Моделирование в электроэнергетике — Разложение правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Задача разложения правильной дроби на простейшие состоит в следующем: некоторую правильную рациональную дробь необходимо представить в виде суммы простейших рациональных дробей.
Простыми дробями называются рациональные дроби вида или , где , а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, т.е. дискриминант квадратного уравнения меньше нуля .
Правильной рациональной дробью называется дробь вида , где числитель и знаменатель представлен в виде многочлена, а степень числителя ниже степени знаменателя .
В случае если степень числителя выше степени знаменателя , то дробь называют неправильной. Если дробь является неправильной, то необходимо разделить числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), и представить дробь в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби :
Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых рациональных дробей следующим образом:
Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов.
Метод неопределённых коэффициентов ― это метод, используемый в математике для разложения искомой функции в виде линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций.
Рассмотрим прием разложения правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
Алгоритм метода неопределенных коэффициентов
Чтобы разложить правильную рациональную дробь на простые дроби, необходимо выполнить следующие действия.
1. Разложить знаменатель на линейные и квадратные множители, которые не имеют действительных корней.
2. Записать разложение дроби в аналитической форме в виде простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
В случае если в знаменателе присутствует сомножитель вида , то дробь раскладывается в следующем виде:
В случае если в знаменателе присутствует сомножитель вида , то дробь раскладывается в следующем виде:
3. Преобразуем полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х.
4. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях знаменателя в связи с тем, что аналитическая дробь с неизвестными коэффициентами равна исходной дроби. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения данной рациональной функции на сумму простейших. Решаем полученную систему уравнений для определения значений неопределённых коэффициентов. Следует отметить, что система уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложения всегда имеет единственное решение.
Таким образом, выполняется разложение правильной рациональной дроби на сумму простых дробей. Рассмотрим задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов.
Задача. Разложение дроби на простейшие
Необходимо представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей. Для простоты задачи знаменатель рассматриваемой дроби представлен в виде произведения множителей.
1. Запишем разложение дроби в аналитической форме в виде простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
где переменные A,B,C — неопределённые коэффициенты
2. Преобразуем полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю.
3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях знаменателя.
Решая данную систему, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:
; ; ;
Таким образом, исходная рациональная дробь раскладывается на сумму простых дробей следующим образом:
Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса.
дроби разложение на множители
Вы искали дроби разложение на множители? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как дробь разложить на множители, не
исключение.
Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «дроби разложение на множители».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как дроби разложение на множители,как дробь разложить на множители,как знаменатель разложить на множители,как разложить дробь,как разложить дробь на множители,как разложить дробь на сумму простых дробей,как разложить знаменатель на множители,как разложить на множители дробь,метод неопределенных коэффициентов онлайн калькулятор,онлайн разложение на простые дроби,представление дроби в виде суммы дробей,примеры на разложение на простые,простейшие дроби,разложение дробей,разложение дробей на множители,разложение дробей на множители дробей,разложение дробей на простейшие,разложение дроби на простейшие,разложение дроби на простейшие онлайн,разложение дроби на простейшие онлайн калькулятор,разложение дроби на простые дроби,разложение дроби на элементарные,разложение на множители дробей,разложение на простейшие дроби,разложение на простейшие дроби онлайн,разложение на простые дроби,разложение на простые дроби онлайн,разложение на элементарные дроби,разложение рациональной дроби на простейшие,разложить дробь,разложить дробь на простейшие,разложить дробь на простейшие онлайн,разложить дробь на сумму простейших дробей онлайн,разложить числитель на знаменатель и на множители,числитель и знаменатель разложить на множители.
Решить задачу дроби разложение на множители вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Калькулятор простой факторизации
Базовый калькулятор
Поделись этим калькулятором и страницей
Калькулятор Используйте
Используйте этот калькулятор простых чисел, чтобы найти все простые делители заданного целого числа до 10 триллионов.
В этом калькуляторе представлено:
- Простые множители числа
- Разложение простых чисел в экспоненциальной форме
- CSV (значения, разделенные запятыми) список простых множителей
- Факторизация в дереве простых множителей
Для первых 5000 простых чисел этот калькулятор указывает индекс простого числа. n th Простое число обозначается как Prime[n], поэтому Prime[1] = 2, Prime[2] = 3, Prime[3] = 5 и так далее.
Ограничение на число, вводимое в фактор, меньше 10 000 000 000 000 (менее 10 триллионов или максимум 13 цифр).
Что такое простая факторизация?
Разложение числа на простые или целочисленные разложения — это разбиение числа на набор простых чисел, которые перемножаются, чтобы получить исходное число. Это также известно как первичное разложение.
Как найти разложение числа на простые множители
Мы рассмотрим два метода разложения на простые множители: поиск простых чисел путем пробного деления и использование простых чисел для создания дерева простых множителей.
Факторизация простых чисел с помощью пробного деления
Допустим, вы хотите найти простые множители числа 100 с помощью пробного деления. Начните с проверки каждого целого числа, чтобы увидеть, делится ли оно на 100 и последующие частные, и если да, то как часто. Результирующий набор множителей будет простым, поскольку, например, когда 2 исчерпано, все числа, кратные 2, также исчерпаны.
Найдите простые делители числа 100:
- 100 ÷ 2 = 50; сохранить 2
- 50 ÷ 2 = 25; сохранить 2
- 25 ÷ 2 = 12,5, неравномерно, поэтому разделить на следующее наибольшее число, 3
- 25 ÷ 3 = 8,333, неравномерно, поэтому разделить на следующее наибольшее число, 4
- Но 4 кратно 2, так что это уже проверено, поэтому разделите на следующее наибольшее число, 5
- 25 ÷ 5 = 5; сохранить 5
- 5 ÷ 5 = 1; сохранить 5
Перечислите получившиеся простые множители в виде последовательности кратных 2 x 2 x 5 x 5 или в виде множителей с показателями степени, 2 2 х 5 2 .
Примеры разложения простых чисел: множители и показатели
- Разложение числа 100 на простые множители равно 2 x 2 x 5 x 5 или 2 2 x 5 2
- Разложение числа 76 на простые множители равно 2 x 2 x 19 или 2 2 x 19 1
- Разложение числа 50 на простые множители равно 2 x 5 x 5 или 2 x 5 2
- Разложение числа 48 на простые множители равно 2 x 2 x 2 x 2 x 3 или 2 4 x 3 1
- Простая факторизация числа 36 равна 2 x 2 x 3 x 3 или 2 2 x 3 2
- Разложение числа 20 на простые множители равно 2 x 2 x 5 или 2 2 x 5 1
- Простая факторизация числа 10 равна 2 x 5 или 2 1 x 5 1
Дерево простых множителей
Используя дерево простой факторизации, чтобы увидеть работу, простое разложение 100 = 2 x 2 x 5 x 5 выглядит следующим образом:
2
25
Похожие калькуляторы
Таблица 1000 простых чисел.
Ссылки и дополнительная литература
Математика — это развлечение: простая факторизация.
Вайсштейн, Эрик В. «Простое число». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
Вайсштейн, Эрик В. «Факторизация прямого поиска». От
Вайсштейн, Эрик В. «Алгоритмы простой факторизации». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
Колдуэлл, Крис К. Основные страницы.
Подписаться на CalculatorSoup:
Сокращение дробей с помощью факторизации
Сокращение дробей с помощью факторизации
Сокращение дробей — это еще один способ сказать «нахождение наименьшей эквивалентной дроби ». Это потому, что вы обычно пытаетесь сократить правильную дробь до ее простейшего члена.
Примечание : Термин « уменьшить на » обычно относится к правильным дробям (числитель на меньше знаменателя на ). Принимая во внимание, что термин « упростить » обычно относится к неправильным дробям (числитель на больше , чем знаменатель).
При сокращении правильной дроби выполните следующие действия:
- Умножьте числитель на множители.
- Разложите знаменатель на множители.
- Отмена смешивает дроби со значением 1.
- Перепишите ответ в виде уменьшенной дроби.
Давайте воспользуемся простым примером сокращения дробей, чтобы вы поняли идею…
Обратите внимание, что первоначальный ответ на сложение дробей в нашей тестовой задаче — «2/4». Чтобы определить, является ли наш ответ простейшей формой, мы должны разложить числитель и знаменатель на его простые числа.
Щелкните здесь, чтобы просмотреть обзор простых чисел.
Делители числа — это числа, которые при умножении дают это число. Самый простой способ убедиться, что вы учли ВСЕ множители числа, содержащиеся в дроби, — это разбить их на простые множители.
Щелкните здесь, чтобы просмотреть таблицу факторизации простых чисел, в которой показаны простые множители каждого числа от 2 до 1000.
Что мы ищем это простые числа, которые являются общими делителями как в числителе, так и в знаменателе дроби. Если мы найдем эти общие факторы, мы сможем их отменить. Результатом будет наименьшая дробная эквивалентная дробь.
Поскольку «2» является общим множителем как в числителе, так и в знаменателе нашего примера, это означает, что наш ответ не является дробью в ее простейшей форме. Поэтому мы сократим (/) одну из двоек как в числителе, так и в знаменателе, разделив на «2». Результатом является уменьшенная дробь в ее простейшей форме.
Вот правило…
Вот еще один пример:
0044 24 = 2 x 2 x 2 x 3), а затем разложите знаменатель ( 56 = 2 x 2 x 2 x 7).
В этом примере все двойки исключаются, потому что в числителе и знаменателе равное количество двоек. Они аннулируют один к одному . Вот что мы подразумеваем под смесью дробей , которая имеет значение «1» .
Правильный ответ для приведенного выше примера — это уменьшенная дробь, равная 3/7 .
Вот еще один способ уменьшить 24/56 . Вы уже знаете, что 2/2 = 1, поэтому… -запишите свой ответ как 24/56 равно (или эквивалентно) 3/7 .
Это основы сокращения правильных дробей, независимо от размера.
Всегда помните…
Все, что вы делаете с числителем дроби, вы должны делать и со знаменателем дроби. Таким образом, если вам нужно разделить числитель на число, вы также должны разделить знаменатель на то же число. Таким образом, вы не измените общее значение дроби.