Построение графиков функций заданных параметрически: 6. Построение графика функции, заданной параметрически

6. Построение графика функции, заданной параметрически

Пусть имеем две функции и , где — общей для и области определения. Вычисляя при и считаем, что полученное значение есть функция от полученного . Тем самым получаем функцию . Такое приведение, параметрически заданной, функции к явной не всегда возможно и может быть потеряна часть информации. Параметрически заданную функцию удобно тракторвать как уравнение движения точки на плоскости. В момент времени мы знаем координаты точки . Множество всех точек , где , называетя графиком функции или траекторией движения точки. При построении графика получаем направление движения точки.

Основной метод построения графика функции, заданной параметрически, состоит в том, чтобы разбить весь график на монотонные и непрерывные куски (ветви). Монотонную и непрерывную ветвь можно строить по точкам, используя при этом исследование функции на концах промежутка, если на концах хотя бы одна из функций или разрывна.

6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции

• Найти — область определения по общую для и и отметить её на числовой оси , там же отметить точки разрыва функций.

• Найти производные и и их область определения и отметить её на той же числовой оси , также отметить точки разрыва производных.

• Решить уравнения , и нули производных отметить на той же оси.

Тем самым ось будет разбита на промежутки, на каждом из которых , и вместе с ними будут монотонны и непрерывны.

Результат исследования на монотонность функций и оформляют в виде таблицы (см. ниже в решении примера). По таблице строится черновик графика, который позже уточняется нахождением асимптот, участков выпуклости определённого знака и точек перегиба.

6. 2. Асимптоты параметрического графика

• Если при некотором или и , то — горизонтальная асимптота. Пределы слева и справа вычисляются отдельно, т.

к. это могут быть две разные асимптоты. Эти пределы уже бывают вычислены при заполнении таблицы.

• Если , или , то -вертикальная асимптота.

• Если или и или , то возможно, у этой ветви есть наклонная асимптота , где

Если существует, то ищем :

Если — существует, то у соответствующей ветви будет наклонная асимптота .

6. 3. Точки перегиба

Для нахождения участков выпуклости и точек перегиба нужна производная , которая находится по формуле

Исследуем знак , определяем направдение выпуклости, находим точки перегиба, если есть, и корректируем черновик графика.

6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции

Пример 18. 21 Построить эскиз графика , .

Решение. Совокупная область определения: .

Найдем , :

Получаем, что не существует при , при , не существует при и в нуль не обращается.

На ось наносим точки , , (см. рис. 40):

Рис. 40. Ось .

Мы получили четыре интервала. На каждом интервале функции , , а вместе с ними и будут непрерывны и монотонны. Осталось найти промежутки изменения функций и . Другими словами, откуда и куда движется точка по плоскости. Результат такого иследования оформляем в виде таблицы. Основных трок в таблице четыре, а столбцов только, сколько отмечено интервалов на оси .

Таблица 14.

Знак
	Убывает	Убывает	Возрастает	Возрастает
	от до	от до	от до	от до
Знак
	Возрастает	Возрастает	Возрастает	Убывает
	от до	от до	от до	от до

Для заполнения первой клетки изменения функции вычисляем

Для первой клетки функции вычисляем

Аналогично заполняются остальные клетки.

В точках непрерывности вычисляем просто значение функции.

Для построения графика читаем таблицу по столбцам. Получаем, что переменная точка движется от точки неограниченно влнво ( — убывает) и одновременно поднимается от до .

В данном случае при имеем горизонтальную асимптоту . Получим монотонную ветвь по которой точка движется влево (см. рис. 41). Правый конец ветви на рис. 41 соответствует , левый — .

Рис. 41. Ветвь графика функции , при .

Остальные три ветви строим аналогично как движение точки в нужном направлении.

Для уточнения графика на ветви найдем хотя бы одну точку. Выберем получим округлённо . На ветви возьмем получим .

Исследуем направление выпуклости. Находим

Наносим на ось точки разрыва функций , и нули . Находим и проставляем знаки . (см. рис.

42).

Рис. 42. Ось и знаки .

При получаем точку перегиба .

При кривая будет выпукла вверх, при — выпукла вниз, при — выпукла вверх, при — выпукла вниз, при — выпукла вниз.

При имеем , , поэтому у ветви может быть наклонная асимптота. Проверим это:

Это значит, что асимптоты не существует. У ветви при проверка показывает отсутствие аимптоты. При — горизонтальная асимптота . Заметим также, что при любых , поэтому график функции находится выше оси .

График функции , изображен на рис. 43.

Рис. 43. График функции , .

Построение графика функции, заданной в параметрической форме. — Студопедия

Поделись  

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

РАДИОВУЗ МАИ

О. М.Данченко

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

МОСКВА

 

О.М. ДАНЧЕНКО

Методические указания по выполнению индивидуальных заданий по математическому анализу – М.; РАДИОВТУЗ, 2012г., — 36 с.

 

 

Данное пособие содержит типовые задачи для индивидуальных заданий студентов-заочников по курсу «Математический анализ» часть 1. Ко всем задачам приводятся подробные решения и указания. Приведенные задания в равной степени могут использоваться студентами очного отделения при подготовке к экзамену. В приложении приведена подробная программа курса по «Математическому анализу» часть 1.

 

 

РАДИОВТУЗ 2012

 

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….

Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат или в параметрической форме……………………………………………………………

Вычисление пределов последовательностей и функций…………………………

Исследование функций на непрерывность………………………………………. .

Вычисление производных………………………………………………………….

Исследование функций с помощью производных, построение графиков функций……………………………………………………………………………..

Задания на вычисление интегралов……………………………………………….

Приложения…………………………………………………………………………

Введение

В процессе изучения курса «Математический анализ» предусмотрено выполнение студентами индивидуальных домашних заданий в каждом семестре. Индивидуальное домашнее задание 1-ого семестра содержит следующие задачи:

1. Построение графиков функций, заданных в полярной системе координат или заданных в параметрической форме.

2. Вычисление пределов последовательностей и функций.

3. Исследование функций на непрерывность.

4. Вычисление производных от сложных функций, функций, заданных неявно или в параметрической форме.

5. Исследование функций с помощью производных, построение графика функции.

6. Вычисление неопределенного и определенного интегралов.

Рассмотрим далее типовые примеры на каждое из заданий и укажем методы их решения.

Построение графиков функций, заданных в простой полярной системе координат.

Простая полярная система координат характеризуется следующим:

ρ=ρ(φ); 0≤ρ<+∞; 0≤φ≤2π(1)

Положительные углы

φотсчитываются от полярной оси (совпадающей с положительным направлением оси ОХ) против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке. При построении графика функции в соответствии с уравнениями (1) следует придерживаться следующего порядка действий:

а) указать область допустимых значений (О.Д.З.), т.е. определить при каких углах φфункция ρ(φ) – неотрицательна, т.е. ρ(φ)≥ 0;

б) найти область изменения функции;

в) указать является ли функция четной или нечетной, т.е. если ρ(-φ) = ρ(φ),то график функции симметричен относительно полярной оси и, следовательно, достаточно сделать исследования для φ≥0.После данных исследований следует построить кривую по точкам.

Пример: построить график функции в простой полярной системе координатρ=2cos2φ

Так как в простой полярной системе координат ρ≥0, то О.Д.З. будут являться только те углы φ,для которых cos2φ≥0,т.е. 0≤φ≤π/4; 3π/4≤φ≤5π/4; 7π/4≤φ≤2π. Функция будет ограничена, т.к. |cos2φ|≤1,т.е. |2cos2φ|≤2. Так как функция четная и периодическая то достаточно построить кривую только для 0≤φ≤π/4, а затем отразить кривую симметрично относительно полярной оси и в силу периодичности построить аналогичную петлю для 3π/4 ≤φ≤5π/4.Для 0≤φ≤π/4функция монотонно убывает от двух до нуля, для 3π/4≤φ≤πфункция монотонно возрастает от нуля до двух (рис. 1).

Построение графика функции, заданной в параметрической форме.

Пусть x=X(t)и y=Y(t), где параметр tизменяется в определенных заданных пределах. График функции, заданной в параметрической форме, строится по характерным точкам.

Пример: x=t², y= t∙(t²-3)/3

а) Заметим, что для любых значений аргумента t функция x(t)=t²≥0, следовательно, график функции расположен в правой полуплоскости.

б) В силу нечетности функции y(t), так как y(-t)=-y(t), график функции симметричен относительно оси ОХ.

в) Определим точки, в которых y(t) = 0: при t=0, y(0)=0 и x(0)=0

при t= + и t= — y=0, а x(+ ) = 3 – т.е. это точки пересечения графика функции с осью ОХ. Для более точного построения графика функции достаточно добавить еще 2-3 точки, например при t=1 y(1)=-2/3, x(1)=1; при t=2 y(2)=2/3, x(2)=4; при t =3 y(3)=6, x(3)=9 (рис.2.).

рис. 1 рис. 2



Сообщество Экспонента

• вопрос
• 22.09.2022

Математика и статистика, Системы управления, Изображения и видео, Робототехника и беспилотники, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Другое

Коллеги, добрый день.   Необходимо использовать corrcoef, а массивы разной длины.   Как сделать кол-во элементов одинаково?

Коллеги, добрый день.   Необходимо использовать corrcoef, а массивы разной длины.   Как сделать кол-во элементов одинаково?

7 Ответов

• вопрос
• 20.09.2022

Другое, Встраиваемые системы, Цифровая обработка сигналов, Системы управления

Здравствуйте!Возникла необходимость менять некоторое строчки в сишном файле автоматически, используя матлабовский скрипт. Прошерстил весь интернет, в т.ч. англоязычные форумы, не смог ничего найт…

Здравствуйте!Возникла необходимость менять некоторое строчки в сишном файле автоматически, используя матлабовский скрипт. Прошерстил весь интернет, в т.ч. англоязычные форумы, не смог ничего найт…

• MATLAB

20.09.2022

• Публикация
• 15.09.2022

Системы управления, Другое

Видел видос на канале экспоненты по созданию топливной системы. Вопрос заключается в наличии более полного описания готового примера или соответсвующее документации. Я новичок в симулинке и ещё многого не знаю. Адекватных и раскрытых пособий по созданию гидрав…

Моделирование гидравлических систем в simulink

• Публикация
• 10.09.2022

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое

Планирую написать книгу про модельно-ориентированное программирование с автоматическим генерированием кода применительно к разработке разнообразных микропроцессорных систем управления электроприводов. В этой книге в научно-практическо-методической форме я план…

Планирую написать книгу про модельно-ориентированное программирование с автоматическим генерированием кода применительно к разработке разнообразных микропроцессорных систем управления электроприводов.

• Публикация
• 24.08.2022

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика

                                                                          &. ..

Здесь собрана литература по комбинированным методам множественного доступа, в которых используется разделение пользователей в нескольких ресурсных пространствах.

• вопрос
• 23.08.2022

Математика и статистика, Радиолокация, Цифровая обработка сигналов

Есть записанный сигнал с датчика (синус с шумом). Как определить соотношение сигнал/шум?

Есть записанный сигнал с датчика (синус с шумом). Как определить соотношение сигнал/шум?

4 Ответа

• ЦОС
• цифровая обработка сигналов

23.08.2022

• Публикация
• 23.08.2022

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика

                                                                          &…

Здесь соборана литература по методам множественного доступа с поляризационным разделением и разделением по орбитальном угловому моменту.

• Публикация
• 16.08.2022

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика

                                      

Здесь собрана литература по методам множественного доступа с пространственным разделением.

• вопрос
• 22.07.2022

Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Математика и статистика, Биология, Встраиваемые системы, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Автоматизация испытаний, ПЛИС и СнК, Системы управления, Другое

Здравствуйте. Мне нужно обработать большое количество файлов с похожими названиями, каждый блок файлов относится к отдельному объекту, например: file_1_1.txt file_1_2.txt file_1_3.txt file_1_4.txt fil…

Здравствуйте. Мне нужно обработать большое количество файлов с похожими названиями, каждый блок файлов относится к отдельному объекту, например: file_1_1. txt file_1_2.txt file_1_3.txt file_1_4.txt fil…

2 Ответа

• чтение

22.07.2022

• вопрос
• 17.07.2022

Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов

Уважаемые коллеги, добрый вечер! В общем, возникла проблема следующего характера. Имеется сигнал, достаточно большой объем точек, длительность порядка 35-40 секунд. Он представлят собой последовательн…

Уважаемые коллеги, добрый вечер! В общем, возникла проблема следующего характера. Имеется сигнал, достаточно большой объем точек, длительность порядка 35-40 секунд. Он представлят собой последовательн…

• MATLAB
• Signal Processing

17.07.2022

Схема построения графика заданной функции. Схема исследования плоских кривых

Математика \ Математический анализ

Страницы работы

2 страницы (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Содержание работы

Схема построения графика функции

1.   Найти область определения функции и значения (возможно бесконечные) этой функции в точках разрыва и граничных точках области определения.

2.  Установить, является ли функция четной, нечетной, периодической. При наличии симметрии или периодичности выбрать подобласть области определения для дальнейшего исследования
(п.3-6 выполнять для выбранной подобласти).

3.  Найти асимптоты графика (вертикальные – в точках разрыва и граничных точках области определения; наклонные или горизонтальные – если функция определена на полупрямой или на всей числовой прямой).

4.  Найти нули функции, т.е. решить уравнение .

5.  Вычислить первую производную функции. Найти локальные экстремумы функции и промежутки ее возрастания и убывания.

6.  Вычислить вторую производную. Найти промежутки сохранения направления выпуклости.

7.  Определить характер особых точек кривой.

8.  Построить таблицу (см. ниже).

9.  Построить график функции. Если в п.2 была установлена симметрия или периодичность, то дорисовать функцию на всю область определения соответствующим образом.

Схема исследования плоских кривых, заданных параметрически.

x = x(t),           y = y(t),           tÎT

1.  Найти общую часть областей определения функций x(t), y(t).

2.  Установить, обладает ли кривая симметрией (если кривая обладает симметрией, то можно сократить выкладки, ограничив соответствующим образом исследуемую часть области определения).

4Четыре основных случая симметрии:

 ,  – симметрия относительно оси .

 ,  – симметрия относительно оси .

 ,  – симметрия относительно точки   .

 ,  – наложение ветвей графика. 3

3.  Определить, не обладает ли данная кривая периодичностью на исследуемой части области определения.

4Условия периодичности:

Из того, что y(t) периодична, а x(t) – функция с неограниченной областью значений и периодичной производной, следует периодичность y(x), а из того, что x(t) периодична, а y(t) – функция с неограниченной областью определения и периодичной производной, следует периодичность x(y). 3

4.  Найти асимптот графика функции y(x).

4Условия существования асимптот:

Если при , а , то  – вертикальная асимптота кривой.

Если при  , а , то  – горизонтальная асимптота кривой.

Если при   и , то возможна наклонная асимптота , где , , .

Отметим, что символ S может принимать следующие значения: , ,  где , , . 3

5.  Найти нули функций x(t), y(t) и их области знакопостоянства.

6.  Найти точки t_k, в которых хотя бы одна из производных x′(t), y′(t) равна нулю или разрывна.

4Точки t_i, найденные в пункте 4, и точки t_k, найденные в этом пункте, разбивают множество T на промежутки знакопостоянства производных x′(t), y′(t), и, следовательно, данная система уравнений на интервале (t_p, t_p+1) задаёт параметрическую функцию вида , которая является одной из веток исходной кривой. 3

7.  Найти вторую производную данной параметрической функции , где , и те точки t_j, в которых .

8.  Определить направление выпуклости каждой ветви графика функции.

4Если на интервале существует вторая производная функции и если эта производная положительна (отрицательна), то график этой функции на данном интервале имеет выпуклость, направленную вниз (вверх). 3

9.  Определить точки экстремума функции (вершины кривой).

4Для этого предварительно выделить точки возможного экстремума, то есть такие точки x(t_p), где t_p – одно из значений, найденных в пунктах 4,6 и 7 такое, что x′(t) сохраняет знак на интервале (t_p-1, t_p+1). Затем, рассмотрев изменение y на интервалах (t_p-1, t_p) и (t_p, t_p+1), выяснить, является ли x(t_p) точкой экстремума. 3

10.  Определить характер особых точек кривой.

11.  Составить таблицу:

*
Интервалы монотонности и точки экстремума
Интервалы выпуклости и точки перегиба
Особые точки графика и уравнения асимптот

* Таблица строится только для тех значений t, для которых определены обе функции – и .

** Серым цветом отмечены те клетки таблицы, которые не заполняются;

***Для построения графика явно заданной функции  используют аналогичную таблицу (в первой строке – интервалы и значения переменной x, а вторая строка отсутствует).

12.  Пользуясь таблицей и сведениями об особых точках, построить ветви кривой, соответствующие промежуткам (t_p, t_p+1). Если была установлена симметрия или чётность, то дорисовать функцию на всю область определения соответствующим образом.

Похожие материалы

Информация о работе

Скачать файл

Выбери свой ВУЗ

• АлтГТУ 419
• АлтГУ 113
• АмПГУ 296
• АГТУ 267
• БИТТУ 794
• БГТУ «Военмех» 1191
• БГМУ 172
• БГТУ 603
• БГУ 155
• БГУИР 391
• БелГУТ 4908
• БГЭУ 963
• БНТУ 1070
• БТЭУ ПК 689
• БрГУ 179
• ВНТУ 120
• ВГУЭС 426
• ВлГУ 645
• ВМедА 611
• ВолгГТУ 235
• ВНУ им. Даля 166
• ВЗФЭИ 245
• ВятГСХА 101
• ВятГГУ 139
• ВятГУ 559
• ГГДСК 171
• ГомГМК 501
• ГГМУ 1966
• ГГТУ им. Сухого 4467
• ГГУ им. Скорины 1590
• ГМА им. Макарова 299
• ДГПУ 159
• ДальГАУ 279
• ДВГГУ 134
• ДВГМУ 408
• ДВГТУ 936
• ДВГУПС 305
• ДВФУ 949
• ДонГТУ 498
• ДИТМ МНТУ 109
• ИвГМА 488
• ИГХТУ 131
• ИжГТУ 145
• КемГППК 171
• КемГУ 508
• КГМТУ 270
• КировАТ 147
• КГКСЭП 407
• КГТА им. Дегтярева 174
• КнАГТУ 2910
• КрасГАУ 345
• КрасГМУ 629
• КГПУ им. Астафьева 133
• КГТУ (СФУ) 567
• КГТЭИ (СФУ) 112
• КПК №2 177
• КубГТУ 138
• КубГУ 109
• КузГПА 182
• КузГТУ 789
• МГТУ им. Носова 369
• МГЭУ им. Сахарова 232
• МГЭК 249
• МГПУ 165
• МАИ 144
• МАДИ 151
• МГИУ 1179
• МГОУ 121
• МГСУ 331
• МГУ 273
• МГУКИ 101
• МГУПИ 225
• МГУПС (МИИТ) 637
• МГУТУ 122
• МТУСИ 179
• ХАИ 656
• ТПУ 455
• НИУ МЭИ 640
• НМСУ «Горный» 1701
• ХПИ 1534
• НТУУ «КПИ» 213
• НУК им. Макарова 543
• НВ 1001
• НГАВТ 362
• НГАУ 411
• НГАСУ 817
• НГМУ 665
• НГПУ 214
• НГТУ 4610
• НГУ 1993
• НГУЭУ 499
• НИИ 201
• ОмГТУ 302
• ОмГУПС 230
• СПбПК №4 115
• ПГУПС 2489
• ПГПУ им. Короленко 296
• ПНТУ им. Кондратюка 120
• РАНХиГС 190
• РОАТ МИИТ 608
• РТА 245
• РГГМУ 117
• РГПУ им. Герцена 123
• РГППУ 142
• РГСУ 162
• «МАТИ» — РГТУ 121
• РГУНиГ 260
• РЭУ им. Плеханова 123
• РГАТУ им. Соловьёва 219
• РязГМУ 125
• РГРТУ 666
• СамГТУ 131
• СПбГАСУ 315
• ИНЖЭКОН 328
• СПбГИПСР 136
• СПбГЛТУ им. Кирова 227
• СПбГМТУ 143
• СПбГПМУ 146
• СПбГПУ 1599
• СПбГТИ (ТУ) 293
• СПбГТУРП 236
• СПбГУ 578
• ГУАП 524
• СПбГУНиПТ 291
• СПбГУПТД 438
• СПбГУСЭ 226
• СПбГУТ 194
• СПГУТД 151
• СПбГУЭФ 145
• СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
• ПИМаш 247
• НИУ ИТМО 531
• СГТУ им. Гагарина 114
• СахГУ 278
• СЗТУ 484
• СибАГС 249
• СибГАУ 462
• СибГИУ 1654
• СибГТУ 946
• СГУПС 1473
• СибГУТИ 2083
• СибУПК 377
• СФУ 2424
• СНАУ 567
• СумГУ 768
• ТРТУ 149
• ТОГУ 551
• ТГЭУ 325
• ТГУ (Томск) 276
• ТГПУ 181
• ТулГУ 553
• УкрГАЖТ 234
• УлГТУ 536
• УИПКПРО 123
• УрГПУ 195
• УГТУ-УПИ 758
• УГНТУ 570
• УГТУ 134
• ХГАЭП 138
• ХГАФК 110
• ХНАГХ 407
• ХНУВД 512
• ХНУ им. Каразина 305
• ХНУРЭ 325
• ХНЭУ 495
• ЦПУ 157
• ЧитГУ 220
• ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

Maxima – максимум свободы символьных вычислений

Впервые было опубликовано в «Linux Format» №11 (85), ноябрь 2006 г.

«А рисовать вы тоже умеете?» — «Рисовать? Кого-нибудь привлечем»

Как мы уже говорили в прошлый раз, количество различных функций в Maxima разработчики постарались свести к минимуму, а широту размаха каждой конкретной функции, соответственно, к максимуму. Соблюдается эта тенденция и в функциях построения графиков: основных таких функций всего две, с очевидными, как всегда, названиями — plot2d и plot3d (одно из значений слова plot — график, а аббревиатуры 2d и 3d переводятся как двумерный и трехмерный). Если говорить точнее, возможности графической отрисовки не встроены в Maxima, а реализованы посредством внешних программ, в чем и прослеживается пресловутый Unix-way: «одна задача — одна программа». По умолчанию, построением графиков занимается gnuplot, но кроме него есть разрабатываемый вместе с Maxima и идущий в ее же пакете openmath. Gnuplot необходимо установить (вручную либо автоматически — как зависимость Maxima) из пакета gnuplot-nox, либо просто gnuplot, а для работы openmath нужен командный интерпретатор wish, входящий обычно в пакет tk; и, начиная с версии 5.10.0, еще и xMaxima.

Теперь кратко — о возможностях. Начнем с plot2d. Кратчайший вариант ее вызова такой: plot2d(выражение, [символ, начало, конец]), где выражение задает функцию, график которой нужно построить, символ — неизвестное (он, понятное дело, должен быть единственным неопределенным символом, входящим в выражение), а начало и конец задают отрезок оси Х для построения графика; участок по оси Y в таком варианте записи выбирается автоматически, исходя из минимума и максимума функции на заданном промежутке. Обратите внимание, что неизвестное и концы промежутка нужно задавать не тремя отдельными параметрами, как, скажем, в integrate, а в виде списка. Это связано с тем, что plot2d может принимать еще и дополнительные аргументы — в таком случае они перечисляются следом за таким списком, что исключает всякую путаницу.

После вызова функции plot2d в таком варианте откроется окно gnuplot, в котором будет отображен затребованный график. Никакой интерактивной работы с полученным изображением gnuplot не предусматривает, кроме автоматического его масштабирования при изменении размеров окна. Насмотревшись вдоволь, можно закрыть окно с графиком клавишей Q, либо, в случае работы с Maxima в редакторе TeXmacs или wxMaxima, просто переключиться обратно в интерфейс, оставив окно gnuplot открытым, и продолжить работу:

В некоторых случаях автоматический подбор отображаемого xучастка вертикальной оси может нас не устроить. Например, он работает не очень хорошо, если функция имеет на заданном промежутке точку разрыва, хотя бы один из односторонних пределов в которой равен бесконечности: тогда промежуток по оси Y будет выбран слишком большим. Да и в других случаях может понадобиться изменить умолчательное поведение. Для этого предусмотрен такой вариант вызова функции: plot2d(выражение, [символ, начало, конец], [y, начало, конец]). Здесь буква y используется в качестве обозначения вертикальной оси, а остальные два параметра имеют тот же смысл, что и выше.

Как видите, умолчательный вид графиков в gnuplot достаточно прост и даже аскетичен, но здесь можно очень и очень многое менять с помощью дополнительных опций. Некоторые из которых будут освещены чуть ниже, а остальные можно изучить по документации к gnuplot.

Чтобы построить на одной и той же картинке одновременно два графика (или больше), просто передайте функции plot2d вместо отдельного выражения их список:

Здесь [x, 0. 01, 5] вместо [x, 0, 5] я написал «по привычке» — Maxima 5.9.x выдавала ошибку, если заданная функция была не определена на одном из концов интервала. В 5.10.0 мне эту ошибку воспроизвести не удалось; так что есть основания полагать, что поведение в таких случаях поправили.

Может plot2d строить и графики параметрически заданных функций. Для этого используется список с ключевым словом parametric: plot2d([parametric, x-выражение, y-выражение, [переменная, начало, конец], [nticks, количество]]). Здесь x-выражение и y-выражение задают зависимость координат от параметра, то есть, по сути, это две функции вида x(t), y(t), где t — переменная параметризации. Эта же переменная должна фигурировать в следующем аргументе-списке, а параметры начало, конец, как и в двух других рассмотренных случаях, задают отрезок, в пределах которого этот параметр будет изменяться. Последний аргумент-список, с ключевым словом nticks, задает количество кусочков, на которые будет разбит интервал изменения параметра при построении графика. Этот аргумент опционален, но на практике он нужен почти всегда: умолчательное значение nticks равно 10; согласитесь, редко бывает нужно в качестве графика получить ломаную из 10 отрезков. Вот пример построения графика параметрической функции:

Кроме parametric, функция plot2d понимает еще одно ключевое слово: discrete. Предназначено оно, как нетрудно догадаться, для отображения на плоскости дискретных множеств; точнее говоря, конечных наборов точек. По записи аргументов такой вариант распадается еще на два: plot2d([discrete, x-список, y-список]) и plot2d([discrete, [x, y]-список]). В первом варианте координаты задаются как два отдельных списка [x1, x2, …, xn], [y1, y2, ,…, yn], а во втором — как список пар координат отдельных точек [[x1, y1], [x2, y2], …, [xn, yn]].

Если мы, к примеру, имеем набор статистических значений, зависящих от номера, мы можем отобразить его, задав в качестве x-координат сами эти номера, то есть натуральные числа:

По умолчанию множество отображается в виде ломаной с вершинами в заданных точках; такое поведение можно изменить и получить вывод, к примеру, в виде отдельных точек. Это достигается использованием специальных опций, применимых как к plot2d, так и к plot3d, поэтому давайте перейдем к рассмотрению последней.

Придаем объем

Функция plot3d имеет два варианта вызова: один для явного задания функции и один для параметрического. В обоих случаях функция принимает три аргумента. Для явно заданной функции: plot3d(выражение, [переменная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]); аргументы аналогичны plot2d, с той разницей, что здесь независимых переменных две.

Построение нескольких поверхностей на одном графике не поддерживается — потому, вероятно, что на таком рисунке проблематично было бы что-либо разглядеть. Посему для параметрически заданной функции ключевое слово parametric не требуется: вызов с первым аргументом-списком уже не с чем перепутать. График параметрически заданной функции строится так: plot3d([выражение1, выражение2, выражение3], [переменная1, начало, конец], [переменная2, начало, конец]), где выражения отвечают, по порядку, x(u, v), y(u, v), z(u, v).

С помощью параметрической формы можно строить и пространственные кривые. Для этого просто нужно задать второй, фиктивный, параметр, чтобы Maxima не ругалась на неправильный синтаксис вызова функции:

И отсюда мы плавно переходим к опциям функций построения графиков, посредством использованной выше опции grid. Каждая опция имеет некоторое умолчательное значение, а изменить его можно, добавив к аргументам список вида [имя-опции, значение]. Строго говоря, рассмотренные выше y и nticks также являются опциями; в предпоследнем примере мы задали опции nticks значение 120, а в примере перед ним в качестве значения опции y использовалась пара чисел 0, 5. В документации к Maxima символ x, выступавший в примерах выше в качестве обязательного параметра, также приводится как опция; на самом деле опцией он является только в случае parametric и действует тогда так же, как и опция y, только по другой оси. Опция grid, использованная выше, применима к трехмерным графикам вместо опции nticks, используемой для двумерных. Она, также как и y, задается в виде двух целых значений, которые для поверхностей задают размер ячеек сетки, в виде которой отображается поверхность; первое число — вдоль оси X, второе — вдоль оси Y; либо, в случае параметрического задания, по первому и по второму параметру соответственно. Для кривых из этих параметров действует только один, но писать нужно опять же оба, дабы не нарушать синтаксис; и здесь этот параметр имеет в точности тот же смысл, что nticks для кривых на плоскости. Но перейдем к другим опциям.

С претензией на красоту

Первая опция, которую мы рассмотрим, задает формат вывода результата; так она и называется: plot_format. Формат может принимать одно из четырех значений, первое из которых действует по умолчанию: gnuplot, mgnuplot, openmath и ps. В умолчательном варианте (значение gnuplot) данные для отображения передаются напрямую программе gnuplot, которая сама по себе имеет достаточно гибкое управление, и параметры ей можно передавать прямо из Maxima с помощью дополнительных опций функций plot2d/3d. Параметров этих настолько много, что gnuplot могла бы стать темой отдельной статьи; так что обращайтесь за ними к документации по gnuplot. В противовес своим богатым возможностям, gnuplot имеет перед следующими двумя интерфейсами (если откровенно — скорее, лишь перед одним из них) только один недостаток: она генерирует статичное изображение, тогда как mgnuplot и openmath позволяют в реальном времени масштабировать и передвигать картинку, а plot3d — еще и вращать линию или поверхность в разные стороны в пространстве.

Следующий вариант — mgnuplot — является дополнительным интерфейсом к gnuplot, написанным на Tcl/Tk, но динамика у него настолько «задумчивая», а остальные возможности настолько бедны, что я не вижу смысла останавливаться на нем подробнее.

И перехожу сразу к openmath. Он тоже не очень-то поддается управлению, зато предоставляет хорошую интерактивность, особенно ценную в трехмерном варианте: после того, как объект сгенерирован, его можно масштабировать и очень динамично вращать, разглядывая со всех сторон. Особенно это помогает для сложных поверхностей, когда, глядя на статичную «сетку» gnuplot, непросто понять форму поверхности. Справедливости ради нужно отметить, что gnuplot позволяет задавать точку обзора трехмерного объекта в качестве одного из многочисленных параметров, то есть хотя картинка и статична, но с какой стороны на нее смотреть, мы можем указать произвольно.

Ну и последнее значение опции plot_format подталкивает Maxima к непосредственной генерации PostScript-документа с изображением. Но и здесь надо сказать: генерировать PostScript-вывод умеет и все тот же gnuplot.

Большинство остальных опций относятся только к формату вывода gnuplot. А мы рассмотрим еще одну универсальную, пригодную для всех форматов и преобразующую не результирующее изображение, а сам процесс построения графика; точнее, систему координат. Называется эта опция transform_xy, по умолчанию она равна false. Передавать ей нужно выражение, сгенерированное функцией make_transform([x, y, z], f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)). Кроме того, существует одно встроенное преобразование, известное как polar_xy и соответствующее make_transform([r, th, z], r*cos(th), r*sin(th), z), то есть переходу к полярной цилиндрической системе координат. В качестве примера использования transform_xy приведу преобразование к полярным сферическим координатам, раз уж во встроенном виде его нет:

Обратите внимание: в первом аргументе-списке к make_transform последним должен идти зависимый символ, то есть тот, который будет выступать функцией от двух других.

Если вам нужно постоянно работать со сферическими координатами, можете задать, скажем, spherical_xy:make_transform([t, f, r], r*sin(f)*sin(t), r*cos(f)*sin(t), r*cos(t)), и затем при построении графиков писать [transform_xy, spherical_xy]. Ветвитесь и повторяйтесь До сих пор мы двигались только по прямой, а теперь поговорим о средствах «изменения траектории»: условном операторе и циклах.

Начнем с условия. В Maxima, в отличие от большинства «традиционных» процедурных и объектных языков программирования, где существует так называемый условный оператор, привычная связка if—then—else является не синтаксической конструкцией, а самым настоящим оператором. По своему действию он больше всего похож на тернарный оператор языка C, только с более «человеческим» синтаксисом: if условие then выражение1 else выражение2. При выполнении «условия» из двух «выражений» вычисляется только первое и возвращается как результат оператора; в противном случае выполняется только второе и оно же является значением всего выражения if—then—else. Часть конструкции else выражение2, как и в большинстве языков программирования, опциональна. Если ее нет, а условие все-таки не выполнилось, результат оператора if будет равен false.

При этом, конечно же, никто вам не мешает использовать этот оператор как обычную условную конструкцию, а возвращаемое значение просто игнорировать. С другой стороны, оператор if можно применять, например, для задания рекурсивных последовательностей:

Немного о самих условиях, которые могут проверяться оператором if. Условия >, <, >=, <= записываются и расшифровываются традиционно, так же как и логические операторы and, or, not. А вот о равенствах-неравенствах нужно сказать пару слов. Равенство в Maxima есть двух видов: синтаксическое и логическое. Знаком = обозначается как раз первое, а второе вычисляется с помощью функции equal(). Чтобы не быть многословными, отличие синтаксического равенства от логического продемонстрируем на примере; здесь дополнительно используется предикат по имени is, которые проверяет на истинность свой аргумент.

Ну и неравенств, соответственно, тоже существует два, с тем же смыслом. Синтаксическое неравенство обозначается достаточно непривычно — через #; видимо, этот символ разработчики сочли наиболее визуально схожим со знаком ≠. Ну а логическое неравенство обозначено через notequal().

Конечно, кроме упомянутых сравнений в условном операторе можно использовать любые предикаты, то есть функции, возвращающие логические значения true/false. Функций таких достаточно много, но все они достаточно просты, поэтому не буду тратить время на их описание: его можно почерпнуть в том же объеме из документации.

Напоследок перейдем к циклам. Цикл в Maxima будто бы тоже один. Но он имеет столько различных вариантов, что назвать это все одним оператором цикла язык не поворачивается. Вот как выглядят основные разновидности:

• for переменная:начало step шаг thru конец do выражение
• for переменная:начало step шаг while условие do выражение
• for переменная:начало step шаг unless условие do выражение

Первый прокручивает цикл, изменяя переменную с заданным шагом от начала до конца; второй — от начала и пока выполняется условие; третий — наоборот, пока условие не выполняется. К примеру, мы можем получить список из первых десяти членов последовательности из позапрошлого примера:

Как видите, в качестве оператора цикл в простейшем его виде, в отличие от условия, использовать смысла нет, так как его возвращаемое значение всегда равно done. В этом примере один из элементов циклического оператора не указан; шаг, как видите, может быть опущен и по умолчанию равен единице. Самое интересное в этом операторе то, что опустить позволяется любую его часть, кроме do; и в том числе в любых комбинациях. К примеру, опустив кроме step еще и for, мы получаем из этого же оператора традиционные циклы while и unless (второй и третий варианты). А проделав то же самое с первым вариантом записи, получим цикл без счетчика вида thru число do выражение, который просто повторится заданное число раз. Можно, наоборот, опустить условие окончания и получить цикл с индексной переменной, но бесконечный. А оставив только do, получим самый простой вариант бесконечного цикла. Из таких бесконечных циклов можно выйти с помощью оператора return(выражение) (точнее, конечно, конструкции из двух операторов вида if условие then return(выражение)), который прервет выполнение цикла и вместо done вернет заданное выражение. Естественно, оператор return() можно применять во всех видах циклов, а не только в бесконечных.

Но и это еще не все. Кроме всех уже рассмотренных вариаций, цикл может принимать еще две ипостаси. Во-первых, вместо step может использоваться конструкция next выражение, смысл которой лучше тоже продемонстрировать на примере

После next может стоять любое вычислимое выражение относительно индекса цикла, и применяться эта конструкция может во всех трех вариантах цикла (thru/while/unless).

А «во-вторых» — это еще один отдельный вариант цикла: for переменная in список do выражение; либо расширенная форма: for переменная in список условие do выражение. Здесь цикл будет прокручен с переменной, изменяющейся по всем элементам списка; плюс можно задать еще и дополнительное условие на прерывание цикла. Вот теперь мы с циклами действительно закончили. Как видите, все достаточно разнообразно. Я, признаться, ничего, что здесь не реализовано, и придумать не смог.

Но рассказ о циклах и условном операторе остается неполным, пока я не рассказал о группировке выражений — ведь в обычном варианте после then или do можно написать всего одно из них. А группировка, или, как ее принято называть, составной оператор, в Maxima — это опять-таки самый настоящий оператор, который тоже, как и положено оператору, возвращает некоторое значение. Обозначается он скобками, самыми что ни на есть круглыми и обыкновенными; а разделяются сгруппированные операторы/выражения внутри этих скобок не менее обыкновенными запятыми. Возвращаемым значением составного оператора является последнее вычисленное выражение.

С условным оператором, столь разнообразными циклами и составным оператором мы уже можем, комбинируя их между собой и с любыми другими функциями и выражениями Maxima, писать полноценные программы с использованием богатого символьного математического аппарата. Естественно, теперь нам захочется сохранять эти программы в виде внешних файлов, чтобы не набирать их каждый раз вручную, а подгружать одной короткой командой. Об этом, а также о математических аналогах объявления переменных — в завершающей статье цикла.

Мы также поговорим о математических аналогах объявления переменных и рассмотрим практические примеры с применением уже достаточно богатого известного нам инструментария. 2», где название переменной является обязательным.

Определения функций, заданных параметрически, похожи на определений функций в декартовых координатах. Координаты x и y можно ввести в виде уравнений относительно переменной t, например «x = sin(t)», «y = cos(t)», или в виде функций, например «f_x(s) = sin(s)», «f_y(s) = cos(s)».

Определения функций, заданных в полярных координатах, также похожи на определения функций в декартовых координатах. Их возможно ввести либо в виде уравнения в θ, например «r = θ», либо в виде функции, например «f(x) = x».

Название функции, заданной неявно, следует вводить отдельно от выражения, связывающего между собой координаты x и y. Если переменные x и y указаны с помощью названия функции (например, если как название функции указано выражение «f(a,b)»), будут использованы эти переменные. В ином случае для обозначения переменных будут использоваться буквы x и y.

Функции, задаваемые дифференциальным уравнением, описываются в виде дифференциального уравнения, разрешённого относительно старшей производной. Дифференцирование обозначается штрихом (‘). В виде функции уравнение будет выглядеть следующим образом: «f»(x) = f’ − f». В виде уравнения это будет что-то вроде «y» = y’ − y». Обратите внимание, что в обоих случаях часть «(x)» не следует добавлять в члены низшего порядка (то есть следует вводить «f'(x) = −f», а не «f'(x) = −f(x)»).

Справа от всех полей ввода уравнений имеется кнопка. При её нажатии откроется диалоговое окно Редактор выражений, в котором находится:

• Ряд отсутствующих на обычной клавиатуре математических символов, которые можно использовать в уравнениях.

• Список определённых пользователем постоянных и кнопка для их редактирования.

• Список предустановленных функций. Обратите внимание, что если фрагмент текста уже выбран, то при вставке функции он будет использован в качестве её аргумента. Например, если в уравнении «y = 1 + x» выбран текст «1 + x», а затем указана функция синуса, то уравнение примет вид « y = sin(1+x)».

Функции в декартовой системе координат

Для указания явно заданной функции (например, функции вида y=f(x)) просто введите её в следующем виде:

f(x) = выражение

, где:

• f — имя функции, определяемое в виде строки с буквами и цифрами.

• x — горизонтальная координата для использования в выражении после знака равенства. Это мнимая переменная, поэтому можно использовать любое название переменной, результат останется таким же.

• выражение — выражение для построения графика, записанное согласно синтаксису, принятому в KmPlot. Подробнее: «Математический синтаксис».

Параметрические функции

Параметрическими функциями называются функции, в которых координаты x и y определяются отдельными функциями от другой переменной, обычно называемой t. Чтобы задать параметрическую функцию, выполните для функций x и y те же действия, что и для функции в декартовых координатах. Как и в случае функций в декартовых координатах, для параметра возможно использовать любое название переменной.

Например, требуется нарисовать круг с параметрическими уравнениями x = sin(t), y = cos(t). После создания параметрического графика укажите соответствующие уравнения в полях для x и y, например f_x(t)=sin(t) и f_y(t)=cos(t).

В редакторе функций возможно установить некоторые дополнительные параметры графика:

Мин.:, Макс.:

Эти параметры управляют диапазоном параметра t, для которого строится график функции.

Функции в полярной системе координат

Полярная система координат представляет точку по её расстоянию от начала координат (обычно называемому r) и углу между прямой, проходящей через точку и начало координат, и осью абсцисс (обычно представляемому греческой буквой «тета» — θ). 2 = 25

Дифференциальные функции

KmPlot позволяет строить графики явных дифференциальных функций. Они заданы уравнениями вида y⁽ⁿ⁾ = F(x,y’,y»,…,y⁽ⁿ⁻¹⁾), где y^k — k^-я производная функции y(x). KmPlot может устанавливать порядок производной только по количествуштрихов, записанных после названия функции. Например, для построения синусоидальной кривой можно использовать дифференциальное уравнение y'' = − y или f''(x) = −f.

Тем не менее, самого дифференциального уравнения недостаточно для построения кривой-решения. Каждая кривая в области построения генерируется комбинацией дифференциального уравнения и начальных условий. Чтобы изменить начальные условия, перейдите на вкладку Начальные условия после задания самого дифференциального уравнения. Количество столбцов доступных для редактирования начальных условий зависит от порядка дифференциального уравнения.

В редакторе функций возможно установить некоторые дополнительные параметры графика:

Шаг:

Параметр шага в поле точности используется при численном решении дифференциального уравнения (с помощью метода Рунге — Кутты). Его значение — максимальный используемый размер шага; возможно использовать меньшее значение шага при достаточном увеличении части графика.

Исчисление II. Параметрические уравнения и кривые

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление II / Параметрические уравнения и полярные координаты / Параметрические уравнения и кривые

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-1: Параметрические уравнения и кривые

До сих пор (как в Исчислении I, так и в Исчислении II) мы рассматривали почти исключительно функции в форме \(y = f\left( x \right)\) или \(x = h\left( y \ справа)\) и почти все формулы, которые мы разработали, требуют, чтобы функции были в одной из этих двух форм. Проблема в том, что не все кривые или уравнения, на которые мы хотели бы взглянуть, легко укладываются в эту форму.

Возьмем, к примеру, круг. Достаточно легко написать уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом \(r\). 92}} & \hspace{0,15 дюйма} & \left( {{\mbox{левая сторона}}} \right)\end{align*}\]

К сожалению, обычно мы работаем над всем кругом, или просто не можем сказать, что будем работать только над одной его частью. Даже если мы можем сузить все до одной из этих частей, работать с функцией все равно довольно неприятно.

Существует также огромное количество кривых, которые мы даже не можем записать в виде единого уравнения, используя только \(x\) и \(y\). Итак, для решения некоторых из этих проблем мы вводим параметрические уравнения . Вместо определения \(y\) через \(x\) (\(y = f\left(x \right)\)) или \(x\) через \(y\) (\(x = h\left( y \right)\)) мы определяем как \(x\), так и \(y\) в терминах третьей переменной, называемой параметром, следующим образом:

\[x = f\left( t \right)\hspace{0.5in}y = g\left( t \right)\]

Эта третья переменная обычно обозначается \(t\) (как мы сделали здесь), но, конечно, не обязательно. Иногда мы будем ограничивать значения \(t\), которые мы будем использовать, а иногда нет. Это часто будет зависеть от проблемы и от того, что мы пытаемся сделать.

Каждое значение \(t\) определяет точку \(\left( {x,y} \right) = \left( {f\left( t \right),g\left( t \right)} \ справа)\), которые мы можем построить. Совокупность точек, которую мы получаем, полагая \(t\) всеми возможными значениями, представляет собой график параметрических уравнений и называется параметрической кривой .

Чтобы наглядно представить, что такое параметрическая кривая, представьте, что у нас есть большой резервуар с водой, который находится в постоянном движении, и мы бросаем в него шарик для пинг-понга. Точка \(\left( {x,y} \right) = \left( {f\left( t \right),g\left( t \right)} \right)\) будет представлять местоположение шарик для пинг-понга в резервуаре в момент времени \(t\), а параметрическая кривая будет трассировкой всех местоположений шарика для пинг-понга. Обратите внимание, что это не всегда корректная аналогия, но она полезна на начальном этапе, чтобы наглядно представить, что такое параметрическая кривая. 92} + t\hspace{0.5in}y = 2t — 1\]

Показать решение

На данный момент наша единственная возможность нарисовать параметрическую кривую — выбрать значения \(t\), подставить их в параметрические уравнения и затем нанести точки. Итак, давайте подставим несколько \(t\)’ов.

\(т\)	\(х\)	\(у\)
-2	2	-5
-1	0	-3
\( — \frac{1}{2}\)	\( — \фракция{1}{4}\)	-2
0	0	-1
1	2	1

Первый вопрос, который следует задать на этом этапе, заключается в том, как мы узнали, что нужно использовать значения \(t\), которые мы сделали, особенно третий вариант? К сожалению, на данный момент нет реального ответа на этот вопрос. Мы просто выбираем \(t\) до тех пор, пока не будем достаточно уверены, что у нас есть хорошее представление о том, как выглядит кривая. Именно эта проблема с выбором «хороших» значений \(t\) делает этот метод рисования параметрических кривых одним из худших вариантов. Иногда у нас нет выбора, но если он есть, мы должны его избегать.

В последующих примерах мы обсудим альтернативный метод построения графиков, который поможет объяснить, как были выбраны эти значения \(t\).

У нас есть еще одна идея, которую нужно обсудить, прежде чем мы нарисуем кривую. Параметрические кривые имеют направление движения . Направление движения задается возрастанием \(t\). Итак, при построении параметрических кривых мы также включаем стрелки, показывающие направление движения. Мы часто будем указывать значение \(t\), которое дает определенные точки на графике, а также, чтобы прояснить значение \(t\), которое дает эту конкретную точку.

Вот эскиз этой параметрической кривой.

Итак, похоже, у нас есть парабола, которая выходит вправо.

Прежде чем мы закончим этот пример, есть несколько важных и тонких моментов, которые мы должны обсудить в первую очередь. Обратите внимание, что мы включили часть эскиза справа от точек, соответствующих \(t = — 2\) и \(t = 1\), чтобы указать, что там есть части эскиза. Если бы мы просто остановили набросок в этих точках, мы указали бы, что справа от этих точек не было участка кривой, и он явно будет. Мы просто не рассчитали ни одну из этих точек.

Это может показаться неважным моментом, но, как мы увидим в следующем примере, это важнее, чем мы думаем.

Прежде чем перейти к гораздо более простому способу наброска этого графика, давайте сначала обратимся к вопросу об ограничениях параметра. В предыдущем примере у нас не было никаких ограничений на параметр. Без ограничений на параметр график будет продолжаться в обоих направлениях, как показано на скетче выше.

Однако у нас часто будут ограничения на параметр, и это повлияет на набросок параметрических уравнений. Чтобы увидеть этот эффект, давайте рассмотрим небольшую вариацию предыдущего примера. 92} + t\hspace{0.5in}y = 2t — 1\hspace{0. 5in} — 1 \le t \le 1\]

Показать решение

Обратите внимание, что единственное отличие здесь состоит в наличии ограничений на \(t\). Все эти ограничения говорят нам, что мы не можем взять никакое значение \(t\) вне этого диапазона. Следовательно, параметрическая кривая будет только частью приведенной выше кривой. Вот параметрическая кривая для этого примера.

Обратите внимание, что с этим эскизом мы начали и остановили эскиз прямо в точках, исходящих из конечных точек диапазона \(t\). Сравните это с эскизом в предыдущем примере, где у нас была часть эскиза справа от «начальной» и «конечной» точек, которые мы вычислили.

В этом случае кривая начинается в \(t = — 1\) и заканчивается в \(t = 1\), тогда как в предыдущем примере кривая на самом деле не начиналась в самых правых точках, которые мы вычислили. В наших набросках нам нужно четко указать, начинается ли кривая или заканчивается прямо в точке, или эта точка была просто первой/последней, которую мы вычислили.

Пришло время взглянуть на более простой способ рисования этой параметрической кривой. Этот метод использует тот факт, что во многих, но не во всех случаях, мы можем исключить параметр из параметрических уравнений и получить функцию, включающую только \(x\) и \(y\). Иногда мы будем называть это алгебраическое уравнение , чтобы отличить его от исходных параметрических уравнений. С этим методом будут две небольшие проблемы, но их будет легко решить. Однако важно отметить, что мы не всегда сможем это сделать.

То, как мы исключим параметр, будет зависеть от параметрических уравнений, которые у нас есть. Давайте посмотрим, как исключить параметр из набора параметрических уравнений, с которыми мы работали до сих пор.

92} + t\hspace{0.5in}y = 2t — 1\]

Показать решение

Один из самых простых способов исключить параметр — просто решить одно из уравнений для параметра (в данном случае \(t\)) и подставить его в другое уравнение. Обратите внимание, что, хотя это может быть самым простым способом устранения параметра, обычно это не лучший способ, как мы скоро увидим.

В этом случае мы можем легко найти \(y\) для \(t\).

\[t = \frac{1}{2}\left( {y + 1} \right)\] 92} + у + \ гидроразрыва {3} {4} \]

Конечно, из наших знаний по алгебре мы можем видеть, что это парабола, которая открывается вправо и имеет вершину в \(\left( { — \frac{1}{4}, — 2} \right)\ ).

Мы не будем заморачиваться с наброском для этого, так как мы уже делали набросок один раз, и смысл здесь был больше в том, чтобы исключить параметр в любом случае.

Прежде чем закончить этот пример, давайте рассмотрим одну небольшую проблему.

В первом примере мы просто, казалось бы, случайно выбрали значения \(t\) для использования в нашей таблице, особенно третье значение. На самом деле не было никакой очевидной причины для выбора \(t = — \frac{1}{2}\). Однако это, вероятно, самый важный выбор \(t\), поскольку именно он дает вершину.

Реальность такова, что при написании этого материала мы сначала решили эту задачу, а затем вернулись и решили первую задачу. Построение точек — это, как правило, способ, с помощью которого большинство людей сначала учатся строить графики, и он иллюстрирует некоторые важные понятия, такие как направление, поэтому имело смысл сначала сделать это в примечаниях. Однако на практике этот пример часто выполняется первым.

Итак, как мы получили эти значения \(t\)? Что ж, давайте начнем с вершины, так как это, вероятно, самая важная точка на графике. У нас есть координаты \(x\) и \(y\) вершины, а также параметрические уравнения \(x\) и \(y\) для этих координат. Итак, подставьте координаты вершины в параметрические уравнения и найдите \(t\). Это дает 92} + t}\\{ — 2 = 2t — 1}\end{массив}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\begin{array}{ll}{t = — \frac{1 {2}\,\,\,\left( {{\mbox{двойной корень}}} \right)}\\{t = — \frac{1}{2}}\end{массив}\]

Итак, как мы видим, значение \(t\), которое дает обе эти координаты, равно \(t = — \frac{1}{2}\). Обратите внимание, что параметрическое уравнение \(x\) давало двойной корень, а этого часто не происходит. Часто мы получали бы два разных корня из этого уравнения. На самом деле не будет чем-то необычным получить несколько значений \(t\) из каждого из уравнений.

Однако мы можем сказать, что будут значения \(t\), которые встречаются в обоих наборах решений, и это \(t\), которые мы хотим получить для этой точки. Позже мы увидим пример, где это происходит.

Теперь из этой работы мы можем видеть, что если мы используем \(t = — \frac{1}{2}\), мы получим вершину, поэтому мы включили это значение \(t\) в таблицу в Пример 1. Получив это значение \(t\), мы выбрали два целых значения \(t\) с каждой стороны, чтобы закончить таблицу.

Как мы увидим в следующих примерах в этом разделе, определение значений \(t\), которые дадут определенные точки, — это то, что нам нужно будет делать на довольно регулярной основе. Однако это довольно просто, как показал этот пример. Все, что нам нужно сделать, это решить (обычно) довольно простое уравнение, которое к этому моменту времени не должно быть слишком сложным.

Получение эскиза параметрической кривой после исключения параметра кажется довольно простым. Все, что нам нужно сделать, это нарисовать уравнение, которое мы нашли, исключив параметр. Однако, как уже отмечалось, у этого метода есть две небольшие проблемы. Во-первых, это направление движения. Уравнение, включающее только \(x\) и \(y\), НЕ даст направление движения параметрической кривой. Однако, как правило, эту проблему легко решить. Давайте быстро взглянем на производные параметрических уравнений из последнего примера. Они,

\[\begin{align*}\frac{{dx}}{{dt}} & = 2t + 1\\ \frac{{dy}}{{dt}} & = 2\end{align*}\]

Теперь все, что нам нужно сделать, это вспомнить наши знания исчисления I. Производная \(y\) по \(t\), очевидно, всегда положительна. Вспоминая, что одной из интерпретаций первой производной является скорость изменения, мы теперь знаем, что по мере увеличения \(t\) должно увеличиваться и \(y\). Следовательно, мы должны двигаться вверх по кривой снизу вверх по мере увеличения \(t\), так как это единственное направление, которое всегда будет давать увеличение \(y\) по мере увеличения \(t\).

Обратите внимание, что производная \(x\) не так полезна для этого анализа, так как она будет как положительной, так и отрицательной, и, следовательно, \(x\) будет как увеличиваться, так и уменьшаться в зависимости от значения \(t\) . Это не очень помогает с направлением, так как движение по кривой в любом направлении будет показывать как увеличение, так и уменьшение \(x\).

В некоторых случаях только одно из уравнений, как в этом примере, дает направление, в то время как в других случаях можно использовать любое из них. Также возможно, что в некоторых случаях для определения направления потребуются обе производные. Он всегда будет зависеть от индивидуального набора параметрических уравнений.

Вторую проблему с удалением параметра лучше всего проиллюстрировать на примере, так как мы столкнемся с этой проблемой в оставшихся примерах.

Пример 4 Нарисуйте параметрическую кривую для следующего набора параметрических уравнений. Четко указать направление движения. \[x = 5\cos t\hspace{0.5in}y = 2\sin t\hspace{0.5in}0 \le t \le 2\pi \]

Показать решение

Прежде чем мы приступим к устранению параметра для этой задачи, давайте сначала еще раз обратимся к тому, почему просто выбор \(t\) и точки на графике — не очень хорошая идея.

Учитывая диапазон \(t\) в условии задачи, давайте использовать следующий набор \(t\).

\(т\)	\(х\)	\(у\)
0	5	0
\(\ гидроразрыва {\pi} {2}\)	0	2
\(\пи \)	-5	0
\(\frac{{3\pi}}{2}\)	0	-2
\(2\пи \)	5	0

Вопрос, который нам нужно задать сейчас, заключается в том, достаточно ли у нас точек, чтобы точно начертить график этого набора параметрических уравнений? Ниже приведены наброски некоторых возможных графиков параметрического уравнения, основанных только на этих пяти точках.

Учитывая природу синуса/косинуса, у вас может возникнуть соблазн исключить ромб и квадрат, но нельзя отрицать, что это графики, проходящие через заданные точки. Первый и третий графики имеют некоторую кривизну, поэтому у вас может возникнуть соблазн предположить, что один из них является правильным, учитывая синус/косинус в уравнениях. Последний график тоже немного глуповат, но он показывает график, проходящий через заданные точки.

Опять же, учитывая природу синуса/косинуса, вы, вероятно, предполагаете, что правильным графиком является первый или третий график. Впрочем, это все, что будет на данный момент. Догадка. На самом деле ничто не говорит однозначно, что параметрическая кривая является одной из этих двух только из этих пяти точек. В этом заключается опасность рисования параметрических кривых на основе нескольких точек. Если мы заранее не знаем, каким будет график, мы просто делаем предположения.

Здесь важно отметить, что очень легко построить набор параметрических уравнений, содержащих как синусы, так и косинусы, и при этом график вообще не будет иметь кривизны. Вы часто можете сделать некоторые предположения о форме кривой из параметрических уравнений, но, к сожалению, вы не всегда будете делать правильные предположения. При построении графиков параметрических уравнений необходимо соблюдать осторожность, чтобы не учитывать поведение отдельных параметрических уравнений и просто предполагать, что поведение будет преобразовано в кривую набора параметрических уравнений.

Кроме того, как правило, нам следует избегать построения точек для наброска параметрических кривых, так как это иногда приводит к неверным графикам. Наилучший метод, если это возможно, — исключить параметр. Как отмечалось непосредственно перед началом этого примера, все еще существует потенциальная проблема с удалением параметра, с которым нам придется иметь дело. В конце концов мы обсудим этот вопрос. А пока давайте просто продолжим удаление параметра.

Мы начнем с удаления параметра, как мы это делали в предыдущем разделе. Мы решим одно из уравнений для \(t\) и подставим его в другое уравнение. Например, мы могли бы сделать следующее: 9{ — 1}} \ влево ( {\ гидроразрыва {х} {5}} \ вправо)} \ вправо) \]

Вы видите проблему с этим? Это определенно легко сделать, но у нас больше шансов правильно изобразить исходные параметрические уравнения, нанеся точки, чем на графике этого!

Есть много способов исключить параметр из параметрических уравнений, и решение для \(t\) обычно не лучший способ сделать это. Хотя часто это легко сделать, в большинстве случаев мы придем к уравнению, с которым почти невозможно иметь дело. 92}}}{4}\]

Итак, теперь мы знаем, что у нас будет эллипс.

Теперь давайте продолжим с примером. Мы определили, что параметрические уравнения описывают эллипс, но мы не можем просто нарисовать эллипс и покончить с этим.

Во-первых, тот факт, что алгебраическое уравнение представляло собой эллипс, на самом деле не означает, что параметрическая кривая является полным эллипсом. Всегда возможно, что параметрическая кривая является лишь частью эллипса. Чтобы определить, какую часть эллипса покроет параметрическая кривая, давайте вернемся к параметрическим уравнениям и посмотрим, что они говорят нам о любых ограничениях на \(x\) и \(y\). Основываясь на нашем знании синуса и косинуса, мы имеем следующее,

\[\begin{align*} & — 1 \le \cos t \le 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} — 5 \le 5\cos t \le 5\hspace{0.25in} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма}\,\, — 5 \le x \le 5\\ & — 1 \le \sin t \le 1\hspace{0,25 дюйма} \Стрелка вправо \hspace{0,25 дюйма} — 2 \ le 2\sin t \le 2 \,\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\, — 2 \le y \le 2\end{align*}\]

Итак, начав с синуса/косинуса и «построив» уравнение для \(x\) и \(y\) с помощью основных алгебраических манипуляций, мы получим, что параметрические уравнения налагают вышеуказанные ограничения на \(x\) и \(у\). В данном случае это также полные ограничения на \(x\) и \(y\), которые мы получаем, рисуя полный эллипс.

Это вторая потенциальная проблема, упомянутая выше. Параметрическая кривая не всегда может проследить полный график алгебраической кривой. Мы всегда должны находить ограничения на \(x\) и \(y\), наложенные на нас параметрической кривой, чтобы определить, какая часть алгебраической кривой фактически очерчена параметрическими уравнениями.

Таким образом, в этом случае мы теперь знаем, что получаем полный эллипс из параметрических уравнений. Прежде чем мы приступим к остальной части примера, будьте осторожны и не всегда предполагайте, что мы получим полный график алгебраического уравнения. Определенно бывают случаи, когда мы не получим полный график, и нам нужно будет провести аналогичный анализ, чтобы определить, какую часть графика мы на самом деле получаем. Мы увидим пример этого позже.

Также обратите внимание, что любые ограничения на \(t\), заданные в условии задачи, также могут повлиять на то, какую часть графика алгебраического уравнения мы получим. Однако в этом случае, основываясь на таблице значений, которую мы вычислили в начале задачи, мы видим, что мы действительно получаем полный эллипс в диапазоне \(0 \le t \le 2\pi \). Однако так будет не всегда, поэтому обратите внимание на любые ограничения на \(t\), которые могут существовать!

Далее нам нужно определить направление движения параметрической кривой. Напомним, что все параметрические кривые имеют направление движения и уравнение эллипса просто ничего не говорит нам о направлении движения.

Чтобы получить направление движения, заманчиво просто использовать таблицу значений, которую мы вычислили выше, чтобы получить направление движения. В этом случае мы бы предположили (и да, это все — предположение), что кривая следует в направлении против часовой стрелки. Мы были бы правы. В этом случае мы были бы правы! Проблема в том, что таблицы значений могут вводить в заблуждение при определении направления движения, как мы увидим в следующем примере.

Поэтому лучше не использовать таблицу значений для определения направления движения. Чтобы правильно определить направление движения, мы будем использовать тот же метод определения направления, который мы обсуждали после примера 3. Другими словами, мы возьмем производную параметрических уравнений и используем наши знания исчисления I и триггера для определения направление движения.

Производные параметрических уравнений равны,

\[\frac{{dx}}{{dt}} = — 5\sin t\hspace{0.5in}\frac{{dy}}{{dt}} = 2\cos t\]

Теперь в точке \(t = 0\) мы находимся в точке \(\left( {5,0} \right)\) и посмотрим, что произойдет, если мы начнем увеличивать \(t\). Увеличим \(t\) от \(t = 0\) до \(t = \frac{\pi }{2}\). Мы знаем, что в этом диапазоне \(t\) синус всегда положителен, и поэтому из производной уравнения \(x\) мы можем видеть, что \(x\) должно уменьшаться в этом диапазоне \(t \) х.

Это, однако, не помогает нам определить направление параметрической кривой. Начиная с \(\left( {5,0} \right)\), независимо от того, движемся ли мы по часовой стрелке или против часовой стрелки, \(x\) должен будет уменьшаться, поэтому мы ничего не узнали из \ (х\) производная.

С другой стороны, нам поможет производная от параметрического уравнения \(y\). Опять же, когда мы увеличиваем \(t\) от \(t = 0\) до \(t = \frac{\pi }{2}\), мы знаем, что косинус будет положительным, и поэтому \(y\) должно быть увеличивается в этом диапазоне. Однако это может произойти только в том случае, если мы движемся против часовой стрелки. Если бы мы двигались по часовой стрелке из точки \(\left( {5,0} \right)\), то увидели бы, что \(y\) должно было бы уменьшаться!

Следовательно, в первом квадранте мы должны двигаться против часовой стрелки. Перейдем ко второму квадранту.

Итак, мы сейчас в точке \(\left( {0,2} \right)\) и будем увеличивать \(t\) от \(t = \frac{\pi }{2}\) к \(t = \pi \). Мы знаем, что в этом диапазоне \(t\) косинус будет отрицательным, а синус положительным. Следовательно, из производных параметрических уравнений мы видим, что \(х\) по-прежнему убывает, а \(у\) теперь также будет убывать.

В этом квадранте производная \(y\) ничего нам не говорит, так как \(y\) просто должна уменьшаться, чтобы двигаться от \(\left( {0,2} \right)\). Однако для того, чтобы \(x\) уменьшалось, как мы знаем, это происходит в этом квадранте, направление должно по-прежнему двигаться против часовой стрелки.

Теперь мы находимся в точке \(\left( { — 5,0} \right)\) и увеличим \(t\) с \(t = \pi \) до \(t = \frac{{3 \пи}}{2}\). Мы знаем, что в этом диапазоне \(t\) косинус отрицателен (и, следовательно, \(y\) будет уменьшаться), а синус также отрицателен (и, следовательно, \(x\) будет возрастать). Поэтому продолжим движение против часовой стрелки.

Для четвертого ^-го квадранта мы начнем с \(\left( {0, — 2} \right)\) и увеличим \(t\) от \(t = \frac{{3\pi }} {2}\) в \(t = 2\pi \). В этом диапазоне \(t\) мы знаем, что косинус положителен (и, следовательно, \(у\) будет возрастать), а синус отрицательен (и, следовательно, \(х\) будет возрастать). Итак, как и в предыдущих трех квадрантах, мы продолжаем двигаться против часовой стрелки.

В этот момент мы покрыли диапазон \(t\), указанный в условии задачи, и в течение всего диапазона движение было против часовой стрелки.

Теперь мы можем полностью набросать параметрическую кривую, вот набросок.

Хорошо, это был очень длинный пример. Большинство из этих типов проблем не так длинны. Нам просто нужно было многое обсудить на этом, поэтому мы смогли вынести пару важных идей. Остальные примеры в этом разделе не должны занимать много времени.

Теперь давайте рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий важную идею параметрических уравнений.

Пример 5 Нарисуйте параметрическую кривую для следующего набора параметрических уравнений. Четко указать направление движения. \[x = 5\cos \left( {3t} \right)\hspace{0.5in}y = 2\sin \left( {3t} \right)\hspace{0.5in}0 \le t \le 2\ Пи \]

Показать решение

Обратите внимание, что единственная разница между этими параметрическими уравнениями и уравнениями в примере 4 заключается в том, что мы заменили \(t\) на 3\(t\). Здесь мы можем удалить параметр так же, как и в предыдущем примере.

\[\cos \left( {3t} \right) = \frac{x}{5}\hspace{0,5 дюйма}\sin \left( {3t} \right) = \frac{y}{2}\]

Тогда мы получаем, 92}}}{4}\]

Итак, у нас получается тот же эллипс, что и в предыдущем примере. Также обратите внимание, что мы можем провести тот же анализ параметрических уравнений, чтобы определить, что у нас точно такие же ограничения на \(x\) и \(y\). А именно,

\[ — 5 \le x \le 5\hspace{0,5 дюйма}\hspace{0,25 дюйма} — 2 \le y \le 2\]

Кажется, что замена \(t\) на 3\(t\) в уравнениях триггера никак не изменит параметрическую кривую. Однако это неправильно. Кривая изменяется небольшим, но важным образом, который мы вскоре обсудим.

Прежде чем обсуждать то небольшое изменение, которое 3\(t\) вносит в кривую, давайте обсудим направление движения этой кривой. Несмотря на то, что мы сказали в последнем примере, что выбор значений \(t\) и подключение к уравнениям для поиска точек для построения — плохая идея, давайте сделаем это любым способом.

Учитывая диапазон \(t\) из условия задачи, следующий набор выглядит как хороший выбор \(t\) для использования.

\(т\)	\(х\)	\(у\)
0	5	0
\(\ гидроразрыва {\pi} {2}\)	0	-2
\(\пи \)	-5	0
\(\frac{{3\pi}}{2}\)	0	2
\(2\пи \)	5	0

Итак, единственное изменение в этой таблице значений/баллов по сравнению с последним примером состоит в том, что все ненулевые значения \(y\) изменили знак. При беглом взгляде на значения в этой таблице может показаться, что кривая в этом случае движется по часовой стрелке. Но так ли это? Напомним, мы говорили, что эти таблицы значений могут вводить в заблуждение при определении направления, и поэтому мы их не используем.

Посмотрим, верно ли наше первое впечатление. Мы можем проверить наше первое впечатление, выполнив производную работу, чтобы получить правильное направление. Давайте работать только с параметрическим уравнением \(y\), поскольку \(x\) будет иметь ту же проблему, что и в предыдущем примере. Производная параметрического уравнения \(y\):

\[\frac{{dy}}{{dt}} = 6\cos \left( {3t} \right)\]

Теперь, если мы начнем с \(t = 0\), как в предыдущем примере, и начнем увеличивать \(t\). При \(t = 0\) производная явно положительна, и поэтому увеличение \(t\) (по крайней мере, первоначально) заставит \(y\) также возрастать. Это может произойти только в том случае, если кривая изначально движется против часовой стрелки.

Теперь мы могли бы продолжить рассмотрение того, что происходит при дальнейшем увеличении \(t\), но при работе с параметрической кривой, которая представляет собой полный эллипс (как эта), и аргумент тригонометрической функции равен форма nt для любой константы \(n\) направление не изменится, поэтому, как только мы узнаем начальное направление, мы знаем, что он всегда будет двигаться в этом направлении. Обратите внимание, что это верно только для параметрических уравнений в том виде, в котором мы имеем здесь. В последующих примерах мы увидим, что для различных типов параметрических уравнений это уже может быть неверно.

Хорошо, из этого анализа мы видим, что кривая должна быть вычерчена в направлении против часовой стрелки. Это прямо противоречит нашему предположению из приведенных выше таблиц значений, и поэтому мы можем видеть, что в этом случае таблица, вероятно, привела бы нас в неправильном направлении. Итак, еще раз, таблицы, как правило, не очень надежны для получения практически любой реальной информации о параметрической кривой, кроме нескольких точек, которые должны быть на кривой. Кроме того, таблицы редко бывают полезны и, как правило, не рассматриваются в дальнейших примерах.

Итак, почему наша таблица дала неверное представление о направлении? Хорошо помните, что мы упоминали ранее, что 3\(t\) приведет к небольшому, но важному изменению кривой по сравнению с просто \(t\)? Давайте посмотрим, что это за изменение, поскольку оно также ответит на вопрос, что «пошло не так» с нашей таблицей значений.

Начнем с \(t = 0\). В \(t = 0\) мы находимся в точке \(\left( {5,0} \right)\) и давайте спросим себя, какие значения \(t\) возвращают нас в эту точку. В примере 3 мы видели, как определить значение (значения) \(t\), которые помещают нас в определенные точки, и здесь будет работать тот же процесс с небольшой модификацией.

Вместо того, чтобы рассматривать оба уравнения \(x\) и \(y\), как мы это делали в этом примере, давайте просто посмотрим на уравнение \(x\). Причина этого в том, что мы отметим, что на эллипсе есть две точки, которые будут иметь \(y\) координату нуля, \(\left( {5,0} \right)\) и \(\ влево( { — 5,0} \вправо)\). Если мы установим координату \(y\) равной нулю, мы найдем все \(t\), которые находятся в обеих этих точках, когда нам нужны только значения \(t\), которые находятся в \( \влево( {5,0} \вправо)\).

9{- 1}}\left( 1 \right) = 0 + 2\pi n\hspace{0.25in}\,\,\, \to \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\ ,t = \frac{2}{3}\pi n\,\,\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \end{align*} \]

Не забывайте, что при решении уравнения триггера нам нужно добавить «\( + 2\pi n\)», где \(n\) представляет собой количество полных оборотов в направлении против часовой стрелки (положительное \ (n\)) и направление по часовой стрелке (отрицательное \(n\)), которое мы вращаем от первого решения, чтобы получить все возможные решения уравнения.

Теперь подставим несколько значений \(n\), начиная с \(n = 0\). В этом случае нам не нужны отрицательные \(n\), так как все они приведут к отрицательным \(t\), а те, которые выходят за пределы диапазона \(t\), были указаны в условии задачи. Тогда первые несколько значений \(t\) равны

. \[\begin{align*}n & = 0\hspace{0,25 дюйма} : \hspace{0,25 дюйма} t = 0\\ n & = 1\hspace{0,25 дюйма}:\hspace{0,25 дюйма}t = \ frac{{2\pi}}{3}\\ n & = 2\hspace{0.25in}:\hspace{0.25in}t = \frac{{4\pi}}{3}\\ n & = 3 \hspace{0.25in}:\hspace{0.25in}t = \frac{{6\pi }}{3} = 2\pi \end{align*}\]

На этом можно остановиться, так как все дальнейшие значения \(t\) будут выходить за пределы диапазона \(t\), заданного в этой задаче.

Итак, что это нам говорит? Еще в примере 4, когда аргумент был просто \(t\), эллипс был прочерчен ровно один раз в диапазоне \(0 \le t \le 2\pi \). Однако, когда мы меняем аргумент на 3\(t\) (и вспоминая, что кривая всегда будет трассироваться против часовой стрелки для этой задачи), мы проходим через «начальную» точку \(\left( {5,0} \right)\) в два раза больше, чем в предыдущем примере.

На самом деле, эта кривая повторяется три раза. Первая трасса завершается в диапазоне \(0 \le t \le \frac{{2\pi }}{3}\). Вторая трасса завершается в диапазоне \(\frac{{2\pi }}{3} \le t \le \frac{{4\pi }}{3}\), а третья и последняя трасса завершается в диапазоне диапазон \(\frac{{4\pi }}{3} \le t \le 2\pi \). Другими словами, изменение аргумента с \(t\) на 3\(t\) увеличивает скорость трассировки, и теперь кривая будет трассироваться три раза в диапазоне \(0 \le t \le 2\pi \ )!

Вот почему таблица производит неверное впечатление. Скорость трассировки увеличилась, что привело к неправильному восприятию точек в таблице. Таблица, кажется, предполагает, что между каждой парой значений \(t\) четверть эллипса вычерчивается в направлении по часовой стрелке, тогда как в действительности она вычерчивает три четверти эллипса в направлении против часовой стрелки.

Вот окончательный набросок кривой и обратите внимание, что он не так уж сильно отличается от предыдущего наброска. Единственным отличием являются значения \(t\) и различные точки, которые мы включили. Мы включили еще несколько значений \(t\) в различных точках, просто чтобы проиллюстрировать, где находится кривая для различных значений \(t\), но в целом они действительно не нужны.

Итак, в последних двух примерах мы видели два набора параметрических уравнений, которые каким-то образом давали один и тот же график. Тем не менее, поскольку они прослеживали график разное количество раз, нам действительно нужно думать о них как о разных параметрических кривых, по крайней мере, каким-то образом. Это может показаться разницей, о которой нам не нужно беспокоиться, но, как мы увидим в следующих разделах, это может быть очень важным отличием. В некоторых последующих разделах нам понадобится кривая, которая трассируется ровно один раз.

Прежде чем мы перейдем к другим проблемам, давайте кратко рассмотрим, что происходит при замене \(t\) на nt в такого рода параметрических уравнениях. Когда мы имеем дело с параметрическими уравнениями, включающими только синусы и косинусы, и оба они имеют один и тот же аргумент, если мы изменим аргумент с \(t\) на nt , мы просто изменим скорость, с которой вычерчивается кривая. Если \(n > 1\), мы увеличим скорость, а если \(n < 1\), то уменьшим скорость. 92}}}{4}\]

В этом случае алгебраическое уравнение представляет собой параболу, открывающуюся влево.

Нам нужно быть очень, очень осторожными, рисуя эту параметрическую кривую. Мы НЕ получим всю параболу. Эскиз алгебраической формы параболы будет существовать для всех возможных значений \(у\). Однако параметрические уравнения определили \(x\) и \(y\) в терминах синуса и косинуса, и мы знаем, что их диапазоны ограничены, и поэтому мы не получим все возможные значения \(x\). ) и \(y\) здесь. Итак, сначала давайте получим ограничения на \(x\) и \(y\), как мы это делали в предыдущих примерах. Это дает 92}t \le 1 & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} & 0 \le x \le 1\\ — 1 \le \cos t \le 1 & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма} & — 2 \le 2\cos t \le 2 & \hspace{0,25 дюйма} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма} & — 2 \le y \le 2\end{массив}\]

Итак, отсюда видно, что мы получим только ту часть параболы, которая определяется алгебраическим уравнением. Ниже приведен краткий набросок части параболы, которую покроет параметрическая кривая.

Чтобы закончить набросок параметрической кривой, нам также нужно указать направление движения кривой. Прежде чем мы доберемся до этого, давайте прыгнем вперед и определим диапазон \(t\) для одной трассы. Для этого нам нужно знать \(t\), которые помещают нас в каждую конечную точку, и мы можем следовать той же процедуре, что и в предыдущем примере. Единственная разница в том, что на этот раз мы будем использовать параметрическое уравнение \(y\) вместо \(x\), потому что координаты \(y\) двух конечных точек кривой различны, тогда как координаты \(x\) подобные. 9{ — 1}}\left( 1 \right) = 0 + 2\pi n = 2\pi n,\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \ конец {выравнивание *} \]

Так как, подставляя некоторые значения \(n\), мы получаем, что кривая будет в верхней точке при,

\[t = \ldots, — 4\pi, — 2\pi, 0,2\pi, 4\pi, \ldots \]

Аналогично, для нижней точки имеем

\[\ begin{align*} — 2 & = 2\cos t\\ t & = {\cos ^{- 1}}\left({- 1} \right) = \pi + 2\pi n,\ hspace{0. 25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \end{align*}\]

Итак, мы видим, что окажемся в нижней точке по адресу,

\[t = \ldots , — 3\pi , — \pi ,\pi ,3\pi , \ldots \]

Итак, если мы начинаем, скажем, с \(t = 0\), мы находимся в верхней точке и увеличивая \(t\), мы должны двигаться по кривой вниз, пока не достигнем \(t = \pi \ ) в этой точке мы сейчас находимся в нижней точке. Это означает, что мы проследим кривую ровно один раз в диапазоне \(0 \le t \le \pi \).

Однако это не единственный диапазон, который будет трассировать кривую. Обратите внимание, что если мы еще больше увеличим \(t\) от \(t = \pi \), нам теперь придется вернуться вверх по кривой, пока мы не достигнем \(t = 2\pi \), и теперь мы снова наверху. точка. Увеличение \(t\) снова, пока мы не достигнем \(t = 3\pi \), вернет нас вниз по кривой, пока мы снова не достигнем нижней точки, и т.д. . Из этого анализа мы можем получить еще два диапазона \(t\) для одной трассы,

\[\pi \le t \le 2\pi \hspace{0.5in}2\pi \le t \le 3\pi \]

Как вы, вероятно, видите, существует бесконечное число диапазонов \(t\), которые мы могли бы использовать для одной трассы кривой. Любой из них будет приемлемым ответом на эту проблему.

Отметим, что в процессе определения диапазона \(t\) для одной трассы нам также удалось определить направление движения этой кривой. В диапазоне \(0 \le t \le \pi \) нам нужно было двигаться вниз по кривой, чтобы добраться от верхней точки \(t = 0\) до нижней точки \(t = \pi \) . Однако в точке \(t = 2\pi \) мы вернулись в верхнюю точку кривой, и чтобы добраться туда, мы должны двигаться по пути. Мы не можем просто вернуться к верхней точке или выбрать другой путь, чтобы добраться туда. Все путешествия должны совершаться по намеченному пути. Это означает, что мы должны были вернуться вверх по пути. Дальнейшее увеличение \(t\) возвращает нас вниз по пути, а затем снова вверх по пути и т. д. .

Другими словами, этот путь начерчен в обоих направлениях, потому что мы не накладываем никаких ограничений на \(t\) и поэтому должны предположить, что используем все возможные значения \(t\). Если бы мы наложили ограничения на то, какие \(t\) использовать, мы могли бы действительно двигаться только в одном направлении. Однако это будет результатом только диапазона \(t\), который мы используем, а не самих параметрических уравнений.

Обратите внимание, что нам не нужно было выполнять описанную выше работу, чтобы определить, что кривая идет в обоих направлениях. В данном случае. Параметрические уравнения \(x\) и \(y\) включают синус или косинус, и мы знаем, что обе эти функции колеблются. Это, в свою очередь, означает, что и \(x\), и \(y\) также будут колебаться. Единственный способ, которым это может произойти на этой конкретной кривой, будет состоять в том, чтобы кривая прослеживалась в обоих направлениях.

Будьте осторожны с приведенными выше рассуждениями о том, что колебательный характер синуса/косинуса заставляет кривую следовать в обоих направлениях. Его можно использовать только в этом примере, потому что «начальная» и «конечная» точки кривых находятся в разных местах. Единственный способ попасть из одной из «конечных» точек кривой в другую — вернуться по кривой в обратном направлении.

Сравните это с эллипсом в примере 4. В этом случае мы также использовали синус/косинус в параметрических уравнениях. Однако кривая прослеживается только в одном направлении, а не в обоих направлениях. В примере 4 мы рисовали полный эллипс, и поэтому независимо от того, с чего мы начинаем рисовать график, мы в конечном итоге вернемся к «начальной» точке, даже не отслеживая какую-либо часть графика. В примере 4, когда мы очерчиваем полный эллипс, и \(x\), и \(y\) на самом деле колеблются между своими двумя «конечными точками», но сама кривая не следует в обоих направлениях, чтобы это произошло.

По сути, мы можем использовать только колебательный характер синуса/косинуса, чтобы определить, что кривая следует в обоих направлениях, если кривая начинается и заканчивается в разных точках. Если начальная/конечная точка одинакова, нам обычно нужно пройти через аргумент полной производной, чтобы определить фактическое направление движения.

Итак, чтобы решить эту проблему, ниже приведен эскиз параметрической кривой. Обратите внимание, что мы помещаем стрелки направления в обоих направлениях, чтобы четко указать, что он будет прослеживаться в обоих направлениях. Мы также добавили несколько значений \(t\), чтобы проиллюстрировать направление движения.

До сих пор мы видели примеры, которые позволили бы проследить полный график, который мы получили, исключив параметр, если бы мы взяли достаточно большой диапазон \(t\). Однако в предыдущем примере мы увидели, что так будет не всегда. Более чем возможно иметь набор параметрических уравнений, которые будут непрерывно отслеживать только часть кривой. Обычно мы можем определить, произойдет ли это, ища пределы \(x\) и \(y\), которые наложены на нас параметрическим уравнением. 92}\влево({2т}\вправо)\]

Полностью опишите путь этой частицы. Сделайте это, набросав путь, определив ограничения на \(x\) и \(y\) и задав диапазон \(t\), для которых путь будет прослеживаться ровно один раз (при условии, что он проходит более один раз конечно).

Показать решение

Исключение параметра на этот раз будет немного другим. На этот раз у нас есть только косинусы, и мы будем использовать это в наших интересах. Мы можем решить уравнение \(x\) для косинуса и подставить его в уравнение для \(y\). Это дает 92}\left( {2t} \right) \le 2 & \hspace{0.25in} & 1 \le y \le 2\end{массив}\]

Итак, снова мы прослеживаем только часть кривой. Вот краткий набросок части параболы, которую покроет параметрическая кривая.

Теперь, как мы обсуждали в предыдущем примере, поскольку параметрические уравнения \(x\) и \(y\) включают косинус, мы знаем, что и \(x\), и \(y\) должны колебаться, и поскольку » начальная» и «конечная» точки кривой не совпадают, единственный способ, которым \(x\) и \(y\) могут колебаться, это чтобы кривая следовала в обоих направлениях.

Чтобы закончить задачу, все, что нам нужно сделать, это определить диапазон \(t\) для одной трассы. Поскольку «конечные» точки на кривой имеют одинаковое значение \(y\) и разные значения \(x\), мы можем использовать параметрическое уравнение \(x\) для определения этих значений. Вот эта работа.

\[\begin{array}{ll} \begin{aligned}x = 3: \\ \\ \\ \end{aligned} &\begin{align*}3 & = 3\cos \left( {2t} \ справа)\\ 1 & = \cos \left( {2t} \right)\\ 2t & = 0 + 2\pi n\hspace{0.25in}\, \to \hspace{0.25in}t = \pi n \hspace{0,25 дюйма}\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \end{align*}\end{array}\] \[\begin{array}{ll}\begin{aligned}x = -3: \\ \\ \\ \\ \end{aligned} &\begin{align*} — 3 & = 3\cos \left( {2t} \right)\\ — 1 & = \cos \left( {2t} \right)\\ 2t & = \pi + 2\pi n\hspace{0.25in}\, \to \hspace{0.25in }t = \frac{1}{2}\pi + \pi n\hspace{0,25 дюйма}\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \end{ выровнять*}\конец{массив}\]

Итак, мы будем в правой конечной точке \(t = \ldots , — 2\pi , — \pi ,0,\pi ,2\pi , \ldots \) ​​и будем слева конечная точка в \(t = \ldots , — \frac{3}{2}\pi , — \frac{1}{2}\pi ,\frac{1}{2}\pi ,\frac{3} {2}\pi , \ldots \) ​​. Итак, в этом случае существует бесконечное количество диапазонов \(t\) для одной трассы. Вот несколько из них.

\[ — \frac{1}{2}\pi \le t \le 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}0 \le t \le \frac{1}{2}\pi \hspace{ 0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}\frac{1}{2}\pi \le t \le \pi \]

Вот окончательный набросок пути частицы с несколькими значениями \(t\) на нем.

В этот момент мы должны сделать небольшое предупреждение. Из-за заложенных в них идей мы сосредоточились на параметрических кривых, которые воспроизводили части кривой более одного раза. Однако не слишком зацикливайтесь на идее, что так будет всегда. Многие, если не большинство параметрических кривых, прослеживаются только один раз. Первый, который мы рассмотрели, является хорошим примером этого. Эта параметрическая кривая никогда не будет повторять какую-либо часть самой себя.

В этом разделе нужно обсудить еще одну тему, прежде чем двигаться дальше. До сих пор мы начинали с параметрических уравнений и исключали параметр для определения параметрической кривой.

Однако бывают моменты, когда мы хотим пойти другим путем. Учитывая функцию или уравнение, мы можем захотеть записать для них набор параметрических уравнений. В этих случаях мы говорим, что параметризуем функцию.

Если мы возьмем примеры 4 и 5 в качестве примеров, мы сможем сделать это для эллипсов (и, следовательно, окружностей). Учитывая эллипс 92}}} = 1\]

набор параметрических уравнений для него будет,

\[x = a\cos t\hspace{1.0in}y = b\sin t\]

Этот набор параметрических уравнений будет трассировать эллипс, начинающийся в точке \(\left( {a,0} \right)\) и будет трассироваться в направлении против часовой стрелки и будет трассироваться ровно один раз в диапазоне \ (0 \le t \le 2\pi \). Это довольно важный набор параметрических уравнений, поскольку он постоянно используется в некоторых предметах, имеющих дело с эллипсами и/или окружностями.

Каждая кривая может быть параметризована более чем одним способом. Любой из следующих параметров также будет параметризовать тот же эллипс.

\[\ begin{align*}x & = a\cos \left({\omega \,t} \right)\hspace{0.5in} & y & = b\sin\left({\omega \,t} \right)\\ x & = a\sin \left( {\omega \,t} \right)\hspace{0.5in} & y & = b\cos \left({\omega \,t} \right) \\ x & = a\cos \left({\omega \,t} \right)\hspace{0.5in} & y & = — b\sin \left({\omega \,t} \right)\end {выровнять*}\]

Присутствие символа \(\omega \) изменит скорость вращения эллипса, как мы видели в примере 5. Также обратите внимание, что последние два будут отображать эллипсы с направлением движения по часовой стрелке (вы можете проверить это). Также обратите внимание, что они не все начинаются в одном и том же месте (если мы думаем о \(t = 0\) как о начальной точке).

Конечно, есть много других параметризаций эллипса, но вы поняли идею. Важно помнить, что каждая параметризация будет трассировать кривую один раз с потенциально другим диапазоном \(t\). Каждая параметризация может вращаться с разными направлениями движения и может начинаться в разных точках.

Вы можете обнаружить, что вам нужна параметризация эллипса, который начинается в определенном месте и имеет определенное направление движения, и теперь вы знаете, что при некоторой работе вы можете записать набор параметрических уравнений, которые дадут вам поведение что вы после.

Теперь давайте запишем пару других важных параметризаций, и все комментарии о направлении движения, начальной точке и диапазоне \(t\) для одной трассы (если применимо) остаются верными.

Во-первых, поскольку окружность — это не что иное, как частный случай эллипса, мы можем использовать параметризацию эллипса, чтобы получить параметрические уравнения для окружности с центром в начале радиуса \(r\). Один из возможных способов параметризации круга:

. \[x = r\cos t\hspace{1.0in}y = r\sin t\]

Наконец, хотя может показаться, что для этого нет причин, мы также можем параметризовать функции в виде \(y = f\left( x \right)\) или \(x = h\left( y \right )\). В этих случаях мы параметризуем их следующим образом

\[\begin{align*}x & = t\hspace{1.0in} & x & = h\left( t \right)\\ y & = f\left( t \right)\hspace{1.0in} & у & = т \ конец {выравнивание *} \]

На данный момент может показаться, что параметризация такой функции не так уж и полезна, но есть много случаев, когда на самом деле будет проще или даже может потребоваться работать с параметризацией вместо функции. сам. К сожалению, почти все эти примеры встречаются в курсе Calculus III.

Параметрические уравнения: Графики | Алгебра и тригонометрия

Цели обучения

В этом разделе вы:

• Изобразите плоские кривые, описываемые параметрическими уравнениями, с помощью точек.
• Граф параметрических уравнений.

Это конец девятого иннинга, с двумя аутами и двумя игроками на базе. Хозяева проигрывают с разницей в два раунда. Тесто раскачивается и ударяет по бейсбольному мячу со скоростью 140 футов в секунду и под углом приблизительно [латекс]\,45°\,[/латекс] к горизонтали. Какое расстояние пролетит мяч? Сможет ли он очистить забор для победного хоумрана? Результат может частично зависеть от других факторов (например, ветра), но математики могут смоделировать траекторию снаряда и приблизительно предсказать, как далеко он пролетит, используя параметрические уравнения. В этом разделе мы обсудим параметрические уравнения и некоторые распространенные приложения, такие как задачи о движении снарядов.

Рисунок 1. Параметрические уравнения могут моделировать траекторию снаряда. (кредит: Пол Крехер, Flickr)

Построение графиков параметрических уравнений с помощью точек

Стандартным методом вместо графического калькулятора или компьютерной графической программы является построение точек для представления графика уравнения. Пока мы тщательно подсчитываем значения, построение точечных графиков очень надежно.

Как сделать

Имея пару параметрических уравнений, нарисуйте график, нанеся точки.

1. Создайте таблицу с тремя столбцами: [латекс]\,t,x\left(t\right),\text{and}\,\,y\left(t\right). {2}+1,\,\,y \влево(т\вправо)=2+т.[/латекс]

   Показать решение

   Анализ

   Поскольку значения [latex]\,t\,[/latex] увеличиваются в положительном направлении от 0 до 5, точки на графике очерчивают верхнюю половину параболы. Когда значения [latex]\,t\,[/latex] становятся отрицательными, они очерчивают нижнюю половину параболы. Ограничений по домену нет. Стрелки указывают направление в соответствии с возрастающими значениями [latex]\,t.\,[/latex] График не представляет функцию, так как он не пройдет тест вертикальной линии. График состоит из двух частей: положительные значения для [latex]t,[/latex] и отрицательные значения для [latex]t[/latex]

   Попробуйте

   Нарисуйте график параметрических уравнений[латекс]\,x=\sqrt{t},\,\,y=2t+3,\,\,\,0\le t\le 3. [/latex]

   Показать решение

   Набросок графика тригонометрических параметрических уравнений

   Построить таблицу значений для данных параметрических уравнений и начертить график:

   [латекс]\begin{array}{l}\\ \begin{array}{l}x =2\mathrm{cos}\,t\hfill \\ y=4\mathrm{sin}\,t\hfill \end{массив}\end{массив}[/latex]

   Показать решение

   Анализ

   Мы видели, что параметрические уравнения могут быть отображены в виде графика с помощью точек. Однако графический калькулятор сэкономит некоторое время и выявит нюансы на графике, которые могут быть слишком утомительными, чтобы обнаруживать их, используя только ручные вычисления.

   Не забудьте изменить режим калькулятора на параметрический (PAR). Для подтверждения в окне [latex]\,Y=\,[/latex] должно отображаться

   [latex]\begin{array}{c}{X}_{1T}=\\ {Y}_{1T} =\end{массив}[/latex]

   вместо [latex]\,{Y}_{1}=.[/latex]

   Попробуйте

   Нарисуйте параметрические уравнения:[латекс]\,х=5\mathrm{cos}\,t,\,\,y=3\mathrm{sin}\,t.[/латекс]

   Показать решение

   Совместное графическое отображение параметрических уравнений и прямоугольной формы

   Графическое отображение параметрических уравнений [латекс]\,x=5\mathrm{cos}\,t\,[/latex]и[латекс]\,y=2\mathrm{sin }\,t.\,[/latex]Сначала постройте график, используя точки данных, сгенерированные из параметрической формы. Затем начертите прямоугольную форму уравнения. Сравните два графика.

   Показать решение

   Анализ

   На (рисунке) данные параметрических уравнений и прямоугольного уравнения нанесены вместе. Параметрические уравнения показаны синим цветом; график для прямоугольного уравнения нарисован поверх параметрического пунктирным красным цветом. Ясно, что обе формы дают один и тот же граф.

   Рис. 5.

   Построение графиков параметрических уравнений и прямоугольных уравнений в системе координат sqrt{t},\,\,t\ge 0,\,[/latex] и прямоугольный эквивалент [latex]y=\sqrt{x-1}\,[/latex] в той же системе координат.

   Показать решение

   Анализ

   С доменом [latex]\,t\,[/latex]restricted, мы наносим на график только положительные значения[latex]\,t.\,[/latex]. график прямоугольного уравнения заштрихован красным. И снова мы видим, что эти две формы пересекаются.

   Попробуйте

   Нарисуйте график параметрических уравнений[латекс]\,x=2\mathrm{cos}\,\theta \,\,\,\text{and}\,\,y=4\mathrm {sin}\,\theta ,\,[/latex] вместе с прямоугольным уравнением на той же сетке.

   Показать решение

   Применение параметрических уравнений

   Многие преимущества параметрических уравнений становятся очевидными при их применении для решения реальных задач. Хотя прямоугольные уравнения в x и y дают общую картину пути объекта, они не раскрывают положение объекта в определенное время. Однако параметрические уравнения иллюстрируют, как значения x и y изменяются в зависимости от t , как местоположение движущегося объекта в определенное время.

   Обычно параметрические уравнения применяются при решении задач, связанных с движением снаряда. В этом типе движения объект продвигается вперед в направлении вверх, образуя угол [латекс]\тета [/латекс] с горизонтом, с начальной скоростью [латекс]{v}_{0},\, [/latex]и на высоте [latex]h[/latex] над горизонталью.

   Путь объекта, движущегося с наклоном [латекс]\тета[/латекс] к горизонту, с начальной скоростью [латекс]{v}_{0},\,[/латекс] и на высоте [ латекс]h[/латекс] над горизонталью равен 9{2}. \,[/latex]Уравнение для [латекс]\,x\,[/латекс] дает расстояние по горизонтали, а уравнение для [латекс]\,у\,[/латекс] дает расстояние по вертикали.

   Как сделать

   Дана задача о движении снаряда. Для ее решения используйте параметрические уравнения.

   1. Горизонтальное расстояние определяется как [латекс]\,x=\left({v}_{0}\mathrm{cos}\,\theta \right)t.\,[/latex]Замените начальное скорость объекта for[latex]\,{v}_{0}.[/latex]
   2. Выражение[латекс]\,\mathrm{cos}\,\theta \,[/латекс] указывает угол, под которым перемещается объект. Подставьте этот угол в градусах вместо [латекс]\,\mathrm{cos}\,\theta .[/латекс] 9{2}.\,[/latex]Снова подставьте начальную скорость вместо [латекс]\,{v}_{0},\,[/латекс] и высоту, на которую объект был брошен вместо [латекс]\ ,ч.[/латекс]
   3. Продолжайте вычислять каждый член для решения для [латекс]\,t.[/латекс]

   Нахождение параметрических уравнений для описания движения бейсбольного мяча

   Решите задачу, представленную в начале этого раздела. Удастся ли отбивающему сделать победный хоумран? Предположим, что по мячу ударили с начальной скоростью 140 футов в секунду под углом [латекс]\,45°\,[/латекс] к горизонту, и он коснулся мяча на высоте 3 фута над землей.

   1. Найдите параметрические уравнения для моделирования траектории бейсбольного мяча.
   2. Где находится мяч через 2 секунды?
   3. Как долго мяч находится в воздухе?
   4. Это хоумран?

   Показать раствор

   Доступ к следующему онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики с графиками параметрических уравнений.

   • Графические параметрические уравнения на TI-84

   Ключевые понятия

   • Когда есть третья переменная, третий параметр, от которого зависят [латекс]\,х\,[/латекс]и[латекс]\,у\,[/латекс], параметрические уравнения могут быть использовал.
   • Чтобы построить параметрические уравнения с помощью точек, создайте таблицу с тремя столбцами, помеченными [латекс]\,t,x\left(t\right),\,[/latex] и [латекс]\,y\left(t\ right). \,[/latex]Выберите значения для[latex]\,t\,[/latex] в порядке возрастания. Постройте два последних столбца для [латекс]\,х\,[/латекс]и[латекс]\,у.\,[/латекс] См. (Рисунок) и (Рисунок).
   • При построении параметрической кривой с помощью точек обратите внимание на соответствующие значения t и покажите на графике стрелки, указывающие ориентацию кривой. См. (Рисунок) и (Рисунок). 9{2}+\left({v}_{0}\mathrm{sin}\,\theta \right)t+h.\,[/latex]Начальная скорость обозначается как[latex]\,{v}_ {0}.\,\theta [/latex] представляет собой начальный угол объекта при броске, а [latex]\,h\,[/latex] представляет высоту, на которую движется объект.

   Упражнения по разделам

   Вербальные

   Какие два метода используются для построения графиков параметрических уравнений?

   Показать решение

   В чем отличие параметрических уравнений точечного построения от декартовых уравнений? 9{2}-1\hfill \end{массив}[/latex]

   The first row is labeled t, the second is labeled x, and the third is labeled y. The first columns contains the numbers -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. The other two columns are left blank for completion.»> 9{2}\hfill \end{массив}[/latex]

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]х[/латекс]	[латекс]у[/латекс]
   [латекс]-3[/латекс]
   [латекс]-2[/латекс]
   [латекс]-1[/латекс]
   [латекс]0[/латекс]
   [латекс]1[/латекс]

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]-3[/латекс]	[латекс]-2[/латекс]	[латекс]-1[/латекс]	[латекс]0[/латекс]	[латекс]1[/латекс]	[латекс]2[/латекс]
   [латекс]x[/латекс]
   [латекс]у[/латекс]

   Показать решение

   [латекс] \{\ begin {массив} {l} x (t) = 2 + t \ hfill \\ y (t) = 3-2t \ hfill \ end {массив} [/ латекс]

   The first row is labeled t, the second is labeled x, and the third is labeled y. The first row contains the numbers -2, -1, 0, 1, 2, 3. The other two columns are left blank for completion.»>

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]-2[/латекс]	[латекс]-1[/латекс]	[латекс]0[/латекс]	[латекс]1[/латекс]	[латекс]2[/латекс]	[латекс]3[/латекс]
   [латекс]x[/латекс]
   [латекс]у[/латекс]

   [латекс] \{\ begin {массив} {l} x (t) = -2-2t \ hfill \\ y (t) = 3 + t \ hfill \ end {массив} [/ латекс]

   «> 9{3}\hfill \\ y(t)=t+2\hfill \end{массив}[/latex]

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]-3[/латекс]	[латекс]-2[/латекс]	[латекс]-1[/латекс]	[латекс]0[/латекс]	[латекс]1[/латекс]

   {2}\hfill \\ y(t)=t+3\hfill \end{массив}[/latex]

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]-2[/латекс]	[латекс]-1[/латекс]	[латекс]0[/латекс]	[латекс]1[/латекс]	[латекс]2[/латекс]
   [латекс]x[/латекс]
   [латекс]у[/латекс]

   The first row is labeled t, the second is labeled x, and the third is labeled y. The first row contains the numbers — -2, -1, 0, 1, 2. The other two columns are left blank for completion.»>

   [латекс]т[/латекс]	[латекс]-2[/латекс]	[латекс]-1[/латекс]	[латекс]0[/латекс]	[латекс]1[/латекс]	[латекс]2[/латекс]
   [латекс]x[/латекс]
   [латекс]у[/латекс]

   Показать решение

   Для следующих упражнений нарисуйте кривую и включите ориентацию.

   [латекс] \{\ begin {массив} {l} x (t) = t \\ y (t) = \ sqrt {t} \ end {массив} [/ латекс]

   [латекс] \ {\ begin{array}{l}x(t)=-\,\sqrt{t}\\ y(t)=t\end{array}[/latex]

   Показать решение

   [латекс]\{\begin{массив}{l}x(t)=5-|t|\\ y(t)=t+2\end{массив}[/латекс]

   [латекс]\ {\begin{массив}{l}x(t)=-t+2\\ y(t)=5-|t|\end{массив}[/latex]

   Показать решение

   9{2}},\,0

   [латекс]x\left(t\right)=-t,y\left(t\right)=\sqrt{t},\ ,t\ge 0[/latex]

   Показать решение

   [латекс]x=-2\mathrm{cos}\,t,\,y=6\,\mathrm{sin}\,t,\,0\le t\le \pi [/latex]

   [латекс] x = — \ mathrm {sec} \, t, \, y = \ mathrm {tan} \, t, \, — \ frac {\, \ pi} {2}

   Показать решение

   В следующих упражнениях используйте параметрические уравнения для целых чисел a и b :

   [латекс]\begin{array}{l}x\left(t\right)=a\mathrm{cos}\ влево (\ влево (a + b \ вправо) t \ вправо) \\ y \ влево (t \ вправо) = a \ mathrm {cos} \ влево (\ влево (a-b \ вправо) t \ вправо) \ конец {массив }[/латекс]

   Граф в области [латекс]\,\слева[-\пи ,0\справа],\,[/латекс]где[латекс]\,а=2\,[/латекс]и[латекс]\, b=1,\,[/latex] и укажите ориентацию.

   Граф в области [латекс]\,\слева[-\пи ,0\справа],\,[/латекс]где[латекс]\,а=3\,[/латекс]и[латекс]\, b=2[/latex] и укажите ориентацию.

   Показать решение

   Граф в домене [латекс]\,\слева[-\pi ,0\справа],\,[/латекс]где[латекс]\,а=4\,[/латекс]и[латекс]\, b=3[/latex] и укажите ориентацию.

   Граф в домене [латекс]\,\слева[-\пи ,0\справа],\,[/латекс]где[латекс]\,а=5\,[/латекс]и[латекс]\, b=4[/latex] и укажите ориентацию.

   Показать решение

   Если [латекс]\,а\,[/латекс] на 1 больше, чем [латекс]\,b,\,[/латекс], опишите эффект значения [латекс]\,а\,[/латекс] и [латекс]\,b\,[/латекс] имеют на графике параметрические уравнения.

   Опишите график, если[латекс]\,а=100\,[/латекс]и[латекс]\,b=99.[/латекс]

   Показать решение

   Что произойдет, если [латекс]\,b\,[/латекс]на 1 больше, чем [латекс]\,а?\,[/латекс]Опишите график.

   Если параметрические уравнения [латекс]\,х\влево(т\вправо)={т}^{2}\,[/латекс] и [латекс]\,у\влево(т\вправо)=6- 3t\,[/latex]есть график горизонтальной параболы, открывающейся вправо, что изменит направление кривой? 9{2}\,[/latex]и[латекс]\,x\left(t\right)\,[/latex]линейно

   Запишите параметрические уравнения окружности с центром[латекс]\,\left( 0,0\right),[/latex]радиус 5 и ориентация против часовой стрелки.

   Показать решение

   Напишите параметрические уравнения эллипса с центром[латекс]\,\влево(0,0\вправо),[/латекс]большой осью длины 10, малой осью длины 6 и ориентацией против часовой стрелки.

   В следующих упражнениях используйте графическую утилиту для построения графика в окне [латекс]\,\слева[-3,3\справа]\,[/латекс]по[латекс]\,\слева[-3,3 \right]\,[/latex]в домене[latex]\,\left[0,2\pi \right)\,[/latex]для следующих значений [latex]\,a\,[/latex ]and[latex]\,b[/latex] и укажите ориентацию.

   [латекс] \{\ begin {array} {l} x (t) = \ mathrm {sin} (at) \\ y (t) = \ mathrm {sin} (bt) \ end {array} [/ латекс]

   [латекс]a=1,b=2[/латекс]

   Показать решение

   [латекс]a=2,b=1[/латекс]

   [латекс]a=3,b=3[/латекс]

   Показать решение

   [латекс]a=5,b=5[/латекс]

   [латекс]a=2,b=5[/латекс]

   Показать решение

   [латекс]a=5,b=2[/латекс]

   Технология

   В следующих упражнениях посмотрите на графики, созданные с помощью параметрических уравнений вида [латекс]\,\{\begin{массив }{l}x(t)=a\text{cos}(bt)\hfill \\ y(t)=c\text{sin}(dt)\hfill \end{массив}. \,[/latex] Используйте параметрический режим графического калькулятора, чтобы найти значения [латекс]a,b,c,[/латекс] и [латекс]d[/латекс] для построения каждого графика.

   Показать решение

   Показать решение

   В следующих упражнениях используйте графическую утилиту для построения графиков заданных параметрических уравнений.

   1. [латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = \ mathrm {cos} t-1 \\ y (t) = \ mathrm {sin} t + t \ end {array} [ /латекс]
   2. [латекс] \{\ begin {array} {l} x (t) = \ mathrm {cos} t + t \\ y (t) = \ mathrm {sin} t-1 \ end {array} [/latex ]
   3. [латекс] \{\ begin {array} {l} x (t) = t- \ mathrm {sin} t \\ y (t) = \ mathrm {cos} t-1 \ end {array} [/latex ]

   Постройте график всех трех наборов параметрических уравнений в области [латекс]\,\влево[0,\,2\пи \вправо].[/латекс]

   Показать решение

   Построить график всех трех наборов параметрических уравнений в области [латекс]\,\left[0,4\pi \right]. [/latex]

   Построить график всех трех наборов параметрических уравнений в области [латекс]\, \left[-4\pi ,6\pi \right].[/latex]

   Показать решение

   График каждого набора параметрических уравнений «ползет» по одной из осей. Что определяет, по какой оси ползет график?

   Объясните влияние на график параметрического уравнения, когда мы поменяли местами [латекс]\,\mathrm{sin}\,t\,[/latex]и [латекс]\,\mathrm{cos}\,t[/ латекс]. 9{2}+10t+5.\text{}[/latex]Напишите параметрические уравнения для положения мяча, а затем освободите время для записи высоты как функции горизонтального положения.

   Для следующих упражнений используйте этот сценарий: Дротик брошен вверх с начальной скоростью 65 футов/с под углом возвышения 52°. Учитывайте положение дротика в любой момент[latex]\,t.\,[/latex]Сопротивлением воздуха пренебрегайте.

   Найдите параметрические уравнения, моделирующие проблемную ситуацию.

   Показать решение

   Найдите все возможные значения [latex]\,x\,[/latex], представляющие ситуацию.

   Когда дротик упадет на землю?

   Показать решение

   Найдите максимальную высоту дротика.

   Когда дротик достигнет максимальной высоты?

   Показать решение

   В следующих упражнениях посмотрите на графики каждого из четырех параметрических уравнений. Хотя они выглядят необычно и красиво, они настолько распространены, что имеют имена, указанные в каждом упражнении. Используйте графическую утилиту, чтобы построить график каждого в указанном домене.

   Эпициклоида: [латекс]\,\{\begin{array}{l}x(t)=14\mathrm{cos}\,t-\mathrm{cos}(14t)\hfill \\ y(t )=14\mathrm{sin}\,t+\mathrm{sin}(14t)\hfill \end{array}\,[/latex]в домене[latex]\,[0,2\pi ][/latex ].

   Гипоциклоида: [латекс] \{\ begin {array} {l} x (t) = 6 \ mathrm {sin} \, t + 2 \ mathrm {sin} (6t) \ hfill \\ y (t) =6\mathrm{cos}\,t-2\mathrm{cos}(6t)\hfill \end{array}\,[/latex]в домене[latex]\,[0,2\pi ][/ латекс].

   Показать решение

   Гипотрохоид: [латекс] \ {\ begin {array} {l} x (t) = 2 \ mathrm {sin} \, t + 5 \ mathrm {cos} (6t) \ hfill \\ y (t) =5\mathrm{cos}\,t-2\mathrm{sin}(6t)\hfill \end{массив}\,[/latex]в домене[latex]\,\left[0,2\pi \ справа][/латекс].

   A rose: [латекс] \, \ {\ begin {array} {l} x (t) = 5 \ mathrm {sin} (2t) \ mathrm {sin} t \ hfill \\ y (t) = 5 \mathrm{sin}(2t)\mathrm{cos}t\hfill \end{array}\,[/latex]в домене[latex]\,\left[0,2\pi \right][/latex] .

   Показать решение

   7.2 Вычисление параметрических кривых – Вычисление, том 2

   Цели обучения

   • 7.2.1 Определить производные и уравнения касательных для параметрических кривых.
   • 7.2.2 Найдите площадь под параметрической кривой.
   • 7.2.3 Используйте уравнение для длины дуги параметрической кривой.
   • 7.2.4 Примените формулу площади поверхности к объему, созданному параметрической кривой.

   Теперь, когда мы ввели понятие параметризованной кривой, наш следующий шаг — научиться работать с этим понятием в контексте исчисления. Например, если мы знаем параметризацию данной кривой, можно ли вычислить наклон касательной к кривой? Как насчет длины дуги кривой? Или площадь под кривой?

   Другой сценарий: предположим, мы хотим представить положение бейсбольного мяча после того, как мяч покинет руку питчера. Если положение бейсбольного мяча представлено плоской кривой (x(t),y(t)),(x(t),y(t)), то мы должны быть в состоянии использовать исчисление, чтобы найти скорость мяча. мяч в любое время. Кроме того, мы должны быть в состоянии рассчитать, как далеко пролетел этот мяч в зависимости от времени.

   Производные параметрических уравнений

   Начнем с вопроса, как рассчитать наклон линии, касательной к параметрической кривой в точке. Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

   x(t)=2t+3,y(t)=3t−4,−2≤t≤3.x(t)=2t+3,y(t)=3t−4,−2≤t≤3 .

   График этой кривой показан на рис. 7.16. Это отрезок, начинающийся с (−1,−10)(−1,−10) и заканчивающийся на (9,5).(9,5).

   Рисунок 7.16 График отрезка, описываемого заданными параметрическими уравнениями.

   Мы можем исключить параметр, сначала решив уравнение x(t)=2t+3x(t)=2t+3 для t :

   x(t)=2t+3x-3=2tt=x-32.x(t)=2t+3x-3=2tt=x-32.

   Подставив это в y(t),y(t), мы получим

   y(t)=3t−4y=3(x−32)−4y=3×2−92−4y=3×2−172.y(t)=3t−4y=3(x−32)−4y=3×2−92 −4y=3×2−172.

   Наклон этой линии определяется выражением dydx=32.dydx=32. Затем мы вычисляем x′(t)x′(t) и y′(t).y′(t). Это дает x′(t)=2x′(t)=2 и y′(t)=3.y′(t)=3. Обратите внимание, что dydx=dy/dtdx/dt=32.dydx=dy/dtdx/dt=32. Это не случайно, как показано в следующей теореме.

   Теорема 7.1

   Производная параметрических уравнений

   Рассмотрим плоскую кривую, определяемую параметрическими уравнениями x=x(t)x=x(t) и y=y(t).y=y(t). Предположим, что x′(t)x′(t) и y′(t)y′(t) существуют, и предположим, что x′(t)≠0.x′(t)≠0. Тогда производная dydxdydx определяется как

   dydx=dy/dtdx/dt=y′(t)x′(t).dydx=dy/dtdx/dt=y′(t)x′(t).

   (7.1)

   Доказательство

   Эту теорему можно доказать с помощью цепного правила. В частности, предположим, что параметр t можно исключить, получив дифференцируемую функцию y=F(x). y=F(x). Тогда y(t)=F(x(t)).y(t)=F(x(t)). Дифференцирование обеих частей этого уравнения с использованием цепного правила дает

   y′(t)=F′(x(t))x′(t),y′(t)=F′(x(t))x′(t),

   так

   F′(x(t))=y′(t)x′(t).F′(x(t))=y′(t)x′(t).

   Но F′(x(t))=dydx, F′(x(t))=dydx, что доказывает теорему.

   □

   Уравнение 7.1 можно использовать для расчета производных плоских кривых, а также критических точек. Напомним, что критическая точка дифференцируемой функции y=f(x)y=f(x) — это любая точка x=x0x=x0 такая, что либо f′(x0)=0f′(x0)=0, либо f′(x0 )f′(x0) не существует. Уравнение 7.1 дает формулу наклона касательной к кривой, определенной параметрически, независимо от того, может ли кривая быть описана функцией y=f(x)y=f(x) или нет.

   Пример 7.4

   Нахождение производной параметрической кривой

   Вычислите производную dydxdydx для каждой из следующих параметрически заданных плоских кривых и найдите критические точки на соответствующих графиках.

   1. x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4
   2. x(t)=2t+1,y(t)=t3−3t+4,−2≤t≤5x(t)=2t+1,y(t)=t3−3t+4,−2≤t ≤5
   3. x(t)=5cost,y(t)=5sint,0≤t≤2πx(t)=5cost,y(t)=5sint,0≤t≤2π

   Решение

   1. Чтобы применить уравнение 7.1, сначала вычислите x'(t)x'(t) и y'(t):y'(t):

      x'(t)=2ty'(t)=2.x'( t)=2ty′(t)=2.

      
      Затем подставьте их в уравнение:

      dydx=dy/dtdx/dtdydx=22tdydx=1t.dydx=dy/dtdx/dtdydx=22tdydx=1t.

      
      Эта производная не определена, когда t=0.t=0. Вычисление x(0)x(0) и y(0)y(0) дает x(0)=(0)2−3=−3x(0)=(0)2−3=−3 и y(0 )=2(0)−1=−1,y(0)=2(0)−1=−1, что соответствует точке (−3,−1)(−3,−1) на графике. График этой кривой представляет собой параболу, открывающуюся вправо, а точка (−3,−1)(−3,−1) является ее вершиной, как показано.
      

      Рисунок 7.17 График параболы, описываемой параметрическими уравнениями в части а.

   2. Чтобы применить уравнение 7. 1, сначала вычислите x'(t)x'(t) и y'(t):y'(t):

      x'(t)=2y'(t)=3t2−3.x’ (t)=2y′(t)=3t2−3.

      
      Затем подставьте их в уравнение:

      dydx=dy/dtdx/dtdydx=3t2−32.dydx=dy/dtdx/dtdydx=3t2−32.

      
      Эта производная равна нулю, когда t=±1.t=±1. Когда t=−1t=−1, мы имеем

      x(−1)=2(−1)+1=−1andy(−1)=(−1)3−3(−1)+4=−1+3 +4=6,x(-1)=2(-1)+1=-1andy(-1)=(-1)3-3(-1)+4=-1+3+4=6,

      
      , что соответствует точке (−1,6)(−1,6) на графике. При t=1t=1 имеем

      x(1)=2(1)+1=3andy(1)=(1)3−3(1)+4=1−3+4=2,x(1) =2(1)+1=3andy(1)=(1)3−3(1)+4=1−3+4=2,

      
      что соответствует точке (3,2)(3,2) на графике. Точка (3,2)(3,2) является относительным минимумом, а точка (-1,6)(-1,6) является относительным максимумом, как показано на следующем графике.
      

      Рисунок 7.18 График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части б.

   3. Чтобы применить уравнение 7.1, сначала вычислите x'(t)x'(t) и y'(t):y'(t):

      x'(t)=-5sinty'(t)=5cost.x'(t)=-5sinty'(t)=5cost.

      
      Затем подставьте их в уравнение:

      dydx=dy/dtdx/dtdydx=5cost−5sintdydx=−cott. dydx=dy/dtdx/dtdydx=5cost−5sintdydx=−cott.

      
      Эта производная равна нулю, когда cost=0cost=0, и не определена, когда sint=0.sint=0. Это дает t=0,π2,π,3π2 и 2πt=0,π2,π,3π2 и 2π как критические точки для t. Подставив каждое из них в x(t)x(t) и y(t),y(t), мы получим

      tt	х(т)х(т)	у(т)у(т)
      0	5	0
      π2π2	0	5
      ππ	−5	0
      3π23π2	0	−5
      2π2π	5	0

      
      Эти точки соответствуют сторонам, вершине и низу окружности, представленной параметрическими уравнениями (рис. 7.19).). На левом и правом краях круга производная не определена, а сверху и снизу производная равна нулю.
      

      Рисунок 7.19 График кривой, описываемой параметрическими уравнениями в части c.

   Контрольно-пропускной пункт 7.4

   Вычислить производную dy/dxdy/dx для плоской кривой, определяемой уравнениями

   x(t)=t2−4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤3x(t)=t2− 4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤3

   и найдите критические точки на его графике.

   Пример 7,5

   Поиск касательной

   Найдите уравнение касательной к кривой, определяемой уравнениями

   x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4whent=2 .x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4, когда=2.

   Решение

   Сначала найдите наклон касательной с помощью уравнения 7.1, что означает вычисление x′(t)x′(t) и y′(t):y′(t):

   x′(t)=2ty′( t)=2.x′(t)=2ty′(t)=2.

   Затем подставьте их в уравнение:

   dydx=dy/dtdx/dtdydx=22tdydx=1t. dydx=dy/dtdx/dtdydx=22tdydx=1t.

   Когда t=2,t=2,dydx=12,dydx=12, это наклон касательной. Вычисление x(2)x(2) и y(2)y(2) дает

   x(2)=(2)2−3=1andy(2)=2(2)−1=3,x(2 )=(2)2−3=1andy(2)=2(2)−1=3,

   что соответствует точке (1,3)(1,3) на графике (рис. 7.20). Теперь используйте точечно-наклонную форму уравнения прямой, чтобы найти уравнение касательной линии:

   y−y0=m(x−x0)y−3=12(x−1)y−3=12x− 12y=12x+52.y−y0=m(x−x0)y−3=12(x−1)y−3=12x−12y=12x+52.

   Рисунок 7.20 Касательная к параболе, описываемой данными параметрическими уравнениями при t=2.t=2.

   Контрольно-пропускной пункт 7,5

   Найдите уравнение касательной к кривой, определяемой уравнениями

   x(t)=t2−4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤10, когда=5.x(t)= t2−4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤10, когда=5.

   Производные второго порядка

   Наша следующая цель — увидеть, как взять вторую производную функции, заданной параметрически. Вторая производная функции y=f(x)y=f(x) определяется как производная первой производной; то есть

   d2ydx2=ddx[dydx]. d2ydx2=ddx[dydx].

   Поскольку dydx=dy/dtdx/dt, dydx=dy/dtdx/dt, мы можем заменить yy в обеих частях этого уравнения на dydx.dydx. Это дает нам

   d2ydx2=ddx(dydx)=(d/dt)(dy/dx)dx/dt.d2ydx2=ddx(dydx)=(d/dt)(dy/dx)dx/dt.

   (7.2)

   Если мы знаем, что dy/dxdy/dx является функцией t, , то эту формулу легко применить.

   Пример 7.6

   Нахождение второй производной

   Вычислить вторую производную d2y/dx2d2y/dx2 для плоской кривой, определяемой параметрическими уравнениями x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4 .x(t)=t2−3,y(t)=2t−1,−3≤t≤4.

   Решение

   Из примера 7.4 мы знаем, что dydx=22t=1t.dydx=22t=1t. Используя уравнение 7.2, мы получаем )(dy/dx)dx/dt=(d/dt)(1/t)2t=−t−22t=−12t3.

   Контрольно-пропускной пункт 7.6

   Вычислить вторую производную d2y/dx2d2y/dx2 для плоской кривой, определяемой уравнениями

   x(t)=t2−4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤3x(t)=t2 −4t,y(t)=2t3−6t,−2≤t≤3

   и найдите критические точки на его графике.

   Интегралы, использующие параметрические уравнения

   Теперь, когда мы увидели, как вычислить производную плоской кривой, возникает следующий вопрос: как найти площадь под кривой, заданной параметрически? Вспомним циклоиду, определяемую уравнениями x(t)=t−sint,y(t)=1−cost.x(t)=t−sint,y(t)=1−cost. Предположим, мы хотим найти площадь заштрихованной области на следующем графике.

   Рисунок 7.21 График циклоиды с выделенной дугой над [0,2π][0,2π].

   Вывести формулу площади под кривой, определяемой функциями

   x=x(t),y=y(t),a≤t≤b,x=x(t),y=y(t),a≤t≤b,

   мы предполагаем, что x(t)x(t) возрастает на интервале t ∈ [a, b]t ∈ [a, b], а x(t)x(t) дифференцируема, и начинаем с равного разбиения интервал a≤t≤b.a≤t≤b. Предположим, что t0=a

   Рисунок 7.22 Аппроксимация площади под параметрически заданной кривой.

   Мы используем прямоугольники для аппроксимации площади под кривой. Высота i-го прямоугольника равна y(ti−1)y(ti−1), поэтому площадь равна

   .

   ∑i=1ny(ti-1)(x(ti)-x(ti-1)=∑i=1ny(ti-1)(x(ti)-x(ti-1)(ti-ti-1 )(ti-ti-1)→∫aby(t)x'(t)dt as max{(ti-ti-1)}→0∑i=1ny(ti-1)(x(ti)-x( ti-1)=∑i=1ny(ti-1)(x(ti)-x(ti-1)(ti-ti-1)(ti-ti-1)→∫aby(t)x'(t )dt as max{(ti-ti-1)}→0

   Это следует из результатов, полученных в исчислении 1 для функции y(ti-1)(x(ti)-x(ti-1)(ti-ti-1).y(ti-1)(x(ti)- х(ти-1)(ти-ти-1).

   Тогда сумма Римана для площади равна

   An=∑i=1ny(x(t–i))(x(ti)−x(ti−1)).An=∑i=1ny(x(t–i))(x(ti)−x (ti−1)).

   Умножение и деление каждой площади на ti-ti-1ti-ti-1 дает

   An=∑i=1ny(x(t–i))(x(ti)−x(ti−1)ti−ti−1)(ti−ti−1)=∑i=1ny(x(t– i))(x(ti)−x(ti−1)Δt)Δt.An=∑i=1ny(x(t–i))(x(ti)−x(ti−1)ti−ti−1 )(ti−ti−1)=∑i=1ny(x(t–i))(x(ti)−x(ti−1)Δt)Δt.

   Взятие предела при приближении nn к бесконечности дает

   A=limn→∞An=∫aby(t)x′(t)dt.A=limn→∞An=∫aby(t)x′(t)dt.

   Если xx является убывающей функцией для a≤t≤ba≤t≤b, аналогичный вывод покажет, что площадь определяется выражением -∫aby(t)x'(t)dt=∫aby(t)x'( t)dt-∫aby(t)x'(t)dt=∫aby(t)x'(t)dt

   Это приводит к следующей теореме.

   Теорема 7.2

   Площадь под параметрической кривой

   Рассмотрим несамопересекающуюся плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

   x=x(t),y=y(t),a≤t≤bx=x(t),y=y(t), a≤t≤b

   и предположим, что x(t)x(t) дифференцируемо. Площадь под этой кривой равна

   A=∫aby(t)x′(t)dt.A=∫aby(t)x′(t)dt.

   (7.3)

   Пример 7.7

   Нахождение площади под параметрической кривой

   Нахождение площади под кривой циклоиды, определяемой уравнениями

   x(t)=t−sint,y(t)=1−cost,0≤t≤2π. x(t)=t−sint,y(t)=1−стоимость,0≤t≤2π.

   Решение

   Используя уравнение 7.3, получаем (1−2cost+1+cos2t2)dt=∫02π(32−2cost+cos2t2)dt=3t2−2sint+sin2t4|02π=3π.A=∫aby(t)x′(t)dt=∫02π(1 −cost)(1−cost)dt=∫02π(1−2cost+cos2t)dt=∫02π(1−2cost+1+cos2t2)dt=∫02π(32−2cost+cos2t2)dt=3t2−2sint+sin2t4 |02π=3π.

   Контрольно-пропускной пункт 7.

   7

   Найдите площадь под кривой гипоциклоиды, определяемой уравнениями

   y(t)=3sint−sin3t,0≤t≤π.

   Длина дуги параметрической кривой

   В дополнение к нахождению площади под параметрической кривой нам иногда нужно найти длину дуги параметрической кривой. В случае линейного сегмента длина дуги равна расстоянию между конечными точками. Если частица вылетает из точки A в точку B по кривой, то расстояние, которое проходит частица, равно длине дуги. Чтобы разработать формулу для длины дуги, мы начнем с аппроксимации отрезками, как показано на следующем графике.

   Рисунок 7.23 Аппроксимация кривой отрезками.

   Для заданной плоской кривой, заданной функциями x=x(t),y=y(t),a≤t≤b,x=x(t),y=y(t),a≤t≤b, мы начнем с разделения интервала [a,b][a,b] на n равных подинтервалов: t0=a Δt=(b−a)/n. Мы можем вычислить длину каждого отрезка линии:

   d1=(x(t1)−x(t0))2+(y(t1)−y(t0))2d2=(x(t2)−x(t1))2+(y(t2)−y( t1))2etc.d1=(x(t1)−x(t0))2+(y(t1)−y(t0))2d2=(x(t2)−x(t1))2+(y(t2 )−y(t1))2 и т.д.

   Затем сложите их. Пусть s обозначает точную длину дуги, а snsn обозначает аппроксимацию n отрезков:

   с≈∑k=1nsk=∑k=1n(x(tk)−x(tk−1))2+(y(tk)−y(tk−1))2.s≈∑k=1nsk=∑ k=1n(x(tk)−x(tk−1))2+(y(tk)−y(tk−1))2.

   (7.4)

   Если предположить, что x(t)x(t) и y(t)y(t) — дифференцируемые функции 9k и t˜kt˜k содержатся в одном и том же постоянно сокращающемся интервале ширины Δt, Δt, поэтому они должны сходиться к одному и тому же значению.

   Мы можем резюмировать этот метод в следующей теореме.

   Теорема 7.3

   Длина дуги параметрической кривой

   Рассмотрим плоскую кривую, заданную параметрическими уравнениями

   x=x(t),y=y(t),t1≤t≤t2x=x(t),y=y(t),t1≤t≤t2

   и предположим, что x(t)x(t) и y(t)y(t) — дифференцируемые функции от t. Тогда длина дуги этой кривой определяется как

   s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt.s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt.

   (7,5)

   В этот момент вывод стороны приводит к предыдущей формуле для длины дуги. В частности, предположим, что параметр можно исключить, что приведет к функции y=F(x).y=F(x). Тогда y(t)=F(x(t))y(t)=F(x(t)) и Цепное правило дает y′(t)=F′(x(t))x′(t). y′(t)=F′(x(t))x′(t). Подставляя это в уравнение 7.5, получаем

   s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt=∫t1t2(dxdt)2+(F′(x)dxdt)2dt=∫t1t2(dxdt)2(1+(F′(x))2) dt=∫t1t2x′(t)1+(dydx)2dt.s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt=∫t1t2(dxdt)2+(F′(x)dxdt)2dt=∫t1t2(dxdt )2(1+(F′(x))2)dt=∫t1t2x′(t)1+(dydx)2dt.

   Здесь мы предположили, что x′(t)>0,x′(t)>0, что является разумным предположением. Цепное правило дает dx=x′(t)dt, dx=x′(t)dt, и если a=x(t1)a=x(t1) и b=x(t2)b=x(t2), мы получить формулу

   s=∫ab1+(dydx)2dx,s=∫ab1+(dydx)2dx,

   , которая представляет собой формулу длины дуги, полученную во Введении в приложения интегрирования.

   Пример 7,8

   Нахождение длины дуги параметрической кривой

   Нахождение длины дуги полуокружности, определяемой уравнениями

   x(t)=3cost,y(t)=3sint,0≤t≤π.x(t)=3cost,y(t)=3sint,0≤t≤π.

   Решение

   Значения от t=0t=0 до t=πt=π соответствуют красной кривой на рис. 7.23. Чтобы определить его длину, используйте уравнение 7.5:

   s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt=∫0π(−3sint)2+(3cost)2dt=∫0π9sin2t+9cos2tdt=∫0π9(sin2t+cos2t) dt=∫0π3dt=3t|0π=3π.s=∫t1t2(dxdt)2+(dydt)2dt=∫0π(−3sint)2+(3cost)2dt=∫0π9sin2t+9cos2tdt=∫0π9(sin2t+cos2t) dt=∫0π3dt=3t|0π=3π.

   Обратите внимание, что формула длины дуги полукруга равна πrπr, а радиус этой окружности равен 3. Это отличный пример использования исчисления для вывода известной формулы геометрической величины.

   Рисунок 7,24 Длина дуги полукруга равна его радиусу, умноженному на π.π.

   Контрольно-пропускной пункт 7,8

   Найдите длину дуги кривой, определяемой уравнениями

   x(t)=3t2,y(t)=2t3,1≤t≤3. x(t)=3t2,y(t)=2t3,1 ≤t≤3.

   Теперь вернемся к задаче, поставленной в начале раздела, о бейсбольном мяче, вылетающем из руки питчера. Игнорируя эффект сопротивления воздуха (если только это не криволинейный мяч!), мяч движется по параболе. Предполагая, что рука питчера находится в начале координат, а мяч движется слева направо в направлении положительной x -ось, параметрические уравнения для этой кривой могут быть записаны как

   x(t)=140t,y(t)=-16t2+2tx(t)=140t,y(t)=-16t2+2t

   , где t представляет время. Сначала вычислим расстояние, пройденное мячом, как функцию времени. Это расстояние представлено длиной дуги. Мы можем немного изменить формулу длины дуги. Сначала перепишите функции x(t)x(t) и y(t)y(t), используя v в качестве независимой переменной, чтобы избежать путаницы с параметром 9.1342 т :

   x(v)=140v,y(v)=-16v2+2v.x(v)=140v,y(v)=-16v2+2v.

   Затем запишем формулу длины дуги следующим образом:

   s(t)=∫0t(dxdv)2+(dydv)2dv=∫0t1402+(−32v+2)2dv. s(t)=∫0t(dxdv)2+(dydv)2dv=∫0t1402+(−32v +2)2дв.

   Переменная v действует как фиктивная переменная, которая исчезает после интегрирования, оставляя длину дуги как функцию времени t. Чтобы проинтегрировать это выражение, мы можем использовать формулу из Приложения А,

   ∫a2+u2du=u2a2+u2+a22ln|u+a2+u2|+C.∫a2+u2du=u2a2+u2+a22ln|u+a2+u2|+C.

   Устанавливаем a=140a=140 и u=−32v+2.u=−32v+2. Это дает du=-32dv, du=-32dv, поэтому dv=-132du.dv=-132du. Поэтому

   ∫1402+(-32v+2)2dv=-132∫a2+u2du=-132[(-32v+2)21402+(-32v+2)2+14022ln|(-32v+2)+1402+( −32v+2)2|]+C∫1402+(−32v+2)2dv=−132∫a2+u2du=−132[(−32v+2)21402+(−32v+2)2+14022ln|( −32v+2)+1402+(−32v+2)2|]+C

   и

   с(t)=-132[(-32t+2)21402+(-32t+2)2+14022ln|(-32t+2)+1402+(-32t+2)2|]+132[1402+ 22+14022ln|2+1402+22|]=(t2−132)1024t2−128t+19604−12254ln|(−32t+2)+1024t2−128t+19604|+1960432+12254ln(2+19604).s(t)=−132[(−32t+2)21402+(−32t+2)2+14022ln|(−32t+2)+1402+(−32t +2)2|]+132[1402+22+14022ln|2+1402+22|]=(t2−132)1024t2−128t+19604−12254ln|(−32t+2)+1024t2−128t+19604|+ 1960432+12254лн(2+19604).

   Эта функция представляет расстояние, пройденное мячом, как функцию времени. Для расчета скорости возьмите производную этой функции по т. Хотя это может показаться сложной задачей, можно получить ответ непосредственно из Фундаментальной теоремы исчисления:

   ddx∫axf(u)du=f(x).ddx∫axf(u)du=f(x).

   Поэтому

   s′(t)=ddt[s(t)]=ddt[∫0t1402+(−32v+2)2dv]=1402+(−32t+2)2=1024t2−128t+19604=2256t2−32t+4901. s'(t)=ddt[s(t)]=ddt[∫0t1402+(-32v+2)2dv]=1402+(-32t+2)2=1024t2-128t+19604=2256t2-32t+4901.

   Через одну треть секунды после того, как мяч покинул руку питчера, расстояние, которое он проходит, равно

   с(13)=(1/32−132)1024(13)2−128(13)+19604−12254ln|(−32(13)+2)+1024(13)2−128(13)+19604 |+1960432+12254ln(2+19604)≈46,69 футов.с(13)=(1/32−132)1024(13)2−128(13)+19604−12254ln|(−32(13)+2)+1024(13)2−128 (13)+19604|+1960432+12254ln(2+19604)≈46,69 футов.

   Это значение составляет чуть более трех четвертей пути к домашней тарелке. Скорость мяча

   с’(13)=2256(13)2−16(13)+4901≈140,34 фут/с’(13)=2256(13)2−16(13)+4901≈140,34 фут/с.

   Эта скорость соответствует примерно 95 милям в час — фастбол высшей лиги.

   Площадь поверхности, сгенерированная параметрической кривой

   Вспомним задачу о нахождении площади поверхности объема вращения. В разделе «Длина кривой и площадь поверхности» мы вывели формулу для нахождения площади поверхности объема, созданного функцией y=f(x)y=f(x) от x=ax=a до x=b,x=b, вращался вокруг x -ось:

   S=2π∫abf(x)1+(f′(x))2dx.S=2π∫abf(x)1+(f′(x))2dx.

   Теперь рассмотрим объем вращения, образованный вращением параметрически заданной кривой x=x(t),y=y(t),a≤t≤bx=x(t),y=y(t),a≤t ≤b вокруг оси x , как показано на следующем рисунке.

   Рисунок 7,25 Поверхность вращения, созданная параметрически заданной кривой.

   Аналогичная формула для параметрически заданной кривой:

   S=2π∫aby(t)(x′(t))2+(y′(t))2dtS=2π∫aby(t)(x′(t))2+(y′(t))2dt

   (7. 6)

   при условии, что y(t)y(t) неотрицательна на [a,b].[a,b].

   Пример 7,9

   Нахождение площади поверхности

   Найдите площадь поверхности сферы радиусом r с центром в начале координат.

   Решение

   Начнем с кривой, определяемой уравнениями π.

   Создается верхняя полуокружность радиусом r с центром в начале координат, как показано на следующем графике.

   Рисунок 7,26 Полуокружность, порожденная параметрическими уравнениями.

   Когда эта кривая вращается вокруг оси x , она генерирует сферу радиусом r . Чтобы вычислить площадь поверхности сферы, мы используем уравнение 7.6:

   S=2π∫aby(t)(x′(t))2+(y′(t))2dt=2π∫0πrsint(−rsint)2 +(rcost)2dt=2π∫0πrsintr2sin2t+r2cos2tdt=2π∫0πrsintr2(sin2t+cos2t)dt=2π∫0πr2sintdt=2πr2(−cost|0π)=2πr2(−cosπ+cos0)=4πr2. S=2π∫aby( t)(x′(t))2+(y′(t))2dt=2π∫0πrsint(−rsint)2+(rcost)2dt=2π∫0πrsintr2sin2t+r2cos2tdt=2π∫0πrsintr2(sin2t+cos2t)dt= 2π∫0πr2sintdt=2πr2(−cost|0π)=2πr2(−cosπ+cos0)=4πr2.

   Фактически это формула площади поверхности сферы.

   Контрольно-пропускной пункт 7,9

   Найдите площадь поверхности, образованной плоской кривой, заданной уравнениями

   x(t)=t3,y(t)=t2,0≤t≤1x(t)=t3,y(t)=t2,0 ≤t≤1

   вращается вокруг оси x .

   Раздел 7.2 Упражнения

   В следующих упражнениях каждый набор параметрических уравнений представляет линию. Не исключая параметр, найдите наклон каждой линии.

   62.

   х=3+t,y=1-tx=3+t,y=1-t

   63.

   х=8+2т,у=1х=8+2т,у=1

   64.

   x=4−3t,y=−2+6tx=4−3t,y=−2+6t

   65.

   х=-5t+7,y=3t-1x=-5t+7,y=3t-1

   Для следующих упражнений определите наклон касательной, затем найдите уравнение касательной при заданном значении параметра.

   66.

   x=3sint,y=3cost,t=π4x=3sint,y=3cost,t=π4

   67.

   x=стоимость,y=8sint,t=π2x=стоимость,y=8sint,t=π2

   68.

   x=2t,y=t3,t=-1x=2t,y=t3,t=-1

   69.

   х=t+1t,y=t−1t,t=1x=t+1t,y=t−1t,t=1

   70.

   х=т,у=2т,т=4х=т,у=2т,т=4

   В следующих упражнениях найдите все точки кривой с заданным наклоном.

   71.

   x=4cost,y=4sint,x=4cost,y=4sint, наклон = 0,5

   72.

   x=2cost,y=8sint,slope=-1x=2cost,y=8sint,slope=-1

   73.

   x=t+1t,y=t-1t,наклон=1x=t+1t,y=t-1t,наклон=1

   74.

   x=2+t,y=2-4t,наклон=0x=2+t,y=2-4t,наклон=0

   Для следующих упражнений напишите уравнение касательной в декартовых координатах для заданного параметра t .

   75.

   х=et,y=1-lnt2,t=1x=et,y=1-lnt2,t=1

   76.

   x=tlnt,y=sin2t,t=π4x=tlnt,y=sin2t,t=π4

   77.

   x=et,y=(t−1)2,at(1,1)x=et,y=(t−1)2,at(1,1)

   78.

   Для x=sin(2t),y=2sintx=sin(2t),y=2sint, где 0≤t<2π.0≤t<2π. Найдите все значения t , при которых существует горизонтальная касательная.

   79.

   Для x=sin(2t),y=2sintx=sin(2t),y=2sint, где 0≤t<2π.0≤t<2π. Найдите все значения t , при которых существует вертикальная касательная.

   80.

   Найти все точки на кривой x=4sin(t),y=4cos(t)x=4sin(t),y=4cos(t), которые имеют наклон 0,50,5

   81.

   Найти dydxdydx для x=sin(t),y=cos(t).x=sin(t),y=cos(t).

   82.

   Найдите уравнение касательной к x=sin(t),y=cos(t)x=sin(t),y=cos(t) при t=π4.t=π4.

   83.

   Для кривой x=4t,y=3t−2,x=4t,y=3t−2 найдите наклон и вогнутость кривой при t=3.t=3.

   84.

   Для параметрической кривой, уравнение которой имеет вид x=4cosθ,y=4sinθ,x=4cosθ,y=4sinθ, найдите наклон и вогнутость кривой при θ=π4.θ=π4.

   85.

   Найдите наклон и вогнутость кривой, уравнение которой имеет вид x=2+secθ,y=1+2tanθx=2+secθ,y=1+2tanθ при θ=π6.θ=π6.

   86.

   Найдите все точки на кривой x=t+4,y=t3−3tx=t+4,y=t3−3t, в которых есть вертикальные и горизонтальные касательные.

   87.

   Найти все точки на кривой x=secθ,y=tanθx=secθ,y=tanθ, в которых существуют горизонтальные и вертикальные касательные.

   Для следующих упражнений найдите d2y/dx2.d2y/dx2.

   88.

   х=t4-1,y=t-t2x=t4-1,y=t-t2

   89.

   х=sin(πt),y=cos(πt)x=sin(πt),y=cos(πt)

   90.

   х=e-t,y=te2tx=e-t,y=te2t

   Для следующих упражнений найдите точки на кривой, в которых касательная горизонтальна или вертикальна.

   91.

   х=t(t2−3),y=3(t2−3)x=t(t2−3),y=3(t2−3)

   92.

   х=3t1+t3,y=3t21+t3x=3t1+t3,y=3t21+t3

   Для следующих упражнений найдите dy/dxdy/dx по значению параметра.

   93.

   x=стоимость,y=sint,t=3π4x=стоимость,y=sint,t=3π4

   94.

   х=т,у=2т+4,т=9х=т,у=2т+4,т=9

   95.

   x=4cos(2πs),y=3sin(2πs),s=−14x=4cos(2πs),y=3sin(2πs),s=−14

   Для следующих упражнений найдите d2y/dx2d2y/dx2 в заданной точке, не исключая параметр.

   96.

   х=12т2,у=13т3,т=2х=12т2,у=13т3,т=2

   97.

   х=т,у=2т+4,т=1х=т,у=2т+4,т=1

   98.

   Найдите t интервалов, на которых кривая x=3t2,y=t3−tx=3t2,y=t3−t является вогнутой вверх и вогнутой вниз.

   99.

   Определить вогнутость кривой x=2t+lnt,y=2t−lnt.x=2t+lnt,y=2t−lnt.

   100.

   Нарисуйте и найдите площадь под одной дугой циклоиды x=r(θ−sinθ),y=r(1−cosθ).x=r(θ−sinθ),y=r(1−cosθ).

   101.

   Найдите площадь, ограниченную кривой x=cost,y=et,0≤t≤π2x=cost,y=et,0≤t≤π2 и прямыми y=1y=1 и x=0.x=0 .

   102.

   Найдите площадь, заключенную в эллипс x=acosθ,y=bsinθ,0≤θ<2π.x=acosθ,y=bsinθ,0≤θ<2π.

   103.

   Найдите площадь области, ограниченной x=2sin2θ,y=2sin2θtanθ,x=2sin2θ,y=2sin2θtanθ, для 0≤θ≤π2.0≤θ≤π2.

   Для следующих упражнений найдите площадь областей, ограниченных параметрическими кривыми и указанными значениями параметра.

   104.

   x=2cotθ,y=2sin2θ,0≤θ≤πx=2cotθ,y=2sin2θ,0≤θ≤π

   105.

   [T] x=2acost-acos(2t),y=2asint-asin(2t),0≤t<2πx=2acost-acos(2t),y=2asint-asin(2t),0≤t <2π

   106.

   [T] x=asin(2t),y=bsin(t),0≤t<2πx=asin(2t),y=bsin(t),0≤t<2π («песочные часы»)

   107.

   [T] x=2acost-asin(2t),y=bsint,0≤t<2πx=2acost-asin(2t),y=bsint,0≤t<2π («слеза»)

   Для следующих упражнений найдите длину дуги кривой на указанном интервале параметра.

   108.

   x=4t+3,y=3t−2,0≤t≤2x=4t+3,y=3t−2,0≤t≤2

   109.

   x=13t3,y=12t2,0≤t≤1x=13t3,y=12t2,0≤t≤1

   110.

   x=cos(2t),y=sin(2t),0≤t≤π2x=cos(2t),y=sin(2t),0≤t≤π2

   111.

   x=1+t2,y=(1+t)3,0≤t≤1x=1+t2,y=(1+t)3,0≤t≤1

   112.

   x=etcost,y=etsint,0≤t≤π2x=etcost,y=etsint,0≤t≤π2 (Используйте для этого CAS и представьте ответ в виде десятичного числа, округленного до трех знаков.)

   113.

   x=acos3θ,y=asin3θx=acos3θ,y=asin3θ на интервале [0,2π)[0,2π) (гипоциклоида)

   114.

   Найдите длину одной дуги циклоиды x=4(t−sint),y=4(1−cost).x=4(t−sint),y=4(1−cost).

   115.

   Найти расстояние, пройденное частицей с положением (x,y)(x,y) при изменении t в заданном интервале времени: x=sin2t,y=cos2t,0≤t≤3π.x=sin2t, y=cos2t,0≤t≤3π.

   116.

   Найдите длину одной дуги циклоиды x=θ−sinθ,y=1−cosθ.x=θ−sinθ,y=1−cosθ.

   117.

   Показать, что общая длина эллипса x=4sinθ,y=3cosθx=4sinθ,y=3cosθ равна L=16∫0π/21−e2sin2θdθ,L=16∫0π/21−e2sin2θdθ, где e=cae=ca и c=a2−b2.c=a2−b2.

   118.

   Найдите длину кривой x=et−t,y=4et/2,−8≤t≤3.x=et−t,y=4et/2,−8≤t≤3.

   Для следующих упражнений найдите площадь поверхности, полученной вращением заданной кривой вокруг оси x .

   119.

   x=t3,y=t2,0≤t≤1x=t3,y=t2,0≤t≤1

   120.

   x=acos3θ,y=asin3θ,0≤θ≤π2x=acos3θ,y=asin3θ,0≤θ≤π2

   121.

   [T] Используйте CAS, чтобы найти площадь поверхности, образованной вращением x=t+t3,y=t−1t2,1≤t≤2x=t+t3,y=t−1t2,1≤ t≤2 относительно оси x . (Ответ с точностью до трех знаков после запятой.)

   122.

   Найдите площадь поверхности, полученную вращением x=3t2,y=2t3,0≤t≤5x=3t2,y=2t3,0≤t≤5 вокруг оси y .

   123.

   Найдите площадь поверхности, образованной вращением x=t2,y=2t,0≤t≤4x=t2,y=2t,0≤t≤4 вокруг x -ось.

   124.

   Найдите площадь поверхности, образованной вращением x=t2,y=2t2,0≤t≤1x=t2,y=2t2,0≤t≤1 вокруг оси y .

   Модуль 25 — Параметрические уравнения

   Модуль 25. Параметрические уравнения

   Введение | Урок 1 | Урок 2 | Урок 3 | Самооценочный тест

   Урок 25.2. Цепное правило для параметрических уравнений

   На этом уроке исследуется процедура поиска производных, таких как , , а также , для параметрических уравнений x = f ( т ), у = г ( т ). Цепное правило Предположим, что кривая задана параметрическими уравнениями x = f ( t ) г = г ( т ) Цепное правило гласит, что производная для параметрической кривой есть отношение к . Символически, . Нахождение первых производных Значения производных dy/dt , dx/dt и dy/dx для набора параметрических уравнений можно найти с помощью TI-83. Предположим, вы хотите найти значения производных при t = 0,5 для параметрических уравнений х ( t ) = сек t y ( t ) = тан t Напомним, что и что dy/dt представляет собой скорость изменения y по отношению к t , dx/dt представляет скорость изменения x по отношению к t и 2dy1/9dx представляет скорость изменения х по отношению к х . Определите X 1T = 1/cos(T). Определите Y 1T = tan(T). Нахождение производных по графику Производные в точке на графике параметрической кривой можно найти, используя функции производных в меню CALC на экране Graph. Установите значения окна на [0, 2 , 0,1] x [-3, 3, 1] x [-5, 5, 1] ​​и начертите параметрические уравнения. График представляет собой гиперболу. Две диагональные линии не являются частью графика. Две линии похожи на вертикальные линии, которые часто появляются на графиках функций, имеющих вертикальные асимптоты. Использование точечного стиля Если вы рисуете параметрические уравнения, используя стиль Dot, диагональные линии не будут отображаться. При построении графика в стиле Dot может потребоваться уменьшить значение Tstep , чтобы увеличить разрешение графика, но меньшие значения Tstep также увеличивают время, необходимое для построения кривой. Стиль точечной диаграммы можно выбрать, переместив курсор на значок слева от X 1T и нажав до того как появляется. Установите Tstep на 0,01 и перерисуйте график в стиле Dot. Откройте меню CALC, нажав [РАСЧЕТ]. Выберите «2:dy/dx». Калькулятор возвращается к графику. Введите 0,5, чтобы ввести значение для Т . Нажимать для вычисления производной. Значение dy/dx при t = 0,5 приблизительно равно 2,0858. То есть значения y увеличиваются примерно в 2,0858 раза быстрее, чем значения x . 25.2.1 Используйте меню CALC, чтобы найти значение dy/dt и dx/dt при t = 0,5. Удовлетворяют ли эти значения цепному правилу для параметрических уравнений? Щелкните здесь, чтобы получить ответ. Нахождение уравнения касательной линии Наклон касательной равен dy/dx . 2.0858. Чтобы найти координаты x и y точки на кривой, когда t = 0,5, используйте функцию значения в меню CALC. Откройте меню CALC и выберите «1:значение». Введите 0,5 для T . Координаты точки на кривой при t = 0,5 приблизительно равны (1,1395, 0,5463). Используя только что найденную точку и значение dy/dx для наклона линии, уравнение касательной линии выглядит так: х = 2,0858 ( х — 1,1395) + 0,5463. Нарисуйте график этой функции параметрически. Введите X 2T = T. Введите Y 2T = 2,0858(T — 1,1395) + 0,5463. Отображение графиков гиперболы и касательной на t = 0,5. 25.2.2 Начертите кривую, заданную приведенными ниже параметрическими уравнениями, и найдите уравнение касательной к кривой, когда t = 2. x = t — sin( t ) y = 1 — cos( t ) Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

   < Назад | Далее >

   ©Авторское право 2007 Все права защищены. | Товарные знаки | Политика конфиденциальности | Политика ссылок

   Параметрические графики — 3D-графика

   sage.plot.plot3d. parametric_plot3d.parametric_plot3d( f , urrange , vrange = Нет , plot_points = ‘автоматический’ , border_style = 1 901d , , , ,

   Возвращает кривую или поверхность параметрического трехмерного пространства.

   Существует четыре способа вызова этой функции:

   • parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u_min, u_max)) : \(f_x, f_y, f_z\) три функции и \(u_{\min}\) и \(u_{\max}\) — действительные числа

   • parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, u_min, u_max)) : \(f_x, f_y, f_z\) можно рассматривать как функции \(у\)

   • parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u_min, u_max), (v_min, v_max)) : \(f_x, f_y, f_z\) являются функциями двух переменных

   • parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, u_min, u_max), (v, v_min, v_max)) : \(f_x, f_y, f_z\) можно рассматривать как функции \(и\) и \(в\)

   ВВОД:

   • f — тройка функций или выражений, или вектор размера 3

   • urange — двойка (u_min, u_max) или троица (и, и_мин, и_макс)

   • vrange — (дополнительно — используется только для поверхностей) a 2-кортеж (v_min, v_max) или 3-кортеж (v, v_min, v_max)

   • plot_points — (по умолчанию: «автоматически», т. е. 75 для кривых и [40,40] для поверхностей) начальный номер выборки баллы по каждому параметру; целое число для кривой и пара целые числа для поверхности.

   • border_style — (по умолчанию: нет, без границ) словарь, описывающий как рисовать границы регионов, задавая параметры, которые передаются к команде line3d.

   • сетка — bool (по умолчанию: False) отображать ли сетка линии сетки

   • точек — bool (по умолчанию: False) отображать ли точки в узлах сетки сетки

   Примечание

   1. По умолчанию для кривой любые точки, где \(f_x\), \(f_y\) или \(f_z\) не дают действительного числа пропускаются.

   2. В настоящее время для поверхностей \(f_x\), \(f_y\) и \(f_z\) должны быть определены везде. Это изменится.

   3. сетка и точки не поддерживаются при использовании трассировщика лучей Tachyon визуализатор.

   ПРИМЕРЫ: Мы демонстрируем каждый из четырех способов вызова этого функция.

   1. Пространственная кривая, определяемая тремя функциями 1 переменной:

       мудрец: parametric_plot3d((sin, cos, lambda u: u/10), (0,20))
      Графика3d Объект
       

      Обратите внимание на лямбда-функцию, которая создает вызываемый объект Python. функция, которая отправляет \(u\) в \(u/10\).

   2. Затем мы рисуем тот же график, что и выше, но с использованием символических функции:

       мудрец: u = var('u')
      мудрец: parametric_plot3d((sin(u), cos(u), u/10), (u,0,20))
      Графика3d Объект
       

   3. Мы рисуем параметрическую поверхность, используя 3 функции Python (определенные используя лямбда):

       мудрец: f = (лямбда u,v: cos(u), лямбда u,v: sin(u)+cos(v), лямбда u,v: sin(v))
      шалфей: parametric_plot3d(f, (0,2*pi), (-pi,pi))
      Графика3d Объект
       

   4. Та же поверхность, но с определяющими функциями символический:

       мудрец: u, v = var('u,v')
      шалфей: parametric_plot3d((cos(u), sin(u)+cos(v), sin(v)), (u,0,2*pi), (v,-pi,pi))
      Графика3d Объект
       

   Поверхность, но с сеткой:

    мудрец: u, v = var('u,v')
   шалфей: parametric_plot3d((cos(u), sin(u)+cos(v), sin(v)), (u,0,2*pi), (v,-pi,pi), mesh=True)
   Графика3d Объект
    

   Увеличиваем количество точек графика и делаем поверхность зеленой и прозрачный:

    мудрец: parametric_plot3d((cos(u), sin(u)+cos(v), sin(v)), (u,0,2*pi), (v,-pi,pi),
   . ...: цвет = «зеленый», непрозрачность = 0,1, plot_points = [30,30])
   Графика3d Объект
    

   Можно также раскрасить поверхность, используя функцию окрашивания и цветовая карта следующим образом. Обратите внимание, что функция раскраски должна принимать значения в интервале [0,1].

    мудрец: u,v = var('u,v')
   мудрец: def cf(u,v): return sin(u+v/2)**2
   мудрец: P = parametric_plot3d((cos(u), sin(u)+cos(v), sin(v)),
   ....: (u,0,2*pi), (v,-pi,pi), color=(cf,colormaps.PiYG), plot_points=[60,60])
   мудрец: P.show(viewer='tachyon')
    

   Другой пример, цветная лента Мёбиуса:

    шалфей: cm = colormaps.ocean
   мудрец: def c(x,y): вернуть sin(x*y)**2
   шалфей: из sage.plot.plot3d.parametric_surface импортировать MoebiusStrip
   мудрец: полоса Мебиуса (5, 1, plot_points = 200, цвет = (c, см))
   Графика3d Объект
    

   Еще один цветной пример:

    шалфей: из sage.plot.plot3d.parametric_surface импортировать ParametricSurface
   шалфей: cm = colormaps.autumn
   мудрец: def c(x,y): вернуть sin(x*y)**2
   мудрец: def g(x,y): вернуть x, y+sin(y), x**2 + y**2
   sage: ParametricSurface(g, (srange(-10,10,0. 1), srange(-5,5.0,0.1)), color=(c,cm))
   Графика3d Объект
    93), (0,3))
   Графика3d Объект
    

   Мы делаем график, но смешиваем символьный ввод и целое число:

    мудрец: t = var('t')
   мудрец: parametric_plot3d((1, sin(t), cos(t)), (t,0,3))
   Графика3d Объект
    

   Мы указываем стиль границы, чтобы показать нам значения функции в ее экстремумы:

    мудрец: u, v = var('u,v')
   шалфей: parametric_plot3d((cos(u), sin(u)+cos(v), sin(v)), (u,0,pi), (v,0,pi),
   ....: border_style={"цвет": "черный", "толщина": 2})
   Графика3d Объект
    

   Мы можем рисовать векторы:

    мудрец: x,y = var('x,y')
   мудрец: parametric_plot3d (вектор ([xy, x * y, x * cos (y)]), (x, 0,2), (y, 0,2))
   Графика3d Объект
    

    мудрец: t = var('t')
   мудрец: p = вектор ([1,2,3])
   мудрец: q = вектор ([2,-1,2])
   мудрец: parametric_plot3d (p * t + q, (t, 0,2))
   Графика3d Объект
    

   Любые параметры, которые вы обычно используете для указания внешнего вида кривой, действительны как записи в border_style dict.

   МНОГИЕ ПРИМЕРЫ:

   Строим два связанных тора: 9абс(у)) мудрец: f_z = v шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-pi,pi), (v,-1,1), frame=False, color=»red») Графика3d Объект

   Узел-трилистник (статья в Википедии Trefoil_knot):

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = (4*(1+0,25*sin(3*v))+cos(u))*cos(2*v)
   мудрец: f_y = (4*(1+0,25*sin(3*v))+cos(u))*sin(2*v)
   мудрец: f_z = sin(u)+2*cos(3*v)
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-pi,pi), (v,-pi,pi), frame=False, color="blue")
   Графика3d Объект
    

   Зеленая бабочка:

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = sin(u) / (sqrt(2) + sin(v))
   мудрец: f_y = sin(u) / (sqrt(2) + cos(v))
   мудрец: f_z = cos(u) / (1 + sqrt(2))
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-pi,pi), (v,-pi,pi), frame=False, color="green")
   Графика3d Объект
    

   Поверхность мальчика (статья в Википедии Boy%27s_surface и https://mathcurve.com/surfaces/boy/boy.shtml):

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: K = cos(u) / (sqrt(2) - cos(2*u)*sin(3*v))
   мудрец: f_x = K * (cos(u)*cos(2*v)+sqrt(2)*sin(u)*cos(v))
   мудрец: f_y = K * (cos(u)*sin(2*v)-sqrt(2)*sin(u)*sin(v))
   мудрец: f_z = 3 * K * cos(u)
   мудрец: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-2*pi,2*pi), (v,0,pi),
   . ...: plot_points=[91,5 * cos(3*u/2)/3
   мудрец: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-2*pi,2*pi), (v,0,1),
   ....: plot_points=[90,90], frame=False, color="purple")
   Графика3d Объект
    

   Браслет:

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = (2 + 0,2*sin(2*pi*u))*sin(pi*v)
   мудрец: f_y = 0,2 * cos(2*pi*u) * 3 * cos(2*pi*v)
   мудрец: f_z = (2 + 0,2*sin(2*pi*u))*cos(pi*v)
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,0,pi/2), (v,0,3*pi/4), frame=False, color="gray")
   Графика3d Объект
    

   Зеленый кубок:

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = cos(u) * cos(2*v)
   мудрец: f_y = sin(u) * cos(2*v)
   мудрец: f_z = sin(v)
   мудрец: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,0,2*pi), (v,0,pi), frame=False, color="green")
   Графика3d Объект
    

   Забавная складная поверхность — с квадратным выступом:

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = cos(u) * sin(2*v)
   мудрец: f_y = sin(u) * cos(2*v)
   мудрец: f_z = sin(v)
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,0,2*pi), (v,0,2*pi), frame=False, color="green")
   Графика3d Объект
    92
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-1,1), (v,-1,1), frame=False, color="yellow")
   Графика3d Объект
    

   Кросс-кэп (статья в Википедии Кросс-кэп):

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = (1+cos(v)) * cos(u)
   мудрец: f_y = (1+cos(v)) * sin(u)
   мудрец: f_z = -tanh((2/3)*(u-pi)) * sin(v)
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,0,2*pi), (v,0,2*pi), frame=False, color="red")
   Графика3d Объект
    

   Скрученный тор:

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = (3+sin(v)+cos(u)) * cos(2*v)
   мудрец: f_y = (3+sin(v)+cos(u)) * sin(2*v)
   мудрец: f_z = sin(u) + 2*cos(v)
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,0,2*pi), (v,0,2*pi), frame=False, color="red")
   Графика3d Объект
    91,5 * cos(3*u/2)/3
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,0,4*pi), (v,0,2*pi), frame=False, color="red", opacity=0,7)
   Графика3d Объект
    

   Поверхность Штейнера/Романская поверхность (см. Статья в Википедии Roman_surface и Статья в Википедии Steiner_surface):

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = (sin(2*u) * cos(v) * cos(v))
   мудрец: f_y = (sin(u) * sin(2*v))
   мудрец: f_z = (cos(u) * sin(2*v))
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-pi/2,pi/2), (v,-pi/2,pi/2), frame=False, color="red")
   Графика3d Объект
    

   Бутылка Клейна? (см. статью в Википедии Klein_bottle):

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = (3*(1+sin(v)) + 2*(1-cos(v)/2)*cos(u)) * cos(v)
   мудрец: f_y = (4+2*(1-cos(v)/2)*cos(u)) * sin(v)
   мудрец: f_z = -2 * (1-cos(v)/2) * sin(u)
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,0,2*pi), (v,0,2*pi), frame=False, color="green")
   Графика3d Объект
    

   A Вставка бутылки Клейна в виде фигуры 8 (см. Статья в Википедии Klein_bottle):

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = (2+cos(v/2)*sin(u)-sin(v/2)*sin(2*u)) * cos(v)
   мудрец: f_y = (2+cos(v/2)*sin(u)-sin(v/2)*sin(2*u)) * sin(v)
   мудрец: f_z = sin(v/2)*sin(u) + cos(v/2)*sin(2*u)
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,0,2*pi), (v,0,2*pi), frame=False, color="red")
   Графика3d Объект
    92
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-2,2), (v,-2,2), frame=False, color="red")
   Графика3d Объект
    

   Поверхность Хеннеберга (см. http://xahlee.org/surface/gallery_m.html):

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = 2*sinh(u)*cos(v) - (2/3)*sinh(3*u)*cos(3*v)
   мудрец: f_y = 2*sinh(u)*sin(v) + (2/3)*sinh(3*u)*sin(3*v)
   мудрец: f_z = 2 * cos(2*u) * cos(2*v)
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-1,1), (v,-pi/2,pi/2), frame=False, color="red")
   Графика3d Объект
    

   Спираль Дини:

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = cos(u) * sin(v)
   мудрец: f_y = sin(u) * sin(v)
   мудрец: f_z = (cos(v)+log(tan(v/2))) + 0,2*u
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u, 0,12.4), (v, 0.1,2), frame=False, color="red")
   Графика3d Объект
    

   Каталонская поверхность (см. http://xahlee.org/surface/catalan/catalan.html):

    мудрец: u, v = var('u,v')
   мудрец: f_x = u - sin(u)*cosh(v)
   мудрец: f_y = 1 - cos(u)*cosh(v)
   мудрец: f_z = 4 * sin(1/2*u) * sinh(v/2)
   мудрец: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-pi,3*pi), (v,-2,2), frame=False, color="red")
   Графика3d Объект
    9ты)
   шалфей: parametric_plot3d(f, (u,0,6*pi), (v,0,2*pi), plot_points=[40,40], текстура=(0,0,5,0))
   Графика3d Объект
    

   Лента Мёбиуса:

    мудрец: u,v = var("u,v")
   шалфей: parametric_plot3d([cos(u)*(1+v*cos(u/2)), sin(u)*(1+v*cos(u/2)), 0,2*v*sin(u/2) )],
   . 2], (u,0,1), (v,0,2*pi+0.4), plot_points=[50,50 ])
   Графика3d Объект
    9(0,5)],
   ....: (u, 0,001,1), (v,0,1), plot_points=[70,70], цвет='красный')
   мудрец: показать (p1+p2)
    

   Гипергеликоидальный:

    мудрец: u = var("u")
   мудрец: v = var("v")
   мудрец: f_x = (sin (v) * cos (3 * u)) / (1 + ch (u) * ch (v))
   мудрец: f_y = (sin(v)*sin(3*u)) / (1+cosh(u)*cosh(v))
   мудрец: f_z = (кош(v)*sinh(u)) / (1+кош(u)*кош(v))
   шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-pi,pi), (v,-pi,pi), plot_points=[50,50], frame=False, color="red")
   Графика3d Объект
    

   Геликоид (линии через спираль, Статья в Википедии Helix): 92)) мудрец: f_x = (2*K*cosh(0.4*u)*(-(K*cos(v)*cos(K*v)) — sin(v)*sin(K*v)))/G мудрец: f_y = (2*K*cosh(0,4*u)*(-(K*sin(v)*cos(K*v)) + cos(v)*sin(K*v)))/G мудрец: f_z = -u + (2 * 0,84 * ch (0,4 * u) * sinh (0,4 * u)) / G шалфей: parametric_plot3d([f_x, f_y, f_z], (u,-13.2,13.2), (v,-37.4,37.4), plot_points=[90,90], frame=False, color=»green») Графика3d Объект

   Исчисление APEX и параметрические уравнения

   В предыдущем разделе кривые определялись на основе параметрических уравнений. В этом разделе мы будем использовать методы исчисления для изучения этих кривых.

   Нас по-прежнему интересуют прямые, касающиеся точек на кривой. Они описывают, как значения \(y\) изменяются по отношению к значениям \(x\), они полезны при приближении и указывают мгновенное направление движения.

   Наклон касательной по-прежнему равен \(\frac{dy}{dx}\text{,}\), и Цепное правило позволяет нам рассчитать его в контексте параметрических уравнений. Если \(x=f(t)\) и \(y=g(t)\text{,}\), правило цепочки утверждает, что

   \begin{уравнение*} \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}\text{.} \end{уравнение*}

   Решая для \(\frac{dy}{dx}\text{,}\), мы получаем

   \begin{уравнение*} \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\Bigg/\frac{dx}{dt} = \frac{g'(t)}{\fp(t)}\text{,} \end{уравнение*}

   при условии, что \(\fp(t)\neq 0\text{.}\) Это важно, поэтому мы помечаем это ключевой идеей.

   Мы используем это для определения касательной.

   Определение 10.

   3.2. Касательные и нормальные линии.

   Пусть кривая \(C\) параметризована \(x=f(t)\) и \(y=g(t)\text{,}\), где \(f\) и \(g\) являются дифференцируемыми функциями на некотором интервале \(I\), содержащем \(t=t_0\text{.}\) касательная к \(C\) в точке \(t=t_0\) – это линия, проходящая через \(\big(f(t_0),g(t_0)\big)\) с наклоном \(m=g'( t_0)/\fp(t_0)\text{,}\) при условии \(\fp(t_0)\neq 0\text{.}\)

   Линия нормали к \(C\) в точке \(t=t_0\) – это линия, проходящая через \(\big(f(t_0),g(t_0)\big)\) с наклоном \(m=- \fp(t_0)/g'(t_0)\text{,}\) при условии \(g'(t_0)\neq 0\text{.}\)

   Определение оставляет для рассмотрения два особых случая. Когда касательная горизонтальна, нормальная линия не определена приведенным выше определением как \(g'(t_0)=0\text{.}\) Аналогично, когда нормальная линия горизонтальна, касательная не определена. Кажется разумным, что эти линии должны быть определены (например, можно провести линию, касательную к «правой стороне» круга), поэтому мы добавим следующее к приведенному выше определению. 92+6t-1\text{,}\) и пусть \(C\) — кривая, определяемая этими уравнениями.

   1. Найти уравнения касательной и нормали к \(C\) в точке \(t=3\text{.}\)

   2. Найдите, где \(C\) имеет вертикальную и горизонтальную касательные.

   Раствор.

   1. Начнем с вычисления \(\fp(t) = 10t-6\) и \(g'(t) =2t+6\text{.}\) Таким образом,

      \begin{уравнение*} \frac{dy}{dx} = \frac{2t+6}{10t-6}\text{.} \end{уравнение*}

      Обратите внимание на то, что может показаться необычным: \(\frac{dy}{dx}\) является функцией \(t\text{,}\), а не \(x\text{.}\) Так же, как точки на кривой находятся в терминах \(t\text{,}\), так же как и наклоны касательных линий. Точка на \(C\) в точке \(t=3\) равна \((31,26)\text{.}\) Наклон касательной равен \(m=1/2\), а наклон нормальной линии равно \(m=-2\text{.}\) Таким образом,

      Это показано на рисунке 10.3.4.

      Рисунок 10.3.4. Отображение касательных и нормалей в примере 10. 3.3

   2. Чтобы найти, где \(C\) имеет горизонтальную касательную, мы устанавливаем \(\frac{dy}{dx}=0\) и находим \(t\text{.}\) В этом случае это составляет установить \(g'(t)=0\) и найти \(t\) (и убедиться, что \(\fp(t)\neq 0\)).

      \begin{уравнение*} g'(t)=0 \Стрелка вправо 2t+6=0 \Стрелка вправо t=-3\текст{.} \end{уравнение*}

      Точка на \(C\), соответствующая \(t=-3\), есть \((67,-10)\text{;}\) касательная в этой точке горизонтальна (следовательно, с уравнением \(y =-10\)). Чтобы найти, где \(C\) имеет вертикальную касательную, мы находим, где он имеет горизонтальную нормаль, и устанавливаем \(-\frac{\fp(t)}{g'(t)}=0\text{ .}\) Это равносильно установке \(\fp(t)=0\) и решению для \(t\) (и проверке того, что \(g'(t)\neq 0\)).

      \begin{уравнение*} \fp(t)=0 \Стрелка вправо 10t-6=0 \Стрелка вправо t=0,6\текст{.} \end{уравнение*}

      Точка на \(C\), соответствующая \(t=0.6\), равна \((2.2,2.96)\text{.}\) Касательная в этой точке равна \(x=2.2\text{. } \) Точки, в которых касательные линии вертикальны и горизонтальны, указаны на графике на рисунке 10.3.4.

   Пример 10.3.5. Касательные и нормальные линии к окружности.

   1. Найдите, где единичная окружность, определяемая \(x=\cos(t)\) и \(y=\sin(t)\) на \([0,2\pi]\text{,}\ ) имеет вертикальные и горизонтальные касательные.

   2. Найти уравнение нормальной прямой в точке \(t=t_0\text{.}\)

   Раствор.

   1. Мы вычисляем производную, следуя ключевой идее 10.3.1:

      \begin{уравнение*} \ frac {dy} {dx} = \ frac {g ‘(t)} {\ fp (t)} = — \ frac {\ cos (t)} {\ sin (t)} \ text {.} \end{уравнение*}

      Производная равна \(0\), когда \(\cos(t) = 0\text{;}\), то есть когда \(t=\pi/2,\, 3\pi/2\text{. }\) Это точки \((0,1)\) и \((0,-1)\) на окружности. Нормальная линия горизонтальна (и, следовательно, касательная вертикальна), когда \(\sin(t) =0\text{;}\), то есть когда \(t= 0,\,\pi,\,2 \pi\text{,}\), соответствующие точкам \((-1,0)\) и \((0,1)\) на окружности. Эти результаты должны иметь интуитивно понятный смысл.

   2. Наклон нормальной линии в точке \(t=t_0\) равен \(\ds m=\frac{\sin(t_0)}{\cos(t_0)} = \tan(t_0)\text{.}\ ) Эта нормальная линия проходит через точку \((\cos(t_0) ,\sin(t_0))\text{,}\) давая линию

      \начать{выровнять*} y \ amp = \ frac {\ sin (t_0)} {\ cos (t_0)} (x- \ cos (t_0)) + \ sin (t_0) \\ \amp = (\tan(t_0))x\text{,} \конец{выравнивание*}

      до тех пор, пока \(\cos(t_0) \neq 0\text{.}\) Важно понимать, что нормальные линии к окружности проходят через ее центр, как показано на рисунке 10.3.6. Другими словами, любая линия, проходящая через центр окружности, пересекает окружность под прямым углом. 92(t) } \text{ (Можно сократить как \(t\neq 0\).) }\\ \amp = \lim_{t\to0} -\frac{\sin(t)}}{\cos(t)}\\ \амп = 0\текст{.} \end{align*}

      Мы сделали нечто важное. Когда производная \(\frac{dy}{dx}\) возвращает неопределенную форму в точке \(t=t_0\text{,}\), мы можем определить ее значение, установив его равным \(\lim\limits_{t \to t_0}\)\(\frac{dy}{dx}\text{,}\), если этот предел существует. Это позволяет нам находить наклоны касательных линий в точках возврата, что может быть очень полезным.

      Мы обнаружили, что наклон касательной в точке \(t=0\) равен 0; поэтому касательная является \(y=0\text{,}\) осью \(x\). 92}=\frac{d}{dx}\left[\frac{dy}{dx}\right]\text{,} \end{уравнение*}

      , но помните, что \(\frac{dy}{dx}\) является функцией \(t\text{,}\), а не \(x\text{,}\), что делает это вычисление непростым.

      Чтобы немного упростить дальнейшие обозначения, пусть \(h(t) = \frac{dy}{dx}\text{.}\) Мы хотим, чтобы \(\frac{d}{dx}[h(t) ]\text{;}\) то есть мы хотим \(\frac{dh}{dx}\text{.}\) Снова обращаемся к цепному правилу. Примечание:

      \begin{уравнение*} \frac{dh}{dt} = \frac{dh}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} \Стрелка вправо \frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dt}\Bigg/\ frac{dx}{dt}\text{.} \end{уравнение*} 92} \neq 0\) для всех \(t\text{.}\) Не определено, когда \(5t-3=0\text{;}\), то есть когда \(t= 3/5\text {.}\) Следуя работе, изложенной в разделе 3.4, мы смотрим на значения \(t\) больше/меньше, чем \(3/5\) на числовой прямой:

      Просмотрев пример 10. 3.3, мы видим, что при \(t=3/5=0.6\text{,}\) график параметрических уравнений имеет вертикальную касательную. Эта точка также является точкой перегиба графика, показанного на рисунке 10.3.11.

      Пример 10.3.12. Вогнутость плоских кривых. 92}=0\text{.}\) Это не тривиально, поскольку уравнения, в которых смешаны полиномы и тригонометрические функции, обычно не имеют «хороших» решений.

      На рисунке 10.3.13.(a) мы видим график второй производной. Он показывает, что он имеет нули приблизительно в точках \(t=0,5,\,3,5,\,6,5,\,9,5,\,12,5\) и \(16\text{.}\). только глядя на график. Метод Ньютона обеспечивает более точные приближения. С точностью до 2 знаков после запятой имеем:

      \begin{equation*} т=0,65,\,3,292}\, дх\текст{.} \end{уравнение*}

      Мы можем использовать это уравнение и преобразовать его в контекст параметрического уравнения. Полагая \(x=f(t)\) и \(y=g(t)\text{,}\), мы знаем, что \(\frac{dy}{dx} = g'(t)/\fp( t)\text{.}\) Также будет полезно вычислить дифференциал \(x\text{:}\)

      \begin{уравнение*} dx = \fp(t)dt \qquad \Rightarrow \qquad dt = \frac{1}{\fp(t)}\cdot dx\text{. 2}}\, dx.\\ \конец{выравнивание*} 92}\, дт\текст{.} \конец{выравнивание*}

      Обратите внимание на новые границы (больше не границы «\(x\)», а границы «\(t\)»). Они находятся путем нахождения \(t_1\) и \(t_2\) таких, что \(a= f(t_1)\) и \(b=f(t_2)\text{.}\) Эта формула важна, поэтому мы переформулируем это как теорему.

      Теорема 10.3.14. Длина дуги параметрических кривых.

      Пусть \(x=f(t)\) и \(y=g(t)\) параметрические уравнения с \(\fp\) и \(g’\) непрерывными на \([t_1,t_2]\ text{,}\), на котором граф трассирует сам себя только один раз. Длина дуги графика от \(t=t_1\) до \(t=t_2\text{,}\) равна 92}\, дт\текст{.} \end{equation*}

      Как и раньше, эти интегралы часто нелегко вычислить. Мы начнем с простого примера, затем дадим другой пример, где мы аппроксимируем решение.

      Пример 10.3.15. Длина дуги окружности.

      Найдите длину дуги окружности, параметризованной \(x=3\cos(t)\text{,}\) \(y=3\sin(t)\) на \([0,3\pi/2 ]\текст{.}\)

      Раствор. 1 \sqrt{92+1} \, дт\текст{.} \end{align*}

      К сожалению, подынтегральная функция не имеет первообразной, выражаемой элементарными функциями. Мы обратимся к численному интегрированию, чтобы приблизить его значение. Используя 4 подынтервала, правило Симпсона аппроксимирует значение интеграла как text{.}\) Увеличение \(n\) показывает, что это значение стабильно и является хорошим приближением к фактическому значению.

      Подраздел 10.3.3 Площадь поверхности тела вращения

      С формулой определения длины дуги связана формула определения площади поверхности. Мы можем адаптировать формулу, найденную в теореме 7.4.11 из раздела 7.4, аналогично тому, как это было сделано для получения формулы для длины дуги, сделанной ранее.

      Теорема 10.3.18. Площадь поверхности тела вращения.

      Рассмотрим график параметрических уравнений \(x=f(t)\) и \(y=g(t)\text{,}\), где \(\fp\) и \(g’\) непрерывны на открытом интервале \(I\), содержащем \(t_1\) и \(t_2\), на котором граф не пересекается. 92-1\), как показано в примере 10.3.16. Найдите площадь поверхности, если эту фигуру повернуть вокруг оси \(x\), как показано на рисунке 10.3.20.

      Рисунок 10.3.20. Вращение формы капли вокруг оси \(x\) в примере 10.3.19

      Решение.

      Каплевидная форма образуется между \(t=-1\) и \(t=1\text{.}\) Используя теорему 10.3.18, мы видим, что нам нужно для \(g(t)\geq 0\ ) на \([-1,1]\text{,}\) и это не так. Чтобы исправить это, мы упростим замену \(g(t)\) на \(-g(t)\text{,}\), что перевернет весь график относительно оси \(x\) (и не изменит площадь поверхности полученного твердого тела). Площадь поверхности: 92+1} \, дт\текст{.} \end{align*}

      Мы снова приходим к интегралу, который мы не можем вычислить в терминах элементарных функций. Используя правило Симпсона с \(n=20\text{,}\), мы находим площадь равной \(S=9,44\text{.}\). Использование больших значений \(n\) показывает, что это с точностью до 2 мест после десятичной.

      После определения нового способа создания кривых на плоскости в этом разделе мы применили методы исчисления к параметрическому уравнению, определяющему эти кривые, для изучения их свойств. В следующем разделе мы определим другой способ формирования кривых на плоскости. Для этого мы создаем новую систему координат, называемую 9.0010 полярные координаты , которые идентифицируют точки на плоскости способом, отличным от измерения расстояний от осей \(y\) и \(x\).

      Упражнения 10.3.4 Упражнения

      Термины и понятия

      1.

      Правда или ложь? Даны параметрические уравнения \(x=f(t)\) и \(y=g(t)\text{,}\) \(\lz{y}{x} = \fp(t)/g'(t )\text{,}\) до тех пор, пока \(g'(t) \neq 0\text{.}\)

      • True

      • Ложь

      2.

      Даны параметрические уравнения \(x=f(t)\) и \(y=g(t)\text{,}\) производная \(\frac{dy}{dx}\), как указано в ключевой идее 10.3. .1 является функцией ?

      3.

      Правда или ложь? Даны параметрические уравнения \(x=f(t)\) и \(y=g(t)\text{,}\), чтобы найти \(\lzn{2}{y}{x}\text{,}\ ) просто вычисляется \(\lzoo{t}{\lz{y}{x}}\text{.}\)

      • True

      • Ложь

      4.

      

      Правда или ложь? Если \(\lz{y}{x}=0\) в точке \(t=t_0\text{,}\), то нормальная линия к кривой в точке \(t=t_0\) является вертикальной линией.

      • Правда

      • Ложь

      Проблемы

      Группа упражнений.

      В следующих упражнениях даются параметрические уравнения для кривой.

      1. Найти \(\ds\frac{dy}{dx}\text{.}\)

      2. Найдите уравнения касательной и нормали в заданной точке (точках).

      3. Нарисуйте график параметрических функций вместе с найденными касательными и нормалью. 9{3/2}\text{,}\)\(y=3t\) на \([0,1]\)

         Группа упражнений.

         В следующих упражнениях численно аппроксимируйте заданную длину дуги.

         37.

         Приблизительно определите длину дуги одного лепестка кривой розы \(x=\cos(t) \cos(2t)\text{,}\)\(y=\sin(t) \cos(2t)\) с помощью Правило Симпсона и \(n=4\text{.}\)

         38.

         Приблизительно вычислить длину дуги «кривой галстука-бабочки» \(x=\cos(t)\text{,}\)\(y=\sin(2t)\) с помощью правила Симпсона и \(n=6\text {. }\)

         92}2}\text{.}\) Используйте эту формулу для аппроксимации длины окружности \(x=5\cos(t)\text{,}\) \(y=3\sin(t)\) и сравнения это соответствует приближению, заданному правилом Симпсона и \(n=6\text{.}\)

         Группа упражнений.

         В следующих упражнениях описывается тело вращения. Найдите или аппроксимируйте площадь его поверхности, как указано.

         41.

         Найдите площадь поверхности сферы, образованной вращением окружности \(x=2\cos(t)\text{,}\)\(y=2\sin(t)\) примерно:

         1. ось \(х\) и

         2. ось \(y\).

         42.

         Найдите площадь поверхности тора (или «бублика»), образованного вращением окружности \(x=\cos(t) +2\text{,}\)\(y=\sin(t)\) вокруг \(y\)-ось.

         43.

         Приблизительно площадь поверхности твердого тела, образованного вращением «верхней правой половины» кривой галстука-бабочки \(x=\cos(t)\text{,}\)\(y=\sin(2t)\) на \([0,\pi/2]\) относительно оси \(x\) с использованием правила Симпсона и \(n=4\text{.