Пределы. Пошаговый калькулятор
Калькулятор находит предел функции путем различных преобразований, подстановок, первого и второго замечательных пределов, домножения на сопряженное, группировки множителей, правила Лопиталя, разложения в ряд Тейлора и свойств пределов. Вычисляет предельное значение функции в точке (слева и справа)
Введите выражение и нажмитеили кнопку
Настройки
Вычислять относительно
АвтоматическиС выбором метода решения~
автозамена
Применять правило Лопиталя Пропускать шаги с вынесением константы
Содержимое загружается
Заполните пропуски
Результат в LaTeX:
Копировать
Результат в виде выражения:
Копировать
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin, arsin, arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись2sinx сходна2*sin(x)
Список математических функций и констант:
•ln(x) — натуральный логарифм
•sin(x) — синус
•cos(x) — косинус
•tg(x) — тангенс
•ctg(x) — котангенс
•arcsin(x) — арксинус
•arccos(x) — арккосинус
•arctg(x) — арктангенс
•arcctg(x) — арккотангенс
•sh(x) — гиперболический синус
•ch(x) — гиперболический косинус
•th(x) — гиперболический тангенс
•cth(x) — гиперболический котангенс
•sch(x) — гиперболический секанс
•csch(x) — гиперболический косеканс
•arsh(x) — обратный гиперболический синус
•arch(x) — обратный гиперболический косинус
•arth(x) — обратный гиперболический тангенс
•arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
•sec(x) — секанс
•cosec(x) — косеканс
•arcsec(x) — арксеканс
•arccsc(x) — арккосеканс
•arsch(x) — обратный гиперболический секанс
•arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
•abs(x) — модуль
•sqrt(x) — корень
•exp(x) — экспонента в степени x
•pow(a,b) — \(a^b\)
•sqrt7(x) — \(\sqrt[7]{x}\)
•sqrt(n,x) — \(\sqrt[n]{x}\)
•lg(x) — \(\log_{10}\left(x\right)\)
•log3(x) — \(\log_3\left(x\right)\)
•log(a,x) — \(\log_a\left(x\right)\)
•pi — \(\pi\)
alpha — \(\alpha\)
beta — \(\beta\)
•sigma — \(\sigma\)
gamma — \(\gamma\)
nu — \(\nu\)
•mu — \(\mu\)
phi — \(\phi\)
psi — \(\psi\)
•tau — \(\tau\)
eta — \(\eta\)
rho — \(\rho\)
•a123 — \(a_{123}\)
x_n — \(x_{n}\)
mu11 — \(\mu_{11}\)
Добавить страницу в закладки — CTRL+D
Возможность редактировать тексты в решении (для улучшения калькулятора)
Ссылка на это решение
75% 90% 100% 110% 125% 🔍
Вычисляю решение.
.
Оформляю..
Перевожу..
Слишком длинное выражение!
Внутренняя ошибка
Ошибка соединения
Калькулятор обновляется
Необходимо перезагрузить страницу
Ссылка скопирована!
Формула скопирована
Обновленный текст отправлен
4. Ряды
4.1. Ряд Тейлора
Справедливы следующие теоремы.
1. Всякую функцию , аналитическую в круге с центром в точке можно представить внутри этого круга в виде суммы ряда Тейлора:
(1)
Во всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу, ряд Тейлора (1) сходится равномерно.
2. Всякую аналитическую функцию в каждой внутренней точке области аналитичности можно разложить в ряд Тейлора (1). Это разложение справедливо в области , где– расстояние от точкидо ближайшей особой точки функции, то есть точки, в которойне является аналитической.
3. Если функция разлагается в окрестности точкив степенной ряд, то этот ряд является ее рядом Тейлора, то есть
, .
Пользуясь теоремой 3, можно разложить данную функцию в ряд по степеням, который является ее рядом Тейлора в окрестности точки. Часто коэффициенты такого ряда находят, используя известные разложения функцийи т.д.
Напомним также разложение
(2)
сходящееся в круге <1.
Пример 1. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки. Указать область, в которой справедливо это разложение.
Решение. В окрестности точки функцияявляется аналитической. Следовательно, согласно теореме 2, ее можно разложить в ряд Тейлора. Для разложения в ряд Тейлора преобразуем данную функцию к виду
.
Разложим второй сомножитель в ряд по формуле (2). Область сходимости этого ряда , отсюда.
Искомое разложение имеет вид:
,
или
; .
Пример 2.
Разложить функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки.
Указать область, в которой справедливо
это разложение.
Решение. Для разложения в ряд Тейлора преобразуем данную функцию к виду и воспользуемся формулой (2).
Так как , то. Получаем искомое разложение:
,
;
4.2. Ряд Лорана
Справедлива теорема:
Функция ,аналитичная в кольце , представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана
, (3)
где
, (4)
, – любая окружность, ориентированная против часовой стрелки и лежащая внутри указанного кольца с центром в точке. Разложение в ряд Лорана единственно.
Первое
слагаемое в разложении (3) называется
правильной частью ряда Лорана, второе
слагаемое – главной частью ряда Лорана.
Правильная часть ряда Лорана сходится
в круге
.
Главная часть ряда Лорана сходится во
внешности круга радиуса,
то есть при.
Разложение (3) иногда можно получить на практике, не применяя формулы (4) для коэффициентов .
Пример 1. Найти все разложения функции в ряд Лорана по степеням.
Решение. Пусть . Тогда данная функция может быть разложена в ряд Лорана в кольцах:
I) ,II) ,III) ,
где она является аналитической.
Разлагаем на элементарные дроби:
.
I. Дробь разлагается вне круга по степеням с отрицательными показателями, то есть
, при .
Дробь разлагается внутри круга по степеням с положительными показателями, то есть
, при .
Итак, , при .
II. Дроби и разложим в ряд по степеням с положительными показателями внутри круга ,
,
Итак, , при.
III. Дроби и разложим по степеням с отрицательными показателями, то есть
,
где ;
,
где .
Итак, ,.
Пример 2. Найти все лорановские разложения по степеням, если,.
Решение. Пусть
Точки являются особыми точками функции(в нихне аналитична). Тогда кольцами аналитичностибудут области:
Возвращаясь к переменной , получаем следующие области разложенияпо степеням
Рассмотрим разложение функции в ряд Лорана в кольце, то есть.
Представим функцию в виде
Таким образом, .
Дробь разложим по степеням с отрицательными показателями вне круга, то есть
где
Дробь разложим по степеням с положительными показателями внутри круга, то есть
Итак, ,
где.
Остальные
случаи разложения данной функции в ряд
Лорана предлагается рассмотреть
самостоятельно.
Для разложения функции в ряд Лорана иногда используют готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора.
(5)
Пример 3. Функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки.
Решение. Функция является аналитической в кольце. Следовательно, она разложима в ряд Лорана. Воспользуемся разложением функциив ряд Тейлора.
и положим :
(6)
В силу единственности разложения в ряд Лорана (6) является рядом Лорана для функции в кольце.
Калькулятор серии Taylor and Maclaurin (мощность)
Калькулятор найдет разложение заданной функции в ряд Тейлора (или по степени) вокруг заданной точки с указанием шагов. Вы можете указать порядок полинома Тейлора. Если вам нужен полином Маклорена, просто установите точку на $$$0$$$.
Введите функцию:
Введите точку:
Для серии Маклорена установите точку на «0».
Заказ `n=`
Оценить ряд и найти ошибку в точке
Точка не обязательна.
Если калькулятор что-то не рассчитал, или вы обнаружили ошибку, или у вас есть предложение/отзыв, пожалуйста, напишите его в комментариях ниже.
Решение
Ваши данные: рассчитайте ряд Тейлора (Маклорена) $$$\sin{\left(x \right)}$$$ до $$$n=5$$$ 9{5}$$$
Калькулятор ряда Тейлора — найти разложение Тейлора с шагами
Калькулятор ряда Тейлора с шагами
Онлайн-калькулятор ряда Тейлора используется для решения ряда Тейлора заданной функции вокруг центральной точки. Наш калькулятор Тейлора предоставляет пошаговое решение для заданной функции. Этот калькулятор разложения в ряд Тейлора также используется для указания порядка многочлена Тейлора.
Как работает калькулятор полинома Тейлора
? 9x и т. д.
