Лекция 3
21
Тройные интегралы. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат. Замена переменных в кратных интегралах Вычисление тройных интегралов в цилиндрической и сферической системах координат.
2. Тройные интегралы
2.1. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат
По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области T трехмерного пространства задана ограниченная функция трех переменных f(x,y,z). Разобьем эту область на n произвольных частей с объемами vi. В каждой частичной области возьмем произвольную точку M(xi,yi,zi) и составим сумму:
,
которая
называется интегральной
суммой для функции f(x,y,z)
по области T.
Если интегральная сумма при
. (2.1)
Отметим, что тройные интегралы обладают свойствами, аналогичные свойствам двойных интегралов.
Перейдем теперь к вопросу о вычислении тройных интегралов в декартовой системе координат. Предположим, что область T является простой в направлении оси Oz, т.е. любая прямая, проведенная параллельно оси Oz, пересекает границу области T не более чем в двух точках. Это означает, что область T ограничена снизу поверхностью z=z1(x,y), сверху поверхностью z=z2(x,y) и с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Тогда по аналогии с формулой вычисления объемов цилиндрических тел при помощи двойных интегралов, можно получить
. (2.2)
Здесь D проекция области T на плоскость xOy. Если область D является простой в направлении оси Oy, то можно написать
. (2.3)
Отметим, что здесь внешний интеграл обязательно (!) должен иметь постоянные пределы (т.е. числа), пределы во втором интеграле могут зависеть только от той переменной, которая стоит во внешнем интеграле.
Если в тройном интеграле подынтегральная функция f(x,y,z)1, то тройной интеграл будет равен объему области интегрирования T, т.е.
. (2.4)
П
Рис. 2.1
ри вычислении тройных интегралов следует: 1) сделать чертеж области интегрирования T; 2) изобразить проекцию области T на выбранную координатную плоскость; 3) расставить пределы интегрирования.
Пример
2. 1. Вычислить
, если
Решение. Область T ограничена сверху плоскостью , отсекающей на координатных осях отрезки 6, 4 и 2, соответственно; снизу область T ограниченна плоскостью z=0, т.е. координатной плоскостью xOy. Проекцией области T на плоскость xOy служит треугольник, образованный прямыми x=0, y=0 и 2x+3y=12. В результате получаем
Рис. 2.2
Пример 2.2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z=2x2+y2+1, x+y=1, x=0, y=0, z=0.
Решение. Сделаем
чертеж. z=2x2+y 2+1
– это параболоид с главной осью,
параллельной оси Oz; x+y=1
– это плоскость, параллельная оси Oz и отсекающая на осях Ox и Oy отрезки, равные 1; x=0, y=0, z=0
– это координатные плоскости. Данное
тело проектируется на плоскость xOy в виде треугольника. Расставим пределы
интегрирования:
.
Лекции Тройной интеграл
Скачать с Depositfiles
Тройной интеграл.
Контрольные вопросы.
Тройной интеграл, его свойства.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.
Пусть функция u = f(x,y,z) определена в ограниченной замкнутой области V пространства R3. Разобьём область V произвольным образом наn элементарных замкнутых областей V1, … , Vn, имеющих объемы V1, …, Vn соответственно. Обозначим d – наибольший из диаметров областей V1, … , Vn. В каждой области Vk выберем произвольную точку Pk (xk , yk , zk) и составим интегральную сумму функции f(x, y, z)
S =
Определение. Тройным интегралом от функции f
(x, y, z) по области V называется предел интегральной суммы , если он существует.Таким образом,
(1)
Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области V и выбора точек Pk (k=1, …, n). Однако, если существует предел, то он не зависит от способа разбиения области V и выбора точек Pk . Если сравнить определения двойного и тройного интегралов, то легко увидеть в них полную аналогию.
Достаточное условие существования тройного интеграла. Тройной интеграл (13) существует, если функция f(x, y, z) ограничена в V и непрерывна в V, за исключением конечного числа кусочно-гладких поверхностей, расположенных в V .
В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые тройные интегралы существуют.
Некоторые свойства тройного интеграла.
1) Если С – числовая константа, то
3) Аддитивность по области. Если область V разбита на области V1 и V2, то
.
4) Объем тела V равен
(2)
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
Пусть D проекция тела V на плоскость xOy, поверхности z=φ1(x, y), z=φ2(x, y) ограничивают тело V снизу и сверху соответственно. Это значит, что
V = {(x, y, z): (x, y)D, φ1(x, y) ≤ z ≤ φ2(x, y)} .Такое тело назовем z-цилиндрическим. Тройной интеграл (1) по z-цилиндрическому телу V вычисляется переходом к повторному интегралу, состоящему из двойного и определенного интегралов:
(3)
В этом повторном интеграле сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z, при этом x, y считаются постоянными. Затем вычисляется двойной интеграл от полученной функции по области D.
Если V x-цилиндрическое или y-цилиндрическое тело, то верны соответственно формулы
В первой формуле D проекция тела
Примеры. 1) Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями z = 0, x2 + y2 = 4, z = x2 + y2 .
Решение. Вычислим объём при помощи тройного интеграла по формуле (2)
Перейдем к повторному интегралу по формуле (3).
Пусть D круг x2 + y2 ≤ 4, φ1(x, y) = 0, φ2(x, y)= x2 + y2 . Тогда по формуле (3) получим
Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам. При этом круг D преобразуется во множество
Dr ={ (r, φ) : 0 ≤ φ < 2π , 0 ≤ r ≤ 2 }.
2) Тело V ограничено поверхностями z=y, z= –y, x=0 , x=2, y=1. Вычислить
Плоскости z = y, z = –y ограничивают тело соответственно снизу и сверху, плоскости x=0 , x=2 ограничивают тело соответственно сзади и спереди, а плоскость y=1 ограничивает справа. V – z-цилиндрическое тело, его проекцией D на плоскость хОу является прямоугольник ОАВС. Положим φ1(x, y) = –y, φ2(x, y)= y и применим формулу (3):
17.
2
=1.\кр
}$$
$\квадрат$
92) \; dV$ является максимальным.Тройные интегралы
Определение тройного интеграла
Мы видели, что геометрия двойного интеграла включает в себя разрезание двух размерную область на крошечные прямоугольники, умножая площади прямоугольников по значению функции там, суммируя площади и беря предел как размер прямоугольников приближается к нулю. Мы также видели, что это эквивалентно нахождению дважды повторенного повторного интеграла.
Теперь мы перенесем эту идею в следующее измерение. Вместо региона в плоскости xy мы будем рассматривать твердое тело в xyz-пространстве. Вместо того, чтобы резать область на прямоугольники, мы разрежем твердое тело на прямоугольные твердые вещества. И вместо умножения значения функции на площадь прямоугольник, умножим значение функции на объем прямоугольника твердый.
Мы можем определить тройку интеграл как предел суммы произведения
функции, умноженной на объем прямоугольных тел.
Вместо двойного интеграла, эквивалентного двойному повторению интеграл, тройной интеграл эквивалентен тройному повторному интегралу.
Определение тройного интеграла Пусть f(x,y,z) быть непрерывной функцией трех переменные, определенные над сплошным Q. Тогда тройной интеграл по Q определяется как где сумма берется по прямоугольным телам, входящим в тело Q а под lim понимается предел как длины сторон прямоугольного твердый. |
Это определение применимо только для оценки тройного интеграла, когда дан набор данных. Когда у нас есть символически определенная функция, мы используем расширение основной теоремы исчисления, которая является просто теоремой Фубини для тройных интегралов.
Теорема для вычисления тройки Интегралы Пусть f(x,y,z) — непрерывная функция над твердым Q определяется а < х < б h 1 (x) < у < ч 2 (х) g 1 (x, y) < z < g 2 (x, y) Тогда тройной интеграл равен
тройной повторный интеграл. |
Примечание: Как и в случае двойных интегралов, порядок интеграции может быть изменен с осторожностью.
Примеры
Пример
Оценить
Где
f(x,y,z) = 1 — x
и Q — это тело, лежащее в первом октанте, а ниже равнины
3x + 2y + z = 6
Раствор
фото региона
задача здесь состоит в том, чтобы найти пределы. Сначала мы работаем над самым внутренним пределом что соответствует переменной «z». Представьте, что вы стоите вертикально. Ваши ноги будут опираться на нижний предел и ваша голова коснется верхнего предела. Нижний предел — это плоскость xy или
г = 0
верхний предел – заданная плоскость. Решая для z, мы получаем
г = 6 — 3x — 2y
Сейчас
мы работаем над средними пределами, которые соответствуют переменной «y». Смотрим на проекцию поверхности на xy-плоскость. Это показано
ниже.
Сейчас мы находим пределы так же, как находили пределы двойных интегралов. нижний предел всего
у = 0
Если мы устанавливаем z = 0 и решаем для y, получаем для верхнего предела
у = 3 — 3/2 х 90 003
Далее находим внешние пределы, соответствующие переменной «х». Наименьшее значение x равно 0, а наибольшее значение x равно 2. Отсюда
0 < х < 2
таким образом, интеграл равен
Пример
Переключатель порядок интегрирования из предыдущего примера, чтобы dydxdz появляется.
Раствор
Это время, когда мы работаем над переменной «y» первый. Нижний предел для переменной y равен 0. Для верхнего предела мы решаем для y на плоскости получить
у = 3 — 3/2 x – 1/2 z
Кому находим пределы «x», проецируем на плоскость xz как показано ниже
нижний предел для x равен 0. Чтобы найти верхний предел, мы устанавливаем y = 0 и решаем для x
чтобы получить
х = 2 — 1/3 z
Наконец, чтобы получить пределы для z, мы видим, что наименьшее z получит 0 и самый большой z будет равно 6. Получаем
0 < z < 6
Мы можем написать
Масса, центр масс и моменты инерции
Для трехмерного твердого тела с постоянной плотностью масса равна плотности раза больше объема. Если плотность не постоянная, а непрерывная функцией x, y и x, то мы можем разрезать тело на очень маленькие прямоугольные тел так, чтобы на каждом прямоугольном теле плотность была примерно постоянный. Объем прямоугольника
Д Масса = (Плотность)(DОбъем) = f(x,y,z) DxDyDz
Теперь сделайте как обычно. Складываем все малые массы и берем ограничение по мере того, как прямоугольные тела становятся маленькими. Это даст нам тройку интеграл
Мы
часто интересует центр масс твердого тела. Например, когда
спутник NEAR вращался вокруг астероида Эрос, ученым НАСА нужно было
вычислить центр масс астероида. Кеплер сказал нам, что стабильное
орбита всегда будет вращаться по эллиптической орбите с центром масс в качестве одного из
фокусы.
Спутник NEAR на орбите Эроса
Мы находим центр масс твердого тела так же, как нашли центр массы пластинки. Поскольку мы находимся в трех измерениях, вместо моменты относительно осей, находим моменты относительно координатных плоскостей. Мы сформулируем определения из физики ниже.
Определение: Моменты и центр масс Пусть г (х, у, г) — плотность твердого вещества Q. Затем первые мгновения о координатных плоскостях и центр масс дано |
Обратите внимание, что если функция плотности будет тождественно равна 1, это даст объем
Упражнение
Найти центр масс твердого тела, лежащего ниже параболоида
г = 4 — х 2 — у 2
, лежащий над плоскостью xy, если плотность области определяется как
.