37.6. Ряд Тейлора. Ряд Лорана
ФункцияОднозначная и аналитическая в точкеРазлагается в ок
Рестности этой точки в ряд Тейлора
(37.37)
КоэффициентыКоторого определяются формулами
(37.38)
1
Где— окружность с центром в точке, расположенная в окрестности точкиВ которой функцияАналитическая. Центр окружности круга сходимости находится в точке; эта окружность проходит через особую точкуФункции Ближайшую к точке, т. е. радиус сходимости ряда (37.37) будет равен расстоянию от точкиДо ближайшей особой точки функции
Для функцийI рады Тейлора имеют
Следующий вид:
(37.39)
(37.40)
(37.41)
(37.42)
Формула (37.42) определяет разложение в рад Тейлора в окрестности точки Главного значения логарифма. Чтобы получить ряд Тейлора для других значений многозначной функцииНеобходимо в правой части добавить
Числа
ФункцияОднозначная и аналитическая в кольце(не ис
Ключены случаиРазлагается в этом кольце в ряд Лорана
43)Коэффициенты которого определяются формулами
(37.44)
Где— произвольная окружность с центром в точке, расположенная
Внутри этого кольца.
В формуле (37.43) рад
Называется главной частью рада Лорана, а рад
Называется правильной частью рада Лорана.
Пример 37.24. Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки
Преобразуем эту функцию следующим образом:
Поскольку (см. формулу (37.39))
(37.45)
То приПолучим
Следовательно,
Полученный ряд сходится приИли
Пример 37.25. Разложить в ряд Тейлора функциюВ ок
Рестности точки
Преобразуем данную функцию:
В соответствии с формулой (37.45) приПолучаем
Итак,
Полученный ряд сходится приИли
Пример 37.26. Разложить в ряд Тейлора функциюВ
Окрестности точки
Ближайшая от начала координат особая точка функцииЕсть, поэтому
ФункцияРазлагается в рядВ круге
Заметив, что— нечетная функция, поэтому в разложении будут только члены с нечетными показателями, использовав равенствоИ ряды
ДляИ(см.
формулы (37.4) и (37.5)), получим
Сравнивая коэффициенты приВ обеих частях равенства, находим
Из этих уравнений определяем коэффициенты:
Следовательно,
(37.46)
Пример 37.27. Найти первые три члена ряда Тейлора по степеням функции
Поскольку (см. формулу (37.3))
То приПолучим
Итак,
Пример 37.28. Разложить функциюВ ряд Лорана в сле
Во всех этих кольцах данная функция является аналитической и поэтому может быть разложена в них в соответствующий ряд Лорана. Представим эту функцию в виде суммы элементарных дробей:
1. ПосколькуТо с учетом формулы (37.39) получим
Главная часть ряда Лорана здесь имеет только один член.
2. ЕслиПоэтому
В этом разложении отсутствует правильная часть.
3. ЕслиТо функциюНужно разложить в геометрический ряд со знаменателем
Главная часть полученного ряда Лорана содержит только один член.
Пример 37.29. ФункциюРазложить в ряд Лорана,
Приняв
Данная функция имеет две особые точки:Следовательно, име
Ется три кольца с центром в точке 0, в каждом из которых функция аналитическая: 1) круг2) кольцо3) внешность кругаТ.
е.
ФункциюРазлагаем на элементарные дроби:
’ 1. ПосколькуТо с учетом (37.39) получим
(II)
Сложив ряды (I) и (II), найдем, что Полученный ряд является рядом Тейлора.
2. ЕслиТо ряд (I) сходящийся (ибо, но ряд (II) расходится (так как|. Разложение (II) заменим другим:
(III)
Ряд (III) сходится, поскольку
Сложив ряды (I) и (III), получим ряд Лорана для данной функции: в котором
3. КогдаТо равенство (III) верно, поскольку иНо ряд в правой части формулы (I) уже будет расходящимся. Разложение (I) заменим другим:
(IV)
Этот ряд сходится, так какИ, следовательно,Сложив
ИПолучим разложение данной функции в ряд Лорана
Для которого
Пример 37.30. ФункциюРазложить в ряд
Лорана по степеням
ОбозначимТогда
Здесь главная часть ряда Лорана имеет два члена, а правильная — три члена. Поскольку полученное разложение содержит только конечное количество членов, то оно справедлива для любой точки плоскости, кроме
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
§7 Ряд Лорана в окрестности особой точки.
Рассмотрим ряды Лорана функции в окрестностях её особых точек.
1. Ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки.
Для того, чтобы изолированная особая точка была устранимой особой точкой , необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в ее окрестности была тождественно равна нулю, тогда .
При этом ряд Лорана имеет вид
(2.31)
Следовательно, ряд Лорана в окрестности устранимой особой точки является степенным рядом.
Доказательство.
Н
Рис. 2.7
еобходимость: Пусть устранимая особая точка функции , следовательно, существует . Тогда функция ограничена в окрестности точки , следовательно, существует такое
что при .
Оценим коэффициент
(
на кривой ).
Так как в качестве окружности Г можно взять произвольную окружность сколь угодно малого радиуса R, то , следовательно, ,
Достаточность. Дано, что . То ряд формулы (2.31) сходится в окрестности точки , кроме самой точки , следовательно в кольце , тогда ряд формулы (2.31) − степенной ряд, он сходится во всем круге , следовательно, и в точке , следовательно, что означает, что устранимая особая точка. Из доказательства теоремы 1 вытекает, что условие можно заменить условием при . Тем самым доказана справедливость теоремы 2.
Теорема 2.
Для того, чтобы изолированная особая точка была устранимой особой точкой для функции , необходимо и достаточно, чтобы функция была аналитической и ограниченной в некоторой окрестности точки .
Замечание. Функция
аналитична всюду, кроме точки
,
тогда она в ней не определена. Положив ,
получим функцию, аналитическую в точке
.
Пример 3.
Определить вид особой точки для .
Функция аналитична всюду, кроме точки ,так как при . Точка −особая изолированная точка. Учитывая, что и разложение в ряд функции преобразуем данную функцию
Ряд Лорана содержит лишь правильную часть, поэтому − устранимая особая точка. Устраним особенность , положив .
2. Ряд Лорана в окрестности полюса
Теорема 3.
Для того, чтобы изолированная особая точка была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности точки содержала лишь конечное число членов, при этом порядок полюса равен номеру старшего члена главной части ряда Лорана.
Доказательство.
Необходимость. Пусть − полюс порядка функции , тогда
.
Разлагая функцию в ряд Тейлора в окрестности точки
,
получим ряд Лорана для функции
в окрестности
, , где .
Главная часть этого ряда содержит лишь конечное число членов, причем , где — порядок полюса функции .
Достаточность. Пусть главная часть ряда Лорана функции содержит конечное число членов.
,
следовательно, − полюс порядка .
Пример 4.
Определить характер точки для функции .
Разлагая функцию в ряд Тейлора по степеням , получим разложение в ряд Лорана функции в окрестности .
Разложение
в ряд Лорана функции
в окрестности
содержит конечное число членов с
отрицательными степенями
.
Следовательно, точка
является полюсом пятого порядка, так
как наибольший показатель степени
,
содержащихся в знаменателях членов
главной части ряда Лорана, равен 5.
3. Ряд Лорана в окрестности существенно особой точки
Теорема 4.
Для того, чтобы изолированная особая точка была существенно особой точкой для функции , необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки содержала бесконечное число членов.
Доказательство следует из теорем 1 и 3.
Пример 3.
Показать, что является существенно особой точкой функции .
Функция аналитична на всей плоскости , при представима на этой плоскости рядом . Заменяя на , получим
.
Главная часть ряда Лорана функции содержит бесконечное число членов, следовательно, точка − существенно особая точка .
Замечание.
Общие
формулы для коэффициентов ряда Лорана
обычно мало удобны для вычислений. В
некоторых случаях могут быть применены
более простые приемы.
Для разложения в
ряд Лорана рациональной функции достаточно воспользоваться представлением
правильной рациональной дроби в виде
суммы простейших дробей. Простейшая
дробь вида разлагаются в ряд, являются геометрической
прогрессией, а дробь вида в ряд, полученный с помощью − кратного дифференцирования
геометрической прогрессии. Заметим,
что всякая правильная рациональная
дробь может быть разложена в сумму
дробей вида ,
где
,
– комплексные числа. При разложении в
ряд Лорана иррациональных и трансцендентных
функций можно использовать разложение
их в ряд Тейлора. Иногда следует
предварительно преобразовать разлагаемую
функцию.
Пример 5. Разложить в окрестности точки в ряд Лорана .
комплексный анализ — Как найти Расширение серии Laurent
Задавать вопрос
спросил
Изменено 3 года, 11 месяцев назад
Просмотрено 77 тысяч раз
$\begingroup$ 9{-k}$$
Я получаю расширение серии, но оно похоже на серию Маклорена, а не на серию Лорана.
n$, вы фактически записываете разложение Лорана в окрестности $0$. Поскольку вам нужны степени $z-1$, это означает, что вам нужно расширение в окрестности $1$! 9{-1}$ термин уже «хороший» (точно так же, как $\frac 1z$ был бы в разложении Лорана в окрестности $0$).
Вы должны разложить в окрестности $1$ выражение $\frac z{z-3}$. Вы можете установить $t = z — 1 \подразумевает z = t + 1$, чтобы ваше выражение стало $\frac{t+1}{t-2}$.
Теперь используйте дроби и найдите ряд Лорана в окрестности $0$ относительно $t$ $\frac{t+1}{t-2}$ (это означает, что вы можете использовать формулу геометрического ряда) , подставьте обратно $t = z-1$ и разделите все на $z-1$, чтобы получить окончательный результат. 9я. $$ Теперь вы можете заменить $x:=z-1$, если хотите.
$\endgroup$
5
$\begingroup$
Во-первых, да. Одна и та же функция может иметь разные ряды Лорана в зависимости от центра рассматриваемого кольца.
Рассмотрим теперь данную функцию. Ясно, что вопрос будет легко решен, как только мы найдем ряд $$g(z)=\frac{z}{z-3}.$$Обратите внимание, что $$g(z)=1+\frac{3 }{z-3}=1+\frac{3}{(z-1)-2}=1+\frac{3/2}{\frac{z-1}{2}-1},$$ а последнее выражение можно представить в виде суммы геометрического ряда.
$\endgroup$
1
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.