Какие числа называют близнецами – Презентация на тему: «ЧИСЛА БЛИЗНЕЦЫ. Простые числа, разность которых равна 2, называются близнецами. Любопытно, что в натуральном ряду имеется даже «тройня»

Простые близнецы — это… Что такое Простые близнецы?

Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2.

Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5) имеют вид .

Первые простые числа-близнецы:

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), 
  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),
  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),
  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа [1].

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По гипотезе Харди-Литтлвуда, количество π₂(x) пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

где C₂ — константа простых-близнецов:

Теорема Бруна

Вигго Брун в 1919 доказал, что и ряд обратных величин сходится

Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко.

Значение называется константой Бруна для простых-близнецов.

Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщенных простых близнецов.

Списки

Самые большие известные простые близнецы

Простые числа-триплеты

Это, тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими, простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как, во всех остальных случаях, разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщёно, последовательность простых чисел (p, p+2, p+6) или (p, p+4, p+6) называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317 ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

На данный момент, наибольшими известными простыми-триплетами являются числа:

(p, p+2, p+6), где p = 2072644824759 × 2³³³³³ − 1 (10047 цифр, ноябрь, 2008, Norman Luhn, François Morain, FastECPP)

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Простые числа-близнецы — это… Что такое Простые числа-близнецы?

Простые числа-близнецы, или парные простые числа — пары простых чисел, отличающихся на 2.

Общая информация

Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид .

По модулю 30 все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид (11, 13), (17, 19) или (29, 31).

Первые простые числа-близнецы:

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), 
  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),
  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),
  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа ^[1]. Они были найдены 24 декабря 2011 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid^[2].

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По гипотезе Харди-Литтлвуда, количество пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

где  — константа простых-близнецов:

Теорема Бруна

Вигго Брун в 1919 доказал, что и ряд обратных величин сходится

Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко.

Значение называется константой Бруна для простых-близнецов.

Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщенных простых близнецов.

Списки

Самые большие известные простые близнецы

Простые числа-триплеты

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщёно, последовательность простых чисел (p, p+2, p+6) или (p, p+4, p+6) называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

На данный момент наибольшими известными простыми-триплетами являются числа:

(p, p+2, p+6), где p = 2072644824759 × 2³³³³³ − 1 (10047 цифр, ноябрь, 2008, Norman Luhn, François Morain, FastECPP)

Квадруплеты простых чисел

Четвёрки простых чисел вида (p, p+2, p+6, p+8) или сдвоенные близнецы или квадруплеты:

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309),… — последовательность A007530 в OEIS.

По модулю 30 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).

По модулю 210 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13, 17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

Секступлеты простых чисел

Шестёрки простых чисел вида (p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16):

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) … — последовательность A022008 в OEIS.

По модулю 210 все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103, 107, 109, 113).

См. также

Примечания

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011.

dic.academic.ru

Числа близнецы в математике, чжан итан

Простые числа-близнецы это пара простых чисел, разница между которыми составляет 2.

Наименьшими числами-близнецами являются: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71 , 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229 ), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827 , 829), (857, 859), (881, 883)

1.

Свойства

• Все пары простых-близнецов кроме (3, 5) имеют вид .

Действительно для любой пары простых чисел-близнецов число, находящееся между ними является то четным. Также оно делится на 3, поскольку из трех последовательных чисел одно должно делиться на три. Поэтому данное число также делится на 6, а двое соседних чисел имеют вид

• Числа m, m + 2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда:

Действительно

Действительно выполняется в том и только том случае, когда выполняются равенства:

Первая из этих равенств эквивалентна , Что согласно теоремой Уилсона выполняется тогда и только тогда, когда m простое число.

Во второй равенства домножимо обе части на m. После элементарных преобразований получаем:

Нетрудно заметить, что последняя равенство выполняется в том и только том случае, когда , Что согласно варианту теоремы Уилсона эквивалентно утверждению, что число m + 2 — простое.

• Теорема Бруна: Ряд из чисел обратных к числам-близнецов сходится:

Число, являющееся суммой ряда называется константой Бруна.

2. Самые известные простые-близнецы

В настоящее время наибольшей известной парой простых-близнецов является 65516468355 ? 2 ³³³³³³ ? 1. ^[1][2] Шесть крупнейших известных пар:

3. Гипотеза о бесконечности

Одним из знаменитых открытых проблем теории чисел является конечность или бесконечность простых-близнецов. Интуитивно большинство математиков склоняются к мысли о существовании бесконечного множества таких чисел однако этот факт остается доказанным.

3.1. Гипотеза Харди-Литлвуда

По гипотезе Харди-Литлвуда количество пар простых-Близнюков, не превышающих x, асимптотически приближается к

где — Константа простых-близнецов:

4. Простые числа-триплеты

Последовательность простых чисел (p, p +2, p +6) или (p, p +4, p +6) называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317 ), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

В настоящее время крупнейшими известными простыми числами-триплетами являются:

(P, p +2, p +6), где

p = 2072644824759 ? 2 ³³³³³ — 1 (10047 цифр, ноябрь, 2008, Norman Luhn, Fran?ois Morain, FastECPP)

Примечания

rpilot62.ru

Простые близнецы Википедия

Числа-близнецы (парные простые числа) — пары простых чисел, отличающихся на 2.

Общая информация

Все пары чисел-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид 6n±1,{\displaystyle 6n\pm 1,} так как числа с другими вычетами по модулю 6 делятся на 2 или на 3. Если учитывать также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид 30n±1{\displaystyle 30n\pm 1}, 30n+12±1{\displaystyle 30n+12\pm 1} либо 30n+18±1{\displaystyle 30n+18\pm 1}. Для любого целого m⩾2{\displaystyle m\geqslant 2} пара (m,m+2){\displaystyle (m,m+2)} является парой чисел-близнецов тогда и только тогда, если 4[(m−1)!+1]+m{\displaystyle 4[(m-1)!+1]+m} делится на m(m+2){\displaystyle m(m+2)} (следствие теоремы Вильсона).

Первые числа-близнецы^[1]:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Наибольшими известными простыми-близнецами являются числа 2996863034895⋅21290000±1{\displaystyle 2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1}^[2]. Они были найдены в сентябре 2016 года в рамках проекта добровольных вычислений PrimeGrid^[3][4].

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По первой гипотезе Харди — Литтлвуда (англ.), количество π2(x){\displaystyle \pi _{2}(x)} пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

π2(x)∼2C2∫2xdt(ln⁡t)2,{\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}},}

где C2{\displaystyle C_{2}} — константа простых-близнецов:

C2=∏p≥3(1−1(p−1)2)≈0.66016118158468695739278121100145…{\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots }

История

Гипотеза о существовании бесконечного числа чисел-близнецов была открытой в течение многих лет. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу: для любого натурального k{\displaystyle k} существует бесконечное число таких пар простых чисел p{\displaystyle p} и p′{\displaystyle p’}, что p−p′=2k{\displaystyle p-p’=2k}».

17 апреля 2013 года Итан Чжан сообщил о доказательстве того, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 70 миллионов. Работа была принята в Анналы математики в мае 2013 года. 30 мая 2013 года австралийский математик Скотт Моррисон сообщил о снижении оценки до 59 470 640^[5]. Буквально через несколько дней австралийский математик, лауреат Филдсовской медали Теренс Тао доказал, что граница может быть уменьшена на порядок — до 4 982 086^[5]. Впоследствии он предложил проекту Polymath совместными усилиями оптимизировать границу.

В ноябре 2013 года 27-летний британский математик Джэймс Мэйнард применил алгоритм, разработанный в 2005 году Дэниелем Голдстоном, Яношом Пинтцем и Семом Йилдиримом, под названием GPY (аббревиатура по первым буквам фамилий), и доказал, что существует бесконечно много соседних простых чисел, лежащих на расстоянии не более 600 друг от друга. В день выхода препринта работы Джеймса Мэйнарда Теренс Тао опубликовал в личном блоге пост с предложением запустить новый проект, polymath8b, и уже через неделю оценка была снижена до 576, а 6 января 2014 — до 270. Наилучший научно доказанный результат был достигнут в апреле 2014 года Пэйсом Нильсеном из университета Брайгама Янга в Юте — 246^[6][5].

В предположении справедливости гипотезы Эллиота — Халберстама и её обобщения оценка может быть снижена до 12 и 6 соответственно^[7].

Теорема Бруна

Ещё Эйлер выяснил (1740), что «ряд обратных простым» расходится:

12+13+15+17+111+⋯=∞{\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+\dots =\infty }

Норвежский математик Вигго Брун доказал (1919), что π2(x)≪x(ln⁡x)2,{\displaystyle \pi _{2}(x)\ll {\frac {x}{(\ln x)^{2}}},} и ряд обратных величин для пар близнецов сходится:

B2=(13+15)+(15+17)+(111+113)+(117+119)+…≈1.902160583104{\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\ldots \approx 1.902160583104}

Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко. Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщённых простых близнецов.

Значение B2≈1.902160583104{\displaystyle B_{2}\approx 1.902160583104} называется константой Бруна для простых-близнецов.

Списки

Самые большие известные простые близнецы:

Простые числа-триплеты

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел (p,p+2,p+6){\displaystyle (p,p+2,p+6)} или (p,p+4,p+6){\displaystyle (p,p+4,p+6)} называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты^[8]:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

По состоянию на 2018 год наибольшими известными простыми-триплетами являются числа (p,p+4,p+6){\displaystyle (p,p+4,p+6)}, где p=6521953289619×255555−5{\displaystyle p=6521953289619\times 2^{55555}-5} (16737 цифр, апрель 2013 года^[9]).

Квадруплеты простых чисел

Четвёрки простых чисел вида (p,p+2,p+6,p+8){\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)} или сдвоенные близнецы или квадруплеты^[10]:

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309), …

По модулю 30 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).

По модулю 210 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13, 17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

Секступлеты простых чисел

Шестёрки простых чисел вида (p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16){\displaystyle (p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16)}^[11]:

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) …

По модулю 210 все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103, 107, 109, 113).

См. также

Примечания

1. ↑ Последовательности A001359, A006512 в OEIS
2. ↑ The Largest Known Primes
3. ↑ Caldwell, Chris K. The Prime Database: 2996863034895*2^1290000-1.
4. ↑ World Record Twin Primes Found!.
5. ↑ ^{1 2 3} Сергей Немалевич. Братишка, ты цел? (рус.). Интернет-издание N+1 (6 ноября 2015). Проверено 10 ноября 2015.
6. ↑ Bounded gaps between primes. Polymath. Проверено 27 марта 2014.
7. ↑ http://arxiv.org/abs/1407.4897 and http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf
8. ↑ Последовательности A007529, A098414, A098415 в OEIS
9. ↑ Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW
10. ↑ Последовательности A007530, A136720, A136721, A090258 в OEIS
11. ↑ Последовательность A022008 в OEIS

По формуле
Последовательности
По свойствам
Зависящие от системы счисления
Модели	Близнецы (p, p + 2) • Цепочка близнецов (n ? 1, n + 1, 2n ? 1, 2n + 1, …) • Тройка простых (p, p + 2 или p + 4, p + 6) • Четвёрка простых (p, p + 2, p + 6, p + 8) • k?Кортеж • Родственные (p, p + 4) • Отличающиеся на 6 (p, p + 6) • Чена • Софи Жермен (p, 2p + 1) • Цепи Куннингама (p, 2p ± 1, …) • Безопасные (p, (p ? 1)/2) • Прогрессии (p + a•n, n = 0, 1, …) • Сбалансированные (последовательные p ? n, p, p + n)
По размеру
Комплексные числа
Составные числа
Связанные разделы

wikiredia.ru

Числа-близнецы — Википедия

Числа-близнецы (парные простые числа) — пары простых чисел, отличающихся на 2.

Общая информация

Все пары чисел-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид 6n±1,{\displaystyle 6n\pm 1,} так как числа с другими вычетами по модулю 6 делятся на 2 или на 3. Если учитывать также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид 30n±1{\displaystyle 30n\pm 1}, 30n+12±1{\displaystyle 30n+12\pm 1} либо 30n+18±1{\displaystyle 30n+18\pm 1}. Для любого целого m⩾2{\displaystyle m\geqslant 2} пара (m,m+2){\displaystyle (m,m+2)} является парой чисел-близнецов тогда и только тогда, если 4[(m−1)!+1]+m{\displaystyle 4[(m-1)!+1]+m} делится на m(m+2){\displaystyle m(m+2)} (следствие теоремы Вильсона).

Первые числа-близнецы^[1]:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Наибольшими известными простыми-близнецами являются числа 2996863034895⋅21290000±1{\displaystyle 2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1}^[2]. Они были найдены в сентябре 2016 года в рамках проекта добровольных вычислений PrimeGrid^[3][4].

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По первой гипотезе Харди — Литтлвуда (англ.), количество π2(x){\displaystyle \pi _{2}(x)} пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

π2(x)∼2C2∫2xdt(ln⁡t)2,{\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{2}}},}

где C2{\displaystyle C_{2}} — константа простых-близнецов:

C2=∏p≥3(1−1(p−1)2)≈0.66016118158468695739278121100145…{\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots }

Видео по теме

История

Гипотеза о существовании бесконечного числа чисел-близнецов была открытой в течение многих лет. В 1849 году де Полиньяк выдвинул более общую гипотезу: для любого натурального k{\displaystyle k} существует бесконечное число таких пар простых чисел p{\displaystyle p} и p′{\displaystyle p’}, что p−p′=2k{\displaystyle p-p’=2k}».

17 апреля 2013 года Итан Чжан сообщил о доказательстве того, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 70 миллионов. Работа была принята в Анналы математики в мае 2013 года. 30 мая 2013 года австралийский математик Скотт Моррисон сообщил о снижении оценки до 59 470 640^[5]. Буквально через несколько дней австралийский математик, лауреат Филдсовской медали Теренс Тао доказал, что граница может быть уменьшена на порядок — до 4 982 086^[5]. Впоследствии он предложил проекту Polymath совместными усилиями оптимизировать границу.

В ноябре 2013 года 27-летний британский математик Джэймс Мэйнард применил алгоритм, разработанный в 2005 году Дэниелем Голдстоном, Яношом Пинтцем и Семом Йилдиримом, под названием GPY (аббревиатура по первым буквам фамилий), и доказал, что существует бесконечно много соседних простых чисел, лежащих на расстоянии не более 600 друг от друга. В день выхода препринта работы Джеймса Мэйнарда Теренс Тао опубликовал в личном блоге пост с предложением запустить новый проект, polymath8b, и уже через неделю оценка была снижена до 576, а 6 января 2014 — до 270. Наилучший научно доказанный результат был достигнут в апреле 2014 года Пэйсом Нильсеном из университета Брайгама Янга в Юте — 246^[6][5].

В предположении справедливости гипотезы Эллиота — Халберстама и её обобщения оценка может быть снижена до 12 и 6 соответственно^[7].

Теорема Бруна

Ещё Эйлер выяснил (1740), что «ряд обратных простым» расходится:

12+13+15+17+111+⋯=∞{\displaystyle {1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 5}+{1 \over 7}+{1 \over 11}+\dots =\infty }

Норвежский математик Вигго Брун доказал (1919), что π2(x)≪x(ln⁡x)2,{\displaystyle \pi _{2}(x)\ll {\frac {x}{(\ln x)^{2}}},} и ряд обратных величин для пар близнецов сходится:

B2=(13+15)+(15+17)+(111+113)+(117+119)+…≈1.902160583104{\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\ldots \approx 1.902160583104}

Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко. Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщённых простых близнецов.

Значение B2≈1.902160583104{\displaystyle B_{2}\approx 1.902160583104} называется константой Бруна для простых-близнецов.

Списки

Самые большие известные простые близнецы:

Простые числа-триплеты

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщённо: последовательность простых чисел (p,p+2,p+6){\displaystyle (p,p+2,p+6)} или (p,p+4,p+6){\displaystyle (p,p+4,p+6)} называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты^[8]:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193, 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

По состоянию на 2018 год наибольшими известными простыми-триплетами являются числа (p,p+4,p+6){\displaystyle (p,p+4,p+6)}, где p=6521953289619×255555−5{\displaystyle p=6521953289619\times 2^{55555}-5} (16737 цифр, апрель 2013 года^[9]).

Квадруплеты простых чисел

Четвёрки простых чисел вида (p,p+2,p+6,p+8){\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)} или сдвоенные близнецы или квадруплеты^[10]:

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309), …

По модулю 30 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).

По модулю 210 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13, 17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

Секступлеты простых чисел

Шестёрки простых чисел вида (p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16){\displaystyle (p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16)}^[11]:

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) …

По модулю 210 все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103, 107, 109, 113).

См. также

Примечания

1. ↑ Последовательности A001359, A006512 в OEIS
2. ↑ The Largest Known Primes
3. ↑ Caldwell, Chris K. The Prime Database: 2996863034895*2^1290000-1.
4. ↑ World Record Twin Primes Found!.
5. ↑ ^{1 2 3} Сергей Немалевич. Братишка, ты цел? (рус.). Интернет-издание N+1 (6 ноября 2015). Проверено 10 ноября 2015.
6. ↑ Bounded gaps between primes. Polymath. Проверено 27 марта 2014.
7. ↑ http://arxiv.org/abs/1407.4897 and http://arxiv.org/pdf/1407.4897v2.pdf
8. ↑ Последовательности A007529, A098414, A098415 в OEIS
9. ↑ Peter Kaiser, Srsieve, LLR, OpenPFGW
10. ↑ Последовательности A007530, A136720, A136721, A090258 в OEIS
11. ↑ Последовательность A022008 в OEIS

По формуле
Последовательности
По свойствам
Зависящие от системы счисления
Модели	Близнецы (p, p + 2) • Цепочка близнецов (n ? 1, n + 1, 2n ? 1, 2n + 1, …) • Тройка простых (p, p + 2 или p + 4, p + 6) • Четвёрка простых (p, p + 2, p + 6, p + 8) • k?Кортеж • Родственные (p, p + 4) • Отличающиеся на 6 (p, p + 6) • Чена • Софи Жермен (p, 2p + 1) • Цепи Куннингама (p, 2p ± 1, …) • Безопасные (p, (p ? 1)/2) • Прогрессии (p + a•n, n = 0, 1, …) • Сбалансированные (последовательные p ? n, p, p + n)
По размеру
Комплексные числа
Составные числа
Связанные разделы

wiki2.red

Простые числа-близнецы

Простые числа-близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2.

Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5) имеют вид 6n\pm 1.

Первые простые числа-близнецы:

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), 
  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),
  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),
  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа 100314512544015 \cdot 2^{171960}\pm 1 [1].

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По гипотезе Харди-Литтлвуда, количество π₂(x) пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2}

где C₂ — константа простых-близнецов:

C_2 = \prod_{p\ge 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots

Теорема Бруна

Вигго Брун в 1919 доказал, что \pi_2(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^2} и ряд обратных величин сходится

B_2=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\ldots

Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко.

Значение B_2 \approx 1.902160583104 называется константой Бруна для простых-близнецов.

Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщенных простых близнецов.

См. также

mediaknowledge.ru

близнецы — это… Что такое числа-близнецы?

Простые числа-близнецы — Простые числа близнецы, или парные простые числа  пары простых чисел, отличающихся на 2. Содержание 1 Общая информация 2 Теорема Бруна 3 Списки …   Википедия

Близнецы (биологич.) — Близнецы, два и более детёныша (ребёнка), рожденные одной матерью почти одновременно, у человека и тех млекопитающих, которые обычно рождают одного детёныша. Ряд учёных распространяет термин «Б.» и на детёнышей обычно многоплодных животных.… …   Большая советская энциклопедия

БЛИЗНЕЦЫ — два и более потомка, рождённые одной матерью почти одновременно, у человека и тех млекопитающих, к рые обычно рождают одного детёныша (и у птиц в случае двухжелтковых яиц). Существуют однояйцевые Б. и разнояйцевые. Однояйцевые монозиготные Б.,… …   Биологический энциклопедический словарь

БЛИЗНЕЦЫ (США) — «БЛИЗНЕЦЫ» (Twins) США, 1988, 107 мин. Комедия. Ученые проводят эксперимент по оплодотворению яйцеклетки некой Энн Мэри Бенедикт спермой шести выдающихся мужчин планеты. В результате рождаются двое абсолютно разных детей, хоть и близнецов. Матери …   Энциклопедия кино

Близнецы — I Близнецы         два и более детёныша (ребёнка), рожденные одной матерью почти одновременно, у человека и тех млекопитающих, которые обычно рождают одного детёныша. Ряд учёных распространяет термин «Б.» и на детёнышей обычно многоплодных… …   Большая советская энциклопедия

БЛИЗНЕЦЫ — простые близнецы, два простых числа с разностью, равной 2. Обобщенные близнецы пары соседних простых чисел с разностью 2т, где т фиксированное натуральное число. Пользуясь таблицей простых чисел, легко указать примеры Б. Это 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13 …   Математическая энциклопедия

Простые-близнецы — Простые числа близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2. Все пары простых близнецов, кроме (3, 5) имеют вид . Первые простые числа близнецы: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107,… …   Википедия

Простые близнецы — Простые числа близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2. Все пары простых близнецов, кроме (3, 5) имеют вид . Первые простые числа близнецы: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107,… …   Википедия

Сиамские близнецы Зита и Гита Резахановы — родились 19 октября 1991 года в селе Западном Сокулукского района Чуйской области (Киргизия). Зита и Гита относятся к типу сиамских близнецов, называемых ишиопагами. Ишиопаги соединены в районе копчика и крестца, причем их позвоночники… …   Энциклопедия ньюсмейкеров

Простые числа, отличающиеся на шесть — Простые числа, отличающиеся на шесть  пара простых чисел вида «p, p + 6»[1]. Например, таковыми являются числа 5 и 11. В английском языке для таких пар чисел применяется термин «sexy primes» (англ. sexy  сексуальный, возбуждающий,… …   Википедия

Счастливое число — В теории чисел счастливое число является натуральным числом множества генерируемое «решетом», аналогичным решету Эратосфена, которое генерирует простые числа. Начнем со списка целых чисел, начиная с 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,… …   Википедия

dic.academic.ru