Система счисления основание: Основы систем счисления / Хабр

Системы счисления

Жизнь человека невозможно представить без счета. Мы считаем постоянно – время до начала любимой передачи, сдачу в магазине, решая математические задачи. При этом для счета мы используем 10 цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Именно поэтому эту систему счисления называют десятичной – в ней 10 цифр. Комбинируя эти цифры можно получать бесконечное множество чисел. А можно ли использовать большее или меньшее количество цифр?

Конечно! Мы используем 10 цифр по простой причине – для счета удобно пользоваться пальцами рук, а у нас их 10. А вот, например, в памяти компьютера вся информация записана с помощью только двух цифр – 0 и 1. Соответственно, такая система счисления называется двоичная. Число, записанное в двоичной системе счисления можно представить в десятичной системе и наоборот. Система счисления определяет способ записи чисел и правила выполнения действий над ними. Помимо двоичной и десятичной систем счисления наиболее популярными являются

восьмеричная и шестнадцатеричная. По аналогии можно предположить, что в восьмеричной системе счисления для записи чисел используют 8 цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. А что же с шестнадцатеричной системой счисления? Ведь мы знаем только 10 цифр – от 0 до 9. А в шестнадцатеричной системе используется 16 цифр. Где взять недостающие 6 цифр? Очень просто – для записи цифр от 10 до 15 использовать… буквы A, B, C, D, E, F. И тогда число в шестнадцатеричной системе счисления можно записать используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Количество цифр, которые используются для записи чисел называется основанием системы счисления. Например, у двоичной системы счисления основание равно двум, а у восьмеричной – восьми. А совокупность всех чисел, которые используются для записи чисел называют алфавит. Эту информацию нагляднее представить в виде таблицы:

Название системы счисления	Основание системы счисления	Алфавит системы счисления
двоичная	2	0, 1
восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

А как определить в какой системе счисления записано число? Для этого после числа в нижнем индексе указывается основание системы счисления, в которой записано число.

Например,

10110₂ – число в двоичной системе счисления,

523₁₆ – число в шестнадцатеричной системе счисления,

53₈ – число в восьмеричной системе счисления,

723₁₀ – число в десятичной системе счисления.

Все системы счисления описанные выше называются позиционными. Это значит что значение цифры зависит от позиции, на которой оно находится. К примеру, возьмем два числа в десятичной системе счисления – 237 и 723. Хотя эти числа и состоят из одних цифр, но эти числа разные, так как в первом числе цифра 2 означает сотни, а во втором – десятки и т. д.

Системы счисления, в которых значение цифры не зависит от ее положения в числе называют непозиционными. Ярчайший пример такой системы – римская запись числа. Если мы рассмотрим римское число III, то увидим, что на какой бы позиции не стояла цифра I она везде означает единицу.

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую рекомендую использовать этот скрипт

Следующий урок на тему Перевод чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Автор: Александр Чернышов

основание, примеры и перевод в другие системы счисления

С того момента, как человек впервые осознал себя автономным объектом в мире, огляделся вокруг, прервав замкнутый круг бездумного выживания, он начал изучать. Смотрел, сравнивал, считал, делал выводы. Именно на этих, казалось бы, элементарных действиях, которые сейчас под силу и ребенку, начали основываться современные науки.

С чем работать будем?

Для начала необходимо определиться с тем, что вообще представляет собой система счисления. Это условный принцип записи чисел, их наглядное представление, которое упрощает процесс познания. Сами по себе числа не существуют (да простит нас Пифагор, который считал число основой мироздания). Это просто абстрактный объект, что имеет физическое обоснование лишь при вычислениях, своеобразное мерило. Цифры — объекты, из которых число составляется.

Начало

Первый осознанный счет носил самый примитивный характер. Теперь его принято называть непозиционной системой счисления. На практике она представляет собой число, в которых позиция составляющих его элементов неважна. Взять, к примеру, обыкновенные черточки, каждая из которых соответствует определенному объекту: три человека эквивалентны |||. Как ни крути, три черточки — это все те же три черточки. Если брать более близкие примеры, то древние новгородцы пользовались при счете славянским алфавитом. При необходимости выделения именно числа над буквой просто проставляли знак ~. Также буквенная система счисления была в почете у древних римлян, где числа – это опять же буквы, но принадлежащие уже латинскому алфавиту.

В силу обособленности древних держав, каждая из них развивала науку самостоятельно, кто во что горазд.

Примечателен тот факт, что альтернативная десятичная система счисления была выведена еще египтянами. Однако «родственницей» привычного нам понятия считать ее нельзя, так как принцип счета отличался: жители Египта использовали число десять как основание, оперируя степенями.

С развитием и усложнением процесса познания мира появилась потребность выделения разрядов. Представим, что нужно как-то зафиксировать численность армии государства, которая измеряется тысячами (в лучшем случае). Что ж теперь, бесконечно выписывать палочки? Из-за этого шумерские ученые тех лет выделили систему счисления, в которой месторасположение символа было обусловлено его разрядом. Опять же, пример: числа 789 и 987 имеют один и тот же «состав», но, в силу смены расположения цифр, второе существенно больше.

Что это такое — десятичная система счисления? Обоснование

Конечно, позиционность и закономерность были не едиными для всех методов подсчета. Например, в Вавилоне базой выступало число 60, в Греции — алфавитная система (число составляли буквы). Примечательно то, что метод подсчета жителей Вавилона жив и по сей день — он нашел свое место в астрономии.

Однако прижилась и распространилась та, у которой основание системы счисления — десятка, так как прослеживается откровенная параллель с пальцами человеческих рук. Посудите сами — поочередно сгибая пальцы, можно досчитаться чуть ли не до бесконечного множества.

Начало этой системе было положено в Индии, причем она появилась сразу на базе «10». Формирование названий чисел было двояким – например, 18 можно было прописать словом и как «восемнадцать», и как «без двух двадцать». Также именно индийские ученые вывели такое понятие, как «ноль», официально его появление зафиксировано в IX веке. Именно этот шаг стал основополагающим в формировании классических позиционных систем счисления, потому что ноль, несмотря на то, что символизирует пустоту, ничто, способен поддержать разрядность числа, дабы оно не потеряло свой смысл. Например: 100000 и 1. Первое число включает в себя 6 цифр, первая из которых – единица, а пять последних обозначают пустоту, отсутствие, а второе число – просто единица. По логике, они должны быть равны, но на практике это далеко не так. Нули в 100000 обозначают присутствие тех разрядов, которых во втором числе нет. Вот вам и «ничто».

Современность

Десятичная система счисления состоит из цифр от нуля до девяти. Числа, составленные в её рамках, строятся по следующему принципу:

крайняя справа цифра обозначает единицы, сместитесь на один шаг влево – получите десятки, еще шаг влево – сотни и так далее. Сложно? Ничего подобного! На самом деле, десятичная система примеры может предоставить весьма наглядные, взять хотя бы число 666. Состоит из трех цифр 6, каждая из которых обозначает свой разряд. Причем эта форма записи является свернутой. Если вы хотите подчеркнуть, о каком именно числе идет речь, то его можно развернуть, придав письменную форму тому, что «проговаривает» ваш внутренний голос каждый раз, когда вы видите число – «шестьсот шестьдесят шесть». Само написание включает в себя все те же единицы, десятки и сотни, то есть каждая цифра позиции умножается на определенную степень числа 10. Развернутая форма представляет собой следующее выражение:

666₁₀ = 6х10² + 6*10¹ + 6*10⁰ = 600 + 60 + 6.

Актуальные альтернативы

Второй по популярности после десятичной системы счисления является достаточно молодая разновидность — двоичная (бинарная). Появилась она благодаря вездесущему Лейбницу, который считал, что в особо сложных случаях в исследовании теории чисел бинарность будет удобнее, нежели десятизначность. Свое повсеместное распространение она получила с развитием цифровых технологий, так как имеет в основании число 2, и элементы в ней составляются из цифр 1 и 2.

Кодирование информации происходит в данной системе, так как 1 — наличие сигнала, 0 — его отсутствие. На основании этого принципа можно показать несколько наглядных примеров, демонстрирующих перевод в десятичную систему счисления.

С течением времени процессы, связанные с программированием, усложнялись, поэтому ввели способы записи чисел, у которых в основании лежат 8 и 16. Почему именно они? Во-первых, количество знаков больше, а значит, само число будет короче, во-вторых — в их основе лежит степень двойки. Восьмеричная система состоит из цифр 0-7, а шестнадцатеричная — из тех же цифр, что и десятичная, плюс буквы от A до F.

Принципы и методы перевода числа

Перевести в десятичную систему счисления просто, достаточно придерживаться следующего принципа: исходное число записывается как многочлен, который состоит из сумм произведений каждого числа на основу «2», возведенную в соответствующую разрядности степень.

Основная формула для вычисления:

_x2 = y_k2^k-1 + y_k-12^k-2 + y_k-22^k-3 + …+ y₂2¹ + y₁2⁰.

Примеры перевода

Для закрепления рассмотрим несколько выражений:

101111₂ = (1×2⁵) + (0x2⁴) + (1×2³) + (1×2²) + (1×2¹) + (1×2⁰) = 32 + 8 + 4 + 2 + 1 = 47₁₀.

Усложним задачу, ибо система включает в себя перевод и дробных чисел, для этого рассмотрим отдельно целую и отдельно дробную часть — 111110,11_2. Итак:

111110,11₂ = (1×2⁵) + (1×2⁴) + (1×2³) + (1×2²) + (1×2¹) + (0x2⁰) = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 = 62₁₀;

11₂ = 2^-1x1 + 2^-2x1 = 1/2 + 1/4 = 0,75_10.

В итоге получаем, что 111110,11₂ = 62,75₁₀.

Вывод

Несмотря на всю «древность», десятичная система счисления, примеры которой мы рассмотрели выше, все еще «на коне», и списывать ее со счетов не стоит. Именно она становится математической основой в школе, на ее примере познаются законы математической логики, выводится умение строить выверенные взаимосвязи. Да что уж там — практически весь мир пользуется именно этой системой, не смущаясь ее неактуальностью. Причина для этого одна: она удобная. В принципе, вывести основу счета можно любую, ею при необходимости станет даже яблоко, но зачем усложнять? Идеально выверенное количество цифр при необходимости и по пальцам пересчитать можно.

Базовый преобразователь | преобразование чисел

Базовый преобразователь | преобразование чисел

Главная›Конвертация›Преобразование чисел›Базовый преобразователь

• Базовый калькулятор
• Базовый преобразователь

Преобразование числа из любого основания в любое:

Введите номер

С базы 2 (двоичный)345678 (восьмеричный)910 (десятичный)111213141516 (шестнадцатеричный)1718192021222324252627282930313233343536

На базу 2 (двоичный)345678 (восьмеричный)910 (десятичный)111213141516 (шестнадцатеричный)1718192021222324252627282930313233343536

Номер результата

Вычисление

Десятичное вычисление:

Десятичное вычисление:

Разделите на основание, чтобы получить цифры из остатков:

Деление	Частное	Остаток (Цифра)	Цифра #

Базовый калькулятор ►

Преобразование из любой базы в любую

1. Преобразование из исходной базы в десятичную (основание 10) путем умножения каждой цифры на основание, возведенное в степень числового числа (начиная с правой цифры числа 0 ):

   десятичное число = ∑(цифра × основание ^{цифра число} )

2. Преобразование десятичного числа в целевое основание: разделите десятичное число на основание, пока частное не станет равным 0, и каждый раз вычисляйте остаток. Базовые цифры назначения — это рассчитанные остатки.

Базовый калькулятор ►

 

---

См. также

• Базовый калькулятор
• Двоичный/шестнадцатеричный калькулятор
• Системы счисления
• Преобразователь шестнадцатеричных/десятичных/восьмеричных/двоичных битов
• Преобразователь двоичного кода в шестнадцатеричный
• Преобразователь шестнадцатеричного кода в десятичный
• Преобразование номера

Напишите как улучшить эту страницу

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЧИСЛА

• Преобразование текста ASCII в двоичный код
• Преобразователь текста ASCII в шестнадцатеричный
• Базовый преобразователь
• Двоичный преобразователь
• Преобразователь двоичного текста в текст ASCII
• Преобразователь двоичного кода в десятичный
• Преобразователь двоичного кода в шестнадцатеричный
• Преобразователь даты в римские цифры
• Преобразователь десятичной дроби в дробную
• Конвертер десятичных чисел в проценты
• Преобразователь десятичной системы в двоичную
• Преобразователь десятичного числа в восьмеричное
• Преобразователь десятичного числа в шестнадцатеричный
• Преобразователь градусов в градусы, минуты, секунды
• Перевод градусов,мин,сек в градусы
• Перевод градусов в радианы
• Преобразователь дроби в десятичную
• Конвертер дробей в проценты
• Шестнадцатеричный/десятичный/восьмеричный/двоичный преобразователь
• Преобразователь текста Hex в ASCII
• Преобразование шестнадцатеричного кода в двоичный код
• Преобразование шестнадцатеричного кода в десятичный
• Преобразование восьмеричных чисел в десятичные
• Преобразователь процентов в десятичные числа
• Преобразование процентов в дроби
• Преобразование процентов в ppm
• частей на миллион в процентах
Преобразование
• ppm в ppb
Преобразование
• ppm в ppt
Преобразование
• ppb в ppm
Преобразование
• ppt в ppm
Преобразователь
• частей на миллион
• Радиан в градусы конвертер
• Преобразователь римских цифр
• Конвертер научных обозначений

RAPID TABLES

• Рекомендовать сайт
• Отправить отзыв
• О

Искусство решения проблем

Чтобы понять понятие основных чисел , мы рассмотрим нашу собственную систему счисления. Мы используем десятичную или десятичную систему счисления. Чтобы объяснить, что это значит, рассмотрим число 2746. Это число можно переписать как

. Обратите внимание, что каждое число в 2746 на самом деле просто заполнитель, который показывает, сколько существует определенной степени 10. Первая цифра слева от запятой (напомним, что десятичная запятая стоит справа от 6, т. е. 2746,0) говорит нам, что есть шесть, вторая цифра говорит нам, что есть четыре, третья цифра говорит нам, что есть семь, а четвертая цифра говорит нам, что есть два.

В базе 10 используются цифры 0-9. Обычно основание или 90 173 системы счисления 90 174 числа обозначается как нижний индекс, написанный в правом конце числа (например, в нашем примере выше, 10 — это система счисления).

Содержание

• 1 Базовый номер Темы
• 2 История
• 3 Примеры проблем
  • 3.1 Новичок
  • 3.2 Промежуточный уровень
• 4 Ресурсы
  • 4. 1 Книги
  • 4.2 Классы
• 5 См. также

Темы базовых номеров

• Общие базы
• Преобразование между базами
• Неправильное основание дроби

История

Основание 10 — очевидно очевидная система счета, потому что у людей 10 пальцев. Исторически сложилось так, что разные общества использовали другие системы. Известно, что вавилонские культуры использовали основание 60; Вот почему мы говорим, что в круге 360 градусов, и (проверка фактов на этот раз) почему мы считаем 60 минут в часе и 60 секунд в минуте (они могли использовать это, потому что у него так много кратных, 12 в на самом деле, нам не нужны никакие дроби). Римская система, в которой вообще не было базовой системы, использовала определенные буквы для обозначения определенных значений (например, I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M= 1000). Представьте, как сложно было бы умножить LXV на MDII! Вот почему введение

Арабская система счисления с основанием 10 произвела революцию в математике и естественных науках в Европе.