Для разнообразия применим метод Крамера для решения полученной системы линейных уравнений.
$$ \Delta=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 1 \\ 5 & 0 & 4 \end{array}\right|=17; \Delta_A=\left| \begin{array} {ccc} 5 & 1 & 0\\ 13 & 4 & 1 \\ 6 & 0 & 4 \end{array}\right|=34; \Delta_B=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 5 & 0\\ 1 & 13 & 1 \\ 5 & 6 & 4 \end{array}\right|=51; \Delta_C=\left| \begin{array} {ccc} 1 & 1 & 5\\ 1 & 4 & 13 \\ 5 & 0 & 6 \end{array}\right|=-17. \\ A=\frac{\Delta_A}{\Delta}=\frac{34}{17}=2;\; B=\frac{\Delta_B}{\Delta}=\frac{51}{17}=3; \; C=\frac{\Delta_C}{\Delta}=\frac{-17}{17}=-1. $$
Подставляя значения $A=2$, $B=3$, $C=-1$ в равенство
$$ \frac{5x^2+13x+6}{(x+4)(x^2+x+5)}=\frac{A}{x+4}+\frac{Bx+C}{x^2+x+5} $$
будем иметь:
$$
\frac{5x^2+13x+6}{(x+4)(x^2+x+5)}=\frac{2}{x+4}+\frac{3x-1}{x^2+x+5}.
2}$.
Первая часть
Вторая часть
Третья часть
Вернуться к списку тем
Задать вопрос на форуме
Записаться на занятия
Онлайн-занятия по высшей математике
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I. ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ § 1. Действительные числа. § 2. Абсолютная величина действительного числа § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7. Способы задания функции § 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции § 9. Алгебраические функции § 10. Полярная система координат Упражнения к главе I ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина § 2. Предел функции § 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции § 4. Бесконечно малые и их основные свойства § 5. Основные теоремы о пределах § 6. Предел функции (sin x)/x при x->0 § 7.  n при n целом и положительном§ 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 22. Производные различных порядков § 23.  x, sin x, cos xУпражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6.  Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента§ 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 6. Разложение многочлена на множители § 7. О кратных корнях многочлена § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2.  Геометрическое изображение функции двух переменных§ 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19.  Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов§ 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6.  Интегрирование по частям§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов  Формула Чебышева§ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция § 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII |
Разложить дроби — определение, примеры решения, факты
Разложить дроби — Введение
«Разложить» означает отделить или разбить что-то на части. Мы можем разлагать числа так же, как и геометрические фигуры.
Разложение чисел включает в себя разбиение большего числа на меньшие числа.
Например, рассмотрите возможность разделения числа 10 на части. Мы можем разложить десять на пять, три и два. В качестве альтернативы мы можем составить число десять, сложив вместе пять, четыре и один. Часто существует более одного способа разложить число.
Все мы знаем, что дроби являются частью целого. Но, как и целые числа, мы можем составлять и разлагать дроби. Звучит интересно? Давайте погрузимся и узнаем больше о разложении дробей.
Родственные игры
Что такое разложение дробей?
Дробь представляет собой часть целого.
Разложить дробь означает разбить ее на более мелкие части.
Объединение или добавление всех меньших или разложенных частей должно привести к исходной дроби.
Например, дробь $\frac{3}{4}$ означает, что у нас есть три из четырех равных частей. Мы можем разделить эту дробь на еще более мелкие части!
Дробь $\frac{3}{4}$ можно разложить на три четверти.
Если сложить эти части вместе, получится дробь $\frac{3}{4}$.
Что произойдет, если мы разложим дробь на сумму более мелких дробей? Разобьем числитель на части. В отличие от разбиения, где мы обычно рассматриваем дробную концепцию деления фигур на равные части, разложение не обязательно должно иметь эквивалентный размер.
Давайте посмотрим на другие разложения $\frac{3}{4}$.
$\frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4}$
Связанные рабочие листы
Как разложить дроби?
Разложение дробей может быть выполнено двумя способами: единичные дроби или неединичные дроби.
Как разложить дроби на дроби?
Дробь с единицей в числителе называется единичной дробью. Когда целое разделено на равные части, единичная дробь представляет собой одну часть целого — для пример , $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ и т. д.
Самый простой способ разложить дробь — значит разбить ее на единичные дроби.
Например,
Мы видим, что $\frac{5}{8}$ равно пятикратной единичной дроби $\frac{1}{8}$.
$\frac{5}{8} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac {1}{8}$
Когда вы разбиваете дробь на единичные дроби, вы делите ее на равные части.
Возьмем другой пример. Рассмотрим дробь $\frac{9}{5}$. Мы можем разделить дробь, как показано ниже.
$\frac{9}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac {1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5}$
Как разложить дроби на Неединичные дроби?
В этом методе мы разбиваем дробь на более мелкие одинаковые дроби. Мы можем выразить дробь как сумму меньших дробей, которые не все являются единичными дробями. При сложении всех разложенных дробей должна получиться исходная дробь.
Например, на рисунке ниже $\frac{7}{9}$ окружности разделена на четыре неравные части.
$\frac{7}{9} = \frac{3}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{2}{9}$.
Возьмем другой пример: как разложить $\frac{12}{5}$?
Мы можем разбить его на $\frac{5}{5} + \frac{5}{5} + \frac{2}{5} = 1 + 1 + \frac{2}{5} = 2 \frac{2}{5}$
Это дает нам смешанную числовую форму дроби $\frac{12}{5}$.
Как разложить смешанные числа?
Смешанная дробь — это комбинация целого числа и правильной дроби, число между двумя последовательными целыми числами.
Например, $1\frac{3}{4}$ — это смешанное число между целыми числами 1 и 2.
Заключение
Практика разложения дробей может помочь детям выполнять различные операции с дробями. Это улучшит их навыки упрощения и научит их различным методам освоения концепций и работы с дробями.
Решенные примеры
1. Разложить дробь $\frac{4}{7}$ на единичные дроби.
Решение : Чтобы разложить 47 на единичные дроби, мы можем разделить числитель четыре и представить дробь как сумму 4 седьмых.
$\frac{4}{7} = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7}$
2. Запишите данную дробь в виде суммы двух различных дробей: $\frac{3}{10}$ .
Решение .
Чтобы выразить дробь как сумму двух разных дробей, мы можем разложить числитель три на 1 и 2.
Итак, $\frac{3}{10} = \frac{1}{10} + \ frac{2}{10}$
3. Запишите дробь $\frac{6}{11}$ в виде суммы трех равных дробей.
Решение : Чтобы представить данную дробь в виде суммы трех равных дробей, мы можем разделить числитель шесть на три равные части. 6 долларов = 2 + 2 + 2
долларовИтак, $\frac{6}{11} = \frac{2}{11} + \frac{2}{11} + \frac{2}{11}$
4. Разложите неправильную дробь $\frac{7}{4}$ и запишите дробь в смешанной форме.
Решение : Чтобы разбить неправильную дробь, мы можем разделить числитель следующим образом:
$\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4 } = 1 + \frac{3}{4}= 1\frac{3}{4}$
Практические задачи
1
Какая из следующих сумм равна $\frac{1}{2}$?
$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$
$\frac{1} {4}+\frac{1}{2}$
Ничего из вышеперечисленного
Правильный ответ: $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$\frac{1 {4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
2
Выберите дробь, чтобы закончить уравнение $\frac{2} {8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} + \underline{} = \frac{10}{8}$
$\frac{4}{8}$
$\frac{3}{8}$
$\frac{2}{8}$
$\frac{1}{8}$
Правильный ответ: $\frac{4}{8}$
Поскольку $2 + 3 + 1 + 4 = 10, \frac{2}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1 {8} + \frac{4}{8} = \frac{10}{8}$
3
Какое выражение соответствует модели, показанной ниже?
$\frac{4}{12} + \frac{1}{12} + \frac{6}{12}$
$\frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{5}{10}$
$\frac{4}{12} + \frac{11}{2} + \frac{5}{12}$
$\frac{5}{10 } + \frac{5}{10}$
Правильный ответ: $\frac{4}{12} + \frac{11}{2} + \frac{5}{12}$
Целое разделено на 12 равных частей.
Синие части обозначают $\frac{4}{12}$ целого; желтая часть представляет $\frac{1}{12}$, а розовая часть представляет $\frac{5}{12}$.
4
Что из следующего эквивалентно $\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6}$?
A
B
C
D
Правильный ответ: B
$\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6} = \frac {5}{6}$
5
Выберите выражение, которое превышает $\frac{8}{11}$.
$\frac{2}{11} + \frac{2}{11} + \frac{2}{11}$
$\frac{2}{11} + \frac{3}{11} + \frac{5}{11}$
$\frac{1}{11} + \frac{3}{11} + \frac{3}{11}$
$\frac{1}{11 } + \frac{1}{11} + \frac{1}{11}$
Правильный ответ: $\frac{2}{11} + \frac{3}{11} + \frac{5} {11}$
Сумма $\frac{2}{11} + \frac{3}{11} + \frac{5}{11}$ равна $\frac{10}{11}$, больше $\frac{8}{11}$ .
Часто задаваемые вопросы
Можно ли разложить дроби с помощью операций, отличных от сложения?
Нет, когда мы разлагаем дробь, мы записываем ее как сумму меньших дробей. Разложить дробь означает разбить ее на более мелкие части. При объединении всех разложенных частей должна получиться исходная дробь.
Можем ли мы разложить единичную дробь?
Чтобы разложить единичную дробь, мы можем разложить дробь, эквивалентную единичной дроби. Например, $\frac{1}{3}$ – это дробная единица. $\frac{1}{3}$ равно $\frac{2}{6}$, поэтому мы можем записать его как $\frac{2}{6}$.
$\frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6}$
Следовательно, $\frac{1}{3} = \frac{1}{ 6} + \frac{1}{6}$
Можно ли разложить дроби на эквивалентные им дроби?
Равные дроби имеют разные числители и знаменатели, но имеют одинаковое значение. Разложение дроби означает запись ее в виде суммы меньших дробей. Поскольку эквивалентные дроби имеют одинаковое значение, мы не можем разложить дробь на эквивалентную дробь.
- Дробь
- Доля единицы измерения
- Смешанные номера
ДЕМОПОСОВАНИЯ Фракции: различные методы
Ключевые концепции
- Комплект и разлагайте
- Сочитывать и разложить фракции
- Смешанные номера
- Окновленные фракции
- Окновные фракции . Сказочные фракции
- . целыми, но их можно разбить дальше и снова объединить.
Объединение дробей вместе также называется составлением дробей.
- Составить означает «сложить число, используя его части».
Например, 300+40+5 = 345
- Составление дробей означает соединение дробей путем сложения.
Например, 2/5+1/5+1/5= 4/5
Здесь мы составили дробь 4/5, сложив дроби с одинаковыми знаменателями.
Запись дроби в виде суммы меньших дробей также известна как разложение дробей.
- Разложить означает «расколоться».
Разложить дробь означает разделить дробь на более мелкие части таким образом, что при сложении всех более мелких частей получается исходная дробь.
Например, 3/4 можно разложить как 1/4+1/4+1/4
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РАЗЛОЖЕНИЯ Дробей:Существуют разные способы разложения дроби
- 9023
- Использование суммы меньших дробей, не являющихся единичными дробями
- Разложение смешанных дробей
- Разбиение на единичные дроби
- Используя сумму меньших дробей, которые не являются единичными дробями
- Разбиение смешанных дробей
- Разлагайте следующие фракции с использованием единичных фракций.
- 2/4 b. 4/6 c. 3/5 d. 7/8
- До того, как Джон сделал свой первый ход, стояло 10 кеглей для боулинга. В свой первый ход он сбил 6 кеглей. На втором ходу он сбил 2 кегли. Запишите их в виде дробей и составьте из дробей.
- За обедом Алиса съела 3/8 своего бутерброда. Позже, на перекус, она съела еще 3/8 бутерброда. Напишите дополнительное предложение, которое показывает, сколько сэндвича съела Алиса. Предположим, Алиса съела одно и то же количество своего бутерброда 3 раза вместо 2. Напишите задачу на сложение, которая показывает, сколько она съела, как сумму 3 дробей.
- Нарисуйте картинки или используйте дроби, чтобы показать, почему уравнение правильное.
- Каким способом можно разложить?
- Разложите каждую дробь или смешанное число двумя способами.
Чтобы разложить дробь с помощью единичных дробей, мы должны знать, что такое единичные дроби.
Дроби единиц — это те дроби, в которых числитель всегда равен 1.
Например, , 1/2 , 1/3 , 1/4, 1/5 и т. д.,
Дроби единиц
Давайте посмотрим на эта ситуация.
Мисс Чарли хочет оставить 1/6 своего сада пустой и хочет посадить 5 видов растений на равной площади в остальной части своего сада.
Какова может быть площадь каждой части сада?
Предположим, что сад имеет прямоугольную форму и разделен на 6 равных частей.
Это означает, что каждый раздел показывает 1/6 часть сада.
Если она хочет оставить 1/6 часть сада пустой, то ей остается 5/6 части сада.
5/6 можно разложить как
1/6+1/6+1/6+1/6 +1/6
Пример 2:
Разложите 7/9, используя дроби.
7/9= 1/9+1/9+1/9+1/9+1/9+1/9+1/9
Мы также можем разложить дроби, используя сумму меньших дробей. Это похоже на запись числа в виде суммы различных меньших чисел; дроби также могут быть разложены с использованием более мелких дробей, отличных от единичных дробей.
Like 5 можно записать как 3 + 2 (или) 4 + 1 (или) 1 + 1 + 3
Рассмотрим ту же ситуацию.
Мисс Чарли может сажать разные части по-разному. Потому что 5/6.
можно записать как сумму меньших одинаковых дробей.
Например 5/6= 2/6+ 3/6 (или) 1/6+ 4/6 (или) 1/6+ 1/6+ 3/6
(или)
(или)
Пример 2: Разложите 9/12 на более мелкие дроби.
9/12= 3/12+5/12+1/12 (или) 2/12+4/12+3/12 (или) 4/12+5/12 и т. д.,
9/12 банка быть разложена на множество различных комбинаций.
Мы знаем, что дроби бывают трех типов; правильные дроби, неправильные дроби и смешанные дроби.
Среди всех трех вышеперечисленных мы можем преобразовать смешанные дроби в неправильные дроби и неправильные дроби в смешанные дроби.
Например,
В неправильной дроби числитель больше знаменателя, как в примере выше, в дроби 17/3 14 больше 3.
17/3 можно разложить как 1 целое + 1 целая + 1 целая + 1 целая + 2/3.
Аналогично, смешанная дробь 4*2/3 может быть разложена как
1 + 1 + 1 + 1 + 2/3.
(or)
1 +1 +1 +1 +1/3
Пример 2: разложение 3*2/4
Посмотрите на приведенную схему и заполните пропуски .
Посмотрите на приведенную здесь модель местности. Какая дробь, у которой числитель больше знаменателя, эквивалентна данной дроби?
