Параметрически заданной функции: Производная параметрически заданной функции

21.2. Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у’_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у’_х=y’_t•t’_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет находить производную у’_х от функции заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть  

Найти у’_х.

Решение: Имеем   x’_t=3t²,   y’_t=2t.   Следовательно,   у’_х=2t/t

2,   т. е. 

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно,    Тогда    Отсюда  т. е.

22. Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

<< Пример 22.1

Найти производную функции 

Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:

Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования.

Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция у=u^v, где u=u(x) и ν=ν(х) — заданные дифференцируемые функции от х. Найдем производную этой функции:

Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии u=const, и производной степенной функции, при условии ν=const.

§23. Производные высших порядков

Додати до моєї бази знань

Математика

23. Производные высших порядков

23.1. Производные высших порядков явно заданной функции

Производная у’=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у»

Итак, у»=(у’)’.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'» (или ƒ'»(х)). Итак, у'»=(y»)’

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))¢ .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^ν или у⁽⁵⁾— производная пятого порядка).

<< Пример 23.1

Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.

Решение:

23.2. Механический смысл производной второго порядка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=f(t). Как уже известно, производная S¢ _t равна скорости точки в данный момент времени: S’_t=V.

Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина, ускорения прямолинейного движения точки, т. е. S»=α.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+∆t — скорость равна V+∆V, т. е. за промежуток времени ∆t скорость изменилась на величину ∆V.

Отношение ∆V/∆t выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t. Предел этого отношения при ∆t→0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой α:

Но V=S’_t. Поэтому α=(S’_t)’, т. е. α=S’_t‘

Производная от параметрической функции online

‘) window.yaContextCb.push(()=>{ Ya.Context.AdvManager.render({ renderTo: rtb_id, blockId: ‘R-A-1616620-2’ }) })

Функция x(t):

Функция y(t):

⚟

Параметры:

Порядок производной:

-го порядка

Примеры производных функции, заданной параметрически

Что умеет?

• Находит производную, строит график этой производной
• Также находит производную второго порядка для функции заданной параметрически
• Третьего порядка
• Высших порядков
• Подробнее про Параметрическое представление

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

— умножение

3/x

— деление

x^2

— возведение в квадрат

x^3

— возведение в куб

x^5

— возведение в степень

x + 7

— сложение

x — 6

— вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7. 5, не 7,5

Постоянные

pi

— число Пи

e

— основание натурального логарифма

i

— комплексное число

oo

— символ бесконечности

Численность, математика и статистика — Набор академических навыков

Параметрические функции

ContentsToggle Главное меню 1 Определение 2 Построение графиков 2.1 Определение 3 Декартово уравнение 3.1 Определение 3.2 Рабочие примеры 4 Нахождение градиента 4.1 Определение 4.2 Рабочий пример 5 Рабочая тетрадь 6 См. также 7 Внешние ресурсы

Определение

Параметрическое уравнение — это уравнение, в котором координаты кривой $x$ и $y$ записываются как функции другой переменной, называемой параметром; обычно это обозначается буквой $t$ или $\theta$. 92$.

Решение

Составьте таблицу и для каждого значения $t$ вычислите соответствующие значения $x$ и $y$.

т	-3	-2	-1	0	1	2	3
х	-3	-2	-1	0	1	2	3
г	9	4	1	0	1	4	9

Теперь у нас есть таблица координат $x$ и $y$, которую можно легко изобразить на графике.

Декартово уравнение

Определение 92$ и $y=2t$ в декартовой форме.

Решение

Изменить первое уравнение, чтобы сделать $t$ предметом

\[t = \sqrt{x}.\]

Подставить это во второе уравнение, чтобы исключить параметр $t$

\[y = 2\sqrt{x}.\]

Таким образом, декартова форма этих параметрических уравнений равна

\[y = 2\sqrt{x}.\]

Рабочий пример

Выразите параметрические уравнения $x = 3 \sin\theta$ и $y=4\cos\theta$ в декартовой форме.

92}{9} = 1\]

Нахождение градиента

Определение

Чтобы найти градиент , мы используем цепное правило. Мы дифференцируем оба наших уравнения и используем правило: frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\] В качестве альтернативы параметрические уравнения можно сначала преобразовать в декартовы уравнения, а затем продифференцировать как обычно.

Рабочий пример

Найдите градиент кривой, заданной параметрическими уравнениями $x=t^2$ и $y=2t$. 92\; \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2t\]

Наконец, подставьте их в приведенную выше формулу цепного правила. Не забудьте перевернуть $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$, так как нам нужно $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ в формула.

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2 \times \frac{1}{2t}\]

\[\frac{\mathrm{d}y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {2} {2t} \]

\[\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ frac {1} {t} \]

Рабочая тетрадь

Это рабочая тетрадь по графикам функций и параметрической форме, разработанная HELM.

Это рабочая тетрадь по параметрическим кривым, разработанная HELM.

См. также

• Параметрическое дифференцирование

Внешние ресурсы

• Рабочая тетрадь по параметрическому дифференцированию в math center.

Параметрическое уравнение | Определение и факты

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• В этот день в истории
• Викторины
• Подкасты
• Словарь
• Биографии
• Резюме
• Популярные вопросы
• Инфографика
• Демистификация
• Списки
• #WTFact
• Товарищи
• Галереи изображений
• Прожектор
• Форум
• Один хороший факт

• Развлечения и поп-культура
• География и путешествия
• Здоровье и медицина
• Образ жизни и социальные вопросы
• Литература
• Философия и религия
• Политика, право и правительство
• Наука
• Спорт и отдых
• Технология
• Изобразительное искусство
• Всемирная история

• Britannica объясняет
  В этих видеороликах Britannica объясняет различные темы и отвечает на часто задаваемые вопросы.
• Britannica Classics
  Посмотрите эти ретро-видео из архивов Encyclopedia Britannica.
• Demystified Videos
  В Demystified у Britannica есть все ответы на ваши животрепещущие вопросы.
• #WTFact Видео
  В #WTFact Britannica делится некоторыми из самых странных фактов, которые мы можем найти.
• На этот раз в истории
  В этих видеороликах узнайте, что произошло в этом месяце (или любом другом месяце!) в истории.

• Студенческий портал
  Britannica — это лучший ресурс для учащихся по ключевым школьным предметам, таким как история, государственное управление, литература и многое другое.
• Портал COVID-19
  Хотя этот глобальный кризис в области здравоохранения продолжает развиваться, может быть полезно обратиться к прошлым пандемиям, чтобы лучше понять, как реагировать сегодня.
• 100 Women
  Britannica празднует столетие Девятнадцатой поправки, выделяя суфражисток и политиков, творящих историю.