Вычисление интегралов неопределенных: Вычисление интегралов онлайн

4+tan(x), в качестве пределов интегрирования указываем 1, 2.

Если определить вид интегрирования, подробное решение будет доступно в MS Word:
Интегрирование по частям: ∫xe^xdx, ∫xcos(x)dx, ∫ln(x²-1)dx, ∫arcsin(4x)dx Примеры
Интегрирование простейших иррациональности вида , Примеры
Интегрирование простейших иррациональности вида
Интегрирование рациональных дробей вида Примеры
Интегрирование тригонометрических функции вида Примеры
Не знаю (по возможности определяется метод решения, например, подведение под знак дифференциала)

Примечание: число «пи» (π) записывается как pi; знак «бесконечность» (∞) ≡ infinity

Примеры правильной записи некоторых выражений

	`sqrt(6-x)`
	`(6+2*x)^(1/3)`
log₅(1+x)	`log(1+x,5)`
	`(2/3+x^2)/(x^3+x)`

Таблица интегралов

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции

Производная функции:

Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Экстремум функции двух переменных

Вычисление пределов

Способы нахождения неопределенных интегралов:

Подведение под знак дифференциала:
Интегрирование по частям: ∫xe^xdx
Простейшие преобразования подынтегрального выражения (пример):
Интегрирование рациональных дробей:
Интегрирование простейших иррациональностей:
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции: ∫cos⁴(x)sin³(x)dx

Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле прямоугольников.
см. также Задача интегрирования в конечном виде, Несобственные интегралы

Пример 1. Вычислить ∫(3x+15)¹⁷dx.
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла , получаем
= .
Пример 2. Вычислить .
Решение.
Аналогично предыдущему,
=

Пример 3. .
Решение. Поскольку
, то .

Пример 4. Вычислить
Решение. Так как
, то .

Пример 5. Вычислить .
Решение.
Применим подстановку . Отсюда x-5=t², x=t²+5, dx=2tdt.
Подставив в интеграл, получим

Пример 6. Вычислить ∫x²e^xdx

.
Решение.
Положим u=x², dv=e^xdx; тогда du=2xdx, v=e^x.

Применим формулу интегрирования по частям:
∫x²e^xdx=x²e^x-2∫xe^x.
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти ∫xe^x, применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x, dv=e^xdx; тогда du=dx, v=e^x и
∫xe^x=x²e^x-2xe^x+2e^x+C.

Пример 7. Вычислить .
Решение. Выделяя целую часть, получим: .
Учитывая, что x⁴+5x²+4=(x²+1)(x²

+4), для второго слагаемого получаем разложение

Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x²–4=(Ax+B)(x²+4)+(Cx+D)(x²+1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем
x³: 0=A+C
x₂: -5=B+D
x: 0=4A+C
x⁰: -4=4B+D

Отсюда находим A=C=0, B=¹/₃, D=-¹⁶/₃.
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:

Пример 8. Вычислить .
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и ; поэтому введем подстановку:
; ,
откуда
; ; ;.

Следовательно,

Пример 9. Вычислить .
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x); применим подстановку tg^x/₂=t, тогда
, , и
=
Возвращаясь к старой переменной, получим
= .

Пример 10. Вычислить .
Решение.
Произведем замену 1+3x⁸ = z². Тогда , ;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.

Пример 11.Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки

x=1. На любом же отрезке [1+ε;e] она интегрируема, так как является непрерывной функцией. Поэтому

Пример 12. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение.
Подынтегральная функция непрерывна и интегрируема на R. По определению Интеграл сходится.

Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x² и прямой x+y=2.
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y=x² и прямой y=2-x. Решая уравнение x²=2-x, находим x₁=-2, x₂=1. Так как фигура ограничена сверху прямой, а снизу параболой, по известной формуле находим
.

{\prime}(t) \cdot d t$

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{3-5 x}$

Решение. Заменим знаменатель на переменную $t$ и приведем исходный интеграл к табличному.

$$\int \frac{d x}{3-5 x}\left\|\begin{array}{l} 3-5 x=t \\ -5 d x=d t \\ d x=-\frac{d t}{5} \end{array}\right\|=\int \frac{-\frac{d t}{5}}{t}=-\frac{1}{5} \int \frac{d t}{t}=$$

$=-\frac{1}{5} \ln |t|+C=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Ответ. $\int \frac{d x}{3-5 x}=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

Содержание

4. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

$\int u d v=u v-\int v d u$

При нахождении функции $v$ по ее дифференциалу $d v$ можно брать любое значение постоянной интегрирования $C$, так как она в конечный результат не входит.

Поэтому для удобства будем брать $C=0$ .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int x \cos x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$$\int x \cos x d x\left\|\begin{array}{ll} u=x & v=\sin x \\ d u=d x & d v=\cos x d x \end{array}\right\|=x \sin x-\int \sin x d x=$$

$=x \sin x+\cos x+C$

Ответ. $\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

Читать дальше: метод непосредственного интегрирования.

Исчисление I. Вычисление неопределенных интегралов

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5.2: Вычисление неопределенных интегралов

В предыдущем разделе мы начали рассматривать неопределенные интегралы, а в этом разделе мы сосредоточились почти исключительно на обозначениях, понятиях и свойствах неопределенного интеграла. В этом разделе нам нужно начать думать о том, как мы на самом деле вычисляем неопределенные интегралы. Начнем с некоторых основных неопределенных интегралов. 9{n + 1}}}}{{n + 1}} + c,\,\,\,\,\,n \ne — 1\]

Общее правило при интегрировании степени $x$: мы прибавляем единицу к показателю степени, а затем делим на новый показатель степени. Ясно (надеюсь), что нам нужно будет избежать $n = — 1$ в этой формуле. 2} x \, dx}} = — \ cot x + c \ hspace {0,75 дюйма} & \ int {{\ csc x \ кроватка х\,дх}} = — \csc х + с\конец{массив}\]

Обратите внимание, что здесь мы интегрировали только две из шести триггерных функций. Остальные четыре интеграла на самом деле являются интегралами, дающими оставшиеся четыре триггерные функции. Также будьте осторожны со знаками здесь. Легко перепутать знаки производных и интегралов. Опять же, помните, что мы спрашиваем, какую функцию мы продифференцировали, чтобы получить подынтегральную функцию.

Мы сможем интегрировать оставшиеся четыре триггерные функции в пару разделов, но все они требуют правила подстановки. 9{ — 1}}\,dx}} = \ln \left| х \ справа | + с\]

Для интегрирования логарифмов требуется тема, которая обычно преподается в программе Исчисление II, поэтому мы не будем интегрировать логарифмы на этом занятии. Также обратите внимание, что третье подынтегральное выражение может быть записано несколькими способами, и не забывайте о столбцах абсолютного значения в $x$ в ответе на третий интеграл.

2 } x \, dx}} = — \ coth x + c \ hspace {0,75 дюйма} & \ int {{{\ mathop {\ rm csch} \ nolimits} x \ coth x \, dx}} = — {\ mathop {\rm csch}\nolimits} x + c\end{массив}\] 93}}}\,дх}}\)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

Хорошо, во всем этом помните основные правила неопределенных интегралов. Во-первых, чтобы интегрировать суммы и разности, все, что мы действительно делаем, — это интегрируем отдельные термины, а затем соединяем их вместе с соответствующими знаками. Затем мы можем игнорировать любые коэффициенты, пока не завершим интегрирование этого конкретного члена, а затем вернем коэффициент. Кроме того, не забудьте «+$c$» в конце, это важно и должно быть там. 9{\ гидроразрыва {1} {2}}} + с \ конец {выравнивание *} \]

При работе с дробными показателями мы обычно не «делим на новый показатель степени». Это эквивалентно умножению на величину, обратную новому показателю степени, и именно это мы обычно и делаем.

d $\displaystyle \int{{dy}}$ Показать решение

Не делай это сложнее, чем оно есть…

\[\int{{dy}} = \int{{1\,dy}} = y + c\] 92} + 15\ln\влево| х \ справа | + с\конец{выравнивание*}\]

Будьте осторожны, чтобы не думать о третьем члене как $x$ в степени для целей интегрирования. Использование этого правила на третьем сроке НЕ будет работать. Третий член — это просто логарифм. Кроме того, не волнуйтесь о 15. 15 — это просто константа, поэтому ее можно вынести из интеграла. Другими словами, вот что мы сделали для интегрирования третьего слагаемого.

\[\int{{\frac{{15}}{x}\,dx}} = 15\int{{\frac{1}{x}\,dx}} = 15\ln \left| х \ справа | + с\]

Всегда помните, что нельзя интегрировать произведения и частные так же, как мы интегрируем суммы и разности. На данный момент единственный способ интегрировать произведения и частные — это умножить произведение или разбить частное. В конце концов мы увидим некоторые другие произведения и частные, с которыми можно работать другими способами. Однако никогда не будет единого правила, которое будет работать для всех продуктов, и никогда не будет единого правила, которое будет работать для всех частных. Каждый продукт и коэффициент индивидуальны, и с ними нужно работать в каждом конкретном случае. 9х} + 5\sin х — 10\загар х + с\]

b $\displaystyle \int{{2\sec w\tan w + \frac{1}{{6w}}\,dw}}$ Показать решение

Давайте будем немного осторожны с этим. Сначала разбейте его на два интеграла и обратите внимание на переписанное подынтегральное выражение во втором интеграле.

\[\begin{align*}\int{{2\sec w\tan w + \frac{1}{{6w}}\,dw}} & = \int{{2\sec w\tan w\, dw}} + \int{{\frac{1}{6}\frac{1}{w}\,dw}}\\ & = \int{{2\sec w\tan w\,dw}} + \ frac {1} {6} \ int {{\ frac {1} {w} \, dw}} \ end {align *} \]

Переписывание второго подынтегрального выражения немного поможет при интегрировании на этой ранней стадии. Мы можем думать о 6 в знаменателе как о 1/6 перед членом, а затем, поскольку это константа, ее можно вынести из интеграла. Тогда ответ:

. \[\int{{2\sec w\tan w + \frac{1}{{6w}}\,dw}} = 2\sec w + \frac{1}{6}\ln \left| ш \ справа | + с\]

Обратите внимание, что мы не учли 2 из первого интеграла, как 1/6 из второго. Фактически, мы обычно не будем учитывать 1/6 в более поздних задачах. Это было сделано здесь только для того, чтобы вы могли следить за тем, что мы делаем. 92}\theta }}\,d\theta }} = — 7\cot \theta — 6\theta + c\]

Как показано в последней части этого примера, мы можем сделать несколько довольно сложных частных в этот момент, если мы не забудем сделать упрощения, когда мы их увидим. На самом деле, это то, что вы всегда должны иметь в виду. Почти в любой задаче, которую мы здесь решаем, не забывайте упрощать, где это возможно. Почти в каждом случае это может только помочь решить проблему и редко усложнит проблему.

В следующей задаче мы рассмотрим произведение, и на этот раз мы не сможем просто умножить произведение. Однако, если вспомнить замечание о небольшом упрощении, эта задача становится довольно простой.

Пример 3 Интегрируем $\displaystyle \int{{\sin \left( {\frac{t}{2}} \right)\cos \left({\frac{t}{2}} \right)\,dt }}$.

Показать решение

Есть несколько способов сделать этот интеграл, и для большинства из них требуется следующий раздел. Однако есть способ сделать этот интеграл, используя только материал из этого раздела. Все, что требуется, это запомнить формулу триггера, которую мы можем использовать, чтобы немного упростить подынтегральную функцию. Вспомним следующую формулу двойного угла.

\[\sin \left( {2t} \right) = 2\sin t\cos t\]

Если немного переписать эту формулу, получится

\[\sin t\cos t = \frac{1}{2}\sin \left( {2t} \right)\]

Если мы теперь заменим все $t$ на $\frac{t}{2}$, мы получим

\[\ грех \ влево ( {\ гидроразрыва {t} {2}} \ справа) \ соз \ влево ( {\ гидроразрыва {т} {2}} \ справа) = \ гидроразрыва {1} {2} \ грех \ влево( т \вправо)\]

Используя эту формулу, мы можем вычислить интеграл.

\[\ begin{align*}\int{{\sin\left({\frac{t}{2}} \right)\cos \left({\frac{t}{2}} \right)\, dt}} & = \int{{\frac{1}{2}\sin\left( t \right)dt}}\\ & = — \frac{1}{2}\cos \left( t \right ) + с\конец{выравнивание*}\]

Как отмечалось ранее, есть еще один метод вычисления этого интеграла. На самом деле есть два альтернативных метода. Чтобы увидеть все три, ознакомьтесь с разделом «Константа интеграции» в главе «Дополнительно», но имейте в виду, что для двух других требуется материал, описанный в следующем разделе. 93} + 6,\,\,\,\,f\влево( 1 \вправо) = — \frac{5}{4},\,\,\,f\влево( 4 \вправо) = 404\)

Показать все решения Скрыть все решения

Показать обсуждение

В обоих случаях нам нужно помнить, что

\[f\влево( x \вправо) = \int{{f’\влево( x \вправо)\,dx}}\]

Также обратите внимание, что, поскольку мы задаем значения функции в определенных точках, мы также собираемся определить, какой будет константа интегрирования в этих задачах. 93} + 6,\,\,\,\,f\влево( 1 \вправо) = — \frac{5}{4},\,\,\,f\влево( 4 \вправо) = 404\) Показать решение

Этот немного отличается от первого. Чтобы получить функцию, нам понадобится первая производная, и у нас есть вторая производная. Однако мы можем использовать интеграл, чтобы получить первую производную от второй производной, точно так же, как мы использовали интеграл, чтобы получить функцию от первой производной.

Итак, давайте сначала получим наиболее общую возможную первую производную, интегрируя вторую производную. 92} + cx + d\end{выравнивание*}\]

Не спешите интегрировать $c$. Это просто константа, и мы знаем, как интегрировать константы. Кроме того, не будет причин думать, что константы интегрирования от интегрирования на каждом шаге будут одинаковыми, и поэтому нам нужно будет называть каждую константу интегрирования как-то иначе, $d$ в этом случае.

Теперь подставьте два значения функции, которые у нас есть.

\[\begin{align*} — \frac{5}{4} & = f\left( 1 \right) = 4 + \frac{1}{4} + 3 + c + d = \frac{{29}}{4} + c + d\\ 404 & = f\left( 4 \right) = 4\left( {32} \right) + \frac{1}{4}\left( {1024} \right ) + 3\left( {16} \right) + c\left( 4 \right) + d = 432 + 4c + d\end{align*}\]

Это дает нам систему двух уравнений с двумя неизвестными, которую мы можем решить.

\[\begin{align*} — \frac{5}{4} & = \frac{{29}}{4} + c + d\\ 404 & = 432 + 4c + d\end{align*}\ hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in} \begin{aligned}c & = — \frac{{13}}{2} \\d & = — 2\end{aligned}\] 92} — \frac{{13}}{2}x — 2\]

Не помните, как решать системы? Ознакомьтесь с разделом «Решающие системы» в обзоре «Алгебра/триггер».

В этом разделе мы начали процесс интеграции. Мы увидели, как вычислить довольно много базовых интегралов, а также увидели быстрое применение интегралов в последнем примере.

В этом разделе много новых формул, которые нам предстоит узнать. Однако, если подумать, на самом деле это не новые формулы. На самом деле они не более чем производные формулы, которые мы уже должны знать, записанные в терминах интегралов. Если вы помните, что вам должно быть легче запомнить формулы в этом разделе.

Всегда помните, что интегрирование не спрашивает ничего, кроме того, какую функцию мы продифференцировали, чтобы получить подынтегральное выражение. Если вы помните, многие из основных интегралов, которые мы видели в этом разделе, и многие интегралы в следующих разделах не так уж и плохи.

Исчисление I. Неопределенные интегралы

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. 4} + 3х — 92} — 9x + c,\,\,\hspace{0,25in}c{\mbox{ является константой}}\]

даст $f\left( x \right)$ после дифференцирования.

В этом последнем примере было два момента. Первый пункт состоял в том, чтобы заставить вас думать о том, как решать эти задачи. Сначала важно помнить, что на самом деле мы просто спрашиваем, что мы дифференцировали, чтобы получить данную функцию.

Другой момент заключается в том, чтобы признать, что на самом деле существует бесконечное количество функций, которые мы могли бы использовать, и все они будут отличаться на константу.

Теперь, когда мы поработали с примером, давайте избавимся от некоторых определений и терминологии.

Определения

Для данной функции $f\left( x \right)$ антипроизводная функции $f\left( x \right)$ представляет собой любую функцию $F\left( x \right)$ такой, что

\[F’\влево(х\вправо) = f\влево(х\вправо)\]

Если $F\left( x \right)$ является любой антипроизводной $f\left( x \right)$, то наиболее общая антипроизводная $f\left( x \right)$ )\) называется неопределенный интеграл и обозначенный,

\[\int{{f\left( x \right)\,dx}} = F\left( x \right) + c,\hspace{0. 25in}\,\,\,\,c{\mbox{ произвольная константа}}\]

В этом определении $\int{{}}$ называется интегральным символом , $f\left( x \right)$ называется подынтегральным выражением , $x$ называется переменная интегрирования и «$c$» называются константой интегрирования .

Обратите внимание, что часто мы говорим просто интеграл вместо неопределенного интеграла (или определенного интеграла, если на то пошло, когда мы доберемся до них). Из контекста задачи будет понятно, что речь идет о неопределенном интеграле (или определенном интеграле).

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием или интегрированием $f\left( x \right)$ . Если нам нужно уточнить переменную интегрирования, мы скажем, что мы 92} — 9х + с\]

Пара предупреждений. Одна из наиболее распространенных ошибок, которую студенты допускают при работе с интегралами (как неопределенными, так и определенными), заключается в том, что они пропускают dx в конце интеграла. Это необходимо! Думайте о знаке интеграла и dx как о наборе скобок. Вы уже знаете и, вероятно, вполне довольны идеей, что каждый раз, когда вы открываете скобку, вы должны ее закрывать. В интегралах думайте о знаке интеграла как о «открытой скобке», а 95} + c + 3x — 9\end{выравнивание*}\]

Вы интегрируете только то, что находится между знаком интеграла и dx . Каждый из приведенных выше интегралов заканчивается в другом месте, поэтому мы получаем разные ответы, потому что каждый раз интегрируем разное количество членов. Во втором интеграле «-9» находится вне интеграла и поэтому не интегрируется. Точно так же в третьем интеграле «$3x — 9$» находится вне интеграла и поэтому оставлено в покое.

Знание того, какие термины интегрировать, — не единственная причина для записи $dx$. В разделе «Правило подстановки» мы фактически будем работать с $dx$ в задаче, и если у нас нет привычки записывать его, то можно легко забыть об этом, и тогда мы получим неверный ответ на тот этап.

Мораль этого состоит в том, чтобы убедиться и поставить $dx$! На данном этапе это может показаться глупым, но это просто необходимо, хотя бы по той причине, что нужно знать, где останавливается интеграл.

Кстати, обозначение $dx$ должно показаться вам немного знакомым. Мы видели такие вещи пару разделов назад. Мы назвали $dx$ дифференциалом в этом разделе, и да, это именно то, чем оно является. $dx$, которым заканчивается интеграл, есть не что иное, как дифференциал. 92} — 9w + c\end{выравнивание*}\]

Изменение переменной интегрирования в интеграле просто меняет переменную в ответе. Однако важно отметить, что когда мы меняем переменную интегрирования в интеграле, мы также изменяем дифференциал ($dx$, $dt$ или $dw$) в соответствии с новой переменной. Это важнее, чем мы можем себе представить на данный момент.

Дифференциал в конце интеграла используется также для того, чтобы сообщить нам, по какой переменной мы интегрируем. На данном этапе это может показаться неважным, поскольку большинство интегралов, с которыми мы собираемся здесь работать, будут включать только одну переменную. Однако, если вы находитесь на пути к получению степени, который приведет вас к исчислению с несколькими переменными, это будет очень важно на этом этапе, поскольку в задаче будет более одной переменной. Вам нужно выработать привычку записывать правильный дифференциал в конце интеграла, чтобы, когда он станет важным в этих классах, вы уже привыкли записывать его. 92} + с\]

Второй интеграл тоже достаточно прост, но нужно быть осторожным. dx говорит нам, что мы интегрируем $x$. Это означает, что мы интегрируем только те $x$, которые входят в подынтегральную функцию, а все остальные переменные в подынтегральной функции считаются константами. Тогда второй интеграл равен

. \[\int{{2t\,dx}} = 2tx + c\]

Так что может показаться глупым всегда ставить dx , но это важная часть записи, которая может привести к тому, что мы получим неправильный ответ, если не введем его.

Теперь есть некоторые важные свойства интегралов, на которые мы должны обратить внимание.

Свойства неопределенного интеграла

$\displaystyle \int{{k\,f\left( x \right)\,dx}} = k\int{{f\left( x \right)\, dx}}$, где $k$ — любое число. Таким образом, мы можем выносить мультипликативные константы из неопределенных интегралов.
Доказательство этого свойства см. в разделе «Доказательство различных интегральных формул» в главе «Дополнительно».
$\displaystyle \int{{ — f\left( x \right)\,dx}} = — \int{{f\left( x \right)\,dx}}$. Это действительно первое свойство с $k = -1$, поэтому доказательство этого свойства не приводится.
$\displaystyle \int{{f\left( x \right) \pm g\left( x \right)\,dx}} = \int{{f\left( x \right)\,dx}} \pm \int{{g\left( x \right)\,dx}}$. Другими словами, интеграл суммы или разности функций есть сумма или разность отдельных интегралов. Это правило можно распространить на столько функций, сколько нам нужно.
Доказательство этого свойства см. в разделе «Доказательство различных интегральных формул» главы «Дополнительно».

Обратите внимание, что когда мы работали над первым примером выше, мы использовали в обсуждении первое и третье свойство. Мы интегрировали каждый член по отдельности, вернули все константы, а затем соединили все вместе с соответствующим знаком.

В приведенных выше свойствах не указаны интегралы от произведений и частных. Причина этого проста. Как и в случае с производными, каждое из следующих действий НЕ будет работать.

\[\int{{f\left( x \right)g\left( x \right)\,dx}} \ne \int{{f\left( x \right)dx}}\int{{g\ влево ( х \ вправо) \, dx}} \ hspace {0,75 дюйма} \ int {{\ гидроразрыва {{f \ влево ( х \ вправо)}} {{g \ влево ( х \ вправо)}} \, dx }} \ne \frac{{\int{{f\left( x \right)\,dx}}}}{{\int{{g\left( x \right)\,dx}}}}\]

С производными у нас было правило произведения и правило частного для решения этих случаев. Однако для интегралов таких правил нет. Столкнувшись с произведением и частным в интеграле, у нас будет множество способов справиться с ним в зависимости от того, что представляет собой подынтегральная функция.