Построение графика в полярной системе координат: Построить график в полярных координатах на плоскости

Нахождение максимального абсолютного значения r и значений θ , для которых r = 0, равно также полезная техника для рисования и анализа графика полярного уравнения. Если для около θ , r = 0, график пересекает полюс.

Еще один способ рисования и анализа графика полярного уравнения заключается в нахождении пересечения графика; то есть там, где он пересекает линии θ = 0 и θ = . Эти линии соответствуют осям x и y прямоугольной формы. система координат. Давайте рассмотрим полярное уравнение, нарисуем его и проанализируем.

r = 2 sin ( θ ). Нередко полярное уравнение содержит тригонометрическую функция, как эта. Выполняя тесты на симметрию, обнаруживается, что, поскольку sin( θ ) = sin( Π — θ ), график симметричен относительно прямой θ = . Это означает, что нам нужно построить только значения θ для [0,] и [ 2 Π ), или [ Π ] и ( Π ,]. построить график для значений θ в любом из этих двух наборов интервалов, мы можем использовать симметрии графика, чтобы нарисовать его для других значений θ . Максимум абсолютное значение r возникает, когда sin( θ ) = 1 или — 1; поэтому θ = , и r = 2, — 2 соответственно. Оба заказали пары определяют одну и ту же точку. r = 0, когда sin( θ ) = 0, что верно для θ = 0, Π . Наконец, оценивая уравнение в θ = 0, находим точки пересечения находятся на (0, 0) и (2,).

На этом этапе мы наносим несколько выборочных точек уравнения вместе с максимальным и нулевые значения r и точки пересечения. Используя симметрию графа, находим, что график выглядит так: Рисунок %: График полярного уравнения r = 2 sin( θ ) Мы также обнаруживаем, что весь график построен с использованием значений θ от 0 до Π .

Есть несколько хорошо известных названий для специальных видов графов, которые проще определяется полярными уравнениями, чем прямоугольными.

Лимакон представляет собой кривую с уравнением где a , b ≠ 0. Ниже лимакон r = 2 + 3 cos( θ ).

Кривая розы — это кривая с уравнением r = a sin( nθ ) или r = a cos( nθ ), где n — целое число. Каждая петля кривой розы называется лепестком. Количество лепестков в данной кривой n , если n нечетно, и 2 n , если n четно. Длина каждого лепестка и . Ниже приведена розовая кривая r = 3 sin(2 θ ).

Два распространенных вида спиралей называются спиралями Архимеда и логарифмическими спиралями. А спираль Архимеда имеет форму r = aθ + b , а логарифмическая спираль имеет вид форма r = аб ^θ . Они изображены ниже.

Общая окружность с центром на полюсе получается из уравнения r = c , где c является константой. Окружность, пересекающая полюс один раз, получается из уравнения r = a sin( θ ) или r = a cos( θ ), с диаметром a . Пример объяснил раньше это окружность, которая однажды пересекала начало координат.

Поскольку полярные уравнения часто содержат тригонометрические функции, их графики часто повторяются. сами (тригонометрические функции периодические). В таких случаях весь график можно проследить в небольшом интервале значений θ . Как правило, период заданной тригонометрической функции достаточно, чтобы проследить весь график, но иногда это не так.

Самый безопасный способ построения графика полярного уравнения — это рисовать точки до тех пор, пока вы не почувствуете, что это такое. график выглядит так. Все подсказки в этом разделе лишь помогают в наброске графика полярное уравнение.

Исчисление II — Полярные координаты

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление II / Параметрические уравнения и полярные координаты / Полярные координаты

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Уведомление для мобильных устройств

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 9.6: Полярные координаты

До этого момента мы имели дело исключительно с декартовыми (или прямоугольными, или x-y ) система координат. Однако, как мы увидим, это не всегда самая простая система координат для работы. Итак, в этом разделе мы начнем рассматривать полярную систему координат.

Системы координат на самом деле не более чем способ определения точки в пространстве. Например, в декартовой системе координат точке заданы координаты \(\left({x,y} \right)\), и мы используем это для определения точки, начиная с начала координат, а затем перемещая \(x\) единиц по горизонтали, за которыми следуют \(y\) единиц по вертикали. Это показано на эскизе ниже.

Однако это не единственный способ определить точку в двухмерном пространстве. Вместо того, чтобы двигаться вертикально и горизонтально от начала координат, чтобы попасть в точку, мы могли бы вместо этого идти прямо из начала координат, пока не попадем в точку, а затем определить угол, который эта линия образует с положительной осью \(x\). Затем мы могли бы использовать расстояние точки от начала координат и величину поворота от положительной оси \(x\) в качестве координат точки. Это показано на эскизе ниже.

Координаты в этой форме называются полярными координатами .

Приведенное выше обсуждение может привести к мысли, что \(r\) должно быть положительным числом. Однако мы также допускаем, что \(r\) может быть отрицательным. Ниже приведен эскиз двух точек \(\left( {2,\frac{\pi }{6}} \right)\) и \(\left( { — 2,\frac{\pi }{6} } \верно)\).

Из этого наброска видно, что если \(r\) положительно, то точка будет в том же квадранте, что и \(\theta \). С другой стороны, если \(r\) отрицательно, точка окажется в квадранте, точно противоположном \(\theta\). Обратите также внимание, что координаты \(\left( { — 2,\frac{\pi }{6}} \right)\) описывают ту же точку, что и координаты \(\left( {2,\frac{{7 \pi }}{6}} \right)\) делать. Координаты \(\left( {2,\frac{{7\pi }}{6}} \right)\) говорят нам повернуть на угол \(\frac{{7\pi }}{6}\ ) от положительной оси \(x\), это поместит нас на пунктирную линию на рисунке выше, а затем отойдите на расстояние 2,

Это приводит к важному различию между декартовыми координатами и полярными координатами. В декартовых координатах существует ровно один набор координат для любой заданной точки. С полярными координатами это не так. В полярных координатах существует буквально бесконечное количество координат для данной точки. Например, следующие четыре точки являются координатами одной и той же точки.

\[\left( {5,\frac{\pi }{3}} \right) = \left( {5, — \frac{{5\pi }}{3}} \right) = \left( { — 5,\frac{{4\pi }}{3}} \right) = \left( { — 5, — \frac{{2\pi }}{3}} \right)\]

Вот эскиз углов, используемых в этих четырех наборах координат.

Во второй паре координат мы вращались по часовой стрелке, чтобы попасть в точку. Не следует забывать и о вращении по часовой стрелке. Иногда это то, что мы должны делать.

Последние две пары координат используют тот факт, что если мы окажемся в квадранте, противоположном точке, мы можем использовать отрицательное \(r\), чтобы вернуться к точке, и, конечно же, есть как против часовой стрелки, так и против часовой стрелки. вращение по часовой стрелке, чтобы получить угол.

Эти четыре точки представляют только координаты точки без вращения вокруг системы более одного раза. Если мы позволим углу сделать столько полных оборотов вокруг системы координат, сколько мы хотим, тогда будет бесконечное количество координат для одной и той же точки. На самом деле точка \(\left( {r,\theta} \right)\) может быть представлена ​​любой из следующих пар координат.

\[\left( {r,\theta + 2\pi n} \right)\hspace{0,25 дюйма}\hspace {0,25 дюйма}\left( { — r,\theta + \left( {2n + 1} \ right)\pi } \right),\hspace{0,25 дюйма}\,\,\,\,\,{\mbox{где }}n{\mbox{ — любое целое число}}{\mbox{. }}\ ]

Далее следует поговорить о начале системы координат. В полярных координатах начало координат часто называют полюсом . Поскольку на самом деле мы не удаляемся от начала/полюса, мы знаем, что \(r = 0\). Однако мы по-прежнему можем вращать систему под любым углом, поэтому координаты начала координат/полюса равны \(\left({0,\theta} \right)\).

Теперь, когда мы разобрались с полярными координатами, нам нужно подумать о преобразовании между двумя системами координат. Что ж, начнем со следующего эскиза, напоминающего нам, как работают обе системы координат. 92}} \]

Обратите внимание, что технически у нас должен быть плюс или минус перед корнем, поскольку мы знаем, что \(r\) может быть как положительным, так и отрицательным. Здесь мы будем использовать условное обозначение положительного \(r\).

Получить уравнение для \(\theta \) почти так же просто. Начнем с

. \[\frac{y}{x} = \frac{{r\sin\theta}}{{r\cos\theta}} = \tan\theta\]

Взятие арктангенса обеих сторон дает, 9{ — 1}} \ влево ( {\ гидроразрыва {у} {х}} \ вправо) \]

С этим нужно быть осторожным, потому что арктангенсы возвращают значения только в диапазоне \( — \frac{\pi }{2} < \theta < \frac{\pi }{2}\). Напомним, что существует второй возможный угол, и что второй угол определяется выражением \(\theta + \pi \).

Обобщение дает следующие формулы для преобразования декартовых координат в полярные координаты.

Формулы преобразования декартовых координат в полярные 9{ — 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\hspace{0,35 дюйма}\mbox{ИЛИ}\hspace{0,35 дюйма}\theta_{2} = \theta_{1} + \пи\конец{выравнивание*}\]

Давайте рассмотрим быстрый пример.

Пример 1 Преобразуйте каждую из следующих точек в заданную систему координат.

1. Преобразование \(\left( { — 4,\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) в декартовы координаты.
2. Преобразование \(\left( { — 1,-1} \right)\) в полярные координаты.

Показать все решения Скрыть все решения

a Преобразуйте \(\left( { — 4,\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) в декартовы координаты. Показать решение

Это преобразование достаточно простое. Все, что нам нужно сделать, это подставить точки в формулы.

\[\begin{align*}x & = — 4\cos \left( {\frac{{2\pi}}{3}} \right) = — 4\left({ — \frac{1}{2 }} \right) = 2\\ y & = — 4\sin \left( {\frac{{2\pi}}{3}} \right) = — 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = — 2\sqrt 3 \end{align*}\] 9{ — 1}}\влево( 1 \вправо) = \ гидроразрыва {\pi} {4}\]

Однако это неправильный угол. Это значение \(\theta \) находится в первом квадранте, а точка, которую мы получили, находится в третьем квадранте. Как отмечалось выше, мы можем получить правильный угол, добавив \(p\) к нему. Следовательно, фактический угол равен

. \[\ theta = \ frac {\ pi} {4} + \ pi = \ frac {{5 \ pi}} {4} \]

Итак, в полярных координатах точка равна \(\left( {\sqrt 2 ,\frac{{5\pi}}{4}} \right)\). Обратите также внимание, что мы могли бы использовать первое \(\theta\), которое мы получили, используя отрицательное \(r\). В этом случае точка также может быть записана в полярных координатах как \(\left( { — \sqrt 2 ,\frac{\pi }{4}} \right)\). 92}\cos\theta\sin\theta\end{align*}\]

b Преобразование \(r = — 8\cos \theta \) в декартовы координаты. Показать решение

Этот немного сложнее, но ненамного. Во-первых, обратите внимание, что мы можем заменить \(r\) прямым. Однако нет прямой замены косинуса, которая даст нам только декартовы координаты. Если бы у нас была \(r\) справа вместе с косинусом, мы могли бы сделать прямую замену. Итак, если \(r\) с правой стороны было бы удобно, давайте поместим его туда, только не забудьте поставить его и с левой стороны. 92} & = 16\конец{выравнивание*}\]

Итак, это была окружность радиуса 4 с центром \(\left( { — 4,0} \right)\).

Это подводит нас к последней теме этого раздела.

Общие графики в полярных координатах

Давайте определим несколько наиболее распространенных графиков в полярных координатах. Мы также рассмотрим пару специальных полярных графиков.

Линии
Некоторые линии имеют довольно простые уравнения в полярных координатах.

9{ — 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right) & = \beta \\ \frac{y}{x} & = \tan \beta \\ y & = \left({ \tan \beta } \right)x\end{align*}\]

Это линия, проходящая через начало координат и образующая угол \(\beta\) с положительной осью \(x\). Или, другими словами, это линия, проходящая через начало координат с наклоном \(\tan \beta\).

1. \(r\cos\тета = а\)
   Это достаточно легко преобразовать в декартовы координаты в \(x = a\). Итак, это вертикальная линия.
2. \(r\sin\тета = b\)
   Точно так же это преобразуется в \(y = b\) и является горизонтальной линией.

Пример 3. График \(\theta = \frac{{3\pi }}{4}\), \(r\cos \theta = 4\) и \(r\sin \theta = — 3\) на одном и том же система осей.

Показать решение

В этом нет ничего особенного, кроме построения графика, так что вот он.

Круги
Давайте посмотрим на уравнения окружностей в полярных координатах.

1. \(г = а\).
   Это уравнение говорит о том, что независимо от того, какой угол у нас есть, расстояние от начала координат должно быть \(a\). Если подумать, то это точное определение окружности радиуса \(a\) с центром в начале координат.

   Итак, это окружность радиуса \(a\) с центром в начале координат. Это также одна из причин, по которой мы можем захотеть работать в полярных координатах. Уравнение окружности с центром в начале координат имеет очень красивое уравнение, в отличие от соответствующего уравнения в декартовых координатах.

2. \(r = 2a\cos\theta\).
   Мы рассмотрели конкретный пример одного из них, когда преобразовывали уравнения в декартовы координаты.

   Это круг с радиусом \(\left| a \right|\) и центром \(\left( {a,0} \right)\). Обратите внимание, что \(a\) может быть отрицательным (как это было в нашем примере выше), поэтому на радиусе требуются полосы абсолютного значения. Однако их не следует использовать в центре.

3. \(r = 2b\sin\тета\). 92}} \) и по центру \(\left( {a,b} \right)\). Другими словами, это общее уравнение окружности, центр которой не находится в начале координат.

Пример 4 График \(r = 7\), \(r = 4\cos \theta \) и \(r = — 7\sin \theta \) на одной и той же системе координат.

Показать решение

Первый представляет собой окружность радиусом 7 с центром в начале координат. Второй — это круг радиуса 2 с центром в точке \(\left({2,0} \right)\). Третий — это круг радиуса \(\frac{7}{2}\) с центром в \(\left( {0, — \frac{7}{2}} \right)\). Вот график трех уравнений.

Обратите внимание, что для полного графика \(r = a\) требуется диапазон \(0 \le \theta \le 2\pi \), и только диапазон \(0 \le \theta \ le \pi \) для построения других кругов, приведенных здесь. Вы можете проверить это с помощью быстрой таблицы значений, если хотите.

Кардиоиды и лимаконы
Их можно разделить на следующие три случая.

1. Кардиоиды: \(r = a \pm a\cos \theta \) и \(r = a \pm a\sin \theta \).
   У них есть график, который имеет смутную форму сердца и всегда содержит начало координат.
2. Limacons с внутренней петлей: \(r = a \pm b\cos \theta \) и \(r = a \pm b\sin \theta \) с \(a Они будут иметь внутренний цикл и всегда будут содержать начало координат.
3. Лимаконы без внутренней петли: \(r = a \pm b\cos \theta \) и \(r = a \pm b\sin \theta \) с \(a > b\).
   Они не имеют внутреннего цикла и не содержат начало координат.

Пример 5 График \(r = 5 — 5\sin \theta \), \(r = 7 — 6\cos \theta \) и \(r = 2 + 4\cos \theta \).

Показать решение

Все они будут отображаться один раз в диапазоне \(0 \le \theta \le 2\pi \). Вот таблица значений для каждого, за которой следуют графики каждого.

И последнее, что нам нужно сделать в этом разделе.