Таблица кси квадрат: Таблица распределения хи-квадрат

Критерий согласия Пирсона χ2 (Хи-квадрат)

До конца XIX века нормальное распределение считалась всеобщим законом вариации данных. Однако К. Пирсон заметил, что эмпирические частоты могут сильно отличаться от нормального распределения. Встал вопрос, как это доказать. Требовалось не только графическое сопоставление, которое имеет субъективный характер, но и строгое количественное обоснование.

Так был изобретен критерий χ² (хи квадрат), который проверяет значимость расхождения эмпирических (наблюдаемых) и теоретических (ожидаемых) частот. Это произошло в далеком 1900 году, однако критерий и сегодня на ходу. Более того, его приспособили для решения широкого круга задач. Прежде всего, это анализ категориальных данных, т.е. таких, которые выражаются не количеством, а принадлежностью к какой-то категории. Например, класс автомобиля, пол участника эксперимента, вид растения и т.д. К таким данным нельзя применять математические операции вроде сложения и умножения, для них можно только подсчитать частоты.

Наблюдаемые частоты обозначим О (Observed), ожидаемые – E (Expected). В качестве примера возьмем результат 60-кратного бросания игральной кости. Если она симметрична и однородна, вероятность выпадения любой стороны равна 1/6 и, следовательно, ожидаемое количество выпадения каждой из сторон равна 10 (1/6∙60). Наблюдаемые и ожидаемые частоты запишем в таблицу и нарисуем гистограмму.

Нулевая гипотеза заключается в том, что частоты согласованы, то есть фактические данные не противоречат ожидаемым. Альтернативная гипотеза – отклонения в частотах выходят за рамки случайных колебаний, расхождения статистически значимы. Чтобы сделать строгий вывод, нам потребуется.

1. Обобщающая мера расхождения между наблюдаемыми и ожидаемыми частотами.
2. Распределение этой меры при справедливости гипотезы о том, что различий нет.

Начнем с расстояния между частотами. Если взять просто разницу О — E, то такая мера будет зависеть от масштаба данных (частот). Например, 20 — 5 =15 и 1020 – 1005 = 15. В обоих случаях разница составляет 15. Но в первом случае ожидаемые частоты в 3 раза меньше наблюдаемых, а во втором случае – лишь на 1,5%. Нужна относительная мера, не зависящая от масштаба.

Обратим внимание на следующие факты. В общем случае количество категорий, по которым измеряются частоты, может быть гораздо больше, поэтому вероятность того, что отдельно взятое наблюдение попадет в ту или иную категорию, довольно мала. Раз так, то, распределение такой случайной величины будет подчинятся закону редких событий, известному под названием закон Пуассона. В законе Пуассона, как известно, значение математического ожидания и дисперсии совпадают (параметр λ). Значит, ожидаемая частота для некоторой категории номинальной переменной E_i будет являться одновременное и ее дисперсией. Далее, закон Пуассона при большом количестве наблюдений стремится к нормальному. Соединяя эти два факта, получаем, что, если гипотеза о согласии наблюдаемых и ожидаемых частот верна, то, при большом количестве наблюдений, выражение

имеет стандартное нормальное распределение.

Важно помнить, что нормальность будет проявляться только при достаточно больших частотах. В статистике принято считать, что общее количество наблюдений (сумма частот) должна быть не менее 50 и ожидаемая частота в каждой группе должна быть не менее 5. Только в этом случае величина, показанная выше, имеет стандартное нормальное распределение. Предположим, что это условие выполнено.

У стандартного нормального распределения почти все значение находятся в пределах ±3 (правило трех сигм). Таким образом, мы получили относительную разность в частотах для одной группы. Нам нужна обобщающая мера. Просто сложить все отклонения нельзя – получим 0 (догадайтесь почему). Пирсон предложил сложить квадраты этих отклонений.

Это и есть статистика для критерия Хи-квадрат Пирсона. Если частоты действительно соответствуют ожидаемым, то значение статистики Хи-квадрат будет относительно не большим (отклонения находятся близко к нулю). Большое значение статистики свидетельствует в пользу существенных различий между частотами.

«Большой» статистика Хи-квадрат становится тогда, когда появление наблюдаемого или еще большего значения становится маловероятным. И чтобы рассчитать такую вероятность, необходимо знать распределение статистики Хи-квадрат при многократном повторении эксперимента, когда гипотеза о согласии частот верна.

Как нетрудно заметить, величина хи-квадрат также зависит от количества слагаемых. Чем больше слагаемых, тем больше ожидается значение статистики, ведь каждое слагаемое вносит свой вклад в общую сумму. Следовательно, для каждого количества независимых слагаемых, будет собственное распределение. Получается, что χ² – это целое семейство распределений.

И здесь мы подошли к одному щекотливому моменту. Что такое число независимых слагаемых? Вроде как любое слагаемое (т.е. отклонение) независимо. К. Пирсон тоже так думал, но оказался неправ. На самом деле число независимых слагаемых будет на один меньше, чем количество групп номинальной переменной n. Почему? Потому что, если мы имеем выборку, по которой уже посчитана сумма частот, то одну из частот всегда можно определить, как разность общего количества и суммой всех остальных. Отсюда и вариация будет несколько меньше. Данный факт Рональд Фишер заметил лет через 20 после разработки Пирсоном своего критерия. Даже таблицы пришлось переделывать.

По этому поводу Фишер ввел в статистику новое понятие – степень свободы (degrees of freedom), которое и представляет собой количество независимых слагаемых в сумме. Понятие степеней свободы имеет математическое объяснение и проявляется только в распределениях, связанных с нормальным (Стьюдента, Фишера-Снедекора и сам Хи-квадрат).

Чтобы лучше уловить смысл степеней свободы, обратимся к физическому аналогу. Представим точку, свободно движущуюся в пространстве. Она имеет 3 степени свободы, т.к. может перемещаться в любом направлении трехмерного пространства. Если точка движется по какой-либо поверхности, то у нее уже две степени свободы (вперед-назад, вправо-влево), хотя и продолжает находиться в трехмерном пространстве. Точка, перемещающаяся по пружине, снова находится в трехмерном пространстве, но имеет лишь одну степень свободы, т.к. может двигаться либо вперед, либо назад. Как видно, пространство, где находится объект, не всегда соответствует реальной свободе перемещения.

Примерно также распределение статистики может зависеть от меньшего количества элементов, чем нужно слагаемых для его расчета. В общем случае количество степеней свободы меньше наблюдений на число имеющихся зависимостей. 

Таким образом, распределение хи квадрат (χ²) – это семейство распределений, каждое из которых зависит от параметра степеней свободы. Формальное определение следующее. Распределение χ² (хи-квадрат) с k степенями свободы — это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Далее можно было бы перейти к самой формуле, по которой вычисляется функция распределения хи-квадрат, но, к счастью, все давно подсчитано за нас. Чтобы получить интересующую вероятность, можно воспользоваться либо соответствующей статистической таблицей, либо готовой функцией в Excel.

Интересно посмотреть, как меняется форма распределения хи-квадрат в зависимости от количества степеней свободы.

С увеличением степеней свободы распределение хи-квадрат стремится к нормальному. Это объясняется действием центральной предельной теоремы, согласно которой сумма большого количества независимых случайных величин имеет нормальное распределение. Про квадраты там ничего не сказано )).

Вот мы и подошли к проверке гипотез по методу хи-квадрат. В целом техника остается прежней. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что наблюдаемые частоты соответствуют ожидаемым (т.е. между ними нет разницы, т.к. они взяты из той же генеральной совокупности). Если этот так, то разброс будет относительно небольшим, в пределах случайных колебаний. Меру разброса определяют по статистике Хи-квадрат. Далее либо полученную статистику сравнивают с критическим значением (для соответствующего уровня значимости и степеней свободы), либо, что более правильно, рассчитывают наблюдаемый p-value, т. е. вероятность получить такое или еще больше значение статистики при справедливости нулевой гипотезы.

Т.к. нас интересует согласие частот, то отклонение гипотезы произойдет, когда статистика окажется больше критического уровня. Т.е. критерий является односторонним. Однако иногда (иногда) требуется проверить левостороннюю гипотезу. Например, когда эмпирические данные уж оооочень сильно похожи на теоретические. Тогда критерий может попасть в маловероятную область, но уже слева. Дело в том, что в естественных условиях, маловероятно получить частоты, практически совпадающие с теоретическими. Всегда есть некоторая случайность, которая дает погрешность. А вот если такой погрешности нет, то, возможно, данные были сфальсифицированы. Но все же обычно проверяют правостороннюю гипотезу.

Вернемся к задаче с игральной костью. Рассчитаем по имеющимся данным значение статистики критерия хи-квадрат.

Теперь найдем критическое значение при 5-ти степенях свободы (k) и уровне значимости 0,05 (α) по таблице критических значений распределения хи квадрат.

То есть квантиль 0,05 хи квадрат распределения (правый хвост) с 5-ю степенями свободы χ²_{0,05; 5} = 11,1.

Сравним фактическое и табличное значение. 3,4 (χ²) < 11,1 (χ²_{0,05; 5}). Расчетный значение оказалось меньшим, значит гипотеза о равенстве (согласии) частот не отклоняется. На рисунке ситуация выглядит вот так.

Если бы расчетное значение попало в критическую область, то нулевая гипотеза была бы отклонена.

Более правильным будет рассчитать еще и p-value. Для этого нужно в таблице найти ближайшее значение для заданного количества степеней свободы и посмотреть соответствующий ему уровень значимости. Но это прошлый век. Воспользуемся ЭВМ, в частности MS Excel. В эксель есть несколько функций, связанных с хи-квадрат.

Ниже их краткое описание.

ХИ2.ОБР – критическое значение Хи-квадрат при заданной вероятности слева (как в статистических таблицах)

ХИ2. ОБР.ПХ – критическое значение при заданной вероятности справа. Функция по сути дублирует предыдущую. Но здесь можно сразу указывать уровень α, а не вычитать его из 1. Это более удобно, т.к. в большинстве случаев нужен именно правый хвост распределения.

ХИ2.РАСП – p-value слева (можно рассчитать плотность).

ХИ2.РАСП.ПХ – p-value справа.

ХИ2.ТЕСТ – по двум диапазонам частот сразу проводит тест хи-квадрат. Количество степеней свободы берется на одну меньше, чем количество частот в столбце (так и должно быть), возвращая значение p-value.

Давайте пока рассчитаем для нашего эксперимента критическое (табличное) значение для 5-ти степеней свободы и альфа 0,05. Формула Excel будет выглядеть так:

=ХИ2.ОБР(0,95;5)

Или так

=ХИ2.ОБР.ПХ(0,05;5)

Результат будет одинаковым – 11,0705. Именно это значение мы видим в таблице (округленное до 1 знака после запятой).

Рассчитаем, наконец, p-value для 5-ти степеней свободы критерия χ² = 3,4. Нужна вероятность справа, поэтому берем функцию с добавкой ПХ (правый хвост)

=ХИ2.РАСП.ПХ(3,4;5) = 0,63857

Значит, при 5-ти степенях свободы вероятность получить значение критерия χ² = 3,4 и больше равна почти 64%. Естественно, гипотеза не отклоняется (p-value больше 5%), частоты очень хорошо согласуются.

А теперь проверим гипотезу о согласии частот с помощью теста хи квадрат и функции Excel ХИ2.ТЕСТ.

Никаких таблиц, никаких громоздких расчетов. Указав в качестве аргументов функции столбцы с наблюдаемыми и ожидаемыми частотами, сразу получаем p-value. Красота.

Представим теперь, что вы играете в кости с подозрительным типом. Распределение очков от 1 до 5 остается прежним, но он выкидывает 26 шестерок (количество всех бросков становится 78).

p-value в этом случае оказывается 0,003, что гораздо меньше чем, 0,05. Есть серьезные основания сомневаться в правильности игральной кости. Вот, как выглядит эта вероятность на диаграмме распределения хи-квадрат.

Статистика критерия хи-квадрат здесь получается 17,8, что, естественно, больше табличного (11,1).

Надеюсь, мне удалось объяснить, что такое критерий согласия χ² (хи-квадрат) Пирсона и как с его помощью проверяются статистические гипотезы.

Напоследок еще раз о важном условии! Критерий хи-квадрат исправно работает только в случае, когда количество всех частот превышает 50, а минимальное ожидаемое значение для каждой группы не меньше 5. Если в какой-либо категории ожидаемая частота менее 5, но при этом сумма всех частот превышает 50, то такую категорию объединяют с ближайшей, чтобы их общая частота превысила 5. Если это сделать невозможно, или сумма частот меньше 50, то следует использовать более точные методы проверки гипотез. О них поговорим в другой раз.

Ниже находится видео ролик о том, как в Excel проверить гипотезу с помощью критерия хи-квадрат.

Скачать файл с примером.

Поделиться в социальных сетях:

Таблица критерия Пирсона χ2 (хи-квадрат) онлайн. Теория вероятностей и математическая статистика

Ниже представлена таблица значений критических точек распределения χ2 (хи-квадрат) критерия Пирсона, широко используемые в задачах математической статистики, таких как построение доверительных интервалов, проверка статистических гипотез и непараметрическое оценивание.

Хи квадрат-распределение.

: Вероятности хи-квадрата Таблица

Области, указанные вверху, — это области справа от критического значения. Чтобы найти область слева, вычтите его из единицы, а затем посмотрите вверх (т. е. 0,05 слева равно 0,95 справа). справа)

дф	0,995	0,99	0,975	0,95	0,90	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
1	—	—	0,001	0,004	0,016	2,706	3,841	5.024	6,635	7,879
2	0,010	0,020	0,051	0,103	0,211	4,605 ​​	5,991	7,378	9.210	10,597
3	0,072	0,115	0,216	0,352	0,584	6.251	7,815	9,348	11.345	12.838
4	0,207	0,297	0,484	0,711	1,064	7,779	9,488	11. 143	13.277	14.860
5	0,412	0,554	0,831	1,145	1,610	9.236	11.070	12.833	15.086	16.750
6	0,676	0,872	1,237	1,635	2,204	10,645	12.592	14.449	16.812	18.548
7	0,989	1,239	1,690	2,167	2,833	12.017	14.067	16.013	18.475	20,278
8	1,344	1,646	2,180	2,733	3,490	13.362	15.507	17.535	20.090	21.955
9	1,735	2,088	2.700	3,325	4,168	14. 684	16.919	19.023	21.666	23.589
10	2,156	2,558	3,247	3,940	4,865	15,987	18.307	20.483	23.209	25.188
11	2,603 ​​	3,053	3,816	4,575	5,578	17.275	19.675	21.920	24.725	26.757
12	3,074	3,571	4.404	5,226	6.304	18.549	21.026	23.337	26.217	28.300
13	3,565	4.107	5.009	5,892	7.042	19.812	22.362	24.736	27.688	29.819
14	4.075	4,660	5,629	6,571	7,790	21. 064	23.685	26.119	29.141	31.319
15	4.601	5.229	6,262	7,261	8,547	22.307	24,996	27.488	30,578	32.801
16	5.142	5,812	6.908	7,962	9.312	23.542	26.296	28.845	32.000	34,267
17	5,697	6.408	7,564	8,672	10.085	24.769	27.587	30.191	33.409	35,718
18	6,265	7.015	8.231	9.390	10,865	25,989	28.869	31,526	34.805	37,156
19	6,844	7,633	8. 907	10.117	11.651	27.204	30.144	32.852	36.191	38,582
20	7,434	8.260	9,591	10.851	12.443	28.412	31.410	34.170	37,566	39,997
21	8.034	8.897	10.283	11.591	13.240	29.615	32.671	35.479	38,932	41.401
22	8,643	9,542	10,982	12.338	14.041	30.813	33,924	36.781	40.289	42.796
23	9.260	10,196	11.689	13.091	14.848	32.007	35,172	38.076	41,638	44.181
24	9,886	10. 856	12.401	13.848	15.659	33.196	36.415	39,364	42,980	45,559
25	10,520	11.524	13.120	14.611	16.473	34.382	37,652	40.646	44.314	46,928
26	11.160	12.198	13.844	15.379	17.292	35,563	38.885	41,923	45.642	48.290
27	11.808	12.879	14.573	16.151	18.114	36.741	40.113	43,195	46,963	49,645
28	12.461	13,565	15.308	16,928	18,939	37.916	41.337	44.461	48.278	50,993
29	13. 121	14.256	16.047	17.708	19.768	39.087	42,557	45.722	49,588	52,336
30	13.787	14,953	16.791	18.493	20.599	40.256	43.773	46,979	50.892	53,672
40	20.707	22.164	24.433	26.509	29.051	51.805	55,758	59.342	63,691	66,766
50	27,991	29.707	32.357	34.764	37.689	63,167	67,505	71.420	76,154	79.490
60	35,534	37.485	40.482	43,188	46.459	74,397	79.082	83,298	88. 379	91,952
70	43,275	45.442	48.758	51,739	55,329	85,527	90.531	95.023	100.425	104.215
80	51.172	53,540	57,153	60.391	64,278	96,578	101.879	106.629	112.329	116.321
90	59,196	61,754	65,647	69,126	73.291	107,565	113,145	118,136	124,116	128,299
100	67,328	70.065	74.222	77,929	82,358	118.498	124,342	129,561	135.807	140,169

1.3.6.7.4. Критические значения распределения хи-квадрат

                Вероятность меньше критического значения
    ν  0,90 0,95 0,975 0,99 0,999
 

  1 2,706 3,841 5,024 6,635 10,828
  2 4,605 ​​5,991 7,378 9,210 13,816
  3 6,251 7,815 9,348 11,345 16,266
  4 7,779 9,488 11,143 13,277 18,467
  5 9,236 11,070 12,833 15,086 20,515
  6 10,645 12,592 14,449 16,812 22,458
  7 12.017 14.067 16.013 18.475 24.322
  8 13.362 15.507 17.535 20.090 26.125
  9 14.684 16. 919 19.023 21.666 27.877
 10 15.987 18.307 20.483 23.209 29.588
 11 17,275 190,675 21,920 24,725 31,264
 12 18.549 21.026 23.337 26.217 32.910
 13 19,812 22,362 24,736 27,688 34,528
 14 21.064 23.685 26.119 29.141 36.123
 15 22.307 24.996 27.488 30.578 37.697
 16 23.542 26.296 28.845 32.000 39.252
 17 24.769 27.587 30.191 33.409 40.790
 18 25.989 28.869 31.526 34.805 42.312
 19 27.204 30.144 32.852 36.191 43.820
 20 28.412 31.410 34.170 37.566 45.315
 21 290,615 32,671 35,479 38,932 46,797
 22 30,813 33,924 36,781 40,289 48,268
 23 32.007 35.172 38.076 41.638 49.728
 24 33,196 36,415 39,364 42,980 51,179
 25 34,382 37,652 40,646 44,314 52,620
 26 35,563 38,885 41,923 45,642 54,052
 27 36,741 40,113 43,195 46,963 55,476
 28 37,916 41,337 44,461 48,278 56,892
 29 39,087 42,557 45,722 490,588 58,301
 30 40,256 43,773 46,979 50,892 59,703
 31 41,422 44,985 48,232 52,191 61,098
 32 42,585 46,194 49,480 53,486 62,487
 33 43,745 47,400 50,725 54,776 63,870
 34 44,903 48,602 51,966 56,061 65,247
 35 46. 059 49.802 53.203 57.342 66.619
 36 47,212 50,998 54,437 58,619 67,985
 37 48,363 52,192 55,668 59,893 69,347
 38 490,513 53,384 56,896 61,162 70,703
 39 50,660 54,572 58,120 62,428 72,055
 40 51,805 55,758 59,342 63,691 73,402
 41 52,949 56,942 60,561 64,950 74,745
 42 54.090 58.124 61.777 66.206 76.084
 43 55,230 59,304 62,990 67,459 77,419
 44 56.369 60.481 64.201 68.710 78.750
 45 57,505 61,656 65,410 69,957 80,077
 46 58.641 62.830 66.617 71.201 81.400
 47 590,774 64,001 67,821 72,443 82,720
 48 60,907 65,171 69,023 73,683 84,037
 49 62,038 66,339 70,222 74,919 85,351
 50 63,167 67,505 71,420 76,154 86,661
 51 64,295 68,669 72,616 77,386 87,968
 52 65,422 69,832 73,810 78,616 89,272
 53 66,548 70,993 75,002 79,843 90,573
 54 67,673 72,153 76,192 81,069 91,872
 55 68,796 73,311 77,380 82,292 93,168
 56 69,919 74,468 78,567 83,513 94,461
 57 71,040 75,624 79,752 84,733 95,751
 58 72,160 76,778 80,936 85,950 97,039
 59 73,279 77,931 82,117 87,166 98,324
 60 74,397 79,082 83,298 88,379 99,607
 61 75,514 80,232 84,476 89,591 100,888
 62 76,630 81,381 85,654 90,802 102,166
 63 77,745 82,529 86,830 92,010 103,442
 64 78,860 83,675 88,004 93,217 104,716
 65 79,973 84,821 89,177 94,422 105,988
 66 81,085 85,965 90,349 95,626 107,258
 67 82,197 87,108 91,519 96,828 108,526
 68 83,308 88,250 92,689 98,028 109,791
 69 84,418 89,391 93,856 99,228 111,055
 70 85,527 90,531 95,023 100,425 112,317
 71 86,635 91,670 96,189 101,621 113,577
 72 87,743 92,808 97,353 102,816 114,835
 73 88,850 93,945 98,516 104,010 116,092
 74 89,956 95,081 99,678 105,202 117,346
 75 91,061 96,217 100,839 106,393 118,599
 76 92,166 97,351 101,999 107,583 119,850
 77 93,270 98,484 103,158 108,771 121,100
 78 94,374 99,617 104,316 109,958 122,348
 79 95,476 100,749 105,473 111,144 123,594
 80 96,578 101,879 106,629 112,329 124,839
 81 97,680 103,010 107,783 113,512 126,083
 82 98,780 104,139 108,937 114,695 127,324
 83 99,880 105,267 110,090 115,876 128,565
 84 100,980 106,395 111,242 117,057 129,804
 85 102 079 107 522 112 393 118 236 131 041
 86 103,177 108,648 113,544 119,414 132,277
 87 104,275 109,773 114,693 120,591 133,512
 88 105,372 110,898 115,841 121,767 134,746
 89 106,469 112,022 116,989 122,942 135,978
 90 107,565 113,145 118,136 124,116 137,208
 91 108,661 114,268 119,282 125,289 138,438
 92 109,756 115,390 120,427 126,462 139,666
 93 110,850 116,511 121,571 127,633 140,893
 94 111,944 117,632 122,715 128,803 142,119
 95 113,038 118,752 123,858 129,973 143,344
 96 114,131 119,871 125,000 131,141 144,567
 97 115,223 120,990 126,141 132,309 145,789
 98 116,315 122,108 127,282 133,476 147,010
 99 117,407 123,225 128,422 134,642 148,230
100 118,498 124,342 129,561 135,807 149,449
100 118,498 124,342 129,561 135,807 149,449
 
 

                Вероятность меньше критического значения
    ν  0,10 0,05 0,025 0,01 0,001
 

  1.  016 004 001 000 000
  2. .211 .103 .051 .020 .002
  3. .584 .352 .216 .115 .024
  4. 1.064 .711 .484 .297 .091
  5. 1,610 1,145 ,831 ,554 ,210
  6. 2,204 1,635 1,237 ,872 ,381
  7. 2,833 2,167 1,690 1,239 ,598
  8. 3,490 2,733 2,180 1,646 ,857
  9. 4,168 3,325 2,700 2,088 1,152
 10. 4,865 3,940 3,247 2,558 1,479
 11. 5,578 4,575 3,816 3,053 1,834
 12. 6,304 5,226 4,404 3,571 2,214
 13. 7,042 5,892 5,009 4,107 2,617
 14. 7,790 6,571 5,629 4,660 3,041
 15. 8,547 7,261 6,262 5,229 3,483
 16. 9,312 7,962 6,908 5,812 3,942
 17. 10.085 8.672 7.564 6.408 4.416
 18. 10,865 9,390 8,231 7,015 4,905
 19. 11.651 10.117 8.907 7.633 5.407
 20. 12.443 10.851 9.591 8.260 5.921
 21. 13.240 11.591 10.283 8.897 6.447
 22. 14.041 12.338 10.982 9,542 6,983
 23. 14.848 13.091 11.689 10.196 7.529
 24. 15.659 13.848 12.401 10.856 8.085
 25. 16.473 14.611 13.120 11.524 8.649
 26. 17.292 15.379 13.844 12.198 9.222
 27. 18.114 16.151 14.573 12.879 9.803
 28. 18.939 16.928 15.308 13.565 10.391
 29. 19.768 17.708 16. 047 14.256 10.986
 30. 20.599 18.493 16.791 14.953 11.588
 31. 21.434 190,281 17,539 15,655 12,196
 32. 22.271 20.072 18.291 16.362 12.811
 33. 23.110 20.867 19.047 17.074 13.431
 34. 23.952 21.664 19.806 17.789 14.057
 35. 24.797 22.465 20.569 18.509 14.688
 36. 25.643 23.269 21.336 19.233 15.324
 37. 26.492 24.075 22.106 19.960 15.965
 38. 27.343 24.884 22.878 20.691 16.611
 39. 28.196 25.695 23.654 21.426 17.262
 40. 290,051 26,509 24,433 22,164 17,916
 41. 29.907 27.326 25.215 22.906 18.575
 42. 30.765 28.144 25.999 23.650 19.239
 43. 31.625 28.965 26.785 24.398 19.906
 44. 32.487 29.787 27.575 25.148 20.576
 45. 33.350 30.612 28.366 25.901 21.251
 46. ​​34.215 31.439 29.160 26.657 21.929
 47. 35.081 32.268 29.956 27.416 22.610
 48. 35.949 33.098 30.755 28.177 23.295
 49. 36.818 33.930 31.555 28.941 23.983
 50. 37.689 34.764 32.357 29.707 24.674
 51. 38.560 35.600 33.162 30.475 25.368
 52. 39.433 36.437 33.968 31.246 26.065
 53. 40.308 37.276 34.776 32.018 26.765
 54. 41.183 38.116 35. 586 32.793 27.468
 55. 42.060 38.958 36.398 33.570 28.173
 56. 42.937 39.801 37.212 34.350 28.881
 57. 43.816 40.646 38.027 35.131 290,592
 58. 44.696 41.492 38.844 35.913 30.305
 59. 45.577 42.339 39.662 36.698 31.020
 60. 46.459 43.188 40.482 37.485 31.738
 61. 47.342 44.038 41.303 38.273 32.459
 62. 48.226 44.889 42.126 39.063 33.181
 63. 49.111 45.741 42.950 39.855 33.906
 64. 49.996 46.595 43.776 40.649 34.633
 65. 50.883 47.450 44.603 41.444 35.362
 66. 51.770 48.305 45.431 42.240 36.093
 67. 52.659 49.162 46.261 43.038 36.826
 68. 53,548 50,020 47,092 43,838 37,561
 69. 54.438 50.879 47.924 44.639 38.298
 70. 55.329 51.739 48.758 45.442 39.036
 71. 56.221 52.600 49.592 46.246 39.777
 72. 57.113 53.462 50.428 47.051 40.519
 73. 58.006 54.325 51.265 47.858 41.264
 74. 58.900 55.189 52.103 48.666 42.010
 75. 59,795 56,054 52,942 49,475 42,757
 76. 60.690 56.920 53.782 50.286 43.507
 77. 61.586 57.786 54.623 51.097 44.258
 78. 62.483 58.654 55.466 51.910 45.010
 79. 63.380 59.522 56. 309 52.725 45.764
 80. 64.278 60.391 57.153 53.540 46.520
 81. 65.176 61.261 57.998 54.357 47.277
 82. 66.076 62.132 58.845 55.174 48.036
 83. 66.976 63.004 59.692 55.993 48.796
 84. 67.876 63.876 60.540 56.813 490,557
 85. 68.777 64.749 61.389 57.634 50.320
 86. 69.679 65.623 62.239 58.456 51.085
 87. 70.581 66.498 63.089 59.279 51.850
 88. 71.484 67.373 63.941 60.103 52.617
 89. 72.387 68.249 64.793 60.928 53.386
 90. 73,291 69,126 65,647 61,754 54,155
 91. 74.196 70.003 66.501 62.581 54.926
 92. 75.100 70.882 67.356 63.409 55.698
 93. 76.006 71.760 68.211 64.238 56.472
 94. 76,912 72,640 69,068 65,068 57,246
 95. 77.818 73.520 69.925 65.898 58.022
 96. 78.725 74.401 70.783 66.730 58.799
 97. 79,633 75,282 71,642 67,562 59,577
 98. 80,541 76,164 72,501 68,396 60,356
 99. 81.449 77.046 73.361 69.230 61.137
100. 82,358 77,929 74,222 70,065 61,918
 

Хи-квадрат (Χ²) Таблица | Примеры и загружаемая таблица

Опубликован в 31 мая 2022 г. по Шон Терни. Отредактировано 9 июля 2022 г.

Таблица распределения хи-квадрата (Χ ² ) представляет собой справочную таблицу, в которой перечислены критические значения хи-квадрата . Критическое значение хи-квадрат представляет собой порог статистической значимости для определенных проверок гипотез и определяет доверительные интервалы для определенных параметров.

Критические значения хи-квадрата рассчитываются из распределений хи-квадрат. Их трудно рассчитать вручную, поэтому большинство людей вместо этого используют справочную таблицу или статистическое программное обеспечение.

Скачать таблицу хи-квадрат (PDF)

Содержание

1. Когда использовать таблицу распределения хи-квадрат
2. Таблица распределения хи-квадрат (правосторонние вероятности)
3. Как пользоваться таблицей
4. Левосторонние и двусторонние вероятности
5. Практические вопросы
6. Часто задаваемые вопросы о таблицах хи-квадрат

Когда использовать таблицу распределения хи-квадрат

Вам понадобится критическое значение хи-квадрат, если вы хотите:

• Расчет доверительного интервала для дисперсии генеральной совокупности или стандартного отклонения
• Проверить, равна ли дисперсия или стандартное отклонение совокупности определенному значению (проверка одной дисперсии)
• Проверить, отличается ли частотное распределение категориальной переменной от ваших ожиданий (критерий согласия хи-квадрат)
• Проверить, связаны ли две категориальные переменные друг с другом (критерий независимости хи-квадрат)
• Проверка равенства пропорций двух тесно связанных переменных (критерий Макнемара)

Таблица распределения хи-квадрат (правосторонние вероятности)

Используйте приведенную ниже таблицу, чтобы найти критическое значение хи-квадрат для теста хи-квадрат или доверительного интервала, или загрузите таблицу распределения хи-квадрат (PDF).

В таблице представлены вероятности правого хвоста. Если вам нужны вероятности левого хвоста, вам нужно будет сделать небольшой дополнительный расчет.

Как пользоваться столом

Чтобы найти критическое значение хи-квадрат для проверки гипотезы или доверительного интервала, выполните следующие три шага.

Пример: исследование хи-квадрата. Представьте, что служба безопасности большого офисного здания устанавливает камеры видеонаблюдения на четырех входах в здание. Чтобы помочь им решить, где установить камеры, они хотят знать, как часто используется каждый вход. Они случайным образом выбирают 500 человек внутри здания и спрашивают их, через какой вход они вошли в здание.

Команда хочет использовать критерий согласия хи-квадрат для проверки нулевой гипотезы ( H ₀ ) о том, что четыре входа одинаково часто используются населением.

Чтобы узнать, следует ли отклонить нулевую гипотезу, им необходимо сравнить хи-квадрат Пирсона выборки с соответствующим критическим значением хи-квадрат.

Шаг 1. Расчет степеней свободы

Существует не одно распределение хи-квадрат — их много, и их формы различаются в зависимости от параметра, называемого «степенями свободы» (также называемого 9).1077 df или к ). Каждая строка таблицы распределения хи-квадрат представляет собой распределение хи-квадрат с различными df.

Вам необходимо использовать распределение с правильным df для вашего теста или доверительного интервала. В таблице ниже приведены уравнения для расчета df для нескольких распространенных процедур:

Тест или процедура	Степени свободы ( df ) уравнение
Проверка одной дисперсии Доверительный интервал для дисперсии или стандартного отклонения	df = объем выборки − 1
Хи-квадрат критерия согласия	df = количество групп − 1
Критерий независимости хи-квадрат	df = (количество групп переменных 1 — 1) * (количество групп переменных 2 — 1)
Тест Макнемара	дф = 1

Пример: расчет степеней свободы В своей выборке группа безопасности разделила людей на четыре группы — по одной группе для каждого входа. Формула критерия согласия хи-квадрат выглядит следующим образом:

df = количество групп − 1

df = 4 − 1

df = 3

Шаг 2: Выберите уровень значимости

В столбцах таблицы распределения хи-квадрат указан уровень значимости критического значения. По соглашению уровень значимости (α) почти всегда равен 0,05, поэтому столбец для 0,05 выделен в таблице.

В редких случаях вы можете увеличить α, чтобы уменьшить частоту ошибок типа II, или уменьшить α, чтобы уменьшить частоту ошибок типа I.

Чтобы рассчитать доверительный интервал, выберите уровень значимости на основе желаемого уровня достоверности:

α = 1 − уровень достоверности

Наиболее распространенный доверительный уровень составляет 95% (0,95), что соответствует α = 0,05.

Пример: выбор уровня значимости Группа безопасности следует соглашению, выбирая уровень значимости 0,05.

Шаг 3: Найдите критическое значение в таблице

Теперь у вас есть два числа, необходимые для нахождения критического значения в таблице распределения хи-квадрат:

• Степени свободы ( df ) перечислены в левой части таблицы. Найдите строку таблицы, соответствующую вычисленным вами степеням свободы.
• Уровни значимости (α) перечислены вверху таблицы. Найдите столбец, соответствующий выбранному вами уровню значимости.
• Ячейка таблицы, где встречаются строка и столбец, является вашим критическим значением.

Пример: Нахождение критического значения в таблице. Где встречаются строка для df = 3 и столбец для α = 0,05, критическое значение равно 7,815.

Команда безопасности теперь может сравнить это критическое значение хи-квадрата с хи-квадратом Пирсона, рассчитанным для их выборки. Если критическое значение больше, чем хи-квадрат выборки, они могут отклонить нулевую гипотезу.

Левосторонние и двусторонние вероятности

В приведенной здесь таблице указаны вероятности правого хвоста. Вы должны использовать эту таблицу для большинства тестов хи-квадрат, включая критерий согласия хи-квадрат соответствия и критерий независимости хи-квадрат, а также критерий Макнемара.

Если вы хотите выполнить двусторонний или левосторонний тест, вам нужно будет сделать небольшой дополнительный расчет.

Левосторонние тесты

Наиболее распространенный левосторонний тест — это тест одной дисперсии при определении того, равна ли дисперсия совокупности или стандартное отклонение меньше, чем определенное значение.

Чтобы найти критическое значение левосторонней вероятности в приведенной выше таблице, просто используйте столбец таблицы для 1 − α.

Пример: левосторонний тестПредставьте, что вы подрабатываете печеньем в пекарне. Владелец пекарни говорит вам, что их печенье обычно различается по размеру со стандартным отклонением всего в 0,2 дюйма в диаметре.

Вы гордитесь тем, что делаете все файлы cookie одинакового размера, поэтому решаете случайным образом отобрать 25 файлов cookie, чтобы проверить, не превышает ли их стандартное отклонение 0,2 дюйма.

Это левосторонний тест, потому что вы хотите знать, меньше ли стандартное отклонение определенного значения. Вы ищете левостороннюю вероятность в правосторонней таблице, вычитая единицу из вашего уровня значимости: 1 — α = 1 — 0,05 = 0,95.

Критическое значение для df = 25 − 1 = 24 и α = 0,95 равно 13,848.

Если хи-квадрат вашей выборки больше этого критического значения, вы можете отклонить нулевую гипотезу о том, что ваши файлы cookie имеют стандартное отклонение в 0,2 дюйма в диаметре.

Двусторонние тесты

Наиболее распространенный левосторонний тест — это тест одной дисперсии при определении того, равна ли дисперсия или стандартное отклонение генеральной совокупности определенному значению.

Двусторонний тест имеет два критических значения. Чтобы найти критические значения, используйте столбцы таблицы для

и . Пример: двусторонний тест. Производитель детской одежды хочет спроектировать свои детские шапочки таким образом, чтобы они подходили любому шестимесячному ребенку с точностью до двух стандартных отклонений от среднего диаметра головы.

Они находят в медицинском учебнике, что стандартное отклонение диаметра головы шестимесячных младенцев составляет 1 дюйм, но хотят сами подтвердить это число. Они случайным образом выбирают 20 шестимесячных младенцев и измеряют их головы.

Это двусторонний тест, потому что они хотят знать, равно ли стандартное отклонение определенному значению. Они должны искать два критических значения в столбцах для:

• и

Критическое значение для df = 20 — 1 = 19 и α = 0,025 равно 32,852. Критическое значение для df = 19 и α = 0,975 равно 8,907.

Если хи-квадрат их выборки не находится между этими двумя критическими значениями, компания по производству одежды может отвергнуть нулевую гипотезу о том, что стандартное отклонение диаметра головы составляет 1 дюйм.

Практические вопросы

на базе Typeform

Часто задаваемые вопросы о таблицах хи-квадрат

org/FAQPage»>

Как найти критическое значение хи-квадрат в R?

Вы можете использовать функцию qchisq() , чтобы найти критическое значение хи-квадрат в R.

Например, чтобы вычислить критическое значение хи-квадрат для теста с df = 22 и α = 0,05:

qchisq(p = 0,05, df = 22, нижний.хвост = ЛОЖЬ)

Как найти критическое значение хи-квадрат в Excel?

Вы можете использовать функцию CHISQ.INV.RT() , чтобы найти критическое значение хи-квадрат в Excel.

Например, чтобы вычислить критическое значение хи-квадрат для теста с df = 22 и α = 0,05, щелкните любую пустую ячейку и введите:

Источники в этой статье

Мы настоятельно рекомендуем учащимся использовать источники в своей работе.