Простые числа близнецы: Простые числа-близнецы | это… Что такое Простые числа-близнецы?

Простые числа-близнецы | это… Что такое Простые числа-близнецы?

Простые числа-близнецы, или парные простые числа — пары простых чисел, отличающихся на 2.

Содержание 1 Общая информация 2 Теорема Бруна 3 Списки 4 Простые числа-триплеты 5 Квадруплеты простых чисел 6 Секступлеты простых чисел 7 См. также 8 Примечания

Общая информация

Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид .

По модулю 30 все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид (11, 13), (17, 19) или (29, 31).

Первые простые числа-близнецы:

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), 
  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),
  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),
  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа ^[1]. Они были найдены 24 декабря 2011 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid^[2].

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По гипотезе Харди-Литтлвуда, количество пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

где  — константа простых-близнецов:

Теорема Бруна

Вигго Брун в 1919 доказал, что и ряд обратных величин сходится

Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко.

Значение называется константой Бруна для простых-близнецов.

Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщенных простых близнецов.

Списки

Самые большие известные простые близнецы

• (200700 цифр)
• (100355 цифр)
• (58711 цифр)
• (51780 цифр)
• (51780 цифр)
• (51779 цифр)

Простые числа-триплеты

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщёно, последовательность простых чисел (p, p+2, p+6) или (p, p+4, p+6) называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

На данный момент наибольшими известными простыми-триплетами являются числа:

(p, p+2, p+6), где p = 2072644824759 × 2³³³³³ − 1 (10047 цифр, ноябрь, 2008, Norman Luhn, François Morain, FastECPP)

Квадруплеты простых чисел

Четвёрки простых чисел вида (p, p+2, p+6, p+8) или сдвоенные близнецы или квадруплеты:

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309),. .. — последовательность A007530 в OEIS.

По модулю 30 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).

По модулю 210 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13, 17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

Секступлеты простых чисел

Шестёрки простых чисел вида (p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16):

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) … — последовательность A022008 в OEIS.

По модулю 210 все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103, 107, 109, 113).

См. также

• Числа Софи Жермен
• Простые числа, отличающиеся на шесть
• Последовательности A001359 и A006512 из Энциклопедии числовых последовательностей.
• Арифметические прогрессии из простых чисел
• PrimeGrid

Примечания

1. ↑ The Largest Known Primes
2. ↑ World Record Twin Primes

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011.

Неизвестный математик совершил прорыв в теории простых чисел-близнецов / Хабр

alizar 20 мая 2013 в 10:09

Время на прочтение 2 мин

Количество просмотров 183K

Математика *

В математике чрезвычайно редко случается, чтобы учёный старше 40 лет опубликовал первую серьёзную научную работу. Ещё реже бывает, чтобы эта работа имела большую научную ценность. Именно такой редчайший случай представляет из себя доцент университета Нью-Гэмпшира Итан Чжан (Yitang Zhang), который до сих не имеет ни должности профессора, ни веб-странички со списком научных работ. Тем не менее, ему удалось совершить серьёзный шаг к решению одной из старейших математических проблем — гипотезе о простых числах-близнецах.

Когда журнал “Annals of Mathematics” получил 17 апреля 2013 года научную работу Чжана, они восприняли её скептически. Заявка на прорывное исследование от неизвестного учёного? Это слишком банально и часто встречается, чтобы оказаться правдой. На удивление редколлегии, несколько научных экспертов подробно изучили работу Чжана — и нашли доказательство гипотезы о расстоянии между парными простыми числами предельно ясным, чётким и бесспорным.

В результате, журнал одобрил работу для публикации в исключительно короткие сроки — уже через три недели после поступления.

В свои 50+ лет Итан Чжан преподаёт алгебраическую геометрию в университете, но теория чисел была его хобби. Как обычно, математики часто увлекаются простыми числами как одной из самых интересных загадок в этой области науки. Внимание Чжана привлекла теорема простых чисел-близнецов.

Решето Эратосфена — простой алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа n, путём вычёркивания всех чисел которые делятся на простой делитель: 2, 3, 5, 7 и т. д.

Математики давно обратили внимание, что распределение простых чисел в бесконечном числовом пространстве имеет определённые закономерности. В частности, странным феноменом выступают простые числа-близнецы, которые отличаются друг от друга на 2. Чем больше количество знаков, тем реже встречаются числа-близнецы, но всё равно они продолжают встречаться снова и снова.

В оригинальной версии гипотеза гласит, что существует бесконечное количество простых чисел-близнецов. Это предположение до сих пор никто не доказал и не опроверг. Самыми большими найденными простыми числами-близнецами, известными науке, являются 3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ –  1 и 3756801695685 × 2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ +  1.

Итан Чжан доказал, что существует бесконечно большое количество простых чисел, расстояние между которыми не превышает 70 миллионов. Эти пары будут встречаться всё реже и реже, но не исчезнут никогда, несмотря на действие теоремы о среднем расстоянии между простыми числами в 2,3 × N, где N — количество разрядов.

Другими словами, среднее расстояние между числами будет приближаться к бесконечности, по мере роста количества разрядов, но при этом всегда будут встречаться простые числа, удалённые друг от друга не более чем на 70 млн, что просто удивительно.

«Эта работа изменит правила игры, — говорит Эндрю Грэнвилль (Andrew Granville), теоретик в области теории чисел из Монреальского университета. — Иногда после появления нового доказательства то, что раньше казалось трудно доказать, становится просто небольшим расширением. Теперь нам нужно изучить работу и понять, что к чему». Но по качеству доказательства нет никаких вопросов: «Он проработал каждую деталь, так что никто не поставит его работу под сомнение», — добавил Грэнвилль.

UPD. Сама статья Чжана не опубликована в открытом доступе, но удалось найти выдержки из его выступления в Герварде 13 мая 2013 года (спасибо, EvgeshaS).

Теги:

• простые числа
• простые числа-близнецы
• Итан Чжан
• prime numbers

Хабы:

• Математика

Новый большой шаг к разгадке загадки простых чисел

Когда вы совершаете покупку по ссылкам на нашем сайте, мы можем получать партнерскую комиссию. Вот как это работает.

(Изображение предоставлено Shutterstock)

Математики обнаружили большое новое доказательство одной из самых известных недоказанных идей в математике, известной как гипотеза о простых числах-близнецах. Но путь, по которому они нашли это доказательство, вероятно, не поможет доказать саму гипотезу о простых числах-близнецах.

Гипотеза о простых числах-близнецах связана с тем, как и когда простые числа — числа, которые делятся только сами на себя и на 1 — появляются на числовой прямой. «Простые числа-близнецы» — это простые числа, которые находятся на расстоянии двух шагов друг от друга в этой строке: 3 и 5, 5 и 7, 29.и 31, 137 и 139 и так далее. Гипотеза о простых числах-близнецах утверждает, что существует бесконечно много простых чисел-близнецов, и что вы будете продолжать сталкиваться с ними независимо от того, как далеко вы продвинулись по числовой прямой. В нем также говорится, что существует бесконечно много пар простых чисел со всеми возможными промежутками между ними (пары простых чисел, которые находятся на расстоянии четырех шагов, восьми шагов друг от друга, 200 000 шагов и т.

д.). Математики почти уверены, что это правда. Это похоже на правду. А если бы это было неправдой, это означало бы, что простые числа не так уж случайны, как все думали, что исказило бы множество представлений о том, как работают числа в целом. Но никому так и не удалось это доказать.

Связанный:

Математики приблизились к решению математической задачи на миллион долларов

Однако сейчас они могут быть ближе, чем когда-либо прежде. В статье, опубликованной 12 августа в журнале препринтов arXiv, как впервые сообщила Quanta, два математика доказали, что гипотеза о простых числах близнецов верна — по крайней мере, в своего рода альтернативной вселенной.

Это то, чем занимаются математики: работать над большими доказательствами, попутно доказывая более мелкие идеи. Иногда уроки, извлеченные из этих небольших доказательств, могут помочь с большим доказательством.

В этом случае математики Уилл Савин из Колумбийского университета и Марк Шустерман из Висконсинского университета доказали версию гипотезы о простых числах-близнецах для альтернативной вселенной «конечных полей»: системы счисления, которые не уходят в бесконечность, как числа линии, а вместо этого зацикливаются на себе.

Вероятно, вы каждый день сталкиваетесь с конечным полем на циферблате часов. Он идет 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, а затем возвращается к 1. В этом конечном поле 3+3 по-прежнему равно 6. Но 3+11 =2. 92 делает график, который выглядит следующим образом:

(Изображение предоставлено Google)

Поскольку многочлены отображают формы, а не точки, которые вы получаете, когда рисуете отдельные простые числа, вы можете использовать геометрию, чтобы доказать то, что вы можете Не докажите о простых целых числах.

«Мы были не первыми, кто заметил, что можно использовать геометрию для понимания конечных полей», — сказал Шустерман Live Science.

Другие исследователи доказали уменьшенные версии гипотезы о простых числах-близнецах относительно определенных видов многочленов над конечными полями. Но доказательство Савина и Шустермана потребовало от исследователей вернуться и во многих отношениях начать с нуля, сказал Савин.

«У нас было наблюдение, которое позволило нам проделать трюк… который сделал геометрию намного лучше, так что она применима во всех этих случаях», — сказал Шустерман.

Этот геометрический трюк, по его словам, привел к их прорыву: доказательству того, что эта специальная версия гипотезы о простых числах-близнецах верна для всех многочленов над конечными полями, а не только для некоторых из них.

Плохая новость, по словам Савина, заключается в том, что, поскольку их трюк в значительной степени зависит от геометрии, его, вероятно, невозможно будет использовать для доказательства самой гипотезы о простых числах-близнецах. Лежащая в основе математика слишком отличается.

Тем не менее, Шустерман сказал, что доказательство случая конечных полей — это большое новое доказательство, которое можно добавить в кучу, дразня математиков возможностью того, что доказательство, которого все ждут, где-то там.

Как будто они хотели увидеть вершину высокой крутой горы, а вместо этого взобрались на другую гору неподалеку. Они почти видят далекий пик, но он окутан облаками. И маршрут, по которому они добрались до вершины второй горы, вероятно, не сработает на той горе, которая их действительно интересует. 0003

Шустерман сказал, что надеется продолжить работу с Савином над проблемой простых чисел-близнецов, и что всегда возможно, что-то, чему они научились, делая это доказательство, в конце концов, окажется важным для доказательства гипотезы о простых числах-близнецах.

• 9 чисел, которые круче числа Пи
• Самые красивые уравнения в мире
• 9 самых больших существующих чисел

Первоначально опубликовано на Live Science .

Нужно больше места? Вы можете получить 5 выпусков нашего партнерского журнала «Все о космосе» за $5 , чтобы быть в курсе последних потрясающих новостей с последнего рубежа! (Изображение предоставлено Future plc)

Будьте в курсе последних научных новостей, подписавшись на нашу рассылку Essentials.

Свяжитесь со мной, чтобы сообщить о новостях и предложениях от других брендов Future. Получайте электронные письма от нас от имени наших надежных партнеров или спонсоров.

Рафи присоединился к Live Science в 2017 году. Он имеет степень бакалавра журналистики Школы журналистики Медилла Северо-Западного университета. Вы можете найти его прошлые научные репортажи на Inverse, Business Insider и Popular Science, а его прошлые фотожурналистские работы — на Flash9.0 и на страницах The Courier Post в южном Нью-Джерси.

1. 1

   Следы возрастом 300 000 лет показывают, что вымершие люди отправились на семейную прогулку на берегу озера среди гигантских слонов и носорогов тысяч лет

2. 3

   Нью-Йорк может пойти ко дну под собственным весом, потому что здания слишком тяжелые, предупреждают ученые

3. 4

   Почему насекомых привлекает искусственное освещение?

4. 5

   Прекрасно сохранившийся скелет 7000-летней давности, обнаруженный во время реконструкции в Польше залезает в дом во время сильного ливня

5. 2

   Носорог «Громовые звери» стали огромными в мгновение ока после того, как динозавры вымерли

6. 3

   5400-летняя гробница, обнаруженная в Испании, точно запечатлела летнее солнцестояние

   5

   Крупнейший пресноводный виды черепах, обреченные на вымирание после того, как последняя самка вымыла мертвых

Первое доказательство того, что пары простых чисел образуют бесконечность

Кембридж, Массачусетс

Математик Итан Чжан представил доказательство «слабой» версии гипотезы о простых числах-близнецах. Кредит: Мэгги Макки

Это результат, который может полюбить только математик. Исследователи, надеющиеся получить «2» в качестве ответа на долгожданное доказательство с участием пар простых чисел, празднуют тот факт, что математик боролся с уменьшением значения от бесконечности до 70 миллионов.

«Это всего в 35 миллионах от цели», — язвительно замечает Дэн Голдстон, специалист по аналитической теории чисел из Университета штата Сан-Хосе в Калифорнии, не участвовавший в работе. Фактор 35 миллионов, то есть. «Каждый шаг вниз — это шаг к окончательному ответу», — добавляет он.

Эта цель — доказательство гипотезы о простых числах: целых числах, которые делятся только на единицу и сами на себя. Простые числа изобилуют меньшими числами, но становятся все реже и реже по мере увеличения чисел. На самом деле в среднем разрыв между каждым простым числом и следующим становится все больше и больше. Но есть исключения: «простые числа-близнецы», представляющие собой пары простых чисел, значение которых отличается всего на 2. Примерами известных простых чисел-близнецов являются 3 и 5, 17 и 19 и 2 003 663 613 × 2 9.0151 195 000 − 1 и 2 003 663 613 × 2 ^{195 000} + 1.

«Гипотеза о простых числах-близнецах» утверждает, что существует бесконечное число таких пар-близнецов. Некоторые приписывают эту гипотезу греческому математику Евклиду Александрийскому; если это правда, это сделало бы ее одной из старейших открытых проблем в математике.

Пока проблема ускользала от всех попыток найти решение. Важная веха была достигнута в 2005 году, когда Голдстон и двое его коллег показали, что существует бесконечное число пар простых чисел, отличающихся не более чем на 16 (ссылка 1). Но была загвоздка. «Они предполагали гипотезу, которую никто не знает, как доказать», — говорит Дориан Голдфельд, теоретик чисел из Колумбийского университета в Нью-Йорке.

Новый результат Итанга Чжана из Университета Нью-Гемпшира в Дареме показывает, что существует бесконечное число пар простых чисел, расстояние между которыми составляет менее 70 миллионов единиц, без опоры на недоказанные предположения. И хотя 70 миллионов может показаться очень большим числом, существование любой конечной границы, независимо от того, насколько она велика, означает, что промежутки между последовательными числами не растут вечно. Скачок с 2 до 70 миллионов ничто по сравнению со скачком с 70 миллионов до бесконечности. «Если это правда, я совершенно поражен», — говорит Голдфельд.

‘Первого ранга’

Чжан представил свое исследование 13 мая аудитории из нескольких десятков человек в Гарвардском университете в Кембридже, штат Массачусетс, и тот факт, что в работе, похоже, используются стандартные математические методы, заставил некоторых задаться вопросом, мог ли Чжан действительно добиться успеха там, где другие потерпели неудачу. .

Но судейский отчет из Annals of Mathematics , в который Чжан отправил свою статью, предполагает, что он это сделал. «Основные результаты относятся к первому рангу», — говорится в отчете, копию которого Чжан предоставил Природа .