Как доказать что точка принадлежит плоскости
Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими ‘ положениями:
· точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;
· прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки;
· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости параллельно прямой, принадлежащей этой плоскости.
Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество линий. Это могут быть произвольные линии и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П1 П2, П3.Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.
Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.
Горизонталь и фронталь являются линиями уровня.
Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.
А так как все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рис. 5.8).
Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости -нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между — собой (рис. 5.9).
К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П3.
К главным линиям особого положения в плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклонаплоскости к плоскости проекций.
Определение угла наклона плоскости
К плоскостям проекций
Плоскость общего положения, расположенная в пространстве
произвольно, наклонена к плоскостям проекций.
Для определения величины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо
плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П1 — линия ската, к П2 — линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П2.
Линии наибольшего наклона плоскости — это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленное данной плоскостью и плоскостью проекций (рис. 5.10).
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-10; Нарушение авторского права страницы
Рис. 3.2 Взаимное расположение прямых
Прямые в пространстве могут занимать относительно друг друга одно из трех положений:
1) быть параллельными;
Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.
Если прямые параллельны друг другу, то на КЧ их одноименные проекции тоже параллельны (см. п. 1.2).
.
Пересекающимися называются прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.
У пересекающихся прямых на КЧ одноименные проекции пересекаются в проекциях точки А. Причем фронтальная () и горизонтальная ()проекции этой точки должны находиться на одной линии связи.
.
Скрещивающимися называются прямые, лежащие в параллельных плоскостях и не имеющие общих точек.
Если прямые скрещивающиеся, то на КЧ их одноименные проекции могут пересекаться, но точки пересечений одноименных проекций не будут лежать на одной линии связи.
На рис. 3.4 точка С принадлежит прямой b, а точка D – прямой а. Эти точки находятся на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций. Аналогично точки E и F принадлежат разным прямым, но находятся на одном расстоянии от горизонтальной плоскости проекций.
Поэтому на КЧ их фронтальные проекции совпадают.
Возможны два случая расположения точки относительно плоскости: точка может принадлежать плоскости или не принадлежать ей (рис. 3.5).
Признак принадлежности точки и прямой плоскости:Точка принадлежит плоскости, если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.
Прямая принадлежит плоскости, если имеет с ней две общие точки или имеет с ней одну общую точку и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.
На рис. 3.5 изображена плоскость и точки D и Е. Точка D принадлежит плоскости, т. к. принадлежит прямой l, имеющей с этой плоскостью две общие точки – 1 и А. Точка Е не принадлежит плоскости, т.к. через нее нельзя провести прямую, лежащую в данной плоскости.
На рис. 3.6 показана плоскость и прямая t, лежащая в этой плоскости, т.к. имеет с ней общую точку 1 и параллельна прямой а.
.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8828 — | 7538 — или читать все.
78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Принадлежность точки плоскости на комплексном чертеже определяется согласно аксиоме инцидентности или отношения принадлежности между элементами евклидова пространства, которая гласит: — если точка E принадлежит прямой k, а прямая k принадлежит плоскости α, то точка E принадлежит плоскости α: E ∈ k ∧ k ∈ α ⇒ E ∈ α.
Задача на принадлежность точки плоскости может быть выражена следующим образом: — заключить точку E(E`, E») в; — провести через точку E(E`, E») плоскость α общего положения
Положение плоскости α в пространстве определяется тремя точками — вершинами ΔABC.
Здесь принадлежность точки плоскости α общего положения определяется ее принадлежностью прямой k, которая принадлежит плоскости α, потому что две ее точки A и D принадлежат этой плоскости. Проведя прямую в плоскости через точку E
доказываем тем самым ее принадлежность заданной плоскости. Заключить точку M в плоскость α заданную параллельными прямыми a и b
Здесь принадлежность точки плоскости α общего положения определяется ее принадлежностью прямой k, которая принадлежит плоскости α, потому что две ее точки 1 и 2 принадлежат этой плоскости. Построение искомой плоскости α: — проводим прямую через точку M; — через точки 1 и 2 взятые на прямой k проводим взаимно параллельные прямые a и b соответственно.
Через точку M провести плоскость α заданную следами
Здесь принадлежность точки плоскости α общего положения определяется ее принадлежностью прямой h, которая, в то же время, принадлежит плоскости α и является ее горизонталью.
Построение искомой плоскости α: — проводим прямую h (горизонталь искомой плоскости) через точку K; — проводим горизонтальный след αH // h` ⇒ αx; — через точки αx и hV проводим фронтальный след αV.
4.3 Принадлежность точки плоскости, принадлежность прямой плоскости
Рисунок 77 – Эпюр, профильная плоскость уровня
Возьмем некоторую плоскость | . Тогда | , | . |
Фронтальные проекции всех точек плоскости | принадлежат фронтальному | ||
следу плоскости . |
|
| P принадлежат горизон- |
Горизонтальные проекции всех точек плоскости | |||
тальному следу плоскости . |
|
|
|
1.
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 78, 79, 80).
2.Прямая принадлежит плоскости, если она принадлежит хотя бы двум точкам плоскости (рис. 81, 82, 83).
3.Прямая принадлежит плоскости, если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости (рис. 84).
Рисунок 78 – Эпюр, принадлежность точки плоскости
59
Задача: плоскость задана двумя параллельными прямыми MN. M N. Известно: ; дана фронтальная проекция точки K (рис. 78, а). Достроить недостающую проекцию .
Решение. Через профильную проекцию (рис. 78, б) проводим произвольно прямую и на прямой MN ставим точки 1’ и 2’. Проводим линии связи и находим горизонтальные проекции точек 1 и 2. Таким образом, проведена прямая, принадлежащая заданной плоскости. На основании взаимного положения прямой и точки, заданную фронтальную проекцию опускаем по линии связи на горизонтальную проекцию прямой 12 .
Пример: задана плоскость ABC, известна горизонтальная проекция точки K (рис.
79, а). Требуется достроить фронтальную проекцию точки K.
Решаем по аналогии первой задачи, когда задана горизонтальная проекция
(рис. 79, б).
Рисунок 79 – Эпюр, принадлежность точки плоскости
Пример: задана плоскость P следами, известна фронтальная проекция точки K. Точка K принадлежит плоскости P (рис. 80, а).
Во фронтальной плоскости через точку произвольно проводим фронтальную проекцию прямой (рис. 80, б). Находим фронтальный след проведенной прямой. Для этого фронтальную проекцию прямой ведем до пересечения с фронтальным следом плоскости PV и на пересечении проекций ставим()V v/ , а горизонтальная проекция фронтального следа всегда лежит на оси x и ставим()v. Пересечение фронтальной проекции прямой с осью x дает нам фронтальную проекцию горизонтального следа прямой , далее по линии связи находим горизонтальный
60
след прямой . Соединив горизонтальную проекцию горизонтального следа
с горизонтальной проекцией фронтального следа ( )v, получим горизонтальную проекцию прямой.
Рисунок 80 – Эпюр, принадлежность точки плоскости
4.4.1Прямые уровня плоскости – это прямые лежащие в плоскости и параллельные плоскости проекций:
горизонтальная прямая плоскости;
фронтальная прямая плоскости;
профильная прямая плоскости.
Профильную прямую плоскости мы не рассматриваем.
1. Горизонтальная прямая плоскости (горизонталь плоскости) Горизонталью плоскости называют прямую, лежащую в заданной плоскости и
параллельную горизонтальной плоскости проекций H (рис. 81, 82). |
| |||
; | ; | ; | ; | . |
61
Рисунок 81 – Проецирующий аппарат и эпюр горизонтальной прямой плоскости
Рисунок 82 – Эпюр горизонтальной прямой плоскости
Фронтальная проекция h горизонтали плоскости всегда параллельна оси x.
плоскости .
На рисунке 82, а показана плоскость, заданная следами.
62
На рисунке 82, б показана плоскость, заданная двумя параллельными прямыми A и B.
2.Фронтальная прямая плоскости (фронталь плоскости)
Фронталью плоскости называют прямую, лежащую в заданной плоскости и
параллельную фронтальной плоскости проекций V (рис. 83). |
| |||
; | ; | ; | ; | . |
Рисунок 83 – Проецирующий аппарат и эпюр фронтальной прямой плоскости
Горизонтальная проекция фронтали плоскости всегда параллельна оси x, а фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости .
Задача: через точку A провести фронталь плоскости (рис. 84).
Решение. | Для | построения | ||
фронтальной | проекции | фронтали | ||
ставим |
| на | пересечении с | |
отрезком , |
| , по линии связи | ||
находим | фронтальную | проекцию | ||
. | Для |
|
| построения |
фронтальной | проекции | фронтали | ||
соединяем одноименные проекции
точек в | плоскости , | – |
получаем | фронтальную | проекцию |
фронтали плоскости. |
| |
Рисунок 84 – Эпюр, фронталь плоскости
63
4.4.2Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций
Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций называют прямую линию, лежащую в плоскости, и составляющую с плоскостью проекций угол наклона, который определяет угол наклона всей плоскости к плоскости проекций.
Линии наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости
проекций.
Линии наибольшего наклона плоскости к фронтальной плоскости проек-
ций.
Линии наибольшего наклона плоскости к профильной плоскости проек-
ций.
I.Линии наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций (линии ската)
Линия наклона (ската) плоскости к горизонтальной плоскости проекций всегда перпендикулярна горизонтальному следу плоскости или горизонталям плоскости (рис. 85, 86).
Рисунок 85 – Проецирующий аппарат, линия наклона к горизонтальной плоскости проекций
64
Определить угол наклона плоскости P (общего положения) к горизонтальной плоскости проекций H.
Возьмем произвольно на фронтальном следе плоскости . От точки проведем линию ската перпендикулярно горизонтальному следу плоскости или горизонтали плоскости «H».
т. к. принадлежит следам плоскости P.
Если точка принадлежит какой-либо плоскости проекций (V, H), то одна из проекций точки совпадет с самой точкой, а другая проекция точки будет лежать на оси x.
Пусть точка , а точка
Находим проекции точек A и K на плоскостях проекций (рис. 86). Соединив одноименные проекции точек проекций и , получаем две проекции линии ската. Используя метод прямоугольного треугольника, рассмотренный в теме 3, определяем углы наибольшего наклона к плоскостям проекций, а также натуральную величину отрезка (AK).
– угол наклона плоскости P к горизонтальной плоскости проекций H.
Рисунок 86 – Эпюр, линия наклона к горизонтальной плоскости проекций
В пространстве рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 87),
являющийся горизонтально проецирующей плоскостью
65
z
V | A а/ |
P |
PV
k| | а | Н. |
| ||
x PX |
|
|
K k |
| A1 |
|
| PH |
H |
| y |
| угол наклона плоскости | |
угол наклона плоскости |
| |
| на чертеже | |
в пространстве |
|
|
В.Рисунок 87 – Проецирующий аппарат, определение натуральной величины линии наклона к горизонтальной плоскости проекций
Поворачиваем вокруг катета до совмещения с горизонтальной плоскостью проекций . Гипотенуза дает натуральную величину в новом положении и является отрезком линией наибольшего ската, а угол между построенной натуральной величиной (линией ската) и ее горизонтальной проекцией, является углом наклона плоскости P к плоскости проекций H.
Определить угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций (рис. 88, а).
Для удобства через проводим горизонталь плоскости (рис. 88, а). Мы знаем, что горизонталь плоскости всегда параллельна горизонтальной плоскости проекций и поэтому – фронтальная проекция горизонтали плоскости пройдет всегда параллельно оси x.
Рисунок 88 – Эпюр, построение линии ската, определение натуральной величины отрезка прямой
Определяем горизонтальную проекцию горизонтали плоскости –. Используем правило: прямая принадлежит плоскости, если у прямой и плоскости есть две общие точки. В нашем примере горизонталь (прямая) принадлежит точкам А и 1 в
66
пространстве на эпюре h’ a’1′. Найдем проекции точек А и 1, опустив линии связи от фронтальных проекций точек (правила построения эпюра точки и взаимного положения прямой и точки, рис 88, а).
Исходя из правила (линия ската (наклона) плоскости к горизонтальной плоскости проекций всегда перпендикулярна горизонтали плоскости) восстанавливаем перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали, рис.
88, б. Для удобства возьмем горизонтальную проекцию и восстановим перпендикуляр к горизонтальной проекции горизонтали, согласно правилу. Затем находим фронтальную проекцию отрезка B2, который является линией наибольшего ската. Согласно найденным двум проекциям линии наибольшего ската плоскости B2, находим ее натуральную величину и угол наклона к горизонтальной плоскости проекций – методом прямоугольного треугольника.
II.Линии наибольшего наклона плоскости к фронтальной плоскости
проекций
Линия наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций всегда перпендикулярна фронтальному следу плоскости или к фронталям плоскости (рис. 89).
Рисунок 89 – Проецирующий аппарат, линия наклона к фронтальной плоскости проекций V
– угол наклона плоскости P к фронтальной плоскости проекций V.
67
Аналогично рис. 87 определяем угол наклона плоскости P к плоскости V. В связи с тем, что плоскость, заданная треугольником Vh’H (рис. 90) поворачивается вокруг оси Vh’ до совмещения с фронтальной плоскостью проекций V, то гипотенуза V’h2 проецируется в натуральную величину и является отрезком линией наибольшего наклона, а угол между построенной натуральной величиной и ее фронтальной проекцией является углом наибольшего наклона плоскости P к фронтальной плоскости проекций V.
Рисунок 90 – Проецирующий аппарат, линия наклона к фронтальной плоскости проекций V
(вращение плоскости Q до совмещения с плоскость V)
Рисунок 91 – Эпюр, линия наклона к горизонтальной плоскости проекций
68
4$, у меня есть плоскость (заданная ее декартовым уравнением) и точка (заданная ее координатами). Как я могу проверить, принадлежит ли он самолету?- линейная алгебра
- геометрия
$\endgroup$
$\begingroup$
Некоторые родственные случаи:
Если уравнение гиперплоскости имеет вид $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4x_4 = b$, чтобы проверить, является ли точка $(p_1,p_2,p_3,p_4)$ в гиперплоскости, мы должны увидеть, удовлетворяет ли точка уравнение, т. е. если при замене $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ на $(p_1,p_2,p_3,p_4)$ получаем правильное уравнение, то есть если $a_1p_1 + a_2p_2 + a_3p_3 + a_4p_4 = b$. 9n$ (или любое множество $S$), заданное $f(x) = 0$, это на самом деле означает, что подмножество есть $\{x \in S : f(x) = 0\}$, и что мы имеем Чтобы определить принадлежность любого $x_0 \in S$, нужно проверить, является ли $f(x_0) =0$.
Если у нас есть более одного уравнения, описывающего набор, элемент должен удовлетворять всем уравнениям, чтобы принадлежать ему.В нашем случае множество представляет собой плоскость и описывается двумя уравнениями, поэтому, когда мы хотим решить, принадлежит ли элемент ему, мы проверяем, удовлетворяет ли этот элемент оба уравнения . В противном случае он не принадлежит самолету.
$\endgroup$
14
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
геометрия — Проверить, находится ли точка на плоскости? (Минимизируйте использование операций умножения и деления)
Задавать вопрос
спросил
Изменено 8 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 22к раз
$\begingroup$
В $\mathbb R3$ дана плоскость $\mathcal P$, заданная тремя трехмерными точками $v_0, v_1, v_2$, я хочу проверить, принадлежит ли другая точка $p$ этой плоскости, избегая при этом максимально возможное использование операций умножения и деления .
Причина в том, чтобы смягчить ошибки с плавающей запятой, вызванные компьютерным представлением десятичных чисел.
Мой текущий метод:
Вычислить общую форму уравнения плоскости $ax+by+cz+d=0$
Где $a,b,c$ — компоненты единичного вектора нормали к плоскости. $N={(v_1-v_0)\times(v_2-v_0) \over \|(v_1-v_0)\times(v_2-v_0)\|}$
И $d=N.v_0$
Подставьте точку $p$ в уравнение плоскости: $res=a.p_x+b.p_y+c.p_z-d$
Если результат нулевой, точка лежит на плоскости
Из-за ошибок с плавающей запятой я действительно проверяю, является ли результат «почти» нулевым: $|res|<\epsilon$
Однако в некоторых случаях, когда я подставляю $v_2$ в уравнение плоскости, я обнаруживаю, что оно не принадлежит плоскости, даже несмотря на то, что я использовал $v_2$ для вычисления уравнения в первую очередь. (Я получаю результат больше, чем мой $\epsilon$.)
Это происходит из-за ошибок с плавающей запятой.
См. мой вопрос о переполнении стека: https://stackoverflow.com/q/21916606/143504Поэтому я ищу альтернативный метод, который устранит эти ошибки.
- геометрия
- 3d
- с плавающей запятой
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Четыре точки лежат в одной плоскости, если определитель
$$\begin{vmatrix} х_1 и х_2 и х_3 и х_4 \\ у_1 и у_2 и у_3 и у_4 \\ z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\ 1 и 1 и 1 и 1 \end{vmatrix}$$
равно нулю. Преимущество этого в том, что он вообще не требует разделения. Однако для этого требуется довольно много умножений.
Тем не менее, вы можете заглянуть на страницу Шевчука Adaptive Precision Arithmetic Floating Point and Fast Robust Predicates for Computational Geometry , где вы можете найти документы о том, как оценивать эти предикаты точно , а также реализацию C делать только это.
Если у нас есть более одного уравнения, описывающего набор, элемент должен удовлетворять всем уравнениям, чтобы принадлежать ему.
См. мой вопрос о переполнении стека: https://stackoverflow.com/q/21916606/143504