Построение графиков функций, заданных параметрически — Мегаобучалка
Задание: Построить график функции
1. Решение этой задачи сведём к предыдущей задаче.
2. Запишем заголовки: в А1: t, в ячейку В1: х, в ячейку С1: у.
3. В столбце А с помощью маркера автозаполнения создать ряд значений для t от 0 до с шагом (либо при помощи набора команд: Правка Þ Заполнить Þ Црогрессия (шаг 0,314, предельное значение 6,28)).
4. В ячейку В2 вводим формулу =COS(2*A2)*SIN(A2)и копируем её в диапазоне В3:В22.
5. В ячейку С2 вводим формулу =COS(A2)*SIN(3*A2)и копируем её в диапазоне С3:С22.
6. Выделяем диапазон данных В2:С22 со значениями х и у, строим точечную диаграмму.
7. Результат работы представлен на рис. 7.
Построение графиков кусочно-непрерывной функции
Задание: Построить график функции , заданной тремя ветками на отрезке .
.
Для построения этого графика шаг изменения желательно выбирать поменьше, например, , и т. д. Далее в мастере диаграмм выбирать точечную диаграмму (первую в первой строке).
1. В ячейке A1 записываем заголовок X.
2. В ячейке В1 записываем заголовок f1.
3. В ячейке С1 записываем заголовок f2.
4. В ячейке D1 записываем заголовок f3.
5. В ячейке E1 записываем заголовок F(x).
6. В столбце А создаём ряд значений для х от -0,2 до 2,41 с шагом 0,03.
2+4*A2+11)и копируем её в столбце D.
10. В Е2 запишем формулу:
=ЕСЛИ(А2<0,47;В2;ЕСЛИ(А2>=2;D2;С2))
Скопируем её в столбце Е до конца диапазона изменения аргумента функции.
11. Выделим диапазон, состоящий из данных в столбце А и данных в столбце Е (используя клавишу CTRL) и строим точечную диаграмму.
12. Результат работы представлен на рис. 8.
Задания для самостоятельной работы
1. Построить график функции в прямоугольной системе координат. Диапазон изменения и шаг выберите самостоятельно:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
2. Построить график функции, заданной в полярной системе координат:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
3. Построить график функции, заданной параметрическим способом:
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
11. ,
12. ,
13. ,
14.
15.
4.Построить графики функций, используя функцию ЕСЛИ( )
а) Случай двух ветвей:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
б) Случай трёх ветвей:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Лабораторный практикум № 4
29.
Обратная функция. Функция, заданная неявно и параметрическиФункция где называется Обратимой на множестве если каждому значению У из множества значений функции соответствует единственное значение
Если – обратимая функция, то на множестве определена функция G, которая каждому значению ставит в соответствие такое, что т. е. определена Поэтому
Функция G называется Обратной функцией к F.
Функции F И G Называются Взаимно-обратными функциями. Графики взаимно-обратных функций F И G Симметричны относительно прямой
Если функции F И G Взаимно-обратны, то и
Для нахождения обратной функции из равенства выражают Х через У (если это возможно), а затем переобозначают переменные (через Х – независимую переменную, через У – зависимую).
Пусть У является функцией переменной U, а переменная U, в свою очередь, является функцией от переменной
е. и Тогда функция называется Сложной функцией (или Функцией от функции), если область определения функции F содержит множество значений функции J. Переменная U в этом случае называется Промежуточной переменной.Всякую линию на координатной плоскости, которая не имеет разрывов, называют Кривой линией.
График функции который не имеет разрывов, является кривой линией. Однако не всякая кривая линия является графиком функции (график функции задается при условии, что каждому значению Х соответствует Единственное значение Y).
Говорят, что функция задана неявно уравнением
(4.2)
Где F – некоторое выражение от переменных X, Y при условии
Функцию, заданную явно уравнением можно привести к виду (4.2):
(4.3)
(в равенстве (4.3) ). Однако не всякую функцию, заданную неявно, можно задать в виде Уравнение (4.2) не всегда однозначно разрешимо относительно переменной У или вообще не разрешимо.
Оно задает часто кривую линию, но не график функции.
Для нахождения точки, лежащей на линии, которая задается уравнением (4.2), необходимо придать переменной X некоторое числовое значение, а затем из уравнения (4.2) найти соответствующее значение Y (возможно, несколько значений Y). Для построения соответствующей кривой придают переменной X некоторое количество числовых значений, получают множество точек, принадлежащих искомой линии (4.2). Эти точки следует соединить непрерывной линией.
Уравнения вида
(4.4)
Называют Параметрическими уравнениями линии, где T – параметр или вспомогательная переменная, а и – функции параметра
Каждому значению параметра T из заданного промежутка соответствуют определенные значения Х и У (вычисляемые по формулам (4.4)), которые и определяют положение точки в системе координат Oxy.
Для построения линии, заданной параметрическими уравнениями, выбирают достаточное количество значений параметра где вычисляют соответствующие значения Затем на координатной плоскости отмечают точки которые потом соединяют непрерывной линией.
Чтобы от уравнений (4.4) перейти к уравнению типа необходимо исключить параметр T из уравнений системы (4.4).
Пример 1. Найти функцию, обратную данной (если она существует), и построить графики данной функции и ей обратной в одной системе координат:
1) 2)
Решение. 1) Функция монотонна, поэтому для нее существует обратная функция. Выразим Х через У:
Т. е.
Обозначим независимую переменную через Х, а зависимую – через У:
Обратная к заданной функции F есть функция и она имеет вид:
Где
А
Строим графики функции F и (рис. 4.5).
2) Так как функция не является монотонной на промежутке то обратной функции для нее не существует.
Рис. 4.5
Пример 2. Из уравнения окружности выразить явно У через Х.
Решение. Из уравнения выразим откуда получаем совокупность двух функций
Графиком первой функции в совокупности является полуокружность, расположенная в верхней полуплоскости системы Оху, при условии, что Графиком второй функции – полуокружность в нижней полуплоскости при условии, что
Пример 3.
Построить кривую, заданную параметрически уравнениями
Решение. Для построения кривой выберем достаточное количество значений параметра и вычислим соответствующие значения Данные занесем в таблицу:
T | |||||
X | 4 | 0 | –4 | –8 | –12 |
Y | 0 | 2 | 4 |
Построим точки в системе координат Оху и соединим их плавной линией (рис. 4.6).
Рис. 4.6
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Как графически отображать параметрические уравнения на TI-84 Plus
Все, что можно изобразить в режиме Function на TI-84 Plus, также можно изобразить в виде набора параметрических уравнений.
Настройка окна
Настройка окна в параметрическом режиме является важным шагом в графическом отображении параметрических уравнений. На самом деле, если у моих студентов возникают проблемы с графическим отображением параметрических уравнений, это обычно происходит из-за того, как они настроили свое окно. В частности, проблемы обычно вызываются тремя настройками окна: Tmin, Tmax и Tstep.
Интервал для T задан в задаче
Таким образом, определить Tmin и Tmax для этой задачи довольно просто. Это может показаться странным, но изменение минимального и максимального значений T не влияет на окно просмотра вашего графика. Вам придется изменить минимальное и максимальное значения X и Y, чтобы изменить окно графика.
На что влияют значения T? Максимальное и минимальное значения T влияют на то, какую часть графика вы видите.
В функциональном режиме кусочные функции имеют ограниченный домен, поэтому вы можете видеть только «кусок» функции. В параметрическом режиме значения T могут быть ограничены, что может затруднить прогнозирование того, как выглядел бы «весь» график, если бы значения T не были ограничены определенным интервалом.
Как определить размер Tstep? Tstep — это приращение, которое ваш график использует для построения каждой точки при создании графика, который вы видите на экране. Как правило, чем меньше ваш шаг, тем точнее будет ваш график.
Недостатком является то, что по мере уменьшения шага калькулятору требуется больше времени для построения параметрических уравнений. Как правило, значение TStep по умолчанию обычно является хорошим балансом между точностью графика и временем, которое требуется для построения графика.
Вот шаги для настройки окна графика:
Нажмите [WINDOW] для доступа к оконному редактору.
См. первый экран.
Измените значение Tmin и Tmax.
См. второй экран.
Нажмите [ВВОД].
Обратите внимание, при нажатии [ENTER] вычисляется 2π и отображается приблизительное значение 6,283185307. Смотрите третий экран.
Графики параметрических уравнений
Вы сделали всю тяжелую работу; этот шаг прост. Перед тем, как нажать [GRAPH], убедитесь, что вы смотрите направление, в котором создается ваш график. Ваш калькулятор начинает построение графика с подстановки наименьшего значения T в интервале. Если ваш Tstep достаточно мал, вы сможете увидеть развитие графика.
Нажмите [ГРАФИК].
Использование Zoom для изменения окна
Если окно графика вам не нравится, вы можете использовать любую из команд Zoom. Например, если вы рисуете параметрические уравнения, показанные на первом экране, вам может не понравиться окно графика, показанное на втором экране. Нажмите [ZOOM][2][ENTER], чтобы увеличить масштаб, как показано на третьем экране.
Использование трассировки для оценки параметрического уравнения
Вам понравится использовать функцию трассировки для оценки параметрических уравнений.
Большая часть информации умещается в рамке графика вокруг экрана графика. Помните, что вы не отслеживаете значения размером x , как в режиме Function. Выполните следующие шаги, чтобы оценить функцию при определенных значениях T:
Нажмите [ТРАССИРОВАТЬ].
См. первый экран. Ваша трассировка начинается с наименьшего значения T в интервале, заданном в редакторе Window. Значения X, Y и T отображаются на рамке в нижней части экрана графика.
TI-84 Plus C отображает функции и информацию на границе графического экрана. TI-84 Plus отображает аналогичную информацию непосредственно на экране графика.
Нажмите клавишу со стрелкой вправо, чтобы найти направление движения параметрических уравнений.
Обратите внимание на направление движения при увеличении значения T.
Введите конкретное значение T.
После нажатия [TRACE] при вводе числа открывается строка ввода на рамке в нижней части экрана графика, как показано на втором экране.
Нажмите [ВВОД].
См. результат, показанный на третьем экране.
Просмотр таблицы параметрического графика
Легко просмотреть значения X, Y и T в одной таблице. Нажмите [2nd][GRAPH] для просмотра таблицы, как показано на первом экране.
Прочтите контекстную справку в верхней части таблицы. Чтобы изменить приращение таблицы, нажмите [+] и отредактируйте значение в нижней части экрана, как показано на втором экране.
Другой вариант — показать разделенный экран с графиком и таблицей. Нажмите [MODE], с помощью клавиш со стрелками выделите GRAPH-TABLE и нажмите [ENTER]. Нажмите [GRAPH], чтобы увидеть разделенный экран. Использование Trace в режиме Graph-Table автоматически выделяет упорядоченные пары в таблице, как показано на третьем экране.
Глава 4.8: Параметрические уравнения: графики — предварительное вычисление
Цели обучения
В этом разделе вы будете:
- Наносить на график плоские кривые, описываемые параметрическими уравнениями, путем построения точек.
- Граф параметрических уравнений.
Это конец девятого иннинга с двумя аутами и двумя игроками на базе. Хозяева проигрывают с разницей в два раунда. Бэттер замахивается и ударяет по бейсбольному мячу со скоростью 140 футов в секунду и под углом примерно к горизонтали. Какое расстояние пролетит мяч? Сможет ли он очистить забор для победного хоумрана? Результат может частично зависеть от других факторов (например, ветра), но математики могут смоделировать траекторию снаряда и приблизительно предсказать, как далеко он пролетит, используя параметрические уравнения. В этом разделе мы обсудим параметрические уравнения и некоторые распространенные приложения, такие как задачи о движении снарядов.
Рисунок 1. Параметрические уравнения могут моделировать траекторию снаряда. (кредит: Пол Крехер, Flickr)Построение графиков параметрических уравнений с помощью точек
Стандартным методом вместо графического калькулятора или компьютерной графической программы является построение точек для представления графика уравнения. Пока мы тщательно подсчитываем значения, построение точечных графиков очень надежно.
Как сделать
Имея пару параметрических уравнений, нарисуйте график, нанеся точки.
- Построить таблицу с тремя столбцами:
- Вычислить значения и для интервала, для которого определены функции.
- Постройте получившиеся пары
Набросок графика пары параметрических уравнений путем нанесения точек
Набросок графика параметрических уравнений
Демонстрация решенияПостройте таблицу значений для и как на (Рисунок) и нанесите точки на плоскость.
Рис. 2.График представляет собой параболу с вершиной в точке, открывающейся вправо. См. (Рисунок).
Анализ
В качестве значений прогресса в положительном направлении от 0 до 5 нанесенные точки очерчивают верхнюю половину параболы. Когда значения становятся отрицательными, они очерчивают нижнюю половину параболы. Ограничений по домену нет. Стрелки указывают направление в соответствии с возрастающими значениями. График не представляет функцию, так как он не пройдет тест вертикальной линии. График состоит из двух частей: положительные значения для и отрицательные значения для
Попробуйте
Нарисуйте график параметрических уравнений
Покажите решениеНабросайте график тригонометрических параметрических уравнений
Постройте таблицу значений для данных параметрических уравнений и нарисуйте график:
Показать решениеПостройте таблицу как на (Рисунок), использование измерения угла в радианах в качестве входных данных и оценка и Использование углов с известными значениями синуса и косинуса для упрощает вычисления.
(рисунок) показывает график.
Рисунок 3. По симметрии, показанной в значениях и мы видим, что параметрические уравнения представляют собой эллипс. Эллипс отображается в направлении против часовой стрелки, как показано стрелками, указывающими возрастающие значения.
Анализ
Мы видели, что параметрические уравнения можно изобразить в виде графика с помощью точек. Однако графический калькулятор сэкономит некоторое время и выявит нюансы на графике, которые могут быть слишком утомительными, чтобы обнаруживать их, используя только ручные вычисления.
Не забудьте изменить режим калькулятора на параметрический (PAR). Для подтверждения в окне должно отображаться
вместо
Попробуйте
График параметрических уравнений:
Показать решениеСовместное построение параметрических уравнений и прямоугольной формы
Построение графика параметрических уравнений и Сначала постройте график, используя точки данных, полученные из параметрической формы. Затем начертите прямоугольную форму уравнения. Сравните два графика.
Показать решениеСоставьте таблицу значений, как показано на (Рисунок).
Постройте значения из таблицы. См. (Рисунок).
Рисунок 4. Затем переведите параметрические уравнения в прямоугольную форму. Чтобы сделать это, мы решаем для в одном из или , а затем подставляем выражение для в другое уравнение. Результатом будет функция, если найти как функцию или если найти как функцию
Затем используйте теорему Пифагора.
Анализ
На (Рисунок) данные параметрических уравнений и прямоугольного уравнения нанесены вместе. Параметрические уравнения показаны синим цветом; график для прямоугольного уравнения нарисован поверх параметрического пунктирным красным цветом. Ясно, что обе формы дают один и тот же граф.
Рис. 5.Построение графиков параметрических уравнений и прямоугольных уравнений в системе координат
Построение графиков параметрических уравнений и и прямоугольного эквивалента в одной и той же системе координат.
Показать решениеПостроить таблицу значений для параметрических уравнений, как мы это делали в предыдущем примере, и построить график на той же сетке, что и на (Рисунок).
Рисунок 6.Анализ
При ограниченной области мы наносим на график только положительные значения Параметрические данные показаны синим цветом, а график прямоугольного уравнения пунктирным красным. И снова мы видим, что эти две формы пересекаются.
Попробуйте
Нарисуйте график параметрических уравнений вместе с прямоугольным уравнением на той же сетке.
Показать решениеГрафик параметрических уравнений выделен красным, а график прямоугольного уравнения нарисован синими точками поверх параметрических уравнений.
Применение параметрических уравнений
Многие преимущества параметрических уравнений становятся очевидными при их применении для решения реальных задач. Хотя прямоугольные уравнения в x и y дают общую картину пути объекта, они не раскрывают положение объекта в определенное время. Параметрические уравнения, однако, иллюстрируют, как значения x и y меняются в зависимости от t , как местонахождение движущегося объекта в конкретный момент времени.
Обычно параметрические уравнения применяются при решении задач, связанных с движением снаряда. В этом типе движения объект продвигается вперед в направлении вверх, образуя угол с горизонталью, с начальной скоростью и на высоте над горизонталью.
Путь объекта, движущегося под наклоном к горизонтали с начальной скоростью и на высоте над горизонтом, равен
где учитывает влияние гравитации и является начальной высотой объекта. В зависимости от единиц, участвующих в задаче, используйте или Уравнение для дает горизонтальное расстояние, а уравнение для дает вертикальное расстояние.
How To
Дана задача о движении снаряда. Для ее решения используйте параметрические уравнения.
- Расстояние по горизонтали определяется выражением Замените начальную скорость объекта на
- Выражение указывает угол, под которым перемещается объект. Замените этот угол в градусах на
- Расстояние по вертикали определяется по формуле Термин представляет собой действие силы тяжести. В зависимости от задействованных юнитов, используйте или Снова замените начальную скорость и высоту, на которой объект был пущен на .
- Продолжайте вычислять каждый член, чтобы решить для
Нахождение параметрических уравнений для описания движения бейсбольного мяча
Решите задачу, представленную в начале этого раздела. Удастся ли отбивающему сделать победный хоумран? Предположим, что мяч ударяется с начальной скоростью 140 футов в секунду под углом к горизонтали, касаясь земли на высоте 3 фута.
- Найдите параметрические уравнения для моделирования траектории бейсбольного мяча.
- Где находится мяч через 2 секунды?
- Как долго мяч находится в воздухе?
- Это хоумран?
Используйте формулы для составления уравнений. Горизонтальное положение находится с помощью параметрического уравнения для Таким образом,
Таким образом,
Подставьте 2 в уравнения, чтобы найти горизонтальное и вертикальное положение мяча.
Через 2 секунды мяч находится на расстоянии 198 футов от коробки для отбивающего и на высоте 137 футов над землей.
Чтобы рассчитать, как долго мяч находится в воздухе, мы должны узнать, когда он упадет на землю или когда.
Таким образом,Когда секунды, мяч коснулся земли. (Квадратное уравнение можно решить разными способами, но эта задача была решена с помощью компьютерной математической программы.)
Мы не можем подтвердить, что удар был хоум-раном, не принимая во внимание размер дальнего поля, который варьируется от поля к полю. Однако для простоты предположим, что дальняя стена находится в 400 футах от домашней площадки в самой глубокой части парка. Предположим также, что стена имеет высоту 10 футов. Чтобы определить, отскочил ли мяч от стены, нам нужно вычислить, на какой высоте находится мяч, когда х = 400 футов. Итак, мы установим x = 400, найдем и введем
.Мяч находится в воздухе на высоте 141,8 фута, когда он вылетает за пределы стадиона. Это был действительно хоумран. См. (Рисунок).
Рис. 7.
Доступ к следующему онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики с графиками параметрических уравнений.
- Графические параметрические уравнения на TI-84
Ключевые понятия
- Когда есть третья переменная, третий параметр, от которого и зависят, можно использовать параметрические уравнения.
- Чтобы построить параметрические уравнения с помощью точек, составьте таблицу с тремя помеченными столбцами и выберите значения в порядке возрастания. Постройте последние два столбца для и См. (Рисунок) и (Рисунок).
- При построении параметрической кривой с помощью точек обратите внимание на соответствующие значения t и покажите на графике стрелки, указывающие ориентацию кривой. См. (Рисунок) и (Рисунок).
- Параметрические уравнения позволяют показать направление или ориентацию кривой на графике. Уравнения, не являющиеся функциями, можно изобразить в виде графика и использовать во многих приложениях, связанных с движением. См. (Рисунок).
- Движение снаряда зависит от двух параметрических уравнений: и Начальная скорость символизируется как начальный угол объекта при броске и как высота, на которую объект движется.
Упражнения по разделам
Вербальные
1. Какие два метода используются для построения графиков параметрических уравнений?
Show Solutionпостроение точек со стрелкой ориентации и графическим калькулятором
2. В чем отличие параметрических уравнений построения точечных графиков от декартовых уравнений?
3. Почему некоторые графики нарисованы стрелками?
Показать решениеСтрелки показывают ориентацию, направление движения по возрастанию значений
4. Назовите несколько распространенных типов графиков параметрических уравнений.
5. Почему параметрические графики важны для понимания движения снаряда?
Показать решениеПараметрические уравнения показывают различные вертикальные и горизонтальные движения во времени.
Графический
В следующих упражнениях нарисуйте график каждого набора параметрических уравнений, составив таблицу значений. Включите ориентацию на графике.
6.
7.
8.
9.
Показать решение10.
11.
Показать решениеДля следующих упражнений, набросок кривой и включить ориентацию. .
12.
13.
Show Solution14.
15.
Показать решение16.
17.
Показать решение18.
17.0007
19.
Показать решение20.
21.
Показать решение22.
Для следующих упражнений по ориентированию нарисуйте уравнение и включите в него уравнения. Затем напишите уравнение Декарта.
23.
Показать решение24.
25.
Показать решение26.
27.
Показать решениеДля следующих упражнений, график уравнения и включайте ориентацию.
28.
29.
Показать решение 30.
31.
Показать решение32.
33.
ПоказДля следующих упражнений Используйте параметрические равные для INTEGERS 4
. a и b :
34. График на домене, где и и включает ориентацию.
35. График на домене, где и , и включить ориентацию.
Показать решение36. График на домене, где и , и включить ориентацию.
37. График на домене, где и , и включить ориентацию.
Показать решение38. Если на 1 больше, опишите влияние значений и на график параметрических уравнений.
39. Опишите график, если и
Покажите решениеБудет 100 возвратно-поступательных движений.
40. Что произойдет, если на 1 больше Опишите график.
41. Если параметрические уравнения и имеют график горизонтальной параболы, открывающейся вправо, что изменит направление кривой?
Показать решение Возьмем обратное уравнение.
Для следующих упражнений опишите график системы параметрических уравнений.
42. и является линейным
43. и является линейным
Показать решениеПарабола раскрывается.
44. и является линейным
45. Напишите параметрические уравнения окружности с радиусом в центре 5 и ориентацией против часовой стрелки.
Показать решение46. Напишите параметрические уравнения эллипса с центральной большой осью длиной 10, малой осью длиной 6 и ориентацией против часовой стрелки.
В следующих упражнениях используйте графическую утилиту для построения графика в окне по домену для следующих значений и и включите ориентацию.
47.
Show Solution48.
49.
Show Solution50.
51.
Show Solution52.
Технология
для следующих Artiasis, Посмотрите, Посмотрите, посмотрите, посмотрите на следующие James, Посмотрите, посмотрите на Arjectis, Посмотрите на The Arrehise, Посмотрите на The Arrehise, Посмотрите на Arjectis, Посмотрите на The Arrehise, Посмотрите на The Arpecise, Посмотрите на Arjectis. графики, которые были созданы параметрическими уравнениями формы Используйте параметрический режим на графическом калькуляторе, чтобы найти значения и получить каждый график.
53.
Показать раствор54.
55.
Показать решение56.
В следующих упражнениях используйте графическую утилиту для построения графиков заданных параметрических уравнений.
57. Начертить график всех трех наборов параметрических уравнений в области
Показать решение58. Начертить график всех трех наборов параметрических уравнений в области
59. Начертить график всех трех наборов параметрических уравнений в области
Показать решение60. Кажется, что график каждого набора параметрических уравнений «ползет» по одной из осей. Что определяет, по какой оси ползет график?
61. Объясните влияние на график параметрического уравнения, когда мы переключили и .
Перехват изменяется.
62. Объясните влияние на график параметрического уравнения, когда мы изменили домен.
Удлинители
63. Объект подброшен в воздух с вертикальной скоростью 20 фт/с и горизонтальной скоростью 15 фт/с. Высота объекта может быть описана уравнением , в то время как объект движется горизонтально с постоянной скоростью 15 футов/с. Напишите параметрические уравнения для положения объекта, а затем избавьтесь от времени, чтобы записать высоту как функцию горизонтального положения.
Показать решение64. Скейтбордист, едущий по ровной поверхности с постоянной скоростью 9 футов/с, подбрасывает в воздух мяч, высота которого может быть описана уравнением. Напишите параметрические уравнения для положения мяча, а затем выделите время, чтобы написать высота как функция горизонтального положения.
Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Дротик брошен вверх с начальной скоростью 65 футов/с под углом возвышения 52°.