Тейлора разложения: Недопустимое название | Математика

Содержание

Страница не найдена — ПриМат

© 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Валентин Малявко (8), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2),

Ряд Тейлора.

Разложение функции в ряд Тейлора.

Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1), где f(x) — функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R_n — остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.

Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

ДВОЙСТВЕННОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД, ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЯДА ТЕЙЛОРА | Alekseeva

Алексеева Е.Е., Лушников Е.М. Интегрирование с преобразованием подынтегральных тригонометрических функций к алгебраическому виду // В мире научных открытий 2014. 12(60). С. 163–172.

Алексеева Е.Е., Лушников Е.М. Ряды и интегралы. Germany: Lambert Academic Publishing, 2012. 170 с.

Алексеева Е.Е., Лушников Е.М. Нетрадиционная теория рядов. USA: LULU, 2010. 235 с.

Алексеева Е.Е. Разложение функции в степенной ряд с помощью ряда Тейлора. Наука Красноярья. Красноярск: Научно-инновационный центр, 2012. №1. С. 84–96.

Алексеева Е.Е. Интегрирование функций при помощи степенных рядов. В мире научных открытий. Красноярск: Научно-инновационный центр, 2011. №8.1 С. 315–322.

Алексеева Е.Е. Предпосылки возникновения бесконечного ряда. В мире научных открытий. Красноярск: Научно-инновационный центр, 2014. №4.1(52). С. 672–690.

Баранов Ю.К., Гаврюк М.И, Логиновский В.А., Песков Ю.А. Навигация. Санкт-Петербург, 1997. 510 с.

Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1. Москва: Высшая школа, 2012. 725 с.

Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 2. Москва: Высшая школа, 2012. 712 с.

Власова Е.А. Ряды. Москва: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 616 с.

Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1977. 224 с.

Никольский С.М. Курс математического анализа. М.: Физматлит, 2001. 592 с.

Практическое кораблевождение. Книга первая. Отв. Редактор адмирал А.П. Михайловский, 1989. 896 с.

Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т.1. Элементарные функции. Москва: Физматлит, 2003. 632 с.

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Москва: Физматлит, 2003. 864 с.

Borowski E.J., Borwein J.M. Collins Internet-linked dictionary of Mathematics. Collins, Glasgow, 2005. 642 p.

Filist L., Malina A., Solecka A. Matematyka. Słownik encyklopedyczny. Kielce.: Wydawnictwo EUROPA, 2007. 340p.

Lusznikov E.M. Contemporary problems of navigation nearly pole. Marine navigation and safety of sea transportation. Gdynia Marine University, Gdynia, Poland. Taylor & Francis Group, London UK, 2009. Рp. 451–453.

Hackbusch W. Elliptic Differential Equations: Theory and Numerical Treatment (Springer Series in Computational Mathematics), 2010. 311 p.

Iserles A. A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. Cambridge University Press, 2008. 459 p.

Моделирование в электроэнергетике — Разложение функции в ряд Тейлора

Разложение функции в ряд Тейлора

› Формула Тейлора для функции одной переменной

Ряд Тейлора (в англоязычной литературе Taylor series) – это способ представления сложной функции (периодической или непериодической) с помощьюбесконечной суммы простейших степенных функций.

где — степенной ряд, полученный разложением функции в окрестности точке в ряд Тейлора;

– точка, в окрестности которой производится разложение функции ;

– производная n-степени функции в окрестности точке

n – число членов ряда разложения.

Следует отметить, что в случае, если , то ряд Тейлора преобразуется в ряд Маклорена (в англоязычной литературе Maclaurin series).

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка. Так же формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении.

› Формула Тейлора для функции двух переменных

В случае если функция является функцией от двух переменных и имеет производные вплоть до n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки , тогда разложение функции в ряд Тейлора будет иметь следующий вид:

где — степенной ряд, полученный разложением функции в окрестности точке в ряд Тейлора;

n – число членов ряда разложения.

Представленная формула распространяется на функции от любого числа переменных.

В качестве первого примера, рассмотрим разложение тригонометрической функции в ряд Тейлора в окрестности точки .

Рассматриваемая функция дифференцируема и имеет производные вплоть до n-го порядка, которые вычисляются следующим образом: . Таким образом, функция раскладывается в следующий ряд Тейлора:

В итоге получаем следующий степенной ряд:

Рис.1. Зависимость изменения функция и ее представление в виде ряда Тейлора

В качестве второго примера, рассмотрим разложение тригонометрической функции в ряд Тейлора в окрестности точки .

В итоге получаем следующий степенной ряд:

Рис. 2. Зависимость изменения функция и ее представление в виде ряда Тейлора

В качестве третьего примера, рассмотрим разложение тригонометрической функции в ряд Тейлора в окрестности точки .

В итоге получаем следующий степенной ряд:

Рис.3. Зависимость изменения функция и ее представление в виде ряда Тейлора

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Решение пределов, используя ряд Тейлора

Метод решения

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x, стремящейся к нулю. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной.
2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0. При этом выполняем разложение до такой степени xⁿ, которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o(xⁿ).

Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.

Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А) Задаемся показателем степени n, до которого мы будем проводить разложение.
Б) Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при , или заменяя их на .
В) В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при . Например,
.
Здесь при . Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .

Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена. Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.

Применяемые свойства о малого

Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).

Далее m и n – натуральные числа, .
;
;
, если ;
;
;
;
, где ;
, где c ≠ 0 – постоянная;
.

Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
, где .

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.

;
;
,
где ;
;
;
,
где – числа Бернулли: , ;
;
;
;
;
;
;
;
,
;
;
.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
.

Решение

Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0. Для этого выполняем преобразования.

.
Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n может принимать только положительные значения. Поэтому . Делаем замену переменной . При . Будем искать предел считая, что x – действительное число. Если предел существует, то он существует и для любой последовательности , сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .

.
Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:
.
Оставляем только линейный член.
.
.
Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел , то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .

Ответ

Пример 2

Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.

Решение

Делаем замену переменной . Тогда . При . Подставляем.
.

Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки . Мы полагаем, что . Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда
.

Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
.
.

Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.

Ответ

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
.

Решение

Это неопределенность вида 0/0. Используем следующие разложения функций в окрестности точки :
;
;
.

Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
;
.
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.

Ответ

Пример 4

Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора.
.

Решение

Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0. Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше разложение для гиперболического синуса ⇑:
(П4.1) .
В разложении экспоненты, заменим x на –x:
(П4.2) .
Далее, – сложная функция. Сделаем замену переменной . При . Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки . Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x в t:
(П4.3) .

Заметим, что если бы у нас была функция , то при . Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки . В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование:
.
Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).

Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x: . То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x: , и линейные . Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в .
;
;
.
Поскольку , то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем:

.
Подставляем в предел:

.
Мы снова получили неопределенность вида 0/0. Значит разложения до степени не достаточно.

Если мы выполним разложение до степени , то опять получим неопределенность:
.

Выполним разложение до степени . То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями . Остальные включаем в .
;
;

;

.
Далее замечаем, что . Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени , включив их в . Используем разложение (П4.3), заменив t на :

.

Подставляем в исходную функцию.

.
Находим предел.
.

Ответ

Пример 5

Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора.
.

Решение

Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.

Начнем со знаменателя. Используем свойства о малого ⇑ и разложения синуса и тангенса ⇑.

;
;

.

Теперь переходим к числителю. При . Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при , а у нас . Заметим, что . Поэтому выполним преобразование.
.
Теперь можно сделать подстановку , поскольку при .

Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки . Применяем приведенное выше разложение ⇑.
;
;

;
;
;
;
Далее заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Раскладываем первый логарифм.

; ;
;
.

Разложим второй логарифм. Приводим его к виду , где при .
,
где .

Разложим z в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до .
Применим разложение синуса ⇑:
.
Заменим x на :
. Тогда
;

;
Заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Раскладываем с точностью до и учитываем, что .

;
.

Находим разложение числителя.

;
;
.

Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
;
.

Ответ

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 29-04-2019

Формулы Маклорена и Тейлора, выводы и примеры решения задач

Рассмотрим многочлен $n$-й степени

$P(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots+a_{n} x^{n}$

Его можно представить в виде суммы степеней $x$, взятых с некоторыми коэффициентами. {n}}{n !}$

Больше примеров решений Решение производных онлайн
Читать дальше: разложение в ряд Маклорена элементарных функций.
Про ряд Тейлора — burlachenkok
Библиография
[1] Лекции по математическому анализу Феоктистова В.В.
[2] II Иванова Е.Е Дифференциальное исчисление функций одного переменного.
[3] V Канатников и др. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Ряд Тейлора
Очень фундаментальная штучка для численных методов и всей непрерывной математики вообще. Названа по имени английского математика Б. Тейлора (1685-1731). Данную форму мне вывел проф. Феоктистов на лекции. Она напоминает форму Шлёмильха Роша.

Мы можем выбирать параметры p,n.
Но параметр teta будет некоторым числом в открытом отрезке (0,1), на которое мы не можем повлиять.
Шаги док-ва для вывода формы остаточного члена R(x):
1. n
p.s.
1. Не соответствует приведённому здесь
2. Не совсем понятно как получается остаточный член в форме Коши из определения с википедии.
Ряд Тейлора для функции многих переменных
Например для скалярной функции двух аргументов вид разложения будет такой:
Замечания
1. Доказательство верности формулы базируется на обычном формуле Тейлора для функции одного скалярного аргумента посредством рассмотрения точек отрезка [a, a+dx*t]
2. Увы, но если быть абсолютно честным то Теорема Тейлора с остаточным членом в Форме Лагранжа перестаёт быть верной для случая векторной функции скалярного аргумента. Контрпример — [3, стр.111]
Исчисление II — серия Тейлора
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т. е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 4-16: Серия Тейлора
В предыдущем разделе мы начали записывать представление функции в виде степенного ряда. Проблема с подходом, описанным в этом разделе, заключается в том, что все сводилось к необходимости иметь возможность каким-либо образом связать функцию с
. \ [\ frac {1} {{1 — x}} \]
, и хотя существует множество функций, которые могут быть связаны с этой функцией, есть гораздо больше, которые просто не могут быть связаны с ней.4} + \ cdots \]
Далее нам нужно будет предположить, что функция \ (f \ left (x \ right) \) имеет производные любого порядка и что мы действительно можем найти их все.
Теперь, когда мы предположили, что существует представление степенного ряда, нам нужно определить, каковы коэффициенты \ ({c_n} \). Это проще, чем может показаться на первый взгляд. Давайте сначала просто оценим все в \ (x = a \). Это дает,
\ [е \ влево (а \ вправо) = {c_0} \]
Итак, все члены, кроме первого, равны нулю, и теперь мы знаем, что такое \ ({c_0} \).2} + \ cdots \\ f » \ left (a \ right) & = 2 {c_2} \ end {align *} \]
Итак, похоже,
\ [{c_2} = \ frac {{f » \ left (a \ right)}} {2} \]
Использование третьей производной дает
\ [\ begin {align *} f » ‘\ left (x \ right) & = 3 \ left (2 \ right) {c_3} + 4 \ left (3 \ right) \ left (2 \ right) {c_4 } \ left ({x — a} \ right) + \ cdots \\ f » ‘\ left (a \ right) & = 3 \ left (2 \ right) {c_3} \ hspace {0,75in} \ Rightarrow \ hspace {0,75 дюйма} {c_3} = \ frac {{f » ‘\ left (a \ right)}} {{3 \ left (2 \ right)}} \ end {align *} \]
Использование четвертой производной дает
\ [\ begin {align *} {f ^ {\ left (4 \ right)}} \ left (x \ right) & = 4 \ left (3 \ right) \ left (2 \ right) {c_4} + 5 \ left (4 \ right) \ left (3 \ right) \ left (2 \ right) {c_5} \ left ({x — a} \ right) \ cdots \\ {f ^ {\ left (4 \ right) }} \ left (a \ right) & = 4 \ left (3 \ right) \ left (2 \ right) {c_4} \ hspace {0. i}} \]
Обратите внимание, что это действительно многочлен степени не выше \ (n \).n}} \]
\ (n \) ^{-й многочлен Тейлора степени} — это всего лишь частичная сумма ряда.
Далее, остаток определяется как
\ [{R_n} \ left (x \ right) = f \ left (x \ right) — {T_n} \ left (x \ right) \]
Итак, остаток на самом деле представляет собой всего лишь ошибку между функцией \ (f \ left (x \ right) \) и \ (n \) ^{-й полином Тейлора} степени для данного \ (n \).
С этим определением обратите внимание, что мы можем записать функцию как,
\ [f \ left (x \ right) = {T_n} \ left (x \ right) + {R_n} \ left (x \ right) \]
Теперь у нас есть следующая Теорема.{\ left (6 \ right)}} \ left (0 \ right) = — 1 \\ \ vdots \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, & & \ hspace {0.5 in} & \, \, \, \, \, \, \, \ vdots \ end {align *} \]
В этом примере, в отличие от предыдущих, нет простой формулы ни для общей производной, ни для вычисления производной. 6}} _ {n = 6} + \ cdots \ end {align *} \]
Итак, мы выбираем только термины с четными степенями перед \ (x \).{2n}}}} {{\ left ({2n} \ right)!}}} \]
Идея перенумерации терминов ряда, как мы делали в предыдущем примере, используется не так часто, но иногда бывает очень полезной. Есть еще одна серия, в которой нам нужно это сделать, поэтому давайте взглянем на нее, чтобы мы могли получить еще один пример перенумерации членов ряда.
Пример 6 Найдите ряд Тейлора для \ (f \ left (x \ right) = \ sin \ left (x \ right) \) около \ (x = 0 \). Показать решение
Как и в предыдущем примере, мы начнем таким же образом.п}} \ конец {выравнивание *} \]
Обратите внимание, что в этом случае мы упростили факториалы. Вы всегда должны упрощать их, если их несколько и их можно упростить.
Также не стоит увлекаться термином «сидеть перед сериалом». 2}}} \) около \ (x = — 1 \).3} \ end {align *} \]
При нахождении ряда Тейлора многочлена мы не делаем никакого упрощения правой части. Оставляем как есть. Фактически, если бы мы все перемножили, мы просто вернулись бы к исходному многочлену!
Хотя не очевидно, что написание ряда Тейлора для многочлена полезно, иногда это необходимо. Проблема в том, что они выходят за рамки этого курса и поэтому здесь не рассматриваются.Например, есть одно приложение к серии в области дифференциальных уравнений, где это нужно делать время от времени.
Итак, мы видели довольно много примеров рядов Тейлора к этому моменту, и для всех из них мы смогли найти общие формулы для ряда. Так будет не всегда. Чтобы увидеть пример формулы, не имеющей общей формулы, просмотрите последний пример в следующем разделе.
Перед тем, как покинуть этот раздел, следует выделить три важных ряда Тейлора, которые мы извлекли в этом разделе, и которые мы должны обобщить в одном месте. {2n + 1}}}} {{\ left ({2n + 1} \ right)!}}} \ End {align *} \]
Taylor Expansion — обзор
6.1.
Покажите с помощью расширения Тейлора, что:
d3fdx3≈fj + 2−2fj + 1 + 2fj − 1 − fj − 22Δx3.
Каков порядок этого приближения?
6.2.
Рассмотрим следующее приближение «назад во времени» для уравнения диффузии:
fjn + 1 = fjn + ΔtDΔx2 (fj + 1n + 1 + fj − 1n + 1−2fjn + 1)
(a)
Определите точность этой схемы.
(б)
Найти его свойства устойчивости методом фон Неймана. Как это соотносится с рассмотренным ранее приближением движения вперед во времени с центрированным пространством?
6.3.
Приближаем уравнение линейной адвекции:
∂f∂t + U∂f∂x = 0U> 0
методом обратного времени из задачи 2. Используйте стандартную аппроксимацию центрированной разности второго порядка для пространственной производной.
(a)
Запишите конечно-разностное уравнение.
(б)
Запишите модифицированное уравнение.
(в)
Найдите точность схемы.
(d)
Используйте метод фон Неймана для определения устойчивости схемы.
6.4.
Рассмотрим следующую конечно-разностную аппроксимацию уравнения диффузии:
fjn + 1 = fjn + 2ΔtDΔx2 (fj + 1n − fjn + 1 − fjn − 1 + fjn).
Это так называемая схема Дюфорта-Франкеля, в которой интегрирование по времени представляет собой метод «чехарды», а пространственная производная — это обычное приближение разности центров, за исключением того, что мы заменили fjn на (1/2) (fjn + 1 + fjn − 1).Выведите модифицированное уравнение и определите точность схемы. Есть какие-нибудь сюрпризы?
6.5.
Дана следующая конечно-разностная аппроксимация:
fjn + 1 = 12 (fj + 1n + fj − 1n) −ΔtU2Δx (fj + 1n − fj − 1n).
(a)
Запишите модифицированное уравнение.
(b)
Какое уравнение приближается?
(в)
Определите точность схемы.
(d)
Используйте метод фон Неймана, чтобы исследовать, при каких условиях эта схема устойчива.
6,6.
Рассмотрим уравнение:
∂f∂t = g (f),
и метод предиктора-корректора второго порядка:
fj ∗ = fjn + Δtg (fn) fjn + 1 = fjn + Δt2 (g ( fn) + g (f ∗)).
Покажите, что этот метод также можно записать как:
fj ∗ = fjn + Δtg (fn) fj ∗∗ = fj ∗ + Δtg (f ∗) fjn + 1 = (1/2) (fn + f ∗∗ ).
То есть вы просто делаете два явных шага Эйлера, а затем усредняете решение в начале временного шага и в конце. Это делает особенно простым расширение схемы явного интегрирования по времени первого порядка до второго порядка.
6.7.
Измените код, используемый для решения одномерного линейного уравнения переноса (Код 1), чтобы решить уравнение Бюргерса:
∂f∂t + ∂∂x (f22) = D∂2f∂x2
с использованием тех же начальных условий . Что происходит? Уточните сетку. Как изменится решение, если мы добавим константу (скажем, 1) к начальным условиям?
6,8.
Измените код, используемый для решения двумерного линейного уравнения адвекции (Код 2), чтобы смоделировать адвекцию изначально квадратной капли с f = 1 по диагонали через квадратную область, установив u = v = 1.Размер капли составляет 0,2 × 0,2, и она изначально расположена около начала координат. Уточните сетку и покажите, что решение сходится, сравнивая результаты до того, как большой двоичный объект вытекет из области.
6.9.
Выведите выражение второго порядка для граничной завихренности, записав функцию тока при j = 2 и j = 3 в виде разложения в ряд Тейлора вокруг значения на стене ( j = 1). Как это выражение соотносится с уравнением (6.67)?
6.10.
Измените код функции завихренности-потока, используемый для моделирования двумерной задачи управляемой полости (Код 3), для моделирования потока в прямоугольном канале 2 × 1 с периодическими границами. Установите значение функции тока вверху равным ψ = 1. В качестве начальных условий поместите две круглые капли с радиусом r = 0,25 и ω = 10 на осевой линии канала с координатами y = 0,5. и x = 0.6 и х = 1,4. Уточните сетку, чтобы обеспечить сходимость решения. Опишите эволюцию потока.
6.11.
Выведите дискретное уравнение давления для угловой точки для метода скорость-давление, описанного в разделе 6.3.2. Как это соотносится с уравнением для внутренней точки (6.91) и точки рядом с прямой границей (6.96)?
6.12.
Измените код скорость-давление, используемый для моделирования двумерной задачи ведомой полости (Код 4), чтобы смоделировать смешивание струи быстрой жидкости с более медленной.Измените длину области (L _x) на 3 и укажите скорость притока 1 в средней трети левой границы и скорость притока 0,25 для остальной части границы. Для правой границы задайте равномерную скорость истечения 0,5. Остальные параметры оставьте неизменными. Уточните сетку и проверьте сходимость решения.
6,13.
Расширить код скорости-давления, используемый для моделирования двумерной задачи ведомой полости (Код 4), до трех измерений.Предположим, что третье измерение равно единице (как текущие размеры), и возьмем скорость верхней стенки и свойства материала одинаковыми. Вычислите поток на сетках 9 ³ и 17 ³ и сравните результаты, построив скорости вдоль линий, проходящих через центр области. Как соотносятся скорости в центре с результатами в двухмерном режиме?
6,14.
Выведите уравнение (6.121):
gyfx − gxfy = 1J (gηfξ − gξfη).
6,15.
Покажите, что уравнения для первых производных в отображенных координатах (уравнение 6.111) можно записать в так называемой консервативной форме:
fx = 1J ((fyη) ξ− (fyξ) η) и fy = 1J ( (fxξ) η− (fxη) ξ).
6,16.
Выведите уравнение (6. 120):
∇2ξ = 1J3 (q1 (xηyξξ − yηxξξ) −2q2 (xηyξη − yηxξη) + q3 (xηyηη − yηxηη)).
Возьмите f = ξ и используйте, что ξ _η = 0 и так далее.
6,17.
Получите численные приближения для уравнений скорости-давления для отображения, где линии сетки прямые и ортогональные, но неравномерно разнесены. То есть только x = x ( ξ ) и y = y ( η ). Предположим, что Δ ξ = Δη = 1. Как соотносятся эти уравнения с (6.85), (6.86), (6.89), (6.90) и (6.91)?
6,18.
Когда скорость высока, а диффузия мала, линейное уравнение адвекции-диффузии может проявлять поведение пограничного слоя.Предположим, что вы хотите решить (6.11) в области, заданной как 0≤x≤1, что U> 0, и что граничные условия: f (0) = 0 и f (1) = 1 Скорость U высокая, а диффузия D мала, поэтому мы ожидаем пограничный слой около x = 1.
(a)
Нарисуйте эскиз решения для высокого U и низкого D.
(b)
Предложите функцию отображения, которая сгруппирует точки сетки около границы x = 1.
(c)
Запишите уравнение в отображенных координатах.
6,19.
Выведите уравнение (6.141).
6.20.
Предложите численную схему для решения нестационарного потока над прямоугольным кубом в неограниченной области. Число Рейнольдса относительно низкое, 500–1000. Определите ключевые проблемы, которые необходимо решить, и предложите решение. Ограничьте свое обсуждение одной страницей и НЕ записывайте подробные численные приближения, но четко укажите, какой тип пространственной и временной дискретизации вы бы использовали.
Простой способ запомнить расширение серии Тейлора | Эндрю Чемберлен, доктор философии.
Расширение Тейлора — одна из самых красивых идей в математике. Интуиция проста: большинство функций являются гладкими по диапазонам, которые нас интересуют. И многочлены также гладкие. Итак, для каждой гладкой функции мы должны иметь возможность записать многочлен, который очень хорошо ее аппроксимирует.
И действительно, если наш многочлен содержит достаточно членов, он будет в точности совпадать с исходной функцией.Поскольку с многочленами работать легче, чем с почти любыми другими функциями, это обычно превращает сложные проблемы в простые.
Формула Тейлора — ключ к успеху. Это дает нам уравнение для полиномиального разложения для на каждые гладкой функции f. Однако, хотя интуиция, лежащая в основе этого, проста, фактическая формула — нет. Это может быть довольно сложно для новичков, и даже экспертам трудно вспомнить, если они не видели это какое-то время.
В этом посте я объясню простой и быстрый прием, который я использую, чтобы заново вывести формулу Тейлора с нуля, когда у меня возникают проблемы с ее запоминанием.
Начиная с нуля
Идея разложения Тейлора состоит в том, что мы можем переписать каждую гладкую функцию в виде бесконечной суммы полиномиальных членов. Поэтому первый шаг — написать общий многочлен n-й степени. Вот он:
Где a0, a1,… — коэффициенты для каждого полиномиального члена, а c — константа, которая представляет, где по оси x мы хотим начать наше приближение (если нам все равно, с чего начать, просто пусть c = 0, который технически известен как Маклорен, а не Тейлор).Этот ряд, известный как «степенной ряд», может быть записан в замкнутой форме следующим образом:
Цель состоит в том, чтобы найти умный способ найти коэффициенты a0, a1,… в этом уравнении, учитывая некоторую функцию f и начальное значение c. Вот логика для этого. Многочлены гладкие, что гарантирует их дифференцируемость. То есть мы можем вычислить первую, вторую, третью и так далее производные от них.
Итак, начнем с нашего полинома, приведенного выше, давайте возьмем его первые несколько производных, например:
Очевидно, мы уже видим закономерность. Мы воспользуемся этим через минуту. Теперь, когда у нас есть n производных от f, давайте вычислим их для некоторого числа, которое приведет к исчезновению большинства их членов. Это ключевой шаг. Если мы проявим смекалку, мы заметим, что если мы оценим их как x = c, большинство их членов упадет до нуля. В результате останутся только коэффициенты a1, a2,…, умноженные на некоторую константу. Итак, вот этот шаг:
Теперь у нас есть набор простых уравнений, которые мы можем решить для a1, a2,… Просто разделите обе части на n !. Это дает нам следующее:
Узор здесь красивый.N-й коэффициент — это просто n-я производная исходной функции, вычисленная в c, деленная на n факториал. Теперь у нас есть n коэффициентов. Следующий шаг — вставить их обратно в наше начальное выражение для общего многочлена n-й степени, например:
Это уравнение — то, что мы ищем. Он дает полиномиальное разложение для каждой гладкой функции f. Нам просто нужно вычислить первые n производных от f, оценить их в c, разделить каждую на n !, и просуммировать эти члены. Результат будет хорошим приближением к нашей исходной функции.Чем больше терминов мы добавим, тем точнее будет полиномиальная аппроксимация.
Результат: формула Тейлора
Последний шаг — записать этот бесконечный ряд в замкнутой форме. Это последний шаг в запоминании формулы. Записывая вышесказанное в виде суммирования, мы получаем окончательный результат:
Урок здесь прост: не тратьте время на изучение формул. Изучите методы. Если вы помните основную логику того, откуда взялось расширение Тейлора, вы можете быстро и легко восстановить формулу с нуля.
разложений Тейлора
разложений Тейлора (c) Коалиция Фонда авторского права (С. А. Фуллинг) 1998
Классы 25.T, 25.R, 26.M, 27.M
Примечание. Поскольку Интернет еще не говорит по-гречески легко, мы будем использовать Исландское письмо Ð для «тета», знак фунта стерлингов фунтов стерлингов для «лямбда», и знак цента ¢ для «эпсилон».
Вводный пример: пешеходный переход
[Вставить графику.]
Пешеходный переход проходит через прямую улицу между двумя сигнальными посты, A и B. Находится на расстоянии 1000 метров по тротуару в точке C, инженер использует теодолит, чтобы измерить угол между A и B как ì = 2 градуса.
Какова длина пешеходного перехода?
Насколько дальше от C до B, чем от C до A?
При подготовке к обсуждению этой проблемы в классе используйте калькулятор, чтобы найти следующее, как минимум, до 2-х значащих цифр:
значение ì в радианах
sin ì
желто-коричневый ì
cos ì
1 — cos ì
Используйте Maple для печати ì , sin ì , и tan ì на тех же осях, в разных масштабах, около ì = 0. Затем проделайте то же самое с 1 — cos ì и 1/2 ì ².
Вот что вы должны были заметить. (доступно после 25-го класса)
Расширения Тейлора: основы
Серия Тейлор ваши друзья! Нет причин бояться их или скучать по ним. Они позволяют приближать функции полиномами , которые легко вычислить . Некоторые темы во всей последовательности исчисления более практичны!
Ключевой факт: Для x около a , f (x) примерно равно его N -й степени Полином Тейлора ,
T _N (x) = [кликните сюда].(Версия PDF)
Ошибка в этом приближении «ведет себя как» (х-а) ^{N + 1} (если у f достаточно производных).
При уточнении этого утверждения становится Теорема Тейлора с остатком (см. ниже).
Такое приближение известно под разными названиями: Разложение Тейлора, многочлен Тейлора, конечный ряд Тейлора, усеченный ряд Тейлора, асимптотическое разложение, N -го порядка приближения , или (когда f определяется алгебраическим или дифференциальным уравнением вместо явной формулы) решение по теории возмущений (см. ниже).
Обычно мы можем расположить вещи так, чтобы базовая точка, a , это 0 . Тогда расширение Тейлора называется расширением Маклорена .
Маклореновские расширения некоторых элементарных функции (версия PDF)
Применение: уравнение маятника
Это будет предметом лабораторной работы 26.M. Прочтите это заранее. (Версия PDF)
Вычисления с полиномами Тейлора
Когда f — сложная функция, формула Тейлора (с условиями f ^(j) / j !) обычно не самый лучший способ найти расширение Тейлора f .Вместо этого каждый пытается найти ряд по алгебре и исчислению из ранее известные разложения более простых функций. Начнем с двух простых примеров:
Найдите первые 3 ненулевых члена в серии Маклорена грех (2х) . (отвечать) (Версия PDF)
Найдите первые 3 ненулевых члена в серии Маклорена x ² e ^x . (отвечать) (Версия PDF)
А теперь попробуем что-нибудь более амбициозное: (Ожидайте сделать это в классе как КРЫСА!)
Найдите первые 3 члена расширения Маклорена e ^x f (x) , предполагая, что все, что мы знаем о f , это то, что его серия Маклорена начинается
f (x) = 1 + 3x + x ² +… .
(ответ доступен после викторины) (Версия PDF)
Здесь нам пришлось перемножить два ряда Тейлора. При таком расчете есть две распространенные ошибки, которых следует избегать:
Не забывайте о перекрестных условиях! Усеченные ряды Тейлора умножаются просто как и любые другие многочлены: умножьте каждые членов первого ряда на каждые член второй серии. Затем объедините члены с одинаковым показателем степени.
Члены высокого порядка (с большими показателями) похожи на менее значащие цифры в десятичной арифметике: Если оставить один срок заказа x ⁿ , тогда вы должны сохранить всех условий этого порядка, иначе ваш ответ будет мусор.
Если вы знаете, что x = 3,5 приблизительно и y = 4.0962792966 точно , тогда знайте лучше чем писать х + у = 7,5962792966 ; вместо этого все, что вы можете сказать, это то, что x + y = 7,6 приблизительно.
Аналогично, если вы знаете, что
f (x) = 3 + x — x ² + 5x ³ + 9x ⁴ + …
и что g (x) = 2 — x + … , где члены высшего порядка в г не известны, то писать не стоит
f (x) + g (x) = 5 — x ² + 5x ³ + 9x ⁴ + … ;
все, что мы можем сказать, это то, что
f (x) + g (x) = 5 + O (x ²) .
(Обозначение O означает, что первый игнорируемый или неизвестный термин имеет порядок x ² . То есть линейная аппроксимация f + g на самом деле постоянна в в этом случае, и у нас недостаточно информации для вычисления квадратичного приближение. )
В случае, с которого началось это обсуждение, мы умножали два квадратичные многочлены Тейлора.Ваш ответ не должен содержать терминов выше второго, потому что в продукте есть условия третьего порядка, которые не могут быть определены из предоставленной информации.
Найдите несколько первых членов серии Маклорена грех (2x + 1) . Здесь есть еще одна ловушка, так что мы разработаем это для вас. (Версия PDF)
Можно также интегрировать и дифференцировать расширения Тейлора:
Найдите серию Maclaurin для ln (1 — x) путем интегрирования геометрического ряда.(отвечать) (Версия PDF)
Применение: Закон излучения черного тела
Это продолжение упражнения 30 разд. 10.12 Стюарта. Для получения дополнительной информации об этой важной части истории физики, прочтите главу «Происхождение квантовой теории» в F. K. Richtmyer et al., Введение в современную физику . (Номер главы и имена соавторов варьируются от одного издания к другому.
следующий.) Замечание:
£ = длина волны
T = температура
k, h, c — определенные физические константы.
В 19 веке существовало два конкурирующих теоретических предсказания распределение энергии излучения в тепловом равновесии в идеальном впитывающая полость.
Закон Рэлея-Джинса ,
(первая формула)
Это было экспериментально подтверждено для длинных волн, но очевидно неверно. на коротких волнах, где он предсказывает бесконечное количество энергии.
Закон Вены ,
(вторая формула)
, где константы C ₁ и C ₂ необходимо было определить экспериментально.Это было экспериментально подтверждено для коротких волн. (Почему там не бесконечно?)
В 1900 году была открыта правильная формула: Закон Планка ,
(третья формула)
[Здесь должен быть график из 3х функций, но у меня еще не было время произвести один. Так что вы, вероятно, захотите нанести их на карту Maple!]
(PDF версия формул)
Упражнение в классе: Воспользуйтесь нашим список расширений Маклорена (Версия PDF) найти приближение к закону Планка, справедливое для больших £ и один действителен для небольших £.Покажите, что первый член каждого расширения согласуется с соответствующей формулой XIX века.
Теоретический прорыв: открытие и обоснование теоремы Тейлора
Пора ответить на вопрос, что значит сказать, что Тейлор полином является хорошим приближением к функции, которую он представляет. Начнем со случая квадратичного приближения и воспользуемся знакомым обозначение время-положение-скорость-ускорение для задействованных величин. (Кроме того, для упрощения обозначений мы возьмем точку расширения, a , быть 0 .)
ПРОЧИТАЙТЕ МЕНЯ! (Версия PDF)
Замечание по логике доказательства. (Версия PDF)
Этот аргумент можно обобщить, чтобы доказать простейший и наиболее полезный версия Теорема Тейлора с остатком. (Версия PDF) Другое доказательство (см. Stewart ed. 3, p. 662) доказывает другая версия (Версия PDF), что немного точнее об остальном члене. Отличительной особенностью этой версии является то, что формула для остаток, R _N , выглядит так же, как и следующий термин в серии, за исключением того, что производная оценивается в неизвестной точке z вместо а .
(вернитесь к «Основам»)
Теорема о среднем значении и теорема Тейлора
Теорема Тейлора с остатком (во второй версии, указанной выше) является обобщение теоремы о среднем значении; также используется теорема о среднем значении в его доказательстве. Хотя мы и пропустили его в спешке, теорема о среднем значении появился еще в Разделе 3.2 Стюарта, а затем используется для доказательства многих элементарных свойств производных. Теперь мы можем взглянуть поближе и лучше понять как теорема о среднем значении и теорема Тейлора.
Изучите (или пересмотрите) теорему о среднем значении.
Посмотрите, о чем на самом деле говорит теорема Тейлора. (Версия PDF)
Пример: аппроксимация «невозможных» интегралов
ПРОЧИТАЙТЕ МЕНЯ! (Версия PDF)
В практической работе многие люди привыкают пользоваться «практическое правило», что числовая ошибка при усечении ряд примерно такой же большой, как первый пренебрегаемый член. В нашей первой попытке этого примера этот член был интегралом от х ⁴/24 , что оказалось равным 1/216 = 0.00463 (меньше требуемого допуска 0,01 ). Обратите внимание, что это меньше строгой ошибки связаны коэффициентом e . Если бы верхний предел интегрирования был намного больше, чем 1 , дополнительный фактор e ^c мог быть очень большой! Таким образом, практическое правило может быть опасным при неосторожном использовании.
Однако при определенных обстоятельствах правило большой палец точно правильный! Это так, когда ряд Тейлора удовлетворяет «Теорема оценки переменных рядов» (Стюарт, стр. 632), который используется Стюартом для решения проблем этого типа. Например, если бы показатель степени в подынтегральном выражении в нашем примере был -х ² (на самом деле более полезный интеграл, поскольку он связан с вероятностью!) у нас был бы пример Стюарта 8, стр. 660-661.
Рекомендуемое задание для чтения
Не было обязательного задания по чтению текста Стюарта в верхней части эта веб-страница. Причина в том, что подход Стюарта к расширениям Тейлора (как и во многих учебниках по математическому анализу) начинается с общей теории сходящихся бесконечных рядов, которые мы еще не изучили.Это затрудняет понимание соответствующих разделов с 10.9 по 10.12. контекста. Теперь, когда мы представили основные идеи о конечных рядах Тейлора и их приложений, вы можете быть готовы к первому чтению разделов 10.9–12. Игнорируйте пока все обсуждения сходимости всего бесконечного ряд. Мы еще вернемся к этим разделам в конце курса.
Подход к разложениям Тейлора и связанным с ними вопросам, которыми мы являемся Следующее здесь во многом обязано статье Т. В. Такер, «Переосмысление строгости в исчислении: роль теоремы о среднем значении», Американский математический ежемесячник , Vol. 104, стр. 231-240 (март 1997 г.).
Теория возмущений: решение уравнений ряда Тейлора
Неудивительно, иметь приближение Тейлора к функции наиболее полезно когда нет точной формулы для функции. (Если вы точно знаете функцию, вас меньше интересует приближение.) Но в этой ситуации может быть сложно использовать формулу Тейлора. напрямую.(Как вы рассчитываете f ^(j) (a) если вы не знаете f ?) Если неизвестная функция определяется уравнением, которое необходимо решить, можно предположить , что функция задается рядом Тейлора, с неизвестными коэффициентами и подставьте ряд в уравнение. Если повезет, результатом будет набор согласованных уравнений, которые можно решить. чтобы получить загадочные коэффициенты.
Простой, но нетривиальный пример дается алгебраическое уравнение. (Версия PDF)
(вернитесь к «Основам»)
Урок или домашнее задание: Давайте решим квадратных уравнений. этим методом и сравните результат с разложением Тейлора точного решение, заданное квадратичной формулой.
x ² + 2 ¢ x + 1 = 0
¢ x ² + 2 x + 1 = 0 (В этом случае, что происходит со вторым корнем в пертурбативной расчет?)
Упражнения в классе: Давайте перечислим столько различных способов, сколько мы можем придумать. найти ряд Маклорена функции г (x) = 1 / (5-3x) .(Один из них должен быть «пертурбативным». Заполните детали поиска первые несколько терминов таким образом.) (ответы доступно после занятий) (PDF-версия)
Применение к дифференциальным уравнениям
Теория возмущений также может применяться к дифференциальным уравнениям. Здесь возникает сложность, заключающаяся в том, что неизвестное является функцией секунды. переменная (независимая переменная дифференциального уравнения, скажем, т ) а также малого параметра, скажем ¢. Частым недостатком метода является потеря точности решения при т увеличивается, даже если ¢ очень мало.Вот два примера:
Атмосферное сопротивление падающему телу. (Версия PDF) В лабораторной работе 27.M мы попытаемся обобщить это до двух измерений и применить к алгоритму прицеливания вашей пусковой установки мячей для пинг-понга!
Генератор затухающих гармоник. (Версия PDF) Подобно квадратному уравнению, приведенному выше, эта задача имеет точное решение, которое может быть разложенным в ряд Тейлора, чтобы точно соответствовать пертурбативному решению.
Границы ошибки при численном интегрировании
В качестве последнего применения разложения Тейлора мы будем получить формулы для максимальной погрешности в знакомых правилах численного интеграция.Это незаконченное дело прошлого семестра. (Этот документ еще не написан. Если у нас будет время, мы вернемся к этому в конце семестра. Также цитируемая выше статья Такера.)
Расширение серии Тейлора
Функции с одной переменной:
Функция с одной переменной может быть расширена вокруг заданной точки с помощью серия Тейлор:

Когда мало, членами более высокого порядка можно пренебречь, так что функция может быть аппроксимирована как квадратичная функция

или даже линейная функция

Скалярные функции с несколькими переменными:
Функция с несколькими переменными также может быть расширен по сериалу Тейлор:

который может быть выражен в векторной форме как:

где вектор и и являются соответственно вектором градиента и Матрица Гессе (производные первого и второго порядка в переменный регистр) функции, определенной как:

Если вторые производные непрерывны, то , я. е., симметрично.
Когда мало (т. Е. мала), то можно аппроксимировать квадратичной функцией с член ошибки третьего порядка

или даже линейная функция с ошибкой второго порядка

Векторных функций с несколькими переменными:
Набор функций с несколькими переменными () может быть выражается как векторная функция

Разложение Тейлора i-го () компонента:

Первые два члена этих компонентов можно записать в векторной форме:

где матрица Якоби , определенная над векторная функция :

Однако член 2-го порядка больше не может быть выражен в матричной форме, поскольку он требует тензорной записи.
Обратите внимание, что матрица Гессе функции может быть получена как матрицу Якоби вектора градиента:

Обратите внимание, что и не всегда могут быть одинаковыми. 2 $, что мы можем обнаружить в одном месте?
Обычно мы ожидаем вычислить одно значение, например $ f (4) = 16 $.Но под поверхностью скрывается гораздо больше:
.
$ f (x) $ = Значение функции в точке $ x $
$ f ‘(x) $ = Первая производная, или как быстро функция изменяется (скорость)
$ f » (x) $ = Вторая производная, или насколько быстро изменяются (ускорение)
$ f » ‘(x) $ = Третья производная, или как быстро изменяется в изменениях меняются (ускорение ускорения)
И так далее
Исследование одной точки обнаруживает несколько, возможно, бесконечное количество битов информации о поведении.(Некоторые функции имеют бесконечное количество данных (производных) в одной точке).
Итак, учитывая всю эту информацию, что нам делать? Конечно же, вырастить организм из единственной клетки! ( Здесь маниакальное кудахтанье. )
Выращивание функции из точки
Наш план состоит в том, чтобы вырастить функцию из единой отправной точки. Но как мы можем описать любую функцию в общем виде?
Большой момент: представьте, что любая функция по своей сути является многочленом (возможно, с бесконечным числом членов):
Чтобы перестроить нашу функцию, мы начинаем с фиксированной точки ($ c_0 $) и добавляем кучу других членов в зависимости от значения, которое мы ей вводим (например, $ c_1x $).«ДНК» — это значения $ c_0, c_1, c_2, c_3 $, которые точно описывают нашу функцию.
Хорошо, у нас есть общий «формат функции». Но как нам найти коэффициенты для конкретной функции, такой как sin (x) (высота угла x на единичной окружности)? Как нам извлечь его ДНК?
Время магии 0.
Начнем с вставки значения функции при $ x = 0 $. Делая это, получаем:
Все члены исчезают, кроме $ c_0 $, что имеет смысл: отправной точкой нашего чертежа должна быть $ f (0) $.3) + \ cdots $. Хотя мы знаем $ c_0 $, остальные константы суммируются. Мы не можем вытащить $ c_1 $ самостоятельно.
Что, если разделить на $ x $? Это дает:
Тогда мы можем установить $ x = 0 $, чтобы другие члены исчезли … верно? Хорошая идея, за исключением того, что мы теперь делим на ноль.
грн. Этот подход действительно близок. Как мы можем почти разделить на ноль? Используя производную!
Если мы возьмем производную от схемы $ f (x) $, мы получим:
Каждая мощность уменьшается на 1, а постоянное значение $ c_0 $ становится равным нулю.Это почти слишком удобно.
Теперь мы можем изолировать $ c_1 $, используя наш трюк с $ x = 0 $:
В нашем примере $ \ sin ‘(x) = \ cos (x) $, поэтому мы вычисляем: $ f’ (0) = \ sin ‘(0) = \ cos (0) = 1 = c_1 $
Ура, еще один кусочек ДНК! В этом заключается магия ряда Тейлора: многократно применяя производную и задавая $ x = 0 $, мы можем извлечь полиномиальную ДНК.
Попробуем еще раз:
После взятия второй производной мощности снова уменьшаются. Первые два члена ($ c_0 $ и $ c_1x $) исчезают, и мы снова можем изолировать $ c_2 $, установив $ x = 0 $:
В нашем примере синуса $ \ sin » = — \ sin $, поэтому:
или $ c_2 = 0 $.
Поскольку мы продолжаем брать производные, мы выполняем больше умножений и увеличиваем факториал перед каждым членом (1 !, 2 !, 3!).
Ряд Тейлора для функции около точки x = 0:
(Формально ряд Тейлора вокруг точки $ x = 0 $ называется рядом Маклаурина.)
Обобщенный ряд Тейлора, извлеченный из любой точки a:
Идея та же. Вместо нашего обычного чертежа мы используем:
Поскольку мы растем из $ f (a) $, мы видим, что $ f (a) = c_0 + 0 + 0 + \ dots = c_0 $. Остальные коэффициенты можно извлечь, взяв производные и установив $ x = a $ (вместо $ x = 0 $).
Пример: серия Тейлора sin (x)
Подставив производные в формулу выше, мы получим ряд Тейлора $ \ sin (x) $ около $ x = 0 $:
А вот как это выглядит:
Несколько примечаний:
1) Синус бесконечен
Синус — это бесконечная волна, и, как вы можете догадаться, требуется бесконечное количество членов, чтобы она продолжалась. 2 + 3 $) уже находятся в своем «полиномиальном формате» и не имеют бесконечных производных, чтобы ДНК продолжала работать.
2) Во всех остальных членах отсутствует синус
Если мы несколько раз возьмем производную синуса при x = 0, то получим:
со значениями:
Игнорируя деление на факториал, получаем паттерн:
Итак, ДНК синуса — это что-то вроде повторения [0, 1, 0, -1].
3) Разные стартовые позиции имеют разную ДНК
Для развлечения, вот ряд Тейлора $ \ sin (x) $, начиная с $ x = \ pi $ (ссылка):
Несколько примечаний:
ДНК теперь выглядит примерно так [0, -1, 0, 1].{12} $ и выше. Поскольку $ \ sin (x) $ имеет бесконечные производные, у нас есть бесконечные члены, и компьютер должен где-то нас отрезать. ( На сегодня хватит Тейлоринга, приятель. )
Применение: аппроксимация функций
Популярное использование рядов Тейлора — быстрое приближение функции. x $ имеет положительные члены, а синус и косинус меняют знаки.Как мы можем связать их вместе?
Эйлер понял, что мнимое число может менять знак с положительного на отрицательный:
Ух ты. Использование мнимой экспоненты и разделение на нечетные / четные степени показывает, что синус и косинус скрываются внутри экспоненциальной функции. Удивительный.
Хотя это доказательство формулы Эйлера не показывает , почему воображаемое число имеет смысл, оно показывает, что папочка прячется за кулисами.
Приложение: Ассорти Ага! Моменты
Связь с рядами Фурье
Серия Тейлора извлекает «полиномиальную ДНК», а серия / преобразование Фурье извлекает «кольцевую ДНК» функции.3 $ взрываются по мере роста $ x $. Чтобы получить медленную, плавную кривую, вам нужна армия полиномиальных членов, сражающихся с ней, с едва заметным победителем. Если вы остановите поезд слишком рано, приближение снова взорвется.
Например, вот серия Тейлора для $ \ ln (1 + x) $. Черная линия — это кривая, которую мы хотим, и добавление большего количества терминов, даже десятков, едва ли дает нам точность, превышающую $ x = 1.0 $. Слишком сложно поддерживать пологий уклон с терминами, которые хотят одичать.
источник
В этом случае у нас есть только радиус сходимости, при котором приближение остается точным (например, около $ | x | <1 $).3 + \ точки $. Мы перешли от словесного описания к уравнению.
Уф! Несколько вещей для размышления.
Счастливая математика.
Другие сообщения этой серии
Нежное введение в изучение исчисления
Понимание исчислений с помощью метафоры банковского счета
Доисторическое исчисление: открытие числа Пи
Аналогия с исчислением: интегралы как умножение
Исчисление: построение интуиции для производных
Как понять деривативы: правила продукта, власти и цепочки
Как понимать производные: правило частного, экспоненты и логарифмы
Интуитивное знакомство с ограничениями
Интуиция к серии Тейлора (аналогия с ДНК)
Зачем нужны пределы и бесконечно малые?
Обучение исчислению: преодоление нашей искусственной потребности в точности
Дружеский чат о том, 0. 999 … = 1
Аналогия: камера исчисления
Практика абстракции: графы исчисления
Quick Insight: более простая арифметика с исчислением
Как сложить от 1 до 100 с помощью исчисления
Интеграл греха (x): геометрическая интуиция
Манипуляции с использованием серии Тейлора | Блестящая вики по математике и науке
Сложение и вычитание степенных рядов так же просто, как сложение функций, которые они представляют! В то время как сложение двух степенных рядов не всегда демонстрирует различимую закономерность в их коэффициентах, выписывание первых нескольких членов суммы или разности степенных рядов требует небольшой работы.5} {5!} + \ Cdots. \ _\квадратный \ end {align} ex + cosx = (1 + x + 2! x2 +3! x3 +4! x4 +5! x5 +6! x6 + ⋯) + (1-2! x2 +4! X4 −6! X6 + ⋯) = 2 + x + 3! X3 +4! 2×4 +5! X5 + ⋯. □
Мы видим, что сложить степенной ряд двух функций так же просто, как сложить коэффициенты их соответствующих степеней, чтобы создать новый степенной ряд.