Советы и лайфхаки

Матлаб решение системы линейных уравнений – matlab — Матлаб: Решение символической системы линейных уравнений с функциями интерполяции

Решение СЛАУ и матрицы в Matlab

Доброго времени суток, читатели! Сегодня мы поговорим о матрицах в Matlab, об их применении в решении систем линейных алгебраических уравнений. Подробно разберем методы решения, и для этого необходимо знание нескольких базовых алгоритмов.

Также стоит отметить, что у каждого алгоритма, которым мы будем искать решение СЛАУ в Matlab, своя скорость нахождения этого решения, наличие или отсутствие условия выполнения алгоритма и т.д.

В традициях нашего сайта разберём на примере:

Решить систему линейных уравнений:

4*a + b - c = 6
a - b + c = 4
2*a - 3*b - 3*c = 4

Метод обратной матрицы в Matlab

Начнем с достаточно распространенного метода. Его суть состоит в том, что сначала необходимо выписать коэффициенты при a, b и c (то есть те коэффициенты, которые находятся слева) в одну матрицу, а свободный член (то есть то, что справа) в другую.

В итоге у нас получится 2 матрицы:

A=[4  1 -1; 1 -1  1; 2 -3 -3];   % коэффициенты
B=[6; 4; 4];

Для реализации этого метода (и следующих методов тоже) требуется одно условие: чтобы определитель матрицы, составленной из коэффициентов левой части не был равен нулю. Проверка на определитель:

det(A)

Вывод: 30

После проверки условия можем перейти к следующему шагу: нахождение обратной матрицы. В Matlab для этого используется оператор inv.
А само решение СЛАУ в Matlab находится как перемножение найденной обратной матрицы на матрицу свободных членов:

x=inv(A)*B

Вывод:
2
-1
1

Мы получили 3 значения, которые и соответствуют нашим коэффициентам: то есть a = 2, b = -1, c = 1. Можете проверить, подставив полученные ответы в исходную систему, и убедиться, что мы решили СЛАУ правильно.

Также следует отметить, что матрицы нужно перемножать именно, как сделали мы, то есть слева обратная матрица, справа матрица свободных членов.

Если вы не все поняли, то советую вам почитать нашу статью по основам Matlab.

Метод Гаусса

Метод Гаусса в Matlab реализуется достаточно просто: для этого нам нужно всего лишь изучить один новый оператор.
(\) - левое деление.
При следующей записи:

x = A\B

Вывод:
2
-1
1

Мы получим ответы на нашу исходную систему. Только заметьте, мы решили СЛАУ стандартным набором функций в Matlab, и желательно этот оператор использовать когда матрица коэффициентов квадратная, так как оператор приводит эту матрицу к треугольному виду. В других случаях могут возникнуть ошибки.

Метод разложения матрицы

Теперь поговорим о разложении матрицы. Нахождение решения через разложение матрицы очень эффективно. Эффективность обусловлена скоростью нахождения решения для данного вида систем и точностью полученных результатов.

Возможны следующие разложения:

  • разложение Холецкого
  • LU разложение
  • QR разложение

Разберём решение через LU и QR разложение, так как в задачах чаще всего встречается задание на решение именно через такие разложения.

Основное отличие этих двух разложений: LU разложение применимо только для квадратных матриц, QR — возможно и для прямоугольных.

LU разложение

Решим выше предложенную задачу через LU разложение:

[L, U] = lu(A);

Вывод:

L =
    1       0     0
    0.25    1     0
    0.5     2.8   1

U =
    4     1     -1
    0    -1.25   1.25
    0     0     -5

Затем:

y = L\B;
x = U\y

Вывод:

2
-1
1

QR разложение

И через QR разложение соответственно:

[Q, R] = qr(A);
x = R\(Q'*B)

Вывод:

2.0000
-1.0000
1.0000

Отметим, что апостроф (  '  ) после Q означает транспонирование.

Стандартные функции Matlab

Так же Matlab предлагает функцию linsolve, с помощью которой возможно решить систему линейных алгебраических уравнений. Выглядит это так:

x = linsolve(A,B)

Вывод:

2
-1
1

Как видите, ничего сложного тут нет, на то они и стандартные функции Matlab.

Повторение

Итак, сегодня мы с вами изучили несколько методов для решения СЛАУ в Matlab, как с помощью матриц, так и с помощью стандартных функций. Давайте их повторим на другом примере:

Решить систему линейных уравнений:
6*a - b - c = 0
a - 2*b + 3*d = 0
3*a - 4*b - 4*c = -1

A=[6 -1 -1; 1 -2 3; 3 -4 -4];
B=[0; 0; -1];
  • Методом обратной матрицы:
x=inv(A)*B

Вывод:
    0.0476
    0.1810
    0.1048
  • Методом Гаусса:
  • x = A\B
    
    Вывод:
        0.0476
        0.1810
        0.1048
    
  • LU разложение:
  • [L, U] = lu(A);
    y = L\B;
    x = U\y
    
    Вывод:
        0.0476
        0.1810
        0.1048
    
  • QR разложение:
  • [Q, R] = qr(A);
    x = R\(Q'*B)
    
    Вывод:
        0.0476
        0.1810
        0.1048
    

    На этом я с вами попрощаюсь, надеюсь, вы научились применять матрицы в Matlab для решения СЛАУ.

    Поделиться ссылкой:

    Похожее

    codetown.ru

    3.6. Решение систем линейных уравнений средствами пакета matlab

    Для решения систем линейных уравнений и связанных с ними матричных операций применяются операторы: сложения (+), вычитания (), умножения (*), деления справа (/), деления слева (\), возведения в степень (^), транспонирования (), действие которых определяется правилами линейной алгебры.

    Пусть задана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

    . (3.61)

    Система уравнений (1) в матричной форме представляется следующим образом:

    АХ = В, (3.62)

    где А – квадратная матрица коэффициентов, размером n  n строк и столбцов;

    Х – вектор-столбец неизвестных;

    В – вектор-столбец правых частей.

    Систему уравнений (2) можно решить различными методами. Один из наиболее простых и эффективных методов является метод исключения Гаусса и его модификации. Алгоритм метода основан на приведении матрицы А к треугольному виду (прямой ход) и последовательном вычислении неизвестных (обратный ход). Эти процедуры можно выполнять над невырожденными матрицами, в противном случае метод Гаусса неприменим.

    Недостатком метода является накапливание погрешностей в процессе округления, поэтому метод Гаусса без выбора главных элементов используется обычно для решения сравнительно небольших (n100) систем уравнений с плотно заполненной матрицей и не близким к нулю определителем. Если матрица А сильно разрежена, а ее определитель не близок к нулю, то метод Гаусса не пригоден для решения больших систем уравнений.

    В MATLAB имеется обширный арсенал методов решения систем уравнений (2). Для этого применяются следующие операторы

    /

     правое деление;

    \

     левое деление;

    - 1

     возведение в степень –1;

    inv(A)

     обращение матрицы А.

    Выражения

    Х=В/A’

    Х=В* (А^ 1)’

    Х=В* inv(A’)

    Х=A

    дают решения ряда систем линейных уравнений АХ = В, где А – матрица размером m  n, В – матрица размером m  к. Более сложные случаи решения систем уравнений (2) с плохо обусловленной матрицей А требуют применения специальных методов решения.

    Для решения системы линейных уравнений вида

    Ax=b,

    где A  матрица коэффициентов при неизвестных, x  вектор-столбец неизвестных, b  вектор-столбец свободных членов, в пакете MATLAB достаточно выполнить следующую команду:

    >> A^-1*b

    Пример 1.

    Решить систему 4-х линейных уравнений:

    Протокол программы (в скрипт-файле)

    a= [1.1161 0.1397 0.1254 0.1490 ;

    0.1582 0.1768 1.1675 0.1871 ;

    0.1968 1.2168 0.2071 0.2271 ;

    0.2368 0.2568 0.2471 1.2671] ;

    b= [1.5471 ; 1.6471 ; 1.7471 ; 1.8471] ;

    Х4 = а \ b

    Рис.1 Скрипт-файл решения СЛАУ с помощью оператора Х=A\В

    в окне редактора-отладчика

    Эта программа выдает решение заданной системы с помощью четвертого оператора в виде матрицы – столбца

    Х4=

    1.0406

    0.9351

    0.9870

    0.8813

    X1 = b’/a’

    X2 = b’*(a^-1)’

    X3 = b’*inv(a’)

    Результаты решения

    X1 =

    1.0406 0.9351 0.9870 0.8813

    X2 =

    1.0406 0.9351 0.9870 0.8813

    X3 =

    1.0406 0.9351 0.9870 0.8813

    Отметим, что сравнение скорости решения системы линейных уравнений с помощью средств матричной алгебры пакета MATLAB и функции Zeidel( ), листинг которой приведен в предыдущем разделе свидетельствует о неоспоримом преимуществе первых.

    Данное обстоятельство обусловлено тем, что в пакете MATLAB, который изначально разрабатывался для проведения матричных вычислений, используются специальные быстрые алгоритмы для выполнения арифметических операций с матрицами. Поэтому при решении каких-либо прикладных задач, в ходе которого возникает необходимость решения систем линейных уравнений, целесообразнее использовать встроенные возможности пакета MATLAB.

    studfiles.net

    Решение систем линейных алгебраических уравнений в пакете MATLAB

    Решение систем линейных алгебраических уравнений в пакете MATLAB

    Ранее » Возможности MATLAB ‣ левостороннее деление › x = Ab ‣ обратная матрица › x = inv(A)*b 2/13/2018 2

    Небольшие системы уравнений » Небольшая система содержит, как привило, не более трех уравнений » Решение, чаще всего, может не требовать компьютера » Методы ‣ графический ‣ Крамера ‣ исключения неизвестных 2/13/2018 3

    Графический метод » 2/13/2018 4

    Сложные случаи решений » Три случая 1. 2. 3. Параллельные линии › нет решения Совпадающие линии › множество решений Близкие линии › трудно определить точку пересечения » Системы в 1 и 2 случае называются – вырожденными (особыми, сингулярными) » Случай 3 соответствует плохо обусловленной системе ‣ существуют сложности при численном решении 2/13/2018 5

    Метод Крамера » 2/13/2018 6

    Метод Крамера » 2/13/2018 7

    Исключение неизвестных » 2/13/2018 8

    Исключение неизвестных » 2/13/2018 9

    Метод Гаусса » 2/13/2018 10

    Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 11

    Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 12

    Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 13

    Метод Гаусса – Прямой ход » 2/13/2018 14

    Метод Гаусса – Обратный ход » 2/13/2018 15

    Пример 2/13/2018 16

    Метод Гаусса с обратной подстановкой » В рассмотренном варианте метода Гаусса могут возникнуть ситуации когда решение не может быть найдено или иметь существенную погрешность ‣ например, в случае если главный элемент равен 0, при нормализации возникает деление на 0 ‣ также существенно меньшее значение главного элемента по сравнению с остальными может привести к увеличению погрешности вычислений » Решение – выбор главного элемента ‣ частный › выбор максимального значения главного элемента с последующей перестановкой строк ‣ полный (применяется редко) › выбор максимального значения главного элемента с последующей перестановкой строк и столбцов 2/13/2018 17

    Пример – Частный выбор главного элемента » 2/13/2018 18

    Пример – Частный выбор главного элемента Разряды х2 х1 Ошибка х1, % 3 0, 667 -3, 33 1099 4 0, 6667 0, 0000 100 5 0, 66667 0, 30000 10 6 0, 666667 0, 330000 1 7 0, 6666667 0, 3330000 0, 1 Разряды х2 х1 Ошибка х1, % 3 0, 667 0, 333 0, 1 4 0, 6667 0, 3333 0, 01 5 0, 66667 0, 33333 0, 001 6 0, 666667 0, 333333 0, 0001 7 0, 6666667 0, 3333333 0, 0000 » 2/13/2018 19

    Пример – MATLAB 2/13/2018 20

    Расчет определителя матрицы » 2/13/2018 21

    Факторизация матриц » В математике факторизация или факторинг - это декомпозиция объекта (например, числа, полинома или матрицы) в произведение других объектов или факторов, которые, будучи перемноженными, дают исходный объект » Целью факторизации является приведение объекта к «основным строительным блокам» ‣ Матрица может также быть факторизована на произведение матриц специального вида для приложений, в которых эта форма удобна » Виды факторизации матриц ‣ LU ‣ Холецкого ‣ QR 2/13/2018 22

    LU факторизация » 2/13/2018 23

    LU факторизация » 2/13/2018 24

    ‣ факторизация › выполняется декомпозиция матрицы А на верхнюю U и нижнюю L треугольные матрицы ‣ подстановка › прямая подстановка определяет промежуточный вектор d › обратная подстановка определяет вектор неизвестных x 2/13/2018 прямая обратная 25 подстановка » Два основных шага решения системы факторизация LU факторизация

    Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 26

    Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 27

    Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 28

    Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 29

    Пример - Проверка » 2/13/2018 30

    Пример - Проверка » 2/13/2018 31

    Метод Гаусса как LU факторизация » 2/13/2018 32

    Пример » 2/13/2018 33

    Пример » 2/13/2018 34

    LU факторизация с выбором главного элемента » Аналогично методу Гаусса для обеспечения надежности решения при использовании LU факторизации необходимо применять частный выбор главного элемента ‣ одним из способов является использование матрицы перестановки › единичная матрица для взаимной замены строк и столбцов 2/13/2018 35

    LU факторизация с выбором главного элемента » 2/13/2018 36

    Пример » 2/13/2018 37

    Пример » 2/13/2018 38

    LU факторизация – MATLAB функции » lu ‣ [L, U] = lu(A) – возвращает верхнюю треугольную матрицу U и психологическую нижнюю матрицу L (то есть произведение нижней треугольной матрицы и матрицы перестановок), так что A=L*U ‣ [L, U, P] = lu(A) – возвращает верхнюю треугольную матрицу U, нижнюю треугольную матрицу L и сопряженную (эрмитову) матрицу матрицы перестановок P, так что L*U =P*A 2/13/2018 39

    Пример 2/13/2018 40

    Факторизация Холецкого » 2/13/2018 41

    Пример » 2/13/2018 42

    Пример » 2/13/2018 43

    Факторизация Холецкого » 2/13/2018 44

    Факторизация Холецкого – MATLAB функции » chol ‣ U = chol(A) – для квадратной матрицы A возвращает верхнюю треугольную матрицу U, так что U'*U=A › Разложение Холецкого возможно для действительных и комплексных эрмитовых матриц 2/13/2018 45

    Пример 2/13/2018 46

    Левостороннее деление MATLAB » При использовании левостороннего деления «» MATLAB выполняет оценку матрицы коэффициентов и применяет оптимальный метод для решения ‣ MATLAB проверяет вид матрицы коэффициентов при неизвестных для возможности нахождения решения без применения полного метода Гаусса › разреженная › треугольная › симметричная ‣ В противном случае применяется для квадратной матрицы применяется метод Гаусса с частным выбором главного элемента 2/13/2018 47

    QR факторизация » 2/13/2018 48

    QR факторизация – MATLAB функции » qr ‣ [Q, R] = qr(A) – вычисляет верхнюю треугольную матрицу R того же размера, как и у A, и унитарную матрицу Q, так что X=Q*R ‣ [Q, R, P] = qr(A) – вычисляет матрицу перестановок P, верхнюю треугольную матрицу R с убывающими по модулю диагональными элементами и унитарную матрицу Q, так что A*P=Q*R › Матрица перестановок P выбрана так, что abs(diag(R)) уменьшается ‣ [Q, R] = qr(A, 0) и [Q, R, P] = qr(A, 0) – вычисляют экономное разложение, в котором P – вектор перестановок, так что Q*R=A(: , P) › Матрица P выбрана так, что abs(diag(R)) уменьшается 2/13/2018 49

    Пример 2/13/2018 50

    Итерационные методы » Итерационные или аппроксимационные методы являются альтернативой ранее рассмотренным методам решения СЛАУ, основанным на исключении неизвестных » Можно выделить два основных этапа ‣ выбор начального приближения ‣ последующее систематическое уточнение » Методы ‣ ‣ ‣ 2/13/2018 Гаусса-Зейделя Якоби релаксации бисопряженных градиентов и др. 51

    Метод Гаусса-Зейделя » 2/13/2018 52

    Метод Гаусса-Зейделя » 2/13/2018 53

    Пример » 2/13/2018 54

    Пример » 2/13/2018 55

    Пример » 2/13/2018 56

    Метод Якоби » Метод Гаусса-Зейделя использует найденное значение х сразу же для нахождения следующего х из другого уравнения » Несколько альтернативный подход, называемый методом Якоби, заключается в расчете всех х на основании предыдущей итерации Гаусса-Зейдель 2/13/2018 Якоби 57

    Сходимость и диагональное преобладание » 2/13/2018 58

    Пример » 2/13/2018 59

    Метод релаксации » 2/13/2018 60

    Метод релаксации » 2/13/2018 61

    Пример » 2/13/2018 62

    Пример » 2/13/2018 63

    Пример » 2/13/2018 64

    present5.com

    Решение систем линейных уравнений

    В общем случае не требуется, чтобы матрица коэффициентов A была бы квадратной. ЕслиA имеет размер mхn, то возможны три случая:

    1.m = n Квадратная система. Ищется точное решение.

    2.m > n Переопределенная система. Ищется решение методом наименьших квадратов.

    3.m < n Недоопределенная система. Находится базовое решение с самым большим

    числом m ненулевых компонент.

    Оператор \ использует различные алгоритмы для решения систем линейных уравнений с разными типами матриц коэффициентов. Различные случаи, которые диагностируются автоматически по типу матрицы коэффициентов, включают:

    •Перестановки треугольных матриц

    •Симметричные, положительно определенные матрицы

    •Квадратные невырожденные матрицы

    •Прямоугольные, переопределенные системы

    •Прямоугольные, недоопределенные системы

    Квадратные системы

    Наиболее часто встречающейся ситуацией является квадратная матрица коэффициентовA и одномерныйвектор-столбецb справа, т.е.Ax = b. Решениеx = A\b имеет при этом тот же размер, что и векторb. Например,

    x = A\u

    x =

    10 -125

    где матрица А есть приведенная выше матрица Паскаля. Легко удостовериться, чтоA*x в точности равно векторуu (численные значения этого вектора даны выше).

    Если A иB являются квадратными и имеют одинаковый размер, тоX = A\B имеет тот же размер, например

    X = A\B

    Легко убедиться, что A*X в точности равноB.

    Оба этих примера имеют точное решение в виде целых чисел. Это связано с тем, что в качестве матрицы коэффициентов была выбрана матрица Паскаляpascal(3), чей детерминант равен единице. Далее будут рассмотрены примеры влияния ошибок округления, возникающих в более реальных системах.

    Квадратная матрица A являетсясингулярной, если ее столбцы не являются линейно независимыми. ЕслиA – сингулярна, то решениеAX = B или не существует, или не является единственным. Оператор \ ,A\B, выдает предупреждающее сообщение, если матрицаA близка к сингулярной и сообщение об ошибке, если определено равенство нулю детерминанта матрицыА.

    studfiles.net

    1.4. Решение системы алгебраических линейных уравнений MATLAB

    r4=r1C41

    при C41

    = C21C32C43

    (1.28)

    r1=r4C14

    при C14

    = C΄43C΄32C΄21

     

    Матрицу C14 можно также получить изC41 путем формального изменения знаков:ϕ →−ϕ,ψ →−ψ,θ →−θ , ввиду изменения направления отсче-

    та углов.

    Перепроецирование тензоров

    Наряду с векторами (являющимися тензорами первого ранга), в механике встречаются также тензоры второго ранга – физические величины, которые определяются шестью скалярами в исходной системе, заполняющими симмметрическую3x3-матрицуи определенной формулой перепроецирования на повернутые системы. К тензорам второго ранга относятся тензор инерции в точке абсолютно твердого тела, тензоры деформаций и напряжений в точке твердого деформированного тела.

    Пусть в “нулевой” системе Oxyz задан тензор второго ранга симметрической (3x3) матрицейJ. Тензор в повернутой системеOx1y1z1 определяются симметрической матрицейJ1, элементы которой вычисляются через исходные элементы по матричной формуле:

    J1= C΄10J C10= C01J C10(1.29)

    где C10 - матрица поворота первой системыOx1 y1z1 от исходной системыOxyz . Очевидно, что элементы матрицы (1.29) содержат вторые степени и

    произведения направляющих косинусов.

    Формула обратного перепроектирования из первой системы в исходную (нулевую):

    Выражение (1.29) отличается по форме от выражения для вектора (1.26) дополнительным множителем – транспонированной матрицей поворота новой системы от исходной системы отсчета.

    За геометрический образ тензора инерции второго ранга обычно принимают трехосный эллипсоид с центром в точке O, осямиOx,Oy,Oz занимающими в теле определенное угловое положение.

    Рассмотрим систему линейных неоднородных алгебраических уравне-

    ний, представленных в виде матричного уравнения

    (1.31)

    *

    V A + B= zeros(1, n),

     

    Здесь А — заданная неособая (т.е. det(A)≠ 0 ) квадратная(n×n)-матрица,V и

    B—вектор-строкиразмера (1×n),B - заданнаявектор-строка.Здесь все члены уравнения перенесены в левую часть.

    В MATLAB решение системы (1.31) возвращается функциями правого или левого деления матриц, в виде

    V=–B/A

    или

    V=–(A΄\B΄)΄,

    (1.32)

     

     

     

    12

    studfiles.net

    matlab - решение линейной комплексной системы уравнений

    Это математическая проблема. В принципе, у вас есть четыре уравнения с четырьмя неизвестными, когда вы разделяете компоненты реального/изображения

    A*(1+2i) + B*(100i) =10i;
    CONJ(A)*(11i) +B*(12+ 17i)= 167;
    

    эквивалентно

       real(A) - 2*imag(A)                 - 100*imag(B) =  0
     2*real(A) +   imag(A) +  100*real(B)                = 10
                11*imag(A) +   12*real(B)  -  17*imag(B) = 167
    11*real(A)             +   17*real(B)  +  12*imag(B) = 0
    

    Затем определим коэффициенты x = [real (A) imag (A) real (B) imag (B)] в ваших линейных уравнениях и решим для них как

    A= [1   -2    0  -100
        2    1  100     0
        0   11   12   -17
       11    0   17    12];
    
    b = [0 10 167 0]';
    
    A\b
    
    ans =
    
      0.4049
     14.7920
     -0.0560
     -0.2918
    

    so A=0.4049+14.7929i, B = -0.0560 -0.2908i

    с некоторыми средними ошибками округления.

    Конечно, это не очень полезно, если у вас есть 10 комплексных уравнений (20 уравнений из 20 неизвестных). Однако вы можете переписать систему выше как

        real(A)                 -   2*imag(A)  - 100*imag(B)  =  0
                +   12*real(B)  +  11*imag(A)  -  17*imag(B)  = 167
      2*real(A) +  100*real(B)  +     imag(A)                 = 10
     11*real(A) +   17*real(B)                 +  12*imag(B)  = 0
    

    и определяя

    D= [(1+2i)    (100i) 
         (11i)  (12+17i) ]; 
    
    c = [10i 167]';     
    

    (из исходной системы Dx = c) можно признать, что это E * x_ = f с

    E = [ real(D) -imag(D) 
          imag(D)  real(D) ];
    
    f =  [real(c) ; imag(c)];
    

    за исключением того, что некоторые члены имеют знаки, переключаемые из-за операции сопряжения. Эту проблему можно разделить путем умножения массива E на соответствующую матрицу ones со знаком, инвертированным для членов, участвующих в комплексно-сопряженной операции. Это можно сделать следующим образом. Определите матрицу conj, содержащую 1 в местах исходной пары уравнений, где применяется сопряженная операция:

    conj=[ 0 0
           1 0];
    

    Тогда знаковая матрица

    sgn = 2* ([ imag(conj) -real(conj) 
               real(conj)  imag(conj)]+1 >0)-1;
    

    и решение

    (E.*sgn)\f
    
    ans =
    
        0.4049
       -0.0560
       14.7920
       -0.2918
    

    qaru.site

    Решение систем линейных алгебраических уравнений в системе MATLAB

    Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса

    Метод Жордана - Гаусса является одной из модификаций метода Гаусса, в котором матрица коэффициентов при неизвестных последовательно приводится к единичной матрице, а на месте столбца свободных членов в расширенной матрице в результате располагается решение системы линейных алгебраических уравнений:

    ,

    где - коэффициенты системы, - свободные члены, - неизвестные.

    Сущность этого метода заключается в том, что, начиная со второго шага, зануляются все элементы в соответствующем столбце, кроме элемента, стоящего на главной диагонали. Это достигается с помощью алгебраических преобразований аналогичных классическому методу Гаусса. Если имеется система линейных алгебраических уравнений - го порядка, то на каждом шаге прямого хода метода Гаусса в каждом столбце матрицы коэффициентов зануляется ровно коэффициент.

    Стандартной функцией, которая реализует метод Жордана-Гаусса в системе MATLAB , является функция rref(). Аргументом у этой функции является расширенная матрица коэффициентов.

    Пример: решить с помощью метода Жордана –Гаусса систему линейных алгебраических уравнений

    .

    >> A=[3 2 -1;2 -1 3;1 -2 2]; B=[4;9;3];

    >> AB=[A B]

    AB =

    3 2 -1 4

    2 -1 3 9

    1 -2 2 3

    >> rref(AB)

    ans =

    1 0 0 1

    0 1 0 2

    0 0 1 3

    Для решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью MATLAB можно применять оператор «\», который самостоятельно выбирает лучший метод для решения заданной системы уравнений. При этом решение системы линейных алгебраических уравнений любого порядка достигается одной командой:

    Индивидуальные задания

    · Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса,

    · решить систему линейных алгебраических уравнений методом Жордана- Гаусса в системе MATLAВ.

     

    Таблица 4

     

    Продолжение табл. 4

    Окончание табл. 4

    Содержание соответствующего раздела

    В пояснительной записке

    Данный раздел должен содержать:

    · краткие теоретические сведения,

    · исследование системы линейных алгебраических уравнений на совместность,

    · аналитическое решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса,

    · решение системы линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса в системе MATLAB,

    · сравнение полученных результатов, найденных разными способами.

     


    

    infopedia.su

    Отправить ответ

    avatar
      Подписаться  
    Уведомление о