Разное

Почему десятичная система счисления наиболее привычна для нас: Десятичная система счисления

Содержание

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления — наиболее привычная для нас, поскольку используется нами при повседневном счете. По всей видимости, исторически распространенность этой системы исчисления обусловлено наличием 10 пальцев на обеих руках, активно используемых в качестве «биологического калькулятора». Это подтверждается самими названиями цифр в разных языках: в латинском digiti (пальцевые числа 1,2,…9) от digitus (палец), articuli (суставные числа, т.е. полные десятки), compositi (составные, из десятков и единиц), в английском — digits, в итальянском — unitates (единицы), deceni (десятки), в греческом — monadici (единицы), decades (десятки), в прежнем русском — персты (единицы), составы (десятки), сочинения (числа из десятков и единиц), ноль — незачто.

Хорошо известно, что данная система исчисления использует следующий базовый набор из 10 цифр {0 , 1 , 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9}, поскольку ее основание p = 10.

Согласно формуле [1], количественный эквивалент целого положительного числа в десятичной системе отсчета равен:

A10 = an-1·10n-1+an-2·10n-2 + … + a1·101+a0·100 [4]

Например,

1234567890 = (1·109)+(2·108)+(3·107)+(4·106)+(5·105)+(6·104)+(7·103)+(8·102)+(9·101)+(0·100) = 123456789010

Шестнадцатеричная система исчисления

Шестнадцатеричная система исчисления менее привычна для нас, поскольку не используется нами при повседневном счете (конечно, если вы не программист).

Данная система исчисления использует следующий базовый набор из 16 цифр {0 , 1 , 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }, поскольку ее основание p = 16. Для отличия от остальных систем исчисления после цифр часто ставят латинскую букву H (иногда h) – 3FBC27H или 3FBC27h.

Согласно формуле [1], количественный эквивалент целого положительного числа в шестнадцатеричной системе отсчета равен:

A16 = an-1·16n-1+an-2·16n-2 + … + a1·161+a0·160, [5]

Например,

ABCDEF12h = (10·167)+(11·166)+(12·165)+(13·164)+(14·163)+(15·162)+(1·161)+(2·160) = 288240001810

Перевод чисел из двоичной системы в десятичную

Задача перевода чисел из двоичной системы счисления в десятичную чаще всего возникает уже при обратном преобразовании вычисленных либо обработанных компьютером значений в более понятные пользователю десятичные цифры. Алгоритм перевода двоичных чисел в десятичные достаточно прост (его иногда называют алгоритмом замещения):

Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

Например, требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). В соответствии с уже известным нам правилом представим его в виде суммы степеней с основанием 2:

101101102 = (1·27)+(0·26)+(1·25)+(1·24)+(0·23)+(1·22)+(1·21)+(0·20) = 128+32+16+4+2 = 18210

Из этого примера видно, в частности, что десятичная система счисления более компактно отображает числа — 3 цифры (т.е. бита) вместо 8 цифр в двоичной системе счисления. Для вычислений «вручную» и решения примеров и контрольных заданий вам могут пригодиться таблицы степеней оснований изучаемых систем счисления (2, 8, 10, 16), приведенные в Приложении.

Десятичная система — счисление — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Десятичная система — счисление

Cтраница 1

Десятичная система счисления весьма наглядна и удобна для чтения на перфорированной ленте. Достаточно сложным является и дешифрирующее устройство, которое должно иметь 10п дешифраторов, чтобы иметь возможность прочитывать каждую позицию. Импульсы же подаются в систему управления только с рабочих позиций, в которых пробиты отверстия.  [1]

Десятичная система счисления крайне неудобна для использования в ЭВМ, но она общепринята, и поэтому, несмотря на свои недостатки, так же применяется в вычислительной технике. Для того чтобы ввести в ЭВМ десятичные числа, отобразить их состояниями двухпозиционных элементов, используют двоично-десятичную форму представления десятичных чисел.  [2]

Десятичная система счисления общепринята и широко применяется для индикации и регистрации. При изображении больших чисел она имеет примерно втрое меньшее число разрядов, чем двоичная система. Для автоматических вычислений десятичная система удобна только при наличии достаточно надежных и простых элементов, имеющих десять хорошо различимых состояний.  [3]

Десятичная система счисления, привычная для нас в повседневной жизни, не является наилучшей для использования в ЭВМ. Это объясняется тем, что известные в настоящее время функциональные элементы с десятью устойчивыми состояниями ( элементы на основе сегнетокерамики, декатроны и др.) имеют низкую скорость переключения и, таким образом, не могут удовлетворять требованиям, предъявляемым к ЭВМ по быстродействию. Поэтому в большинстве случаев в ЭВМ используют двоичные или двоично-кодированные системы счисления. Широкое распространение этих систем обусловлено тем, что элементы ЭВМ способны находиться лишь в одном из двух устойчивых состояний. Например, полупроводниковый транзистор в режиме переключения может быть в открытом или закрытом состоянии, а следовательно, иметь на выходе высокое или низкое напряжение. Ферритовый сердечник в устойчивом состоянии может иметь положительную или отрицательную остаточную магнитную индукцию. Такие элементы принято называть двухпозицион-ными. Если одно из устойчивых положений элемента принять за О, а другое — за 1, то достаточно просто изображаются разряды двоичного числа.  [4]

Десятичная система счисления возникла в глубокой древности. Люди стали пользоваться ею потому, что привыкли считать десятками, имея на руках десять пальцев.  [5]

Десятичная система счисления, привычная для нас в повседневной жизни, не является наилучшей системой счисления для использования в ЭВМ. Это объясняется тем, что известные в настоящее время функциональные элементы с десятью устойчивыми состояниями ( элементы на основе сегнетокерамики, декатроны и др.) имеют низкую скорость переключения и, таким образом, не могут удовлетворять требованиям, предъявляемым к ЭВМ по быстродействию. Поэтому в подавляющем большинстве случаев в ЭВМ используют двоичные или двоично-кодированные системы счисления.  [6]

Десятичная система счисления, привычная для нас, не является наилучшей системой счисления при использовании в ЭВМ. Для изображения любого числа в десятичной системе требуется десять различных символов. При реализации в ЭВМ этой системы счисления требуются функциональные элементы, реализующие десять устойчивых состояний. Имеющиеся в настоящее время функциональные элементы не могут удовлетворить этим требованиям.  [7]

Десятичная система счисления используется для записи исходной информации и результатов решения задачи.  [8]

Десятичная система счисления крайне неудобна для использования в ЭВМ, но она общепринята, и поэтому, несмотря на свои недостатки, так же применяется в вычислительной технике. Для того чтобы ввести в ЭВМ десятичные числа, отобразить их состояниями двухпозиционных элементов, используют двоично-десятичную форму представления десятичных чисел.  [9]

Десятичная система счисления используется главным образом в цифровых индикаторных и регистрирующих устройствах. Для изображения чисел в ней требуется меньшее число разрядов по сравнению с двоичной системой, поэтому при регистрации дестичных знаков затрачивается и меньшее время. Однако реализация цифровых устройств в десятичной системе требует сложных элементов с десятью устойчивыми состояниями.  [10]

Десятичная система счисления применяется в ЭЦВМ редко, так как устройства, используемые для представления и хранения информации в десятичных числах, должны иметь десять различных состояний. Такие устройства, например, декатроны, разработаны и существуют, но ЭЦВМ, построенные на них, широкого применения не нашли из-за ненадежной работы и сложности.  [11]

Десятичная система счисления по этой оценке приблизительно в 1 5 раза уступает троичной, а двоичная и четверичная близки к троичной.  [12]

Десятичная система счисления распространена почти повсеместно. Многие видят причину такой распространенности в том, что каждый человек с детства привыкает считать при помощи десяти пальцев обеих рук. Однако десятичное счисление не является самым удобным. Например, в некоторых отношениях удобнее была бы двенадцатеричная система, которая, не требуя для изображения чисел большого числа цифр, обладает важным свойством, что основание ее делится без остатка на 2, на 3, на 4 и на 6, тогда как основание наглей системы делится только на 2 и на 5; подобные же соображения послу жили, вероятно, основанием шестидесятеричной системы счисления, употреблявшейся в древнем Вавилоне. Употребляемые нами цифры и самая система обозначения чисел заимствованы европейцами у арабов ( около ХПв. Вот почему эти цифры называются арабскими. Но есть основание думать, что арабы в свою очередь заимствовали эту систему у индусов.  [13]

Десятичная система счисления в системах ЧПУ практически не применяется, так как в системе управления в этом случае надо различать десять различных символов. Она применяется иногда в станках с непосредственным набором программы на пульте управления.  [14]

Десятичная система счисления укоренилась, вероятно, потому, что люди ( возможно, еще в первобытном обществе) стали считать предметы при помощи своих десяти пальцев. А сегодня мы так привыкли к десятичной системе счисления, что воспринимаем ее как нечто само собой разумеющееся, вполне обычное, совершенно не задумываясь ни над ее происхождением, ни над возможностью создания иных систем счисления.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

Десятичная система счисления. Основание системы счисления

Система счисления — это способ записи (представление) чисел с помощью определённого набора письменных знаков.

Десятичная система счисления — это позиционная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков:

1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  0.

Знаки, употребляемые для записи чисел, называются цифрами.

Название системы счисления зависит от её основания. Основание системы счисления — это количество цифр, которые используются в данной системе счисления для записи чисел. Так как в системе, которую мы рассматриваем,  10  цифр, то она имеет основание  10,  поэтому данная система счисления называется десятичной.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от её позиции в записи числа. Для примера возьмём число  777,  которое состоит из трёх одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает семь сотен, вторая — семь десятков, а третья — семь единиц. Так как значение цифры зависит от её позиции в записи числа, десятичную систему счисления также называют позиционной.

Позиционной называют такую систему счисления, в которой значение цифры зависит от её позиции в записи числа.

Числа, которые записаны с помощью одной цифры, называют однозначными, записанные с помощью двух — двузначными, так же по количеству цифр в числе дают названия и другим числам:

Однозначные числа:  1,  2,  4.

Двузначные числа:  14,  77,  92.

Трёхзначные числа:  122,  345.

Шестизначные числа:  537633,  987345.

Двузначные, трёхзначные, четырёхзначные, пятизначные и т. д. числа называют многозначными.

Следует помнить, что цифра и число не одно и то же.

Цифра – это только письменный знак, используемый для записи числа. Число может быть обозначено не одной, а несколькими цифрами (например,  75)  или может быть выражено словами (семьдесят пять).

Оптимальная система счисления: sevabashirov — LiveJournal

Давно хотел определить с точки зрения банальной эрудиции и формальной математики, какая из позиционных систем счисления является наиболее удобной, в некотором смысле — эргономичной. Потому что — как многим известно — привычная современной цивилизации десятичная система выбрана не из соображений оптимальности, а прямо вытекает из анатомии человека. Было бы не 10 пальцев на руках — укоренилось бы другое основание. Когда люди считали окружающие предметы буквально по пальцам, десятичная система была разумным выбором, да и то: почему именно пальцы-«штуки»? Кому-то было удобнее по фалангам 4 пальцев одной руки, указывая на них большим — так получила некоторую популярность 12-ричная система. Но дальше — просто сила привычки, QWERTY-эффект в чистом виде: используем не потому, что удобнее всего, а потому, что так сложилось исторически, в силу традиции.
___

Как математически определить удобство использования той или иной системы счисления? Во-первых можно рассмотреть, как в них записываются числа. Чем больше основание n, тем меньше разрядов требует одно и то же число, но при этом растет «алфавит» — количество цифр, что влечет за собой и размеры таблиц сложения и умножения, и все такое прочее. Результирующим будет произведение-комбинация этих факторов: lg(n) * (1/n). Логарифм (все равно какой, взял десятичный) основания системы отражает компактность записи чисел, обратное число — компактность алфавита.5 — вчетверо меньше… А можно просто 60 разных цифр и один разряд, как вавилоняне — вот и будут лишь числа от 0 до 59.

Так вот, эти выкладки — давно уже не секрет, кто их только не делал. В непрерывном случае максимум приходится на число e=2,718…, так что основание 3 выглядит лучше всех, 2 и 4 — одинаково чуть похуже: http://phg.su/basis2/X51.HTM — наглядно.
___

Но этого явно мало. При таком подходе учтено удобство записи чисел, но есть же еще и вычисления, операции над ними. Частично это уже учтено (см. выше фразу про таблицы сложения-умножения). И здесь приходится к месту аргумент, который — если кто в курсе — был основным доводом у сторонников двенадцатеричной системы: 12 делится нацело на 1, 2, 3, 4, 6 и собственно 12 против 1, 2, 5 и 10 у десятки. Это еще Перельман описывал в «Занимательной арифметике». И действительно, чем больше круглых чисел в произведениях и чем меньше периодических дробей в частных — очевидно, тем удобнее и быстрее подсчеты. Таким образом, домножаем нашу комбинацию двух факторов на третий — количество делителей числа d(n).

Итоговая формула: коэффициент эргомичности системы счисления q(n) = lg(n) / n * d(n) * 2,5 — домножил для приведения коэффициента десятичной системы к единице. Мы вправе это делать, поскольку основание логарифма все равно взято произвольно, у абсолютных значений q(n) нет смыслового наполнения. Ниже — таблица 25 лидеров:

n lg(n) d(n) q(n)
12 1,079 6 1,349
6 0,778 4 1,297
24 1,380 8 1,150
4 0,602 3 1,129
8 0,903 4 1,129
18 1,255 6 1,046
10 1,000 4 1,000
30 1,477 8 0,985
20 1,301 6 0,976
36 1,556 9 0,973
16 1,204 5 0,941
60 1,778 12 0,889
48 1,681 10 0,876
14 1,146 4 0,819
40 1,602 8 0,801
3 0,477 2 0,795
9 0,954 3 0,795
15 1,176 4 0,784
28 1,447 6 0,775
72 1,857 12 0,774
42 1,623 8 0,773
2 0,301 2 0,753
32 1,505 6 0,706
5 0,699 2 0,699
120 2,079 16 0,693

Итак, «дозеналисты» были правы, у основания 12 действительно отличная репутация! А привычная нам десятка занимает седьмую позицию — достойную, но существенно уступающую. Если отойти в бытовую сферу, то главный недочет десятки — то, что она не делится на 3, а между тем на 3 делить приходится крайне часто. Ну и чтобы четвертые доли содержали лишь один знак после запятой вместо двух — тоже хороший бонус. Вкупе с сокращением длины больших чисел на 8% это оправдывает заучивание чуть большей таблицы умножения.
А с учетом огромной роли двоичной системы и бинарной логики в нашу компьютерную эпоху (тернарную пытались одно время привить, но не зашло) следует обратить внимание на основания 4, 8, 16. Переводить из них в двоичную — вообще плевое дело. Кстати, у 4 и 8, а также 3 и 9 коэффициенты равны, это не издержки округления.

Само собой, прикидка крайне грубая и многих вещей не учитывает. Но тут, как говорится, выделяйте гранты на дальнейшие исследования.

Тема поста интересна в первую очередь френдам aaamibor, doncunita, lrlay777, sly2m, spamsink, vmenshov и другим.

ПРОДОЛЖЕНИЕ ПОСТА С УТОЧНЕНИЕМ ФОРМУЛЫ: https://sevabashirov.livejournal.com/270269.html

Почему мы используем десятичную систему исчисления?

Система деления, приведенная в статье «Деление на части» удобна и практична, ее легко применять в повседневной жизни, и кое-кто даже жалеет о том, что в основе нашей системы исчисления лежит 10, а не 12. У числа 10 есть только два множителя, это 2 и 5. Десять не делится ни на 3, ни на 4. Единственная причина, по которой в основе системы оказалось число 10, – это то, что у нас по 5 пальцев на каждой руке. А вот если бы их было бы по 6…

У числа 10 есть одно преимущество перед 12. Число 10 делится на 5, а 12 – нет. Древние вавилоняне пытались соединить в одном числе все достоинства чисел 10 и 12. Такое число должно делиться не только на 2, 3, и 4, но и на 5. Наименьшим таким числом является 60. Это число используется и в астрономии. Год составляет 365 дней и несколько часов. Год – это то время, за которое Солнце совершает свой (кажущийся) круговой путь по небу относительно неподвижных звезд. Если полный круг разделить на величину пути, которое Солнце проходит за день (то есть на «путь-день»). Мы получим 365 долей круга.

У вавилонян год равнялся 360 дням (либо они неправильно вычислили продолжительность года, либо просто округлили 365 до 360 для удобства вычислений). С этим числом удобно работать, поскольку 360 – это 60х6. Поэтому они делили небесную сферу и другие круги на 360 равных частей, которые мы в наши дни называем градусами. Затем каждый градус они делили на 60 частей, которые мы называем минутами, а каждую минуту еще на 60 частей, на 60 секунд. Мы до сих пор придерживаемся вавилонской системы. Более того, поскольку время измеряется по движению крупных небесных тел на небосклоне, наш час разделен на 60 минут, а минута – на 60 секунд.

При подсчете времени мы находим также следы системы, основанной на 12. День и ночь разделены на 12 часов. В древности, до того как были изобретены часы, длина часа менялась в зависимости от времени года. Зимой дневные часы были короче, чем летом, а ночные длиннее. В наши дни продолжительность часа принята постоянной, поэтому летом светлое время длится дольше, чем зимой, ночное, наоборот, – короче.

Тем не менее на циферблате наших часов только 12 чисел, и, следовательно, мы определяем время между 1 часом ночи и 1 часом дня. (Принято считать время после 12 как 13, 14 и так далее часов, но обычно в быту мы не используем таких обозначений.)

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Почему в компьютере используется двоичная система счисления

Начну издалека. Когда проектировали первые электронные вычислительные машины, то пришли к выводу, что легче всего фиксировать два состояния в электронной схеме. Допустим — есть ток, или его нету. Фиксировать больше 2-х состояний, например, три: нет тока, есть слабый ток, есть сильный ток — не совсем надёжно, ибо изредка при помехах отличить слабый ток от сильного тока трудно. А уж различать десять состояний — это фактически невозможно. Поэтому вся элементарная база строилась на ‘триггерах’, фиксирующих два состояния — ‘включено’, ‘выключено’. Соответственно для этой элементарной базы обычная десятичная система счисления была бы громоздкой, идеально подошла двоичная система, имеющая всего два числа 0 и 1. Под эту систему счисления стали готовить все процессоры. Машина прекрасно понимала эту систему, а вот человеку, программисту, пользоваться ею не совсем удобно, ибо числа имеют много разрядов для своей записи. Например, десятичное число 1234 в двоичной системе записывалось бы как 10011010010. Поэтому программисты для себя стали использовать восьмеричную систему счисления, в ней это же число выглядело так 2322, а то и шестнадцатеричную систему, там уже это число выглядит так 4D2. По какой причине именно 8-ми и 16-тиричные системы? Эти числа, 8 и 16 степени числа 2, потому переводить числа из из нотации в двоичную систему легче, чем из нашей привычной, десятичной. И так, вот первые числа от 0 до 9, записанные в двоичной системе: 0, 1, десять, 11, сто, 101, 110, 111, 1000, 1001. Как видно, двоичная число десять станет равно двойке в десятичной системе. Это про два типа людей. немного поправлю.
»двоичная система, имеющая всего два числа 0 и 1″ две цифры же.
» для себя стали использовать восьмеричную систему счисления» потому что компьютерное «слово», кусок данных который проц мог обрабатывать за 1 такт, было длиной 8 бит или байт.
Когда появились 16-битовые слова, то программисты перешли на 16-ричную систему. — 2 месяца назад С поправкой про цифру — согласен, тут у меня конечно же, описка.
А вот с остальным — нет, не согласен. Никак эти системы счисления напрямую с длиной машинного слова не были связаны. Ничего не мешает описывать 8-ми разрядные слова 16-тиричной системой и наоборот. Восьмеричная система и до ныне имеет место быть, хоть уже и не так часто, а вот 32-хричную не используют, хотя уже машинные слова давно перевалили за 16 разрядов. — 2 месяца назад «32-хричную, вернее 33-ную, используют для кодирования русских слов при письме.
:) — 2 месяца назад А знаки препинания? — 2 месяца назад а знаки действия с числами? — 2 месяца назад Вот именно. — 2 месяца назад

Числа и системы счисленияМ

Шестнадцатеричная система счисления

«Все есть число», — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

Известно множество способов представления чисел. Но в любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называются цифрами, символические изображения чисел — кодами, а правила их получения — системами счисления (кодирования).

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков и соответствующие ему правила выполнения действий над числами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

Позиционные Непозиционные
Это такие системы счисления, в которых величина, которую обозначает цифра в записи числа, зависит от положения цифры в этом числе. Это такие системы счисления, в которых величина, которую обозначает цифра в записи числа, не зависит от положения цифры в этом числе.
Например: 10-, 2-, 3-, 8-, 16-чная и т.д. Например: римская система счисления.

Алфавит системы счисления — это совокупность цифр и букв, с помощью которых записываются числа.

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите.

Наименьшее возможное основание позиционной системы счисления равно 2. Такая система называется двоичной.

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ

Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация (система счисления) была шестидесятеричной, т.е. в ней использовались шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе — 60 минут).

Сегодня мы привыкли пользоваться в повседневной жизни десятичной системой счисления. Десятичными цифрами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.

Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения. Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Так например, в некоторых областях Украины еще несколько десятков лет назад продавали яблоки, яйца и многое другое на «копы» — кучи по 60 штук.

До нашего времени дошли многие древние вавилонские глиняные таблички, на которых в шестидесятеричной системе счисления решены сложнейшие задачи, такие, как вычисление корней, отыскание объема пирамиды и другие. Для записи чисел использовалось всего два знака: клин вертикальный (единицы) и клин горизонтальный (десятки). Все числа от 1 до 59 записывались в десятичной непозиционной системе, а число в целом — в позиционной системе счисления с основанием 60. Например, число 1972 записывалось так:
_ _ _II_ _ _ _ _ _ II
32 · 60 + 52 = 1972

В Китае долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Широкое распространение до первой трети ХХ века имели элементы двенадцатеричной системы счисления, некоторые отголоски которой дошли до нашего времени: в сутках две дюжины часов, час делится на 5 дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов и т.д. Влияние двенадцатеричной системы счисления ощущается сегодня хотя бы в том, что карандашей или фломастеров в наборе обычно бывает 6, 12, 24, количество приборов в сервизах равно 6, 12 и т.д.

Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются: десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

Система счисления Основание Алфавит цифр
Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная 2 0, 1
Восьмеричная 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)

Десятичная система счисления

Наиболее распространенной позиционной системой счисления является десятичная система. Она характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего, старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

Так, например, в числе 555 цифры 5, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения — 5 сотен, 5 десятков, 5 единиц. При перемещении цифры на соседнюю позицию ее вес (количественный эквивалент) изменяется в 10 раз.

Число 555 — записано в свернутой форме и привычно для нас. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение производится в явной форме:
55510 = 5· 102 + 5· 101 + 5· 100

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.
555,5510 = 5· 102 + 5·1 + 5· 100 + 5· 10-1 + 5· 10-2

Двоичная система счисления

Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления. В ней для записи чисел используются всего две цифры: 0 и 1. Основание равно 2.

Двоичное число 111012 записано в свернутой форме. Двоичное число 111012 в развернутой форме будет записано так:
11101,012 = 1· 24 + 1· 23 + 1· 22 + 0· 21 + 1· 20 + 0· 2-1 + 1· 2-2

Восьмеричная система счисления

Основание равно 8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Восьмеричное число 237,018 записано в свернутой форме.

Восьмеричное число 237,018 в развернутой форме будет записано так:
237,018 = 2· 82 + 3· 81 + 7· 80 + 0· 8-1 + 1· 8-2

Шестнадцатеричная система счисления

Основание равно 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F

Шестнадцатеричное число 3А,С16 записано в свернутой форме.

Шестнадцатеричное число 3А,С16 в развернутой форме будет записано так:
3А,С16 = 3· 161 + 10· 160 + 12· 16-1

Яндекс.Реклама

Теория элементарных чисел

. Имеет ли десятичная система счисления естественное преимущество перед другими системами счисления?

На этот вопрос уже есть ответы :

Закрыт 2 года назад.

Примечание: Этот вопрос, возможно, касается математики и лингвистики и, возможно, других дисциплин, но я публикую его здесь, потому что считаю, что математики лучше всего подходят для того, чтобы на него ответить.


Система счисления с основанием 10 (десятичная) является наиболее распространенной системой символьного счета, используемой сегодня людьми. В научной литературе по системам счисления утверждается, что это произошло из-за использования пальцев в представлении чисел (см., Например, Ores 1948, стр. 1-2). Однако есть также случаи, когда некоторые культуры используют другие основания, вплоть до основания-20. Из этой истории кажется очевидным, что люди могут работать с системами счисления с различными основаниями.

Использование двоичных чисел в электронных вычислениях происходит потому, что эффективно производить компоненты, которые существуют в двоичном состоянии.k $ за некоторые $ k \ in \ mathbb {N} $. Очевидным выбором, работающим в соответствующем диапазоне символов и цифр, является восьмеричная система (основание 8) или шестнадцатеричная система (основание 16). Эти системы могут быть тривиально преобразованы туда и обратно с помощью двоичных чисел, поскольку они просто требуют, чтобы пользователь знал двоичное представление каждого базового элемента и строковые числа вместе с методом размещения.

Вопрос: Есть ли у системы счисления с основанием 10 какое-либо свойство системы счисления с основанием 10, которое дает ей естественное преимущество перед другими основами для использования человеком? Каковы плюсы и минусы принятия системы счисления с основанием 2 $ ^ k $ (например,g., основание-8 или основание-16) вместо общепринятой в настоящее время десятичной системы? Желательно ли переход на одну из этих систем?

Системы счисления

Системы счисления


Структуры данных и системы счисления
© Авторские права Брайан Браун, 1984–1999. Все права сдержанный.

В данном учебном курсе используются расширения HTML 3.0


Введение

Система счисления определяет набор значений, используемых для представления количество.Мы говорим о количестве людей, посещающих занятия, количество модулей, взятых на одного студента, а также используйте числа для представляют собой оценки, полученные студентами на тестах.

Количественная оценка значений и предметов по отношению друг к другу является помогает нам разобраться в окружающей среде. Мы делаем это в ранний возраст; выясняя, есть ли у нас еще игрушки, с которыми можно поиграть, еще подарки, еще леденцы и так далее.

Изучение систем счисления не ограничивается только компьютерами.Мы применяем числа каждый день, и, зная, как работают числа, мы дать нам представление о том, как компьютер манипулирует и хранит числа.

Человечество на протяжении веков использовало знаки и символы для представляют числа. Ранние формы были прямыми линиями или группами линий, как в фильме Робинзон Крузо , где группа из шести вертикальных линий с диагональной линией поперек представлена ​​одна неделя.

Сложно представить большие или очень маленькие числа с помощью такой графический подход.Еще в 3400 г. до н.э. в Египте и в 3000 г. до н.э. в Месопотамии они разработали символ, представляющий единицу 10. Это было большим достижением, поскольку уменьшило количество обязательные символы. Например, 12 можно представить как 10 и две единицы (три символа вместо 12, что требовалось ранее).

Римляне изобрели систему счисления, которая могла представлять все числа от 1 до 1000000 с использованием всего семи символов

  • I = 1
  • В = 5
  • Х = 10
  • L = 50
  • С = 100
  • D = 500
  • M = 1000

Маленькая полоса над символом указывает на то, что номер умножить на 1000.

Наиболее распространенной сегодня системой счисления является арабский . система. Впервые он был разработан индусами и использовался как еще в 3 веке до нашей эры. Введение символа 0, используется для обозначения позиционного значения цифр, было очень важный. Таким образом, мы познакомились с концепцией групп единиц, десятков единиц, сотен единиц, тысяч единиц и скоро.

В системах счисления часто полезно думать о повторяющихся устанавливает , где набор значений повторяется снова и снова.

В десятичной системе счисления имеет набор значений. диапазон от 0 до 9. Этот базовый набор повторяется снова и снова. над, создавая большие числа.

Обратите внимание, как повторяется набор значений от 0 до 9, и для каждого повторить, столбец слева увеличивается (от 0 до 1, затем 2).

Каждое увеличение значения происходит до значения наибольшего число в наборе (9), на этом этапе следующее значение является наименьшим в наборе (0), и новое значение создается в левый столбец (то есть следующее значение после 9 — 10).

09, 10 - 19, 20 - 29, 30 - 39 и т. Д.

 

Мы всегда записываем цифру с наибольшим значением на слева от номера


База Значения
Базовое значение системы счисления — это количество различных значения, которые имеет набор до повторения. Например, десятичный имеет базу из десяти значений от 0 до 9.

  • Двоичный = 2 (0, 1)
  • Восьмеричное число = 8 (0-7)
  • Десятичный = 10 (0-9)
  • Двенадцатеричный = 12 (использовался для некоторых целей римлянами)
  • Шестнадцатеричный = 16 (0-9, A-F)
  • Vigesimal = 20 (используется майя)
  • Шестидесятеричный = 60 (используется вавилонянами)

Взвешивание Фактор
Весовой коэффициент — это значение множителя, применяемое к каждому положение столбца номера.Например, десятичное число имеет весовой коэффициент TEN в каждом столбце слева указывает на увеличение значения умножения на 10 по сравнению с предыдущим столбец справа, т.е. каждый столбец перемещается влево увеличивается с коэффициентом умножения 10.

200 =
----- 0 * 10  0  = 0 * 1 = 0
------ 0 * 10  1  = 0 * 10 = 0
------- 2 * 10  2  = 2 * 100 = 200
-----
200 (суммируя)
-----

 

Рассмотрим еще один пример десятичного числа 312.

312 =
----- 2 * 10  0  = 2 * 1 = 2
------ 1 * 10  1  = 1 * 10 = 10
------- 3 * 10  2  = 3 * 100 = 300
-----
312 (суммируя)
-----

 

десятичный Система счисления [Base-10]
В этой системе счисления используется ДЕСЯТЬ. разные символы для представления значений.Установленные значения, используемые в десятичный:

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 

, где 0 имеет наименьшее значение, а девять — наибольшее. стоимость. Цифра или столбец слева имеет наибольшее значение, в то время как цифра справа имеет наименьшее значение.

Если при вычислении высшая цифра (9) превышен, происходит перенос, который переносится в следующий столбец (Слева).

  Пример добавления и превышения диапазона базовой установки 

8 + 4

8
9 +1
10 +2 Примечание 1:
11 +3
12 +4

Примечание 1: при превышении 9 мы возвращаемся к началу набора (0),
и перенесите значение 1 в следующий столбец слева. Еще один пример сложения и превышения диапазона базового набора 

198 + 4

198
199 +1
200 +2 Примечание 2:
201 +3
202 +4

Примечание 2: при превышении 9 мы возвращаемся к началу набора (0),
и перенесите значение 1 в следующий столбец слева. Таким образом
в средний столбец (9) добавлен 1, следующее значение в наборе - 0, и
мы переносим 1 (потому что набор был превышен) в следующий левый столбец.Добавление
значение переноса от 1 до 1 в крайнем левом столбце дает.


 

Позиционные значения [единицы, десятки, сотни, тысячи и т. Д. Колонны]
Наверное, в школе нас учили позиционным ценностям, столбцы представляют степень 10. Это выражается нам как столбцы единиц (0-9), десятки (группы по 10), сотни (группы 100) и так далее.

 237 = (2 группы по 100) + (3 группы по 10) + (7 групп по 1)
= (100 + 100) + (10 + 10 + 10) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= (200) + (30) + (7)
= 237

 

Каждый столбец, перемещаемый влево, в 10 раз превышает предыдущее значение.


двоичный Система счисления [База-2]
В двоичной системе счисления используются ДВА значения для представления чисел. Значения:

, где 0 имеет наименьшее значение, а 1 — наибольшее стоимость. Столбцы используются так же, как и в десятичная система, в которой крайний левый столбец используется для представления наибольшего значения.

Как мы видели в десятичной системе, значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по горизонтальные направления.

0
1
10 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
11
100 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
101
110 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
111

 

. В компьютере двоичная переменная, способная хранить двоичные данные. значение (0 или 1) называется BIT.

В десятичной системе столбцы представляют умножение. значения 10.Это произошло потому, что было 10 значений (0–9) в набор. В этой двоичной системе всего два значения (0 — 1) в наборе, поэтому столбцы представляют собой значения умножения 2.

1011 =
---- 1 * 2  0  = 1
----- 1 * 2  1  = 2
------ 0 * 2  2  = 0
------- 1 * 2  3  = 8
----
11 (в десятичной системе)



 

Диапазоны чисел в двоичном формате с использованием заданного количества бит
Сколько разных значений может быть представлено определенным числом бит?

количество различных значений = 2  n 

где  n  - количество бит

например.2  8 
= 256 разных значений

 

Правила сложения двоичных файлов

Эксплуатация Результат
0 + 0 0
0 + 1 1
1 + 0 1
1 + 1 0 и Carry 1
1011 + 101 =
1011
101

1.Начните с самого правого столбца и примените правила.
2. 1 + 1 равно 0 и переносит 1 в следующий столбец слева.

1011
101
------
0 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
------
0

3. Теперь займитесь вторым столбцом.
4. 1 + 1 равно 0, перенесите 1 в следующий столбец слева.

1011
111
------
00 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
1
------
00

5.Теперь сделайте третий столбец
6. 1 + 1 равно 0, перенесите 1 в следующий столбец слева.

1011
111
1
------
000 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
1
------
000

7. Теперь займитесь последней колонкой слева.
8. 1 + 1 равно 0 и переносится 1 слева.

1011
101
------
10000

 

Правила двоичного вычитания

Эксплуатация Результат
0-0 0
0–1 1 и займ 1
1-0 1
1–1 0

Правила двоичного умножения

Эксплуатация Результат
0 * 0 0
0 * 1 0
1 * 0 0
1 * 1 1

Примеры задач для двоичного сложения и вычитание


Преобразование Десятичное в двоичное
Существует несколько способов преобразования между десятичным и двоичным числами.Начнем с преобразования десятичного значения 254 в двоичный.

Метод 1: Разделите число на 2, а затем разделите полученное. осталось на 2 и так далее, пока ничего не останется (0). Записывать остаток (который равен 0 или 1) на каждом этапе деления. Как только делений больше нет, перечислите оставшиеся значения в обратный порядок. Это двоичный эквивалент.

254/2, что дает 127 с остатком 0
127/2, что дает 63 с остатком 1
63/2 получается 31 с остатком 1
31/2 получается 15 с остатком 1
15/2 получается 7 с остатком 1
7/2 дает 3 с остатком 1
3/2 дает 1 с остатком 1
1/2 дает 0 с остатком 1

таким образом, двоичный эквивалент  11111110 

 Другой пример, 132 десятичное 
132/2, что дает 66 с остатком 0
66/2, что дает 33 с остатком 0
33/2, что дает 16 с остатком 1
16/2 - 8 с остатком 0
8/2 - 4 с остатком 0
4/2 дает 2 с остатком 0
2/2 дает 1 с остатком 0
1/2 дает 0 с остатком 1

таким образом, двоичный эквивалент  10000100 

 

Метод 2: Каждый столбец представляет степень двойки, поэтому используйте это как основа для расчета числа.Иногда бывает называется подходом 8: 4: 2: 1.
Запишите двоичное число. Где 1 появляется в столбца, добавьте значение столбца как степень двойки к итоговому значению.

Взвешивание 8 4 2 1 Ответ
Двоичное значение 1 0 1 1 11
Взвешивание 8 4 2 1 Ответ
Двоичное значение 0 1 1 1 7
Взвешивание 32 16 8 4 2 1 Ответ
Двоичное значение 1 1 1 0 1 1 59
Взвешивание 32 16 8 4 2 1 Ответ
Двоичное значение 1 0 1 0 1 0 42

Примеры задач для преобразования десятичных чисел в двоичные Преобразование

Двоичные числа — это

  • громоздко записывать
  • длинный
  • не имеет большого значения для обычного пользователя
  • понимаются компьютерами

O кталл Система счисления [База-8]
В восьмеричной системе счисления используется ВОСЕМЬ значения для представления чисел.Значения:

 0 1 2 3 4 5 6 7
 

, где 0 имеет наименьшее значение, а семь — наибольшее. стоимость. Столбцы используются так же, как и в десятичной системе, в этом крайнем левом столбце используется для представления наибольшего значения.

Как мы видели в десятичной системе, значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по горизонтальные направления.

0-7, 10-17, 20-27, 30-37......

 

Задача: Преобразовать восьмеричное число 176 в десятичное.

Каждый столбец представляет степень 8,

176 =
---- 6 * 8  0  = 6
----- 7 * 8  1  = 56
------ 1 * 8  2  = 64
----
126

 

Octal широко использовался в ранних мэйнфреймах. системы.


шестнадцатеричный Система счисления [Base-16]
В шестнадцатеричной системе счисления используется ШЕСТНАДЦАТЬ. значения для представления чисел.Значения:

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А Б В Г Д Е Ф
 

, где 0 имеет наименьшее значение, а F — наибольшее значение. Столбцы используются так же, как и в десятичной системе счисления. система, в которой крайний левый столбец используется для представления наибольшая ценность.

Как мы видели в десятичной системе, значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по горизонтальные направления.

0 - F, 10 - 1 этаж, 20 - 2 этаж, 30 - 3 этаж......

 

Шестнадцатеричный формат часто используется для представления значений [числа и адреса памяти] в компьютерных системах.

Десятичное — Двоичное — Шестнадцатеричное
Десятичное двоичный Шестнадцатеричный
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 А
11 1011 B
12 1100 С
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F

Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное
Задача: Преобразование 176 из шестнадцатеричного числа в десятичное.

Каждый столбец представляет степень 16,

176 =
---- 6 * 16  0  = 6
----- 7 * 16  1  = 112
------ 1 * 16  2  = 256
----
374

 

Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное
Проблема: Преобразование 10110 в шестнадцатеричное.

Каждая шестнадцатеричная цифра представляет 4 двоичных бита. Разделить двоичное число
на группы по 4 бита, начиная справа.1 0110
= 1 = 6
= 16 в шестнадцатеричной системе счисления

 

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное
Проблема: Преобразование десятичного числа 232 в шестнадцатеричное.

Используйте тот же метод, который использовался ранее, чтобы разделить десятичную дробь на
двоичный, но разделить на 16.

232/16 = 14 с остатком  8 
14/16 = 0 с остатком  E  (14 в десятичной системе = E)

=  E8    16   

Во избежание путаницы мы часто добавляем суффикс для обозначения основания числа

162  h  h означает шестнадцатеричный
162  16  16 означает основание 16

162  d  d означает десятичное число
162  10  10 означает основание 10

162  o  o означает восьмеричное
162  8  8 означает основание 8

101  b  b означает двоичный
101  2  2 означает основание 2

 

Примеры задач для шестнадцатеричной системы Преобразование


Представляя положительные и отрицательные числа в двоичном формате
Когда для хранения значений используется несколько битов, наиболее значащий бит [бит, имеющий наибольшее значение в крайний левый столбец] используется для хранения знака [положительный или отрицательный] числа.Остальные биты содержат фактическое стоимость.

Если число отрицательное, знак равен 1 , а для положительные числа, знак 0 .

Вопрос: Что такое диапазон чисел, доступных при использовании 8 бит.

Для 8 бит один бит предназначен для знака, 7 для числа, поэтому диапазон значений равен

2  7  = 127 комбинаций

 

Из-за проблем с сложением и вычитанием отрицательный числа обычно хранятся в формате, отличном от положительного числа.

Дополнительная информация о представлении чисел


Дополнение
Дополнение 1 — это метод хранения отрицательных значений. Это просто инвертирует все 0 в 1 и все 1 в 0.

Оригинальный номер Двоичное значение Дополняющее значение до 1
7 00000111 11111000
32 00100000 11011111
114 01110010 10001101

Дополнение до двоек
Дополнение до 2 — это еще один метод хранения отрицательных значений.Это получается добавлением 1 к значению дополнения 1.

Оригинальный номер Двоичное значение Дополняющее значение до 1 Дополнительное значение 2
7 00000111 11111000 11111001
32 00100000 11011111 11100000
114 01110010 10001101 10001110

Другой способ создания дополнительного числа до 2 — начать наименьший значащий бит и скопируйте все 0 до достигается первая 1.Скопируйте первую 1, затем инвертируйте все оставшиеся биты.

В следующей таблице показаны как единицы, так и двойки. дополнить, используя диапазон 4 бита.

Таблица дополнений
Двоичный Дополнение до 1 Дополнение до двух Без знака
0111 7 7 7
0110 6 6 6
0101 5 5 5
0100 4 4 4
0011 3 3 3
0010 2 2 2
0001 1 1 1
0000 0 0 0
1111 -0 -1 15
1110 -1 -2 14
1101 -2 -3 13
1100 -3 -4 12
1011 -4 -5 11
1010 -5 -6 10
1001 -6 -7 9
1000 -7 -8 8

Примечание: Посмотрите, как в случае дополнения до 1 есть два представления для 0


Серый код
Это код с переменным весом и циклический.Это значит, что он устроен так что каждый переход от одного значения к следующему включает только изменение одного бита .

Код Грея иногда называют отраженным двоичным кодом , потому что первые восемь значений сравниваются с последними 8 значения, но в обратном порядке.

Десятичное Двоичный Серый
0 0000 0000
1 0001 0001
2 0010 0011
3 0011 0010
4 0100 0110
5 0101 0111
6 0110 0101
7 0111 0100
8 1000 1100
9 1001 1101
10 1010 1111
11 1011 1110
12 1100 1010
13 1101 1011
14 1110 1001
15 1111 1000

Код Грея часто используется в механических приложениях, таких как энкодеры вала.

Арифметика по модулю 2
Это двоичное сложение, но перенос игнорируется.

Преобразование серого в двоичное

  1. запишите номер серым кодом
  2. старший бит двоичного числа является самым старшим значащий бит кода Грея
  3. добавить (используя по модулю 2) следующий значащий бит двоичное число до следующего значащего бита серого закодированное число для получения следующего двоичного бита
  4. повторяйте шаг 3, пока все биты серого закодированного числа не будут добавлено по модулю 2
  5. результирующее число является двоичным эквивалентом серого число
 Пример преобразования 1101101 кода Грея в двоичный код 

Серый двоичный
1.1101101
2.  1  101101 1 копия в старшем разряде
3. 1  1  1101  1  0 1 по модулю 2 1 = 0
4. 11  0  1101 1  0  0 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 110  1  101 10  0  1 0 по модулю 2 1 = 1
3/4 1101  1  01100  1  0 1 по модулю 2 1 = 0
3/4 11011  0  1 1001  0  0 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 110110  1  10010  0  1 0 по модулю 2 1 = 1

Ответ: 1001001

 

Преобразование двоичного изображения в серый

  1. запишите число в двоичном коде
  2. старший бит серого числа является самым старшим значащий бит двоичного кода
  3. добавить (используя по модулю 2) следующий значащий бит двоичное число до следующего значащего бита двоичного число для получения следующего бита с кодом серого
  4. повторите шаг 3 до тех пор, пока все биты двоичного числа не закодированы. были добавлены по модулю 2
  5. результирующее число является серым эквивалентом двоичное число
 Пример, преобразование двоичного кода 1001001 в код Грея 

Бинарный серый
1.1001001
2.  1  001001 1 копировать вниз старший бит
3.  10  01001 11 1 по модулю 2 0 = 1
4. 1  00  1001110 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 10  01 001 1101 0 по модулю 2 1 = 1
3/4 100  10  01 11011 1 по модулю 2 0 = 1
3/4 1001  00  1 110110 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 10010  01  1101101 0 по модулю 2 1 = 1

Ответ 1101101

 

Превышение 3 Серый код
Во многих приложениях желательно иметь код, который является двоично-десятичным кодом, а также единицей расстояния.Единица код расстояния получил свое название от того факта, что существует изменение только одного бита между двумя последовательными числами. Превышение 3 код Грея является таким кодом, значения для нуля и девяти различаются только 1 бит, как и все значения для последовательных чисел.

Выходы линейных устройств или угловых энкодеров могут кодироваться более 3 кодов Грея для получения многозначных чисел BCD.

Десятичное Излишек 3 Серый
0 0010
1 0110
2 0111
3 0101
4 0100
5 1100
6 1101
7 1111
8 1110
9 1010

Главная | Другие курсы | Обратная связь | Примечания | Тесты

© Copyright B Brown / Peter Henry.1984–1999 годы. Все права защищены.

Системы счисления

Обзор

Эта страница посвящена системам счисления. Вы уже знакомы по крайней мере с одной системой счисления — десятичной системой счисления, которую мы используем каждый день — на работе или за покупками — даже во время досуга (подумайте о многих играх и спортивных мероприятиях, связанных с хронометражом или счетом). ).На протяжении всей письменной истории появилось множество различных систем счисления. Здесь нас в первую очередь интересуют те, с которыми мы встретимся в контексте математики, науки и техники.

Существует множество различных систем счисления, основное различие между которыми состоит в количестве используемых символов (называемых основанием или основанием системы счисления). Десятичные числа имеют основание десять , двоичные числа (которые очень важны в вычислениях) имеют основание два , восьмеричные числа имеют основание восемь , а шестнадцатеричные числа имеют базу шестнадцать .

В вычислениях используются двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа. Шестнадцатеричные числа особенно важны в области вычислений, поскольку они обеспечивают удобный способ выражения двоичных значений. Каждая шестнадцатеричная цифра может использоваться для представления группы из четырех двоичных цифр (или бит ), а пара шестнадцатеричных цифр может использоваться для представления байта (группа из восьми двоичных цифр).

Символы, используемые в большинстве стран западного мира для выражения числовых значений, являются версией индуистско-арабской системы счисления, позиционной системы счисления , разработанной индуистскими и индийскими математиками в течение девятого века, позже принятой арабскими математиками и принятой в их во многие части Европы.В системе десять символов, каждый из которых представляет одно из десяти целых значений от 0 до 9.

Символы, используемые для представления цифр, важны только в том смысле, что они обеспечивают способ идентификации различных числовых значений с целью передачи их другим. Свойства данной системы счисления зависят только от количества различных используемых символов и от того, является ли система счисления позиционной.

Цифры, используемые в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, приведены ниже.Обратите внимание, что шестнадцатеричная система счисления использует первые шесть букв алфавита (A-F) для обозначения чисел с десять до пятнадцать (10-15).


Цифры, используемые в общих системах счисления
Система счисления 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
двоичный 1 0
восьмеричный 7 6 5 4 3 2 1 0
десятичный 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
десятичный Ф E D С B А 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Десятичные числа

Обычно предполагается, что использование системы счисления, основанной на десяти символах ( десятичная система счисления ), основано на том факте, что ранний человек впервые научился считать, используя пальцы обеих рук, что позволило им считать до десять с относительной легкостью.

Все интересующие нас системы счисления (включая десятичную систему счисления, с которой большинство из нас знакомо) являются позиционными. Рассмотрим для примера число 123,456. Это число с плавающей запятой , то есть оно имеет дробную часть, представленную цифрами, которые появляются справа от десятичной запятой (термин «с плавающей запятой» просто означает, что десятичная запятая (или основание системы счисления ) может размещать в любом месте относительно значащих цифр номера).

Число в первой позиции перед десятичной точкой (3) представляет собой значение 3 × 10 0 (три, умноженное на десять до нулевой степени), что равняется трем, поскольку любое число в степени нуля равно единице. Число во второй позиции слева от десятичной точки (2) представляет собой значение 2 × 10 1 или 20 (любое число в степени единицы является само по себе). Цифра в третьей позиции слева от десятичной точки (1) представляет собой значение 1 × 10 2 или сто.



Каждую цифру в десятичном числе необходимо умножить на десять в степени, которая зависит от положения цифры в числе, относительно десятичной точки, отделяющей целую часть числа от дробной части (если есть). Позиция имеет значение, потому что она определяет величину значения, представленного каждой цифрой. Три цифры справа от десятичной точки в приведенном выше примере (4, 5 и 6) представляют значения 4 × 10 -1 , 5 × 10 -2 и 6 × 10 -3 соответственно.

Восьмеричные числа

Восьмеричная система счисления, как следует из названия, имеет основание восемь (8). В ней используются те же первые восемь цифр, что и в десятичной системе счисления (от 0 до 7). Восьмеричная система счисления больше не широко используется в вычислениях (или где-либо еще в этом отношении), но когда-то она была популярна, потому что все восьмеричные цифры могли быть представлены с использованием всего трех битов.

Некоторые ранние мэйнфреймы и миникомпьютеры были построены на основе 36-битной архитектуры. Восьмеричный код часто использовался для хранения цифровой информации, потому что группировка из трех битов довольно хорошо вписывалась в слово из тридцати шести битов. Восьмеричные цифры и их двоичные представления показаны ниже.

0 = 000
1 = 001
2 = 010
3 = 011
4 = 100
5 = 101
6 = 110
7 = 111

Подобно шестнадцатеричной и двоичной системах счисления, используемым в современных компьютерах, восьмеричные числа часто требовались для представления десятичных значений.Выше мы видели, что представляет собой число 123,456 в десятичной системе счисления. Каждая цифра представляет собой некоторую степень, кратную десяти, в зависимости от ее положения относительно точки счисления. Что бы представляла эта же последовательность чисел, если бы вместо десятичной системы счисления мы использовали восьмеричную систему счисления? Давайте выясним.



Чтобы преобразовать это значение в его десятичный эквивалент, нам нужно сложить значения цифр:

123.456 8 = 1 × 8 2 + 2 × 8 1 + 3 × 8 0 + 4 × 8 -1 + 5 × 8 -2 + 6 × 8 -3

123,456 8 = 64 + 16 + 3 + 0,5 + 0,078125 + 0,01171875

123,456 8 = 83,58984375

Как видите, эта последовательность цифр представляет собой совсем другое восьмеричное значение. Обратите внимание: когда мы пишем десятичное число, мы обычно не указываем явно, что это десятичное число.Однако при написании чисел в других основаниях иногда рекомендуется указывать используемую числовую основу, чтобы избежать путаницы. Мы можем сделать это, добавив нижний индекс после числа, как показано ниже:

123,456 8

Мы видели, что преобразование восьмеричных чисел в десятичные относительно несложно. Преобразование восьмеричных чисел в двоичные стало еще проще. Мы видели, что каждая цифра восьмеричного числа умножается на степень восьми, а восемь равняется двум в степени трех:

8 = 2 3

Каждая дополнительная цифра при движении справа налево в двоичном числе представляет собой последовательную степень двойки.Точно так же каждая дополнительная цифра при движении справа налево в восьмеричном числе представляет собой последовательную степень восьми. Это означает, что сдвиг на одну позицию влево в восьмеричном числе эквивалентен сдвигу на три позиции влево в двоичном числе.

Значение может быть не сразу очевидным — возможно, вам придется подумать над этим некоторое время. Важно понимать, что для преобразования восьмеричного числа в его двоичный эквивалент мы просто заменяем каждую восьмеричную цифру тремя двоичными цифрами, которые ее представляют (мы видели их, перечисленные выше).Преобразуем восьмеричное число 123,456 в двоичное:



Следовательно:

123,456 8 = 1010011.10010111 2

Обратите внимание, что мы удалили два начальных нуля и конечный ноль из двоичного результата. Вы должны увидеть, что обратный процесс (преобразование двоичных чисел в их восьмеричное представление) — это просто вопрос замены каждой группы из трех двоичных цифр ее восьмеричным представлением.Преобразуем двоичное число 111110101.10001101 в восьмеричное:



Следовательно:

111110101.10001101 2 = 765.432 8

Единственное, с чем вам нужно быть осторожным, это убедиться, что вы разбили двоичное число на правильные трехзначные группы (при необходимости добавьте начальные или конечные нули, чтобы завершить левую и крайнюю правую группы двоичных цифр.

Преобразование восьмеричных чисел в шестнадцатеричные нельзя выполнить напрямую — это двухэтапный процесс. Первый шаг — преобразовать восьмеричное число в его десятичный эквивалент, как показано выше. Второй шаг — преобразовать полученное десятичное число в шестнадцатеричное (см. Ниже).

Шестнадцатеричные числа

Шестнадцатеричная система счисления (или основание шестнадцати) — это позиционная система счисления, которая представляет числовые значения с использованием шестнадцати символов — от 0 до 9 для значений от нуля до девяти и A, B, C, D, E и F для представления чисел. без десяти пятнадцать.По этой причине считается, что его основание равняется шестнадцати. Шестнадцатеричные числа выражаются как последовательность из одной или нескольких шестнадцатеричных цифр, за которыми следует строчная буква «h» или иногда нижний индекс 16, чтобы указать, что они на самом деле являются шестнадцатеричными (основание шестнадцать) числами. Вот десятичное число сто шестьдесят пять (165), выраженное в виде шестнадцатеричного числа:

A5h

Как и в знакомой нам десятичной системе, положение каждой цифры в шестнадцатеричном числе определяет ее значение.В то время как каждая позиция в десятичном числе представляет некоторую степень десяти, однако каждая позиция в шестнадцатеричном числе представляет степень шестнадцати. В таблице ниже показаны числа от 0 до 63 (с десятичным основанием) в виде шестнадцатеричных чисел.


Шестнадцатеричные числа
шестигранник 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А B С D E F
декабрь 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
шестигранник 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1D 1E 1 этаж
декабрь 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
шестигранник 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2C 2D 2E 2F
декабрь 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
шестигранник 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3A 3C 3D 3E 3F
декабрь 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

Десятичное число тридцать девять (39), выраженное шестнадцатеричным числом (27h), таким образом:

2 × 16 1 + 7 × 16 0 = 32 + 7 = 39

Шестнадцатеричная цифра в крайней правой позиции любого шестнадцатеричного целого числа содержит наименьшее значение (с максимальным значением пятнадцать).Крайняя левая шестнадцатеричная цифра имеет максимальное значение, которое отражает ее положение относительно самой правой цифры и будет кратным некоторой степени шестнадцати больше нуля. Значение самой левой шестнадцатеричной цифры (при условии, что мы игнорируем ведущие нули) всегда превышает суммарное значение всех цифр справа от нее. По этой причине общая величина шестнадцатеричного числа всегда определяется позицией самой левой цифры.

Дроби также могут быть представлены с помощью шестнадцатеричных цифр, как и действительные (дробные) числа.Как и действительные числа с основанием десять, дробная часть шестнадцатеричного числа следует за точкой. В десятичной системе счисления мы называем это десятичной точкой. В шестнадцатеричной системе счисления мы называем это шестнадцатеричной точкой .

В десятичной системе число в первой позиции после десятичной точки умножается на 10 -1 (0,1), цифра во второй позиции после десятичной точки умножается на 10 -2 (0.01) и так далее. Дробная часть шестнадцатеричного числа работает по тому же принципу, за исключением того, что цифра в первой позиции, следующей за двоичной точкой, умножается на 16 -1 (от 0,0625 до десятичного основания), цифра во второй позиции после двоичной точки. умножается на 16 -2 (0,003 с точностью до десяти) и т. д.

Обратите внимание, что, в то время как каждая последующая положительная степень шестнадцати имеет значение в шестнадцать раз больше, чем ее предшественник, каждая последующая отрицательная степень шестнадцати имеет одну шестнадцатую значение своей предшественницы.Анатомия реального шестнадцатеричного числа проиллюстрирована ниже.


Анатомия реального шестнадцатеричного числа


Поскольку так легко представить группы из четырех двоичных цифр с помощью шестнадцатеричных цифр, шестнадцатеричная система счисления часто используется для представления двоичных значений в областях вычислительной техники и цифровой электроники. Байтовые значения, которые могут представлять десятичные числа в диапазоне от 0 до 255, часто выражаются с помощью пары шестнадцатеричных цифр в диапазоне от 00h до FFh.Шестнадцатеричные числа также обычно используются для представления адресов памяти в программах на языке ассемблера.

Двоичные числа

Важность двоичной системы счисления, которая, как следует из названия, состоит только из двух символов (0 и 1), заключается в том, что это единственная система счисления, которую современные цифровые компьютеры действительно «понимают». Следует помнить, что в основе этих устройств лежит центральный процессор (ЦП), который по сути представляет собой конечный автомат, состоящий из транзисторов и микросхем, которые обеспечивают сотни миллионов взаимосвязанных высокоскоростных переключателей.Состояние каждого отдельного переключателя может быть включено или выключено, поэтому каждый переключатель может представлять только единицу или ноль.

Хотя компьютеры могут обрабатывать огромные объемы данных и выполнять миллионы вычислений в секунду, все основные машинные операции, которые достигают этого, основаны на манипулировании двоичными значениями с использованием различных типов логических схем. Даже данные, хранящиеся в оперативной памяти (RAM) и на магнитных или оптических дисках, физически хранятся как двоичные данные — миллиарды отдельных двоичных цифр («битов»), все из которых имеют значение 0 или 1.

В то время как целочисленные значения в других системах счисления могут быть точно представлены с использованием двоичной системы счисления, многие действительные числа (с дробными значениями) не могут. Таким образом, такие значения являются приблизительными, хотя степень точности , достигаемая , увеличивается с увеличением числа битов, используемых в их представлении, за счет увеличения объема памяти в рабочей памяти или на диске.

Поскольку двоичная система счисления (или система счисления с основанием два) представляет числовые значения с использованием всего двух символов (0 и 1), считается, что она имеет основание, равное двум.Двоичные числа выражаются как последовательность двоичных цифр, иногда за которыми следует нижний индекс 2, чтобы указать, что они на самом деле являются двоичными числами. Вот десятичное число сто семьдесят (170), выраженное в виде двоичного числа:

10101010 2

Как и в знакомой нам десятичной системе, положение каждой цифры в двоичном числе определяет его значение.В то время как каждая позиция в десятичном числе представляет некоторую степень десяти, однако каждая позиция в двоичном числе представляет степень двойки. В таблице ниже показаны числа от 0 до 15 (с основанием десять) как 4-битные двоичные числа (пятнадцать — это наибольшее число, которое может быть выражено четырьмя двоичными цифрами).


4-битные двоичные числа
двоичный 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
декабрь 0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичный 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
декабрь 8 9 10 11 12 13 14 15

Десятичное число 13 может быть выражено как двоичное число следующим образом:



1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

Двоичная цифра в самой правой позиции любого двоичного целого числа содержит наименьшее значение (с максимальным значением, равным единице) и иногда упоминается как младший значащий бит (LSB).Самая левая двоичная цифра имеет максимальное значение, которое отражает ее положение относительно младшего разряда, и будет представлять собой некоторую степень двойки больше нуля.

Крайняя левая двоичная цифра (при условии, что мы игнорируем ведущие нули) иногда называется старшим значащим битом (MSB), и ее значение всегда превышает суммарное значение всех битов справа от нее. По этой причине общая величина двоичного числа всегда определяется позицией самого левого (ненулевого) бита.

Дроби также могут быть представлены двоичными цифрами, как и действительные (дробные) числа. Как и действительные числа с основанием десять, дробная часть двоичного числа следует за точкой счисления. В десятичной системе счисления мы называем это десятичной точкой, но в двоичной системе счисления мы называем это двоичной точкой .

В десятичной системе число в первой позиции после десятичной точки умножается на 10 -1 (0.1) цифра во второй позиции после десятичной точки умножается на 10 -2 (0,01) и т. Д. Дробная часть двоичного числа работает по тому же принципу, за исключением того, что цифра в первой позиции, следующей за двоичной точкой, умножается на 2 -1 (от 0,5 до десятичного), цифра во второй позиции после двоичной точки. умножается на 2 -2 (0,25 с точностью до десяти) и т. д.

Обратите внимание, что в то время как каждая последующая положительная степень двойки имеет двойное значение своего предшественника, каждая последующая отрицательная степень двойки имеет половину значения своего предшественника.Анатомия реального двоичного числа проиллюстрирована ниже.


Анатомия реального двоичного числа


Из вышесказанного видно, что преобразование двоичных чисел в десятичные относительно несложно. Просто сложите степени двойки, представленные каждой двоичной цифрой (это работает для двоичных целых чисел, дробей и действительных чисел).

Когда вы думаете об этом, почти столь же очевиден тот факт, что точность, с которой действительные числа и дроби (с основанием десять) могут быть преобразованы в двоичные, часто будет зависеть от количества битов, доступных для представления дробной части числа.Чем больше количество используемых битов, тем точнее будет результат (в терминах вычислений более высокая точность означает больший объем памяти, необходимый для хранения результата).

Преобразование двоичных чисел в шестнадцатеричные стало еще проще, и это позволяет нам представлять двоичные значения более удобным для человека способом. Мы уже видели таблицу, содержащую десятичные целые (целые числа) значения от нуля до пятнадцати (0–15) и их двоичные эквиваленты.Давайте теперь посмотрим на двоичные эквиваленты шестнадцати цифр, используемых в шестнадцатеричной системе (0–9, A – F):


Двоичное преобразование в шестнадцатеричное
двоичный 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
шестигранник 0 1 2 3 4 5 6 7
Двоичный 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
шестигранник 8 9 А B С D E F

Мы видели, что каждая цифра в шестнадцатеричном числе умножается на степень шестнадцати, а шестнадцать равно двум в степени четырех:

16 = 2 4

Каждая дополнительная цифра при движении справа налево в двоичном числе представляет собой последовательную степень двойки.Точно так же каждая дополнительная цифра при движении справа налево в шестнадцатеричном числе представляет собой последовательную степень шестнадцати. Это означает, что сдвиг на одну позицию влево в шестнадцатеричном числе эквивалентен сдвигу на четыре позиции влево в двоичном числе.

Значение может быть не сразу очевидным — возможно, вам придется подумать над этим некоторое время. Важно понимать, что для преобразования двоичного числа в его шестнадцатеричный эквивалент достаточно просто заменить каждую группу из четырех двоичных цифр ее шестнадцатеричным представлением.Преобразуем двоичное число 110111110101.100011010011 в шестнадцатеричное:



Следовательно:

110111110101.100011010011 2 = DF5.8D3h

Единственное, с чем вам нужно быть осторожным, это убедиться, что вы разбили двоичное число на правильные четырехзначные группы (при необходимости добавьте начальные или конечные нули, чтобы завершить левую и крайнюю правую группы двоичных цифр.Кстати, если вы хотите проверить какой-либо из примеров преобразования, приведенных на этой странице, вы можете найти здесь удобный онлайн-инструмент для преобразования:

Набор инструментов кодера — преобразование чисел

Преобразование из шестнадцатеричного в двоичное — это просто вопрос обратного процесса. Другими словами, мы просто заменяем каждую цифру шестнадцатеричного числа четырьмя двоичными цифрами, которые ее представляют.После того, как мы выполнили преобразование, мы можем безопасно удалить все нули в начале и в конце. Преобразуем шестнадцатеричное число F08.7A5h в двоичное:



Следовательно:

F08.7A5h = 111100001000.011110100101 2

Преобразование десятичного числа в восьмеричное

Один из методов, который можно использовать для преобразования десятичного числа в его восьмеричный эквивалент, — выполнить целочисленное деление с использованием восьми в качестве делителя.Преобразуемое число делится на восемь, а остаток записывается в крайней правой позиции (восьмеричной цифрой). Целочисленный результат деления затем снова делится на восемь, а остаток записывается (снова как восьмеричная цифра) слева от восьмеричной цифры, полученной на предыдущем шаге. Этот процесс повторяется до тех пор, пока целочисленный результат деления не станет нулевым. Пример послужит иллюстрацией процесса. Чтобы преобразовать десятичное число 16895 в восьмеричное, выполните следующие действия:


2 8 8 8
Десятичное преобразование в восьмеричное
Целочисленное деление Целочисленное значение Остаток Восьмеричный
16,895 ÷ 8 2,111 7 7 8 7 7 8
2 902 902
7 8
263 ÷ 8 32 7 7 8
32 ÷ 8 4 0 086 086 086 0 4 4 8

Следовательно:

16 895 10 = 40777 8

Мы можем выполнить относительно простой процесс, который мы уже видели, чтобы преобразовать число обратно в десятичное (и в то же время подтвердить, что полученный ответ правильный).Просто умножьте каждую шестнадцатеричную цифру на соответствующую степень шестнадцати и сложите полученные десятичные значения, как показано ниже:

4 × 8 4 + 0 × 8 3 + 7 × 8 2 + 7 × 8 1 + 7 × 8 0

= 4 × 4,096 + 0 × 512 + 7 × 64 + 7 × 8 + 7 × 1

= 16,384 + 0 + 448 + 56 + 7

= 16,895 10

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное

Один из методов, который можно использовать для преобразования десятичного числа в его шестнадцатеричный эквивалент, — выполнить целочисленное деление с использованием шестнадцати в качестве делителя.Преобразуемое число делится на шестнадцать, а остаток записывается в крайнем правом положении (в виде шестнадцатеричной цифры). Целочисленный результат деления затем снова делится на шестнадцать, а остаток записывается (снова в виде шестнадцатеричной цифры) слева от шестнадцатеричной цифры, полученной на предыдущем шаге. Этот процесс повторяется до тех пор, пока целочисленный результат деления не станет нулевым. Пример послужит иллюстрацией процесса. Чтобы преобразовать десятичное число 13,337 в шестнадцатеричное, выполните следующие действия:


Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное
Целочисленное деление Целочисленное значение Остаток Шестнадцатеричный
13,337 ÷ 16 833 9 9h
9022 9022 9022 9022 9022 9h
1
52 ÷ 16 3 4 4h
3 ÷ 16 0 3 3h

Следовательно:

13 337 10 = 3419 часов

Мы можем выполнить относительно простой процесс, который мы уже видели, чтобы преобразовать число обратно в десятичное (и в то же время подтвердить, что полученный ответ правильный).Просто умножьте каждую шестнадцатеричную цифру на соответствующую степень шестнадцати и сложите полученные десятичные значения, как показано ниже:

3 × 16 3 + 4 × 16 2 + 1 × 16 1 + 9 × 16 0

= 3 × 4096 + 4 × 256 + 1 × 16 + 9 × 1

= 12 288 + 1,024 + 16 + 9

= 13,337 10

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Преобразование десятичных чисел в двоичные не так просто, но не так уж и сложно.Чтобы упростить задачу, мы будем иметь дело с целыми числами и дробями (или целыми числами и дробными частями действительных чисел) отдельно. Начнем с двоичных целых чисел («целое» — это имя, которое мы используем для целого числа). Описанный здесь метод — один из нескольких, которые можно использовать, но, вероятно, он самый простой. Чтобы преобразовать десятичное число n в двоичное, выполните следующие действия:

  1. Разделите n на два и запишите остаток (ноль или один).
  2. Если результат предыдущего шага больше нуля, разделите его на два и запишите остаток. В противном случае переходите к шагу 4.
  3. Повторите шаг 2.
  4. Запишите последовательность значений остатка в обратном порядке.

Следующий пример должен прояснить этот процесс. Мы собираемся преобразовать десятичное число сто шестьдесят девять (169) в его двоичный эквивалент.


902 902 9072 9072 Двоичное число считывается из столбца остатка, начиная с самого нижнего бита ( старший значащий бит или MSB) и заканчивая самым верхним битом ( младший значащий бит или LSB), что дает нам двоичное значение:

169 10 = 10101001 2

Преобразование десятичных дробей в двоичные — аналогичный процесс.Как и в случае с целочисленным преобразованием, описанным выше, показанный ниже метод не единственный доступный, но относительно простой в использовании. Его можно использовать для дробных значений, выраженных в виде собственных дробей (например, 3 / 4 ) или десятичных дробей (например, 0,75). Чтобы преобразовать десятичную дробь в двоичную, действуйте следующим образом:

  1. Начните с записи двоичной точки, перед которой стоит ноль.
  2. Умножьте дробное значение на два.
  3. Если результат меньше единицы, добавьте ноль.
  4. Если результат один, добавьте единицу и переходите к шагу 7.
  5. Если результат больше единицы, добавьте единицу и отбросьте целую часть результата, чтобы создать новое дробное значение.
  6. Перейти к шагу 2.
  7. Стоп.

В следующем примере показано, как работает этот процесс. Мы собираемся преобразовать дробь 1 / 3 в ее двоичный эквивалент.


Преобразование десятичного числа в двоичное целое
Целочисленное деление Целочисленное значение Остаток Бит
169 ÷ 2 84 1 LSB
84219 2
42 ÷ 2 21 0
21 ÷ 2 10 1
10 ÷ 2 5 0 5 ÷ 2 2 1
2 ÷ 2 1 0
1 ÷ 2 0 1 1
2 × 2 0,010
Преобразование десятичной дроби в двоичное
Дробь × 2 Результат <1 или> 1? Двоичная
дробь
1 / 3 × 2 2 / 3 <1 (прибавить 0) 0,0
1 1 / 3 > 1 (добавить 1) 0.01
1 / 3 × 2 2 / 3 <1 (добавить 0) 0,010
2 /8619 2 /907 3 1 / 3 > 1 (прибавить 1) 0,0101
1 / 3 × 2 2 / 3 <1 (прибавить )
2 / 3 × 2 1 1 / 3 > 1 (добавить 1) 0.0101

Быстро должно быть очевидно, что преобразовываемая десятичная дробь в этом случае представлена ​​ повторяющимся двоичным шаблоном . Таким образом, точность преобразования будет зависеть от того, сколько битов доступно для хранения дробного значения. В этом случае мы разрешили шесть битов справа от двоичной точки, что дает нам двоичное значение:

0,010101 2

Обратите внимание, что 1 / 3 , выраженный в виде десятичной дроби, равен 0.333, и точность десятичного представления, таким образом, зависит от количества двоичных цифр, следующих за точкой счисления. Поэтому при выполнении вычислений с использованием дробных значений всегда рекомендуется определять степень точности, требуемую для ответа. Для двоичных вычислений обычно существует верхний предел количества бит, доступных для дробной части результата.


Обзор систем счисления

Обзор систем счисления

В цифровой технология.Наиболее распространены десятичные, двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа. системы. Десятичная система, очевидно, наиболее знакома нам, потому что она инструменты, которыми мы пользуемся каждый день.

Типы систем счисления:

1 Десятичная система счисления

2 Двоичная система счисления

3 восьмеричная система счисления

4 Шестнадцатеричная система счисления

Рис. Типы систем счисления

ДЕСЯТИЧНОЕ ДВОИЧНОЕ ВСЕЧЕРНОЕ ШЕСТИГРАННОЕ

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 А

11 1011 13 Б

12 1100 14 К

13 1101 15 Д

14 1110 16 E

15 1111 17 Факс

Рис: Система счисления и их базовое значение


Десятичная система: Десятичная система состоит из из 10 цифр или символов.Эти 10 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Используя эти символы как цифры числа, мы можем выразить любую величину. Десятичную систему также называют системой с основанием 10, потому что она состоит из 10 цифр. Хотя в десятичной системе всего 10 символов, любое число любой величины можно выразить с помощью нашей системы позиционного взвешивания.


Пример: 3,14 10 , 52 10 , 1024 10

Двоичная система: В двоичной системе, есть только два символа или возможные цифровые значения, 0 и 1.Это base-2 Система может использоваться для представления любого количества, которое может быть представлено в десятичной системе. или другая базовая система.


В цифровых системах обрабатываемая информация обычно представлены в двоичной форме. Бинарные величины могут быть представлены любыми устройство, имеющее только два рабочих состояния или возможных условий. Например .. A переключатель только открыт или закрыт. Мы произвольно (как мы их определяем) позволяем открытому переключатель представляет двоичный 0, а закрытый переключатель представляет двоичную 1.Таким образом, мы можем представляют любое двоичное число с помощью серии переключателей.

Двоичный 1: любое напряжение от 2 В до 5 В Двоичный 0: любое напряжение от 0 В до 0,8 В

Не используется: напряжение от 0,8 В до 2 В в 5-вольтовой КМОП-матрице и TTL По логике, это может вызвать ошибку в цифровой цепи. Современные цифровые схемы работает при 1,8 В, поэтому это утверждение может не выполняться для всех логических схем.

Восьмеричная система счисления: Восьмеричная система счисления имеет основание восемь, что означает восемь возможных цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.


Шестнадцатеричная система: В шестнадцатеричной системе используется основание 16. Таким образом, имеется 16 возможных цифр. Это использует цифры от 0 до 9 плюс буквы A, B, C, D, E и F как 16 цифр символы.


Код Преобразование

Преобразование из одной кодовой формы в другую называется преобразование кода, например преобразование из двоичного в десятичное или преобразование из шестнадцатеричный в десятичный.

ü двоично-десятичный Преобразование: Любая двоичное число можно преобразовать в его десятичный эквивалент , просто сложив веса различные позиции в двоичном числе, содержащие 1.


ü Десятичный в двоичное преобразование:

Есть 2 метода:

• Реверс двоично-десятичного метода

• Повторить Дивизион

Реверс двоично-десятичного метода


Повторить деление — преобразовать десятичное число в двоичное : Это Метод использует повторное деление на 2.


ü двоично-восьмеричный / Восьмерично-двоичное преобразование

Двоичное в восьмеричное

100111 0102 = (100) (111) (010) 2 = 4 7 28

ü Десятичный Преобразование в восьмеричное / восьмеричное в десятичное

Десятичное в восьмеричное


Восьмеричное в десятичное


ü Шестнадцатеричный в десятичное / десятичное в шестнадцатеричное преобразование десятичное в шестнадцатеричное


ü двоичное в шестнадцатеричное / шестнадцатеричное в двоичное Преобразование

Двоично-шестнадцатеричный: 1011 0010 1111 2 = (1011) (0010) (1111) 2 = B 2 F 16

Шестнадцатеричное в двоичное


ü Восьмеричное преобразование в шестнадцатеричное Преобразование шестнадцатеричного числа в восьмеричное

· Сначала преобразовать восьмеричное (шестнадцатеричное) в двоичное.

· Перегруппируйте двоичное число по три бита на группу начиная с LSB, если требуется Octal.

· Перегруппируйте двоичное число по четыре бита на группу начиная с младшего разряда, если требуется шестнадцатеричное число.

Восьмеричное в шестнадцатеричное


Шестнадцатеричный до окта л


Дополнение до 1 и 2

Дополнения используются в цифровых компьютерах для упростить операцию вычитания и логические манипуляции.Есть два типы дополнений для каждой системы base-r: дополнение основания и уменьшенное дополнение основания системы счисления. Первый называется дополнением к r и второй как дополнение (r — 1), когда значение основания r равно подставлено в название. Эти два типа обозначаются как . Дополнение до двух и до единицы для двоичных чисел, а до десяти — до . для десятичных чисел.

Дополнение до единицы двоичного числа — это число, которое получается при преобразовании allchan1 в нули и нули в единицы.

Дополнение до 2 — это двоичное число, которое результаты, когда мы добавляем 1 к дополнению до 1 Он используется для представления отрицательных числа.

Дополнение до 2 = Дополнение до 1 + 1


Ссылка: 1) AP Godse & DA Godse «Цифровая электроника», Технические публикации, Пуна, пересмотренное третье издание, 2008 г. Стр. №: 1-17

2) Моррис Мано М.и Майкл Д. Силетти, «Цифровой дизайн», IV издание, издание Pearson Edition , 2008 г., стр. №: 1-8.

Цифровая система нумерации, часть I

Система нумерации

В цифровой технике используется множество систем счисления.Наиболее распространены десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Десятичная система, несомненно, наиболее знакома нам, потому что это инструмент, который мы используем каждый день. Изучение некоторых его характеристик поможет нам лучше понять другие системы. На следующих нескольких страницах мы представим четыре системы числового представления, которые используются в цифровой системе. Есть и другие системы, которые мы кратко рассмотрим.

  • Десятичный
  • двоичный
  • восьмеричное
  • Шестнадцатеричный

Десятичная система

Десятичная система состоит из 10 цифр или символов.Эти 10 символов — это 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Используя эти символы как цифры числа, мы можем выразить любую величину. Десятичную систему также называют системой с основанием 10, потому что она состоит из 10 цифр.

10 3

10 2

10 1

10 0

10 -1

10 -2

10 -3

= 1000

= 100

= 10

= 1

.

= 0,1

= 0,01

= 0,001

Старшая цифра

Десятичная точка

Младшая значащая цифра

Хотя в десятичной системе всего 10 символов, любое число любой величины может быть выражено с помощью нашей системы позиционного взвешивания.

Примеры десятичных чисел

  • 3,14 10
  • 52 10
  • 1024 10
  • 64000 10

Двоичная система

В двоичной системе есть только два символа или возможных цифровых значения, 0 и 1.Эта система с основанием 2 может использоваться для представления любой величины, которая может быть представлена ​​в десятичной или другой системе счисления.

2 3

2 2

2 1

2 0

2 -1

2 -2

2 -3

= 8

= 4

= 2

= 1

.

= 0,5

= 0,25

= 0,125

Старшая цифра

двоичная точка

Младшая значащая цифра

Двоичный счет

Последовательность двоичного счета приведена в таблице:

2 3

2 2

2 1

2 0

Десятичное

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

2

0

0

1

1

3

0

1

0

0

4

0

1

0

1

5

0

1

1

0

6

0

1

1

1

7

1

0

0

0

8

1

0

0

1

9

1

0

1

0

10

1

0

1

1

11

1

1

0

0

12

1

1

0

1

13

1

1

1

0

14

1

1

1

1

15

Представление двоичных величин

В цифровых системах обрабатываемая информация обычно представлена ​​в двоичной форме.Двоичные величины могут быть представлены любым устройством, имеющим только два рабочих состояния или возможных условий. Например, переключатель только разомкнут или замкнут. Мы произвольно (как мы их определяем) позволяем разомкнутому переключателю представлять двоичный 0, а замкнутому переключателю — двоичному 1. Таким образом, мы можем представить любое двоичное число с помощью серии переключателей.

Типовое назначение напряжения

Двоичный 1: Любое напряжение от 2 В до 5 В

Двоичный 0: Любое напряжение от 0 В до 0.8В

Не используется: Напряжение от 0,8 В до 2 В в 5-вольтовой КМОП-матрице и логике TTL, это может вызвать ошибку в цифровой цепи. Современные цифровые схемы работают при напряжении 1,8 В, поэтому это утверждение может не выполняться для всех логических схем.

Мы видим еще одно существенное различие между цифровыми и аналоговыми системами.В цифровых системах точное значение напряжения не имеет значения; например, напряжение 3,6 В означает то же самое, что и напряжение 4,3 В. В аналоговых системах важно точное значение напряжения.

Двоичная система счисления является самой важной в цифровых системах, но некоторые другие также важны. Десятичная система важна, потому что она повсеместно используется для представления величин за пределами цифровой системы.Это означает, что возникнут ситуации, когда десятичные значения должны быть преобразованы в двоичные значения, прежде чем они будут введены в цифровую систему.

Помимо двоичной и десятичной, две другие системы счисления находят широкое применение в цифровых системах. Восьмеричная (с основанием 8) и шестнадцатеричная (с основанием 16) системы счисления используются для одной и той же цели — для обеспечения эффективного средства представления большой двоичной системы.

Восьмеричная система

В восьмеричной системе счисления основание равно восьми, что означает восемь возможных цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7.

8 3

8 2

8 1

8 0

8 -1

8 -2

8 -3

= 512

= 64

= 8

= 1

.

= 1/8

= 1/64

= 1/512

Старшая цифра

Восьмеричная точка

Младшая значащая цифра

Восьмеричное преобразование в десятичное

  • 237 8 = 2 x (8 2 ) + 3 x (8 1 ) + 7 x (8 0 ) = 159 10
  • 24.6 8 = 2 x (8 1 ) + 4 x (8 0 ) + 6 x (8 -1 ) = 20,75 10
  • 11,1 8 = 1 x (8 1 ) + 1 x (8 0 ) + 1 x (8 -1 ) = 9,125 10
  • 12,3 8 = 1 x (8 1 ) + 2 x (8 0 ) + 3 x (8 -1 ) = 10,375 10

Шестнадцатеричная система

В шестнадцатеричной системе используется основание 16.Таким образом, он имеет 16 возможных цифровых символов. Он использует цифры от 0 до 9 плюс буквы A, B, C, D, E и F в качестве 16-значных символов.

16 3

16 2

16 1

16 0

16 -1

16 -2

16 -3

= 4096

= 256

= 16

= 1

.

= 1/16

= 1/256

= 1/4096

Старшая цифра

Шестнадцатеричная десятичная точка

Младшая значащая цифра

Преобразование шестнадцатеричной системы в десятичную

  • 24.6 16 = 2 x (16 1 ) + 4 x (16 0 ) + 6 x (16 -1 ) = 36,375 10
  • 11,1 16 = 1 x (16 1 ) + 1 x (16 0 ) + 1 x (16 -1 ) = 17,0625 10
  • 12,3 16 = 1 x (16 1 ) + 2 x (16 0 ) + 3 x (16 -1 ) = 18,1875 10

Десятичная система счисления — определение, преобразование и примеры

Что такое десятичная система счисления?

Мы изучили различные типы чисел, такие как действительные числа, целые числа, рациональные числа и т. Д.Существует четыре различных типа систем счисления. Это

  • Двоичная система счисления с основанием 2, представляет любое число с использованием 2 цифр [0–1]

  • Восьмеричная система счисления с основанием 8 представляет любое число с использованием 8 цифр [0–7] .

  • Десятичная система счисления с основанием 10 представляет любое число с использованием 10 цифр [0–9]

  • Шестнадцатеричная система счисления с основанием 16 представляет любое число с использованием 10 цифр и 6 знаков [0–9] , A, B, C, D, E, F]

В этой статье давайте изучим, что такое десятичная система счисления, определение десятичной системы счисления, пример десятичной системы счисления и преобразование десятичной системы счисления в различные типы система счисления.

Определение десятичной системы счисления

Десятичная система счисления состоит из цифр от 0 до 9, которые равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Основание или основание десятичной системы счисления — 10, потому что общее количество цифр, доступных в десятичной системе счисления, равно 10. Все остальные цифры могут быть выражены с помощью этих 10-значных чисел.

Десятичная система счисления — наиболее распространенная и простая система счисления, используемая в нашей повседневной жизни. Вот некоторые примеры десятичной системы счисления:

34110, 5610, 678910, 7810.

Теперь, когда мы знаем, как записывать десятичные числа до 10, давайте воспользуемся 3 правилами десятичной системы, чтобы записать другие числа.

  • Напишите числа 0–9.

  • Как только вы дойдете до 9, сделайте крайнюю правую цифру 0 и прибавьте 1 к левой, что станет 10.

  • Затем на правой цифре мы пишем до 9, а когда мы дойдем до 19, мы используем 0 в крайней правой цифре. и прибавляем 1 слева, так что получаем 20.

  • Точно так же, когда мы достигаем 99, мы используем 0 в местах обеих этих цифр и прибавляем 1 слева, что дает нам 100.

(Изображение будет добавлено в ближайшее время)

Как читать десятичные числа?

В однозначных цифрах от 0 до 9 числа читаются как есть. Но в случае двух цифр правая цифра говорит то, что она означает, а левая цифра означает в десять раз больше, чем она говорит. То есть в числе 24, 4 равно 4, 2 равно 20. Всего получается 24.

Если мы возьмем трехзначное число, крайняя правая цифра означает то, что оно говорит, средняя цифра в десять раз больше цифры, крайняя левая цифра в 100 раз больше цифры. . Если просто взять число 546, это означает (5 x 100) + (4 x 10) + 8 = 54810

(5 x 102) + (4 x 101) + 8 = 54810

Преобразование в десятичную систему счисления

Как преобразовать двоичное в десятичное

Для двоичного числа с n цифрами:

dn-1… d3 d2 d1 d0

Преобразование двоичного числа в десятичное может быть получено как сумма произведения двоичных цифр (dn) и их степени 2 (2n):

десятичное число = d0 × 20 + d1 × 21 + d2 × 22 + d3 x 23+… …

Пример

Преобразовать (1110012) 2 в десятичной системе счисления

Двоичное число: 1 1 1 0 0 1

И их степень 2: 25 24 23 22 21 20

(1110012) 2 = 1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20

= 5710

Как преобразовать восьмеричное в десятичное

В восьмеричном в десятичное преобразование, число с основанием 8 преобразуется в число с основанием 10 путем умножения каждой цифры восьмеричного числа на уменьшение степени 8.

Пример:

Преобразовать (123) 8 в десятичной системе счисления

Решение:

Умножение каждой цифры с убывающей степенью 8

(123) 8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80

= 64 + 16 + 3

= 83

Как преобразовать шестнадцатеричное число в десятичное

При преобразовании шестнадцатеричного числа в десятичное число с основанием 16 преобразуется в число с основанием 16 путем умножения каждой цифры шестнадцатеричного числа на уменьшение степени 16.

Пример:

Преобразование 1516 в десятичной системе счисления

Решение:

Умножение каждой цифры с убывающей степенью 16

1 x 161 + 5 x 160

= 16 + 5

= 21

Преобразование из десятичной системы в другую

Как преобразовать десятичную в двоичную

Шаги для преобразования десятичного числа в двоичное

  1. Разделите полученное число на 2.

  2. Возьмите частное для следующей итерации.

  3. И остаток для двоичной цифры.

  4. Разделите полученное частное еще раз на 2

  5. Повторите шаги, пока не получим частное, равное 0.

Пример

Преобразуйте 1310 в двоичное:

Решение:

Разделите 13 на 2

13/2 = 6 и остаток 1

6/2 = 3, а остаток равен 0

3/2 = 1, а остаток равен 1

1/2 = 0, а остаток равен 1

Таким образом, мы собираем остатки в порядок, в котором мы получаем 10112

1310 = 10112

Как преобразовать десятичное в восьмеричное

Десятичное преобразование в восьмеричное такое же, как десятичное в двоичное, только вместо 2 число должно быть разделено на 8

Пример:

Преобразовать 6010 в восьмеричную систему счисления

Решение:

Разделите 60 на 8

60/8 = 7 и остаток равен 4 (MSB)

⅞ = 0, остаток равен 7 (LSB)

, мы считаем остаток от LSB до MSB

Так что собираем остаток Тогда мы получим 748

6010 = 748

Как преобразовать десятичное число в шестнадцатеричное

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное аналогично преобразованию десятичного числа в двоичное, только вместо 2 число нужно разделить на 16.

Пример:

Преобразование 11010 в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение:

Разделите данное число на 16

110/16 = 6, остаток равен 14

6/16 = 0, остаток равен 6

(замените 10, 11, 12, 13, 14, 15 на A, B, C, D, E, F соответственно)

Следовательно, 14 заменяется на E

Итак, 11010 = 6E

Интересные факты:

  • Поскольку на двух руках десять пальцев, люди начали считать с помощью пальцев, многие системы счисления древних цивилизаций использовали десять и его силы для представления чисел,

  • В этих старых системах счисления было трудно умножать и делить большие числа, поэтому эти трудности были решены с введением индуистско-арабской системы счисления.

  • Десятичная система счисления, также называемая индуистско-арабской или арабской

Что такое система счисления? — Определение, факты и примеры

Система счисления

Десятичная система счисления:

Десятичная система счисления состоит из 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 и является наиболее часто используемой системой счисления. Мы используем комбинацию этих 10 цифр для образования всех остальных чисел. Значение цифры в числе зависит от ее положения в номере.Таблица значений десятичной системы счисления выглядит так:

Каждое место слева в десять раз больше, чем место справа от него, то есть, когда мы перемещаемся справа налево, разрядное значение увеличивается в десять раз с каждым местом.

  • Десятичная система счисления также называется системой счисления с основанием 10.

  • Число 49 365 читается как сорок девять тысяч триста шестьдесят пять, где значение 4 — сорок тысяч, 9 — девять тысяч, 3 — триста, 6 — шестьдесят и 5 — пять.

Двоичная система счисления

В двоичной системе счисления мы используем только две цифры 0 и 1. Это означает двойную систему счисления.

Пример двоичного числа: 1011; 101010; 1101101

Каждая цифра двоичного числа называется битом. Итак, двоичное число 101 имеет 3 бита. 499787080

В компьютерах и других цифровых устройствах используется двоичная система. В двоичной системе счисления используется основание 2.

Шестнадцатеричная система счисления

Слово шестнадцатеричное происходит от шестнадцатеричного значения 6 и десятичного значения 10.Итак, в шестнадцатеричной системе счисления 16 цифр. Он состоит из цифр от 0 до 9 и первых 5 букв алфавита:

В таблице ниже числа от 1 до 20 показаны в десятичном, двоичном и шестнадцатеричном формате.

Десятичное

двоичный

Шестнадцатеричный

0

0

0

1

1

1

2

10

2

3

11

3

4

100

4

5

101

5

6

110

6

7

111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

10

11

1011

А

12

1100

В

13

1101

С

14

1110

D

15

1111

E

16

10000

Ф

17

10001

11

18

10010

12

19

10011

13

20

10100

14

Интересные факты

  • Десятичная система счисления также называется индуистско-арабской системой счисления.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *