Разное

Производная от функции заданной параметрически: Дифференцирование функции, заданной параметрически

{2}}} \\ \end{align}\]

А вот это уже привычные нам аналитические функции, и для них можно посчитать производную!

К сожалению, далеко не всегда параметрическое уравнение вида

\[\left\{ \begin{align} & x=\varphi \left( t \right) \\ & y=\psi \left( t \right) \\ \end{align} \right.\]

можно свести к привычными выражениям вида $y=f\left( x \right)$. Но это ни в коем случае не означает, что для таких параметрических функций нельзя посчитать производную. Можно и даже нужно. И поможет нам в этом следующая формула.

Содержание

2. Производная функции, заданной параметрически

Итак, основная теорема.

Теорема 1. Пусть функция $y=f\left( x \right)$ задана параметрически:

\[\left\{ \begin{align} & x=\varphi \left( t \right) \\ & y=\psi \left( t \right) \\ \end{align} \right.\]

Тогда производная этой функции считается по формуле

\[{{{y}’}_{x}}\left( x \right)=\frac{{{{{y}’}}_{t}}\left( t \right)}{{{{{x}’}}_{t}}\left( t \right)}\]

Эту теорему очень легко доказать. {-1}}\left( x \right) \right)= \\ & ={{{{\psi }’}}_{x}}\left( t \right)= \\ & ={{{{\psi }’}}_{t}}\left( t \right)\cdot {{{{t}’}}_{x}}\left( x \right) \end{align}\]

Но по теореме об обратной функции ${{{t}’}_{x}}={1}/{{{{{x}’}}_{t}}}\;$, поэтому

\[{{{y}’}_{x}}\left( x \right)=\frac{{{{{\psi }’}}_{t}}\left( t \right)}{{{{{x}’}}_{t}}\left( t \right)}\]

Что и требовалось доказать.

Замечание. Когда выражение дифференцируется по разным переменным, целесообразно указывать в нижним индексе ту переменную, по которой выполняется дифференцирование: ${{{y}’}_{x}}$, ${{{y}’}_{t}}$, ${{{x}’}_{t}}$ и т.д.

Это поможет избежать недоразумений и глупых вычислительных ошибок. Кроме того, подобные обозначения активно используются в дифференциальном исчислении функций нескольких переменных.

Детальное руководство по работе с нижними индексами и переменными дифференцирования — см. урок «Производная сложной функции». Сейчас просто отметим, что мы привыкли считать производную по переменной $x$.

{\prime }}_{\varphi }=b\cos \varphi\end{align}\]

Находим ${{{y}’}_{x}}$:

\[{{{y}’}_{x}}=\frac{{{{{y}’}}_{\varphi }}}{{{{{x}’}}_{\varphi }}}=\frac{b\cos \varphi }{-a\sin \varphi }=-\frac{b}{a}\operatorname{ctg}\varphi \]

2.2. Производная в точке

Понятно, что это были совсем простые задачи. Буквально через минуту мы рассмотрим примеры посерьёзнее, но сначала важное дополнение.

Часто нам требуется посчитать не производную функции вообще, а лишь в конкретной точке. Например, чтобы провести касательную или нормаль к кривой, заданной параметрически, в некой точке ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$, лежащей на этой кривой.

В этом случае задача ещё более упрощается.

Пример 4. Найдите ${{{y}’}_{x}}$ при $t={\pi }/{4}\;$, если

\[\begin{align} & x\left( t \right)=t\cdot \left( t\cos t-2\sin t \right) \\ & y\left( t \right)=t\cdot \left( t\sin t+2\cos t \right) \\ \end{align}\]

Задача явно серьёзнее, чем все предыдущие. {2}}}=-1\]

Разумеется, можно было сначала найти общую формулу для ${{{y}’}_{x}}$, а уже затем подставить в неё $t={\pi }/{4}\;$ — результат получится точно такой же.

3. Типичные ошибки при вычислении производных

А теперь, пожалуй, ключевой момент, связанный с дифференцированием параметрических функций. Ошибка, которую я сам допустил много лет назад.

Давайте ещё раз взглянем на функцию, заданную параметрически:

\[\left\{ \begin{align} & x=\varphi \left( t \right) \\ & y=\psi \left( t \right) \\ \end{align} \right.\]

И на производную этой функции:

\[{{{y}’}_{x}}\left( x \right)=\frac{{{{{y}’}}_{t}}\left( t \right)}{{{{{x}’}}_{t}}\left( t \right)}\]

А теперь представьте, что надо посчитать вторую производную: ${{{y}»}_{xx}}$. И тут у многих проскакивает мысль: а что если взять формулу для первой производной и просто увеличить в ней количество «штрихов»?

Получится что-то типа вот этого:

\[{{{y}»}_{xx}}\left( x \right)=\frac{{{{{y}»}}_{tt}}\left( t \right)}{{{{{x}»}}_{tt}}\left( t \right)}\]

Так вот: эта формула не верна!

Чтобы правильно найти вторую производную функции, заданной параметрически, достаточно вспомнить, что вторая производная — это просто производная от производной:

\[{{{y}»}_{xx}}={{\left( {{{{y}’}}_{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\]

Проще говоря, сначала мы находим ${{{y}’}_{x}}$ — это будет какая-то функция от $t$. {\prime }}_{t}}{{{{{x}’}}_{t}}}\]

Тут нас ждёт две новости:

  • Хорошая: мы уже знаем ${{{x}’}_{t}}$. Это значит, что каждая последующая производная будет считаться чуть проще и быстрее;
  • Плохая: можно легко запутаться во всех этих штрихах и переменных.

Чтобы разобраться с плохой новостью, достаточно просто небольшой практики. Поэтому сейчас мы разберём три примера. А точнее, три задачи из контрольных работ МГТУ им. Баумана. А там знают толк в производных.:)

Пример 5. Найдите ${{{y}»}_{xx}}$, если

\[\left\{ \begin{align} & x=\cos 2t \\ & y=\sin t \\ \end{align} \right.\]

1. Сначала находим первую производную. Для этого считаем ${{{x}’}_{t}}$ и ${{{y}’}_{t}}$:

\[\begin{align} & {{{{x}’}}_{t}}=-2\sin 2t=-4\sin t\cos t \\ & {{{{y}’}}_{t}}=\cos t \end{align}\]

Откуда находим саму производную ${{{y}’}_{x}}$:

\[{{{y}’}_{x}}=\frac{{{{{y}’}}_{t}}}{{{{{x}’}}_{t}}}=\frac{\cos t}{-4\sin t\cos t}=-\frac{1}{4\sin t}\]

2. {5}}t}\]

Задача решена. Хотя вычислений получилось довольно много.

В любом случае помните главную формулу:

\[{{{y}’}_{x}}\left( x \right)=\frac{{{{{\psi }’}}_{t}}\left( t \right)}{{{{{x}’}}_{t}}\left( t \right)}\]

И помните, что вторая производная не равна частному вторых производных:

\[{{{y}»}_{xx}}\left( x \right)\ne \frac{{{{{\psi }»}}_{tt}}\left( t \right)}{{{{{x}»}}_{tt}}\left( t \right)}\]

Попытка использовать эту формулу для нахождения производных высших порядков будет считаться грубой ошибкой.

Вот и вся теория. Теперь — за практику!:)

Смотрите также:

  1. Частные производные для функции нескольких переменных
  2. Формула полной вероятности
  3. Тест по теории вероятностей (1 вариант)
  4. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  5. Процент: неизвестно начальное значение (метод пропорции)
  6. Производительность совместного труда

Производная параметрически заданной функции

x=φ(t), y=ψ(t), t∈(a; b)
yx’=ψ'(t)φ'(t)yx»=ψ»(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ»(t)φ’t3

Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид y=f(x). Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар (х; у),которые необходимо вычислять для параметра t по промежутку (а; b).  Для решения системы x=3·cos ty=3·sin t с 0≤t<2π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3.

Определение параметрической функции

Отсюда имеем, что x=φ(t), y=ψ(t) определены на при значении t∈(a; b) и имеют обратную функцию t=Θ(x) для x=φ(t), тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида y=ψ(Θ(x)).

Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по х. Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида yx’=ψ'(t)φ'(t), поговорим о производной 2 и n-ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции

Имеем, что x=φ(t), y=ψ(t), определенные и дифферецируемые при значении t∈a; b, где xt’=φ'(t)≠0 и x=φ(t), тогда существует обратная функция вида t=Θ(x).

Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида y=ψ(t)=ψ(Θ(x)), где имеется аргумент x.

Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что y’x=ψΘ(x)=ψ’Θx·Θ’x.

Отсюда видно, что t=Θ(x) и x=φ(t) являются обратными функциями из формулы обратной функции Θ'(x)=1φ'(t), тогда y’x=ψ’Θ(x)·Θ'(x)=ψ'(t)φ'(t).

Перейдем  к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.

Пример 1

Найти производную для функции x=t2+1y=t.

Решение

По условию имеем, что φ(t)=t2+1, ψ(t)=t, отсюда получаем, что φ'(t)=t2+1′, ψ'(t)=t’=1. Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:

y’x=ψ'(t)φ'(t)=12t

Ответ: yx’=12tx=t2+1.

При работе  с производной функции ч параметром t указывается выражение аргумента x через этот же параметр t, чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.

Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка  на полученной функции, тогда получаем, что

y»x=ψ'(t)φ'(t)’φ'(t)=ψ»(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ»(t)φ'(t)2φ'(t)=ψ»(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ»(t)φ'(t)3.

Пример 2

Найти производные 2 и 2 порядка заданной функции x=cos(2t)y=t2.

Решение

По условию получаем, что φ(t)=cos(2t), ψ(t)=t2.

Тогда после преобразования

φ'(t)=cos(2t)’=-sin(2t)·2t’=-2sin(2t) ψ(t)=t2’=2t

Отсюда следует, что yx’=ψ'(t)φ'(t)=2t-2sin2t=-tsin(2t).

Получим, что вид производной 1 порядка x=cos(2t)yx’=-tsin(2t).

Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида

yx»=-tsin(2t)φ’t=-t’·sin(2t)-t·(sin(2t))’sin2(2t)-2sin(2t)==1·sin(2t)-t·cos(2t)·(2t)’2sin3(2t)=sin(2t)-2t cos(2t)2sin3(2t)

Тогда задание производной 2 порядка с помощью параметрической функции

x=cos(2t)yx»=sin(2t)-2t cos(2t)2sin3(2t)

Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда

φ’t=(cos(2t))’=-sin(2t)·2t’=-2sin(2t)⇒φ»t=-2sin (2t)’=-2·sin(2t)’=-2cos(2t)·(2t)’=-4cos(2t)ψ'(t)=(t2)’=2t⇒ψ»(t)=(2t)’=2

Отсюда получаем, что

y»x=ψ»(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ»(t)φ'(t)3=2·-2sin(2t)-2t·(-4cos (2t))-2sin 2t3==sin(2t)-2t·cos(2t)2sin3(2t)

Ответ: y»x=sin(2t)-2t·cos(2t)2sin3(2t)

Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р.

Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Производная параметрически заданной функции

  • Разбираем формулу параметрически заданной функции
  • Решаем задачи вместе
  • Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения
  • Производная параметрической функции онлайн

Для нахождения производной параметрически заданной функции cуществует очень простая формула. При этом нет необходимости находить непосредственную зависимость y от x.

Наша задача — научиться находить производные функций, заданных параметрическими уравнениями

или функциями.

Для этого требуется находить производные «обыкновенных» функций и упрощать выражения.

Определённую параметрическими уравнениями функцию y = f(x) можно рассматривать как сложную функцию:

(y зависит от t),

(t зависит от x).

В этой паре формул нетрудно заметить, что t — промежуточный аргумент или параметр (отсюда и название — параметрически заданная функция).

Функция — обратная для функции .

Самое время узнать обещанную простую формулу для нахождения производной параметрически заданной функции.

Вот эта формула:

,

или, что то же самое

.

Здесь производная игрека по иксу — требуемая в условии задачи производная параметрически заданной функции, в числителе — производная второй из функций, которыми параметрически задана функция, в знаменателе — производная первой из функций. Формула доказана в математическом анализе на основании правил дифференцирования сложной функции и обратной функции.

Пример 1. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Находим отношение этих производных:

.

Найденное отношение и есть производная данной параметрически заданной функции.

Проверить решение можно на калькуляторе параметрической функции онлайн.

Пример 2. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных:

.

Подозреваем, что выражение получилось довольно сложное. Нельзя ли его упростить? Оказывается, можно, если вспомнить из школьного курса тригонометрические функции половинного аргумента. Результатом их применения и будет требуемая в задании производная параметрически заданной функции:

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Пример 3. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, производим одношаговое упрощение выражения и получаем производную данной параметрически заданной функции:

.

Пример 4. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция:

.

Находим производную первой из функций:

.

Записываем отношение этих производных, упрощаем и получаем производную данной параметрически заданной функции:

.

Проверить решение можно на калькуляторе параметрической функции онлайн.

Пример 5. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Решение. Находим производную второй из функций, которыми параметрически задана данная функция, причёсываем» степени, но не преобразуем их в корни, так как нам ещё предстоит находить отношения найденных производных:

.

Находим производную первой из функций, так же оставляем всё со степенями:

.

Находим отношение этих производных, для этого пользуемся свойством степеней: чтобы разделить выражение с некоторым аргументом в одной степени на выражение с тем же аргументом в другой степени, из первого показателя степени нужно вычесть второй показатель степени. Таким образом, получаем производную данной параметрически заданной функции:

Пример 6. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Правильное решение и ответ.

Пример 8. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

Правильное решение и ответ.

НазадЛистатьВперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Поделиться с друзьями

Производные

  • Что такое производная
  • Найти производную: алгоритм и примеры решений
  • Производные произведения и частного функций
  • Производная суммы дробей со степенями и корнями
  • Производные простых тригонометрических функций
  • Производная сложной функции
  • Производная логарифмической функции
  • Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  • Дифференциал функции
  • Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
  • Правило Лопиталя

Функции несольких переменных

  • Функции нескольких переменных
  • Частные производные
  • Экстремумы функции двух переменных
  • Условные экстремумы и функция Лагранжа

Производная параметрически заданной функции.

Функции, заданные параметрически

До сих пор рассматривались уравнения линий на плоскости, связывающие непосредственно текущие координаты точек этих линий. Однако часто применяется другой способ задания линии, в котором текущие координаты рассматриваются как функции третьей переменной величины.

Пусть даны две функции переменной

рассматриваемые для одних и тех же значений t. Тогда любому из этих значений t соответствует определенное значение и определенное значение у, а следовательно, и определенная точка . Когда переменная t пробегает все значения из области определения функций (73), точка описывает некоторую линию С в плоскости Уравнения (73) называются параметрическими уравнениями этой линии, а переменная — параметром.

Предположим, что функция имеет обратную функцию Подставив эту функцию во второе из уравнений (73), получим уравнение

выражающее у как функцию

Условимся говорить, что эта функция задана параметрически уравнениями (73). Переход от этих уравнений к уравнению (74) называется исключением параметра. При рассмотрении функций, заданных параметрически, исключение параметра не только не обязательно, но и не всегда практически возможно.

Во многих случаях гораздо удобнее, задаваясь различными значениями параметра вычислять затем по формулам (73) соответствующие значения аргумента и функции у.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть — произвольная точка окружности с центром в начале координат и радиусом R. Декартовы координаты х и у этой точки выражаются через ее полярный радиус и полярный угол, который мы здесь обозначим через t, следующим образом (см. гл. I, § 3, п. 3):

Уравнения (75) называются параметрическими уравнениями окружности. Параметром в них является полярный угол , который меняется в пределах от 0 до .

Если уравнения (75) почленно возвести в квадрат и сложить, то в силу тождества параметр исключится и получится уравнение окружности в декартовой системе координат определяющее две элементарные функции:

Каждая из этих функций задается параметрически уравнениями (75), но области изменения параметра для этих функций различны. Для первой из них ; графиком этой функции служит верхняя полуокружность. Для второй функции графиком ее является нижняя полуокружность.

Пример 2. Рассмотрим одновременно эллипс

и окружность с центром в начале координат и радиусом а (рис. 138).

Каждой точке М эллипса сопоставим точку N окружности, имеющую ту же абсциссу, что и точка М, и расположенную с ней по одну сторону от оси Ох. Положение точки N, а следовательно, и точки М, вполне определяется полярным углом t точки При этом для их общей абсциссы получим следующее выражение: х = a. Ординату у точки М найдем из уравнения эллипса:

Знак выбран потому, что ордината у точки М и ордината точки N должны иметь одинаковые знаки.

Таким образом, для эллипса получены следующие параметрические уравнения:

Здесь параметр t изменяется от 0 до .

Пример 3. Рассмотрим окружность с центром в точке а) и радиусом а, которая, очевидно, касается оси абсцисс в начале координат (рис. 139). Предположим, это эта окружность катится без скольжения по оси абсцисс. Тогда точка М окружности, совпадавшая в начальный момент с началом координат, описывает линию, которая называется циклоидой.

Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв за параметр t угол МСВ поворота окружности при перемещении ее фиксированной точки из положения О в положение М. Тогда для координат и у точки М мы получим следующие выражения:

Вследствие того что окружность катится по оси без скольжения, длина отрезка ОВ равна длине дуги ВМ. Так как длина дуги ВМ равна произведению радиуса а на центральный угол t, то . Поэтому . Но Следовательно,

Эти уравнения и являются параметрическими уравнениями циклоиды. При изменении параметра t от 0 до окружность совершит один полный оборот. Точка М при этом опишет одну арку циклоиды.

Исключение параметра t приводит здесь к громоздким выражениям и практически нецелесообразно.

Параметрическое задание линий особенно часто используется в механике, причем роль параметра играет время.

Пример 4. Определим траекторию снаряда, выпущенного из орудия с начальной скоростью под углом а к горизонту. Сопротивлением воздуха и размерами снаряда, считая его материальной точкой, пренебрегаем.

Выберем систему координат. За начало координат примем точку вылета снаряда из дула. Ось Ох направим горизонтально, а ось Оу — вертикально, расположив их в одной плоскости с дулом орудия. Если бы не было силы земного тяготения, то снаряд двигался бы по прямой, составляющей угол а с осью Ох и к моменту времени t прошел бы путь Координаты снаряда в момент времени t были бы соответственно равны: . Вследствие земного тяготения снаряд должен к этому моменту вертикально опуститься на величину Поэтому в действительности в момент времени t координаты снаряда определяются по формулам:

В этих уравнениях — постоянные величины. При изменении t будут изменяться также координаты у точки траектории снаряда. Уравнения являются параметрическими уравнениями траектории снаряда, в которых параметром является время

Выразив из первого уравнения и подставив его во

второе уравнение, получим уравнение траектории снаряда в виде Это — уравнение параболы.

Формула производной функции, заданной параметрическим способом. Доказательство и примеры применения этой формулы. Примеры вычисления производных первого, второго и третьего порядка.

Пусть функция задана параметрическим способом:
(1)
где некоторая переменная, называемая параметром. И пусть функции и имеют производные при некотором значении переменной . Причем и функция имеет обратную функцию в некоторой окрестности точки . Тогда функция (1) имеет в точке производную , которая, в параметрическом виде, определяется по формулам:
(2)

Здесь и — производные функций и по переменной (параметру) . Их часто записывают в следующем виде:
;
.

Тогда систему (2) можно записать так:

Доказательство

По условию, функция имеет обратную функцию. Обозначим ее как
.
Тогда исходную функцию можно представить как сложную функцию:
.
Найдем ее производную, применяя правила дифференцирования сложной и обратной функций:
.

Правило доказано.

Доказательство вторым способом

Найдем производную вторым способом, исходя из определения производной функции в точке :
.
Введем обозначение:
.
Тогда и предыдущая формула принимает вид:
.

Воспользуемся тем, что функция имеет обратную функцию , в окрестности точки .
Введем обозначения:
; ;
; .
Разделим числитель и знаменатель дроби на :
.
При , . Тогда
.

Правило доказано.

Производные высших порядков

Чтобы найти производные высших порядков, надо выполнять дифференцирование несколько раз. Допустим, нам надо найти производную второго порядка от функции, заданной параметрическим способом, следующего вида:
(1)

По формуле (2) находим первую производную, которая также определяется параметрическим способом:
(2)

Обозначим первую производную, посредством переменной :
.
Тогда, чтобы найти вторую производную от функции по переменной , нужно найти первую производную от функции по переменной . Зависимость переменной от переменной также задана параметрическим способом:
(3)
Сравнивая (3) с формулами (1) и (2), находим:

Теперь выразим результат через функции и . Для этого подставим и применим формулу производной дроби :
.
Тогда
.

Отсюда получаем вторую производную функции по переменной :

Она также задана в параметрическом виде. Заметим, что первую строку также можно записать следующим образом:
.

Продолжая процесс, можно получить производные функции от переменной третьего и более высоких порядков.

Заметим, что можно не вводить обозначение для производной . Можно записать так:
;
.

Пример 1

Найдите производную от функции, заданной параметрическим способом:

Решение

Находим производные и по .
Из таблицы производных находим:
;
.
Применяем :

.
Здесь .

.
Здесь .

Искомая производная:
.

Ответ

Пример 2

Найдите производную от функции, выраженной через параметр :

Решение

Раскроим скобки, применяя формулы для степенных функций и корней :
.

Находим производную :

.

Находим производную . Для этого введем переменную и применим формулу производной сложной функции .

.

Находим искомую производную:
.

Ответ

Пример 3

Найдите производные второго и третьего порядков от функции, заданной параметрическим способом в примере 1:

Решение

В примере 1 мы нашли производную первого порядка:

Введем обозначение . Тогда функция является производной по . Она задана параметрическим способом:

Чтобы найти вторую производную по , нам надо найти первую производную по .

Дифференцируем по .
.
Производную по мы нашли в примере 1:
.
Производная второго порядка по равна производной первого порядка по :
.

Итак, мы нашли производную второго порядка по в параметрическом виде:

Теперь находим производную третьего порядка. Введем обозначение . Тогда нам нужно найти производную первого порядка от функции , которая задана параметрическим способом:

Находим производную по . Для этого перепишем в эквивалентном виде:
.
Из

.

Производная третьего порядка по равна производной первого порядка по :
.

Замечание

Можно не вводить переменные и , которые являются производными и , соответственно. Тогда можно записать так:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Ответ

В параметрическом представлении, производная второго порядка имеет следующий вид:

Производная третьего порядка:

Рассмотрим задание линии на плоскости, при котором переменные x, y являются функциями третьей переменной t (называемой параметром):

Для каждого значения t из некоторого интервала соответствуют определенные значения x и y, а , следовательно, определенная точка M (x, y) плоскости. Когда t пробегает все значения из заданного интервала, то точка M (x, y ) описывает некоторую линию L . Уравнения (2.2) называются параметрическими уравнениями линии L .

Если функция x = φ(t) имеет обратную t = Ф(x), то подставляя это выражение в уравнение y = g(t), получим y = g(Ф(x)), которое задает y как функцию от x . В этом случае говорят, что уравнения (2.2) задают функцию y параметрически.

Пример 1. Пусть M (x, y) – произвольная точка окружности радиуса R и с центром в начале координат. Пусть t – угол между осью Ox и радиусом OM (см. рис. 2.3). Тогда x, y выражаются через t:

Уравнения (2.3) являются параметрическими уравнениями окружности. Исключим из уравнений (2.3) параметр t. Для этого каждое из уравнений возведем в квадрат и сложим, получим: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) или x 2 + y 2 = R 2 – уравнение окружности в декартовой системе координат. Оно определяет две функции: Каждая из этих функций задается параметрическими уравнениями (2.3), но для первой функции , а для второй .

Пример 2 . Параметрические уравнения

задают эллипс с полуосями a, b (рис. 2.4). Исключая из уравнений параметр t , получим каноническое уравнение эллипса:

Пример 3 . Циклоидой называется линия, описанная точкой, лежащей на окружности, если эта окружность катится без скольжения по прямой (рис. 2.5). Введем параметрические уравнения циклоиды. Пусть радиус катящейся окружности равен a , точка M , описывающая циклоиду, в начале движения совпадала с началом координат.

Определим координаты x , y точки M после того, как окружность повернулась на угол t
(рис. 2.5), t = ÐMCB . Длина дуги MB равна длине отрезка OB, так как окружность катится без скольжения, поэтому

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – cost).

Итак, получены параметрические уравнения циклоиды:

При изменении параметра t от 0 до 2π окружность поворачивается на один оборот, при этом точка M описывает одну арку циклоиды. Уравнения (2.5) задают y как функцию от x . Хотя функция x = a(t – sint) имеет обратную функцию, но она не выражается через элементарные функции, поэтому функция y = f(x) не выражается через элементарные функции.

Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически уравнениями (2.2). Функция x = φ(t) на некотором интервале изменения t имеет обратную функцию t = Ф(x) , тогда y = g(Ф(x)) . Пусть x = φ(t) , y = g(t) имеют производные, причем x»t≠0 . По правилу дифференцирования сложной функции y»x=y»t×t»x. На основании правила дифференцирования обратной функции , поэтому:

Полученная формула (2.6) позволяет находить производную для функции, заданной параметрически.

Пример 4. Пусть функция y , зависящая от x , задана параметрически:


Решение . .
Пример 5. Найти угловой коэффициент k касательной к циклоиде в точке M 0 , соответствующей значению параметра .
Решение. Из уравнений циклоиды: y» t = asint, x» t = a(1 – cost), поэтому

Угловой коэффициент касательной в точке M 0 равен значению при t 0 = π/4:

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция в точке x 0 имеет производную. По определению:
поэтому по свойствам предела (разд. 1.8) , где a – бесконечно малая при Δx → 0 . Отсюда

Δy = f «(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

При Δx → 0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с , поэтому Δy и f » (x 0)×Δx – эквивалентные, бесконечно малые (при f «(x 0) ≠ 0).

Таким образом, приращение функции Δy состоит из двух слагаемых, из которых первое f «(x 0)×Δx является главной частью приращения Δy, линейной относительно Δx (при f «(x 0)≠ 0).

Дифференциалом функции f(x) в точке x 0 называется главная часть приращения функции и обозначается: dy или df (x 0) . Следовательно,

df (x0) =f «(x0)×Δx. (2.8)

Пример 1. Найти дифференциал функции dy и приращение функции Δy для функции y = x 2 при:
1) произвольных x и Δx ; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Решение

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2 , dy = 2xΔx.

2) Если x 0 = 20, Δx = 0,1, то Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Запишем равенство (2.7) в виде:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Приращение Δy отличается от дифференциала dy на бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с Δx, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством Δy ≈ dy, если Δx достаточно мало.

Учитывая, что Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), получаем приближенную формулу:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Пример 2 . Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим:

Используя формулу (2.10), получим:

Значит, ≈ 2,025.

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала df(x 0) (рис. 2.6).

Проведем к графику функции y = f(x) касательную в точке M 0 (x0, f(x 0)), пусть φ – угол между касательной KM0 и осью Ox, тогда f»(x 0) = tgφ. Из ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f «(x 0)×Δx = df(x 0). Но PN является приращением ординаты касательной при изменении x от x 0 до x 0 + Δx.

Следовательно, дифференциал функции f(x) в точке x 0 равен приращению ординаты касательной.

Найдем дифференциал функции
y = x. Так как (x)» = 1, то dx = 1×Δx = Δx. Будем считать, что дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, т.е. dx = Δx.

Если x – произвольное число, то из равенства (2.8) получаем df(x) = f «(x)dx, откуда .
Таким образом, производная для функции y = f(x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента.

Рассмотрим свойства дифференциала функции.

Если u(x), v(x) – дифференцируемые функции, то справедливы следующие формулы:

Для доказательства этих формул используются формулы производных для суммы, произведения и частного функции. Докажем, например, формулу (2.12):

d(u×v) = (u×v)»Δx = (u×v» + u»×v)Δx = u×v»Δx + u»Δx×v = u×dv + v×du.

Рассмотрим дифференциал сложной функции: y = f(x), x = φ(t), т.е. y = f(φ(t)).

Тогда dy = y» t dt, но y» t = y» x ×x» t , поэтому dy =y» x x» t dt. Учитывая,

что x» t = dx, получаем dy = y» x dx =f «(x)dx.

Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где x =φ(t), имеет вид dy = f «(x)dx, такой же, как в том случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциал а.

Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид y = f (x) . Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар (х; у) ,которые необходимо вычислять для параметра t по промежутку (а; b) . Для решения системы x = 3 · cos t y = 3 · sin t с 0 ≤ t

Определение параметрической функции

Отсюда имеем, что x = φ (t) , y = ψ (t) определены на при значении t ∈ (a ; b) и имеют обратную функцию t = Θ (x) для x = φ (t) , тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида y = ψ (Θ (x)) .

Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по х. Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида y x » = ψ » (t) φ » (t) , поговорим о производной 2 и n -ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции

Имеем, что x = φ (t) , y = ψ (t) , определенные и дифферецируемые при значении t ∈ a ; b , где x t » = φ » (t) ≠ 0 и x = φ (t) , тогда существует обратная функция вида t = Θ (x) .

Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , где имеется аргумент x .

Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что y » x = ψ Θ (x) = ψ » Θ x · Θ » x .

Отсюда видно, что t = Θ (x) и x = φ (t) являются обратными функциями из формулы обратной функции Θ » (x) = 1 φ » (t) , тогда y » x = ψ » Θ (x) · Θ » (x) = ψ » (t) φ » (t) .

Перейдем к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.

Пример 1

Найти производную для функции x = t 2 + 1 y = t .

Решение

По условию имеем, что φ (t) = t 2 + 1 , ψ (t) = t , отсюда получаем, что φ » (t) = t 2 + 1 » , ψ » (t) = t » = 1 . Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:

y » x = ψ » (t) φ » (t) = 1 2 t

Ответ: y x » = 1 2 t x = t 2 + 1 .

При работе с производной функции ч параметром t указывается выражение аргумента x через этот же параметр t , чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.

Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка на полученной функции, тогда получаем, что

y «» x = ψ » (t) φ » (t) » φ » (t) = ψ «» (t) · φ » (t) — ψ » (t) · φ «» (t) φ » (t) 2 φ » (t) = ψ «» (t) · φ » (t) — ψ » (t) · φ «» (t) φ » (t) 3 .

Пример 2

Найти производные 2 и 2 порядка заданной функции x = cos (2 t) y = t 2 .

Решение

По условию получаем, что φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Тогда после преобразования

φ » (t) = cos (2 t) » = — sin (2 t) · 2 t » = — 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 » = 2 t

Отсюда следует, что y x » = ψ » (t) φ » (t) = 2 t — 2 sin 2 t = — t sin (2 t) .

Получим, что вид производной 1 порядка x = cos (2 t) y x » = — t sin (2 t) .

Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида

y x «» = — t sin (2 t) φ » t = — t » · sin (2 t) — t · (sin (2 t)) » sin 2 (2 t) — 2 sin (2 t) = = 1 · sin (2 t) — t · cos (2 t) · (2 t) » 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) — 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Тогда задание производной 2 порядка с помощью параметрической функции

x = cos (2 t) y x «» = sin (2 t) — 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда

φ » t = (cos (2 t)) » = — sin (2 t) · 2 t » = — 2 sin (2 t) ⇒ φ «» t = — 2 sin (2 t) » = — 2 · sin (2 t) » = — 2 cos (2 t) · (2 t) » = — 4 cos (2 t) ψ » (t) = (t 2) » = 2 t ⇒ ψ «» (t) = (2 t) » = 2

Отсюда получаем, что

y «» x = ψ «» (t) · φ » (t) — ψ » (t) · φ «» (t) φ » (t) 3 = 2 · — 2 sin (2 t) — 2 t · (- 4 cos (2 t)) — 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) — 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Ответ: y «» x = sin (2 t) — 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями. 2

Функция — Квадрат x
ctg(x)
Функция — Котангенс от x
arcctg(x)
Функция — Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция — Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7. 3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание
15/7
— дробь

Другие функции:

asec(x)
Функция — арксеканс от x
acsc(x)
Функция — арккосеканс от x
sec(x)
Функция — секанс от x
csc(x)
Функция — косеканс от x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция — гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция — гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция — гиперболический арккосеканс от x

Постоянные:

pi
Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
e
Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности — знак для бесконечности

Производная функции, заданной параметрически.

Производная функции, заданной параметрически.
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Читайте также:
  1. Арифметические операции, функции, выражения. Арифметический оператор присваивания
  2. Виртуальное исследование цепи при заданной форме импульса
  3. Вторая производная
  4. График квадратичной, кубической функции, график многочлена
  5. Зернистые лейкоциты (гранулоциты) и их разновидности, количество, размеры, строение, функции, продолжительность жизни.
  6. Кинематика несвободной точки (движение по заданной траектории)
  7. Лекция 15. Сущность общения: его функции, стороны, виды, формы, барьеры

 

Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, сразу запишем конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: , .

Переменная t называется параметроми может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение t =1и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку (4; 1), и эта точка будет соответствовать значению параметра t =1. Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцев и для параметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д.

В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: – и подставим его во второе уравнение: . В результате получена обыкновенная кубическая функция.

 

В более «тяжелых» случаях, для которых и придумана параметрическая запись, такой фокус не проходит. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:

Находим производную от «игрека по переменной тэ»:

Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы t, таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».

Находим производную от «икса по переменной тэ»:

Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:

Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметраt.

Что касается обозначений, то в формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому не будем отклоняться от стандарта.

 

 

Пример 6

Найти производную от функции, заданной параметрически

Используем формулу

В данном случае:

Таким образом:

Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать. Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.

 

Пример 7

Найти производную от функции, заданной параметрически

Это пример для самостоятельного решения.

 

Для параметрически заданной функции также можно найти вторую производную, и находится она по следующей формуле: . Совершенно очевидно, что для того, чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную.

 

Пример 8

Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически

Сначала найдем первую производную.

Используем формулу

В данном случае:

Подставляет найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу :

 

В задаче на нахождение производной параметрической функции довольно часто в целях упрощений приходится использовать тригонометрические формулы. Помните их или держите под рукой, и не пропускайте возможность упростить каждый промежуточный результат и ответы. Зачем?

Сейчас нам предстоит взять производную от , и это явно лучше, чем находить производную от .

Найдем вторую производную.

Используем формулу: .

Посмотрим на нашу формулу. Знаменатель уже найден на предыдущем шаге. Осталось найти числитель – производную от первой производной по переменной «тэ»:

Осталось воспользоваться формулой:

Готово.

 

Для закрепления материала предлагаем еще пару примеров для самостоятельного решения.

 

Пример 9

Найти и для функции, заданной параметрически

 

Пример 10

Найти и для функции, заданной параметрически .

 

Надеюсь, это занятие было полезным, и Вы теперь с лёгкость сможете находить производные от функций, заданных неявно и от параметрических функций

 

 

Решения и ответы:

Пример 3: Решение:






Таким образом:

 

Пример 5: Решение:






 

Пример 7: Решение:

Используем формулу

В данном случае:

Таким образом:

 

Пример 9: Решение: Найдем первую производную.

Используем формулу: . В данном случае:

Найдем вторую производную, используя формулу .

 

Пример 10: Решение:

Используем формулу: . В данном случае:


Таким образом:

.

Вторая производная:


.

 

 

Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 301 | Нарушение авторских прав

 

 

Читайте в этой же книге: При этом сам значок предела перемещаем в показатель. | Производные функций одной переменной. | Производная суммы равна сумме производных | Производная произведения функций | Производная частного функций | Производная сложной функции | Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции | Сложные производные | Логарифмическая производная | Производная степенно-показательной функции |
| следующая страница ==>
Производная функции, заданной неявно| Производная функции в точке
mybiblioteka. su — 2015-2022 год. (0.048 сек.)

4.8: Производные параметрических уравнений

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    48409

    • Цели обучения

    • Определение первой и второй производных параметрических уравнений
    • Определите уравнения касательных прямых к параметрическим кривым.
    • Найдите скорость в любой момент времени для движения по заданной параметрической кривой.

    Теперь, когда мы ввели понятие параметризованной кривой, наш следующий шаг — научиться работать с этим понятием в контексте исчисления. Например, если мы знаем параметризацию данной кривой, как мы можем рассчитать наклон касательной к кривой?

    Другой сценарий: предположим, мы хотим представить положение бейсбольного мяча после того, как мяч покинет руку питчера. Если положение бейсбольного мяча представлено плоской кривой \((x(t),y(t))\), то мы должны быть в состоянии использовать исчисление, чтобы найти скорость мяча в любой момент времени.

    Производные параметрических уравнений

    Начнем с вопроса о том, как рассчитать наклон линии, касательной к параметрической кривой в точке. Рассмотрим плоскую кривую, определяемую параметрическими уравнениями

    \[\begin{align} x(t) &=2t+3 \label{eq1} \\ y(t) &=3t−4 \label{eq2} \end {align} \]

    в пределах \(−2≤t≤3\).

    График этой кривой показан на рисунке \(\PageIndex{1}\). Это отрезок, начинающийся с \((−1,−10)\) и заканчивающийся на \((9,5).\)

    Рисунок \(\PageIndex{1}\): График отрезка, описываемого заданными параметрическими уравнениями.

    Мы можем исключить параметр, сначала решив уравнение \ref{eq1} для \(t\):

    \(x(t)=2t+3\)

    \(x−3=2t\)

    \ (t=\dfrac{x−3}{2}\).

    Подставляя это в \(y(t)\) (уравнение \ref{eq2}), мы получаем

    \(y(t)=3t−4\)

    \(y=3\left(\dfrac {x−3}{2}\right)−4\)

    \(y=\dfrac{3x}{2}−\dfrac{9}{2}−4\)

    \(y=\dfrac {3x}{2}−\dfrac{17}{2}\).

    Наклон этой линии определяется выражением \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}\). Далее мы вычисляем \(x′(t)\) и \(y′(t)\). Это дает \(x′(t)=2\) и \(y′(t)=3\). Обратите внимание, что

    \[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{3}{2}. \nonumber \]

    Это не совпадение, как показано в следующей теореме.

    Производная параметрических уравнений

    Рассмотрим плоскую кривую, определяемую параметрическими уравнениями \(x=x(t)\) и \(y=y(t)\). Предположим, что \(x′(t)\) и \(y′(t)\) существуют, и предположим, что \(x′(t)≠0\). Тогда производная \(\dfrac{dy}{dx}\) равна

    \[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{y′(t)}{x′(t)}. \label{paraD} \]

    Доказательство

    Эту теорему можно доказать с помощью цепного правила. В частности, предположим, что параметр \(t\) можно исключить, получив дифференцируемую функцию \(y=F(x)\). Тогда \(y(t)=F(x(t)).\) Дифференцирование обеих частей этого уравнения с использованием цепного правила дает

    \[y′(t)=F′\big(x(t)\big )x′(t), \nonumber \]

    , поэтому

    \[F′\big(x(t)\big)=\dfrac{y′(t)}{x′(t)}. \номер\]

    Но \(F′\big(x(t)\big)=\dfrac{dy}{dx}\), что доказывает теорему.

    □

    Уравнение \ref{paraD} можно использовать для вычисления производных плоских кривых, а также критических точек. Напомним, что критическая точка дифференцируемой функции \(y=f(x)\) — это любая точка \(x=x_0\), такая, что либо \(f′(x_0)=0\), либо \(f′(x_0 )\) не существует. Уравнение \ref{paraD} дает формулу наклона касательной к кривой, заданной параметрически, независимо от того, может ли кривая быть описана функцией \(y=f(x)\) или нет. 93−3t+4, \quad\text{для }−2≤t≤2\)

  • \(x(t)=5\cos t, \quad y(t)=5\sin t, \quad\text{для}0≤t≤2π\)

    • Раствор

    а. Чтобы применить уравнение \ref{paraD}, сначала вычислите \(x′(t)\) и \(y′(t)\):

    \(x′(t)=2t\)

    \(y′ (t)=2\).

    Затем подставьте в уравнение:

    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)

    \(\dfrac{dy}{dx}=\ dfrac{2}{2t}\)

    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{t}\).

    93−3(1)+4=1−3+4=2,\)

    что соответствует точке \((3,2)\) на графике. Точка \((3,2)\) является относительным минимумом, а точка \((−1,6)\) является относительным максимумом, как показано на следующем графике.

    Рисунок \(\PageIndex{3}\): График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части b.

    с. Чтобы применить уравнение \ref{paraD}, сначала вычислите \(x′(t)\) и \(y′(t)\):

    \(x′(t)=−5\sin t\)

    \(y′(t)=5\cos t.\)

    Затем подставьте их в уравнение:

    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)

    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{5\cos t}{− 5\sin t}\)

    \(\dfrac{dy}{dx}=-\cot t.\)

    Эта производная равна нулю, когда \(\cos t=0\), и не определена, когда \(\ sin t=0.\) Это дает \(t=0,\dfrac{π}{2},π,\dfrac{3π}{2},\) и \(2π\) в качестве критических точек для t . Подставляя каждое из них в \(x(t)\) и \(y(t)\), мы получаем

    \(t\) \(х(т)\) \(у(т)\)
    0 5 0
    \(\dfrac{π}{2}\) 0 5
    \(π\) −5 0
    \(\dfrac{3π}{2}\) 0 −5
    \(2π\) 5 0

    Эти точки соответствуют сторонам, верху и низу круга, представленного параметрическими уравнениями (рис. \(\PageIndex{4}\)). На левом и правом краях круга производная не определена, а сверху и снизу производная равна нулю.

    Рисунок \(\PageIndex{4}\): График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части c.
    Упражнение \(\PageIndex{1}\) 92−3, \quad y(t)=2t−1, \quad\text{для }−3≤t≤4 \nonumber \]

    , когда \(t=2\).

    Решение

    Сначала найдите наклон касательной с помощью уравнения \ref{paraD}, что означает вычисление \(x′(t)\) и \(y′(t)\):

    \( x′(t)=2t\)

    \(y′(t)=2\).

    Затем подставьте в уравнение:

    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}\)

    \(\dfrac{dy}{dx}=\ dfrac{2}{2t}\)

    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{t}\). 92−3=1\) и \(y(2)=2(2)−1=3\),

    , что соответствует точке \((1,3)\) на графике (рисунок \(\ Индекс страницы{5}\)). Теперь используйте точечно-наклонную форму уравнения прямой, чтобы найти уравнение касательной линии:

    \(y−y_0=m(x−x_0)\)

    \(y−3=\dfrac{1 {2}(x−1)\)

    \(y−3=\dfrac{1}{2}x−\dfrac{1}{2}\)

    \(y=\dfrac{1} {2}x+\dfrac{5}{2}\).

    Рисунок \(\PageIndex{5}\): Касательная к параболе, описываемой заданными параметрическими уравнениями при \(t=2\). 93−6t, \quad\text{для}−2≤t≤6\), когда \(t=5\).

    Подсказка

    Рассчитайте \(x′(t)\) и \(y′(t)\) и используйте уравнение \ref{paraD}.

    Ответить

    Уравнение касательной: \(y=24x+100.\)

    Производные второго порядка

    Наша следующая цель — посмотреть, как получить вторую производную функции, заданной параметрически. Вторая производная функции \(y=f(x)\) определяется как производная первой производной; то есть 93}\). Критические точки \((5,4),\, (−3,−4)\) и \((−4,6).\)

    Скорость вдоль параметрической кривой

    Как мы обсуждали ранее в этом курсе, когда мы рассматривали прямолинейное движение (движение по прямой линии), скорость частицы является производной функции положения, описывающей движение частицы. Поскольку набор параметрических уравнений вместе описывает положение объекта вдоль кривой, производная этих параметрических уравнений вместе описывает скорость этого объекта в любой момент времени на его параметризованном пути. 92, \end{align*}\]

    , то скорость движения этого объекта описывается параметрическими уравнениями,

    \[\begin{align*} x'(t) &= 1 \\ y'(t ) &= 2т. \end{align*}\]

    Теперь запомните, что скорость — это величина скорости. Так, при прямолинейном движении ее находят, взяв абсолютное значение скорости со знаком. Это игнорирует направление движения, подразумеваемое положительным или отрицательным знаком скорости в этом случае.

    Но для параметрических кривых скорость на самом деле равна вектор , который включает не только скорость движения, но и направление движения (по касательной к кривой) в любой заданной точке.

    Таким образом, в приведенном выше примере в момент времени \(t = 1\) положение объекта будет определяться выражением \(\Big(x(1), y(1)\Big) = (1, 1) \). Скорость в этой точке, заданная \(x'(t) = 1\) и \(y'(t) = 2t\), находится в направлении, заданном оценкой этих функций в \(t=1\), т. е. поскольку \(x'(1) = 1\) и \(y'(1) = 2\), мы знаем, что в точке \((1, 1)\) скорость направлена ​​\ (1\) единица вправо и \(2\) единица вверх. Если мы нарисуем этот вектор (отрезок со стрелкой, указывающей направление), мы сможем интуитивно определить скорость, вычислив величину (длину) этого отрезка. 92} = \sqrt{5}\nonumber\]

    Если бы расстояние здесь измерялось в футах, а время в секундах, то скорость объекта в момент времени \(t = 1\) секунд была бы \(\sqrt{5 }\) фут/сек.

    Мы можем обобщить этот результат, чтобы сформулировать формулу для скорости движения объекта по любой заданной параметрической кривой.

    Определение: скорость и направление движения по параметрической кривой

    Если движение объекта задается параметрическими уравнениями \(x(t)\) и \(y(t)\), то 92}.\]

    Направление движения по кривой в любой момент времени \(t\) задается значениями со знаком производных \(x'(t)\) и \(y'(t )\), и будет проходить вдоль линии, касательной к параметрической кривой в этой точке.

    Рассмотрим пример, где мы находим скорость движения по параметрической кривой как функцию времени \(t\).

    Пример \(\PageIndex{4a}\)

    Найти скорость движения по следующей параметризованной кривой как функцию времени \(t\). 92}.\nonumber\]

    Обратите внимание, что в примере \(\PageIndex{4}\) мы видим, что скорость меняется с течением времени. Существует ли относительная максимальная скорость или относительная минимальная скорость для любого значения \(t\)?

    Используя то, что мы узнали ранее, мы можем проверить эту функцию на наличие критических чисел и определить, есть ли у нее относительные экстремумы.

    Мы можем воспользоваться полезным фактом при поиске относительных экстремумов в функциях скорости.

    Обычно функция квадратного корня может иметь критические числа (и относительные экстремумы) при значениях независимой переменной, когда производная не существует и на ее графике есть точка возврата, т. е. когда исходная функция пересекает \(x\ )- или \(t\)-ось и составляет знаменатель производной функции \(0\). Но в функциях скорости выражение под радикалом никогда не может быть меньше \(0\), поскольку оно представляет собой сумму двух полных квадратов, а когда оно равно \(0\), числитель производной будет \(0\ \) также. Рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, почему это так.

    Поскольку числитель производной функции квадратного корня является просто производной подкоренного числа, критические числа подкоренного числа будут такими же, как и у самой функции скорости, а относительный минимум функции подкоренного числа будет соответствовать относительный минимум функции скорости (относительный минимум функции скорости будет просто квадратным корнем относительного минимума функции подкоренного числа). Точно так же они будут иметь одинаковое поведение при относительных максимумах. 92}}=0\).

    Мы видим, что это происходит только тогда, когда \(8t = 0\) или когда \(t = 0\). Таким образом, \(t = 0\) является единственным критическим числом этой функции скорости.

    Используя тест первой производной, мы получаем таблицу ниже.

    Интервалы Тестовое значение, \(с\) \(\текст{Скорость}'(с)\) \(\text{Скорость}(t)\) вкл./выкл. Интерпретация
    \((-\infty,0)\) 92}\\[4pt]
    &= \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \quad \text{, когда } t = 1. \end{align*} \]

    Рисунок \(\PageIndex{7} \): График этой параметрической кривой, показывающий три точки, в которых скорость является либо относительной максимальной, либо минимальной.

    Ключевые понятия

    • Производная параметрически заданной кривой \(x=x(t)\) и \(y=y(t)\) может быть рассчитана по формуле \(\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{y′(t)}{x′(t)}\). Используя производную, мы можем найти уравнение касательной к параметрической кривой. 92}\номер\]

     

    Авторы и авторство

    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
      2. Метки
          На этой странице нет тегов.

      Объяснение урока: Производные параметрических уравнений

      В этом объяснении мы узнаем, как найти первую производную кривой, заданной параметрическими уравнениями, и найти уравнения касательных и нормалей к кривым.

      Параметрические уравнения — это способ выражения переменных в нашем уравнении через параметр. Например, если у нас есть декартово уравнение вида 𝑦=𝑓(𝑥), мы можем выразить 𝑥 и 𝑦 через параметр 𝑡: 𝑥=𝑔(𝑡),𝑦=ℎ(𝑡).

      Эти параметрические уравнения будут описывать ту же самую кривую, что и 𝑦=𝑓(𝑥), только в другой форме.

      Примечание:

      Параметрические уравнения могут использоваться в сочетании с любой системой координат, не только декартовой. Например, если бы мы хотели параметризовать некоторые полярные координаты, мы бы выразили 𝑟 и 𝜃 через параметр.

      Запись уравнений в параметрической форме имеет множество различных применений. Это может значительно упростить написание отношений «один ко многим», например, уравнений эллипсов, кардиоид и лимаконов, которые обычно сложнее записать в декартовой форме.

      Существует метод, который мы можем использовать для нахождения производной уравнения в параметрической форме без необходимости преобразовывать параметрические уравнения обратно в декартову форму. Формула, которую мы можем использовать, выглядит следующим образом.

      Определение: производная параметрического уравнения

      Пусть 𝑓 и 𝑔 — такие дифференцируемые функции, что мы можем составить пару параметрических уравнений, используя 𝑥 и 𝑦: 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

      Тогда мы можем определить производную от 𝑦 по 𝑥 как дд𝑦𝑥=дддд когда дд𝑥𝑡≠0.

      Давайте обсудим, как мы можем прийти к этому уравнению. При этом нам нужно будет использовать цепное правило, поэтому мы должны напомнить себе его определение.

      Определение: правило цепи (ℎ(𝑥)) дифференцируема в 𝑥, а ее производная 𝑓′ определяется выражением 𝑓′(𝑥)=ℎ′(𝑥)𝑔′(ℎ(𝑥)).

      Мы можем начать с наших параметрических уравнений 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡).

      Предположим, что мы можем записать эти параметрические уравнения в декартовой форме так, что 𝑦=𝐶(𝑥).

      Мы можем подставить наши параметрические уравнения в это уравнение, чтобы получить 𝑔(𝑡)=𝐶(𝑓(𝑡)).

      Далее мы хотим продифференцировать это уравнение по 𝑡. С правой стороны мы видим, что у нас есть составная функция, поэтому нам нужно применить цепное правило: 𝑔′(𝑡)=𝑓′(𝑡)𝐶′(𝑓(𝑡)).

      Здесь нужно быть осторожным с дифференцированием, так как производные строчных функций обозначают дифференцирование по 𝑡, а производная строчных функций обозначает производную по 𝑥. Используя это вместе с нашими параметрическими уравнениями, 𝑥=𝑓(𝑡) и 𝑦=𝑔(𝑡), мы получаем 𝑓′(𝑡)=𝑥𝑡𝑔′(𝑡)=𝑦𝑡.ddanddd

      Теперь мы можем подставить 𝑥 и 𝑦 в наше дифференциальное уравнение, которое даст нам дддд𝑦𝑡=𝑥𝑡𝐶′(𝑥).

      Наконец, поскольку 𝐶′(𝑥) является производной от 𝐶 по 𝑥 и 𝑦=𝐶(𝑥), 𝐶′(𝑥)=𝑦𝑥dd, то дддддд𝑦𝑡=𝑥𝑡𝑦𝑥, который можно преобразовать в наш результат dd𝑦𝑥=.dddd

      Теперь, когда мы увидели вывод формулы для производной параметрических уравнений, давайте посмотрим на пример того, как мы можем ее использовать.

      Пример 1. Нахождение производной параметрического уравнения

      Учитывая, что 𝑦=−7𝑡+8 и 𝑧=−7𝑡+3, найдите скорость изменения 𝑦 по отношению к 𝑧.

      Ответ

      Нас попросили найти скорость изменения 𝑦 по отношению к 𝑧, которую также можно записать как dd𝑦𝑧. Нам даны 𝑦 и 𝑧 через параметр 𝑡, поэтому нам нужно будет использовать формулу для нахождения производной параметрических уравнений, которая выглядит следующим образом: dd𝑦𝑧=.dddd

      Мы можем начать с поиска dd𝑦𝑡. 𝑦 — многочлен от 𝑡, поэтому мы можем использовать полиномиальное дифференцирование, чтобы найти эту производную. Мы умножаем каждый член на его мощность 𝑡, а затем уменьшаем мощность 𝑡 на единицу. Это дает нам дд𝑦𝑡=−21𝑡.

      Аналогичным образом мы можем найти производную от 𝑧 по 𝑡 следующим образом: дд𝑧𝑡=−14𝑡.

      Теперь, когда у нас есть dd𝑦𝑡 и dd𝑧𝑡, мы можем подставить их в нашу формулу, чтобы найти наше решение: dd𝑦𝑧=−21𝑡−14𝑡=32𝑡.

      На самом деле мы можем найти производную функции по отношению к другой функции, используя производные параметрических уравнений.

      Определение: производная функции по другой функции

      Если у нас есть две функции, 𝑦=𝑓(𝑥) и 𝑧=𝑔(𝑥), то мы можем определить производную от 𝑓(𝑥) по отношению к 𝑔(𝑥) как dd𝑦𝑧=.dddd

      Давайте рассмотрим пример того, как это можно использовать.

      Пример 2. Нахождение производной функции по отношению к другой функции

      Найдите производную от 7𝑥+4𝑥sin по cos𝑥+1 при 𝑥=𝜋6.

      Ответ

      Мы можем начать с определения наших функций как 𝑦=7𝑥+4𝑥,𝑧=𝑥+1.sincos

      Когда мы записываем наши уравнения в этой форме, мы видим, что вопрос просит нас найти производную от 𝑦 по отношению к 𝑧. Формула, которую мы можем использовать, чтобы найти эту производную: dd𝑦𝑧=.dddd

      Нам нужно продифференцировать 𝑦 и 𝑧 по отношению к 𝑥. Это будет включать как тригонометрическое, так и полиномиальное дифференцирование. Для полиномиального дифференцирования мы умножаем член на степень 𝑥, а затем уменьшаем степень 𝑥 на единицу. Для тригонометрического дифференцирования имеем ddsincosandddcossin𝑥(𝑥)=𝑥𝑥(𝑥)=−𝑥.

      Используя это, мы находим, что ddcos𝑦𝑥=7+4𝑥 и ddsin𝑧𝑥=−𝑥.

      Подставляя их обратно в нашу формулу, мы получаем ddcossin𝑦𝑧=7+4𝑥−𝑥.

      Вопрос просил нас найти производную при 𝑥=𝜋6, поэтому нам нужно заменить это на dd𝑦𝑧. Это дает нам ddcossin𝑦𝑧|||=7+4−=7+4.√

      Упрощая это, мы можем видеть, что наше решение dd𝑦𝑧|||=14−4√3.

      Мы знаем, что можем использовать производные, чтобы найти наклон прямой в заданной точке, и, используя этот наклон, мы можем найти касательную или нормаль к линия в этой точке. Мы можем сделать то же самое, используя производные параметрических уравнений.

      В следующем примере мы увидим, как можно использовать производные некоторых параметрических уравнений для нахождения касательной к кривой в заданной точке.

      Пример 3. Нахождение касательной к кривой с помощью производных параметрических уравнений

      Найдите уравнение касательной к кривой 𝑥=5𝜃sec и 𝑦=5𝜃tan при 𝜃=𝜋6.

      Ответ

      Нам дали пару параметрических уравнений и попросили найти касательную к кривой в заданной точке. Чтобы найти уравнение касательной, нам сначала нужно найти наклон касательной. Мы можем сделать это, вычислив производную параметрических уравнений в данной точке. Нам нужно будет использовать формулу для нахождения производной параметрического уравнения, помня, что наш параметр равен 𝜃: дд𝑦𝑥=.дддд

      Теперь нам нужно продифференцировать эти тригонометрические уравнения, что даст нам ддсек𝑦𝜃=5𝜃 а также ddsectan𝑥𝜃=5𝜃𝜃.

      Подставляя их обратно в нашу формулу, мы получаем ddsectansectancoscossin𝑦𝑥=5𝜃5𝜃𝜃=𝜃𝜃=𝜃𝜃𝜃.

      Это можно еще упростить, что дает нам, что наша производная ddsin𝑦𝑥=1𝜃.

      Чтобы найти наклон касательной при 𝜃=𝜋6, нам нужно подставить его в наш дифференциал. Когда мы делаем это, мы получаем ddsin𝑦𝑥|||=1=2.

      Теперь, когда мы нашли наклон касательной, нам нужно найти точку, через которую проходит касательная. Мы можем сделать это, найдя значения 𝑥 и 𝑦, когда 𝜃=𝜋6. Подстановка 𝜃=𝜋6 в наши уравнения для 𝑥 и 𝑦 дает нам 𝑥=5𝜋6=10√33,𝑦=5𝜋6=5√33. сектан

      Теперь, когда у нас есть наклон нашей касательной, 2, и точка, через которую проходит касательная, 10√33,5√33, мы можем составить наше уравнение. Мы можем использовать формулу 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥),, где 𝑚 — наклон касательной, а (𝑥,𝑦) — точка, через которую проходит касательная. Это дает нам 𝑦−5√33=2𝑥−10√33=2𝑥−20√33.

      Далее мы можем переместить все в левую часть уравнения: 𝑦−2𝑥+15√33=0.

      И, наконец, упростим наше решение: 𝑦−2𝑥+5√3=0.

      Мы могли бы использовать аналогичный метод, чтобы найти нормаль к параметрической кривой в заданной точке. Единственное, с чем нам нужно быть осторожным, так это с тем, что, как только мы нашли наклон 𝑚 кривой в данной точке, мы должны использовать тот факт, что наклон нормального наклона касательной = −1.

      Итак, в случае, если наклон касательной равен 𝑚, наклон нормали будет равен −1𝑚.

      В нашем последнем примере мы увидим, как мы можем идентифицировать точки, в которых параметрическая кривая имеет вертикальные касательные.

      Пример 4. Нахождение значения переменной, при котором кривая с параметрическими уравнениями имеет вертикальную касательную +2 имеет вертикальную касательную.

      Ответ

      Чтобы у кривой была вертикальная касательная, ее градиент должен быть бесконечным. Хотя это может показаться немного абстрактным, наша формула для производной параметрического уравнения может нам помочь. Мы знаем это дд𝑦𝑥=.дддд

      Эта производная будет становиться все больше и больше по мере того, как dd𝑥𝑚 будет становиться все меньше и меньше. Следовательно, наша производная и наклон касательной будет стремиться к бесконечности, поскольку dd𝑥𝑚 стремится к нулю.

      Найдем значения 𝑚 такие, что dd𝑥𝑚=0. Мы можем начать с дифференцирования 𝑥 по 𝑚. Мы получаем dd𝑥𝑚=24𝑚+10𝑚+1.

      Теперь нам нужно установить эту производную равной 0 и найти значения 𝑚. У нас есть это 24𝑚+10𝑚+1=0.

      Мы можем использовать квадратную формулу, которая говорит нам, что решения квадратного уравнения вида 𝑎𝑚+𝑏𝑚+𝑐=0 𝑚=−𝑏±√𝑏−4𝑎𝑐2𝑎.

      В нашем случае 𝑎=24, 𝑏=10 и 𝑐=1; следовательно, 𝑚=−10±√10−4×24×12×24=−10±√100−9648=−10±248.

      Теперь мы можем разделить два наших решения, которые получаются со знаком плюс или минус. Во-первых, беря плюс, 𝑚=−848=−16.

      И, во-вторых, минус, 𝑚=−1248=−14.

      Следовательно, значения 𝑚, при которых наша кривая имеет вертикальные касательные, равны когда 𝑚=−16 и когда 𝑚=−14.

      Ключевые моменты

      • Для пары дифференцируемых параметрических уравнений 𝑥=𝑓(𝑡) и 𝑦=𝑔(𝑡) мы определяем производную параметрические уравнения как дд𝑦𝑥=дддд когда дд𝑥𝑡≠0.
      • Если у нас есть две функции, 𝑦=𝑓(𝑥) и 𝑧=𝑔(𝑥), то мы можем определить производную от 𝑓(𝑥) по 𝑔(𝑥) как dd𝑦𝑧=.dddd
      • Мы можем найти уравнения касательных и нормалей к параметрической кривой, найдя наклон с помощью производной, а затем применив формулу 𝑦−𝑦=𝑚(𝑥−𝑥) , где (𝑥,𝑦) — точка касательной или нормали.

      Производные параметрических функций

      Связь между переменными x и y можно определить в параметрической форме с помощью двух уравнений:

      \[\left\{ \begin{align} x &= x\left( t\right) \\ y &= y\left( t\right) \end{aligned} \right. , \]

      , где переменная t называется параметром. Например, две функции

      \[ \left\{ \begin{aligned} x &= R \cos t \\ y &= R \sin t \end{aligned} \right. \]

      описывают в параметрической форме уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом \(R.\). В этом случае параметр \(t\) изменяется от \(0\) до \(2 \pi.\)

      Найдите выражение для производной параметрически заданной функции. Предположим, что функции \(x = x\left( t \right)\) и \(y = y\left( t \right)\) дифференцируемы в интервале \(\alpha \lt t \lt \beta \ ) и \(x’\left( t \right) \ne 0.\) Кроме того, мы предполагаем, что функция \(x = x\left( t \right)\) имеет обратную функцию \(t = \varphi \влево( х \вправо).\)

      По теореме об обратной функции можно написать:

      \[\frac{{dt}}{{dx}} = {t’_x} = \frac{1}{{{x’_t}}}.\]

      Исходная функция \(y\left( x \right)\) может рассматриваться как составная функция:

      \[y\влево( x \вправо) = y\влево( {t\влево( x \вправо)} \вправо). \prime = \sinh т.\] 9\простое число = b\cos т.\]

      Производная \(\frac{{dy}}{{dx}}\) зависит от \(t\) следующим образом:

      \[\frac{{dy}}{{dx}} = {y’_x} = \frac{{{y’_t}}}{{{x’_t}}} = \frac{{b\cos t}}{{\left( { — a\sin t} \right)}} = — \frac{b}{a}\cot t.\]

      Здесь параметр \(t\) изменяется от \(-\pi\) до \(\pi\). Однако производная \(\frac{{dy}}{{dx}}\) обращается в бесконечность в точках \(t = 0, \pm \pi .\). Поэтому область можно представить в виде \(0 \lt \влево|t \вправо|\lt\pi .\) 92}} }}{{\left( { — t} \right)}} = — \frac{1}{t},\]

      где параметр \(t\) может принимать значения, удовлетворяющие условиям \(\left| t \right| \lt 1,\;t \ne 0.\)

      Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

      Производная параметрических функций — исчисление

      Исчисление

      Наука
      • Анатомия и физиология
      • астрономия
      • Астрофизика
      • Биология
      • Химия
      • науки о Земле
      • Наука об окружающей среде
      • Органическая химия
      • Физика
      Математика
      • Алгебра
      • Исчисление
      • Геометрия
      • Преалгебра
      • Предварительный расчет
      • Статистика
      • Тригонометрия
      Гуманитарные науки
      • Английская грамматика
      • История США
      • Всемирная история
        .
        .. и не только
      • Сократическая мета
      • Избранные ответы

      Темы

      • Как найти вторую производную параметрической функции?

      • Как найти производные параметрических функций?

      • 93# ?

      • Как найти параметрические уравнения касательной?

      • Как найти параметрические уравнения для касательной к кривой с заданными параметрическими уравнениями #x=7t^2-4# и #y=7t^2+4# и #z=6t+5# и (3,11,11)? 93-5т, у(т)=(т-3) #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=lnt, y(t)=(t-3) #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=lnt/t, y(t)=(t-3)^2 #? 92) #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=t/(t-4), y(t)=1+t #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=1/t, y(t)=lnt #? 9t-t, y(t)=sint #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=cost, y(t)=sint #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=tcost, y(t)=tsint #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=t, y(t)=t #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=cos^2t, y(t)=sint/t #? 93-t, y(t)= 1-sint #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=t, y(t)= 1-tcost #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=-3t/(1-t), y(t)= 1-tcost #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=t/2, y(t)= 1-t-стоимость #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=lnt, y(t)= tcost #? 92 #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=t-lnt, y(t)= cost-sint #?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # x(t)=tlnt, y(t)= cost-sin^2t #? 93)#?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # (sint,cost-t)#?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # (sint,tcost-pit)#?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # (tsec(t/3-pi),t cos(pi-t))#?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # (3sin(t/6-pi/12), 2tcos(pi/3-t/8))#?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # (3t-sin(t/3-pi/4), 2tcos(pi/3-t/4))#?

      • Как дифференцировать следующее параметрическое уравнение: # (t-tsin(t/2+pi/3), 2tcos(pi/2-t/3))#? 92-3#, #y(t)=2t +2# для t больше или равно 0, как найти скорость частицы при t=1?

      • Вопрос #5cb24

      • Вопрос № 34c6f

      • Вопрос #f6b13

      • Вопрос #7fdfd

      • 92#?

      • Как найти уравнение Декарта? Параметрические уравнения окружности: #x=cos theta -4# и #y=sin theta + 1#?

      • Как найти векторное уравнение и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A (3, 4) и B (5, 5)?

      • Как найти параметрическое уравнение прямой в R3, которая проходит через P(1,1,1) и ортогональна обеим линиям x=3-t, y= -1+4t, z = -2t и x =2+2t, y=1+t, z=-2+3t где t — любое действительное число?

      • 92))=1# какими параметрическими уравнениями можно рисовать?

      • Учитывая 2x -3y + z — 6 = 0, как можно получить векторное уравнение из этого скалярного или параметрического уравнений?

      • 92+32t#, Предположим, что мяч попадает в ворота на высоте 5 футов. На каком расстоянии от ворот был кикер?

      • Как преобразовать параметрические уравнения в декартово уравнение x = t -1 у = -3 т?

      • Как найти два различных параметрических уравнения для заданного прямоугольного уравнения: y = 6x — 1?

      • Как найти параметрические уравнения каждой прямой в пространстве, линии, которая пересекает (4,5,-2) и параллельна оси z?

      • Как найти параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и параллельной прямой, определяемой x = 2t, y = 1 — t, z = 4 + 3t?

      • Как найти параметрические уравнения прямой, проходящей через точки (1, 3, 2) и (-4, 3, 0)?

      • Как найти d²y/dx², если x=1+2cost y=1+3sint?

      • Учитывая, что кривая C параметрически представлена ​​как x=t²/2 + 3t y=t²-2t, как найти значение dy/dx и показать, что d²2y/dx²=8/(t+3)^3 и Показать что C имеет только одну стационарную точку и что это минимум? 9-t#, где t принимает все действительные значения. Как найти dy/dx через t и, следовательно, найти значение t, при котором градиент кривой равен 1, дав ответ в логарифмической форме?

      • Учитывая x = стоимость y=sin2t, как найти параметр терминов dy/dx t и найти параметр значений t в точках dy/dx = 0?

        92)#, как бы вы нашли две точки, в которых параметр t=2 пересекает кривую?

      • Как преобразовать параметрические уравнения в декартову форму: x= 3 + 2 стоимости и y = 1 + 5sint?

      • 92-3#?

      • Кривая (C) имеет параметрические уравнения x=3cost и y=cos2t и найти координаты точки на кривой, где градиент равен 1?

      • Как определить пересечение параметрических кривых #(t^2+2t,-3t^2+5t)# и #(-2t^2+4t,t^2+2t)#?

      • Вопрос № 3e542

      • Вопрос №12fa5

      • Найдите производную от #1/(-sint)#?

      Просмотреть все главы

      • Введение в параметрические уравнения

      • Производная параметрических функций

      • Определение длины параметрической кривой (параметрическая форма)

      • Определение площади поверхности тела вращения

      • Определение объема тела вращения

      Пред.

      Следующий

      Касательные линии

      Касательные линии

      Производная параметрического уравнения

      Предположим, что

      х = х(т) и     г = у(т)

      тогда пока dx/dt отлично от нуля


      Пример:        

      Найти dy/dx для

      х(т)  = 2 стоимость t     и     y(t) =  2 sin t

      Решение:

      У нас есть

      дх/дт = -2 sin t     и     dy/dt = 2 стоимость т

      отсюда

      dy             dy / дт
      =                     
      дх дх/дт

      2 стоимость т
      знак равно = -кроватка т
      -2 син т

      Вторая производная параметрического уравнения

      Чтобы вычислить вторую производную, мы дважды используем цепное правило.

      Следовательно, чтобы найти вторую производную, мы находим производную по к t первой производной, а затем разделить на производную от х с уважение к т.

      Пример

      Пусть

      х(т) = т 3 y(t) = t 4  

      затем

      dy             4t 3 4
      знак равно =          t
      дх 3t 2            3

      Отсюда       

      д 2 г д/дт (4/3 т) 4/3             4
      знак равно знак равно =            
      дх 2 дх/дт 3т 2 9t 2

      Длина дуги

      Мы можем найти длину дуги кривой, разрезав ее на крошечные части и суммируя длину каждой из частей. Если кусочки маленькие и кривая дифференцируема, то каждый кусок будет примерно линейный.

      Мы можем использовать формулу расстояния, чтобы найти длину каждого шт



      Умножение и деление на D дает



      Складывая все длины и принимая предел как Dt приближение к 0 дает формулу

           

      Пример

      Найдите длину дуги кривой, заданной параметрически с помощью

      x(t) = t 2 + 4t, у (т) = 1 — t 2 ,     0 < t < 2

      Решение

      Рассчитываем

      х ‘  =  2t + 4, у ‘  =  -2t

      Отсюда


      Интеграл этого

      Это довольно сложно (но не невозможно) сделать вручную. Либо вручную, либо на компьютере получаем

      12,74

      Площадь вращения

      Если мы вращаем кривую вокруг оси x, какова площадь поверхности область, которая образуется? Если мы разрежем кривую на маленькие кусочки, то каждый кусок приблизительно представляет собой отрезок прямой, который при вращении вокруг оси X будет иметь площадь

      2р (радиус) (длина)  =  2p y(t) Дт

      Точно так же, если часть кривой вращается вокруг оси Y, то результирующая поверхность составляет

      2р (радиус) (длина)  =  2p x (t) Дт

      Складывая все части и принимая предел как Dt приближается к 0 дает

      Определение площади поверхности       

       

      Пример

      Установите интеграл, который дает площадь поверхности твердого тела, образованного вращающаяся кривая

      х(т) = т 2 ,    y(t) = t 3

      Об оси Y

      Решение

      Вычисляем

      х’ = 2т,    у’ = 3т 2

      Формула дает

      Назад на страницу полярных и параметрических уравнений

      Назад на домашнюю страницу Math 107

      Назад на домашнюю страницу математического факультета

      электронная почта Вопросы и предложения

      10.

      5 Расчет с помощью параметрических уравнений

      Мы уже видели, как вычислять наклоны кривых, заданных формулой параметрические уравнения — так мы рассчитывали наклоны в полярных координаты.

      Пример 10.5.1. Найти наклон циклоиды $x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$. Мы вычисляем $x’=1-\cos t$, $y’=\sin t$, поэтому $${dy\over dx} ={\sin t\over 1-\cos t}.$$ Обратите внимание, что когда $t$ кратно $\pi$, например, $\pi$ или $3\pi$, это $(0/2)=0$, так что есть горизонтальная касательная, по соглашению с рис. 10.4.1. При четных кратных $\pi$ дробь равна $0/0$, что не определено. На рисунке показано, что касательная в таких точках отсутствует. $\квадрат$

      Площади могут быть немного сложнее с параметрическими уравнениями, в зависимости от кривая и желаемая площадь. Мы потенциально можем вычислить площади между кривой и осью $x$ довольно легко. 9{2\pi} (1-\cos t)(1-\cos t)\;dt=3\pi.$$ Обратите внимание, что нам нужно преобразовать исходные лимиты $x$ в лимиты $t$. используя $x=t-\sin t$. Когда $x=0$, $t=\sin t$, что происходит только при $t=0$. Аналогично, когда $x=2\pi$, $t-2\pi=\sin t$ и $т=2\пи$. С другой стороны, потому что мы понимаем, как циклоида произведено, мы можем непосредственно видеть, что одна дуга генерируется $0\le t\le 2\pi$. В целом, конечно, лимиты $t$ будут отличается от лимита $x$. $\квадрат$

      Этот метод позволит нам вычислить некоторые довольно интересные области, как показано на упражнениях. 9{2\pi} 2\sin(t/2)\;dt = 8.$$ $\квадрат$

      Пример 10.5.1 Рассмотрим кривую упражнение 6 в раздел 10.4. Найдите все значения $t$, для которого кривая имеет горизонтальную касательную. (отвечать)

      Пример 10.5.2 Рассмотрим кривую упражнение 6 в раздел 10.4. Найдите площадь под одна арка кривой. (отвечать)

      Пример 10.5.3 Рассмотрим кривую упражнение 6 в раздел 10.4. Установите интеграл на длину одной дуги кривой. (отвечать)

      Пример 10.5.4 Рассмотрим гиперциклоиду упражнение 7 в раздел 10. 4. Найдите все точки в что кривая имеет горизонтальную касательную. (отвечать)

      Пример 10.5.5 Рассмотрим гиперциклоиду упражнение 7 в раздел 10.4. Найдите площадь между большой круг и одна арка кривой. (отвечать)

      Пример 10.5.6 Рассмотрим гиперциклоиду упражнение 7 в разделе 10.4. Найдите длину одной дуги кривой. (отвечать)

      Пример 10.5.7 Рассмотрим гипоциклоиду упражнение 8 в раздел 10.4. Найдите площадь внутри кривой. (отвечать)

      Пример 10.5.8 Рассмотрим гипоциклоиду упражнение 8 в разделе 10.4. Найдите длину одной дуги кривой. (отвечать)

      Пример 10.5.9 Вспомним эвольвенту окружности из упражнение 9 в раздел 10.4. Найдите точку в первом квадрант на рисунке 10.4.4 при котором касательная вертикальна. (отвечать)

      Пример 10.5.10 Вспомним эвольвенту окружности из упражнение 9 в раздел 10.4. Вместо бесконечности. строка, предположим, что у нас есть строка длины $\pi$, прикрепленная к единице окружность в $(-1,0)$ и изначально располагалась вокруг верхней части окружности с концом в $(1,0)$.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *