Разное

Re im комплексные числа: 1.4.1. Понятие комплексного числа

Содержание

Комплексные числа

       
 
1.Понятие комплексного числа.
2.Тригонометрическая форма комплексного числа.

 

   
     
  19 20 21 22 23 24 25 26 27  
     
   

1.Понятие комплексного числа.

   Выражение вида z = x + iy называется комплексным числом.

   Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Re(z), число y — мнимой частью комплексного числа z и обозначается Im(z). Числа z = x + iy и z1 = x — iy называются сопряженными. Если равны действительные и мнимые части комплексного числа, то они называются равными т.е. z1 = z2 или x1 + iy1 = x2 + iy2.

Операции над комплексными числами.

 
 

   1. Сумма (разность) комплексных чисел.

z1+z2 = x1+x2+i(y1+y2).

   2. Произведение комплексных чисел.

z1z2 = (x1x2 — y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

отсюда

i² = (0 + i1)(0 + i1) = (0 -1) + i(0 + 0) = -1.

3. Деление двух комплексных чисел.

 
 

   Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат Oxy.

   Каждому комплексному числу Z = x + iy ставится в соответствие единственная точка плоскости z(xy). Плоскость Oxy, где каждая точка отождествлена с комплексным числом, называется комплексной.

   Координатные оси Ox и Oy, на которых расположены действительные и мнимые числа, называются действительной и мнимой осями.

 
 
         
   

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

 
 
 

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

  2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

 
     
 
 

2.Тригонометрическая форма комплексного числа.

   До любой точки комплексной плоскости из начала координат можно провести вектор определенной длины r. Число r называется модулем комплексного числа z и обозначается |z|.

 
   
 

     Угол ϕ, образованный между вектором и осью Ox, называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z. Из значения ϕ = Arg z выделяется главное значение arg z, которое кратно 2π.

             ϕ = Arg z = arg z + 2kπ              где 0≤ argz < 2π

   Таким образом: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.

Следовательно, комплексное число z = x + iy можно представить как:

 
 
 
 

   Представление комплексного числа в такой форме, где r = |z| ≥ 0, ϕ = Arg z, называется тригонометрической формой комплексного числа.

 
 
  Пример.  
   
         
         
   
     
  19 20 21 22 23 24 25 26 27  
 

Знакомство с комплексными числами на примерах

Тема «Комплексные числа» зачастую вызывает затруднения у учащихся, а ведь на самом деле в них нет ничего страшного, как может показаться на первый взгляд.

Итак, сейчас мы разберем и рассмотрим на простых примерах, что такое комплексное число, как обозначается и из чего состоит. Выражение z = a + bi называется комплексным числом. Это единое число, а не сложение.

Пример 1: z = 6 + 4i

Из чего состоит комплексное число?

Комплексное число имеет действительную и мнимую часть в своем составе.

Число a называется действительной частью комплексного числа и обозначается a = Re (z). А вот то, что стоит вместе с буквой i — т.е. число b называется коэффициентом мнимой части комплексного числа и обозначается b = Im (z). Вместе bi образуют мнимую часть комплексного числа.

Нетрудно догадаться и легко запомнить, что сокращение «Re» происходит от слова «Real» — реальная, действительная часть. Соответственно, «Im» является сокращением слова «Imaginary» — мнимая, воображаемая часть.

Пример 2: z = 0,5 + 9i. Здесь действительная часть a = Re (z) = 0,5, а мнимая часть b = Im (z) = 9i

Пример 3: z = -5 + 19i. Здесь действительная часть a = Re (z) = -5, а мнимая часть b = Im (z) = 19.

Чисто мнимое комплексное число

Комплексное число, в котором нет действительной части, т.е. Re (z) = 0, называется чисто мнимым.

Пример 4: z = 2i. Действительная часть отсутствует, a = Re (z) = 0, а мнимая часть b = Im (z) = 2.

Пример 5. z = -8i. Здесь мнимая часть b = Im (z) = -8, действительная часть a = Re (z) = 0.

Сопряженные комплексные числа

Комплексно-сопряженное число обозначается «зэт» с чертой и используется, к примеру, для нахождения частного двух комплексных чисел, проще говоря — для реализации деления чисел. Те, кто сейчас задумался, вам сюда — читать про деление комплексных чисел.

Числа называются комплексно-сопряженными, имеют одинаковые действительные части и различаются лишь знаком мнимых частей. Рассмотрим пример:

Пример 6. Комплексно сопряженным к числу z = 7 + 13i является число .

Мнимая единица комплексного числа

И наконец поговорим про букву i. Та самая буква, которая образует в комплексном числе мнимую составляющую. Даже если перед нами выражение z = 5, это просто значит, что мнимая часть данного числа равна нулю, а действительная равна пяти.

Величина i называется мнимой единицей.

Мнимая единица пригодится при решении квадратных уравнений в случае, когда дискриминант меньше нуля. Мы привыкли считать, что если он отрицательный, решения нет, корней нет. Это не совсем корректно. Корни существуют, просто они комплексные. Но об этом позже. А теперь, переходим к следующей статье по изучению комплексных чисел, узнаем же, как посчитать произведение комплексных чисел.

Комплексные числа


Комплексный номер

Комплексное число представляет собой комбинацию
Действительного числа и Воображаемого числа

 

Реальные числа — это такие числа, как:

1 12,38 −0,8625 3/4 √2 1998

Почти любое число, которое вы можете придумать, является действительным числом!

Мнимые числа, когда в квадрате дают отрицательный результат .

Обычно этого не происходит, потому что:

  • когда мы возводим в квадрат положительное число, мы получаем положительный результат, а
  • , когда мы возводим в квадрат отрицательное число, мы также получаем положительный результат (поскольку отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительный результат), например, −2 × −2 = +4

Но представьте, что такие числа существуют, потому что они нам нужны.

Поговорим еще о мнимых числах…

«Единичное» мнимое число (например, 1 для действительных чисел) равно i, которое является квадратным корнем из −1

Потому что, возведя i в квадрат, мы получим −1

i 2 = −1

Примеры мнимых чисел Номера:

3i 1.04i −2,8i 3i/4 (√2)я 1998i

И мы держим здесь маленькую букву «i», чтобы напомнить себе, что нам нужно умножить на √−1

Комплексные числа

Когда мы объединяем действительное число и мнимое число, мы получаем комплексное число :

.

Примеры:

1 + я 39 + 3i 0,8 − 2,2i −2 + πi √2 + i/2

 

Может ли число быть комбинацией двух чисел?

Можем ли мы составить число из двух других чисел? Мы можем точно!

Мы постоянно делаем это с дробями. Дробь 3 / 8 — это число, состоящее из 3 и 8. Мы знаем, что это означает «3 из 8 равных частей».

Комплексное число — это всего лишь два числа, сложенные вместе (действительное и мнимое число).

Любая часть может быть равна нулю

Итак, у комплексного числа есть действительная и мнимая части.

Но любая часть может быть 0 , поэтому все действительные числа и мнимые числа также являются комплексными числами.

Комплексный номер Реальная часть Воображаемая часть  
3 + 2i 3 2  
5 5 0 Чисто настоящий
−6i 0 −6 Чисто воображаемый

Сложно?

Комплекс , а не означает сложный.

Это означает, что два типа чисел, действительные и мнимые, вместе образуют комплекс , точно так же, как комплекс зданий (здания, соединенные вместе).

Визуальное объяснение

Вы знаете, как идет числовая линия влево-вправо ?

Хорошо, пусть мнимые числа идут вверх-вниз :

И получаем Сложный Самолет

Комплексное число теперь может отображаться в виде точки:


Комплекс № 3+4 i

Добавление

Чтобы сложить два комплексных числа, складываем каждую часть отдельно:

(а+б я ) + (с+г я ) = (а+с) + (б+г) я

Пример: добавьте комплексные числа

3 + 2 i и 1 + 7 i
  • добавьте действительные числа и
  • добавить мнимые числа:

(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 7) i
= 4 + 9i

Попробуем еще:

Пример: добавьте комплексные числа

3 + 5 i и 4 − 3 i

(3 + 5 I ) + (4 — 3 I )
= 3 + 4 + (5 — 3) I
= 7 + 2 I

.

На комплексной плоскости это:

Умножение

Чтобы умножить комплексные числа:

Каждая часть первого комплексного числа умножается на
каждая часть второго комплексного числа

Просто используйте «FOIL», что означает » F первоначальных, O маточных, I внутренних, L астровых» (подробнее см. Биномиальное умножение):

i i

0 i − bd   (потому что i 2 = −1)

 = (ac − bd) + (ad + bc) i   (собирая подобные термины)

И здесь у нас есть (ac − bd) + (ad + bc) i  шаблон.

Это правило, безусловно, быстрее, но если вы его забудете, просто запомните метод FOIL.

Попробуем i

2

Ради интереса воспользуемся методом вычисления i 2

Пример: i

2

Мы можем записать i с действительной и мнимой частями как 0 + i

i 2 = (0 + i) 2

 = (0 + i)(0 + i )

 = (0×0 − 1×1) + (0×1 + 1×0) i

 = −1 + 0 i

 = −1

И это хорошо согласуется с определением, что я 2 = −1

Так все замечательно работает!

Дополнительные сведения см. в разделе Умножение комплексных чисел.

Конъюгаты

Через минуту нам нужно будет узнать о конъюгатах!

В сопряжении мы меняем знак в середине следующим образом:

Спряжение часто пишется с чертой над ним:

Пример:

5 − 3 i   =   5 + 3 i

Разделение

Конъюгат используется для облегчения сложного деления.

Хитрость заключается в том, чтобы умножить верхнее и нижнее на сопряженное нижнее .

Пример: Do This Division:

2 + 3 I 4 — 5 I

Умножение верхней и нижней 4 − 5 i × 4 + 5 i 4 + 5 I = 8 + 10 I + 12 I + 15 I 2 16 + 20 I — 20 I — 25 I 666995595959559559559559559559559595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959595959н.

Теперь помните, что I 2 = −1, так:

= 8 + 10 I + 12 I — 15 16 + 200009 I — 20 I + 25 9000

Добавьте условия «Нравится» (и обратите внимание, как внизу 20 i − 20 i Отменить!):

= −7 + 22 I 41

Наконец, мы должны поместить ответ в A + B I Форма:

= —7 41

+ — 7 41 + — 7 41 + —7 41 + —7 419 41952 + — 7 4110 41952 = —7 4110 4106. 22 41 i

ГОТОВО!

Да, нужно немного посчитать. Но это можно сделать.

Умножение на сопряженное

Однако есть более быстрый способ.

В предыдущем примере интересно было то, что произошло внизу:

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 + 20 i — 20 i — 25 i 2

Средние члены (20 i − 20 i ) сокращаются:

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 — 25 i 2

Также i 2 = −1 :

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 16 + 25

А 16 и 25 — это (магически) квадраты 4 и 5:

(4 — 5 i )(4 + 5 i ) = 4 2 + 5 2

Довольно простой результат. Общее правило:

(a + b i ) (a − b i ) = a 2 + b 2

Это может сэкономить нам время при делении, например:

Пример: попробуем еще раз

2 + 3 i 4 − 5 i

Умножить верх и низ на сопряженное число 4 − 5 I :

2 + 3 I 4 — 5 I × 4 + 5 I 4 + 5 + = 8 + 1099999999999911110 = 8 + 109. 19999999999910 . I + 15 I 2 16 + 25

= −7 + 22 I 41

, а затем обратно в A + B I :

9 40002 = = = = x = x . 7 41 + 22 41 я

ГОТОВО!

 

Обозначение

Мы часто используем z для комплексного числа. И Re() для действительной части и Im() для мнимой части, например:

Что выглядит на комплексной плоскости так:

 

Набор Мандельброта

  • Первые: a × c
  • Внешний: a × d i
  • Внутренние: b i × c
  • Колодки: b i × d i

(A + B I ) (C + D I ) = AC + AD I + BC I + BD I 2 9006 I 2

I 2 I 2 3.

Вот так:

Пример: (3 + 2i)(1 + 7i)

(3 + 2i)(1 + 7i) = 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i

 = 3 + 21i + 2i + 14i 2

= 3 + 21i + 2i − 14 (поскольку i 2 = −1)

 = −11 + 23i

А это:

Пример: (1 + i)

2

(1 + i)(1 + i)= 1×1 + 1×i + 1×i + i 2

 = 1 + 2i − 1  (потому что i 2 = −1)

 = 0 + 2i

Но есть более быстрый способ!

Используйте это правило:

(a+b i )(c+d i ) = (ac−bd) + (ad+bc) i

Пример: (3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i

Почему это правило работает?

Это просто метод «ФОЛЬГА» после небольшой работы:

(a+b i )(c+d i ) =ac + ad i + bc i + bd i 2  метод FOIL

Прекрасное множество Мандельброта (на фото) основано на комплексных числах.

Это график того, что происходит, когда мы берем простое уравнение z 2 + c (оба комплексных числа) и возвращаем результат обратно в z снова и снова.

Цвет показывает, как быстро растет z 2 + c , а черный означает, что он остается в определенном диапазоне.

Вот изображение, полученное путем увеличения множества Мандельброта

А вот центр предыдущего увеличен еще больше:

 

440, 1070, 273, 1071, 1072, 443, 3991, 271, 3992, 3993

Комплексное число — определение, формула, свойства, примеры

Комплексные числа помогают найти квадратный корень из отрицательных чисел. Концепция комплексных чисел была впервые упомянута в I веке греческим математиком Героем Александрийским, когда он пытался найти квадратный корень из отрицательного числа. Но он просто изменил отрицательное значение на положительное и просто взял числовой корень. Кроме того, реальная идентичность комплексного числа была определена в 16 веке итальянским математиком Джероламо Кардано в процессе нахождения отрицательных корней кубических и квадратичных полиномиальных выражений.

Комплексные числа находят применение во многих научных исследованиях, обработке сигналов, электромагнетизме, гидродинамике, квантовой механике и анализе вибрации. Здесь мы можем понять определение, терминологию, визуализацию комплексных чисел, свойства и операции с комплексными числами.

1. Что такое комплексные числа?
2. График комплексных чисел
3. Свойства комплексных чисел
4. Операции над комплексными числами
5. Алгебраические тождества комплексных чисел
6. Решенные примеры
7. Практические вопросы
8. Часто задаваемые вопросы о комплексных числах

Что такое комплексные числа?

Комплексное число – это сумма действительного числа и мнимого числа. Комплексное число имеет вид a + ib и обычно обозначается буквой z. Здесь и a, и b – действительные числа. Величина «а» называется действительной частью, которая обозначается Re(z), а «b» называется мнимой частью Im(z). Также ib называют мнимым числом.

 

 

 

 

Примерами комплексных чисел являются \(2+3i, -2-5i, \,\,\dfrac 1 2 + i\dfrac 3 2\) и т. д.

Степень i

Алфавит i называется йотой и полезен для представления мнимой части комплексного числа. Кроме того, йота (i) очень полезна для нахождения квадратного корня из отрицательных чисел. У нас есть значение i 2  = -1, и оно используется для нахождения значения √-4 = √i 2 4 = + 2i Значение i 2  = -1 является основным аспектом комплексного числа. Давайте попробуем понять больше о возрастающих силах i.

  • я = √-1
  • i 2  = -1
  • i  = i.i 2  = i(-1) = -i
  • i 4  = (i 2 ) 2  = (-1) 2  = 1
  • i 4n  = 1
  • я 4n + 1  = я
  • i 4n + 2  = -1
  • i 4n + 3  = -i

График комплексных чисел

Комплексное число состоит из действительной и мнимой частей, которые можно рассматривать как упорядоченную пару (Re(z), Im(z)) и представлять в виде точек координат на евклидовой плоскости. Евклидова плоскость применительно к комплексным числам называется комплексной плоскостью или Плоскостью Аргана, названной в честь Жана-Роберта Аргана. Комплексное число z = a + ib представлено действительной частью — a относительно оси x и мнимой частью -ib относительно оси y. Давайте попробуем понять два важных термина, относящихся к представлению комплексных чисел на аргановой плоскости. {-1}\frac{b}{a}\). 9{-1}\frac{b}{a}\)).

Свойства комплексного номера

Следующие свойства комплексных чисел помогают лучше понять комплексные числа, а также выполнять различные арифметические операции над комплексными числами.

Сопряжение комплексного числа

Сопряжение комплексного числа образуется путем взятия той же действительной части комплексного числа и замены мнимой части комплексного числа на ее аддитивную обратную. Если сумма и произведение двух комплексных чисел являются действительными числами, то они называются сопряженными комплексными числами. Для комплексного числа z = a + ib его сопряженным является \(\bar z\) = a — ib.

Сумма комплексного числа и его сопряженного равна \(z + \bar z\)  = (a + ib) + (a — ib) = 2a, а произведение этих комплексных чисел \(z.\bar z \) = (a + ib) × (a — ib) = a 2  + b 2 .

Обратная величина комплексного числа

Обратная величина комплексных чисел полезна в процессе деления одного комплексного числа на другое комплексное число. {-1}\).

Равенство комплексных чисел

Равенство комплексных чисел аналогично равенству действительных чисел. Два комплексных числа \(z_1 = a_1 + ib_1\) и \(z_2 = a_2 + ib_2 \) называются равными, если относительная часть обоих комплексных чисел равна \(a_1 = a_2\),  и мнимая части обоих комплексных чисел равны \(b_1 = b_2 \). Кроме того, два комплексных числа в полярной форме равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину, а их аргумент (угол) отличается на целое кратное 2π.

Упорядочивание комплексных чисел

Упорядочивание комплексных чисел невозможно. Действительные числа и другие связанные системы счисления можно упорядочить, но нельзя упорядочить комплексные числа. Комплексные числа не имеют структуры упорядоченного поля, и нет упорядоченности комплексных чисел, совместимой со сложением и умножением. Также нетривиальная сумма квадратов в упорядоченном поле есть число \(\neq 0\), а в комплексном числе нетривиальная сумма квадратов равна i 2  + 1 2  = 0. Комплексные числа можно измерить и представить на двумерной арграндовой плоскости по их величине, которая является расстоянием от начала координат.

Формула Эйлера: В соответствии с формулой Эйлера для любого действительного значения θ мы имеем e  = Cosθ + iSinθ, и оно представляет комплексное число в координатной плоскости, где Cosθ – действительная часть, представленная относительно ось x, Sinθ – мнимая часть, представленная относительно оси y, θ – угол, образованный по отношению к оси x и воображаемой линии, соединяющей начало координат и комплексное число. Согласно формуле Эйлера и функциональному представлению x и y имеем e x + iy  = e x (уютно + isiny) = e x уютно + т.е. x сине. Это разлагает экспоненциальную функцию на ее действительную и мнимую части.

Операции над комплексными числами

Различные операции сложения, вычитания, умножения, деления натуральных чисел можно выполнять и для комплексных чисел. Детали различных арифметических операций с комплексными числами заключаются в следующем.

Сложение комплексных чисел

Сложение комплексных чисел аналогично сложению натуральных чисел. Здесь в комплексных числах действительная часть добавляется к действительной части, а мнимая часть добавляется к мнимой части. Для двух комплексных чисел вида \(z_1 = a + id\) и \(z_2 = c + id\) сумма комплексных чисел \(z_1 + z_2 = (a + c) + i(b + d) \). Комплексные числа следуют всем следующим свойствам сложения.

  • Закон замыкания: Сумма двух комплексных чисел также является комплексным числом. Для двух комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) сумма \(z_1 + z_2\) также является комплексным числом.
  • Коммутативный закон: Для двух комплексных чисел \(z_1\), \(z_2\) имеем \(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\).
  • Ассоциативный закон: Для данных трех комплексных чисел \(z_1, z_2, z_3\) имеем \(z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2)+z_3 \). 2 = -1\). Для двух комплексных чисел \(z_1\) = a + ib, \(z_2\) = c + id произведение равно \(z_1.z_2\) = (ca — bd) + i(ad + bc).

    Умножение комплексных чисел в полярной форме немного отличается от упомянутой выше формы умножения. Здесь абсолютные значения двух комплексных чисел перемножаются, а их аргументы складываются для получения произведения комплексных чисел. Для комплексных чисел \(z_1 = r_1(Cos\theta_1 + iSin\theta_1)\) и  z 2  = \(z_2 = r_1(Cos\theta_2 + iSin\theta_2)\) произведение комплексные числа \(z_1.z_2 = r_1.r_2(Cos(\theta_1 + \theta_2) + iSin(\theta_1 + \theta_2))\). 92 + 2z_1z_2 +2z_2z_3 +2z_3z_1\)

Связанные темы:

  • Комплексное сопряжение
  • Калькулятор комплексных чисел
  • Тригонометрия
  • Координатная плоскость
  • Координатная геометрия

Комплексные числа Советы и подсказки:

  • Все действительные числа являются комплексными числами, но все комплексные числа не обязательно должны быть действительными числами.
  • Все мнимые числа являются комплексными числами, но все комплексные числа не обязательно должны быть мнимыми числами. 9{2}-4(1)(1)}}{2(1)} \\[0,2 см]
    &=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}\\[0,2 см]
    \text{Здесь } &\sqrt{-3} = \sqrt{-1} \times \sqrt{3} = i \sqrt{3}\\[0,2 см]
    x&= \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}\\[0,2 см]
    \end{align} \]

    Таким образом, корнями данного квадратного уравнения являются: \(\frac{-1}{2}+ i\frac{\sqrt{3}}{2};\,\,\ , \ frac{-1}{2}- i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

  • Пример 2: Выразите сумму, разность, произведение и частное следующих комплексных чисел в виде комплексного числа.

    \[\begin{align} z_1&=-2+i\\[0.2cm]z_2&= 1-2i \end{align} \]

    Решение:

    Сумма:

    \[ \begin{ выровнять} z_1+z_2&= (-2+i)+(1-2i)\\[0,2 см] &=(-2+1)+ (i-2i)\\[0,2 см] &= -1-i \end{align}\]

    Разница:

    \[ \begin{align} z_1-z_2&= (-2+i)-(1-2i)\\[0,2 см] &=(-2-1) + (i+2i)\\[0,2 см] &= -3+3i \end{align}\]

    Продукт:

    \[ \begin{align} z_1\cdot z_2&= (-2+i)( 1-2i)\\[0,2см] &=-2+4i+i-2i^2\\[0,2см] &=-2+4i+i+2 \,\,\, [\потому что i^2 =-1]\\[0,2 см] &=5i \end{выравнивание}\] 92=-1]\\[0,2 см] &= \dfrac{-4-3i}{5}\\[0,2 см] &=- \dfrac{4}{5}- i \dfrac{3}{5 }\end{align}\]

    Следовательно, имеем:

    Сумма = -1 — i
    Разница = -3 + 3i
    Продукт = 5i
    Деление = -4/5 — 3i/5

  • перейти к слайдуперейти к слайду

    Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

    Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

    Записаться на бесплатный пробный урок

    перейти к слайдуперейти к слайду

     

    Часто задаваемые вопросы о комплексных числах

    Что такое комплексные числа в математике?

    Комплексное число представляет собой комбинацию действительных и мнимых значений. Обозначается z = a + ib, где a, b — действительные числа, а i — мнимое число. i = \(\sqrt{-1}\) и никакое действительное значение не удовлетворяет уравнению i 2  = -1, поэтому I называется мнимым числом.

    Для чего используются комплексные числа?

    Комплексное число используется для простого нахождения квадратного корня из отрицательного числа. Здесь мы используем значение i 2  = -1 для представления отрицательного знака числа, что помогает легко найти квадратный корень. Здесь мы имеем √-4 = √i 2 4 = + 2i. {-1}\frac{b}{a} \)).

    Что такое действительные и комплексные числа?

    Комплексные числа являются частью действительных чисел. Некоторые действительные числа с отрицательным знаком трудно вычислить, и мы представляем отрицательный знак с помощью йоты «i», и такое представление чисел вместе с «i» называется комплексным числом. Дополнительные комплексные числа полезны для нахождения квадратного корня из отрицательного числа, а также для нахождения отрицательных корней квадратного или полиномиального выражения.

    Как делить комплексные числа? 92)}\).

    Как строить графики комплексных чисел?

    Комплексное число вида z = a + ib может быть представлено в плоскости арганда. Комплексное число z = a + ib может быть представлено в виде координат точки как (Re(z), Im(z)) = (a, ib). Здесь действительная часть представлена ​​относительно оси x, а мнимая часть представлена ​​относительно оси y.

    Как преобразовать комплексные числа в полярную форму?

    Комплексный номер можно легко преобразовать в полярную форму.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *