Задачи паскаль для начинающих с решением: Простые задачи по программированию

Содержание

М.Б. Львовский. Информатика в школе. Задачи и сайты по информатике. Ссылки

UCOZ Реклама

Ссылки по информатике
ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКЕ
Единая коллекция Цифровых Образовательных Ресурсов
Портал информационной поддержки ЕГЭ
Подготовка к ЕГЭ по информатике
Методический центр Северного округа. Новый сайт
Интернет-Университет Информационных Технологий
Каталог учебных web-ресурсов по Информатике и ИКТ
Каталог образовательных ресурсов сети Интернет
Олимпиадные задачи по программированию
Особенности национальных задач по информатике
ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ
Олимпиады для московских школьников
Разбор олимпиадных задач по информатике от М. Густокашина

Сайт «Вместе с детьми». ЗАДАЧИ ПО ИНФОРМАТИКЕ
ЗАДАЧИ по информатике
Козырев С.Б. Олимпиадные задачи по информатике для начинающих
Жилин А.С. ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ по информатике
Разбор олимпиадных задач по информатике
Варианты задач по информатике
Примеры решения задач по информатике (базовый курс *.pdf)
Олимпиады по информатике в Перми 1989-2002 г.
Центр Олимпиадного Программирования
Основы программирования на QBasic
Обучалка по QBasic (103 Кб)
Обучалка по Turbo Pascal (1,78 Мб)
Учебник по языку QBasic
Всё о QBasic
Язык программирования Qbasic
Учебник по QBasic для начинающих
Обучающая программа по Visual Basic
Вводный курс в Visual Basic (zip-арх. 381 Кб)
Полный обучающий курс Turbo Pascal
Методические Пособия по Pascal
Паскаль школьникам
TURBO PASCAL
А Л Г О Д Р О М. АЛГОРИТМИКА и ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Программирование на Паскале
Изучение языка программирования Турбо Паскаль
Полный курс обучения языку программирования Pascal
Turbo Pascal. Введение
Некоторые решённые задачи на Паскале (zip-арх. 55 Кб)
Задачи из контрольных работ (арх. 12 Кб) на Pascal, (zip-арх. 3 Кб) и на QBasic, (zip-арх. 4 Кб)
Задачи на QBаsic и Pascal на символьные массивы и палиндромы (Zip-арх. 44 Кб)
Некоторые главы обучающего курса по Turbo Pascal (zip-арх. 71 Кб)
МАССИВЫ
ЭФФЕКТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ СОРТИРОВКИ МАССИВОВ
Информатика и информационные технологии в образовании
Урок информатики в 11-ом классе. Массивы. Решение задач
Архив учебных программ (информатика)
Массивы. Теория и задачи (zip-арх. 131 Кб)
Информация и её кодирование. Флэш-обучалка (zip-арх. 284 Кб)

Позиционные системы счисления
Разноуровневый учебник по Логомирам
Уроки по Логомирам
Учебник по Логомирам (zip-арх. 1,2 Мб)
Математическое моделирование в естественных науках
Вопросы математического моделирования
Задача на моделирование. Вариант 1
Задача на моделирование. Вариант 2
Срезовая контрольная работа, 9 кл. (doc 22 Кб)
Срезовая контрольная работа, 9 кл., 2 вар. (doc 35 Кб)
Задачи по информатике на составление алгоритмов и программ
Задание по информатике. Тестовые задания (doc 23 Кб)
Измерение информации
Компьютерная графика. Полезные ссылки
Основные понятия компьютерной графики
Разработка профессиональных стандартов для отрасли информационных технологий
Задачи для подготовки к ЕГЭ по информатике (zip-арх. 40 Кб)

Школа № 444. Программа по информатике
Язык BASIC для ПЭВМ
Р.Р. Яфаева Н.Ю. Игнатова. ИНФОРМАТИКА и МАТЕМАТИКА
ИКТ. TeachPro. Информатика. Лекции и задачи по информатике (флэш-анимации)
Информация для учащихся >>
Некоторые интересные сайты по информатике
Мы и образование. Информатика
К уроку информатики. Книги для скачивания
ЕГЭ-2007 по информатике с решением
Угринович Н.Д. Информатика и информационные технологии
Шауцукова Л.З. ИНФОРМАТИКА. Теория (с задачами и решениями) и Зеркало с этого сайта
Ответы по информатике на экзамены 2008 г. для 9 класса
Ответы по информатике на экзамены 2008 г. для 11 класса
Издательство Интерактивная линия. Информатика. Теория и тесты
Сайт «Информатика в школе» учителя информатики Смирновой И.Е.
Сайт учителя информатики Полякова К.Ю.
В.П. ЖУКОВ. ИНФОРМАТИКА. КУРС ЛЕКЦИЙ
Сайт учителя информатики Ремнева А.А.
Материалы для подготовки к экзаменам по информатике
Сайт преподавателя информатики Вешнякова В.А.
С.А. Бешенков и др. Информатика и информация. Пособие для учителей и учащихся 9-11 кл.
Сайт по информатике доцента Микеровой Л.Н.
Олимпиадная информатика
Московская олимпиада по информатике
Тесты по основам И и ИКТ
Кодирование информации
Кодирование информации в курсе информатики средней школы
Сайт Клякс@. net «Информатика в школе. Компьютер на уроках»
Количество информации. Формулы Хартли и Шеннона
Тесты по информатике, языку Паскаль и Excel
Библиотека готовых скриптов
Обучение основам HTML, Excel, Word. Создание и оптимизация сайта

10 уроков по Excel
Первые шаги. MS Office, Windows, Corel Draw, языки программирования
Краткое руководство по языку HTML
Электронный учебник HTML и JavaScript
Библиотека программиста. Раздел HTML
Информатика в школе. Марковская Л.А., Лопатина Н.С. и др.
Курс лекций. Информатика
Библиотека. Публикации учителей. Информатика
Михайлова Н.И. Методическая поддержка курсов по информатике (МИОО)
Изучение и преподавание информатики в школе
Трушин О.В. Информация для информатиков (методика, задачи, тесты)
История развития компьютеров
Поколения ЭВМ: от лампм к микросхемам
Поколения ЭВМ (от 1 до 6)
Информатика. Основные сведения
Внутренние и внешние команды DOS
Команды MS DOS

Операционная система DOS
Алгоритмы — Библиотека алгоритмов
Обработка графической информации
Учебник по Photoshop
ИНФОРМАТИКА В ШКОЛЕ
Юдина А.Г. В помощь учителю информатики
Материалы для подготовки к экзаменам по базовому курсу информатики (9 класс)
Планирование по информатике для учителей + Скачать весь zip-архив 125 Кб
Язык программирования QBasic
Методическое пособие по Excel
Сайт для учителя информатики
Online клавиатурный тренажёр
Олимпиады по информатике
Блокнот учителя информатики
Томилова Е.А. Архитектура компьютера (обучалка)
Заготовки задач для проведения ЕГЭ по информатике
Обучающие программы по информатике
Ссылки для изучения электронных таблиц Excel >>
Задания по Word >>
Введение в базы данных
Н.
Н.Федотов. Защита информации. Учебный курс
Список задач по курсу информатики
Флэш-тесты и файлы по моделированию (Zip-арх. 1,05 Мб)
Контрольные работы по информатике
ИНФОРМАТИКА.РУ
Заочная школа Алтая. Информатика
Тесты по информатике. Тест №1. Информация
Тесты по информатике. Виды работ с информацией
Кабинет информатики. Excel и Access 2000
Ресурсы по информатике и информационным технологиям
ПРИМЕРНЫЕ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ. ИНФОРМАТИКА 9 класс
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ БИЛЕТЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ. ИНФОРМАТИКА И ИКТ. 11 класс
Шакуров З.З. Информатика и физика. Обучающие программы
Львовский М.Б. Сайт учебных программ (информатика и физика)
Львовский М.Б. Интернет-учебник информатики
Львовский М.Б. Новая версия интернет-учебника информатики
Львовский М.Б. Обучающие мультимедиа программы
Львовский М.Б. Алгоритмы и исполнители
Львовский М. Б. Мастер-класс «Информационные технологии»
Львовский М.Б. Мастер-класс «Формы телекоммуникаций в Интернете»
Львовский М.Б. Учебник языка HTML для создания web-страниц
Львовский М.Б. Графики функций в Excel и Turbo Pascal
Львовский М.Б. Устройство IBM PC (в картинках)
Львовский М.Б. Поиск информации в интернете
Львовский М.Б. Апплеты, скрипты, флэши
Львовский М.Б. Лабораторная работа по web-мастерингу
Лаб. информационных технологий МИОО
Проф. Каймин В.А. Электронный Учебник Информатики
Николаева В.А. Программы по информатике
Николаева В.А. Тесты по информатике
Сайт гимназии N 1576
Кафедра информационных технологий гимназии N 1576
Кафедра информатики 2-й школы
Кривые второго порядка. Замечательные кривые

Помощь web-мастеру. Библиотека анимированных картинок
Сайт по информатике В. Самосушева (Пермь)
Проект ИНФОРМАТИКА-21 (программирование в школе)
Дидактические материалы по информатике и программированию
Ресурсный центр ОМЦ Северного округа (старый сайт)
Ресурсный центр ОМЦ Северного округа (новый сайт)
Ресурсный центр ИТ ОМЦ СЗУО
Дистанционное образование. Обучающие сетевые олимпиады ОМЦ СЗУО
Программа для создания презентаций Power Point
Сайт автоматизации электронного делопроизводства
Сазанов В.М. Виртуальная школа компьютерных технологий
Газета «Информатика» (приложение к «Первое сентября»)
В.А. Петухин. Дискретная математика. Булевы функции
Н. Воробьев. Сумматоры: определения, классификация, уравнения, структуры и применение
Демоверсии срезовых контрольных работы 5-11 кл. (Zip-арх. 90 Кб)
Левина Н. С. Срезовая контрольная работа. 8-11 кл. (Zip-арх. 26 Кб)
Левина Н.С. 14 задач по Excel (Zip-арх. 24 Кб)
Левина Н.С. Итоговые контрольные работы по ИИТ, 8, 10, 11 кл. (Zip-арх. 23 Кб)
Решение задач по информатике в Excel. Методические материалы
Сайт кафедры информатики Иркутского ИПКРО (Методические материалы)
i-Школа. Информатика и информационные технологии
Образовательный портал Узбекистана, 5-11 кл., ссылки
История вычислительной техники
Учебник по компьютерной графике
Кодирование информации
Виртуальная лаборатория математического моделирования
Основы информатики и информационных технологий
Соберите свой ПК (флэш-ролик)
Некоторые задачи по информатике (Zip-арх. 3,7 Кб)
Билеты по информатике для 11 кл. с ответами, уровень B
Учебный курс «Работа с СУБД MS Access»
Презентация-обучалка по Access (1,54 Мб)
Николаева В.А. Дистанционный курс по Word
Электронный учебник Word 2000
Некоторые полезные программы для скачивания >>
Логика, таблицы истинности
Простой online HTML-редактор
Репетитор по информатике
Информационные технологии – 10-й класс / 2007-2008
Харченко Е.А. ИНФОРМАТИКА — 10-й класс
Методическое объединение преподавателей информатики
Тесты по информатике
Ответы на билеты по информатике для 11 класса
Задачи и примеры для исполнителя Робот
Н.А.Савченко. ИНФОРМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Учебные таблицы по информатике (Zip-арх. 453 Кб)

Где Решать Задачи По Программированию? — Максим Мельников на DTF

10 948 просмотров

Когда я начал изучать программирование, долго не мог найти место, где можно попрактиковаться в решении задач. В процессе поисков наткнулся на сайт Киберфорум. Туда кто угодно мог выкладывать задачи, например, часто писали студенты, которые не могут решить лабораторки. Конечно обитали там и разработчики. Их было мало и обсуждали они более серьёзные вещи. На этом форуме я и засел на долгое время.

Прошло несколько лет, появились десятки специальных сайтов-тренажёров с задачками по программированию. Однако для новичков вопрос «где практиковаться» до сих пор остаётся открытым, судя по комментариям в моих соцсетях. Поэтому в этой статье я расскажу о 5 лучших сайтах с задачами по программированию на которых ты можешь наработать практику и закрепить теорию. Меня зовут Макс. Я один из авторов YouTube-канала PyLounge. Поехали!

CodeWars

Codewars –онлайн-тренажёр с задачами на различные темы. По моим наблюдениям, это одна из самых популярных в СНГ площадок подобного рода. Здесь можно отрабатывать синтаксис языка, взяться за решение алгоритмических задач или что-то продвинутое по типу шаблонов проектирования. Решать упражнения можно на любом из 60 языков программирования. Все задачи разделены на уровни: с 1 по 8 kyu. Чем ниже номер уровня задачи, тем она сложнее. Соответственно 8 kyu — самые легкие задачи, 1 kyu – самые тяжёлые. Твоё решение сразу проверяются встроенными тестами на сайте. Можно посмотреть или обсудить решения других пользователей. Среди участников есть таблица лидеров, где можно померяться своим kyu’eм. Из минусов – русский язык на сайте отсутствует. Так что придётся напрячь ваши знания «Ландан из э капитал оф инглишь» или пользоваться переводчиком.

Кстати, у нас на канале есть видео, где я решаю задачи с CodeWars на языке Python. Советую посмотреть, чтобы получше ознакомиться площадкой.

CodeForces

Фишка платформы в том, что на ней регулярно проводятся соревнования по программированию. Даже некоторые официальные олимпиады, по типу ICPC, идут на базе CodeForces.

Примерно раз в неделю (иногда чаще, иногда реже) проводятся 2-х часовые соревнования. Они называются «Rounds».

Предлагается несколько задач различной сложности. Решать можно в любом порядке, на любом доступном языке программирования. Сложность определяет сколько баллов вы получите за правильное решение. Проверка решений автоматическая. Для участия в раунде нужно заранее зарегистрироваться.

Каждый участник имеет «рейтинг» — число, которое показывает насколько хорошо он решает задачи на раундах. Если выступать хорошо – рейтинг растёт, плохо – падает.

В зависимости от рейтинга все участники делятся на 3 дивизиона. Раунды обычно и проводятся по этим дивизионам.

Есть специальные «Образовательные соревнования» (Educational Rounds) или «Взломы». Суть как в раундах, с одним отличием. Если вы правильно решили задачу, то можете смотреть решения других пользователей в течении 12 часов. Смотреть не просто так, а чтобы находить в них ошибки.

Если нашли и подтвердили тестом, получаете плюс баллы. Такие приколы проходят раз в несколько месяцев.

После каждого конкурса выкладывают разборы задач в блогах. Для развития собственных скилов полезно анализировать чужие решения. Ещё кстати есть обсуждения.

Иногда на сайте проводятся просто тематические олимпиады, например, первая командная пред-Хэллоуинская интернет-олимпиада.

Кроме того, доступен большой архив с задачами с соревнований, которые уже завершились.

Всё это затевается исключительно в целях обучения и саморазвития, поэтому никаких призов кроме баллов получить нельзя. Опыт и навыки – это самый ценный приз. А ещё их Telegram спонсирует. Пашок в ерунду вкладываться точно не будет.

Project Euler

Project Euler – сайт с коллекцией задач разной сложности. Задания представлены в виде задачек по математике, геометрии и информатике. Например, найти сумму всех чисел последовательности.

На сайте нет онлайн редактора кода. Решаете у себя на компьютере, а затем пишите ответ в форму на сайте.

Доступно 760 упражнений. После того как дан ответ, можно войти в ветку форума этой задачи и посмотреть, как её решили другие. Похожие испытания дают на некоторых собеседованиях. Так проверяют уровень алгоритмической подготовки программиста. Если ты хочешь этот уровень подтянуть, то милости просим на Project Euler. Но только на английском языке.

LeetCode

Здесь тренируются программисты, которые хотят устроиться в крупную компанию. Задачки с LeetCode, или похожие на них, дают на собеседованиях в Google, Яндекс, Microsoft и т.д.

LeetCode – это в первую очередь сайт с задачами по спортивному олимпиадному программированию.

Доступно 1900 задач и 3 уровня сложности. Ориентированы упражнения на алгоритмы и структуры данных. Например, надо найти самую длинную подстроку без повторяющихся символов или обойти граф в ширину. Решать это можно на 20 языка программирования. Проверяется всё автоматически.

Можно подсмотреть решения, но без premium подписки не всегда. Однако всегда доступен раздел с обсуждениями. C платной подпиской ещё можно просмотреть подборки задач по популярным компаниям. Например, подборку задач от Google.

Можно отслеживать статистику своих решений. Например, посмотреть быстрее или медленнее ваш код по сравнению с вариантами других пользователей.

Также на сайте есть туториалы и раздел со статьями, где разбираются разные темы. Ещё и соревнования иногда проходят. Засесть можно плотно.

Из печального отмечу отсутствие русского языка и наличие ограничений у бесплатного тарифа.

Я давно варюсь в сфере IT. Смотрю интервью, слушаю подкасты, читаю статью, общаюсь с другими разработчиками. И по моим наблюдениям, программисты со всего мира используют LeetCode для подготовки к техническим собеседованиям.

Kaggle

Наш канал преимущественно посвящён языку Python. А как известно Python всем Data Scientist’ам отец. Поэтому я не мог не добавить в эту подборку сайт Kaggle.

Kaggle отличается от предыдущих платформ тем, что тут нет алгоритмических задач. Kaggle ориентирован на исследовательские задачи, связанные с машинным обучением и нейронными сетями. Это крупнейшая площадка для соревнований по Data Science (на момент 2017 года заявлен миллион пользователей).

Как проходит Kaggle-соревнование: организатор (часто крупная компания) публикует свой датасет, описание проблемы, сроки, критерии правильного решения. Участники решают задачу с помощью языка Python или R. Платформа автоматически проверяет решения по критериям организатора.

Лучшее решение получает приз. Просто участники — баллы в рейтинг на платформе. С помощью таких задач можно сделать себе неплохое портфолио.

Также на сайте пользователи публикуют свои наборы данных, создают и исследуют модели машинного обучения. Есть архив задач с решениями, раздел вакансий и обучающие ресурсы. Однако без английского снова никак.

Заключение

Сейчас в отличии от далёких нулевых появилось множество сайтов, где можно попрактиковаться в программировании. Есть платформы на любой вкус. Рекомендую попробовать несколько и остановиться на той, которая покажется тебе наиболее комфортной. Ещё можно брать задачи сразу с 2-3 площадок и комбинировать их. Ведь чем больше ты практикуешься, тем больше уверенности получаешь и более заметным становится твой результат.

Я поделился своей подборкой топовых сайтов для практика программирования. А теперь призываю тебя. Напиши в комментарии достойные на твой взгляд ресурсы для решения задач по программированию. Я думаю это будет интересно не только мне, но и другим читателям.

P.S. Также есть видеоверсия данной статьи на YouTube:

LeetCode 118. Треугольник Паскаля (решение с картинками) | by Alex Murphy

Опубликовано в

3 мин чтения

22 августа 2022 г.

По заданному целому числу numRows , вернуть первое numRows of Треугольник Паскаля .

В треугольнике Паскаля каждое число является суммой двух чисел непосредственно над ним, как показано:

Пример 1:

  Ввод:  numRows = 5 
  Вывод:  [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]

Пример 2:

  Ввод:  numRows = 1 
  Вывод:  [[1]]

Ограничения:

1 <= numRows <= 30

Давайте поймем решение на изображении ниже,

Здесь мы ясно видим, что в каждой строке первый и последний элемент равен «1»

Мы можем добиться этого следующим образом:

Теперь нам нужно только изменить еще условие, , чтобы мы могли изменить «0» на соответствующее значение .

Здесь, из 3-й строки (2-й индекс), вы можете видеть, что это добавление первых двух значений предыдущей строки.

Мы можем достичь этого следующим образом в else part,

Здесь я покажу вам, как мы собираемся добавить третью строку.

Третья строка начинается с i = 2 и j = 0

Примечание: → Вот моя ошибка в изображении (представьте, что subArrayList представляет собой colArray )

Затем i = 2, j = 1

Здесь, если условие только для первый и последний элемент , поэтому он не будет удовлетворять, и мы перейдем к другому условию.

Примечание: → Вот моя ошибка в изображении (представьте себе subArrayList как colArray и mainArrayList как rowArray )

Здесь расчет будет производиться следующим образом:

Примечание: → Вот моя ошибка в изображении (представьте, что subArrayList представляет собой 9009 3 colArray и mainArrayList как rowArray )

Наконец,

Наконец, i = 2 и j = 2

900 93 Примечание: → Вот моя ошибка в изображении (Думайте о subArrayList как о colArray )

Таким же образом мы можем получить 4-й ряд , 5-й ряд и , так что … 900 03

Теперь давайте посмотрим полный исходный код.

Здесь мы использовали два цикла for, поэтому общая временная сложность составит O(n²) .

Здесь мы использовали двухмерный список, поэтому общая сложность пространства также будет O(n²) .

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

Спасибо, что прочитали эту статью ❤

Если эта статья поможет вам, пожалуйста, похлопайте 👏 этой статье.

Пожалуйста, следуйте за мной на канале, я буду публиковать полезную информацию, как указано выше.

Instagram → https://www.instagram.com/alexmurphyas8/

Twitter → https://twitter.com/AlexMurphyas8

Если у меня что-то не так? Позвольте мне в комментариях. Я хотел бы улучшить.

Математика | Бесплатный полнотекстовый | Решение прямых и обратных задач о нелокальных волнах с базисом Паскаля, автоматически удовлетворяющим заданным условиям

1. Введение

Нелокальные граничные условия (ГУ) интегрального типа представляют собой интересную область быстро развивающейся теории дифференциальных уравнений. Эти задачи возникают в различных областях физики, механики, биологии, биотехнологии и т. д. Нелокальные БК могут возникать, когда значение решения на границе связано со значениями внутри области. Теоретическое и численное исследование такого рода задач действительно ценно, и ему уделяется большое внимание в научной литературе [1,2,3,4,5,6]. Различные нелокальные БК также обсуждаются в уравнениях в частных производных (УЧП), например, Деган [7] предложил численное решение нескольких методов конечных разностей для одномерной неклассической краевой задачи. Саадатманди и Деган [8] разработали численный метод, основанный на методе сдвинутого тау Лежандра, чтобы продемонстрировать его справедливость и применимость для гиперболического уравнения в частных производных с интегральным условием. Дехган и Саадатманди [9] использовал вариационный метод итераций для решения одномерного волнового уравнения с классическими и интегральными граничными условиями; этот метод превратил волновое уравнение с нелокальными ГУ в прямую задачу. Для прямых задач некоторые решения с использованием теории и численных методов для нелокальных задач одномерного волнового уравнения изучались в [10,11,12].

Как указывали Эймс и Строган [13], проблема обратной волны имеет ключевые приложения в теории оптимального управления и геофизике. Задача об обратной волне — некорректная задача, которая изучалась в [14,15,16,17,18,19].,20]. В частности, когда мы рассматриваем задачу об обратной волне при нелокальных граничных условиях, результирующая задача оказывается крайне некорректной, и численный метод должен быть разработан специально для преодоления некорректного свойства обратной задачи. Идея нелокальной граничной функции формы (NLBSF) была впервые развита в [21] для решения нелокального УЧП параболического типа, но еще не применялась в литературе к УЧП гиперболического типа. Мы используем NLBSF для решения проблемы нелокальных волн.

В этой статье мы подвергаем волновое уравнение нетрадиционному правому краевому условию, которое включает интегральный член по пространственной области. В этой ситуации мы сталкиваемся с нелокальной волновой задачей, решение которой может иметь большую граничную ошибку, так как ГУ не задано на границе. По этой причине трудно использовать обычный численный метод для решения такого рода задач. В области численного моделирования нелокальных волновых задач важно уменьшить граничную ошибку, чтобы можно было уменьшить ошибку во всей области. Чтобы гарантировать выполнение нелокального BC, в статье исследуется новый метод с базисами Паскаля, автоматически удовлетворяющими заданным условиям.

Последовательно, прямая волновая задача одномерного волнового уравнения при нелокальном ГУ на правом конце описана в разделе 2, в котором мы строим так называемую НСЛБФ с помощью полученных нелокальных функций формы. НСЛБФ удовлетворяет всем условиям, заданным для прямой нелокальной волновой задачи со свободной функцией. В разделе 3 мы развиваем численный метод с двухпараметрическими базисами Паскаля для решения прямой нелокальной волновой задачи. Базисы, удовлетворяющие всем условиям, получаются путем взятия полиномов Паскаля для свободной функции. В разделе 4 представлены четыре тестовых примера задачи о прямых нелокальных волнах, высокую точность которых можно оценить. В разделе 5 мы развиваем численный метод с двухпараметрическими базисами Паскаля, основанный на многочленах Паскаля для решения обратной нелокальной волновой задачи. Для обратной нелокальной волновой задачи указаны базисы, удовлетворяющие всем условиям. В разделе 6 представлены три тестовых примера с большим шумом, наложенным на окончательные временные данные задачи обратной нелокальной волны, надежность и высокая точность которых можно наблюдать. В разделе 7 метод НСЛБ расширен для решения задачи о обратных нелокальных волнах при двустороннем нелокальном ГУ. Выводы сделаны в разделе 8.

2. Нелокальная волновая задача

Одномерное волновое уравнение снабжено нелокальным условием:

где fx и gx — начальные условия, Fx,t — заданная функция, qt и pt — граничные условия, а последнее условие отличается от обычного граничного условия на правом конце. Данные fx, gx, qt и pt должны удовлетворять

которые являются условиями совместимости, полученными из уравнения (3) при t=0 и уравнения (2).

Сначала мы получаем два основных результата, удовлетворяющих заданным условиям (2) и (3), а затем используем их для решения уравнения (1) по уравнению (3).

Обратите внимание, что нелокальные функции формы s1x и s2x использовались Деганом и Саадатманди [9] для преобразования уравнения (1) в уравнение (3) в задачу с однородным граничным условием и нелокальным условием для новой переменной. Здесь мы предлагаем другой подход.

Для E0x,t имеем следующие условия совместимости:

Из уравнения (12) следует, что

После сравнения их с уравнениями (4) и (13) они подтверждаются. Из уравнений (9) следует) и (5) что

Теперь докажем, что существует функция Ex,t, удовлетворяющая указанным условиям (2) и (3).

Следовательно, эта теорема доказана. □

3. Численный метод решения прямой задачи о нелокальных волнах

Пусть

— треугольник Паскаля относительно x и t [22]. Мы можем реконструировать wijx,t как базисы Паскаля для ux,t в уравнениях (1)–(3) на основе теоремы 2.

Двухпараметрические функции Eijx,t в уравнении (26) называются базисами Паскаля. , которые используются для решения прямой нелокальной волны от уравнения (1) до уравнения (3) с помощью

где ajk подвергаются

такое, что ux,t удовлетворяет уравнениям (2) и (3).

Подставляя уравнение (27) в уравнение (1) и включая уравнение (28), мы определяем ajk по формуле

где n1 и n2 — номера сетки в пространственном и временном направлении xi=il/n1+1, tj=jtf/n2 и N=n1×n2. Следовательно, N+1 линейные уравнения (28) и (29) записываются в матрично-векторной форме:

где A - матрица коэффициентов, b - заданный исходный термин, а a - векторная форма ajk. Пусть sk будет k-м компонентом векторизации sjk, который имеет несколько масштабов, заданных в [23] формулой

где ak обозначает k-й столбец матрицы A, а R0 — характеристическая длина, которая может повысить устойчивость и точность вычислений. Решив линейную систему (30), мы можем получить ajk, а затем вычислить ux,y из уравнения (27).

4. Примеры решения задачи о прямых нелокальных волнах

Возьмем l=1, tf=1, m=5, R0=0,1 и N=5×5. На рис. 1 показана абсолютная максимальная ошибка (ME) ux,t по отношению к t. При критериях сходимости ε = 10−10 общее количество итераций метода сопряженных градиентов (CGM) равно 10. На рис. 2 показано ME(u) по отношению к x при tf=1. Мы можем заметить, что решение очень точное с ME =1,45×10−13. В работе [24] с использованием гранично-согласованного метода для обычного волнового уравнения с граничными условиями Дирихле ME = 2,01×10–8 и много больше, чем 1,45×10–13. Текущее решение намного точнее, чем в [24].

Возьмем l=1, tf=1, m=14, R0=0,1 и N=12×12. При критериях сходимости ε = 10-9 общее число итераций CGM равно 7200, а ME = 2,93×10-8. Далее, когда число итераций остановлено на шаге 2000, МЭ ux,t в зависимости от t на рис. 3. МЭ(u) по отношению к x при tf=1 показано на рис. 4. Очевидно, решение достаточно точен с ME =4,54×10−8. При тех же настройках, что и выше, и l=8, на рисунке 5 сплошная линия отображает ME(u) по отношению к x, где ME =4,56×10−1, а max ux,t равен 5689..34. Поэтому решение этого метода приемлемо.

Возьмем l=1, tf=1, m=11, R0=0,1 и N=20×20. При критериях сходимости ε = 10-10 общее число итераций (TIN) CGM равно 1221, а ME = 7,27×10-8. Кроме того, когда номер итерации находится на шаге 1000, ME ux,t наносятся на график в зависимости от t и x, как показано на рис. 6 и 7. Очевидно, что решение достаточно точное при ME = 5,06 × 10–8. Для различных критериев сходимости результаты сходимости показаны в таблице 1. Следовательно, этот метод может быстро получать решения без использования полиномов более высокого порядка или строгих условий сходимости.

Возьмем l=1, tf=0,5, m=5, R0=1 и N=5×5. В этом случае мы используем исключение Гаусса для решения линейной системы. На рис. 8 показаны МЭ ux,t в зависимости от t, которые очень точны с МЭ = 7,77×10-16 и намного точнее, чем [8]. На рис. 9 показана зависимость ME(u) от x при tf=0,5.

5. Численный метод решения задачи о обратных нелокальных волнах

Рассмотрим задачу о обратных нелокальных волнах и заменим уравнение (2) окончательными временными условиями:

Данные hx, rx, qt и pt удовлетворяют

которые доступны из уравнения (3) при t=tf и использовании уравнения (43).

Для задачи о обратных нелокальных волнах теорема 2 видоизменяется следующим образом.

Заменив Ex,t и E0x,t в теореме 4 на Eijx,t и Eij0x,t соответственно, теорема 3 по-прежнему применима для обратной нелокальной волновой задачи, но с

что автоматически удовлетворяет условиям (43) и (3),

Для решения обратной нелокальной волновой задачи в уравнениях (1), (43) и (3) возьмем

где

Другие процедуры аналогичны процедурам, описанным в разделе 3.

6. Численные примеры решения задачи о обратных нелокальных волнах

Чтобы проверить задачу о обратных нелокальных волнах, мы добавляем шум s на

где R — случайное число. Мы фиксируем s=0,1 для всех примеров тестирования, приведенных ниже.

Если шум не добавляется, т. е. s=0 при l=1, tf=1, m=5, R0=0,1, TIN = 500 и N=10×10, ux,t очень точен при ME =9,14 ×10−13, что немного хуже, чем 1,45×10−13 для задачи прямой волны, представленной в примере 1.

При l=1, tf=1, m=5, R0=0,1, TIN=500 и N=5×5 решение получается очень быстро. На рисунке 10 пунктирная линия показывает ME ux,t по отношению к x, из которых ME =3,04×10−3, где max ux,t равно 1,9988. Тогда берем tf=10 и N=20×20, а остальные параметры остаются прежними. На рисунке 10 сплошная линия отображает ME(u) по отношению к x, где ME =4,81×10–3, а max ux,t равно 19,98. Следовательно, метод может получить стабильное и точное решение с O10−3 даже в последний момент времени с помехой от шума.

Возьмем l=2, tf=3, m=12, R0=0,1, TIN = 2000 и N=15×15. На рисунке 11 ME ux,t представлены в зависимости от x. Хотя при большом шуме с s=0,1 решение имеет МЭ=3,29×10-2, где max ux,t равно 19,13.

При l=1, tf=2, m=15, R0=0,1, TIN=2000 и N=15×15 на рис. 12 сплошной линией показана МЭ ux,t по x, из которых ME =4,03×10−3, а max ux,t равно 1. Тогда берем tf=4 и N=25×25, а остальные параметры остаются прежними. На рисунке 12 пунктирная линия показывает ME(u) по отношению к x, где ME = 2,73×10–3.

Когда мы расширяем область до l=3 и tf=4, ME увеличивается до 8,52×10−2. Однако мы можем взять R0=0,001 и N=30×30 и уменьшить ME до 6,16×10−2. Таким образом, можно видеть, что увеличение номера сетки N и уменьшение характерной длины R0 может повысить точность расчета.

7. Сложные двусторонние нелокальные ГУ

Метод, представленный в разделе 5, легко адаптируется для решения задачи о обратных нелокальных волнах при сложных двусторонних нелокальных ГУ:

Ключевая функция E0x,t в теореме 1 изменена на

где нелокальные функции формы выводятся из

Подставляя уравнение (67) и wx,t=xi−jtj−1 в уравнение (46), мы можем сгенерировать базис Паскаля

Пример 9

. Пусть

, где

и ux,t=expx−2t — точное решение.

Для этой задачи мы можем вывести

Underl=3,m=10,R0=1, TIN=2000 и N=20×20, на рисунке 14 сплошная линия отображает ME(u) относительно toxfortf=0,5, из которых МЭ=3,92×10-3, а пунктирная линия отображает ME(u) относительно x fortf=1, из которых ME=4,94×10-2. Обратите внимание, что max(u) = 17,76. При рассмотрении m=20, l=5 и tf=1 ME(u) по отношению к xi показано на рисунке 15, где ME = 3,292×10-1, а maxux,tis 124,97. Результат показывает, что решение этого метода является приемлемым. Следовательно, мы успешно применяем НСЛБФ для решения волновой задачи с двусторонними нелокальными BC, особенно для обратной задачи по времени.

8. Заключение

В данной работе разработаны численные решения прямой и обратной неоднородных волновых задач с нелокальными граничными условиями. Когда на границах не заданы граничные условия, решение может иметь большую граничную ошибку. По этой причине такие нелинейные задачи трудно решать обычными численными методами, особенно при решении задачи о обратных нелокальных волнах. Чтобы уменьшить граничную ошибку и повысить точность вычислений с помощью метода NLBSF, мы позволили свободной функции быть треугольником Паскаля, а затем решением было взвешенная суперпозиция полных базисов Паскаля. Эти базисные функции автоматически удовлетворяют левому граничному условию, нелокальному правому граничному условию и двум начальным условиям для прямой нелокальной волновой задачи или двум конечным временным условиям для обратной нелокальной волновой задачи. Мы привели четыре примера прямой задачи о нелокальных волнах, подтверждающие, что нелокальное волновое уравнение может быть решено быстро и точно. Для обратной нелокальной волновой задачи с односторонними или двусторонними нелокальными краевыми условиями восстановлены точные решения во всей области; учитывались даже большой временной интервал и большой шум. Из девяти примеров результаты показывают, что представленный метод более эффективен и стабилен, чем обычные численные схемы.

Задачи паскаль для начинающих с решением: Простые задачи по программированию | Язык Паскаль