Разное

Показательная интегральная функция: Интегральная показательная функция — Циклопедия

{- \ gamma} \ end {align}}}
с является постоянной Эйлера-Mascheroni .γ{\ displaystyle \ gamma}

Содержание

Приложения

  • Зависящая от времени теплопередача
  • Неравновесный поток грунтовых вод в растворе Тейса (называемый скважинной функцией )
  • Перенос излучения в атмосфере звезды и планеты
  • Уравнение радиальной диффузии для переходного или нестационарного потока с линейными источниками и стоками
  • Решения уравнения переноса нейтронов в упрощенных 1-D геометриях

Смотрите также

Заметки

Ссылки

  • Абрамовиц, Милтон; Ирен Стегун (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Абрамовиц и Стегун . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61272-0., Глава 5 .
  • Бендер, Карл М .; Стивен А. Орзаг (1978). Передовые математические методы для ученых и инженеров . Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-004452-4.
  • Блейстейн, Норман; Ричард А. Хандельсман (1986). Асимптотические разложения интегралов . Дувр. ISBN 978-0-486-65082-1.
  • Басбридж, Ида В. (1950). «Об интегро-экспоненциальной функции и вычислении некоторых интегралов с ее участием». Кварта. J. Math. (Оксфорд) . 1 (1): 176–184. Bibcode : 1950QJMat ... 1..176B . DOI : 10.1093 / qmath / 1.1.176 .
  • Станкевич, А. (1968). «Таблицы интегро-экспоненциальных функций». Acta Astronomica . 18 : 289. Bibcode : 1968AcA .... 18..289S .
  • Шарма, Р.Р .; Зохури, Бахман (1977). «Общий метод точного вычисления экспоненциальных интегралов E 1 (x), x> 0». J. Comput. Phys . 25 (2): 199–204. Bibcode : 1977JCoPh..25..199S . DOI : 10.1016 / 0021-9991 (77) 90022-5 .
  • Кёльбиг, KS (1983). «Об интеграле exp (- μt ) t ν − 1 log m t  dt » . Математика. Comput . 41 (163): 171–182. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1983-0701632-1 .
  • Милгрэм, MS (1985). «Обобщенная интегро-экспоненциальная функция» . Математика вычислений . 44 (170): 443–458. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1985-0777276-4 . JSTOR  2007964 . Руководство по ремонту  0777276 .
  • Мишра, Рама Дхар; Родился М. (1940). «Об устойчивости кристаллических решеток. II».
    Математические труды Кембриджского философского общества
    . 36 (2): 173. Bibcode : 1940PCPS ... 36..173M . DOI : 10.1017 / S030500410001714X .
  • Chiccoli, C .; Lorenzutta, S .; Майно, Г. (1988). «Об вычислении обобщенных экспоненциальных интегралов E ν (x)». J. Comput. Phys . 78 (2): 278–287. Bibcode : 1988JCoPh..78..278C . DOI : 10.1016 / 0021-9991 (88) 90050-2 .
  • Chiccoli, C .; Lorenzutta, S .; Майно, Г. (1990). «Недавние результаты для обобщенных экспоненциальных интегралов». Компьютерная математика. Applic . 19 (5): 21–29. DOI : 10.1016 / 0898-1221 (90) 90098-5 .
  • МакЛауд, Аллан Дж. (2002). «Эффективное вычисление некоторых обобщенных экспоненциальных интегралов» . J. Comput. Appl. Математика . 148 (2): 363–374. Bibcode : 2002JCoAm.138..363M . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (02) 00556-3 .
  • Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.3. Экспоненциальные интегралы» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений
    (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • Темме, Н.М. (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусные интегралы» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248

внешняя ссылка

Интегральные показательные функции - Энциклопедия по машиностроению XXL

По таблицам для интегральной показательной функции находим, что значение аргумента —г /(Ш) = — 0,Ь5 [c.164]

Ei — интегральная показательная функция  [c.7]

Здесь Jo(x) — функция Бесселя нулевого порядка /Со(х) — функция Макдональда нулевого порядка и Е1(х)— интегральная показательная функция.  [c.93]

Рис. 4-10. Интегральная показательная функция.

Здесь =-(-2-1-1 —е (см. (1.65)), Е1 (г)—интегральная показательная функция от комплексного аргумента г (см., например,  
[c.69]

Интегрально-показательные функции связаны с неполной гам- ла-функцией. Действительно, после замены переменной интегрирования у — 11т получаем  [c.41]

Здесь С = 0.5772156649015325 — постоянная Эйлера, а пустая сумма, т.е. сумма при верхнем пределе, большем нижнего (эта сумма возникает при п = 1), считается равной нулю. Таким образом, интегрально-показательная функция целого порядка п = 1,2,... имеет при г = О разрыв в производной порядка, на единицу меньшего. В частности, функция Е1 т) сама при г — О стремится к бесконечности, как — 1пг.  [c.42]

СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ  [c.538]

Разделив переменные и проинтегрировав уравнения (4.39) с помощью интегральной показательной функции [166], придем к следующим уравнениям  [c.142]

Здесь Е/ (— ) —интегральная показательная функция от аргумента С -  [c.142]

Интегрирование уравнений (4.48) с помощью интегральной показательной функции дает следующие решения  

[c.148]

Решение уравнений (4.56) о помощью интегральной показательной функции приводит к следующим зависимостям в направлении оси X  [c.150]

По таблицам для интегральной показательной функции находим, что зна-  [c.410]

Здесь Ei( o- )—интегральная показательная функция, и(312, 3/2, ад ) — вырожденная гипергеометрическая функция второго рода, С —неопределенная постоянная она определяется только из решения задачи в целом и зависит от скорости распространения разреза, а также является функцией параметров внешней нагрузки.  [c.408]

Функцию 1 1(1, 1, г) можно выразить также через интегральную показательную функцию [3].  [c.125]

Интегральные показательные функции Еп (дг)  [c.473]

Интегральная показательная функция Еп(х) для целых положительных л и действительных положительных х определяется интегралом  [c.473]

Уравнение (ПЛ) показывает, что все интегральные показательные функции могут быть выражены через Ег (дс). Однако при решении задач о переносе нейтронов удобно пользоваться табулированными функциями Еп (л ) [5, 6] для л = 2, 3, 4.  

[c.474]

Решение выражается через интегральную показательную функцию Е1 в(г, r)X/qi=(l/4к)Ei(rУ4a ).  [c.25]

Интегрально-показательные функции подчиняются двучленному рекуррентному соотношению, которое получается путем интегрирования в интеграле (21) по частям aEaj.i(r)-h тВа(т) = Взятие производной по аргументу понижает порядок функции  [c.43]

Эта табулированная функция называется интегральным экспоненциалом, или интегральной показательной функцией.  [c.129]


Интеграл вероятности — Студопедия

x erf(x) x erf(x) x erf(x) x erf(x)
0,000 0,0000 0,400 0,4283 1,250 0,9229 2,250 0,9985
0,020 0,0225 0,420 0,4474 1,300 0,9340 2,300 0,9988
0,040 0,0451 0,440 0,4662 1,350 0,9437 2,350 0,9991
0,060 0,0676 0,460 0,4846 1,400 0,9522 2,400 0,9993
0,080 0,0900 0,480 0,5027 1,450 0,9597 2,450 0,9994
0,100 0,1124 0,500 0,5205 1,500 0,9661 2,500 0,9995
0,120 0,1347 0,550 0,5633 1,550 0,9716 2,550 0,9996
0,140 0,1569 0,600 0,6038 1,600 0,9763 2,600 0,9997
0,160 0,1790 0,650 0,6420 1,650 0,9803 2,650 0,9998
0,180 0,2009 0,700 0,6778 1,700 0,9837 2,700 0,9998
0,200 0,2227 0,750 0,7111 1,750 0,9866 2,750 0,9999
0,220 0,2443 0,800 0,7421 1,800 0,9890 2,800 0,9999
0,240 0,2657 0,850
0,7706
1,850 0,9911 2,850 0,9999
0,260 0,2869 0,900 0,7969 1,900 0,9927 2,900 0,9999
0,280 0,3078 0,950 0,8208 1,950 0,9941 2,950 0,9999
0,300 0,3286 1,000 0,8427 2,000 0,9953 3,000 0,9999
0,320 0,3491 1,050 0,8624 2,050 0,9962 1,0000
0,340 0,3693 1,100 0,8802 2,100 0,9970  
 
0,360 0,3893 1,150 0,8961 2,150 0,9976    
0,380 0,4090 1,200 0,9103 2,200 0,9981    

7.2. Интегральная показательная функция E1(x) = -Ei(-x)


x E1(x) x E1(x) x E1(x) x E1(x)
0,010 4,037 0,078 2,050 0,560 0,493 3,40 0,00789
0,012 3,857 0,080 2,026 0,580 0,473 3,60 0,00616
0,014 3,705 0,082 2,004 0,600 0,454 3,80 0,00482
0,016 3,573 0,084 1,982 0,620 0,436 4,00 0,00377
0,018 3,458 0,086 1,960 0,640 0,419 4,20 0,00296
0,020 3,354 0,088 1,939 0,660 0,403 4,40 0,00233
0,022 3,261 0,090 1,918 0,680 0,388 4,60 0,00184
0,024 3,176 0,092 1,898 0,700 0,373 4,80 0,00145
0,026 3,098 0,094 1,879 0,720 0,359 5,00 0,00114
0,028 3,026 0,096 1,859 0,740 0,346 5,20 0,00090
0,030 2,959 0,098 1,841 0,760 0,334 5,40 0,00071
0,032 2,896 0,100 1,822 0,780 0,322 5,60 0,00057
0,034 2,837 0,120 1,659 0,80 0,310 5,80 0,00045
0,036 2,782 0,140 1,524 0,82 0,299 6,00 0,00036
0,038 2,730 0,160 1,409 0,84 0,289 6,20 0,00028
0,040 2,681 0,180 1,309 0,86 0,279 6,40 0,00022
0,042 2,634 0,200 1,222 0,88 0,269 6,60 0,00018
0,044 2,589 0,220 1,145 0,90 0,260 6,80 0,00014
0,046 2,547 0,240 1,076 0,92 0,251 7,0 1,15 10-4
0,048 2,506 0,260 1,013 0,94 0,242 7,2 9,21 10-5
0,050 2,467 0,280 0,957 0,96 0,234 7,4 7,36 10-5
0,052 2,430 0,300 0,905 0,98 0,226 7,6 5,88 10-5
0,054 2,394 0,320 0,858 1,00 0,219 7,8 4,70 10-5
0,056 2,360 0,340 0,814 1,20 0,158 8,0 3,76 10-5
0,058 2,327 0,360 0,774 1,40 0,116 8,2 3,01 10-5
0,060 2,295 0,380 0,737 1,60 0,0863 8,4 2,41 10-5
0,062 2,264 0,400 0,702 1,80 0,0647 8,6 1,93 10-5
0,064 2,234 0,420 0,669 2,00 0,0489 8,8 1,55 10-5
0,066 2,205 0,440 0,639 2,20 0,0371 9,0 1,24 10-5
0,068 2,177 0,460 0,611 2,40 0,0284 9,2 9,99 10-6
0,070 2,150 0,480 0,584 2,60 0,0218 9,4 8,02 10-6
0,072 2,124 0,500 0,559 2,80 0,0168 9,6 6,44 10-6
0,074 2,099 0,520 0,536 3,00 0,0130 9,8 5,17 10-6
0,076 2,074 0,540 0,514 3,20 0,0101    

При значениях x < 0,01 справедлива формул E1(x) ≈ ln(1/x)-0,5772.


ОГЛАВЛЕНИЕ

1. 1. Неустановившееся движение упругой жидкости в упругой пористой среде 1

1.1. Особенности проявления упругого режима 1

1.2. Упругий запас 2

1.3. Дифференциальное уравнение упругого режима 3

1.4. Точные решения некоторых задач упругого режима 5

4.1.1. Приток упругой жидкости к галерее при постоянном перепаде давлений 5

4.1.2. Приток упругой жидкости к галерее при постоянном расходе 10

4.1.3. Приток упругой жидкости к скважине при постоянном расходе. Основная формула теории упругого режима 10

1.5. Интерференция скважин и в условиях упругого режима 15

1.6. Расчет распределения давления при переменном во времени расходе или давлении на забое 18

1.7. Исследование скважин на нестационарных режимах 19

1.8. Приближенные методы решения задач упругого режима 22

8.1.1. Метод последовательной смены стационарных состояний 22

8.1.2. Приток упругой жидкости к с постоянным расходом 23

8.1.3. Приток упругой жидкости к галерее с постоянным давлением 25

8.1.4. Приток упругой жидкости к скважине с постоянным расходом 27

1.9. Примеры и задачи 29

2. 2. Неустановившаяся фильтрация газа в пористой среде 31

2.1. Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации газа в пористой 31

2.2. нестационарный Приток газа к скважине работающей с постоянным расходом 32

2.3. Исследование газовых скважин на нестационарных режимах 33

2.4. Примеры и задачи 35

3. 3. Взаимное вытеснение несмешивающихся жидкостей. 36

3.1. Обобщенный закон Дарси 36

3.2. Капиллярное давление 41

3.3. Уравнение неразрывности несмешивающих жидкостей 42

3.4. Теория Баклея - Леверетта 45

3.5. Определение фронтальной и средней насыщенности 52

3.6. Примеры и задачи 53

4. 4. Гидродинамические методы повышения нефте- и газоотдачи пластов 54

5. 5. Программа курса “Подземная гидромеханика” 55

6. 6. Контрольные задания 57

7. 7. Приложения 74

7.1. Интеграл вероятности 74

7.2. Интегральная показательная функция E1(x) = -Ei(-x) 75


Учебное издание

Пятибрат Владимир Павлович

Подземная гидромеханика

Учебное пособие.

Редактор И.А. Безродных

Лицензии ЛР № 020827 от 29.09.1998

План 200 г., позиция 7. Подписано в печать 12.11.2002 г.

Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2.7, Уч.-изд. л. 2.4. Тираж 150 экз. Заказ №

© Ухтинский государственный технический университет.

169300, г. Ухта, ул. Первомайская 13.

Отдел оперативной полиграфии УГТУ.

169300, г. Ухта, ул. Октябрьская 13

Глава 2. Интегральные функции

§ 1. НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ

Неполные гамма-функции определяются формулами:

 

 

 

 

 

γ (α, z)= ∫z tα−1e−t dt, Reα > 0,

 

 

arg z

 

 

<π ,

 

 

 

 

 

(2.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Γ(α, z)= +∞∫tα−1e−t dt, Reα > 0,

 

arg z

 

<π .

 

 

 

 

 

(2.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти функции были введены Лежандром для действительных значений z .

Они также рассматривались Примом , который использовал обозначения

 

 

 

P(x,α)=γ (α, x), x > 0 ; Q(x,α)= Γ(α, x), x > 0.

 

 

 

 

 

Очевидно, P(x,α)+Q(x,α)= Γ(α), Γ(α, z)+γ (α, z)= Γ(α).

 

 

 

 

 

Разложим e−t

 

 

в ряд по степеням t и подставим в формулы (2.1),

(2.2).

Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z ∞

k

t

α−1+k

−1)

k

z

 

 

 

(−1)

k

 

z

α+k

(−1)

k

z

k

 

γ (α, z)= ∫∑

(−1)

 

 

 

dt

= ∑(

 

∫tα−1+k dt = ∑

 

 

 

 

 

 

 

= zα ∑

 

 

,

 

k!

 

k!

 

 

 

 

k!(α + k )

k!(α + k )

0 k=0

 

 

k=0

 

0

z

k=0

 

 

 

k=0

 

Γ(α, z)

= Γ(α)− zα ∑

(−1)

k

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=0 k!(α + k )

Рекуррентные формулы

γ (α +1, z)=αγ (α, z)− zαe−z , Γ(α +1, z)=αΓ(α, z)+ zαe−z

выводятся так же, как первое функциональное уравнение для гамма-функции. С их помощью можно распространить неполные гамма-функции в левую полуплоскость Reα < 0. При этом функция γ (α, z)окажется мероморфной

функцией с полюсами в точках α = 0,−1,−2,.... Функция Γ(α, z) является целой

функцией переменной α , однако, за исключением случая, когда α - целое число, она является многозначной функцией переменной z с точкой ветвления z = 0 .

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ

Пусть z , arg z (−π,π]. Интегральная показательная функция

определяется формулой

def

z

e

t

 

arg(−z)

 

 

Ei(z)=

 

dt,

<π .

(2.3)

 

−∞

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл в (2.4) берется по произвольному пути L, ведущему из бесконечно удаленной точки в точку z плоскости комплексного переменного t, разрезанной по положительной части действительной оси. Например, в качестве L может

быть взят луч {t : −∞ < Ret < Re z, Imt = Im z}. Поскольку подынтегральная

функция является аналитической в плоскости с разрезом, то значение интеграла не зависит от выбора пути L и функция Ei(z) является аналитической.

Если z = x < 0, то

def

x

e

t

dt, x < 0.

(2.5)

Ei(x)=

 

 

−∞

t

 

 

Теорема 1. Имеет место представление

z

k

 

 

 

 

 

Ei(z)=γ + ln(−z)+ ∑

 

,

 

arg(−z)

 

<π ,

 

 

 

k!k

k=1

 

 

 

 

 

где γ – постоянная Эйлера.

Доказательство. Представим интеграл в определении Ei(z) образом:

Ei(z)= −∫1 et

dt + ∫0 et −1dt + ∫z et −1dt + ∫z dt .

−∞ t

−1 t

0

t

−1 t

Полагая t = −1u в первом интеграле и t = −u во втором, получаем

−∫1 et

dt + ∫0 et −1dt = ∫1 1−e−u −e−1 u du =γ .

−∞ t

−1 t

0

u

В третьем интеграле разложим подынтегральную функцию в ряд и проинтегрируем ряд почленно

z

e

t

 

z

k−1

z

k

 

∫0

 

−1dt =

 

∑t

 

dt = ∑

 

, z .

 

 

k!

k!k

 

 

t

∫0 k=1

 

k=1

 

Очевидно, ∫z dt = ln(−z). Получаем формулу (2.6).

−1 t

Следствие. Ei(−1)=γ + ∑∞ (−(1)k). k=1 k k!

На верхнем и нижнем берегах разреза

Ei(x ±i0)= Ei1(x) πi, x > 0 ,

где

 

Ei (x)= 1

Ei(x +i0)+ Ei

(x −i0)

=γ + ln x + ∞

xk

, x > 0 .

(2.7)

 

 

 

1

2

 

 

∑k=1 k!k

 

 

Функция

Ei1 (x)

называется

модифицированной

интегральной

показательной

функцией и является

продолжением

функции

Ei(x),

определенной лишь при отрицательных значениях аргумента, положительные значения. Часто ее также обозначают Ei(x).

График функции Ei1 (x) изображен на рис.2.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

et

 

 

 

 

−ε

et

 

 

x

et

 

 

 

 

 

 

 

Предложение.

Ei1 (x)= v.p. ∫

t

dt =

εlim→+0

t

dt + ∫

t

dt

, x > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

−∞

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−ε

et

 

 

x

et

 

 

 

= limε→0

 

−1

et

 

 

 

 

 

−ε

et −1

 

−ε 1

 

 

 

x et

−1

 

x

1

 

 

limε→0

t

dt + ∫

t

 

dt

 

 

t

dt + ∫

 

t

 

dt + ∫

dt + ∫

t

 

dt + ∫

t

dt

=

−∞

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

−1 t

 

 

 

ε

 

 

 

ε

 

 

 

= limε→0

 

−1

et

 

 

 

−ε

et −1

 

+ limε→0

 

−ε

1

 

x

1

 

 

+ limε→0

x

et −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

dt + ∫

 

 

t

dt

 

 

 

dt + ∫

t

dt

 

 

t

dt =

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1 t

 

 

ε

 

 

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

t

−1dt =γ + ln x +

z

 

t

 

−1dt =γ + ln x +

x

 

 

k−1

 

 

 

 

 

 

=γ + ln x +

∫0

e

 

 

 

e

 

 

 

 

∑t

k!

dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫0

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

∫0 k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=γ + ln x + ∑

 

 

 

= Ei1 (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1

 

k!k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегральный логарифм определяется как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Li(z)=

∫ dt , arg z

<π, arg(1− z) <π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

def

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

lnt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрирование ведется по любому пути L, ведущему из начала координат в

точку z на плоскости комплексного переменного t, разрезанной по интервалам

(−∞,0),

(1,+∞) действительной оси.

В указанной

области

функция Li(z)

является аналитической.

 

 

 

Сделаем замену переменной

u = lnt . Тогда

плоскость с разрезами

перейдет в полосу

 

Imu

 

<π , разрезанную по интервалу (0,+∞)

действительной

 

 

оси, а формула (2.9) перейдет в формулу

 

 

 

 

 

 

 

Li(z)= ln∫z eu du ,

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ u

 

 

 

т.е. получаем соотношение

 

 

 

 

 

 

Li(z)= Ei(ln z).

 

 

(2.10)

Заменяя в формуле (2.6) z на ln z , получаем разложение

Свойства интегральной функции распределения

Свойство 1. Областью определения функции является все множество действительных чисел

.

Доказательство.

Свойство 2. Областью изменения функции является промежуток от нуля до единицы

Доказательство.

Свойство 3. Предел интегральной функции при равен единице; предел интегральной функции приравен нулю

Доказательство. Из определения интегральной функции распределения следует, что равенство равносильно. Поэтому

.

Так как событие , состоит в том, что случайная величинав результате исхода испытания примет какое-то действительное число, является событием достоверным.

Свойство 4. Интегральная функция распределения является неубывающей функцией.

Доказательство. Выберем два действительных произвольных числа итак, чтобы.

Применив теорему сложения для несовместных событий, находим

или с учетом определения интегральной функции распределения имеем

. (1)

Так как , то из равенства (1) получаем равенство

.

Таким образом, доказано, что для любых значений и, для которых имеет место неравенство, выполняется неравенство

,

следовательно, функция неубывающая на всей числовой прямой.

Свойство 5. Вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка определяется по формуле

, (2)

т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение из промежутка , равна приращению интегральной функции распределения на этом промежутке.

Доказательство. Формула (2) следует из формулы (1).

Прежде, чем сформулировать остальные свойства интегральной функции распределения, уточним определение непрерывной случайной величины.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если ее интегральная функция распределения непрерывно дифференцируема.

Рассмотрим теперь свойства интегральной функции распределения, которые справедливы лишь для непрерывных случайных величин.

Свойство 6. Если случайная величина непрерывна, то вероятность того, что она примет любое отдельное возможное значениеравна нулю

.

Доказательство.

Свойство 7. Если случайная величина непрерывна, то имеют место равенства

.

Доказательство.

Рассмотрим графики интегральной функции распределения.

слева и имеет разрыв справа. Величина скачка равна вероятности соответствующего значения случайной величины.

.

Пример. Дискретная случайная величина задана таблицей

-1

1

3

0,3

3

0,5

Найти интегральную функцию распределения вероятностей и построить ее график.n}{n!\cdot n}, \; |\arg(-z)|<\pi, \;(2)</math>

Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от <math>z</math>, но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку <math>t=0</math>, в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно <math>1/t</math>. Таким образом, функция <math>\operatorname{Ei}(z)</math> является многозначной, а особая точка <math>z=0</math> является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией <math>\operatorname{ln}z</math>, различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном <math>z</math>) кратно <math>2\pi i</math>.

Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) <math>\operatorname{Ei}</math>, соответствующую главной ветви <math>\operatorname{ln}</math> в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для <math>\operatorname{ln}z</math> (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции <math>\operatorname{Ei}(z)</math>. Фиксируем также и главную ветвь аргумента: <math>-\pi<\operatorname{arg}z\le\pi</math> и далее будем считать, что <math>\operatorname{Ei}</math> — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение <math>\operatorname{Ei}</math> при вычислении интегралов

Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию <math>\operatorname{Ei}</math> и элементарные функции.[1]

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функци рассмотрим (предполагая, что <math>b>0</math>)

<math> \int\limits_0^{+\infty}\frac{e^{ibx}\mathrm dx}{x+iz}= \begin{cases} -e^{bz}\operatorname{Ei}(-bz),& \operatorname{arg}z\not\in[\pi/2,\pi],\\ -e^{bz}\left[\operatorname{Ei}(-bz)-2\pi i\right],& \operatorname{arg}z\in(\pi/2,\pi).{-bz}\left[\operatorname{Ei}(bz) +\pi i\operatorname{sign}\Im z\right]\right\},\;b>0,\; \Re z\ne 0.\;(5) </math>

Формулу (3) для <math>b>0</math> и <math>y>0</math> можно получить, положив <math>z=y\pm i0</math> в (5).

Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова[2], однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений <math>z</math> и при условии, что для функции <math>\operatorname{Ei}</math> используется определение (1).

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа <math>\operatorname{Ei}</math> вместо <math>\operatorname{Ei}_1</math>) нельзя полностью доверять также и справочникам.

См. также

Напишите отзыв о статье "Интегральная показательная функция"

Примечания

Отрывок, характеризующий Интегральная показательная функция

Все, что видел Пьер направо и налево, было так неопределенно, что ни левая, ни правая сторона поля не удовлетворяла вполне его представлению. Везде было не доле сражения, которое он ожидал видеть, а поля, поляны, войска, леса, дымы костров, деревни, курганы, ручьи; и сколько ни разбирал Пьер, он в этой живой местности не мог найти позиции и не мог даже отличить ваших войск от неприятельских.
«Надо спросить у знающего», – подумал он и обратился к офицеру, с любопытством смотревшему на его невоенную огромную фигуру.
– Позвольте спросить, – обратился Пьер к офицеру, – это какая деревня впереди?
– Бурдино или как? – сказал офицер, с вопросом обращаясь к своему товарищу.
– Бородино, – поправляя, отвечал другой.
Офицер, видимо, довольный случаем поговорить, подвинулся к Пьеру.
– Там наши? – спросил Пьер.
– Да, а вон подальше и французы, – сказал офицер. – Вон они, вон видны.
– Где? где? – спросил Пьер.
– Простым глазом видно. Да вот, вот! – Офицер показал рукой на дымы, видневшиеся влево за рекой, и на лице его показалось то строгое и серьезное выражение, которое Пьер видел на многих лицах, встречавшихся ему.
– Ах, это французы! А там?.. – Пьер показал влево на курган, около которого виднелись войска.
– Это наши.
– Ах, наши! А там?.. – Пьер показал на другой далекий курган с большим деревом, подле деревни, видневшейся в ущелье, у которой тоже дымились костры и чернелось что то.
– Это опять он, – сказал офицер. (Это был Шевардинский редут.) – Вчера было наше, а теперь его.
– Так как же наша позиция?
– Позиция? – сказал офицер с улыбкой удовольствия. – Я это могу рассказать вам ясно, потому что я почти все укрепления наши строил. Вот, видите ли, центр наш в Бородине, вот тут. – Он указал на деревню с белой церковью, бывшей впереди. – Тут переправа через Колочу. Вот тут, видите, где еще в низочке ряды скошенного сена лежат, вот тут и мост. Это наш центр. Правый фланг наш вот где (он указал круто направо, далеко в ущелье), там Москва река, и там мы три редута построили очень сильные. Левый фланг… – и тут офицер остановился. – Видите ли, это трудно вам объяснить… Вчера левый фланг наш был вот там, в Шевардине, вон, видите, где дуб; а теперь мы отнесли назад левое крыло, теперь вон, вон – видите деревню и дым? – это Семеновское, да вот здесь, – он указал на курган Раевского. – Только вряд ли будет тут сраженье. Что он перевел сюда войска, это обман; он, верно, обойдет справа от Москвы. Ну, да где бы ни было, многих завтра не досчитаемся! – сказал офицер.
Старый унтер офицер, подошедший к офицеру во время его рассказа, молча ожидал конца речи своего начальника; но в этом месте он, очевидно, недовольный словами офицера, перебил его.
– За турами ехать надо, – сказал он строго.
Офицер как будто смутился, как будто он понял, что можно думать о том, сколь многих не досчитаются завтра, но не следует говорить об этом.
– Ну да, посылай третью роту опять, – поспешно сказал офицер.
– А вы кто же, не из докторов?
– Нет, я так, – отвечал Пьер. И Пьер пошел под гору опять мимо ополченцев.
– Ах, проклятые! – проговорил следовавший за ним офицер, зажимая нос и пробегая мимо работающих.
– Вон они!.. Несут, идут… Вон они… сейчас войдут… – послышались вдруг голоса, и офицеры, солдаты и ополченцы побежали вперед по дороге.
Из под горы от Бородина поднималось церковное шествие. Впереди всех по пыльной дороге стройно шла пехота с снятыми киверами и ружьями, опущенными книзу. Позади пехоты слышалось церковное пение.
Обгоняя Пьера, без шапок бежали навстречу идущим солдаты и ополченцы.
– Матушку несут! Заступницу!.. Иверскую!..
– Смоленскую матушку, – поправил другой.
Ополченцы – и те, которые были в деревне, и те, которые работали на батарее, – побросав лопаты, побежали навстречу церковному шествию. За батальоном, шедшим по пыльной дороге, шли в ризах священники, один старичок в клобуке с причтом и певчпми. За ними солдаты и офицеры несли большую, с черным ликом в окладе, икону. Это была икона, вывезенная из Смоленска и с того времени возимая за армией. За иконой, кругом ее, впереди ее, со всех сторон шли, бежали и кланялись в землю с обнаженными головами толпы военных.
Взойдя на гору, икона остановилась; державшие на полотенцах икону люди переменились, дьячки зажгли вновь кадила, и начался молебен. Жаркие лучи солнца били отвесно сверху; слабый, свежий ветерок играл волосами открытых голов и лентами, которыми была убрана икона; пение негромко раздавалось под открытым небом. Огромная толпа с открытыми головами офицеров, солдат, ополченцев окружала икону. Позади священника и дьячка, на очищенном месте, стояли чиновные люди. Один плешивый генерал с Георгием на шее стоял прямо за спиной священника и, не крестясь (очевидно, пемец), терпеливо дожидался конца молебна, который он считал нужным выслушать, вероятно, для возбуждения патриотизма русского народа. Другой генерал стоял в воинственной позе и потряхивал рукой перед грудью, оглядываясь вокруг себя. Между этим чиновным кружком Пьер, стоявший в толпе мужиков, узнал некоторых знакомых; но он не смотрел на них: все внимание его было поглощено серьезным выражением лиц в этой толпе солдат и оиолченцев, однообразно жадно смотревших на икону. Как только уставшие дьячки (певшие двадцатый молебен) начинали лениво и привычно петь: «Спаси от бед рабы твоя, богородице», и священник и дьякон подхватывали: «Яко вси по бозе к тебе прибегаем, яко нерушимой стене и предстательству», – на всех лицах вспыхивало опять то же выражение сознания торжественности наступающей минуты, которое он видел под горой в Можайске и урывками на многих и многих лицах, встреченных им в это утро; и чаще опускались головы, встряхивались волоса и слышались вздохи и удары крестов по грудям. 2} \, dx.{−1} \) приводят к абсолютному значению функции натурального логарифма, как показано в следующем правиле.

Правило: основной интеграл, приводящий к натуральной логарифмической функции

Следующая формула может использоваться для вычисления интегралов, в которых степень равна \ (- 1 \), а правило степени не работает.

\ [∫ \ frac {1} {x} \, dx = \ ln | x | + C \]

Фактически, мы можем обобщить эту формулу, чтобы иметь дело со многими рациональными интегрантами, в которых производная знаменателя (или его переменная часть) присутствует в числителе.Помните, что когда мы используем цепное правило для вычисления производной от \ (y = \ ln [u (x)] \), мы получаем:

\ [\ frac {d} {dx} \ left (\ ln [u (x)] \ right) = \ frac {1} {u (x)} \ cdot u '(x) = \ frac {u' (х)} {и (х)} \]

Правило: общие интегралы, приводящие к натуральной логарифмической функции

Это дает нам более общую формулу интегрирования,

\ [∫ \ frac {u '(x)} {u (x)} \, dx = \ ln | u (x) | + C \]

Пример \ (\ PageIndex {10} \): поиск первообразной, включающей \ (\ ln x \)

Найдите первообразную функции \ [\ dfrac {3} {x − 10}.\]

Решение

Сначала разложите \ (3 \) вне интегрального символа. Затем используйте правило \ (u '/ u \). Таким образом,

\ [∫ \ dfrac {3} {x − 10} \, dx = 3∫ \ dfrac {1} {x − 10} \, dx = 3∫ \ dfrac {du} {u} = 3 \ ln | u | + C = 3 \ ln | x − 10 | + C, \ quad x ≠ 10. \ nonumber \]

См. Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Область действия этой функции - \ (x \ neq 10. \)

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Найдите первообразную \ [\ dfrac {1} {x + 2}.{−1} \, dx = \ ln | x | + C \ nonumber \]

\ [∫ \ frac {u '(x)} {u (x)} \, dx = \ ln | u (x) | + C \ nonumber \]

Авторы
  • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами. Этот контент OpenStax находится под лицензией CC-BY-SA-NC 4.0. Загрузите бесплатно с http://cnx.org.

  • Отредактировал Пол Сибургер (Колледж Монро), удаляя темы, требующие интегрирования по частям, и изменяя представление интегралов, приводящих к натуральному логарифму, к другому подходу.Также перемещен пример \ (\ PageIndex {6} \) из предыдущего раздела, где он тоже не поместился.

Экспоненциальные интегралы


Экспоненциальный интеграл Ei определяется как

Ei (x) = ∫ -∞ x (e t / t) dt.

Ei (x) строго отрицательно для x <0 и приближается к 0 как x → -∞ . Интеграл становится отрицательно бесконечным при x = 0 .Для x> 0 интеграл вычисляется с использованием главного значения Коши:

Ei (x) = ∫ -∞ x (e t / t) dt = lim ε → 0 + [∫ -∞ (e t / t) dt + ∫ ε x (e t / t) dt].

Ei (x) становится положительно бесконечным при x → ∞ .
  • double Exponential_Integral_Ei (double x)

    Эта функция возвращает Ei (x) для x ≠ 0 и, если x = 0, , возвращается -DBL_MAX .
  • long double xExponential_Integral_Ei (long double x)

    Эта функция аналогична Exponential_Integral_Ei , за исключением того, что аргумент имеет тип long double и возвращает long double.
Исходный код C доступен для этих подпрограмм:
Весь экспоненциальный интеграл определяется как

Ein (x) = ∫ -∞ x (1 - e -t ) / t dt.

В терминах экспоненциального интеграла Ei (x)

Ein (x) = γ + ln | x | - Ei (-x),

где γ - постоянная Эйлера

γ = lim n → ∞ [& Sigma m = 1 (1 / m) - ln n].

Ein (x) строго отрицательно для x <0 , Ein (x) = 0, при x = 0, и строго положительно для x> 0 .
  • double Exponential_Integral_Ein (double x)

    Эта функция возвращает Ein (x) .
Для этой процедуры доступен исходный код C :
  • Файл exponential_integral_Ein.c содержит функцию Exponential_Integral_Ein () .

    Зависимости: Для функции Exponential_Integral_Ein () помимо файла exponential_integral_Ein.c требуется следующий файл:


Экспоненциальный интеграл Шлёмильха порядка n , n неотрицательное целое число, определяется как

En (x) = ∫ 1 (e -xt / t n ) dt

14, где n х> 0 .

Экспоненциальный интеграл Шлемильха порядка 0 легко интегрируется

E 0 (x) = ∫ 1 e -xt dt. = e -x / x.

Экспоненциальный интеграл Шлемильха порядка 1 легко выражается через экспоненциальный интеграл Ei

E 1 (x) = ∫ 1 e -xt / t dt = -Ei ( -Икс).

Если x <0 , то интегралы расходятся, а если x = 0 , то при n = 0 или 1 интегралы расходятся и если n ≥ 2 , то интеграл E n (0) = 1 / (n - 1) .
  • double Exponential_Integral_En (double x, int n)

    Эта функция возвращает En (x) , если x> 0 . Если x <0 , то возвращается DBL_MAX . Если x = 0 , то если n = 0 или 1 , то возвращается DBL_MAX , иначе для положительного n ≥ 2 возвращается 1 / (n - 1) .
    Обратите внимание, что порядок n должен быть неотрицательным.
Для этой процедуры доступен исходный код C :
  • Файл exponential_integral_En.c, содержит функцию Exponential_Integral_En () .

    Зависимости: Помимо файла exponential_integral_En.c, функции Exponential_Integral_En () требуется следующий файл:


Альфа-экспоненциальный интеграл порядка n определяется как

α n (x) = ∫ 1 t n e -xt dt

для n = 0,1,2, ... и x> 0 .
  • double Exponential_Integral_Alpha_n (double x, int n)

    Эта функция возвращает α n (x) , если x> 0, и , и возвращает DBL_MAX , если x ≤ 0 , где n неотрицательное целое число.
Для этой процедуры доступен исходный код C :
Бета-экспоненциальный интеграл порядка n определяется как

β n (x) = ∫ -1 1 t n e -xt dt

для n = 0,1, 2 ,... и x ∈ R .
  • double Exponential_Integral_Beta_n (double x, int n)

    Эта функция возвращает β n (x), , где порядок n является неотрицательным целым числом.
Для этой процедуры доступен исходный код C :

6.7 Интегралы, экспоненциальные функции и логарифмы - Исчисление Том 1

Цели обучения

  • 6.7.1 Запишите определение натурального логарифма в виде интеграла.
  • 6.7.2 Распознавать производную натурального логарифма.
  • 6.7.3 Интегрировать функции, содержащие натуральный логарифмический алгоритм.
  • 6.7.4 Определите число ee через интеграл.
  • 6.7.5 Распознавать производную и интеграл от экспоненциальной функции.
  • 6.7.6 Докажите свойства логарифмов и экспоненциальных функций с помощью интегралов.
  • 6.7.7 Выражение общих логарифмических и экспоненциальных функций через натуральные логарифмы и экспоненты.

Мы уже исследовали экспоненциальные функции и логарифмы в предыдущих главах. Однако в предыдущих обсуждениях мы упустили некоторые ключевые детали. Например, мы не изучали, как обращаться с экспоненциальными функциями с иррациональными показателями. Определение числа e - еще одна область, в которой предыдущая разработка была несколько неполной. Теперь у нас есть инструменты для более точного математического анализа этих концепций, и мы сделаем это в этом разделе.

Для целей этого раздела предположим, что мы еще не определили натуральный логарифм, число e или любую из формул интегрирования и дифференцирования, связанных с этими функциями. К концу раздела мы изучим эти концепции математически строго (и увидим, что они согласуются с концепциями, которые мы изучили ранее).

Мы начинаем раздел с определения натурального логарифма через интеграл. Это определение составляет основу раздела.Из этого определения мы выводим формулы дифференцирования, определяем числа e, e и расширяем эти понятия до логарифмов и экспоненциальных функций любого основания.

Натуральный логарифм в виде интеграла

Вспомните правило степени для интегралов:

∫xndx = xn + 1n + 1 + C, n ≠ −1.∫xndx = xn + 1n + 1 + C, n ≠ −1.

Ясно, что это не работает, когда n = −1, n = −1, поскольку это заставило бы нас делить на ноль. Итак, что нам делать с ∫1xdx? ∫1xdx? Напомним из основной теоремы исчисления, что ∫1x1tdt∫1x1tdt является первообразной от 1 / x.1 / х. Следовательно, мы можем дать следующее определение.

Определение

Для x> 0, x> 0 определите функцию натурального логарифма как

lnx = ∫1x1tdt.lnx = ∫1x1tdt.

6,24

Для x> 1, x> 1 это просто площадь под кривой y = 1 / ty = 1 / t от 11 до x.x. Для x <1, x <1 имеем ∫1x1tdt = −∫x11tdt, ∫1x1tdt = −∫x11tdt, поэтому в данном случае это отрицательная величина площади под кривой от xto1xto1 (см. Следующий рисунок).

Рисунок 6.75 (a) Когда x> 1, x> 1, натуральный логарифм - это площадь под кривой y = 1 / ty = 1 / t от 1tox.1токс. (b) Когда x <1, x <1, натуральный логарифм представляет собой отрицательную величину площади под кривой от xx до 1,1.

Обратите внимание, что ln1 = 0. Ln1 = 0. Кроме того, функция y = 1 / t> 0y = 1 / t> 0 при x> 0.x> 0. Следовательно, по свойствам интегралов ясно, что lnxlnx возрастает при x> 0.x> 0.

Свойства натурального логарифма

Из-за того, как мы определили натуральный логарифм, следующая формула дифференцирования сразу выпадает как результат Фундаментальной теоремы исчисления.

Теорема 6.15

Производная натурального логарифма

Для x> 0, x> 0 производная натурального логарифма равна

Теорема 6.16

Следствие из производной натурального логарифма

Функция lnxlnx дифференцируема; следовательно, он непрерывен.

График lnxlnx показан на рисунке 6.76. Обратите внимание, что он непрерывен во всей области определения (0, ∞). (0, ∞).

Рисунок 6.76. График f (x) = lnxf (x) = lnx показывает, что это непрерывная функция.

Пример 6.35

Вычисление производных натуральных логарифмов

Рассчитайте следующие производные:

  1. ddxln (5x3−2) ddxln (5x3−2)
  2. ddx (ln (3x)) 2ddx (ln (3x)) 2
Решение

Нам нужно применить цепное правило в обоих случаях.

  1. ddxln (5x3−2) = 15x25x3−2ddxln (5x3−2) = 15x25x3−2
  2. ddx (ln (3x)) 2 = 2 (ln (3x)) · 33x = 2 (ln (3x)) xddx (ln (3x)) 2 = 2 (ln (3x)) · 33x = 2 (ln ( 3x)) x

КПП 6.35

Рассчитайте следующие производные:

  1. ddxln (2x2 + x) ddxln (2x2 + x)
  2. ddx (ln (x3)) 2ddx (ln (x3)) 2

Обратите внимание, что если мы используем функцию абсолютного значения и создаем новую функцию ln | x |, ln | x |, мы можем расширить область определения натурального логарифма, включив в нее x <0.x <0. Тогда (d / (dx)) ln | x | = 1 / x. (D / (dx

1.6 Интегралы, включающие экспоненциальные и логарифмические функции - Вычисление, том 2

Цели обучения

  • 1.6.1 Интегрировать функции, включающие экспоненциальные функции.
  • 1.6.2 Интегрировать функции, включающие логарифмические функции.

Экспоненциальные и логарифмические функции используются для моделирования роста популяции, роста клеток и финансового роста, а также амортизации, радиоактивного распада и потребления ресурсов, и это лишь некоторые приложения. В этом разделе мы исследуем интеграцию с использованием экспоненциальных и логарифмических функций.

Интегралы от экспоненциальных функций

Экспоненциальная функция, пожалуй, самая эффективная функция с точки зрения операций исчисления.Экспоненциальная функция y = ex, y = ex является собственной производной и собственным интегралом.

Правило: интегралы от экспоненциальных функций

Экспоненциальные функции можно интегрировать, используя следующие формулы.

∫exdx = ex + C∫axdx = axlna + C∫exdx = ex + C∫axdx = axlna + C

1,21

Пример 1.37

Нахождение первообразной экспоненциальной функции

Найдите первообразную экспоненциальной функции e - x .

Решение

Используйте подстановку, задав u = −x, u = −x, а затем du = −1dx.du = −1dx. Умножьте уравнение du на −1, чтобы получить −du = dx. − du = dx. Затем

∫e − xdx = −eudu = −eu + C = −e − x + C.∫e − xdx = −∫eudu = −eu + C = −e − x + C.

КПП 1.31

Найдите первообразную функции с помощью замены: x2e − 2x3.x2e − 2x3.

Распространенная ошибка при работе с экспоненциальными выражениями - это обработка экспоненты на e так же, как мы обрабатываем экспоненты в полиномиальных выражениях. Мы не можем использовать правило степени для экспоненты на e .Это может быть особенно запутанным, когда в одном выражении есть как экспоненты, так и полиномы, как в предыдущей контрольной точке. В таких случаях мы всегда должны перепроверять, чтобы убедиться, что мы используем правильные правила для функций, которые мы интегрируем.

Пример 1.38

Квадратный корень из экспоненциальной функции

Найти первообразную экспоненциальной функции ex1 + ex.ex1 + ex.

Решение

Сначала перепишите задачу, используя рациональную экспоненту:

∫ex1 + exdx = ∫ex (1 + ex) 1 / 2dx.∫ex1 + exdx = ∫ex (1 + ex) 1 / 2dx.

Используя замену, выберите u = 1 + ex.u = 1 + ex.u = 1 + ex.u = 1 + ex. Тогда du = exdx.du = exdx. Имеем (рисунок 1.37)

∫ex (1 + ex) 1 / 2dx = ∫u1 / 2du. Ex (1 + ex) 1 / 2dx = ∫u1 / 2du.

Затем

∫u1 / 2du = u3 / 23/2 + C = 23u3 / 2 + C = 23 (1 + ex) 3/2 + C.∫u1 / 2du = u3 / 23/2 + C = 23u3 / 2 + C = 23 (1 + пр.) 3/2 + С.

Рисунок 1.37

Экспоненциальные интегралы

- Sage 9.2 Справочное руководство: Функции

АВТОРОВ:

Этот модуль обеспечивает легкий доступ ко многим экспоненциальным интегралам. специальные функции.z \ frac {\ cos (t) -1} {t} \; dt, \]

, где \ (\ gamma \) - гамма-константа Эйлера ( euler_gamma в Sage), см. [AS1964] 5.2.1.

ПРИМЕРЫ:

 мудрец: z = var ('z')
шалфей: cos_integral (z)
cos_integral (z)
шалфей: cos_integral (3.0)
0,119629786008000
мудрец: cos_integral (0)
cos_integral (0)
шалфей: N (cos_integral (0))
-бесконечность
 

Численное вычисление действительных и сложных аргументов выполняется с помощью mpmath:

 мудрец: cos_integral (3.0)
0,119629786008000
 

Псевдоним Ci может использоваться вместо cos_integral :

 мудрец: Ci (3.0)
0,119629786008000
 

Сравните cos_integral (3.0) с определением значения с помощью численное интегрирование:

 sage: a = числовое_целое ((cos (x) -1) / x, 0, 3) [0]
шалфей: абс (N (эйлер_гамма + лог (3)) + a - N (cos_integral (3.0))) <1e-14
Правда
 

Обработка произвольной точности и сложных аргументов:

 мудрец: N (cos_integral (3), digits = 30)
0,119629786008000327626472281177
шалфей: cos_integral (Комплексное поле (100) (3 + I))
0,078134230477495714401983633057 - 0.3781473379201811

789 * Я

Предел \ (\ operatorname {Ci} (z) \) при \ (z \ to \ infty \) равен нулю:

 мудрец: N (cos_integral (1e23))
-3.24053937643003e-24
 

Символьные производные и интегралы обрабатываются Sage и Maxima:

 мудрец: x = var ('x')
мудрец: f = cos_integral (x)
мудрец: f. z \ frac {\ ch (t) -1} {t} \; dt, \] 

см. [AS1964] 5.2.4.

ПРИМЕРЫ:

 мудрец: z = var ('z')
шалфей: cosh_integral (z)
cosh_integral (z)
шалфей: cosh_integral (3,0)
4,96039209476561
 

Численное вычисление действительных и сложных аргументов выполняется с помощью mpmath:

Алгебра - целые экспоненты

Онлайн-заметки Павла

Ноты Быстрая навигация Скачать

  • Перейти к
  • Ноты
  • Проблемы с практикой
  • Проблемы с назначением
  • Показать / Скрыть
  • Показать все решения / шаги / и т. Д.
  • Скрыть все решения / шаги / и т. Д.
  • Разделы
  • Предварительные сведения Введение
  • Рациональные экспоненты
  • Глава
  • Решение уравнений и неравенств
  • Классы
  • Алгебра
  • Исчисление I
  • Исчисление II
  • Исчисление III
  • Дифференциальные уравнения
  • Дополнительно
  • Алгебра и триггерный обзор
  • Распространенные математические ошибки
  • Праймер для комплексных чисел
  • Как изучать математику
  • Шпаргалки и таблицы
  • Разное
  • Свяжитесь со мной
  • Справка и настройка MathJax
  • Мои ученики
  • Заметки Загрузки
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Practice Problems Загрузок
  • Полная книга - Только проблемы
  • Полная книга - Решения
  • Текущая глава - Только проблемы
  • Текущая глава - Решения
  • Текущий раздел - Только проблемы
  • Текущий раздел - Решения
  • Проблемы с назначением Загрузки
  • Полная книга
  • Текущая глава
  • Текущий раздел
  • Прочие товары
  • Получить URL для загружаемых элементов
  • Распечатать страницу в текущем виде (по умолчанию)
  • Показать все решения / шаги и распечатать страницу
  • Скрыть все решения / шаги и распечатать страницу
  • Дом
  • Классы
  • Алгебра
    • Предварительные мероприятия
      • Целочисленные экспоненты
      • Рациональные экспоненты
      • Радикалы
      • Полиномы
      • Факторинговые многочлены
      • Рациональные выражения
      • Комплексные числа
    • Решение уравнений и неравенств
      • Решения и наборы решений
      • Линейные уравнения
      • Приложения линейных уравнений
      • Уравнения с более чем одной переменной
      • Квадратичные уравнения - Часть I
      • Квадратные уравнения - Часть II
      • Квадратичные уравнения: сводка
      • Приложения квадратных уравнений
      • Уравнения, сводимые к квадратичным в форме
      • Уравнения с радикалами
      • Линейные неравенства
      • Полиномиальные неравенства
      • Рациональное неравенство
      • Уравнения абсолютных значений
      • Неравенства абсолютных значений
    • Графики и функции
      • Графики
      • Строки
      • Круги
      • Определение функции
      • Графин
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *