Разное

Таблица матрица – Матрица (математика) — Википедия

Содержание

Матрица (математика) — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов задает размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы[1], в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

  • сложение матриц, имеющих один и тот же размер[⇨];
  • умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n{\displaystyle n} столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n{\displaystyle n} строк)[⇨];
  • в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы)[⇨];
  • умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (то есть скаляр)[⇨].

Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве.[2] Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

То же можно сказать о представлении матрицами

ru.wikipedia.org

Матрица (таблица) — это… Что такое Матрица (таблица)?



Матрица (таблица)

МАТРИЦА (от латинского matrix — матка), прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов элементов (чисел, математических выражений). Над матрицей можно производить действия: умножение на число, сложение, перемножение.

 

Иллюстрированный энциклопедический словарь. — М.: Аутопан.
В. И. Бородулин и др..
1998.

  • Матрица (металлообработка; полиграфия)
  • Матфей

Смотреть что такое «Матрица (таблица)» в других словарях:

  • ПЛАТЕЖНАЯ МАТРИЦА, ТАБЛИЦА — (pay off matrix) Таблица, в которой показаны выплаты каждому участнику при двусторонней игре. Строки таблицы отражают результаты каждого выбора стратегии (strategy) одним участником, а столбцы – результаты выбора другого. Может существовать одна… …   Экономический словарь

  • МАТРИЦА — (нем., Matrize, от лат. matrix матка). 1) в литейном производстве: медная форма для отливки букв, а также монет. 2) в типографском деле: бумажная форма для отливки стереотипа. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • таблица — См …   Словарь синонимов

  • матрица игры — В теории игр, теории решений, таблица, в которую заносятся возможные результаты принимаемых решений (например, исходы игры в случае выбора игроками той или иной стратегии). Другие названия, отражающие разные подходы к определению элементов… …   Справочник технического переводчика

  • матрица — Логическая сеть, сконфигурированная в виде прямоугольного массива пересечений входных/выходных каналов. [http://www.vidimost.com/glossary.html] матрица Система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной… …   Справочник технического переводчика

  • Матрица — [matrix] система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы, над которой можно производить определенные действия. Таблица имеет следующий вид: Элемент матрицы в общем виде обозначается aij это… …   Экономико-математический словарь

  • матрица — сетка, (многомерная) таблица; волока, форма, матка, источник, фильера, фотоматрица, начало Словарь русских синонимов. матрица сущ., кол во синонимов: 11 • волока (2) • …   Словарь синонимов

  • Матрица игры — [game mat­rix] в теории игр, теории решений, таблица, в которую заносятся возможные результаты принимаемых решений (например, исходы игры в случае выбора игроками той или иной стратегии). Другие названия, отражающие разные подходы к определению… …   Экономико-математический словарь

  • матрица доступа — 1. Таблица, отображающая правила доступа субъектов к информационным ресурсам, данные о которых хранятся в диспетчере доступа. 2. Таблица, отображающая правила разграничения доступа. [Домарев В.В. Безопасность информационных технологий. Системный… …   Справочник технического переводчика

  • Матрица (в математике) — Матрица в математике, система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m n) матрице.… …   Большая советская энциклопедия

illustrated_dictionary.academic.ru

Матрицы. Виды матриц

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

Матрица порядка m × n записывается в форме:

или (i=1,2,…m; j=1,2,…n).

Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

Матрица строка

Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

Матрица столбец

Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

Нулевая матрица

Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

Квадратная матрица

Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

Главная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a11, a22 ,…, ann образуют главную диагональ матрицы. Например:

В случае m×n -матриц элементы aii ( i=1,2,…,min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

Побочная диагональ матрицы

Элементы расположенные на местах a1n, a2n-1 ,…, an1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n, где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

След матрицы

Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

Верхняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

Нижняя треугольная матрица

Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i<j. Например:

Cтроки матрицы A образуют пространство строк матрицы и обозначаются через R(AT).

Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

Ядро или нуль пространство матрицы

Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

 Противоположная матрица

Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

 Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

AT=−A.

В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

Пример кососимметрической матрицы:

 Разность матриц

Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

C=A+(-1)B.

Для обозначения разности двух матриц используется запись:

C=A-B.

 Степень матрицы

Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

A0=E,

где E-единичная матрица.

Из сочетательного свойства умножения следует:

где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

  Симметричная (Симметрическая) матрица

Матрица, удовлетворяющая условию
A=AT
называется симметричной матрицей.

Для симметричных матриц имеет место равенство:

aij=aji ;   i=1,2,…n,   j=1,2,…n

matworld.ru

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде
прямоугольной таблицы из m
строк и n столбцов. Эту таблицу
обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа,
составляющие матрицу, называются элементами
матрицы
. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер
строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице
число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше
примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая
матрица – её порядок 1.

Матрица, в
которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также
матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у
которой всего одна строка , называется матрицей –
строкой
(или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все
элементы которой равны нулю, называется нулевой
и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую
из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная
матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю,
называется треугольной матрицей.

.

Квадратная
матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих
на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная
матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой
E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если
они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны
aij = bij. Так если и , то A=B,
если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно
сопоставить такую матрицу B из
n строк и m столбцов, у которой каждая
строка является столбцом матрицы A с
тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак,
если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это
перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной
можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового
числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры.
Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.
Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по
правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

  1. .
  2. — нельзя, т.к. размеры матриц различны.
  3. .

Легко проверить,
что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить
матрицу A на число k нужно каждый элемент
матрицы A умножить на это число.
Таким образом, произведение матрицы A на
число k есть новая матрица, которая
определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и
матриц A и B выполняются равенства:

  1. .

Примеры.

  1. .
  2. Найти 2A-B, если , .

    .

  3. Найти C=–3A+4B.

    Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному
закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть
согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов
первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки
первой равна высоте столбца второй). Произведением
матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB,
элементы которой составляются следующим образом:

.

Таким образом,
например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой
строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять
1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на
соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие
элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения
строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В
общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на
матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C
размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате
произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го
столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует,
что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в
результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную
матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным
случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина
первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого
порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

  1. Пусть

    Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.

  2. Найти произведение матриц.

    .

  3. .
  4. — нельзя, т.к. ширина
    первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
  5. Пусть

    Найти АВ и ВА.

  6. Найти АВ и ВА.

    , B·A – не имеет смысла.

Таким образом,
эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙BB∙A. Поэтому при умножении
матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно
проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному
законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также
проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E
того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно
отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от
нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение
2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана
матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух
столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной
матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

Определитель обозначается
символом .

Итак, для того
чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов
главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

  1. .
  2. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно
рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной
квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и
получаемое следующим образом:

.

Таким образом,
эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой
строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению
определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

  1. .
  2. .
  3. Решите уравнение..

    .

    (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

    (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

    (x-4)(x-1)=0.

    x1 = 4, x2 = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей
четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам
1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие
от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число,
которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

toehelp.ru

Основные сведения о матрицах.

Матрицей
размерности m×n
называется прямоугольная
таблица чисел
,
состоящая из m
строк
и n
столбцов.

Числа,
составляющие матрицу, называются ее
элементами
.

Элемент,
стоящий на пересечении строки с номером
i(i
той строки),

i
=

1, 2…m
и столбца с номером j(j
того столбца),

j
=
1, 2…n
– обозначается aij.

Матрица
обозначается заглавными буквами A,B,C…,
а их элементы ‒ соответствующими
прописными буквами.

A
n
=

Пример:

A3×2
=

А11
=
3

А21
=

2

А22
=
5

А32
=
–1

Виды матриц

1.
Матрица, состоящая из одной строки,
называется матрицей ‒ строкой или
вектором – строкой. Вn=
(
b11
b12b1n).

2.
Матрица, состоящая из одного столбца,
называется матрицей ‒ столбцом или
вектором – столбцом. Сm×1
=

3.
Матрица называется квадратной n
го порядка, если у нее число строк равно
числу столбцов и равно n.

A
=–
квадратная матрица третьего порядка

Главная
диагональ

Элементы
квадратной матрицы, у которых совпадает
номер строки и столбца, образуют главную
диагональ
.

Квадратная
матрица, все элементы главной диагонали
которой равны 1, а остальные элементы
равны 0, называется единичной
матрицей
.

E=

единичная матрица второго порядка.

E=–
единичная матрица третьего порядка.

Операции над матрицами и их свойства.

1.Произведение
матрицы на число.

Произведением
матрицы A
на число λназывается
такая матрица B,
каждый элемент которой находится по
формуле:

bij=λ
×
aij

Пример:

A=


3A=

=

2.
Сумма
матриц.

Суммой
матриц A
и B
одинаковой размерности называется
матрица C,
каждый элемент которой находится по
формуле: (Cij=
Aij
+Bij),
т.е. матрицы складываются поэлементно.

Пример:
+
==

3.
Разность
матриц.

А
‒ В = А +
(1)
×
В

Пример:

==

4.
Произведение
матриц.

Произведением
матрицы Аm×lна
матрицу Вl×nназывается
матрица Сm×n,каждый
элемент которойcijравен
сумме произведений всех элементов i
– ой строки матрицы A
на соответствующие элементыj
‒ того столбца матрицы B.

Пример:

A2×3=,B3×3
=

=

=

5.
Возведение в степень с натуральным
показателем квадратных матриц
.

=
A×A….A

n
‒ раз.

Пример:

A=

=
==

=

6.
Транспонирование матриц.

Матрица
АТ
(или
АI)
называется транспонированной к матрице
A,
если строки матрицы A
заменены соответствующими столбцами
матрицы B,
т.е. при транспонировании строки и
столбцы меняются местами.

А3×2
=

=

7.
Свойства операций.

1.
Коммутативность (переместительный
закон)

A
+ B
= B
+ A;
т. е. сумма матриц коммутативна.

A
× BB
× A;
т. е. произведение не коммутативно.

2.
Ассоциативность (сочетательный закон)

A
+ (B
+ С) = (A
+ B)
+ С;

A
× (B
× С) = (A
× B)
× С;

3.
Дистрибутивность (распределительный
закон)

(A
+ B) × С
= A×C + B×C;

4.
A × E = A.

Определители квадратных матриц и способы
их вычисления.

Определителем
квадратной матрицы называется число,
характеризующее эту матрицу.

Определители
обозначаются двумя вертикальными
чертами:

A
или ∆ (дельта).

Определителем
первого порядка квадратной матрицы
первого порядка A
= (а11)
называется число,
равное элементу этой матрицы
.

│а11│=
а11.

Определителем
второго порядка квадратной матрицы A
=
называетсячисло,
вычисляемое по формуле:

Пример:

=
– 3 × 7 – 6 × (– 5) = – 21+30 = 9.

Определителем
третьего порядка квадратной матрицы
третьего порядка называется число,
вычисляемое по формуле:

studfiles.net

Матрицы: определение и основные понятия.

Навигация по странице:



Определение матрицы

Определение.

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами.

Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.



Обозначение

Матрица — это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

A =  4  1  -7 
 -1  0  2 

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m. При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: An×m.





Элементы матрицы

Элементы матрицы A обозначаются aij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.


Пример.

Элементы матрицы A4×4:

A =  4  1  -7  2 
 -1  0  2  44 
 4  6  7  9 
 11  3  1  5 

a11 = 4


Определение.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется ненулевой.

Пример.

Демонстрация нулевых и ненулевых строк матрицы:

 4  1  -7 

< не нулевая строка

 0  0  0 

< нулевая строка

 0  1  0 

< не нулевая строка


Определение.

Столбец матрицы называется нулевым, если все его элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов столбца матрицы не равен нулю, то столбец называется ненулевым.

Пример.

Демонстрация нулевых и ненулевых столбцов матрицы:

 0  1  -7 
 0  0  2 

^

^

^

не не нулевой столбец




Диагонали матрицы

Определение.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.

Определение.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Пример.

Демонстрация главной и побочной диагонали матрицы:

 0  1  -7  — главнаяпобочная диагональ
 0  0  2 

 0  1  -7  — главнаяпобочная диагональ
 0  0  2 
 8  2  9 


Определение.

Следом матрицы называется сумма диагональных элементов матрицы.

Обозначение.

След матрицы обозначается trA = a11 + a22 + … + ann.

ru.onlinemschool.com

Основные сведения о матрицах

В этом разделе мы даем основные сведения о матрицах, необходимые для понимания статистики и анализа данных.

Матрицей размера m x n (читается m на n) называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,….

Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например: aij, где i — номер строки, j — номер столбца.

Например, матрица:

В сокращенной записи обозначаем A=(aij); i=1,2,…m; j=1,2,…,n

Приведем пример матрицы 2 на 2: 

Вы видите, что a11 = 1, a12 = 0, a21 = 2, a22=5

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: 

Две матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, aij = bij для любых i=1,2,…m; j=1,2,…n

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) — строкой, а из одного столбца — матрицей (вектором)- столбцом:

A=(a11,a12,…,a1n) — матрица — строка

B=

Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Например, 

Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a11, a22,…,ann.

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциями над числами, а некоторые — специфические.

1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число  называется матрица B=A, элементы которой bij=aij для i=1,2,…m; j=1,2,…n

Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m называется матрица С=А+В, элементы которой cij=aij+bijдля i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.е. матрицы складываются поэлементно).

3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A-B=A+(-1)∙B.

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц Am∙B kназывается такая матрица Cm, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:


i=1,2,…,m; j=1,2,…,n

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из этих операций):

A+B=B+A

(A+B)+C=A+(B+C)

λ (A+B)= λA+ λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ (AB)=( λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

a)      Если АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.

b)      Если АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

5. Транспонирование матрицы — переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А’ называется транспонированной относительно матрицы А:

Из определения следует, что если матрица А имеет размер m, то транспонированная матрица А’ имеет размер n

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, АТ

Связанные определения:
Вырожденная матрица
Обобщенная обратная матрица
Обратная матрица
Плохо обусловленная матрица
Псевдообратная матрица
Эрмитова матрица
Эрмитово-сопряженная матрица

В начало

Содержание портала

statistica.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о