 R 4052 0 R 4055 0 R 4058 0 R 4056 0 R 4059 0 R 4057 0 R 4061 0 R 4068 0 R 4062 0 R 4069 0 R 4063 0 R 4070 0 R 4064 0 R 4071 0 R 4065 0 R 4072 0 R 4066 0 R 4073 0 R 4067 0 R 4074 0 R 4076 0 R 4079 0 R 4077 0 R 4080 0 R 4078 0 R 4082 0 R 4084 0 R 4083 0 R 4087 0 R 4086 0 R 4089 0 R 4091 0 R 4090 0 R 4094 0 R 4093 0 R 4096 0 R 4098 0 R 4097 0 R 4101 0 R 4100 0 R 4104 0 R 4106 0 R 4105 0 R] endobj 4109 0 obj [4110 0 R 4108 0 R 4112 0 R 4114 0 R 4113 0 R 4116 0 R 4118 0 R 4117 0 R 4120 0 R 4122 0 R 4121 0 R 4125 0 R 4124 0 R 4127 0 R 4132 0 R 4128 0 R 4133 0 R 4129 0 R 4134 0 R 4130 0 R 4135 0 R 4131 0 R 4138 0 R 4137 0 R 4140 0 R 4145 0 R 4141 0 R 4146 0 R 4142 0 R 4147 0 R 4143 0 R 4148 0 R 4144 0 R 4151 0 R 4150 0 R 4154 0 R 4153 0 R 4156 0 R 4165 0 R 4157 0 R 4166 0 R 4158 0 R 4167 0 R 4159 0 R 4168 0 R 4160 0 R 4169 0 R 4161 0 R 4170 0 R 4162 0 R 4171 0 R 4163 0 R 4172 0 R 4164 0 R 4175 0 R 4174 0 R] endobj 4493 0 obj [4496 0 R 4492 0 R 4497 0 R 4494 0 R 4498 0 R 4495 0 R 4501 0 R 4500 0 R 4503 0 R 4505 0 R 4504 0 R 4507 0 R 4512 0 R 4508 0 R 4513 0 R 4509 0 R 4514 0 R 4510 0 R 4515 0 R 4511 0 R 4518 0 R 4517 0 R 4520 0 R 4522 0 R 4521 0 R 4525 0 R 4524 0 R 4526 0 R] endobj 4529 0 obj [4530 0 R 4528 0 R 4531 0 R 4533 0 R 4535 0 R 4534 0 R 4536 0 R 4539 0 R 4538 0 R 4541 0 R 4549 0 R 4542 0 R 4550 0 R 4543 0 R 4551 0 R 4544 0 R 4552 0 R 4545 0 R 4553 0 R 4546 0 R 4554 0 R 4547 0 R 4555 0 R 4548 0 R 4558 0 R 4557 0 R 4560 0 R 4566 0 R 4561 0 R 4567 0 R 4562 0 R 4568 0 R 4563 0 R 4569 0 R 4564 0 R 4570 0 R 4565 0 R 4572 0 R 4574 0 R 4573 0 R 4575 0 R 4576 0 R 4579 0 R 4578 0 R] endobj 4582 0 obj [4581 0 R 4584 0 R 4583 0 R 4586 0 R 4587 0 R 4588 0 R 4589 0 R 4590 0 R 4592 0 R 4595 0 R 4593 0 R 4596 0 R 4594 0 R 4598 0 R 4600 0 R 4599 0 R 4602 0 R 4605 0 R 4603 0 R 4606 0 R 4604 0 R 4608 0 R 4613 0 R 4609 0 R 4614 0 R 4610 0 R 4615 0 R 4611 0 R 4617 0 R 4619 0 R 4618 0 R 4622 0 R 4621 0 R 4623 0 R 4627 0 R 4629 0 R 4631 0 R 4633 0 R 4635 0 R 4637 0 R 4639 0 R 4640 0 R 4641 0 R 4644 0 R 4648 0 R 4647 0 R 4652 0 R 4651 0 R 4654 0 R 4656 0 R 4660 0 R 4659 0 R 4664 0 R 4663 0 R 4665 0 R 4668 0 R 4672 0 R 4671 0 R 4676 0 R 4675 0 R 4678 0 R 4680 0 R 4684 0 R 4683 0 R 4688 0 R 4687 0 R 4689 0 R 4692 0 R 4696 0 R 4695 0 R 4700 0 R 4699 0 R 4702 0 R 4704 0 R 4708 0 R 4707 0 R 4712 0 R 4711 0 R 4713 0 R 4716 0 R 4720 0 R 4719 0 R 4724 0 R 4723 0 R 4726 0 R 4728 0 R 4732 0 R 4731 0 R 4736 0 R 4735 0 R 4737 0 R 4740 0 R 4744 0 R 4743 0 R 4748 0 R 4747 0 R 4750 0 R 4752 0 R 4756 0 R 4755 0 R 4760 0 R 4759 0 R 4761 0 R 4764 0 R 4768 0 R 4767 0 R 4772 0 R 4771 0 R 4774 0 R 4776 0 R 4780 0 R 4779 0 R 4784 0 R 4783 0 R 4785 0 R 4788 0 R 4792 0 R 4791 0 R 4796 0 R 4795 0 R 4798 0 R 4800 0 R 4804 0 R 4803 0 R 4808 0 R 4807 0 R 4809 0 R 4812 0 R 4816 0 R 4815 0 R 4820 0 R 4819 0 R 4822 0 R 4824 0 R 4828 0 R 4827 0 R 4832 0 R 4831 0 R 4833 0 R] endobj 5133 0 obj [5132 0 R 5134 0 R 5136 0 R 5140 0 R 5137 0 R 5141 0 R 5138 0 R 5142 0 R 5139 0 R 5148 0 R 5154 0 R 5157 0 R 5155 0 R 5158 0 R 5156 0 R 5164 0 R 5166 0 R 5165 0 R 5170 0 R 5174 0 R 5171 0 R 5175 0 R 5172 0 R 5176 0 R 5173 0 R 5178 0 R 5182 0 R 5179 0 R 5183 0 R 5180 0 R 5184 0 R 5181 0 R 5185 0 R 5186 0 R 5187 0 R 5188 0 R 5189 0 R 5190 0 R 5191 0 R 5192 0 R 5195 0 R 5194 0 R 5196 0 R 5144 0 R 5147 0 R 5146 0 R 5162 0 R 5161 0 R 5152 0 R 5151 0 R 5168 0 R] endobj 5701 0 obj [5700 0 R 5702 0 R 5703 0 R 5704 0 R 5705 0 R 5706 0 R 5707 0 R 5708 0 R 5710 0 R 5711 0 R 5712 0 R 5713 0 R 5715 0 R 5716 0 R 5717 0 R] endobj 5720 0 obj [5719 0 R 5721 0 R 5724 0 R 5727 0 R 5728 0 R 5733 0 R 5734 0 R 5738 0 R 5739 0 R 5743 0 R 5744 0 R 5748 0 R 5749 0 R 5753 0 R 5754 0 R 5758 0 R 5759 0 R 5763 0 R 5764 0 R 5768 0 R 5769 0 R 5773 0 R 5774 0 R 5778 0 R 5779 0 R 5783 0 R 5784 0 R 5788 0 R 5789 0 R 5793 0 R 5794 0 R 5798 0 R 5799 0 R 5803 0 R 5804 0 R 5808 0 R 5809 0 R 5813 0 R 5814 0 R 5818 0 R 5819 0 R 5820 0 R 5821 0 R] endobj 5725 0 obj > endobj 5730 0 obj > endobj 5736 0 obj > endobj 5741 0 obj > endobj 5746 0 obj > endobj 5751 0 obj > endobj 5756 0 obj > endobj 5761 0 obj > endobj 5766 0 obj > endobj 5771 0 obj > endobj 5776 0 obj > endobj 5781 0 obj > endobj 5786 0 obj > endobj 5791 0 obj > endobj 5796 0 obj > endobj 5801 0 obj > endobj 5806 0 obj > endobj 5811 0 obj > endobj 5816 0 obj > endobj 5815 0 obj > endobj 1534 0 obj >/MediaBox[0 0 595.32 841.92]/Parent 7873 0 R/QITE_pageid>/Resources>/ExtGState>/Font>/ProcSet[/PDF/Text]>>/StructParents 54/Tabs/S/Type/Page>> endobj 7872 0 obj >stream HɎ7z>&6A0`1/qопределение, как найти, геометрический смысл
Что такое комплексное число
Комплексное число — это выражение типа \(z\;=\;a\;+\;ib\). Здесь a и b будут являться любыми действительными числами, а i — специальным числом, называемым мнимой единицей. Действительная часть комплексного числа обозначается как \(a\;=\;RE\;z \), а мнимая часть — \(b\;=\;Im\;z\).
Во множестве комплексных чисел содержится множество вещественных чисел. Если множество комплексных чисел — это всевозможные пары (x, y), то содержащееся в нем множество вещественных чисел — это пары (x, 0). Те же комплексные числа, которые задают пары (0, y) являются мнимыми.
Что такое модуль комплексного числа
Модуль комплексного числа — это длина вектора, который изображает комплексное число.2}\)
То есть модуль комплексного числа можно вычислить как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой его частей.
Модуль комплексного числа имеет следующие свойства:
- Модуль не отрицателен — \(\left|x\right|\;\geq\;0\). \(\left|x\right|\;=\;0\) только в том случае, если z = 0.
- Модуль суммы двух комплексных чисел будет меньше или равен сумме модулей: \(\left|z_1\;+\;z_2\right|\;\leq\;\left|z_1\right|\;+\;\left|z_2\right|.\)
- Модуль результата умножения двух комплексных числе будет равен произведению модулей: \(\left|z_1\;\cdot\;z_2\right|\;=\;\left|z_1\right|\;\cdot\;\left|z_2\right|.\)
- Модуль результата деления двух комплексных чисел будет равняться частному модулей: \(\left|z_1\;\div\;z_2\right|\;=\;\left|z_1\right|\;\div\;\left|z_2\right|.\)
- Модуль неравенства комплексных чисел будет равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости: \(\left|z_1\;-\;z_2\right|\;=\;\sqrt{\left(x_1\;-\;x_2\right)^2\;+\;\left(y_1\;-\;y_2\right)^2}\).2}\;=\;\sqrt5.\)
Так как \(Re z = 2 > 0\), \(Im z = -1 < 0\), точка расположена в 4 четверти. Тогда из равенства \(\tan\left(\varphi\right)\;=\;-\frac12\) следует:
\(\varphi\;=\;arc\tan\left(-\frac12\right)\)
Ответ: \(\varphi\;=\;arc\tan\left(-\frac12\right)\)
операции в показательном виде, примеры
Комплексные числа — определение и основные понятия
Обычные числа представляют собой множество действительных чисел, для обозначения которых используют букву R. Каждое число из множества можно отметить на числовой прямой.
К действительным числам носят:
- целые числа;
- дроби;
- иррациональные числа.
Каждая точка на числовой прямой характеризуется некоторым действительным числом. Комплексное число является двумерным числом и записано в виде:
z = a + bi
Где а и b являются действительными числами, i представляет собой так называемую мнимую единицу.
Уравнение можно мысленно поделить на несколько частей:
- a — действительная часть (Re z) комплексного числа z;
- b — мнимая часть (Im z) комплексного числа z.
Следует отметить, что a + bi является единым числом, а не сложением. Места действительной и мнимой частей в уравнении можно менять:
z = bi + a
Мнимую единицу допускается переставлять:
z = a + ib
При таких операциях смысл выражения остается прежним. Однако стандартная запись комплексного числа имеет такой вид:
z = a + bi
ОпределениеКомплексным числом называют выражение a + bi, в котором а и b являются действительными числами, i представляет собой мнимую единицу, символ, квадрат которого равен -1, то есть i2=-1. Число а представляет собой действительную часть, b — мнимую часть комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i записывают a. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.
Данное утверждение можно привести в виде геометрической интерпретации. Тогда комплексные числа изображают на комплексной плоскости.
С помощью R обозначаю множество действительных чисел. В случае, когда требуется обозначить множество комплексных чисел, принято использовать букву С. Наличие буквы С на чертеже говорит о том, что на нем представлена комплексная плоскость. Данная плоскость включает две оси:
Re z — является действительной осью;
Im z — представляет собой мнимую ось.
Правила оформления такого графика практически не отличаются от требований к чертежам для декартовой системы координат. По осям задают масштаб и отмечают:
- ноль;
- единицу для действительной оси;
- мнимую единицу i для мнимо оси.
С помощью комплексной плоскости можно построить заданные комплексные числа:
\(z_{1}=0\)
\(z_{2}=-3\)
\(z_{3}=2\)
\(z_{4}=i\)
\(z_{5}=-\sqrt{3}i\)
\(z_{6}=4i\)
\(z_{7}=2+3i\)
\(z_{8}=-4+i\)
\(z_{9}=-3-3i\)
\(z_{5}=-\sqrt{2}-i\)
Можно рассмотреть следующие комплексные числа:
\(z_{1}=0\)
\(z_{2}=-3\)
\(z_{3}=2\)
Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Действительная ось Re z обозначает в точности множество действительных чисел R, то есть на данной оси расположены все числа с обычными свойствами. Можно сформулировать справедливое утверждение: множество действительных чисел R представляет собой подмножество множества комплексных чисел С.
Данные числа являются комплексными числами, мнимая часть которых нулевая:
\(z_{1}=0\)
\(z_{2}=-3\)
\(z_{3}=2\)
Мнимые числа с нулевой действительностью, которые расположены на мнимой оси Im z:
\(z_{4}=i\)
\(z_{5}=-\sqrt{3}i\)
\(z_{6}=4i\)
Есть ряд чисел с ненулевыми действительной и мнимой частью:
\(z_{7}=2+3i\)
\(z_{8}=-4+i\)
\(z_{9}=-3-3i\)
\(z_{5}=-\sqrt{2}-i\)
Для их обозначения используют точки на комплексной плоскости. К таким точкам проводят радиус-векторы из начала координат. Радиус-векторы не принято чертить к числам, которые расположены на осях и сливаются с ними.
Формы, как записываются
Алгебраическая запись комплексного числа имеет такой вид:
z = a + bi.{2}}\)
Данная величина представляет собой модуль комплексного числа z = a + bi и имеет такое решение:
\(\left|z \right|\)
Вектор и положительное направление оси абсцисс образуют угол, отсчитанный против часовой стрелки. Данный угол называют аргументом комплексного числа z и обозначают, как Arg z. Аргумент имеет неоднозначное определение с точностью до прибавления величины, которая кратна 2π радиан. При повороте на такой угол вокруг начала координат вектор не изменяется.
В том случае, когда вектор длиной r с положительным направлением оси абсцисс составляет угол ϕ, его координаты будут следующими:
\(\left(r*\cos \varphi ;r*\sin \varphi \right)\)
Таким образом, получают тригонометрическую форму записи комплексного числа:
\(z=\left|z \right|*\left(\cos (Arg z)+i\sin (Arg z) \right)\)
Из-за более простого вида вкладок комплексные числа, как правило, представляют в тригонометрической форме.
Существует показательная форма для записи комплексных чисел.{2}}i\)
Пример:
\(\frac{3+4i}{1+2i}=\frac{11}{5}-\frac{2}{5}i\)
Сложение комплексных чисел
Ели требуется сложить пару комплексных чисел:
\(z_{1}=1+3i\)
\(z_{2}=4-5i\)
Сначала нужно найти сумму их действительных и мнимых частей:
\(z_{1}+ z_{2}=1+3i+4-5i=5-2i\)
Таким образом, сумма какого-либо количества слагаемых определяется путем сложения действительных частей и сложением мнимых частей. В случае комплексных чисел справедливо правило первого класса, которое гласит, что от перестановки слагаемых их сумма остается прежней:
\(z_{1}+ z_{2}= z_{2}+ z_{1}\)
Вычитание комплексных чисел
Разность комплексных чисел:
\(z_{1}- z_{2}\)
\(z_{2}- z_{1}\)
При условии, что:
\(z_{1}=-2+i\)
\(z_{2}=\sqrt{3}+5i\)
Действие аналогично сложению. Разница заключается в необходимости выделения скобками вычитаемого числа. Далее следует раскрыть скобки и изменить знак:
\(z_{1}- z_{2}=-2+i-(\sqrt{3}+5i )=-2+i-\sqrt{3}-5i =-2-\sqrt{3}-4i \)
Полученное в результате число обладает двумя частями.{2}}\)
Для поиска аргумента комплексного числа требуется использовать определенную формулу для конкретного случая. Уравнение подбирается, исходя из положения числа z = a + bi в координатной четверти. Существует всего три таких варианта:
- а > 0, число соответствует первой и четвертой координатной четверти, либо правой полуплоскости, формула для нахождения аргумента \(Arg z=arctg\frac{b}{a}\);
- a < 0, b > 0, число соответствует второй координатной четверти, формула для расчета аргумента\(Arg z=\pi +arctg\frac{b}{a}\);
- a < 0, b < 0, число соответствует третьей координатной четверти, найти аргумент можно по формуле \(Arg z=-\pi +arctg\frac{b}{a}\).
Извлечение корня из комплексных чисел
Комплексные числа в тригонометрической форме умножают таким образом:
z_{1}*z_{2}=\left|z_{1} \right|*\left|z_{2} \right|*(\cos (Arg z_{1}+Arg z_{2})+i\sin (Arg z_{1}+Arg z_{2}))2
При умножении пары комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}\)
Числовые поля с фиксированной и произвольной точностью
Sage поддерживает арифметические операции с использованием комплексных чисел двойной точности. А Комплексное число двойной точности — это комплексное число
x + I * yс \ (x \), \ (y \) 64-битные (8 байт) числа с плавающей запятой (двойная точность).Поле
ComplexDoubleFieldреализует поле всех комплексных чисел двойной точности. Вы можете сослаться на это поле сокращенно CDF. Элементы этого поля относятся к типуКомплексДвойной Элемент.Если \ (x \) и \ (y \) приводимы к doubles, вы можете создать сложный двойной элемент, используяКомплексный Двойной Элемент (x, y). Вы можете принуждать больше общие объекты \ (z \) для сложных удвоений, набрав либоComplexDoubleField (x)илиCDF (x).ПРИМЕРЫ:
мудрец: ComplexDoubleField () Сложное двойное поле шалфей: CDF Сложное двойное поле шалфей: тип (CDF.0) <тип 'sage.rings.complex_double.ComplexDoubleElement'> мудрец: ComplexDoubleElement (sqrt (2), 3) 1.4142135623730951 + 3,0 * Я шалфей: родитель (CDF (-2)) Сложное двойное поле
шалфей: CC == CDF Ложь sage: CDF - это ComplexDoubleField () # CDF - это сокращение Правда мудрец: CDF == ComplexDoubleField () Правда
Основная арифметика комплексных чисел реализована с использованием функции и макросы в GSL (Научная библиотека GNU) и должно быть очень быстро. Кроме того, все стандартные сложные триггерные функции, log, экспоненты и т. д. реализуются с использованием GSL, а также надежный и быстрый. Несколько других специальных функций, например.г. эта, гамма, неполная гамма и др. реализованы с помощью библиотеки PARI C.
АВТОРОВ:
Уильям Штейн (2006-09): первая версия
Трэвис Скримшоу (2012-10-18): добавлены тесты для получения полного обзора
Джерун Демейер (27.02.2013): исправлены все звонки в PARI (билет отслеживания № 14082)
Винсент Кляйн (2017-11-15): добавьте __mpc __ () в класс ComplexDoubleElement. Поддержка конструктора ComplexDoubleElement и gmpy2.Параметр mpc.
- класс
sage.rings.complex_double.КомплексДвойной Элемент Базы:
sage.structure.element.FieldElementПриближение комплексного числа с использованием двойной точности числа с плавающей запятой. Ответы, полученные из расчетов с такими приближения могут отличаться от тех, которые были бы расчеты проводились с истинными комплексными числами. Это до к ошибкам округления, свойственным расчетам с конечной точностью.2 \) комплекса число \ (z \), иначе известное как комплексная норма.
ПРИМЕРЫ:
шалфей: CDF (2,3) .abs2 () 13,0
-
agm( справа , алгоритм = ‘оптимальный’ ) Возврат среднего арифметико-геометрического (AGM)
selfиright.ВХОД:
справа(сложный) — другой комплексный номералгоритм(строка, по умолчанию"оптимальный") — используемый алгоритм (Смотри ниже).
ВЫХОД:
(сложный) Ценность ГОСА собственной личности и права. Обратите внимание, что это многозначная функция, и используемый алгоритм влияет на возвращаемое значение следующим образом:
'pari': вызовите функцию pari: agm из библиотеки pari.«оптимальный»: используйте последовательность AGM так, чтобы на каждом этапе \ ((a, b) \) заменяется на \ ((a_1, b_1) = ((a + b) / 2, \ pm \ sqrt {ab}) \) где знак выбран так, что \ (| a_1-b_1 | \ leq | a_1 + b_1 | \), или эквивалентно \ (\ Re (b_1 / a_1) \ geq 0 \).Результирующий предел равен максимальное среди всех возможных значений.«основной»: Используйте последовательность AGM, чтобы на каждом этапе \ ((a, b) \) заменяется на \ ((a_1, b_1) = ((a + b) / 2, \ pm \ sqrt {ab}) \) где знак выбран так, чтобы \ (\ Re (b_1 / a_1) \ geq 0 \) ( так называемая главная ветвь квадратного корня).
См. Статью в Википедии Среднее арифметико-геометрическое
ПРИМЕРЫ:
шалфей: i = CDF (I) шалфей: (1 + i) .agm (2-i) # rel tol 1e-15 1.6278054848727064 + 0,1368275483973686 * Я
Пример, показывающий, что возвращаемое значение зависит от алгоритма параметр:
шалфей: a = CDF (-0,95, -0,65) шалфей: b = CDF (0,683,0,747) sage: a.agm (b, алгоритм = 'оптимальный') -0,3715916523517613 + 0,31989466020683 * Я sage: a.agm (b, algorithm = 'Principal') # rel tol 1e-15 0,33817546298618006 - 0,013532696956540503 * I sage: a.agm (b,
Арифметика комплексных чисел — cppreference.com
Арифметика комплексных чисел Если макроконстанта | (начиная с C11) |
Язык программирования C, начиная с C99, поддерживает математику комплексных чисел с тремя встроенными типами: double _Complex , float _Complex и long double _Complex (см. _Complex). При включении заголовка три типа комплексных чисел также доступны как double complex , float complex , long double complex .
В дополнение к сложным типам могут поддерживаться три воображаемых типа: double _Imaginary , float _Imaginary и long double _Imaginary (см. _Imaginary). Когда заголовок включен, три мнимых типа также доступны как двойное мнимое , мнимое с плавающей запятой и длинное двойное мнимое .
Стандартные арифметические операторы +, -, *, / могут использоваться с действительными, комплексными и мнимыми типами в любой комбинации.
Компилятор, определяющий __STDC_IEC_559_COMPLEX__, рекомендуется, но не требуется для поддержки мнимых чисел. POSIX рекомендует проверить, определен ли макрос _Imaginary_I для идентификации поддержки мнимых чисел. | (начиная с C99) (до C11) |
Мнимые числа поддерживаются, если определено __STDC_IEC_559_COMPLEX__. | (начиная с C11) |
[править] Примечания
Следующие ниже имена функций зарезервированы для будущего добавления в комплекс .h и не доступны для использования в программах, содержащих этот заголовок: cerf , cerfc , cexp2 , cexpm1 , clog10 , clog1p , clog2 , clgam ctgamma , а также их варианты с суффиксами -f и -l.
Хотя в стандарте C обратные гиперболики называются «комплексным дуговым гиперболическим синусом» и т. Д., Обратные функции гиперболических функций являются функциями площади.Их аргумент — площадь гиперболического сектора, а не дуги. Правильные названия — «комплексный обратный гиперболический синус» и т. Д. Некоторые авторы используют «гиперболический синус со сложной площадью» и т. Д.
Комплексное или мнимое число бесконечно, если один из его компонентов бесконечен, даже если другой компонент равен NaN.
Комплексное или мнимое число конечно, если оба компонента не являются ни бесконечностями, ни NaN.
Комплексное или мнимое число равно нулю, если оба компонента являются положительными или отрицательными нулями.
[править] Пример
#include#include #include int main (пусто) { двойной комплекс z1 = I * I; // мнимая единица в квадрате printf ("I * I =% .1f% +. 1fi \ n", creal (z1), cimag (z1)); двойной комплекс z2 = pow (I, 2); // мнимая единица в квадрате printf ("pow (I, 2) =% .1f% +. 1fi \ n", creal (z2), cimag (z2)); двойной PI = acos (-1); двойной комплекс z3 = exp (I * PI); // Формула Эйлера printf ("exp (I * PI) =% .1f% +.1fi \ n ", creal (z3), cimag (z3)); двойной комплекс z4 = 1 + 2 * I, z5 = 1-2 * I; // конъюгаты printf ("(1 + 2i) * (1-2i) =% .1f% +. 1fi \ n", creal (z4 * z5), cimag (z4 * z5)); }
Выход:
I * I = -1,0 + 0,0i pow (I, 2) = -1,0 + 0,0i ехр (I * PI) = -1,0 + 0,0i (1 + 2i) * (1-2i) = 5,0 + 0,0i
[править] Ссылки
- Стандарт C11 (ISO / IEC 9899: 2011):
- 6.10.8.3/1/2 __STDC_NO_COMPLEX__ (стр: 177)
- 6.10.8.3 / 1/2 __STDC_IEC_559_COMPLEX__ (стр: 177)
- 7.3 Комплексная арифметика
(стр: 188-199)
- 7.3 Комплексная арифметика
- 7.3.1 / 2 __STDC_NO_COMPLEX__ (стр: 188)
- 7.25 Типовая математика
(стр: 373-375)
- 7.25 Типовая математика
- 7.31.1 Комплексная арифметика
(p: 455)
- 7.31.1 Комплексная арифметика
- Б.2 Комплекс
(стр: 475-477)
- Б.2 Комплекс
- Приложение G (обязательное) Комплексная арифметика, совместимая с IEC 60559 (стр: 532-545)
- G.1 / 1 __STDC_IEC_559_COMPLEX__ (p: 532)
- Стандарт C99 (ISO / IEC 9899: 1999):
- 6.10.8 / 2 __STDC_IEC_559_COMPLEX__ (стр: 161)
- 7.3 Комплексная арифметика <комплексная.h> (стр: 170-180)
- 7.22 Типовая математика
(p: 335-337)
- 7.22 Типовая математика
- 7.26.1 Комплексная арифметика
(p: 401)
- 7.26.1 Комплексная арифметика
- B.2 Комплекс
(p: 419-420)
- B.2 Комплекс
- Приложение G (справочное) Комплексная арифметика, совместимая с IEC 60559 (стр. 467-480)
- г.1/1 __STDC_IEC_559_COMPLEX__ (стр: 467)
[править] См. Также
Как преобразовать комплексное число из геометрической формы в полярную?
Комплексное число z в геометрической форме записывается как z = x + iy. В геометрическом представлении комплексное число z представлено точкой P (x, y) на комплексной плоскости или плоскости argand, где OA = x равно x- intecept и AP = y — точка пересечения с y.
В полярном представлении комплексное число z представлено двумя параметрами «r» и «θ».Параметр «r» — это модуль комплексного числа, а параметр «θ» — это угол, который линия OP составляет с положительным направлением оси x. Он также называется аргументом комплексного числа и обозначается как arg (z). Поиск значения этих двух параметров из параметров x и y поможет нам преобразовать комплексное число в полярную форму.
Содержание
Основные сведения о кистях
Комплексное число z в геометрической форме записывается как z = x + iy .В геометрическом представлении комплексное число z представлено точкой P (x, y) на комплексной плоскости или a rg и плоскостью , где OA = x — точка пересечения с x, а AP = y — точка пересечения с y.
Геометрическое представление комплексного числа
Длина OP называется модулем комплексного числа и обозначается | z |. Применяя теорему Пифагора в ΔOAP, получаем
В полярном представлении комплексное число z представлено двумя параметрами «r» и «θ».Параметр «r» — это модуль комплексного числа, а параметр «θ» — это угол, который линия OP составляет с положительным направлением оси x. Он также называется аргументом комплексного числа и обозначается arg (z). Поиск значений этих двух параметров из параметров x и y поможет нам преобразовать комплексное число в полярную форму.
Полярное представление комплексного числа
Комплексное число в полярной форме записывается как
Четыре шага для преобразования
Шаг 1. Постройте комплексное число
.Постройте комплексное число x + iy , представленное точкой P (x, y), на плоскости x-y.
Точка P (x, y) на плоскости аргана
Шаг 2: Рассчитайте расстояние от исходной точки
Рассчитайте расстояние (OP) точки P от начала координат. Обозначим это расстояние как «r», так что
Точка на расстоянии r от исходной точки
Шаг 3. Найдите соответствующий квадрант комплексного числа
Определите квадрант, в котором находится комплексное число x + iy. Это можно сделать, определив знак x и y. В зависимости от знака x и y на следующем рисунке показан соответствующий квадрант комплексного числа.
Определить квадрант точки
Шаг 4. Вычислите аргумент комплексного числа
Чтобы вычислить аргумент комплексного числа, найдите наименьший угол, который линия OP образует с осью x. Назовем этот угол ‘α’. Математически
Нам нужно вычислить аргумент z, обозначенный ‘θ’. Аргумент z вычисляется с использованием знания квадранта комплексного числа.
Случай 1: Комплексное число в первом квадранте
Если точка P принадлежит первому квадранту, то аргумент z, arg (z) равен α.
Аргумент комплексного числа в первом квадранте
Случай 2: Комплексное число во втором квадранте
Если точка P принадлежит второму квадранту, то аргумент z, arg (z) равен π — α.
Аргумент комплексного числа во втором квадранте
Случай 3: Комплексное число в третьем квадранте
Когда точка P принадлежит третьему квадранту, аргумент n аргумента z, arg (z) равен — (π — α).
Аргумент комплексного числа в третьем квадранте
Случай 4: Комплексное число в четвертом квадранте
Когда точка P принадлежит четвертому квадранту, аргумент z, arg (z) равен –α.
Аргумент комплексного числа в четвертом квадранте
- Поместите в уравнение значения «r» и «θ», вычисленные на шаге 2 и шаге 5 соответственно.
Это обязательная полярная форма.
Пример очистки всего
Преобразует комплексное число -1 + i в полярную форму.
Шаг 1 Следовательно, число -1 + i лежит во втором квадранте. Здесь x = -1 <0 и y = 1> 0. Шаг 2 Постройте точку P (-1,1) на плоскости argand.
Шаг 3 Рассчитать OP.
Шаг 4 Отметьте угол α.
Сейчас,
Вычислить аргумент
Так как комплексное число лежит во втором квадранте.
[См. Случай 2, шаг 5]Шаг 5 Поместите значения «r» и «θ» в
требуется полярная форма.
admin
Комплексные числа | Ресурсы Wyzant
Написано наставником Колином Д.
Как представить себе комплексные числа графически: комплексная плоскость
- Комплексное число x + yi соответствует точке с координатами (x, y)
- Ось x — действительная ось
- Ось Y — это мнимая ось
- Вещественные числа связаны с точками на оси x
Например: x = x + 0i (x, 0) -> - Мнимые числа связаны с точками на оси Y
Например: yi = 0 + yi (0, y) ->
Как найти точку (P) на сложной плоскости
- Любую точку комплексной плоскости можно определить по координатной паре (r, θ)
- r = расстояние от начала координат до точки P (т.е.е., отрезок OP)
- θ = угол от положительной оси x (между квадрантами I и IV) до сегмента OP
- Все точки на стороне вывода могут быть выражены как (r cos θ, r sin θ)
-Поскольку cos θ = смежный / гипотенуза, а гипотенуза = r, чтобы решить для θ, следует продолжить: cos θ = x / r.
Решение этого для x приведет к x = r cos θ
-Точно так же, поскольку sin θ = противоположное / гипотенуза, решение для θ приведет к sin θ = y / r.
Решение этого для y приведет к y = r sin θ - Собираем все вместе:
-Если у нас комплексное число x + yi
-Тогда P имеет координаты (x, y)
-И x = r cos θ, y = r sin θ
Тригонометрическая (полярная) форма
- Тригонометрическая форма «x + yi»: r (cos θ + i sin θ)
-Это может быть получено из более ранних эквивалентов.Потому что когда у нас было x + yi, мы нашли x = r cos θ и
y = r sin θ, мы можем заменить x и y на r cos θ и r sin θ соответственно:
x + yi = (r cos θ) + (r sin θ) i
-Путем факторизации «r» и умножения на «i» получается:
r (cos θ + i sin θ) - r = модуль или абсолютное значение
г = (х 2 + у 2 ) 1/2
r = должно быть НЕОТрицательным - θ = аргумент комплексного числа
-Любой угол, совпадающий с θ, также является аргументом для того же комплексного числа
tan θ = y / x -> θ = arc tan (y / x)
Прямоугольная (стандартная) форма
- Прямоугольная форма «x + yi»
Как перейти от прямоугольной формы к тригонометрической
- Если A = 2 + 2i
-Сначала найдите «r.«Помните, что« r », называемое модулем, является абсолютным значением гипотенуза, образованная
стороны «x» и «y»
г = √ (2 2 + 2 2 )
г = √ (4 + 4)
г = √8
г = 2√2
-Далее найдите θ. Помните, что θ называется аргументом и находится с помощью следующего уравнения:
tan θ = y / x, поскольку тангенс угла, образованного «r» и «осью x», равен противоположной стороне
делится на соседнюю сторону (т.е., значение y, деленное на значение x).
θ = arc tan (y / x)
θ = загар (2/2)
θ = arc tan (1)
θ = 45 ° - Затем тригонометрическая форма находится путем вставки «r» и «θ»:
А = г (соз θ + я грех θ)
A = 2√2 (cos 45 ° + i sin 45 °)
Как изменить тригонометрическую форму на прямоугольную
- Если B = 3√3 (cos 330 ° + i sin 330 °)
г = 3√3
cos 330 ° = √ (3/2)
грех 330 ° = -1/2 - Тогда 3√3 (√ (3/2) + -1/2 i) -> 9/2 — i (3√3) / 2
Как выразить комплексные числа в правильной форме Тригонометрической форме
- Всегда помните несколько важных моментов о правильной тригонометрической форме:
-Модуль (r) всегда должен быть неотрицательным
Это абсолютное значение диагонали от самой точки до начала координат.
-Выражение в скобках должно иметь вид: cos θ + i sin θ.
Убедитесь, что каждый термин записан как положительное число. - Пример: z = 2 (cos 30 ° — i sin 30 °)
-Сначала выразите z в прямоугольной форме:
2 (√ (3/2) — 1/2 i) -> √3 — 1i
-Таким образом, на графике это будет состоять из перемещения √3 единиц вправо, на 1 единицу вниз, в результате чего получится точка в
Квадрант IV.
r = √ ((√3) 2 + 1 2 ) -> √4 -> √2
Используя tan θ = y / x, получаем:
tan θ = 1 / √3 -> arctan 1 / √3 = -30 ° -> следовательно, θ = -30 °
-Наконец, замените:
z = 2 [cos (-30 °) + i sin (-30 °)]
Умножение и деление в тригонометрической форме
- ПРИМЕЧАНИЕ. В то время как прямоугольная форма упрощает понимание сложения / вычитания комплексных чисел, лучшим методом является тригонометрическая форма . зачатия комплекса для целей умножения / деления.
- Если вы намереваетесь умножить двух комплексных чисел, z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1) и z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2), произведение
можно получить, выполнив несколько простых шагов:
— Умножьте модули , чтобы найти модуль произведения: r1 умножить на r2
— Добавьте аргументы , чтобы найти аргумент суммы : cos (θ1 + θ2) + я грех (θ1 + θ2)
-Умножьте модуль продукта на аргумент суммы: r1r2 [cos (θ1 + θ2) + я грех (θ1 + θ2)] - Чтобы разделить два комплексных числа:
— Разделите модули , чтобы получить модуль коэффициента упругости : r1 / r2
— Вычтите аргументы , чтобы получить разностный аргумент : cos (θ1 — θ2) + я грех (θ1 — θ2)
-Умножьте модуль частного на разностный аргумент: r1 / r2 [cos (θ1 — θ2) + i sin (θ1 — θ2)] - Пример:
z1 = √ (3/2 + (1/2) я
z2 = -2 — 2i
Найдите z1 * z2:
(1) Выразите каждое в тригонометрической форме
z1 = 2 (cos 30 ° + i sin 30 °)
z2 = 2√2 (cos 225 ° + i sin 225 °)
(2) Умножить модули:
2 * 2√2 = 4√2
(3) Добавьте аргументы:
cos (30 ° + 225 °) + i (sin 30 ° + 225 °)
(4) Треугольная форма = 4√2 [cos (30 ° + 225 °) + i (sin 30 ° + 225 °)]
4√2 [cos (255 °) + i (sin 255 °)]
Чтобы найти в прямоугольной форме, оцените cos 255 ° и sin 255 ° и упростите:
4√2 [cos (255 °) + i (sin 255 °)]
С формулами суммы и разности:
cos (a + b) = cos a cos b — sin a sin b
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
С калькулятором:
cos 255 ° = -.2588
грех 255 ° = -,9659
-1,464 — 5,464i
Теорема ДеМуивера
- Повторяя процедуру умножения, описанную выше, можно вывести теорему ДеМуавра, которая позволяет нам вычислять степени и корни комплексных чисел.
- Чтобы проиллюстрировать, если бы мы продолжали умножать z = r (cos θ + i sin θ) на себя, мы получили бы:
z 2 = r 2 (cos 2θ + i sin 2θ)
z 3 = r 3 (cos 3θ + i sin 3θ)
z 4 = r 4 (cos 4θ + i sin 4θ) - Для отрицательных экспонент он разворачивается по следующей схеме:
z -1 = r -1 [(cos (-θ)) + i sin (-θ)]
z -2 = r -2 [(cos (-2θ)) + i sin (-2θ)] - Как правило, формально сформулированная теорема ДеМуавра гласит:
z n = r n (cos nθ + i sin nθ) - ПРИМЕР:
(1 + √3i) 5
-В тригонометрической форме:
2 (cos 60 ° + i sin 60 °)
-Примените теорему ДеМуавра:
2 5 [cos 5 (60 °) + i sin 5 (60 °)]
32 (cos 300 ° + i sin 300 °)
32 (1/2 + я (-√3) / 2)
16 — (16√3) я
Корни комплексных чисел
- Некоторые основы визуализации корней комплексных чисел:
-Корни n комплексного числа лежат на окружности, образованной в комплексной плоскости с центром в начале координат и радиусом = (r) (1 / n)
-Корни n на указанном круге все равномерно распределены, начиная с K = 0 и продолжаясь до k = n-1, прогрессируя по аргументам (т.n [cos (θ / n + k * 360 ° / n) + i sin (θ / n + k * 360 ° / n)] - Пример: найти корни 6-й степени из 5 + 12i
(1) Запишите 5 + 12i в тригонометрической форме:
г = √ (5 2 + 12 2 ) = 13
θ = арктангенс (12/5) ~ 67,38 °
Таким образом, 5 + 12i = 13 (cos θ + i sin θ)
(2) Поскольку мы ищем корни шестой степени ( n = 6), мы заменяем n на 6 и упрощаем:
W (sub k) = 13 1/6 [cos (θ / 6 + k * 360/6) + i sin (θ / 6 + k * 360/6)]
W (sub k) = 1.533 [cos (67,38 / 6 + k * 60) + i sin 11,23 + 60k)]
W (sub k) = 1,533 [cos (11,23 + 60k) + i sin (11,23 + 60k)]
(3) Подставьте различные значения от k до (n-1), где n = 6 (из-за корня шестой степени).
К = 0 -> 1,504 + 0,299i
К = 1 -> .493 + 1.451i
К = 2 -> -1.01 + 1.153i
К = 3 -> -1.504 + -.299i
К = 4 -> -.493 + -1.451i
К = 5 -> 1.01 + -1.153i
▷ Французский перевод
СЛОЖНЫЙ НОМЕР ▷ Французский перевод — Примеры использования сложного числа в предложении на английском языке Инструмент для вычисления значения аргумента комплексного числа . Используйте для вычисления аргумента аргумента nombre complex .Инструмент для вычисления значения, сопряженного с комплексным числом . Outil pour calculer la valeur du concugué d’un nombre complexe .Инструмент для расчета значения модуля комплексного числа . Используйте для вычислителя валового модуля nombre complex .аргумент (комплексный анализ) Википедия
Рисунок 1.Эта диаграмма Аргана представляет собой комплексное число, лежащее на плоскости. Для каждой точки на плоскости arg — это функция, которая возвращает угол φ {\ displaystyle \ varphi}.В математике (особенно в комплексном анализе) аргумент — это многозначная функция, работающая с ненулевыми комплексными числами. Если комплексные числа z визуализируются как точка на комплексной плоскости, аргумент z представляет собой угол между положительной действительной осью и линией, соединяющей точку с началом координат, показанной на рисунке как φ {\ displaystyle \ varphi}. 1 и обозначен как arg z . [1] Для определения однозначной функции используется главное значение аргумента (иногда обозначаемое как Arg z ). Часто выбирается уникальное значение аргумента, лежащее в интервале (–π, π]. [2] [3]
Определение []
Рис. 2. Два варианта аргумента φ {\ displaystyle \ varphi}Аргумент комплексного числа z = x + iy , обозначенный arg ( z ), [1] , определяется двумя эквивалентными способами:
- Геометрически, в комплексной плоскости, как двумерный полярный угол φ {\ displaystyle \ varphi} от положительной вещественной оси к вектору, представляющему z.{2}}}.}
Имена величина, для модуля и фаза , [4] [2] для аргумента иногда используются эквивалентно.
Согласно обоим определениям можно видеть, что аргумент любого ненулевого комплексного числа имеет много возможных значений: во-первых, как геометрический угол, ясно, что вращение всего круга не меняет точку, поэтому углы отличаются на целое число, кратное 2π радиан (полный круг), то же самое, что и цифра 2 справа.Точно так же, исходя из периодичности sin и cos, второе определение также обладает этим свойством. Нулевой аргумент обычно остается неопределенным.
Основное значение []
Рис. 3. Главное значение Arg синей точки в точке 1 + i равно π / 4. Красная линия здесь — это срез ветви и соответствует двум красным линиям на рисунке 4, если смотреть вертикально друг над другом).Поскольку полный поворот вокруг начала координат оставляет неизменным комплексное число, есть много вариантов, которые можно сделать для φ {\ displaystyle \ varphi}, обведя начало координат любое количество раз.Это показано на рисунке 2, представляющем многозначную (многозначную) функцию f (x, y) = arg (x + iy) {\ displaystyle f (x, y) = \ arg (x + iy) )}, где вертикальная линия (не показанная на рисунке) разрезает поверхность на высотах, представляющих все возможные варианты угла для этой точки.
Когда требуется четко определенная функция, то обычный выбор, известный как главное значение , — это значение в открытом-закрытом интервале (−π рад, π рад], то есть от −π до π радиан. , за исключением самого −π rad (экв., от -180 до +180 градусов, не считая самого -180 °). Это представляет собой угол до половины полного круга от положительной реальной оси в любом направлении.
Некоторые авторы определяют диапазон главного значения как находящийся в закрытом-открытом интервале [0, 2π).
Обозначение []
Главное значение иногда имеет начальную букву с заглавной буквы, как в Arg z , особенно когда рассматривается также общая версия аргумента. Обратите внимание, что обозначения различаются, поэтому arg и Arg могут быть заменены в разных текстах.
Набор всех возможных значений аргумента может быть записан в терминах Arg как:
- arg (z) ∈ {Arg (z) + 2πn | n∈Z}. {\ Displaystyle \ operatorname {arg} (z) \ in \ {\ operatorname {Arg} (z) +2 \ pi n \; | \; n \ in \ mathbb {Z} \}.}
Аналогично
- Arg (z) = arg (z) −2πn | n∈Z ∧ − π
Вычисление из действительной и мнимой части []
Если комплексное число известно в терминах его действительной и мнимой частей, то функция, которая вычисляет главное значение Arg, называется функцией арктангенса с двумя аргументами atan2:
- Arg (x + iy) = atan2 (y, x) {\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x)}.
Функция atan2 (также называемая arctan2 или другими синонимами) доступна в математических библиотеках многих языков программирования и обычно возвращает значение в диапазоне (−π, π]. [2]
Во многих текстах говорится значение задается как arctan ( y / x ), так как y / x — это наклон, а arctan преобразует наклон в угол. Это правильно, только когда x > 0, поэтому определяется частное и угол лежит между — π /2 и π /2, но распространение этого определения на случаи, когда x не является положительным, относительно сложно.В частности, можно определить главное значение аргумента отдельно на двух полуплоскостях x > 0 и x <0 (разделенных на два квадранта, если требуется разрезать ветвь на отрицательной оси x ), y > 0, y <0, а затем исправить вместе.
- Arg (x + iy) = atan2 (y, x) = {arctan (yx), если x> 0, arctan (yx) + π, если x <0 и y≥0, arctan (yx) - π, если x <0 и y <0, + π2, если x = 0 и y> 0, −π2, если x = 0 и y <0, undefined, если x = 0 и y = 0.{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x) = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right ) & {\ text {if}} x> 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) + \ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y \ geq 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) - \ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y <0, \\ + {\ frac {\ pi} {2}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y> 0, \\ — {\ frac {\ pi} {2}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y <0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text { и}} y = 0. \ end {ases}}}
Компактное выражение с 4 перекрывающимися полуплоскостями
- Arg (x + iy) = atan2 (y, x) = {arctan (yx), если x> 0, π2 − arctan (xy), если y> 0, −π2 − arctan (xy), если y <0, arctan (yx) ± π, если x <0, undefined, если x = 0 и y = 0.{\ displaystyle \ operatorname {Arg} (x + iy) = \ operatorname {atan2} (y, \, x) = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right ) & {\ text {if}} x> 0, \\ {\ frac {\ pi} {2}} — \ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) & {\ text { if}} y> 0, \\ — {\ frac {\ pi} {2}} — \ arctan \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) & {\ text {if}} y < 0, \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) \ pm \ pi & {\ text {if}} x <0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {и}} y = 0. \ end {cases}}}
Для варианта, где Arg определен как лежащий в интервале [0, 2π), значение может можно найти, прибавив 2π к значению выше, когда оно отрицательно.{2}}} + x}} \ right) & {\ text {if}} x> 0 {\ text {или}} y \ neq 0, \\\ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {and}} y = 0, \\ {\ text {undefined}} & {\ text {if}} x = 0 {\ text {and}} y = 0. \ end {case}}}
Это основано на параметризации окружности (за исключением отрицательной оси x) рациональными функциями. Эта версия Arg недостаточно стабильна для использования в вычислениях с плавающей запятой (так как она может переполняться около области x <0, y = 0), но может использоваться в символьных вычислениях.{i \ operatorname {Arg} z}.}
Это действительно действительно только, если z не равно нулю, но может считаться действительным для z = 0, если Arg (0) рассматривается как неопределенная форма — скорее, чем как неопределенный.
Далее следуют некоторые другие идентификаторы. Если z 1 и z 2 — два ненулевых комплексных числа, то
- Arg (z1z2) ≡Arg (z1) + Arg (z2) (mod (−π, π]), {\ displaystyle \ operatorname {Arg} (z_ {1} z_ {2}) \ Equiv \ OperatorName {Arg} (z_ {1}) + \ operatorname {Arg} (z_ {2}) {\ pmod {(- \ pi, \ pi]}},}
- Arg (z1z2) ≡Arg (z1) −Arg (z2) (mod (−π, π]).{i \ theta}}, легко следует, что Arg (z) = — ilnz | z | {\ displaystyle \ operatorname {Arg} (z) = — i \ ln {\ frac {z} {| z | }}}. Это полезно, когда доступен комплексный логарифм.
Список литературы []
Библиография []
- Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: Введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной (3-е изд.). Нью-Йорк; Лондон: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-000657-1 .
- Поннусвами, С.(2005). Основы комплексного анализа (2-е изд.). Нью-Дели; Мумбаи: Нароса. ISBN 978-81-7319-629-4 .
- Бирдон, Алан (1979). Комплексный анализ: принцип аргументации в анализе и топологии . Чичестер: Вайли. ISBN 0-471-99671-8 .
- Боровский, Ефрем; Борвейн, Джонатан (2002) [1-е изд. 1989 как Математический словарь ]. Математика . Словарь Коллинза (2-е изд.).Глазго: HarperCollins. ISBN 0-00-710295-X .