Таблица связь систем счисления: Основы систем счисления / Хабр

• В каких случаях 10 не равно 10?
• Как купить шоколадку у инопланетянина?

Привычная нам система счисления называется десятичной, потому что нам с детства удобно считать 10 пальцев на руках. Но так было не всегда: раньше людям было удобнее считать до 12, по количеству фаланг на пальцах одной руки. Для них и для нас число “10” имеет совершенно разное значение.

Система счисления — это модель, которая позволяет записывать числа по определенным правилам.

Основных типов систем счисления две:

• позиционные,
• непозиционные.

Непозиционные системы счисления основываются на том, что значение цифр никак не зависит от того, на какой позиции в числе они находятся.

Возьмем фермера и его овец. Какой способ записать количество овец — самый удобный? Самый простой пример — подсчет с помощью одной насечки. Тогда мы подсчитываем овец в своем стаде поштучно, обозначая при записи каждую отдельной засечкой.

Очевидно, что это неудобно. В наших интересах размножать овец. Но чем их больше, тем менее читаема такая запись. Когда мы добьемся невиданных высот в скотоводстве, и у нас станет 2796 голов, их подсчет с помощью одной засечки будет невозможен.

Римская система счисления — еще один известный пример непозиционной системы счисления. В ней уже появляются символы для обозначения отдельных чисел. Но в какой бы позиции символ ни стоял, он все еще значит только самого себя:

• I — 1;
• V — 5;
• X — 10 и так далее.

Римская система счисления упрощает запись чисел, но не решает проблему неудобства чтения полностью. Например, число 2796 в римской записи будет выглядеть как MMDCCXCVI. Уже неприятно.

В позиционных системах счисления значение цифры зависит от того, на какой позиции она стоит. 

На примере нашей родной десятичной системы счисления, мы с вами понимаем, что в числе 1234:

• 1 — количество тысяч, и обозначает не 1, а 1000;
• 2 обозначает количество сотен и понимается как 200;
• 3 отвечает за количество десятков и означает 30;
• 4 стоит на самой последней позиции и означает количество единиц, поэтому в данном случае 4 — это 4.

Это сильно упрощает чтение чисел любого размера, так как меняется сам принцип их чтения:

• В непозиционной системе счисления (на примере римской): СХХIII = 100 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 123.
• В позиционной: 123 = 100 + 20 + 3.

Именно позиционную систему счисления выберет грамотный фермер, чтобы подсчитать количество овечек.

Позиционная система счисления характеризуется ее основанием — количеством цифр, которые она использует для записи чисел.

• Десятичная система счисления (10сс) использует 10 цифр — от 0 до 9, с ней мы знакомы с детства.
• Компьютеру роднее двоичная система счисления (2сс), которая использует 2 цифры — 1 и 0.
•  В двенадцатеричной системе счисления (12сс) помимо цифр 0–9 необходимы еще два символа. Для удобства заменим их буквами: A = 10, B = 11. Теперь имеем 12 символов от 0 до B.
• Также небезызвестная система счисления — шестнадцатеричная. Для нее кроме цифр 0–9 нужно еще больше символов, чтобы обозначить все цифры. Происходит это по аналогии — каждая новая буква отвечает за большее значение: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Построение числа в непривычных нам системах счисления происходит точно так же, как и в 10сс:

1. Увеличиваем значения единиц, используя доступные цифры.
2. Как только цифры закончились, значение единиц обнуляется. Появляется новый разряд десятков, который также увеличивается от 1 до предела системы счисления.
3. Когда любой разряд числа принимает значение максимальной цифры — разряд выше увеличивается на 1, а текущий разряд обнуляется.

Например:

• В 10сс число 88 будет увеличиваться так: 

88 → 89 → 90 → 91 → 92 → … 99 → 100;

• В 2сс разряды будут появляться быстрее из-за маленького количества цифр: 

1 → 10 → 11 → 100 → 101 → 110 → 111 → 1000;

• В 12сс чуть медленнее, так как цифр больше: 

8 → 9 → A → B → 10 → 11 → … 18 → 19 → 1A → 1B → 20 → … 99 → 9A → 9B → A0 → A1 → … AA → AB → B0 → B1 → … BA → BB → 100.

Арифметика, как и построение числа, во всех системах счисления одинакова:

• Изменение разрядов происходит с единиц.
• При сложении избыток суммы увеличивает разряд выше (то самое “6 пишем, 1 в уме”).
• В вычитании при необходимости занимаем значение из старшего разряда, уменьшая его на 1.

Подсчитав количество пальцев на руках продавца шоколадок, важно научиться переводить числа из одной системы счисления в другую.

Полная запись числа a₁a₂a₃…a_i, где a_i — цифра числа под номером i, состоящей из k символов и с основанием системы счисления n, будет выглядеть как:

a₁a₂a₃…a_i…a_k = a₁ * n^{k — 1} + a₂ * n^{k — 2} + … + a_i * n^{k — i} + … + a_k * n⁰.

На примерах:

• 123 в 10сс расписывается как: 1 * 10² + 2 * 10¹ + 3 * 10⁰;
• 1010 в 2сс: 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰;
• A9B в 12сс:  10 * 12² + 9 * 12¹ + 11 * 12⁰.

Такой записи числа достаточно, чтобы перевести значение числа из любой системы счисления в 10сс — нужно посчитать значение составленной записи:

• 1010₂ = 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 8 + 0 +2 + 0 = 10₁₀;
• 525₉ = 5 * 9² + 2 * 9¹ + 5 * 9⁰ = 5 * 8¹ + 2 * 9 + 5 * 1 = 428₁₀;
• A9B₁₂ = 10 * 12² + 9 * 12¹ + 11 * 12⁰ = 10 * 144 + 9 * 12 + 11 * 1 = 1559₁₀.

Принцип деления с остатком поможет переводить числа в другую сторону — из 10сс в любую другую систему счисления.

Алгоритм перевода следующий:

1. Делим исходное число на основание новой системы счисления.
2. Остаток от деления — новая найденная цифра числа.
3. Целую часть от деления снова делим на основание. Записываем остаток как новую цифру искомой записи, а целую часть от деления — как цель следующего деления. Снова делим целую часть на основание.
4. Деление происходит до тех пор, пока целая часть от деления не станет равна 0.
5. Полученные в качестве остатков от деления цифры нового числа читаются в обратном порядке.

Для примера давайте переведем число 2589 в 7сс:

1. На первом шаге делим исходное число на 7, записывая остаток от деления как новую цифру и целую часть как оставшееся значение.

2. На втором шаге делаем то же самое, но с целой частью предыдущего деления — теперь делим ее на 7.

3. И так до тех пор, пока целая часть от деления не будет равна 0.

Интересующее нас значение находится в самом правом столбце и читается снизу вверх.

2589₁₀ = 10356₇

Перевод в системы счисления с основанием, больше 10, происходит так же. Просто надо не забывать, что цифры больше 9, будут обозначаться соответствующими буквами.

Например, таблица перевода десятичного числа 48406 в 16сс будет выглядеть следующим образом:

И искомое значение будет BD16.

Между 2сс и системами счисления, в основании которых стоит степень двойки (4сс, 8сс, 16сс), есть связь, которую можно использовать для быстрого перевода из 2сс в них и обратно. Для этого используется следующая таблица:

Алгоритм перевода состоит в следующем:

1. Вычисляется степень, в которую нужно возвести 2, чтобы получить основание необходимой системы счисления.
2. Используется количество столбцов таблицы, равное этой степени. Отсчет ведем с правого столбца.
3. При переводе из 2сс весь код разбивается на кодовые слова длиной, равной степени — при необходимости в начало записи добавляются нули. Отдельные кодовые слова подставляются в нижнюю строку таблицы. Цифра записи числа в новой системе счисления будет равна сумме цифр верхней строки, под которыми стоит 1 кодового слова.
4. При переводе в 2сс каждая цифра представляется как сумма цифр верхней строки таблицы. Цифрам, которые используются в сумме, соответствуют 1 кодового слова 2сс, а не использующимся — 0.

На примере:

• Для перевода между 2сс и 4сс используется часть таблицы:

• Перевод из 2сс в 4сс:
  110001 = 11.00.01 = (2 + 1).(0 + 0).(0 + 1) = 3.0.1 = 301

• Перевод из 4сс в 2сс:
  103 = 1.0.3 = (0 + 1).(0 + 0).(2 + 1) = 01.00.11 = 10011

• Для перевода между 2сс и 8сс используется часть таблицы:

• Перевод из 2сс в 8сс:
  10101011100 = 010. 101.011.100 = (0 + 2 + 0).(4 + 0 + 1).(0 + 2 + 1).(4 + 0 + 0) = 2.5.3.4 = 2534

• Перевод из 8сс в 2сс:
  1753 = 1.7.5.3 = (0 + 0 + 1).(4 + 2 + 1).(4 + 0 + 1).(0 + 2 + 1) = 001.111.101.011 = 1111101011

• Для перевода между 2сс и 16сс используется вся таблица:

• Перевод из 2сс в 16сс:
  101101111000001 = 0101.1011.1100.0001 = (0 + 4 + 0 + 1).(8 + 0 + 2 + 1).(8 + 4 + 0 + 0).(0 + 0 + 0 + 1) = 5.11.12.1 = 5BC1

• Перевод из 16сс в 2сс:
  F87A = 15.8.7.10 = (8 + 4 + 2 + 1).(8 + 0 + 0 + 0).(0 + 4 + 2 + 1).(8 + 0 + 2 + 0) = 1111.1000.0111.1010 = 1111100001111010

Перевод больших чисел между системами счисления вручную неудобен и может занимать много времени. Иногда выгоднее было бы написать программу.

Перевод из 10сс в другие будем выполнять по описанному выше алгоритму. Пока исходное число больше 0, делим его на основание системы счисления. Записываем остаток от деления как новую цифру числа. Искомое число — остатки от деления, записанные в обратном порядке.

1. Основным циклом программы будет while, который работает, пока исходное число больше 0.
2. Новую цифру числа берем как остаток от деления исходного числа на основание новой системы счисления с помощью оператора %. Новые цифры будем записывать в новую строку, в которой и будет храниться искомая запись. Чтобы не переворачивать число в конце, можем сразу заносить каждую новую цифру не в конец, а в начало строки.
3. Уменьшаем само число, деля его нацело на основание с помощью оператора //.

Например, перевод числа 258936 в 5сс.

number = 258936
n = 5
new_number = ""
while number > 0:
	d = number % n
	new_number = str(d) + new_number
	number //= n
print(new_number)
Вывод: 31241221

Перевод в 10сс из других систем счисления будем производить по описанной выше формуле:

a₁a₂a₃…a_i…a_k = a₁ * n^{k — 1} + a₂ * n^{k — 2} + … + a_i * n^{k — i} + … + a_k * n⁰.

1. Главный цикл программы — for. Он будет перебирать цифры исходного числа, а точнее, их индексы, с помощью диапазона range по длине исходного числа.
2. На каждом шаге цикла цифру ai числа будем умножать на основание системы счисления этого числа n в степени, равной разности длины числа k и порядкового номера текущей цифры i — ai*nk — i . Не забываем, что индексация строки начинается с 0, а не с 1, поэтому порядковый номер цифры — на 1 больше ее индекса.

Например, переведем число 31241221 из 5сс обратно в 10сс.

number = "31241221"
n = 5
new_number = 0
k = len(number)
for i in range(k):
	new_number += int(number[i]) * n ** (k - i - 1)
print(new_number)
Вывод: 258936

Лайфхаки по переводу между системами счисления программой:

• для перевода числа из 10сс в 2сс, 8сс и 16сс есть встроенные команды: bin, oct и hex соответственно
  • bin(123) — “0b1111011”
  • oct(123) — “0o173”
  • hex(123) — “0x7b”

Важно заметить, что первые два символа в записи числа окажутся лишними в нашем случае — они будут обозначать идентификатор системы счисления, в которую мы перевели число.

Чтобы сразу от него избавиться, при переводе можно использовать срез, который будет учитывать все число без этого идентификатора:

• bin(123)[2:] — “1111011”
• oct(123)[2:] — “173”
• hex(123)[2:] — “7b”

• перевести число из любой системы счисления в 10сс можно с помощью команды int. Ей необходимо передать два параметра: исходное число в виде строки и основание его системы счисления:
  • int(«31241221», 5) — 258936
  • int(«7b», 16) — 123

• В позиционных системах счисления, в отличие от непозиционных, значение цифры зависит от ее положения в числе.
• Основание позиционной системы счисления определяет количество используемых в ней цифр для записи чисел.
• Для перевода из 10сс в любую другую: берем остаток от деления на основание новой системы счисления в качестве цифр нового числа и записываем их в обратном порядке.
• Для перевода из любой системы счисления в 10сс: умножаем каждую цифру числа на основание его системы счисления, возведенную в степень разности длины числа и порядкового номера данной цифры.

Задание 1.
Какая цифра не может использоваться в 8сс?

1. 0
2. 3
3. 7
4. 8

Задание 2.
Для записи цифр 10-15 в 16сс используются …

1. буквы A-F
2. буквы А-Д
3. буквы U-Z
4. любые символы по договоренности

Задание 3.
Десятичное число 101 в 2сс будет выглядеть как…

1. 101
2. 101101
3. 1100101
4. 1010011

Задание 4.
Шестнадцатеричное число FBA000 в 10сс будет выглядеть как …

1. 16490496
2. 69409461
3. 61400900
4. Это некорректная запись числа в 16сс

Задание 5.
Что сделает запись на языке Python — int(“777”, 8)?

1. Переведет число 777 из 10сс в 8сс
2. Переведет число 8 из 10сс в 777сс
3. Переведет число 777 из 8сс в 10сс

Ответы: 1. — 4; 2. — 1; 3. — 3; 4. — 1; 5. — 3.

Системы счисления | Образовательная социальная сеть

Всероссийская интернет-выставка достижений учащихся

Раздел — учебные проекты

математика

    Системы счисления

Авторы: Семакина Маргарита Сергеевна

                                                                                           Исаева Аида Мукаиловна            

                                                                                ученицы 5Г класса

            МБОУ «Средняя

            общеобразовательная школа  

            № 6» г. Когалым  ХМАО-Югра

                                                                                  Руководитель: Плашевская Светлана  

                                                                                                            Григорьевна    

учитель математики

МБОУ «Средняя    общеобразовательная школа № 6» г. Когалым

 ХМАО-Югра

г. Когалым, 2013

Оглавление

1

Введение

            На протяжении всей своей жизни мы сталкиваемся с числами и выполняем над ними арифметические действия. Нас это не удивляет. Мы воспринимаем это, как факт, как само собой разумеющееся. А откуда возникли числа и счет? Что такое система счисления? Где сейчас мы сталкиваемся с ними? Нам стало очень интересно,  и мы решили изучить эту тему.

  Данная тема нам интересна еще и потому, что в настоящее время  двоичная система счисления  приобрела большое значение в связи с ее применением в электронных вычислительных машинах. Системы счисления с основанием 8 и 16  применяются в программировании различных процессов на вычислительной технике.

           Мы поставили перед собой цель: познакомиться с  историей возникновения счета и систем счисления, изучить перевод чисел из одной системы в другую и арифметические действия в различных системах счисления.

1. Из истории

В древности людям приходилось считать на пальцах. Кроме пальцев считать нужно было много предметов, к счету привлекали больше участников. Один считал единицы, второй – десятки, третий – сотни. Очевидно, такой счет лег в основу системы счисления, принятой почти у всех народов, она называется десятичной системой. Счет с основанием десять применяли и у восточных  славян.

Где люди ходили босиком, по пальцам легко было считать до 20. Сохранились следы  использования  при счете основания двадцать. Например, во французском языке число 80 в дословном переводе на русский язык звучит как «четырежды двадцать».

 Так же был распространен счет дюжинами, то есть счет, при котором пользовались системой с основанием 12 (приложение 1).  Её происхождение связано с 12 фалангами на четырёх пальцах руки (кроме большого). Еще и сейчас некоторые предметы принято считать дюжинами. Столовые приборы состоят  из полудюжины или дюжины комплектов.

В древнем Вавилоне, где математика была очень высоко развита, существовала весьма сложная шестидесятеричная система счисления. В наше время мы тоже  используем эту систему. Например: 1 час=60 минут; 1 минута=60 секунд.

Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система зародилась, и наибольшее распространение получила в Америке. Ее создание относится к эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система счисления сохранилась еще в чистом виде.

2

   Все системы (пятеричная, двенадцатеричная, двадцатеричная) связаны с тем или иным способом счёта по пальцам рук (или рук и ног). Переход человека к пальцевому счету привел к созданию  различных систем счисления.

2. Система счисления

Система счисления — это способ записи чисел с помощью цифр.

Цель создания системы счисления — выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.

Системы счисления, которые использовали ранее, и которые используются в настоящее время можно разделить на две большие группы: позиционные и непозиционные.

2.1. Непозиционные системы счисления.

 В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Пример непозиционной системы счисления  –  римская система счисления (приложение 2).  Возникшая в древнем Риме она просуществовала до наших дней. Традиционно применяют ее при нумерации веков или при составлении оглавлений печатных трудов. Римские цифры можно встретить на циферблатах  часов.

В современной жизни наиболее яркий вариант использования  непозиционной  системы счисления — это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем в магазине за продукты, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе. Номинал монеты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.

2.2. Позиционные системы счисления.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число — два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем: двоичная, состоящая из цифр 0 и  1; троичная, состоящая из цифр 0,1,2; и так далее.

3

Позиционные системы удобны тем, что они позволяют записывать большие числа с помощью небольшого числа знаков, просто и легко выполняются арифметические действия.  

3. Практическая часть.

Для чисел, записанных в десятичной системе, мы пользуемся правилами сложения и умножения чисел «столбиком», деления – «углом». Эти же правила полностью применимы и для чисел, записанных в любой другой позиционной системе. Считать мы будем в каждой системе своей меркой. Например в  троичной системе мерка 3, в пятеричной мерка 5, в восьмеричной мерка 8.

3. 3. Перевод чисел из одной системы в другую

Как перевести число, записанное в одной системе, например в четверичной, в десятичную?

Любое число можно разложить по разрядам и каждый разряд измеряется  своей меркой. В десятичной системе у единиц мерка 1, у десятков 10, у сотен 100. Следовательно,   в четверичной системе счисления, у единиц мерка 1, у десятков – 4, у сотен – 16, у тысяч – 64,

у восьмеричной системы мерками будут 1; 8; 64 и так далее.

Пример 1                                                                            Пример 2

Перевести 1378 в десятичную систему.                          Перевести 3124  в десятичную систему.

Решение:                                                                             Решение:

1378 = 1 ∙ 64 + 3 ∙ 8 + 7 ∙ 1 = 95.                                        3124 = 3 ∙ 16 + 1 ∙ 4 + 2 ∙ 1 = 54.

Пример 3

Перевести 1011012 в десятичную систему.

1011012 = 1∙ 32 + 1 ∙8 + 1 ∙ 4 + 1 = 45.

Пример 4

Перевести число 860 в восьмеричную систему счисления.

В данном примере мы воспользуемся меркой 8. Но если при переводе в десятичную систему мы умножали каждый разряд, то теперь будем делить число на мерку. Если частное больше мерки, то мы частное опять делим на мерку и так  делим,  пока частное не

5

станет меньше мерки. Остатки от деления как раз и есть разряды в данной системе счисления. Первый остаток – это разряд единиц, второй остаток – это разряд десятков и так далее.

Решение:

860.  8                                            860 = 15348

8.  107   8

  60     8     13  8

  56     27     8  1

    4     24     5

             3

Пример 5                                                         Пример 6.

425 = 1156                                                         382 = 30125

Решение:                                                          Решение:

425.  6                                                                 382   5

42.  7   6                                                            35     76   5

    5   6   1                                                             32    5     15   5

         1                                                                  30    26   15   3

                                                                               2    25     0

                                                                                       1

При переводе чисел из троичной системы счисления в семеричную, мы сразу переводили из троичной в десятичную, а потом в семеричную. Этот способ занимает больше времени. Мы предположили, а что если при переводе из одной системы в другую сразу считать мерками той системы,  в которую  переводим. Проверили на нескольких примерах, и оказалось, что наше предположение верно. Тогда мы записали правило перевода.

Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, нужно каждый разряд считать той меркой, в которую переводим данное число.

Пример 7.

Перевести  1425 в семеричную систему.

1425 = (3 ∙ 7 + 4 ) + (2 ∙ 7 + 6) + 2 = 30 + 20 + 15 = 657;

Число 15 считаем следующим образом: 4 + 6 + 2 =12 = 157.

Проверка:  1425 = 1∙ 25 + 4 ∙ 5 + 2 = 47;   47 : 7 = 657

Пример 8.

Перевести 3234 в шестеричную систему.

3234 = (8 ∙ 6 + 0) + (1 ∙ 6 +2) + 3 = 120 + 10 + 5 = 1356;

6

Проверка: 3234 = 3 ∙ 16 + 2 ∙ 4 + 3 = 59;   59 = 1356

59. 6

54   9   6

 5    6   1

       3

Пример 9.

Перевести 689 в пятеричную систему.

689 = (10 ∙ 5 + 4) + (1∙ 5 + 3) = 200 + 10 + 12 = 2225

Проверка: 689 = 6 ∙ 9 + 8 = 62;   62 : 5 = 2225

62. 5

5     12   5

      12   10   2

      10     2

        2  

Заключение

      При выполнении данной работы мы самостоятельно изучили математические операции сложения, вычитания, умножения и деления в различных системах счисления. Составили таблицы, которые помогают гораздо быстрее умножать и делить числа.

      Познакомившись с системами счисления, мы узнали очень много нового и полезного, и считаем, что эта наука необходима для развития общества. Сложно представить мир без вычислительной техники. Ведь именно двоичная система получила широкое распространение в различных областях техники, в особенности в современных вычислительных машинах и компьютерах.

Числа правят миром.

Пифагор

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Шибалов Л.П,  Шибалова З.Г.  За  страницами  учебника  математики. М. Просвещение.  АО  Учебная  литература  1996г.
2. Выгодский Н.Я. Справочник  по  элементарной  математике. М.Наука  1972г.
3. Математика и программирование.  «Универсальная энциклопедия школьников». Минск ТОО «ХАРВЕСТ», 1996г.
4. Энциклопедический словарь юного математика. Составитель Савин А.П.,             М.Педагогика 1989г.

7

Приложение 1

8

Приложение 2

Примеры римских чисел.

9

Приложение 3

Таблица умножения в четверичной системе счисления.

10

Приложение 4

Таблица умножения в пятеричной системе счисления.

11

Приложение  5

Таблица умножения в шестеричной системе счисления.

12

Приложение 6

Таблица умножения в семеричной системе счисления.

13

Приложение 7

Таблица умножения в восьмеричной системе счисления.

14

Приложение 8

Таблица умножения в девятеричной системе счисления.

15

Официальный сайт МБОУ «ОШ №10»

Дата урока 8 апреля

Тема урока: Представление числовой информации с помощью систем счисления.

Ход урока

1. Посмотрите видеоурок https://www.youtube.com/watch?v=qkhPtM4ZT8g
2. Запишите тему урока в тетрадь. Прочитайте текст.

 Историческая справка

Люди научились считать еще в незапамятные времена. Сначала они просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет был не один, то говорили «много». Постепенно появилось слово для обозначения двух предметов. Счет парами очень удобен.

Наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног. И даже в наше время еще пользуются этим «счетным прибором», который всегда при нас. На пальцах можно решать примеры не только в пределах десяти. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног.

Записывали числа поначалу совсем просто: делали зарубки на куске дерева или кости. На этой кости тридцать тысяч лет назад сделаны нарезки, они показывают, что уже тогда наши предки умели не только считать, но и записывать результаты счета!

Когда понадобилось записывать большие числа, то для пятерок и десяток стали придумывать новые знаки.

Запомнить большие числа трудно, поэтому к «счетной машине» рук и ног добавляли механические приспособления. Веревочные счеты с узелками применялись и в России, и во многих странах Европы. Остатками этого способа является практикуемое еще до сих пор завязывание узелков на носовых платках «на память». Так, одни пользовались для запоминания чисел камешками, зернами, веревкой с узелками, другие — палочками с зарубками. Это были первые счетные приборы, которые в конце концов привели к образованию различных систем счисления

Система счисления — это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков.

• позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
• непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Непозиционные СС. Единичная система счисления. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек. Позже значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня (счетные палочки для обучения счету; полоски, нашитые на рукаве, означают на каком курсе учится курсант военного училища). Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность ее применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек.

Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.

Таблица 1. Запись чисел в римской системе счисления

Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.

Мы с вами более подробно рассмотрим позиционные системы счисления.

В позиционной системе счисления основными понятиями являются понятие алфавита и основания системы счисления.

Алфавитом системы счисления называется совокупность всех цифр.

Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием  системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: 78₁₀, 1100010₁₂, AF12₁₆ и т. д.

Количество цифр, составляющих алфавит, называется его мощностью.

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места(разряда), где он расположен.  Разряд — номер позиции в числе. Нумеруются справа налево, начиная с нуля.

Пример. Число6184₁₀ запишется в форме многочлена следующим образом:

6184₁₀ = 6*10 ³ +1*10 ² +8*10 ¹ +4*10 ⁰

Виды систем счисления.

В компьютерах принято использовать 4 основные системы счисления – двоичную, восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную. Именно их подробно рассмотрим.

Десятичная система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.

Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции

Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.

Если взять правило, по которым строятся числа в десятичной системе счисления, заменив основание 10 на натуральное число N, можно построить позиционную систему счисления с основанием N.

В вычислительных машинах используется двоичная система счисления, её основание — число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры — 0 и 1. Двоичная система счисления была придумана математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII — ХIХ веках. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной — восьмеричная и шестнадцатеричная. Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.

Учащиеся заполняют таблицу в тетрадях

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. При переводе числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.

Числа 10100110₂ , 703₈ , 23FA1₁₆ перевести в десятичную систему счисления.

10100110₂=1*2⁷+0*2⁶+1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰=128+32+4+2=166₁₀

703₈=7*8²+0*8¹+3*8⁰=448+3=447₁₀

23FA1₁₆=2*16⁴+3*16³+15*16²+10*16¹+1*16⁰=131072+12288+3840+160+1=147361

2. Правило перевода из десятичной системы счисления в систему с основанием q:

1. Последовательно выполнять деление исходного числа и получаемых частных на q до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

2. Полученные при таком делении остатки – цифры числа в системе счисления q – записать в обратном порядке (снизу вверх).

3. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную (шестнадцатеричную), его нужно разбить на триады (тетрады), начиная с младшего разряда (справа налево), в случае необходимости дополнив старшую триаду (тетраду) нулями, и каждую триаду (тетраду) заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой (табл.).

Число 10010110111₂ перевести в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы счисления.

4. Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тетрадой).

Числа 726₈ и 74С₁₆ перевести в двоичную систему счисления.

726₈= 111 010 110₂

74С₁₆ = 0111 0100 1100₂ (при записи числа первый 0 не пишется)

5. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Число FAE₁₆ перевести в восьмеричную систему счисления.

FAE₁₆=111110101110₂

111 110 101 110₂=7656₈

Число 635₈ перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

635₈ =110011101₂

1 1001 1101₂=19D₁₆

3. Составьте опорный конспект в виде таблиц, графиков, схем. На листе А4 (можно на листе в клетку)
4. Домашнее задание. Задайте к прочитанному тексту 6 вопросов. Запишите их в тетрадь.
5. Запишите дату своего рождения в римской системе счисления.

открытых учебников | Siyavula

Загрузите наши открытые учебники в различных форматах, чтобы использовать их так, как вам удобно. Нажмите на обложку каждой книги, чтобы увидеть доступные для загрузки файлы на английском и африкаанс. Лучше, чем просто бесплатные, эти книги также имеют открытую лицензию! См. различные открытые лицензии для каждой загрузки и пояснения к лицензиям в нижней части страницы.

Математика

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • 7A PDF (CC-BY-ND)
        • 7B PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • 7A PDF (CC-BY-ND)
        • 7B PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • 8A PDF (CC-BY-ND)
        • 8B PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • 8A PDF (CC-BY-ND)
        • 8B PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • 9A PDF (CC-BY-ND)
        • 9B PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • 9A PDF (CC-BY-ND)
        • 9B PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)

Наука

• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY-ND)
        • ePUB (CC-BY)

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • Класс 7А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Класс 7Б

        • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • Граад 7А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Граад 7Б

        • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • Класс 8А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Класс 8Б

        • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • Граад 8А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Граад 8Б

        • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • Класс 9А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Класс 9Б

        • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • Граад 9А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Граад 9Б

        • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • Класс 4А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Класс 4Б

        • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • Граад 4А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Граад 4Б

        • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • Класс 5А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Класс 5Б

        • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • Граад 5А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Граад 5Б

        • PDF (CC-BY-ND)
• • Читать онлайн

  • Учебники

  • Пособия для учителей

    • Английский

      • Класс 6А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Класс 6Б

        • PDF (CC-BY-ND)

    • Африкаанс

      • Граад 6А

        • PDF (CC-BY-ND)

      • Граад 6Б

        • PDF (CC-BY-ND)

Лицензирование наших книг

Эти книги не только бесплатны, но и имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (фирменные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:

CC-BY-ND (фирменные версии)

Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий. Вы можете копировать, распечатывать и распространять их столько раз, сколько захотите. Вы можете загрузить их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственное ограничение заключается в том, что вы не можете каким-либо образом адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, логотипы спонсоров и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите сайт Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Unported.

Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.

CC-BY (версии без торговой марки)

Эти версии одного и того же контента без торговой марки доступны для вас, чтобы вы могли делиться ими, адаптировать, преобразовывать, изменять или развивать их любым способом, при этом единственным требованием является предоставление соответствующей ссылки на Siyavula. Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution 3.0 Unported.

Объяснение систем нумерации | Library.Automationdirect.com

Существует несколько типов систем нумерации, обычно используемых в оборудовании автоматизации: двоичная, шестнадцатеричная, восьмеричная, двоично-десятичная и с плавающей запятой (действительная). Как их использовать может быть запутанным. В этой статье с нашей веб-страницы технической поддержки объясняются различные системы нумерации.

Компьютеры, включая ПЛК, используют систему нумерации с основанием 2, называемую двоичной или логической. В базе 2 есть только две допустимые цифры: 0 и 1 (ВЫКЛ и ВКЛ). Вы могли бы подумать, что система счисления, построенная на базе 2 только с двумя возможными значениями, будет сложной, но это можно сделать с помощью кодирования, используя несколько цифр.

Каждая цифра в системе счисления по основанию 2, на которую ссылается компьютер, называется битом. Когда четыре бита сгруппированы вместе, они образуют то, что известно как полубайт. Восемь бит или два полубайта — это байт. Шестнадцать бит – или два байта – это слово (таблица 1). Тридцать два бита или два слова — это двойное слово.

Двоичные числа не являются для нас «естественными», так как мы выросли, используя систему счисления с основанием 10, в которой используются числа 0-9. В этой статье различные базы будут показаны в виде числа с индексом. Например, десятичное число 10 будет равно 10 9.1112 10 .

В таблице 2 показано, как числа с основанием 2 соотносятся с их десятичными эквивалентами.

Часть 1001 ₂  будет равна десятичному числу 9 или (1*2 ³  + 1*2 ⁰ ) или (8 ₁₀  + 1

10 9). Байт 11010101 ₂ будет равен 213 ₁₀ или (1*2 ⁷ + 1*2 ⁶ + 1*2 ⁴ + 1*2 ² + 1*2 ^0. ) или (128 ₁₀  + 64 ₁₀  + 16 ₁₀  + 4 ₁₀  +1 ₁₀ ).

Как вы, наверное, заметили, двоичную систему счисления не очень легко интерпретировать. Для нескольких битов это легко, но большие числа обычно занимают много места при их записи, и трудно отслеживать позицию бита при преобразовании. Вот где использование альтернативной системы нумерации может быть преимуществом. Одной из первых используемых систем счисления была шестнадцатеричная или сокращенно Hex.

HEX-это система нумерации, которая использует базу 16. Числа 0-9 ₁₀ представлены нормально, но число 10 ₁₀ по 15 9111-это нормально, но число 10 ₁₀ по 15 9111. 10  представлены буквами от A до F соответственно (таблица 3). Это хорошо работает с двоичной системой, так как каждый полубайт (1111 ₂ ) равен 15 ₁₀ . Следовательно, для 16-битного слова у вас может быть возможное шестнадцатеричное значение FFFF 9. 1112 16 . См. пример в Таблице 4.

Преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные работает почти так же, как и двоичные. C2 ₁₆ будет равно 194 ₁₀ или (12*16 ¹ + 2*16 ⁰ ) или (192 ₁₀ +2 _{13 9111). A6D4 16 будет равен 42708 10 или (10*16 ³ +6*16 ² +13*16 ¹ +4*16 ⁰ ) или (40960 10 +1536120 0 ) Или (40960 10 +153660 0 ) или (40960 10 +1536120 0 ) или (40960 10 +153620) 10  + 208 10  +4 10 ).}

Восьмеричная система счисления аналогична шестнадцатеричной системе в интерпретации битов (Таблица 5). Разница заключается в том, что максимальное значение восьмеричного числа равно 7, так как это основание 8.

Например, 63 ₈ равно 51 ₁₀ или (6*8 ¹  + 3*8 ⁰ ) или (48 ₁₀  +3 ₁₀ ).

Система счисления в двоично-десятичной системе счисления, как и восьмеричная и шестнадцатеричная, основана на данных, закодированных битами (таблица 6). Это основание 10 (десятичное), но это двоично-десятичное число. Как мы увидим позже, между BCD и Binary существует большая разница.

Одним из преимуществ двоично-десятичного кода является то, что он читается как десятичное число, тогда как 867 двоично-десятичных означает 867 десятичное число. Преобразование не требуется. Однако, как и во всем, что связано с компьютером, есть проблемы, о которых стоит беспокоиться.

Термины «Вещественное» и «Плавающая запятая» описывают числа с плавающей запятой IEEE-754. Большинство ПЛК используют 32-битный формат для чисел с плавающей запятой (действительных) (таблица 7).

Формула и раскладка номера следующая:
Число = 1. M*2(E-127)
Число = число, которое необходимо преобразовать в число с плавающей запятой
M = мантисса
E = показатель степени

Вычисление формата вещественного числа является очень сложной операцией. Если вас интересует процесс преобразования, в Интернете есть множество документов, в которых подробно описаны все детали.

Возможно, вы заметили, что для формата действительных чисел не указано ни минимальное, ни максимальное значение. Диапазон от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Сказав это и заметив, что для создания каждого числа можно использовать только 32 бита, легко предположить, что не все числа могут быть представлены. Это на самом деле так. Формату Real присуща степень погрешности.

Я уверен, вам интересно, сколько ошибок может существовать, и если ошибок много, то почему используется этот формат? Это действительно зависит от приложения. Для большинства приложений ПЛК, если вы не стремитесь к 100% точности, формат Real не вызовет особых проблем. В большинстве случаев внутреннюю ошибку можно игнорировать, но важно знать, что она существует.

Иногда возникает путаница в связи с различиями между типами данных, используемыми в ПЛК. Хотя данные хранятся одинаковым образом (0 и 1), существуют различия в том, как их интерпретирует ПЛК.

Хотя все форматы основаны на системе нумерации по основанию 2 и данных с битовым кодированием, формат данных отличается. В таблице 8 показаны битовые комбинации и значения для различных форматов.

Несоответствие типов данных является распространенной проблемой при использовании интерфейса оператора. Диагностика может быть сложной задачей, пока вы не определите симптомы. Поскольку ПЛК использует двоично-десятичный формат в качестве собственного формата, многие люди склонны думать, что он взаимозаменяем с двоичным форматом (целое число без знака). В какой-то степени это верно, но не в данном случае. Таблица 9показывает, как различаются двоично-десятичные и двоичные числа.

Как видно из таблицы, BCD и Binary используют один и тот же битовый шаблон, пока вы не дойдете до десятичного числа 10. Как только вы дойдете до 10, битовый шаблон изменится. Битовая комбинация BCD для десятичного числа 10 фактически равна значению 16 в двоичном формате, что приводит к скачку числа на шесть цифр при просмотре в виде BCD. При больших числах ошибка увеличивается. Двоичные значения от 10 до 15 Decimal фактически недействительны для типа данных BCD.

Давайте посмотрим на большее число, показанное в Таблице 10.

В качестве двоично-десятичного числа значение равно 4096. Если мы интерпретируем преобразованное двоично-десятичное число как двоичное, десятичное значение будет 16534. Точно так же, если мы интерпретируем двоичное число как двоично-десятичное, десятичное значение будет 1000.

До сих пор мы имели дело только с беззнаковыми типами данных. Теперь поговорим о знаковых типах данных (отрицательных числах). Представление BCD нельзя использовать для подписанных типов данных.
Чтобы указать, что число отрицательное или положительное, мы должны присвоить ему бит. Обычно это старший значащий бит (MSB), как показано в таблице 11. Для 16-битного числа это бит 15. Это означает, что для 16-битных чисел мы имеем диапазон от -32 767 до 32 767.

У нас есть два способа кодирования отрицательного числа: дополнение до двух и знак величины плюс. Эти два метода несовместимы.

Пока значение положительное (бит 15 выключен), правила работают аналогично двоичному. Если бит 15 включен, то мы должны знать, какой метод кодирования использовался.

Знак Величины Плюс расшифровать проще всего. В основном отрицательное число имеет тот же формат, что и положительное число, за исключением того, что бит 15 включен (таблица 12).

Дополнение до двух немного сложнее. Формула состоит в том, чтобы инвертировать двоичное значение и добавить единицу (таблица 13).  

Очевидно, что системы нумерации различаются и в то же время схожи. Очень важно знать, какая система используется, чтобы правильно запрограммировать приложение. Методический и логический подход к пониманию используемой системы счисления делает интерпретацию данных менее сложной.

Первоначально опубликовано: 1 сентября 2005 г. / Пересмотрено 22 января 2021 г.

Системы счисления — определение, типы систем счисления, правила преобразования

Системы счисления — это системы в математике, которые используются для выражения чисел в различных формах и понимаются компьютерами. Число — это математическое значение, используемое для подсчета и измерения объектов, а также для выполнения арифметических вычислений. Числа имеют различные категории, такие как натуральные числа, целые числа, рациональные и иррациональные числа и так далее. Точно так же существуют различные типы систем счисления, которые имеют разные свойства, такие как двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления.

В этой статье мы рассмотрим различные типы систем счисления, которые мы используем, такие как двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления. Мы изучим преобразования между этими системами счисления и решим примеры для лучшего понимания концепции.

Что такое системы счисления?

Система счисления — это система представления чисел. Ее также называют системой счисления, и она определяет набор значений для представления количества. Эти числа используются как цифры, и наиболее распространенными из них являются 0 и 1, которые используются для представления двоичных чисел. Цифры от 0 до 9 используются для представления других типов систем счисления.

Системы счисления Определение

Система счисления определяется как представление чисел с помощью последовательного использования цифр или других символов. Значение любой цифры в числе может быть определено цифрой, ее положением в числе и основанием системы счисления. Числа представлены уникальным образом и позволяют нам выполнять арифметические операции, такие как сложение, вычитание и деление.

Типы систем счисления

Существуют различные типы систем счисления, в которых четыре основных типа следующие.

• Двоичная система счисления (основание — 2)
• Восьмеричная система счисления (основание — 8)
• Десятичная система счисления (основание — 10)
• Шестнадцатеричная система счисления (основание — 16)

Мы подробно изучим каждую из этих систем одну за другой после изучения следующей схемы системы счисления.

Таблица системы счисления

Ниже приведена таблица основных четырех типов системы счисления, которые мы используем для представления чисел.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1. Числа в этой системе имеют основание 2. Цифры 0 и 1 называются битами, а 8 битов вместе составляют байт. Данные в компьютерах хранятся в виде битов и байтов. Двоичная система счисления не работает с другими числами, такими как 2,3,4,5 и так далее. Например: 10001 ₂ , 111101 ₂ , 1010101 ₂ — некоторые примеры чисел в двоичной системе счисления.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления использует восемь цифр: 0,1,2,3,4,5,6 и 7 с основанием 8. Преимущество этой системы в том, что в ней меньше цифр по сравнению с некоторыми другими системами, поэтому , было бы меньше вычислительных ошибок. Такие цифры, как 8 и 9, не входят в восьмеричную систему счисления. Как и двоичная, в миникомпьютерах используется восьмеричная система счисления, но с цифрами от 0 до 7. Например: 35 ₈ , 23 ₈ , 141 ₈ — некоторые примеры чисел в восьмеричной системе счисления.

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления использует десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 и 9 с базовым числом 10. Десятичная система счисления – это система, которую мы обычно используем для представления чисел. в реальной жизни. Если какое-либо число представлено без основания, это означает, что его основание равно 10. Например: 723 ₁₀ , 32 ₁₀ , 4257 ₁₀ — некоторые примеры чисел в десятичной системе счисления.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система счисления использует шестнадцать цифр/алфавитов: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и A,B,C,D,E,F с базовым числом 16. Здесь A-F шестнадцатеричной системы счисления означают соответственно числа 10-15 десятичной системы счисления. Эта система используется в компьютерах для сокращения больших строк двоичной системы. Например, 7B3 ₁₆ , 6F ₁₆ , 4B2A ₁₆ — некоторые примеры чисел в шестнадцатеричной системе счисления.

Правила преобразования систем счисления

Число может быть преобразовано из одной системы счисления в другую с помощью формул системы счисления. Подобно тому, как двоичные числа могут быть преобразованы в восьмеричные числа и наоборот, восьмеричные числа могут быть преобразованы в десятичные числа и наоборот, и так далее. Давайте посмотрим, какие шаги необходимы для преобразования систем счисления.

Шаги для преобразования двоичной системы счисления в десятичную

Чтобы преобразовать число из двоичной в десятичную систему, мы используем следующие шаги.

• Шаг 1: Умножьте каждую цифру данного числа, начиная с самой правой, на показатели степени основания.
• Шаг 2: Показатель степени должен начинаться с 0 и увеличиваться на 1 каждый раз, когда мы движемся справа налево.
• Шаг 3: Упростите каждый из вышеперечисленных продуктов и добавьте их.

Давайте разберемся с шагами с помощью следующего примера, в котором нам нужно преобразовать число из двоичной в десятичную систему счисления.

Пример: Преобразовать 100111 ₂ в десятичную систему.

Решение:

Шаг 1: Определите основание данного числа. Здесь основание 100111 ₂ равно 2.

Шаг 2: Умножьте каждую цифру данного числа, начиная с самой правой, на показатели степени основания. Показатели должны начинаться с 0 и увеличиваться на 1 каждый раз, когда мы движемся справа налево. Поскольку основание здесь равно 2, мы умножаем цифры данного числа на 2 ⁰ , 2 ¹ , 2 ² и так далее справа налево.

Шаг 3: Мы просто упрощаем каждый из вышеперечисленных продуктов и добавляем их.

Здесь сумма является числом, эквивалентным данному числу в десятичной системе счисления. Или мы можем использовать следующие шаги, чтобы упростить этот процесс.

100111 = (1 × 2 ⁵ ) + (0 × 2 ⁴ ) + (0 × 2 ³ ) + (1 × 2 ² ) + (1 × 2 ¹ ) + (1 × 2 ⁰ )

= (1 × 32) + (0 × 16) + (0 × 8) + (1 × 4) + (1 × 2) + (1 × 1) )

= 32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1

= 39

Таким образом, 100111 ₂ = 39 ₁₀ .

Преобразование десятичной системы счисления в двоичную/восьмеричную/шестнадцатеричную систему счисления

Чтобы преобразовать число из десятичной системы счисления в двоичную/восьмеричную/шестнадцатеричную систему счисления, мы используем следующие шаги. Пошагово показано, как преобразовать число из десятичной системы в восьмеричную.

Пример: Преобразовать 4320 ₁₀ в восьмеричную систему.

Решение:

Шаг 1: Определите основание нужного числа. Так как мы должны преобразовать данное число в восьмеричную систему, основание искомого числа равно 8.

Шаг 2: Разделите данное число на основание требуемого числа и запишите частное и остаток в форма частно-остатка. Повторяем этот процесс (снова деля частное на основание), пока не получим частное меньше основания.

Шаг 3: Данное число в восьмеричной системе счисления получается простым чтением всех остатков и последнего частного снизу вверх.

Следовательно, 4320 ₁₀ = 10340 ₈

Преобразование из одной системы счисления в другую

Чтобы преобразовать число из одной из двоичных/восьмеричных/шестнадцатеричных систем в одну из других систем, мы сначала преобразуем его в десятичную систему, а затем мы преобразуем его в требуемые системы, используя вышеупомянутые процессы.

Пример: Преобразовать 1010111100 ₂ в шестнадцатеричную систему.

Решение:

Шаг 1: Преобразуйте это число в десятичную систему счисления, как описано выше.

Таким образом, 1010111100 ₂ = 700 ₁₀ → (1)

Шаг 2: Преобразуйте вышеуказанное число (которое находится в десятичной системе) в требуемую систему счисления (шестнадцатеричную).

Здесь мы должны преобразовать 700 ₁₀ в шестнадцатеричной системе, используя вышеупомянутый процесс. Следует отметить, что в шестнадцатеричной системе числа 11 и 12 записываются как B и C соответственно.

Таким образом, 700 ₁₀ = 2BC ₁₆ → (2)

Из уравнений (1) и (2) 1010111100 ₂ = 2BC 6 903 6 9111 3 1 ☛ Связанные статьи

• Индийская система счисления
• Международная система счисления
• Двоичный калькулятор
• Преобразование двоичного кода в восьмеричный
• Восьмеричное в двоичное
• Преобразование десятичного числа в двоичное
• Двоичный код в десятичный
• Десятичный в шестнадцатеричный
• Шестнадцатеричный в десятичный

Часто задаваемые вопросы о системах счисления

Что такое системы счисления с примерами?

Система счисления — это система записи или выражения чисел. В математике числа представлены в заданном наборе с помощью цифр или символов определенным образом. Каждое число имеет собственное уникальное представление, и числа также могут быть представлены в арифметической и алгебраической структуре. Существуют различные типы систем счисления, которые имеют разные свойства, такие как двоичная система счисления, восьмеричная система счисления, десятичная система счисления и шестнадцатеричная система счисления. Некоторые примеры чисел в разных системах счисления: 10010 ₂ , 234 ₈ , 428 ₁₀ и 4BA ₁₆ .

Какие существуют 4 типа систем счисления?

Существует четыре основных типа систем счисления:

• Двоичная система счисления (основание — 2)
• Восьмеричная система счисления (основание — 8)
• Десятичная система счисления (основание — 10)
• Шестнадцатеричная система счисления (основание — 16)

Каковы правила преобразования систем счисления?

Чтобы преобразовать число из двоичной/восьмеричной/шестнадцатеричной системы счисления в десятичную систему счисления, мы используем следующие шаги:

• Умножьте каждую цифру данного числа, начиная с самой правой цифры, на показатели степени основания.
• Показатель степени должен начинаться с 0 и увеличиваться на 1 при каждом движении справа налево.
• Упростите каждый из вышеперечисленных продуктов и добавьте их.

Чтобы преобразовать число из десятичной системы в двоичную/восьмеричную/шестнадцатеричную систему, мы используем следующие шаги:

• Разделите данное число на основание требуемого числа и запишите частное и остаток в «частном- форма «остаток».
• Повторяем этот процесс (снова деля частное на основание), пока не получим частное меньше основания.
• Данное число в десятичной системе счисления получается простым чтением всех остатков и последнего частного снизу вверх.

Чтобы преобразовать число из одной из двоичных/восьмеричных/шестнадцатеричных систем в одну из других систем:

• Сначала мы преобразуем его в десятичную систему.
• Потом конвертируем в нужную систему.

Каково использование каждой системы счисления?

Каждая система счисления предназначена для разных целей, например:

• Двоичная система счисления используется для хранения данных в компьютерах.
• Преимущество восьмеричной системы счисления состоит в том, что в ней меньше цифр по сравнению с некоторыми другими системами счисления, следовательно, будет меньше вычислительных ошибок.
• Десятичная система счисления — это система, которую мы используем в повседневной жизни.
• Шестнадцатеричная система счисления используется в компьютерах для сокращения больших строк двоичной системы счисления.

В чем важность систем счисления?

Системы счисления помогают представлять числа в небольшом наборе символов. Двоичные числа в основном используются в компьютерах, которые используют такие цифры, как 0 и 1, для вычисления простых задач. Системы счисления также помогают преобразовать одну систему счисления в другую.

Как классифицируются системы счисления?

Системы счисления можно разделить в основном на две категории: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления каждая цифра связана с весом, и ее примерами являются двоичные, восьмеричные, десятичные и т. д. В непозиционных системах счисления значения цифр не зависят от их позиций, и их примерами являются код Грея, циклический код, ароматический код. код и т. д.

Почему в компьютерах используются разные системы счисления?

Компьютеры не понимают человеческих языков, поэтому для понимания команд и инструкций, данных компьютерам программистами, используются различные системы счисления, такие как двоичная, восьмеричная, десятичная и т. д.

Сколько существует типов систем счисления?

Система счисления включает в себя различные типы чисел, например, простые числа, нечетные числа, четные числа, рациональные числа, целые числа и т. д. Эти числа могут быть выражены в виде цифр или слов соответственно. Например, такие числа, как 40 и 65, выраженные в виде цифр, также могут быть записаны как сорок и шестьдесят пять.

A Система счисления или Система счисления определяется как элементарная система для выражения чисел и цифр. Это уникальный способ представления чисел в арифметической и алгебраической структуре.

Числа используются в различных арифметических значениях, применимых для выполнения различных арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и т. д., которые применяются в повседневной жизни для целей вычислений. Значение числа определяется цифрой, ее разрядностью в числе и основанием системы счисления. Числа, как правило, также известные как числа, представляют собой математические значения, используемые для подсчета, измерений, маркировки и измерения основных величин.

Числа — это математические значения или цифры, используемые для измерения или вычисления величин. Он представлен цифрами 2, 4, 7 и т. д. Некоторые примеры чисел: целые числа, целые числа, натуральные числа, рациональные и иррациональные числа и т. д.