Аналитическая геометрия
4.2 Кривые и поверхности в трехмерном пространстве
 
В данном разделе мы представим основные объекты аналитической геометрии в трехмерном пространстве. Прежде всего введем наиболее часто используемые системы координат. Фиксируем одну из точек пространства $O$, назовем ее началом координат. Выпустим из этой точки 3 взаимно-ортогональные оси (или, что то же самое, выберем тройку взаимно ортогональных векторов, направляющих этих осей). Координаты точки $M$, числа $x, \, y, \, z$ , определяются как проекции отрезка $OM$ на оси. С векторной точки зрения эти числа — координаты вектора $OM$. Точке $M$ сопоставим тройку чисел $(x,y, z)$, это сопоставление и есть декартова система координат на плоскости (см. рис. 11).  
Рис 11: Декартова система координат в трехмерном пространстве.
 
Еще одна часто используемая система координат в трехмерном пространстве — цилиндрическая.
 
Рис 12: Цилиндрическая система координат в трехмерном пространстве.
 
В этом случае легко написать формулы, связывающие цилиндрические координаты с декартовыми,
\[
x=\rho \cos \varphi, \quad y=\rho \sin \varphi, \quad z=z.
\]
При этом координаты принимают значения в следующих пределах: $z \in (-\infty, \, +\infty)$, $\rho \in \left [0, \, \infty \right)$, $\varphi \in \left [0, \, 2\pi \right)$.
Рис 13: Сферическая система координат в трехмерном пространстве.
 
Нетрудно выписать связь с декартовыми координатами в принятых выше предположениях. Имеем:
\[
x=\rho \sin \theta \cos \varphi, \quad y=\rho \sin \theta \sin \varphi, \quad z=\rho \cos \theta .
\]
В принятой параметризации координаты принимают значения в следующих интервалах: $\rho \in \left[ 0, \, \infty\right)$, $\theta \in \left[ 0, \, \pi \right]$, $\varphi \in \left[ 0, \, 2\pi \right)$.
 
4.2 Кривые и поверхности в трехмерном пространстве
 
Трехмерное пространство: векторы, координаты :: SYL.ru
Еще из школьного курса алгебры и геометрии мы знаем о понятии трехмерного пространства. Если разобраться, сам термин «трехмерное пространство» определяется как система координат с тремя измерениями (это знают все). По сути, описать любой объемный объект можно при помощи длины, ширины и высоты в классическом понимании. Однако давайте, как говорится, копнем несколько глубже.
Что такое трехмерное пространство
Как уже стало ясно, понимание трехмерного пространства и объектов, способных существовать внутри него, определяется тремя основными понятиями. Правда, в случае с точкой это именно три значения, а в случае с прямыми, кривыми, ломаными линиями или объемными объектами соответствующих координат может быть больше.
В данном случае все зависит именно от типа объекта и применяемой системы координат. Сегодня наиболее распространенной (классической) считается Декартова система, которую иногда еще называют прямоугольной. Она и некоторые другие разновидности будут рассмотрены несколько позже.
Кроме всего прочего, здесь нужно разграничивать абстрактные понятия (если можно так сказать, бесформенные) вроде точек, прямых или плоскостей и фигуры, обладающие конечными размерами или даже объемом. Для каждого из таких определений существуют и свои уравнения, описывающие их возможное положение в трехмерном пространстве. Но сейчас не об этом.
Понятие точки в трехмерном пространстве
Для начала определимся, что представляет собой точка в трехмерном пространстве. В общем-то, ее можно назвать некой основной единицей, определяющей любую плоскую или объемную фигуру, прямую, отрезок, вектор, плоскость и т. д.
Сама же точка характеризуется тремя основными координатами. Для них в прямоугольной системе применяются специальные направляющие, называемые осями X, Y и Z, причем первые две оси служат для выражения горизонтального положения объекта, а третья относится к вертикальному заданию координат. Естественно, для удобства выражения положения объекта относительно нулевых координат в системе приняты положительные и отрицательные значения. Однако же сегодня можно найти и другие системы.
Разновидности систем координат
Как уже говорилось, прямоугольная система координат, созданная Декартом, сегодня является основной. Тем не менее в некоторых методиках задания местоположения объекта в трехмерном пространстве применяются и некоторые другие разновидности.
Наиболее известными считаются цилиндрическая и сферическая системы. Отличие от классической состоит в том, что при задании тех же трех величин, определяющих местоположение точки в трехмерном пространстве, одно из значений является угловым. Иными словами, в таких системах используется окружность, соответствующая углу в 360 градусов. Отсюда и специфичное задание координат, включающее такие элементы, как радиус, угол и образующая. Координаты в трехмерном пространстве (системе) такого типа подчиняются несколько другим закономерностям. Их задание в данном случае контролируется правилом правой руки: если совместить большой и указательный палец с осями X и Y, соответственно, остальные пальцы в изогнутом положении укажут на направление оси Z.
Понятие прямой в трехмерном пространстве
Теперь несколько слов о том, что представляет собой прямая в трехмерном пространстве. Исходя из основного понятия прямой, это некая бесконечная линия, проведенная через точку или две, не считая множества точек, расположенных в последовательности, не изменяющей прямое прохождение линии через них.
Если посмотреть на прямую, проведенную через две точки в трехмерном пространстве, придется учитывать по три координаты обеих точек. То же самое относится к отрезкам и векторам. Последние определяют базис трехмерного пространства и его размерность.
Определение векторов и базиса трехмерного пространства
Как принято считать, в трехмерной системе координат может существовать три основных вектора, которые определяют базис. При этом базисов с соответствующими независимыми тремя векторами может быть бесчисленное множество.
Заметьте, это могут быть только три вектора, но вот троек векторов можно определить сколько угодно. Размерность пространства определяется количеством линейно-независимых векторов (в нашем случае – три). И пространство, в котором имеется конечное число таких векторов, называется конечномерным.
Зависимые и независимые векторы
Что касается определения зависимых и независимых векторов, линейно-независимыми принято считать векторы, являющиеся проекциями (например, векторы оси X, спроецированные на ось Y).
Как уже понятно, любой четвертый вектор является зависимым (теория линейных пространств). А вот три независимых вектора в трехмерном пространстве в обязательном порядке не должны лежать в одной плоскости. Кроме того, если определять независимые векторы в трехмерном пространстве, они не могут являться, так сказать, один продолжением другого. Как уже понятно, в рассматриваемом нами случае с тремя измерениями, согласно общей теории, можно построить исключительно только тройки линейно-независимых векторов в определенной системе координат (без разницы, какого типа).
Плоскость в трехмерном пространстве
Если рассматривать понятие плоскости, не вдаваясь в математические определения, для более простого понимания этого термина, такой объект можно рассматривать исключительно как двумерный. Иными словами, это бесконечная совокупность точек, у которых одна из координат является постоянной (константой).
К примеру, плоскостью можно назвать любое количество точек с разными координатами по осям X и Y, но одинаковыми координатами по оси Z. В любом случае одна из трехмерных координат остается неизменной. Однако это, так сказать, общий случай. В некоторых ситуациях трехмерное пространство может пересекаться плоскостью по всем осям.
Существует ли более трех измерений
Вопрос о том, сколько может существовать измерений, достаточно интересен. Как считается, мы живем не в трехмерном с классической точки зрения пространстве, а в четырехмерном. Кроме известных всем длины, ширины и высоты, такое пространство включает в себя еще и время существования объекта, причем время и пространство между собой взаимосвязаны достаточно сильно. Это доказал еще Эйнштейн в своей теории относительности, хотя это больше относится к физике, нежели к алгебре и геометрии.
Интересен и тот факт, что сегодня ученые уже доказали существование как минимум двенадцати измерений. Конечно, понять, что они собой представляют, сможет далеко не каждый, поскольку это относится скорее к некой абстрактной области, которая находится вне человеческого восприятия мира. Тем не менее факт остается фактом. И не зря же многие антропологи и историки утверждают, что наши пращуры могли иметь некие специфичные развитые органы чувств вроде третьего глаза, которые помогали воспринимать многомерную действительность, а не исключительно трехмерное пространство.
Кстати сказать, сегодня существует достаточно много мнений по поводу того, что экстрасенсорика тоже является одним из проявлений восприятия многомерного мира, и тому можно найти достаточно много подтверждений.
Заметьте, что современными базовыми уравнениями и теоремами описать многомерные пространства, отличающиеся от нашего четырехмерного мира, тоже не всегда представляется возможным. Да и наука в этой области относится скорее к области теорий и предположений, нежели к тому, что можно явно ощутить или, так сказать, потрогать или увидеть воочию. Тем не менее косвенные доказательства существования многомерных миров, в которых может существовать четыре и более измерений, сегодня ни у кого не вызывают сомнений.
Заключение
В целом же, мы очень кратко рассмотрели основные понятия, относящиеся к трехмерному пространству и базовым определениям. Естественно, существует множество частных случаев, связанных с разными системами координат. К тому же мы постарались особо не лезть в математические дебри для объяснения основных терминов только для того, чтобы вопрос, связанный с ними, был понятен любому школьнику (так сказать, объяснение «на пальцах»).
Тем не менее, думается, даже из таких простых трактовок можно сделать вывод о математическом аспекте всех составляющих, входящих в базовый школьный курс алгебры и геометрии.
Основные примечания о точках в трехмерном пространстве
3D означает трехмерный. Термин трехмерный выражает тот факт, что для определения положения элемента требуется три значения. Три точки измерения в трехмерном пространстве имеют дело с размерами, а именно с длиной, шириной и высотой. Некоторыми примерами трехмерных форм являются куб, цилиндр, сфера, прямоугольный параллелепипед, треугольная призма, шестиугольная призма и т. Д. Он создает иллюзию глубины и показывает графическое представление на двумерной среде, когда иллюзия усиливается стереоскопическими средствами. Короче говоря, это твердая фигура также имеет глубину и толщину, а трехмерное пространство — это настройка геометрии с тремя значениями, известными как параметры.
Трехмерная геометрия Трехмерная геометрия включает математические формы и используется для представления точки или линии; также это может быть плоскость в трехмерном пространстве. Это чем-то похоже на двухмерную координатную геометрию. Точка трех измерений в трехмерном пространстве включает оси X, Y и Z. По всем трем осям они взаимно перпендикулярны друг другу с одинаковыми единицами длины.
Требуются три параметра в третьем пространстве, чтобы узнать точное местоположение точки. Как и в двумерной системе координат, здесь присутствует начало координат, которое является точкой пересечения. Пространство разделено этими осями на восемь октантов. Важно знать, что точки разделяются запятой и пишутся в скобках в декартовой системе координат.
Как представить точку, плоскость и линию в трехмерной геометрии?Поскольку трехмерная геометрия представляет собой точку, плоскость и линию, вы далее вкратце прочитаете об этом, что представление работает.
Представление точки в трехмерной геометрииВ трехмерной геометрии точка представлена либо в декартовой форме, либо в векторной форме.
- Декартова форма
В декартовой форме в трехмерной геометрии представление выполняется с использованием трех координат: оси x, оси y и оси z. Итак, координаты в трехмерной геометрии — это x, y, z. Точка значения x является абсциссой, значение y известно как ордината, а значение z известно как аппликация.
- Векторная форма
Представление точки P в векторной форме представляет собой вектор положения OP. Записывается в виде,
OP=xi+yj+zk,
Где,
i, j, k обозначаются как единичные векторы и оси x, y и z соответственно.
Представление прямойВ трехмерной декартовой системе уравнение вычисляется двумя разными способами. Эти два метода приведены ниже.
Это уравнение прямой, проходящей через точку «а», параллельную заданному вектору «b», представлено в виде
r = a + λb
Это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки обозначен как «a», а «b» показан как r = a + λ(b – a)
Представление плоскости В этом представлении уравнения вычисляются тремя способами на основе доступных входных данных, то есть о плоскости.
Это первое уравнение плоскости обозначается как перпендикулярное расстояние d от начала координат при наличии единичного вектора нормали, поскольку ˆn равно r. н=д. Это известно как нормальная форма.
Второе уравнение — это уравнение плоскости, проходящей через три неколлинеарные точки →
a,b→ и c равно (r-a)[(b-a)*(c-a)]=0. Это уравнение называется через неколлинеарные прямые.
Это третье уравнение образовано пересечением двух плоскостей.
Основные понятия трехмерной геометрииОсновные понятия трехмерной геометрии касаются соотношения направлений, формулы расстояния, формулы средней точки и формулы сечения. Давайте рассмотрим их по отдельности.
Отношения направленийТочка A (a,b,c) показана в виде вектора. Это с вектором положения OA=ai+bj+ck. Здесь отношения направлений равны a,b,c. Это касается осей x, y и z, так как отношения здесь представляют векторную линию.
Формула расстояния Это расстояние между двумя точками (x1,y1,z1 и x2,y2,z2). Это кратчайшее расстояние, равное квадратному корню из суммы квадратов разности, то есть координат x, координат y и координат z заданных точек.
Для нахождения середины линии, соединяющей точки (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2), считается новая точка. При этом абсцисса представляет собой среднее значение x двух заданных точек. Ордината вычисляется как среднее значение y заданных точек. Середина расположена между двумя точками, которая лежит на линии, соединяющей их.
Формула сеченияЭта формула используется для нахождения координат точки, которая делит отрезок, соединяющий точки (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2). Он представлен в соотношении m:n.
Заключение Концепция трехмерной точки в трехмерном пространстве помогает понять различные операции, выполняемые над точкой в трехмерной форме. Формулы и понятия необходимы для понимания точных настроек геометрии в соответствии со всеми тремя значениями осей x, y и z. Правильное нанесение точек на декартовой плоскости необходимо для получения правильного результата в точной точке.
Трехмерная координатная геометрия — уравнение прямой
Содержание
- Уравнение линии
- Примеры и проблемы
- Смотрите также
Чтобы найти уравнение прямой на двумерной плоскости, нам нужно знать точку, через которую проходит линия, а также наклон. Точно так же в трехмерном пространстве мы можем получить уравнение прямой, если знаем точку, через которую проходит линия, а также вектор направления , который указывает направление линии. Формула выглядит следующим образом:
Уравнение прямой с направляющим вектором d⃗=(l,m,n)\vec{d}=(l,m,n)d=(l,m,n), проходящей через точку (x1,y1,z1 )(x_1,y_1,z_1)(x1,y1,z1) определяется формулой
x−x1l=y−y1m=z−z1n,\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n},lx-x1 =my−y1=nz−z1,
, где l,m,l,m,l,m и nnn — ненулевые действительные числа.
□_\квадрат□
Рассмотрим прямую, которая проходит через точку P=(x1,y1,z1)P=(x_1,y_1,z_1)P=(x1,y1,z1) и имеет вектор направления d⃗=(l,m, n),\vec{d}=(l,m,n),d=(l,m,n), где l,m,l,m,l,m и nnn — ненулевые действительные числа. Пусть X=(x,y,z)X=(x,y,z)X=(x,y,z) — случайная точка на прямой. Тогда вектор PX⃗,\vec{PX},PX, показанный красной стрелкой на рисунке, будет параллелен d⃗.\vec{d}.d. Следовательно, у нас есть
PX⃗=td⃗(x−x1,y−y1,z−z1)=t⋅(l,m,n)t=x−x1l=y−y1m=z−z1n.\begin{выровнено} \vec{PX}&=t\vec{d}\\ (x-x_1,y-y_1,z-z_1)&=t\cdot(l,m,n)\\ t&=\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}. \end{align}PX(x−x1,y−y1,z−z1)t=td=t⋅(l,m,n)=lx−x1=my-y1=nz −z1.
Следовательно, любая точка X=(x,y,z)X=(x,y,z)X=(x,y,z) на прямой будет удовлетворять уравнению
х-x1l=y-y1m=z-z1n. □\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}.\ _\squarelx-x1=my-y1=nz −z1. □
Уравнение прямой с направляющим вектором d⃗=(l,m,0)\vec{d}=(l,m,0)d=(l,m,0), проходящей через точку (x1,y1,z1 )(x_1,y_1,z_1)(x1,y1,z1) определяется двумя формулами
x−x1l=y−y1mandz=z1,\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m} \quad и \quad z=z_1,lx-x1=my-y1 иz=z1,
, где lll и mmm — ненулевые действительные числа.
Доказательство очень похоже на предыдущее.
Найдите уравнение прямой с вектором направления d⃗=(1,2,3)\vec{d}=(1,2,3)d=(1,2,3), проходящей через точку P=(−1 ,0,1).P=(-1,0,1).P=(-1,0,1).
В соответствии с приведенной выше формулой уравнение линии равно
.х+1=у2=г-13. □x+1=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{3}.\ _\squarex+1=2y=3z−1. □
По аналогии с линией на координатной плоскости мы можем найти уравнение линии в трехмерном пространстве, если даны две разные точки на линии, поскольку вычитание векторов положения двух точек даст вектор направления .
Найдите уравнение прямой, проходящей через точки P=(3,−1,2)P=(3,-1,2)P=(3,−1,2) и Q=(−3,0, 1).Q=(-3,0,1).Q=(-3,0,1).
Вычитание векторов положения двух точек дает вектор направления, который равен
d⃗=PQ⃗=(−6,1,−1).\vec{d}=\vec{PQ}=(-6,1,-1).d=PQ=(−6,1,−1) ).
Мы можем установить PPP или QQQ как (x1,y1,z1).
x−3−6=y+1=−(z−2),(1)\frac{x-3}{-6}=y+1=-(z-2),\qquad(1)− 6x−3=y+1=−(z−2),(1)
и использование QQQ даст
x+3−6=y=−(z−1).(2)\frac{x+3}{-6}=y=-(z-1).\qquad(2)−6x+3 =y=-(z-1).(2)
Обратите внимание, что добавление 1 ко всем частям (2) дает (1), а это означает, что оба уравнения идентичны. □ _\квадрат □
Что делать, если координата вектора направления равна нулю? Предположим, что координата xxx вектора направления равна нулю. Это означает, что все точки на линии будут иметь одинаковые xxx-координаты. Следовательно, уравнение для этого случая будет иметь вид
y−y1m=z−z1nx=x1.\begin{выровнено} \frac{y-y_1}{m}&=\frac{z-z_1}{n}\\ х&=х_1. \end{aligned}my-y1x=nz-z1=x1.
Аналогично, в случае, когда две координаты вектора направления равны нулю (скажем, xxx- и yyy-координаты) , уравнение будет выглядеть так:
x=x1y=y1.\begin{align}
х&=х_1\\
у&=у_1.
\end{выровнено}xy=x1=y1.
Найдите уравнение прямой, проходящей через две точки P=(1,1,1)P=(1,1,1)P=(1,1,1) и Q=(−1,1,3) .Q=(-1,1,3).Q=(-1,1,3).
Вычитание векторов положения двух точек дает вектор направления, который равен
d⃗=PQ⃗=(−2,0,2).\vec{d}=\vec{PQ}=(-2,0,2).d=PQ=(−2,0,2).
Поскольку координата yyy вектора направления равна нулю, уравнение равно
.х-1-2=z-12y=1orx+1-2=z-32y=1. □\begin{выровнено} \frac{x-1}{-2}&=\frac{z-1}{2}\\ у&=1\\ \\ &\текст{или}\\ \\ \frac{x+1}{-2}&=\frac{z-3}{2}\\ у&=1.\ _\квадрат \end{выровнено}−2x−1y−2x+1y=2z−1=1or=2z−3=1. □
Отношение между двумя разными линиями в трехмерном пространстве всегда одно из трех: они могут быть параллельными, наклонными или пересекаться в одной точке. Если векторы направления прямых параллельны, то параллельны и прямые (при условии, что они не идентичны). Если прямые не пересекаются и их направляющие векторы не параллельны, то они косые. Если прямые пересекаются и их направляющие векторы не параллельны, то прямые пересекаются в одной точке.