Разное

Определить положение плоскости относительно плоскостей проекции: Задание плоскости общего и частного положения на чертеже. Положение плоскости относительно плоскостей проекций.

58. Способ замены плоскостей проекций

 

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.


Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.

1. Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П4, расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П1_|_П2 перейти к системе П4 _|_ П1 или П4 _|_ П2. На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рис. 108 построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П1 _|_ П4

, причем П4 || l. Новые линии связи A1A4 и В1В4проведены

Рис. 108


Рис. 109


Рис. 110


Рис. 111

перпендикулярно новой оси —П14 параллельной горизонтальной проекции l1.

Новая проекция прямой дает истинную величину А4В4отрезка АВ (см. § 11) и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L1П1). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L1П2) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П4_|_П

2 (рис. 109).

2. Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой (см. § 10), новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости П4_|_ П1. (рис. 110), а фронталь f— на П4_|_ П2

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рис. 111 исходный чертеж прямой l (А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости П4_|_ П2, расположенной параллельно самой прямой

l. В системе плоскостей П2_|_ П4, прямая заняла положение линии l уровня 2А4 _|_П21;

П24 || l2). Затем от системы П2 _|_ П4 осуществлен переход в систему

Рис. 112

Рис. 113

П4 _|_П5, причем вторая новая плоскость проекций П5 перпендикулярна самой прямой l. Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П4, то на плоскости П5 получаем изображение прямой в виде точки 5 = B5 = l5).

3. Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение.

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, если учесть, что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. П1).

Построив изображение плоскости общего положения в системе П2 _|_П4, (П4 расположить перпендикулярно фронтали плоскости),

Рис. 114

можно определить угол наклона Р этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе и П2 _|_П4, а если горизонтально проецирующим, то в системе П1 _|_П4. Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А4В4С4горизонтально проецирующей плоскости Sum (ABC) на плоскости П4 _|_П1

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3; а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй — плоскостью уровня (рис. 114).

В плоскости А(DEF) проведена горизонталь h (D — 1). По отношению к горизонтали проведена первая ось П1 / П4 _|_h1. Вторая новая ось

проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи — перпендикулярны вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на плоскости П5 нужно замерить на плоскости П1от оси П1 / П2и откладывать по новым линиям связи от новой оси П4 5. Проекция D5E5F5треугольника DEF конгруэнтна самому треугольнику ABC.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

 

Различные случаи расположения плоскостей относительно плоскостей проекций

Плоскость общего положения — плоскость, расположенная наклонно ко всем плоскостям проекций (рис. 208). Такая плоскость пересекается с тремя плоскостями проекций по прямым, которые являются следами этой плоскости. Каждая пара следов сходится в точке, которая называется точкой схода следов плоскости и располагается на оси проекций. Плоскость общего положения имеет три точки схода, которые обозначаются Рх, Ру, Рz. В этих точках плоскость пересекает оси координат. Плоские фигуры, лежащие в плоскости общего положения, проецируются проекций с искажением.

Проецирующая плоскость — плоскость, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций.

Горизонтально — проецирующая плоскость — плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 209).

Рис. 209

 

 

Фронтально — проецирующая плоскость — плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекции (рис. 210).

Рис. 210

Профильно-проецирующая плоскость — плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций (рис. 211).

Рис. 211

Проецирующая плоскость проецируется на плоскость проекций, к которой она перпендикулярна, в прямую. Па рис. 209 плоскость Р горизонтально-проецирующая, ΔАВС, лежащий в плоскости Р, проецируется в отрезок прямой линии, который совпадает со следом плоскости Рн. На рис. 210 ΔDEF, принадлежащий фронтально-проецирующей плоскости R, проецируется в отрезок, совпадающий со следом плоскости Rv. На рис. 211 ΔKMN, лежащий в профильно-проецирующей плоскости Q, проецируется на плоскость W в отрезок, совпадающий со следом плоскости Qw. Поэтому проецирующие плоскости часто используются в качестве вспомогательных при различных построениях. Например, чтобы через прямую AB провести горизонтально-проецирующую плоскость (рис. 212), достаточно через горизонтальную проекцию прямой ab провести горизонтальный след этой плоскости, так как все, что в этой плоскости лежит, в том числе и прямая AB, проецируется на ее горизонтальный след. Фронтальный след фронтально-проецирующей плоскости совпадает с фронтальной проекцией прямой a’b’ (рис. 213). Следы проецирующих плоскостей на других плоскостях проекций перпендикулярны соответствующим осям проекций (см. рис. 209, 210, 211).



Рис. 212 Рис. 213

Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, параллельны третьей плоскости проекций. Геометрические фигуры, лежащие в этих плоскостях, проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которой параллельна данная плоскость (рис. 214, 215; 216). Называются такие плоскости так же, как и плоскость проекций, параллельно которой они расположены: горизонтальная плоскость (рис. 214), фронтальная плоскость (рис. 215), профильная плоскость (рис. 216).

Рис. 214

 

Рис. 215

Рис. 216

2. Положение плоскости относительно плоскостей проекций.

Точки: Px=x=PHPVPy=y=PHPWPz=z=PVPW, в которых пересекаются два следа, называют точками схода следов.

Плоскость, у которой углы наклона к плоскостям проекций произвольны (не равны 0или 90), называют плоскостью общего положения.

Рис.15

Чтобы построить профильный след плоскости надо найти точки Px, Pyи Pz, затем построить Py1и соединить её с точкой Pz.

Частные случаи расположения плоскостей.

Кроме рассмотренного общего случая плоскость, по отношению к плоскостям проекций, может занимать следующие частные положения:

Плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекции называют проецирующими.

Проецирующие плоскости различают:

Горизонтально-проецирующая плоскость, PH

Рис.17

3. Горизонтальные проекции точек, прямых, плоских фигур, лежащих в горизонтально-проецирующей плоскости, лежат на горизонтальном следе этой плоскости. APA1PH.

Фронтально-проецирующая плоскость, PV

Рис.19

3. Фронтальные проекции точек, прямых, плоских фигур, лежащих в фронтально-проецирующей плоскости, лежат на фронтальном следе этой плоскости. APA2PV.

Профильно-проецирующая плоскость, PW

Рис.21

3. Профильные проекции точек, прямых, плоских фигур, лежащих в профильно-проецирующей плоскости, лежат на профильном следе этой плоскости. APA3PW.

Плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций называют плоскостями уровня.

а). Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций называется горизонтальной плоскостью. b). Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций называется фронтальной плоскостью. c). Плоскость, параллельная профильной плоскости проекций называется профильной плоскостью.

Проецирующие плоскости, проходящие через биссектрисы углов, образованных осями координат, называют биссекторными плоскостями.

Свойство биссекторной плоскости 2-го и 4-го октантов: Горизонтальная и фронтальная проекции любых геометрических фигур, принадлежащих этой плоскости, совпадают (так как любая точка этой плоскости удалена на одинаковые расстояния от горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций).

Взаимное расположение прямой и плоскости



Обратная связь

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение


Как определить диапазон голоса — ваш вокал


Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими


Целительная привычка


Как самому избавиться от обидчивости


Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам


Тренинг уверенности в себе


Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком»


Натюрморт и его изобразительные возможности


Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.


Как научиться брать на себя ответственность


Зачем нужны границы в отношениях с детьми?


Световозвращающие элементы на детской одежде


Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия


Как слышать голос Бога


Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)


Глава 3. Завет мужчины с женщиной


Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.


Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.


Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Занятие 2

Прямая и плоскость в ортогональных проекциях

Необходимые определения:

Если плоскость параллельна или перпендикулярна одной из плоскостей проекций она является плоскостью частного положения – уровенной или проецирующей соответственно.

Свойство проецирующей плоскости – проекции всех геометрических элементов, лежащих в проецирующей плоскости, лежат на вырожденной проекции плоскости, совпадающей со следом плоскости.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две их общие точки и соединить их.

Если одна из плоскостей является плоскостью частного положения, то с вырожденной проекцией плоскости совпадает одна проекция линии пересечения. Другая проекция линии пересечения выстраивается по принадлежности другой плоскости.

Конкурирующие точки – точки, лежащие на одном проецирующем луче. Из пары конкурирующих точек видима та, у которой больше координата, определяющая расстояние до заданной плоскости проекций.

Задача 4: Построить линию пересечения двух плоскостей. Определить видимость плоскостей относительно друг друга. Отмыть видимые участки плоскостей.

 

На рисунке 33.а представлена плоскость четырехугольника ABCD, которая является плоскостью общего положения. Если плоскость задается плоской фигурой в виде четырехугольника, то этот четырехугольник должен базироваться на двух параллельных прямых, т.е. быть параллелограммом, трапецией или прямоугольником.


Если задана плоскость общего положения, то обе заданные проекции должны быть в виде многоугольников одинаковой формы. Если задан выпуклый многоугольник, то обе проекции плоскости должны быть выпуклыми многоугольниками.

Вторая плоскость MNKE, задана прямоугольником, является плоскостью частного положения.

Признаком плоскости частного положения является наличие вырожденной проекции плоскости.

Вырожденной проекцией геометрического элемента называется проекция, не соответствующая форме элемента в пространстве. Вырожденной проекцией прямой является точка, вырожденной проекцией плоскости – прямая.

 

Рис.33

Плоскость MNKE является горизонтальной плоскостью (рис.33.б ), т.к. фронтальная проекция заданной плоскости представляет собой прямую, параллельную оси х.

Для построения линии пересечения двух плоскостей необходимо найти две их общие точки и соединить их.

Построение линии пересечения двух плоскостей, одна из которых частного положения, базируется на следующем правиле:

Если одна из плоскостей является плоскостью частного положения, то одна проекция линии пересечения задана и совпадает со следом этой плоскости. Вторая проекция линии пересечения достраивается с учетом принадлежности другой плоскости.

В нашем примере на рисунке 34 фронтальная проекция плоскости MNKE совпадает с фронтальным следом этой плоскости, поэтому у нас задана фронтальная проекция линии пересечения двух плоскостей, которая лежит на следе этой плоскости.

M2N2K2E2 ≡ Σ П2 ≡ m2

Горизонтальную проекцию линии пересечения m1 достраиваем с учетом принадлежности плоскости параллелограмма ABCD с помощью точек 1 и 2, лежащих на сторонах ABиCD соответственно.

 

Рис. 34

Любая задача на построение пересечения геометрических элементов заканчивается определением видимости этих элементов относительно друг друга.

Видимость проще всего определяется с помощью конкурирующих точек.

Из пары конкурирующих точек видима та, у которой больше координата, определяющая расстояние до заданной плоскости проекций.

Видимость плоскостей относительно друг друга необходимо определить на горизонтальной плоскости проекций, до которой определяет расстояние координата z.

На чертеже рисунка 35 конкурирующими точками являются точки 3 и 4, лежащие на сторонах KEиBC соответственно. Горизонтальные проекции этих точек совпадают между собой (31≡ 41), а фронтальные – лежат на фронтальных проекциях прямых KEиBC. Координата z точки 4 больше координаты z точки 3, поэтому 41 расположена над 31, а следовательно, видима прямая ВС.

31≡ 41; 3Î KE, 4Î ВС;

z4 > z3 Þ точка 4 находится над точкой 3

Þ прямая ВС находится над прямой KE

Þ прямая ВС Dвидима, прямая KEне видима

Þ плоскость ABCD – видима, плоскость MNKEне видима.

 

Рис.35

Если в одну сторону от линии пересечения видима одна плоскость (ABCD), то в другую сторону видима другая плоскость (MNKE).

Видимые стороны плоскостей обводятся основной сплошной толстой линией, невидимые стороны – штриховой.

 

 

Рис. 36

Решение домашней работы № 4.

На рисунке 36 представлен итоговый чертеж решения домашней задачи №4. Видимые участки двух плоскостей выделяются цветом в технике «отмывка». Видимые стороны плоскостей обводятся основной сплошной толстой линией, невидимые стороны – штриховой. Сохраняются все линии построения, выполняемые сплошными тонкими линиями, и надписи.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Необходимые определения:


Для определения расстояния от точки до плоскости

Определить: расстояние от точки до плоскости.

Дано: четырехугольник EBCD и точка A.

Таблица значений координат.

Опция Значения координат
XA Я. ZA XB YB ZB XC YC ZC XD ярдов ZD XE YE ZE
1 90 105 50 60 90 80 10 60 80 40 30 10 90 60 10

Мы уже определили расстояние от точки до плоскости только методом прямоугольного треугольника.В этом видеоуроке мы также определяем расстояние от точки до плоскости только методом замены плоскостей проекций.

ПРИМЕЧАНИЕ
Решение задач по начертательной геометрии я производю в системе автоматизированного проектирования AutoCAD и AutoCAD 3D. Этот тренинг позволит вам развить пространственное мышление и закрепить владение AutoCAD.

  • Преобразуем плоскость общего положения четырехугольника EBCD в плоскость фронтально-выступающую.
    • Строим новую ось выступов X14 перпендикулярно горизонтали плоскости четырехугольника EBCD.
    • Убираем координату для плоскости Π1 из плоскости Π2.

Перпендикуляр A4K4 — это расстояние от точки до плоскости, поскольку он проецируется в сегмент естественного размера.

Используя линии связи, строим перпендикуляр к плоскости четырехугольника EBCD. На плоскости П1 берем координату Z из плоскости П4.

Подробнее в видеоуроке по начертательной геометрии в AutoCAD

Рекомендовать к просмотру:

  • Расстояние от точки до плоскости — перпендикулярно плоскости.
  • Пересечение плоскостей — Пересечение двух перпендикулярных плоскостей.

Видео «Расстояние от точки до плоскости (рус.)»

П.С.
Этот видеоурок и статья включены в профессиональное бесплатное самоуправление AutoCAD, которое подходит как для начинающих пользователей, так и для тех, кто уже работает в AutoCAD.

Тематические письма:

Выберите разделВсе статьиAutoCAD 2DAutoCAD 3DAutoCAD ArchitectureCompassInventor3D maxRevitОсновы рисованияДескриптивная геометрияИнженерная графикаМашинный чертежСтроительный чертежСхемы

Определение самолета в онлайн-словаре Вебстера

n. 1. (Бот.) Любое дерево из рода Platanus.
а. 1. Без возвышений и впадин; четный; уровень; плоский; лежащий в самолете или составляющий его; as, плоская поверхность.
н. 1. (Геом.) Поверхность, реальная или воображаемая, на которой, если взять любые две точки, прямая линия, соединяющая их, полностью лежит на этой поверхности; или поверхность, любое сечение которой подобной поверхностью представляет собой прямую линию; поверхность без кривизны.
2. (Astron.) Идеальная поверхность, задуманная как совпадающая или содержащая определенную астрономическую линию, круг или другую кривую; as, плоскость орбиты; плоскость эклиптики или экватора.
3. (Механический) Блок или пластина с идеально ровной поверхностью, используемые в качестве эталона плоскостности; поверхностная плита.
4. (Столярные изделия) Инструмент для выравнивания досок или других деревянных поверхностей, для формовки молдингов и т. Д. Он состоит из заготовки с гладкой подошвой, обычно из дерева, с нижней стороны или торца которой слегка выступает сталь. режущая кромка стамески, называемая утюгом, наклоняющаяся назад, с отверстием впереди для выхода стружки; как, домкрат самолет; плоскость сглаживания; плоскость литья и т. д.
в. т. 1. Сделать гладким; выровнять; срезать неровности на поверхности доски или другого куска дерева с помощью рубанка; как, строгать доску.
2. Стереть или удалить.
3. Образно, сделать гладкую или гладкую.
v. I. 1. Лодки, чтобы более или менее подниматься из воды во время движения, как гидроплан; к гидроплану.

Параллельные и перпендикулярные линии и плоскости

Ну, это иллюстрация , линии,
, потому что линия имеет без толщины и без концов (продолжается бесконечно).

Хорошо, иллюстрация плоскости,
, потому что плоскость — это плоская поверхность с без толщины , которая продолжается навсегда .
(Но здесь мы рисуем края, чтобы иллюстрации были более четкими.)

Перпендикулярные линии

Две линии перпендикулярны, если они расположены под прямым углом друг к другу.

Красная линия перпендикулярна синей линии в каждом из этих примеров:

(Подробнее о перпендикулярных линиях.)

Перпендикулярно плоскости

Линия перпендикулярна плоскости, когда она проходит прямо от нее, как карандаш, стоящий на столе.

Если карандаш расположен перпендикулярно линии на столе, тогда угол может быть перпендикулярно к таблице:

Или может наклоняться над :

Но когда он перпендикулярен двум линиям (там, где они пересекаются), тогда — это перпендикулярно таблице:

Он не может указывать куда-нибудь, кроме как прямо от стола.

Итак, мы можем сказать следующее:

Когда прямая перпендикулярна двум прямым на плоскости (где они пересекаются), это перпендикулярно плоскости .

Он также будет перпендикулярен всем линиям на плоскости, которые там пересекаются.

И мы можем сказать намного больше:

Через заданную точку проходит:

  • одна-единственная линия, перпендикулярная плоскости
  • Одна и только одна плоскость , перпендикулярная линии

две прямые, перпендикулярные одной плоскости, копланарны (лежат в одной плоскости — оранжевой)
Если это немного сложно понять, представьте себе два карандаша, стоящих на столе: они находятся в одной плоскости (кусок картона):

Перпендикулярные плоскости

Плоскость перпендикулярна другой плоскости, если у нее есть линия, перпендикулярная другой плоскости
И когда линия перпендикулярна плоскости, тогда каждая плоскость, содержащая линию, перпендикулярна этой плоскости

Параллельные плоскости

Когда две плоскости перпендикулярны одной и той же линии, они являются параллельными плоскостями

Когда плоскость пересекает две параллельные плоскости , пересечение составляет две параллельные прямые.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.