Разное

Сложение двоичных чисел примеры: Сложение двоичных чисел онлайн

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Двоичные числа и двоичная арифметика

Аннотация: Рассматривается двоичная система счисления как частный случай позиционной системы и основные правила двоичной арифметики.

Ключевые слова: вес, целое число, запись, аналогия, выражение, логический, основание, связь, восьмеричная система счисления, обратный код, дополнительный код, прямой, система счисления, сложение, вычитание

Принцип представления чисел в позиционных системах счисления

Позиционной называется система счисления, в которой вес разряда числа определяется его позицией в записи числа [1].

Вспомним нашу привычную десятичную систему счисления, в которой мы с детства производим все расчеты. Уже в начальной школе мы привыкли к терминам «единицы», «десятки», «сотни», «тысячи», «десятые», «сотые», «тысячные» и не задумываемся над тем, что они означают вес разряда, выраженный в виде числа, равного , где — целое число. Например, число 125, 46 можно представить в виде суммы:

сотни десятки единицы десятые доли сотые доли

Аналогично любое число в десятичной системе счисления можно представить в виде подобной суммы:

( 11.1)

где — количество знаков в целой части числа, — количество знаков в дробной части числа, — вес -го разряда, — весовой коэффициент для -го разряда числа. Количество возможных вариантов значения коэффициента в десятичной системе счисления равно , поскольку для записи чисел в ней используются десять знаков — арабские цифры «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8» и «9». Число является основанием системы счисления. Исторически сложилось, что десятичная система получила наибольшее распространение, хотя по этому принципу можно сделать аналогичную запись в любой другой системе счисления c любым другим основанием. В табл. 11.1 прослежива ется аналогия между позиционными системами счисления.

Основание системы счисления — это число, равное количеству знаков, которые используются в этой системе для записи чисел.

Для числа в системе счисления с основанием выражение (11.1) преобразуется к виду:

( 11.2)

Таблица 11. 1. Параметры позиционных систем счисления
Название системы счисленияОснование системы счисленияЗнаки, использующиеся для записи чисел
Двоичная20, 1
Троичная30, 1, 2
Четверичная40, 1, 2, 3
………
Восьмеричная80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
……
…
Десятичная100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
………
Шестнадцатеричная160, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
………

intuit.ru/2010/edi»>С началом развития цифровой вычислительной техники большой интерес стала вызывать двоичная система, поскольку вычислительная машина любого поколения и любой степени сложности — это совокупность логических схем. Работа элементов этих схем основана на ключевом режиме работы транзистора, в котором он может быть только в двух состояниях, принимаемых за логический 0 и логическую 1.

Запись двоичного числа, как будет показано ниже, как правило, довольно длинна и громоздка, поэтому для более короткой записи двоичных чисел применяются восьмеричные и шестнадцатеричные числа. Выбор именно этих систем обусловлен тем, что их основания равны целой степени числа 2. Основание восьмеричной системы , а основание шеснадцатиричной системы — это . Для записи шестнадцатеричных чисел арабских цифр не хватает, поэтому используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита.

Итак, далее мы подробно рассмотрим именно эти позиционные системы — двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и их связь с привычной нам десятичной системой счисления.

Приведем примеры записи чисел в указанных системах и найдем их десятичные эквиваленты по формуле (11.2).

Для двоичного числа:

Здесь и далее будем придерживаться следующего правила: числа в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах записываются с указанием основания, десятичные — без этой записи.

Для восьмеричного числа:

Для шестнадцатеричного числа:

Округление относится к дробной части числа, целая часть переводится точно. Особенностью перевода из шестнадцатеричного кода в десятичный код является то, что в качестве коэффициента используется десятичный эквивалент шестнадцатеричного знака в соответствии с таблицей 11.2. Для нашего примера вместо знака » » в расчетную формулу (11.2) подставляется десятичное число .

Из рассмотренных примеров видно, что общая формула (11.2) может использоваться для перевода числа из системы счисления с любым основанием в десятичную.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы в любую другую. Перевод целых чисел

Целое десятичное число нужно поделить на основание новой системы счисления. Остаток от этого деления является самым младшим разрядом в новой записи числа. Результат деления вновь делится на основание. Остаток от этого деления будет следующим разрядом в новой записи числа, результат деления вновь делится на основание и т.д. до тех пор, пока в результате деления получится число, меньшее по величине, чем основание новой системы. Остаток этого последнего деления будет предпоследним разрядом в новой записи числа, а результат этого последнего деления — самым старшим разрядом в новой записи числа.

intuit.ru/2010/edi»>Проверка перевода осуществляется по формуле (11.2), так, как это показано ниже на примерах.

Пример. Перевести десятичное число 125 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Проверить результаты по формуле (П11.2).

a)б)в)

Проверка:

  • в двоичном коде: ;
  • в восьмеричном коде ;
  • в шестнадцатеричном коде — .

В рассмотренном примере при переводе вместо коэффициента используется его десятичный эквивалент в соответствии с таблицей 11. 2.

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную (восьмеричную)

Как уже было сказано выше, шестнадцатеричный и восьмеричный коды используются для более компактной и удобной записи двоичных чисел. Так, программирование в машинных кодах осуществляется в большинстве случаев в шестнадцатеричном коде. Правила перевода для шестнадцатеричной и восьмеричной системы структурно одинаковы, отличия для восьмеричной системы отображаются в скобках.

Двоичная запись числа делится на группы по четыре ( три ) двоичных знака влево и вправо от запятой, отделяющей целые и дробные части Неполные крайние группы (если они есть) дополняются нулями до четырех ( трех ) знаков. Каждая группа заменяется одним шестнадцатеричным ( восьмеричным ) знаком в соответствии с кодом группы (табл. 11.2).

Таблица 11. 2. Соответствие двоичных групп, шестнадцатеричных и восьмеричных знаков
Двоичная группаШестнадцатеричный знакДесятичный эквивалентДвоичная группаВосьмеричный знак
0000		000000
0001110011
0010220102
0011330113
0100441004
0101551015
0110661106
0111771117
100088
100199
1010A10
1011B11
1100C12
1101D13
1110E14
1111F15

intuit.ru/2010/edi»>Примеры:

  • перевод в шестнадцатеричную систему:
  • перевод в восьмеричную систему:
Перевод из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы в двоичную

Обычно программы в машинных кодах записаны в шестнадцатеричной системе счисления, реже — в восьмеричной. При необходимости отдельные числа такой программы записываются в двоичном коде, например, при рассмотрении форматов регистров, кодов операции команд и т.п. В этом случае нужен обратный перевод из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы счисления в двоичную по следующему правилу.

Каждая цифра (без всяких сокращений!) шестнадцатеричного ( восьмеричного ) числа заменяется одной двоичной группой из четырех ( трех ) двоичных знаков (табл. 11.2).

Примеры:

  • intuit.ru/2010/edi»>для шестнадцатеричного числа: ;
  • для восьмеричного числа: .

Как показано в примерах, крайние нули слева и справа при желании можно не писать, но такое сокращение делается уже после перевода в двоичную систему.

Lab_rab_2_Dvoichn_arifmetika

Лабораторная работа №122. Двоичная арифметика.

Цель работы. Научиться выполнять арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деления) с двоичными числами.

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами двоичных сложения, вычитания и умножения.

Таблица двоичного

сложения

Таблица двоичного

вычитания

Таблица двоичного

умножения

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

0–0=0

1–0=1

1–1=0

10–1=1

0 0=0

0 1=0

1 0=0

1 1=1

Задание 1. Выполните сложение чисел в двоичной системе счисления 100100111,0012+100111010,1012

Методические указания.

При сложении двоичных чисел в каждом разряде производится сложение цифр слагаемых и цифры, переносимой из соседнего младшего разряда, если она имеется При этом необходимо учитывать, что 1+1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий разряд.

Примеры.

1) Выполнить сложение двоичных чисел X=1101, Y=111.

В приведенном примере в младшем нулевом разряде две единицы: 1+1=10 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий. В первом разряде: 0+1+1=10 (крайняя единица перенесена из нулевого разряда) дают 0 и единицу переноса в следующий. Во втором разряде 1+1+1=11(крайняя единицы перенесена из первого разряда) дают 1 и единицу переноса в следующий. В старшем третьем разряде 1 и единица переноса из предыдущего разряда дают 1+1=10.

Результат: 1101+111=10100.

2) Сложить три двоичных числа X=1101, Y=101, Z=111.

Результат: 1101+101+111=11001.

Задание 2. Выполните вычитание чисел в двоичной системе счисления: 1100110110,00112– 11111110,012.

Методические указания.

При вычитании двоичных чисел в данном разряде при необходимости занимается 1 из старшего разряда. Эта занимаемая 1 равна двум единицам данного разряда, так как 10=1+1.

Примеры.

1) Заданы двоичные числа X=10010 и Y=101. Вычислить X–Y.

Результат: 100102 – 1012 = 11012.

Замечание. Число 100…002 можно представить в виде суммы

Данное разложение на слагаемые объясняет правило вычитания в столбик. Если вы занимаете 1 из ближайшего старшего разряда, тогда над всеми следующими за единицей нулями следует дописывать 1, а над крайним нулем, для которого произведен заем, 1+1 или 10.

2) Выполнить вычитание: 1100000011,0112 – 101010111,12

Результат:  1100000011,0112 – 101010111,12 = 110101011,1112.

Задание 3. Выполните умножение чисел 110012 и 10111002 в двоичной системе счисления.

Методические указания.

Правила умножения двоичных чисел такие же, как и для умножения десятичных чисел в столбик, с использованием двоичного умножения и сложения.

Пример. Найти произведение 10012 1012

1001

  101

1001

+1001    

101101

Результат: 10012 1012=1011012.

Задание 4. Выполните деление чисел 1111012 и 11102 в двоичной системе счисления.

Методические указания.

Деление двоичных чисел производится так же, как и десятичных чисел, при этом используется двоичное умножение и вычитание.

Пример. Найти частное от деления 1100,0112: 10,012

_110001,1

1001

1001

101,1

_1101

­ 1001

_1001        1001

0

Результат: 1100,0112:10,012=101,12.

Задания для самостоятельной работы

Вариант

Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X+Y и X–Y , если:

Заданы двоичные числа X и Y. Вычислить X*Y и X/Y , если:

Х=100101,1012 Y=11101,112

X=100101,0112 Y=110,12

Х=101101,1012 Y=1101,1112

X=110000,112 Y=2

Х=110101,1012 Y=11101,112

X=111001,00012 Y=1010,0112

Х=1101111,1012 Y=10101,112

X=111011,00012 Y=101,012

Х=1000111,112 Y=11101,1112

X=111100,0112 Y=101,112

Х=1110001,1012 Y=10011,112

X=110110,1012 Y=100,112

Х=1010001,1012 Y=10011,112

X=100110,00012 Y=111,012

Х=1000011,1012 Y=10011,0112

X=101011,1112 Y=110,112

Х=1101001, 1012 Y=10111,112

X=1010110,1012 Y=1000,012

Х=1010001,1012 Y=1111,0112

X=111111,012 Y=101,12

Х=101001, 1012 Y=10111,1112

X=1011010,1012, Y=111,012

Х=1010111, 1012 Y=11100,1112

X=1000101,00112, Y=110,112

Х=110101,1012 Y=1111,112

X=100101,0112, Y=110,12

Х=101111,1012 Y=1101,1112

X=100000,11012, Y=101,012

Х=110101,0112 Y=10011,112

Х=110111,112 Y=101,112

Х=1001011,112 Y=10101,1012

Х=100101,112 Y=111,012

Х=100011,0112 Y=10011,1112

Х=100011,012 Y=1011,12

Х=1010001,1012 Y=1011,0112

Х=100001,1012 Y=1001,012

Х=110001,1012 Y=10111,112

Х=111001,1012 Y=1101,112

Х=1000111,0112 Y=11111,112

Х=1010111,0112 Y=111,112

Х=111001, 1012 Y=1110,1112

Х=11100001, 1012 Y=110,112

Х=100001,1012 Y=1111,1112

Х=1000001,1012 Y=1111,012

Х=1011101, 1012 Y=10111,0112

Х=1010101, 1012 Y=100,0112

Х=1111000, 1012 Y=101111,112

Х=1111001, 0112 Y=1011,112

Х=1100000, 1012 Y=1111,1112

Х=1100011, 012 Y=11,1112

Контрольные вопросы.

  1. 1. Каковы правила сложения двоичных чисел?

  2. 2. Каковы правила вычитания двоичных чисел?

  3. 3. Каковы правила умножения двоичных чисел?

  4. 4. Каковы правила вычитания двоичных чисел?

Как добавить двоичные номера с и без перегруппировки

Введение в двоичные номера

числа, также известные как системы счисления с основанием 2, представлены двумя цифрами, а именно 0 и 1. Числа в двоичной системе счисления выглядят следующим образом: 1100011010. Каждая цифра в двоичной системе счисления известна как «бит».

Все цифровые устройства используют в своих электронных схемах двоичную систему счисления. Вход 0 указывает на состояние OFF, а вход 1 указывает на состояние On. Из-за этих реализаций двоичные системы счисления наиболее широко используются в современных компьютерных технологиях. Прочтите статью ниже, чтобы узнать, как выполнить двоичное сложение с перегруппировкой и без нее.

Они могут включать сложение, умножение, деление и вычитание. Каждая бинарная операция представлена ​​отдельным символом. Помимо использования в математике, эти операции также играют важную роль в компьютерных технологиях. Они помогают нам создавать операционные системы и схемы для различных электрических устройств, таких как компьютеры, ноутбуки, смартфоны и т. д. 

Основные двоичные арифметические операции

В этой статье мы подробно обсудим двоичное сложение вместе с примерами двоичного сложения, чтобы учащиеся могли выполнять вычисления быстрее.

Что такое двоичное сложение?

Двоичное сложение — это сумма двух или более двоичных чисел. Двоичное сложение очень похоже на десятичное сложение, даже немного проще. При десятичном сложении, если сумма двух чисел дает две цифры, мы переносим цифру в разряде десятков в следующий столбец слева. Точно так же в двоичном сложении, если сумма двух чисел больше 1, мы переносим цифру 2 в следующий столбец слева. Например, 1+ 1 = 10₂. В этом случае мы записываем цифру 1 (0) и переносим цифру 2, т. е. 1 результата, в следующий столбец слева. По этой причине бит, переносимый в следующий столбец, называется битом переноса.

Правила сложения двоичных чисел

Сложение двух двоичных чисел так же просто, как и в десятичной системе счисления. Просто мы должны принять во внимание некоторые правила при сложении двух двоичных чисел. Есть четыре-пять правил, связанных с двоичным сложением. Правила бинарного сложения следующие.

Поскольку двоичные числа включают только две цифры, то есть 0 и 1, эти четыре правила являются всеми возможными условиями для сложения двоичных чисел.

Вот пошаговая процедура сложения двух двоичных чисел с перегруппировкой и без перегруппировки.

Двоичное сложение без перегруппировки

Когда сумма двух или более двоичных цифр дает 0 или 1, то в таких случаях перегруппировка не требуется. Давайте добавим двоичные числа \[101_{2}\] и \[10_{2}\], чтобы лучше понять это.

Шаг 1. Запишите все цифры обоих двоичных чисел в отдельный столбец в соответствии с их разрядами, как показано ниже. крайний правый столбец, добавьте 1 и 0. Следуйте правилам двоичного сложения, согласно которым 1 + 0 = 1.

1 0 1

+ 1 0

………..

       1

Шаг 3. Перейдите к следующему столбцу слева, добавьте 0 и 1. Следуйте правилам двоичного сложения, которые говорят: 0 + 1 = 1.

1 0 1

+ 1 0

 ………..

     1  1

  ………..

Шаг 4: Снова переходим к следующему столбцу, видим слева осталась только одна цифра, то есть 1. Следовательно, мы можем применить правило 1 + 0 = 1.

1 0 1

+ 1 0

………..

  1  1  1

 ………. .

Следовательно, \[101_{2} +  10_{2} =  111_{2}\].

Двоичное сложение с перегруппировкой

Когда сумма двух или более двоичных цифр больше 0 или 1, то в таких случаях необходима перегруппировка. Давайте добавим двоичные числа 1001₂ и 111₂, чтобы лучше понять это.

Шаг 1: Запишите все цифры обоих двоичных чисел в отдельный столбец в соответствии с их разрядностью, как показано ниже

1 0 0 1

+ 1 1 1

………….

Шаг 2. Начиная с крайнего правого столбца, добавьте 1 и 1. Следуйте правилам двоичного сложения, согласно которым 1 + 1 = 10. Это эквивалентно 2₁₀. Следовательно, мы напишем 0 внизу, а два возьмем 1 в качестве переноса на следующее значение разряда.

       1

1 0 0 1 

+ 1  1 1

………….

           0

Шаг 3. Перейдите к следующему столбцу слева. Следуйте правилам двоичного сложения, согласно которым 1 + 0 + 1 = 10. Это снова эквивалентно 2₁₀. Следовательно, мы напишем 0 внизу, а два возьмем 1 в качестве переноса на следующее значение разряда.

   1  1

1 0 0 1 

+ 1  1 1

………….

    0  0

Шаг 4. Снова перейдите к следующему столбцу слева. Следуйте правилам двоичного сложения, согласно которым 1 + 1 + 0 = 10. Это снова эквивалентно 2₁₀.

1 1 1

1 0 0 1

+ 1 1 1

………….

  0 0  0

Шаг 5. Снова перейдите к следующему столбцу слева. Следуйте правилам двоичного сложения, согласно которым 1 + 1 + 0 = 10. Это снова эквивалентно 2₁₀. Поскольку это последний оставшийся столбец, мы не будем брать 1 в качестве переноса, вместо этого мы напишем 10 в качестве результата внизу.

  1 1 1

   1 0  0  1 

 +    1  1  1

…………….

 1  0  0  0  0

…………….

Следовательно, \[1001_{2} + 111_{2} =   10000_{2}\]

Примеры двоичного сложения с решениями

Пример 1:  

Добавить \[1010_{2} и 1111_{2}\]

Решение:     

1  1

1   0   1  0

+     1  1   1  1

——————————————

1 1  0   0  1

—————————

Пример 2:

Добавить: \[10011_{2} \, и \, 110001_{ 2}\]

Решение:

         1       1 1

            1 0 0 1 1 

    +   1 1 0 0 0 1

— 90 ————

   1  0  0  0  1  0  0

—————————- —

Практические задачи

1. Сложите двоичные числа — 11001+10111

Ответ: 0110000

2. Какова сумма 1111+0101?

Ответ: 010100

Резюме 

Двоичное сложение означает сложение более одного двоичного числа. Это то же самое, что и десятичная система, и охватывает двоичные числа 0 и 1. Для сложных и быстрых вычислений мы можем использовать преобразователи двоичного сложения. Двоичные числа и их операции используются для различных целей, например, для создания схем электрических устройств. Кроме того, эти операции широко используются в компьютерных технологиях, где 0 указывает на выключенное состояние схемы, а 1 указывает на ее включенное состояние.

Сложение и вычитание двоичных чисел

Подготовьте ответы на приведенные ниже вопросы и заполните клеточки. Нажать на кнопку, чтобы узнать, правильно ли вы ответили. Если ты прав то появится, и вы должны перейти к следующему вопросу. Если появляется, то ваш ответ неверен. Нажмите на чтобы очистить свой первоначальный ответ и попробовать еще раз. Если вы не можете найти правильный ответ, нажмите на чтобы увидеть ответ.

Вопрос 1
Вычислить двоичные числа:

(a) 11 + 1
(b) 11 + 11
(c) 111 + 11
(d) 111 + 10
(д) 1110 + 111
(е) 12 3 90 11090 +0213
(g) 1111 + 10101
(h) 1100 + 11001
(i) 1011 + 1101
(j) 1110 + 10111
(k) 1110 + 1111
(l) 11111 + 11101

Вопрос 2
Вычислить двоичные числа:

(a) 11 – 10
(b) 110 – 10
(c) 1111 – 110
(d) 100 – 10
(e) 100 – 11
(f) 1000 – 11
(g) 1101 – 110
(h) 11011 – 110
(i) 1111 – 111
(j) 110101 – 1010
(k) 11011 – 111
(l) 11110 – 111

Вопрос 3
Вычислить двоичные числа:

(a) 11 + 11
(b) 111 + 111
(c) 1111 + 1111
(d) 11111 + 11111
Каким будет следующее число, которое будет соответствовать этому шаблону?

Вопрос 4
Вычислить двоичные числа:

(a) 10 + 10
(b) 100 + 100
(c) 1000 + 1000
(d) 10000 + 10000
Какое следующее число продолжит ваш двоичный код?

Вопрос 5
Решите следующие уравнения, где все числа, включая x , являются двоичными:

(a) x + 11 = 1101 x =
(b) x – 10 = 101 x =
(в) х – 1101 = 11011 x =
(d) x + 1110 = 10001 x =
(e) x + 111 = 11110 х =
(е) х – 1001 = 11101 х = 17

218

8 Вопрос 6
Вычислить двоичные числа:

(a) 10 – 1
(b) 100 – 1
(c) 1000 – 1
(d) 10000 – 1
Каким будет следующее число, которое будет соответствовать этому шаблону?

Вопрос 7
Четырехзначное двоичное число имеет 2 нуля и 2 единицы.

(a) Преобразуйте двоичные числа 11101 и 1110 в основание 10.
и
(b) Сложите два числа по основанию 10.
(c) Сложите два двоичных числа.
(d) Преобразуйте свой ответ в основание 10 и сравните с вашим ответом на (b).

Вопрос 8
Двоичное число состоит из 8 цифр и должно быть преобразовано в основание 10.

(a) Преобразуйте двоичные числа 11101 и 10111 в основание 10.
и
(b) Вычислите разницу между двумя числами с основанием 10.
(c) Преобразуйте свой ответ на (b) в двоичное число.
(d) Вычислите разницу между двумя двоичными числами и сравните ее со своим ответом на вопрос (c).

Вопрос 9
Вот 3 двоичных числа:
1110101 1011110 1010011

Работая в двоичном формате,
(а) сложите вместе два меньших числа,
(b) сложите два больших числа,
(c) отнять наименьшее число от наибольшего,
(г) сложим все три числа.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *