Числовые ряды — онлайн калькулятор.
Числовой ряд — это выражение вида
где члены ряда
действительные или комплексные числа, общий член ряда.
Ряд задан, если известен общий член ряда un, выраженный как функция его номера n:
n-я частичная сумма ряда — это сумма первых n членов ряда
Рассмотрим следующие суммы:
Ряд сходится, если существует конечный предел
последовательности частичных сумм ряда.
Предел называется суммой ряда
Ряд расходится, если
не существует или равен бесконечности.
Примеры
Покажем, что сумма данного ряда равна единице. Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:
Вычислим коэффициенты А и В:
Составим n-ю частичную сумму ряда:
Вычислим предел последовательности частичных сумм:
Свойство 1.
Если ряд
сходится и его сумма равна S, то ряд
где с — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.2) расходится и
, то и ряд (1.3) расходится.
Доказательство
Так как существует конечный предел частичных сумм, то ряд (1.3) сходится и имеет сумму cS.
2. Покажем, что если ряд (1.2) расходится,
, то и ряд (1.3) расходится. Допустим противное: ряд (1.3) сходится и имеет сумму
Тогда
откуда
т. е. ряд (1.2) сходится, что противоречит условию о расходимости данного ряда.
Свойство 2. Если сходится ряд (1.2) и сходится ряд
а их суммы соответственно равны
то сходятся и ряды
причем сумма каждого равна S1 ± S2.
Доказательство
Пусть
n-е частичные суммы рядов (1.
2), (1.4), (1.5) соответственно. Тогда
т. е. каждый из рядов (1.5) сходится и сумма его равна S1 ± S2.
Следствие Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
Замечание Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.
Свойство 3. Если к ряду (1.2) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1.2) сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство Пусть S — сумма отброшенных членов ряда, k — наибольший из этих номеров.
Будем считать, что на место отброшенных членов ряда поставим нули. Тогда при n > k будет выполняться равенство
где n-я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1.2) пу- тем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому
Пределы в левой и правой части данного равенства одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (1.2) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.
Аналогично в случае приписывания к ряду конечного числа членов.
Ряд вида
называется n-м остатком ряда (1.2), который получается из ряда (1.2) отбрасыванием его n первых членов.
Согласно свойству 3: 1) ряд (1.2) и его остаток одновременно либо сходятся, либо расходятся; 2) если ряд (1.2) сходится, то его остаток
при стремится к нулю, то есть
Ряды с комплексными членами — Различные темы математики (Математика)
Ряды с комплексными членами.
19.3.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.
19.3.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел . Действительную часть числа будем обозначать , мнимую — (т.е. .
Числовой ряд — запись вида .
Частичные суммы ряда:
Определение.
Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут или .
Найдём действительные и мнимые части частичных сумм: , где символами и обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Выпишем несколько значений выражения : дальше значения периодически повторяются. Ряд из действительных частей: ; ряд из мнимых частей ; оба ряда сходятся (условно), поэтому исходный ряд сходится.
19.3.1.2. Абсолютная сходимость.
Определение.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из абсолютных величин его членов.
Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, можно доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Ряд — ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки ( от теорем сравнения до интегрального признака Коши).
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Составим ряд из модулей (): . Этот ряд сходится (признак Коши ), поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
19.1.3.4. Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:
Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .
Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.
Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .
Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.
Сходящиеся ряды (А) и (В) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна .
Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.
Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.
Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим сумма и , то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна .
19.3.2. Степенные комплексные ряды.
Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида
,
где — постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), — фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости — точку . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.
Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то
1. он абсолютно сходится в любой точке круга ;
2. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству (т.
е. находящейся дальше от точки , чем ).
Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.
Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг — кругом сходимости. В точках границы этого круга — окружности радиуса R с центром в точке — ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид . Возможны такие случаи:
1. Ряд сходится. В этом случае в любой точке окружности ряд сходится абсолютно.
2. Ряд расходится, но его общий член . В этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других — расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования.
Вместе с этой лекцией читают «7.
1 Кочевники Южной Сибири в средние века».
3. Ряд расходится, и его общий член не стремится к нулю при . В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности.
Примеры.
1. . Ряд из модулей: . Признак Даламбера: . Радиус и круг сходимости определены. На границе круга сходимости — окружности — ряд из модулей сходится, следовательно, исходный ряд абсолютно сходится в любой точке этой окружности.
2. . Ряд из модулей: . Признак Коши: .
На границе круга ряд из модулей имеет вид . Предел общего члена , поэтому ряд расходится в любой точке граничной окружности.
3. . Ряд из модулей: . Признак Даламбера: . На границе круга сходимости ряд из модулей расходится (интегральный признак Коши), однако общий член , поэтому в различных точках ряд может и сходиться, и расходится. Так, в точке ряд имеет вид и, как ряд Лейбница, сходится условно; в точке ряд имеет вид , следовательно, расходится.
тестов на сходимость — Криста Кинг Математика | Онлайн-помощь по математике
Сообщения с тегами конвергентные тесты Как найти сумму телескопического ряда Телескопические ряды — это ряды, в которых исключаются все члены, кроме первого и последнего.
Если вы подумаете о том, как схлопывается сам длинный телескоп, вы сможете лучше понять, как аннулируется середина серии телескопов. Чтобы определить, является ли ряд телескопическим, нам нужно вычислить хотя бы несколько первых членов, чтобы увидеть, начинают ли средние члены сокращаться друг с другом.Читать далее
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление II, исчисление 2, исчисление II, последовательности и ряды, последовательности, ряды, бесконечные ряды, телескопические ряды, сумма телескопический ряд, сумма телескопического ряда, тесты на сходимость, тесты на сходимость
Мы можем использовать тест p-серии на сходимость, чтобы сказать, будет ли a_n сходиться.
Тест p-серии говорит, что a_n будет сходиться, когда p>1, но что a_n будет расходиться, когда p≤1. Ключ в том, чтобы убедиться, что данный ряд соответствует указанному выше формату для p-ряда, а затем посмотреть на значение p, чтобы определить сходимость.
Читать далее
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление ii, p-серия, тест p-серии на конвергенцию, конвергенция или дивергенция, тесты конвергенции, тесты на конвергенцию, последовательности и серии, последовательности, серии, бесконечные серии
Как использовать тест n-го члена для дивергенции Когда члены ряда уменьшаются до 0, мы говорим, что ряд сходится. В противном случае ряд расходится. Тест n-го члена вдохновлен этой идеей, и мы можем использовать его, чтобы показать, что ряд расходится.
По иронии судьбы, хотя тест n-го члена является одним из тестов сходимости, который мы изучаем, когда изучаем последовательности и ряды, он может только проверять дивергенцию, но никогда не может подтвердить конвергенцию.
Читать далее
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление 2, исчисление 2, исчисление 2, последовательности и ряды, последовательности, ряды, бесконечные ряды, тест n-го члена, тест на расхождение , нулевой тест, тесты на сходимость, тесты на сходимость
Тест отношений для сходимости позволяет нам определить сходимость или расхождение ряда a_n с использованием предела L. Как только мы находим значение для L, тест отношений говорит нам, что ряд сходится абсолютно, если L<1, и расходится, если L >1 или если L бесконечно.
Тест неубедительный, если L=1. Тест отношения используется чаще всего, когда наш ряд включает факториал или что-то, возведенное в энную степень.
Читать далее
Учим математикуКриста Кинг математика, учиться онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление II, исчисление 2, исчисление II, последовательности и ряды, последовательности, ряды, бесконечные ряды, сходимость ряда, тесты сходимости, тесты для сходимость, сходимость или дивергенция, тест сходимости факториалов, абсолютная сходимость
Как использовать тест переменного ряда для определения сходимости Признак сходимости чередующихся рядов позволяет определить, является ли знакопеременный ряд сходящимся или расходящимся. Когда мы используем тест переменного ряда, нам нужно убедиться, что мы отделяем ряд a_n от части (-1) ^ n, которая делает его чередующимся.
Читать далее
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление II, исчисление 2, исчисление II, последовательности и ряды, последовательности, ряды, исчисление с одной переменной, чередующиеся ряды, чередующиеся ряды тест, конвергенция, дивергенция, конвергенция или дивергенция, тесты конвергенции, определение конвергенции
Сходимость телескопического рядаТелескопические ряды — это ряды, в которых исключаются все члены, кроме первого и последнего. Если вы подумаете о том, как схлопывается сам длинный телескоп, вы сможете лучше понять, как аннулируется середина серии телескопов.
Читать далее
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление ii, исчисление 2, исчисление ii, последовательности, ряды, последовательности и ряды, бесконечные ряды, телескопические ряды, сходимость телескопический ряд, сходимость или дивергенция, тесты на сходимость
Интегральный тест на сходимость или расхождениеИнтегральный критерий сходимости действителен только для рядов, которые 1) Положительны : все члены ряда положительны, 2) Убывающие : каждый член меньше предыдущего, a_(n-1 )> a_n и 3) Continuous : серия определена везде в своей области. Интегральный тест говорит нам, что если интеграл сходится, то и ряд сходится. Но если интеграл расходится, то расходится и ряд.
Читать далее
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление 2, исчисление 2, исчисление ii, последовательности, ряды, последовательности и ряды, бесконечные ряды, интегральный тест, интегральный тест для сходимость, сходимость и дивергенция, тесты сходимости
Определение абсолютной и условной сходимости с использованием корневого тестаСходимость или расходимость ряда зависит от значения L. Ряд сходится абсолютно, если L<1, расходится, если L>1 или если L бесконечно, и неокончательный, если L=1. Корневой тест используется чаще всего, когда наша серия включает что-то, возведенное в n-ю степень.
Читать далее
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 2, исчисление II, исчисление 2, исчисление II, последовательности и ряды, последовательности, ряды, абсолютная сходимость, условная сходимость, абсолютная и условная сходимость, корневой тест, корневой тест на сходимость, сходимость и дивергенция, тесты на сходимость
Корневой тест на сходимость Корневой критерий чаще всего используется, когда в ряд входит нечто, возведенное в n-ю степень.
Сходимость или расходимость ряда зависит от значения L. Ряд сходится абсолютно, если L<1, расходится, если L>1 (или L бесконечно), и корневой тест неубедителен, если L=1.
Читать далее
Учим математикуКриста Кинг математика, учиться онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление II, исчисление 2, исчисление II, последовательности, ряды, последовательности и ряды, бесконечные ряды, тесты сходимости, тесты на сходимость, корневой тест, корневой тест для сходимость, абсолютная сходимость, проверка корней неубедительна, исчисление 2
Использование сравнительного теста для определения сходимости или расхождения Сравнительный критерий сходимости позволяет определить сходимость или расхождение заданного ряда по сравнивает с аналогичной, но более простой серией сравнения.
Обычно мы пытаемся найти ряд сравнения, который является геометрическим или p-рядом, поскольку очень легко определить сходимость геометрического или p-ряда.
Читать далее
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление II, исчисление 2, исчисление II, вычисление 2, последовательности, ряды, последовательности и ряды, тесты сходимости, сравнительный тест, сравнительный тест для сходимость, сходимость, расходимость, сходится, расходится, ряд сравнения, нахождение ряда сравнения, ряд сравнения 9п}???
, то мы можем использовать тест p-серии на сходимость, чтобы сказать, является ли ???a_n??? сойдутся. Тест p-серии говорит, что
???a_n??? будет сходиться, когда ???p>1???
???a_n??? будет расходиться, когда ???p\le1???
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Ключ в том, чтобы убедиться, что данная серия соответствует указанному выше формату для p-серии, а затем посмотреть на значение ???p??? определить сходимость.
Как использовать тест серии p для определения сходимости?
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Давайте сделаем еще пару примеров, где мы определяем сходимость или расхождение с помощью теста p-серии
Пример 9{\ гидроразрыва {1} {2}}}???
В этом формате мы видим, что ???p=1/2???. Тест p-серии говорит нам, что ???a_n??? расходится при ???p\le1???, поэтому можно сказать, что этот ряд расходится.
Давайте попробуем второй пример.
Ключ в том, чтобы убедиться, что данный ряд соответствует указанному выше формату для p-ряда, а затем посмотреть на значение p, чтобы определить сходимость.