Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
Задача разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки решается в следующем порядке:
Находятся последовательно .
Записываются (1).
Находим интервал сходимости ряда (1): .
Записываем остаточный член в каком-то виде.
Находим те точки , для которых.
После выполнения этих пунктов в (1) вместо можно поставить равенство.
Функция .
Пусть задана функция , она бесконечно дифференцируемая и , где.
Найдем коэффициенты разложения , тогда
-это ряд Маклорена для функции , который сходится к этой функции на всей числовой прямой.
Функция .
Найдем ее производные
Вычислим коэффициенты в формуле Тейлора:
.
Пусть
,
тогда
,
если
,
то так как
,
то по теореме 2, можно утверждать, что
ряд Тейлора сходится к функции.
.
Функция . Можно провести аналогично разложение, а можно разложить другим способом. Мы знаем, что степенной ряд можно дифференцировать в интервале его сходимости. Тогда .
Ряд Маклорена для функции.
Так как функция и ее производные не определены в точке, поэтому будем рассматривать функцию , которая определена , вместе с производными. Продифференцируем:
— как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (имеет сумму при).
Проинтегрируем этот ряд почленно по любому отрезку от до, где . Получим он сходится при. Проверим сходится ли ряд на границах интервала:
при ряд вообще суммы не имеет, приполучается знакочередующийся рядпо теореме Лейбница он сходится, покажем, что он сходится к, то есть. Воспользуемся теоремой (достаточным условием разложимости в ряд Тейлора). Для этого оценим остаточный член в формуле Лагранжа.при
Тогда .
Таким образом,
,
то есть ряд сходится при.
При ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости ряда, так как.
Разложение степенной функции в ряд Тейлора.
Рассмотрим функцию . (5).
Область сходимости ряда . на границе интервала надо проверять отдельно для каждого конкретного ряда
Отметим наиболее часто встречающиеся частные случаи биномиального ряда:
, тогда — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сходится при .
, тогда
, тогда
Используя свойство степенных рядов о почленном интегрировании и дифференцировании внутри области сходимости можно получить следующие разложения:
Пример 1: сходится при . Проинтегрируем внутри отрезка сходимости:Пример 2:
Сходится при . Проинтегрировав понаполучим: .
Дробно-рациональная функция.
—
многочлены. Чтобы разложить
в ряд Тейлора, вначале приводим к
правильной дроби, далее полученную
дробь разбиваем на сумму более простых
методом неопределенных коэффициентов.
Эти более простые дроби раскладываем
в ряд Тейлора, используя разложение в
геометрическую прогрессию.
.
.
Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.
Теорема: Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , то есть, может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора.
, если в этом интервале выполняется условие , где- остаточный член формулы Тейлора,. Приполучается ряд Маклорена:. Если в некотором интервале, содержащем точку, при любом выполняется неравенство , где- положительная постоянная, тои функцияразложима в ряд Тейлора.
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ § 1. Действительные числа. § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7.  n при n целом и положительном§ 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 22. Производные различных порядков § 23.  x, sin x, cos xУпражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6.  Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента§ 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 7. О кратных корнях многочлена § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2.  Геометрическое изображение функции двух переменных§ 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19.  Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов§ 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен  Интегрирование по частям§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9.  Формула Чебышева§ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция § 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII |
— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 432 с.
Тейлор Серия
ТейлорСерия Taylor для at is
(По соглашению, .) Когда , серия называется Маклорена. серия .
Вы можете построить ряд справа при условии, что f равно
бесконечно дифференцируема на интервале, содержащем c.
Вы уже
уметь определять интервал сходимости ряда.
Однако из того, что ряд сходится в точке х, не следует, что
ряд сходится к .
В качестве примера рассмотрим функцию
Оно бесконечно дифференцируемо всюду. В частности, все производные f в точке 0 равны нулю, а ряд Маклорена для f равен тождественно 0.
Следовательно, ряд Маклорена для f сходится при всех x, но только сходится к при .
Следующий результат ([1], с. 418) дает достаточное условие для ряд Тейлора функции, чтобы сходиться к функции:
Теорема. Пусть будет бесконечно дифференцируемый на , и пусть . Предположим, что существует константа M такая, что для всех и для всех x в , где N — окрестность c. Тогда для все ,
Другими словами, при разумных условиях:
1. Вы можете построить ряд Тейлора, вычислив производные ф.
2. Ряд будет сходиться к f на отрезке вокруг разложения
точка.
(Вы можете найти интервал сходимости, как обычно.)
Утомительно вычислять множество производных, и во многих случаях вы можете вывести ряд из другого известного ряда. Вот расширения серии для нескольких важных функций:
Пример. Найдите ряд Тейлора для при . Каков его интервал конвергенция?
Я хочу, чтобы все вышло в степенях, поэтому я напишу функционировать с точки зрения:
Я буду использовать серию для . Делать это, мне нужно на дне. Я делаю «1» на разлагая 5 из терминов внизу, я делаю «-«, написав «+» как » «:
Пусть в сериале для . Затем
Следовательно,
U-ряд сходится для , поэтому x-ряд сходится при , или .
Пример. Найдите ряд Тейлора для при . Каков его интервал конвергенция?
Поскольку я расширяюсь, мне нужны полномочия:
Пускаю в серию за:
В обобщенном виде это .
Найдите интервал сходимости:
Пример. Найдите ряд Тейлора в для .
Мне нужны силы .
Чтобы получить это, я впустил сериал для .
Для интервала сходимости:
Пример. Найдите ряд Тейлора для при .
Мне нужны силы , поэтому
Далее я буду использовать формулу сложения углов для синуса:
Я поставил и. С и , я получил
Пример. Найдите ряд Тейлора для при . Каков его интервал конвергенция?
Использовать
Я расширяюсь в , поэтому я хочу, чтобы результат вышел в полномочиях. Это легко — просто установите:
U-ряд сходится для , поэтому x-ряд сходится при , или .
Пример. Количество
встречается в специальной теории относительности. (v — скорость объекта, c
это скорость света.
) Приблизительно с использованием первых двух ненулевых членов бинома
ряд.
Таким образом, для ,
Брать :
Аппроксимация хороша, пока v мало по сравнению с c.
Пример. Найдите ряд Тейлора для при .
Поскольку я расширяюсь, ответ должен появиться в срок полномочий .
Начните с функции, которую вы пытаетесь расширить. Чтобы получить в ответе , запишите данную функцию в терминах из :
(Обратите внимание, что работа должна быть юридической алгеброй.)
Я разобью фракцию и сделаю части отдельно.
Я хочу «сопоставить» каждую деталь со стандартной серией . Вот первая часть:
Расширить, установив в :
Вот вторая часть:
То есть,
Пример. Для чего нужна серия Маклорена? Для чего нужен ряд Тейлора при ?
Ряд Маклорена для многочлена представляет собой многочлен: .
Чтобы получить разложение Тейлора при , напишите функционировать с точки зрения:
Пример. Найти для .
Серия для at is
Срок степени . С другой стороны, формула Тейлора говорит что термин степень . Приравнивая коэффициенты, я получаю
Хотя вы часто можете использовать известные ряды, чтобы найти ряды Тейлора, это иногда необходимо найти ряд по формуле Тейлора. (В собственно, отсюда и «известная серия».)
Пример. Найдите первые четыре ненулевых члена и общий член ряда Тейлора для at и at путем вычисления производных от f.
Для , для всех n. Тейлор серия в
Для , для всех n. Тейлор серия в
Если вы обрежете ряд, расширенный в c после члена степени, то останется полином Тейлора степени степени — . Например, полином третьей степени at равен
Обратите внимание, что «n» здесь относится к наибольшей степени .
х, а не количество терминов. Например, ряд Тейлора.
ибо это
Полином Тейлора степени и полином Тейлора степени равны:
Пример. Найдите степень полинома Тейлора для при .
Таким образом,
Полином Тейлора степени равен
Пример. Предположим
Используйте полином Тейлора степени для f at для аппроксимации .
У меня есть
Подключить:
Также возможно построить степенные ряды путем интегрирования или дифференциация других степенных рядов. Серия мощности может быть интегрированные или дифференцированные почленно внутри его интервал сходимости. (Вам нужно будет проверить сходимость на конечные точки отдельно.)
Пример. (a) Найдите ряд Тейлора в для .
(b) Найдите ряд Тейлора в для .
(а)
(б) Обратите внимание, что
Следовательно,
Пример. (a) Найдите ряд Тейлора в для .
(b) Используйте ряд в (a), чтобы найти ряд для расширенного в .
а) Поставить в ряд для, чтобы получить
Он сходится для .
(b) Проинтегрируйте ряд в (a) от 0 до u:
Этот ряд будет сходиться при . Левая сторона взрывается в . С другой стороны, если ,
Правая часть не сходится (по знакопеременным рядам Тест), поэтому ряд сходится при .
Пример. Найдите ряд Тейлора для при .
Во-первых, обратите внимание, что
Я интегрировал с 2 на x, потому что хочу расширение на .
Теперь найдите ряд в for :
Подсоедините этот ряд обратно к интегралу и интегрируйте почленно:
Пример.
(a) Построить ряд Тейлора в
для .
(б) Используйте ряд в (а), чтобы построить ряд Тейлора в для .
(c) Используйте ряд в (b), чтобы получить ряд для .
а) мне нужны степени t, поэтому
(б) Обратите внимание, что
Поэтому,
(c) Подставьте ряд в (b), используя тот факт, что :
Думайте о ряде Тейлора как о «замене» его функция. Например, вы часто можете использовать ряд Тейлора для вычисления предел или интеграл, заменяя функцию ее рядом.
Пример. (a) Найдите первые 4 ненулевых члена ряд Тейлора при для .
(b) Используйте ряд в (a), чтобы угадать значение .
а) Пусть в ряду для :
(b) Подставьте ряд из (a) в предел:
Пример. (a) Построить ряд Тейлора в
для . (напишите не менее
первые 4 ненулевых члена.
)
(b) Используйте первые 3 члена ряда в (a), чтобы аппроксимировать .
(c) Используйте оценку ошибки чередующихся рядов для оценки ошибки в (б).
(а) Я установил в серии для:
Умножить на :
(б)
(c) Оценка ошибки чередующегося ряда говорит о том, что ошибка меньше чем следующий срок. Итак, я беру следующий член ряда в (а) и интегрировать:
Ошибка оценки в (б) не превышает .
[1] Том М. Апостол, Математический анализ . Чтение, Массачусетс: издательство Addision-Wesley Publishing Company, Inc., 1957.
Контактная информация
Домашняя страница Брюса Икенаги
Copyright 2020 Брюс Икенага
Разложение Тейлора — Математика LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 558
Ряды особого типа, известные как ряды Тейлора, позволяют нам выразить любую математическую функцию, вещественную или комплексную, через ее n производных.