Разное

Онлайн разложение в ряд лорана: Разложение функций в ряд лорана онлайн калькулятор. Степенные ряды, их сходимость, разложение функций в степенные ряды. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Содержание

Калькулятор разложения в ряд лорана. Разложение функций в степенные ряды

Изучающим высшую математику должно быть известно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и безграничное число раз дифференцированная функция. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что заданная произвольная функция f(х) — это сумма некоего степенного ряда? То есть при каких условиях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Важность такого вопроса состоит в том, что существует возможность приближенно заменить ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Такая замена функции довольно простым выражением — многочленом — является удобной и при решении некоторых задач а именно: при решении интегралов, при вычислении и т. д.

Доказано, что для некой ф-ии f(х), в которой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в окрестности (α — R; x 0 + R) некоторой точки х = α справедливой является формула:

Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора.

Ряд, который получают из предыдущего, называется ряд Маклорена:

Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена:

  1. Определить производные первого, второго, третьего… порядков.
  2. Высчитать, чему равны производные в х=0.
  3. Записать ряд Маклорена для данной функции, после чего определить интервал его сходимости.
  4. Определить интервал (-R;R), где остаточная часть формулы Маклорена

R n (х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если таковой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена.

Рассмотрим теперь ряды Маклорена для отдельных функций.

1. Итак, первой будет f(x) = е х. Разумеется, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых разных порядков, причем f (k) (х) = e x , где k равняется всем Подставим х=0. Получим f (k) (0) = e 0 =1, k=1,2… Исходя из вышесказанного, ряд е х будет выглядеть следующим образом:

2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу же уточним, что ф-ия для всех неизвестных будет иметь производные, к тому же f » (х) = cos х = sin(х+п/2), f «» (х) = -sin х = sin(х+2*п/2)…, f (k) (х) = sin(х+k*п/2), где k равняется любому натуральному числу. То есть, произведя несложные расчеты, можем прийти к выводу, что ряд для f(х) = sin х будет такого вида:

3. Теперь попробуем рассмотреть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неизвестных имеет производные произвольного порядка, причем |f (k) (x)| = |cos(х+k*п/2)|

Итак, мы перечислили важнейшие функции, которые могут быть разложены в ряд Маклорена, однако их дополняют ряды Тейлора для некоторых функций. Сейчас мы перечислим и их. Стоит также отметить, что ряды Тейлора и Маклорена являются важной частью практикума решения рядов в высшей математике. Итак, ряды Тейлора.

1. Первым будет ряд для ф-ии f(х) = ln(1+x). Как и в предыдущих примерах, для данной нам f(х) = ln(1+х) можно сложить ряд, используя общий вид ряда Маклорена. однако для этой функции ряд Маклорена можно получить значительно проще. Проинтегрировав некий геометрический ряд, мы получим ряд для f(х) = ln(1+х) такого образца:

2. И вторым, который будет заключительным в нашей статье, будет ряд для f(х) = arctg х. Для х, принадлежащего промежутку [-1;1] справедливым является разложение:

На этом все. В данной статье были рассмотрены наиболее употребляемые ряды Тейлора и Маклорена в высшей математике, в частности, в экономических и технических вузах.

Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.

Степенным рядом называют ряд

члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням

x , а c 0 , c 1 , c 2 , c n — постоянные величины. Числа c 1 , c 2 , c n — коэффициенты членов ряда, c 0 — свободный член. Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.

Ознакомимся с понятием области сходимости степенного ряда. Это множество значений переменной x , для которых ряд сходится. Степенные ряды имеют довольно простую область сходимости. Для действительных значений переменной x область сходимости состоит либо из одной точки, либо является некоторым интервалом (интервалом сходимости), либо совпадает со всей осью Ox .

При подстановке в степенной ряд значения x = 0 получится числовой ряд

c 0 +0+0+…+0+… ,

который сходится.

Следовательно, при

x = 0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Структура области сходимости всех степенных рядов одинакова. Её можно установить с помощью следующей теоремы.

Теорема 1 (теорема Абеля) . Если степенной ряд сходится при некотором значении x = x 0 , отличном от нуля, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях |x | x 0 | . Обратите внимание: и отправное значение «икс нулевое» и любое значение «икса», которое сравнивается с отправным, взяты по модулю — без учёта знака.

Следствие. Если степенной ряд расходится при некотором значении x = x 1 , то он расходится и при всех значениях |x | > |x 1 | .

Как мы уже выяснили ранее, любой степенной ряд сходится при значении

x = 0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x = 0 и расходятся при остальных значениях х . Исключая из рассмотрения этот случай, предположим, что степенной ряд сходится при некотором значении x = x 0 , отличном от нуля. Тогда, по теореме Абеля, он сходится во всех точках интервала ]-|x 0 |, |x 0 |[ (интервала, левой и правой границами которого являются значения икса, при котором степенной ряд сходится, взятые соответственно со знаком минус и со знаком плюс), симметричного относительно начала координат.

Если же степенной ряд расходится при некотором значении x = x 1 , то на основании следствия из теоремы Абеля он расходится и во всех точках вне отрезка [-|x 1 |, |x 1 |] . Отсюда следует, что для любого степенного ряда имеется интервал , симметричный относительно начала координат, называемый

интервалом сходимости , в каждой точке которого ряд сходится, на границах может сходиться, а может и расходиться, при чем не обязательно одновременно, а вне отрезка ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

В частных случаях интервал сходимости степенного ряда может вырождаться в точку (тогда ряд сходится только при x = 0 и считается, что R = 0) или представлять собой всю числовую прямую (тогда ряд сходится во всех точках числовой прямой и считается, что ).

Таким образом, определение области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследовании сходимости ряда на границах интервала сходимости (при ).

Теорема 2. Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при отношения абсолютных величин коэффициентов общего следующего за ним членов ряда, т.

е..

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

Используя формулу (28), найдём радиус сходимости данного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости . В примере 13 показано, что данный ряд сходится при x = 1 и расходится при x = -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал .

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Коэффициенты ряда положительны, причём

Найдём предел этого отношения, т.е. радиус сходимости степенного ряда:

Исследуем сходимость ряда на концах интервала . Подстановка значений x = -1/5 и x = 1/5 в данный ряд даёт:

Первый из этих рядов сходится (см. пример 5). Но тогда в силу теоремы параграфа «Абсолютная сходимость» сходится и второй ряд, а область его сходимости – отрезок

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Здесь

По формуле (28) находим радиус сходимости ряда:

Исследуем сходимость ряда при значениях . Подставив их в данный ряд, соответственно получим

Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при ). Итак, на обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости – интервал .

Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Находимо отношение , где , а :

Согласно формуле (28) радиус сходимости данного ряда

,

то есть ряд сходится только при x = 0 и расходится при остальных значениях х .

Примеры показывают, что на концах интервала сходимости ряды ведут себя различно. В примере 1 на одном конце интервала сходимости ряд сходится, а на другом – расходится, в примере 2 – на обоих концах сходится, в примере 3 – на обоих концах расходится.

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля. Поэтому применение формулы (28) допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать с помощью признака Даламбера , или же, сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором указанное условие выполняется.

Пример 6. Найти интервал сходимости степенного ряда

Решение. Данный ряд не содержит членов с нечётными степенями х . Поэтому преобразуем ряд, полагая . Тогда получим ряд

для нахождения радиуса сходимости которого можно применить формулу (28). Так как , а , то радиус сходимости этого ряда

Из равенства получаем , следовательно, данный ряд сходится на интервале .

Сумма степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пусть для степенного ряда

радиус сходимости R > 0, т.е. этот ряд сходится на интервале .

Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначая её через f (x ), можем записать равенство

понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции f (x ) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что степенной ряд (29) сходится к функции f (x ) на интервале сходимости.

Вне интервала сходимости равенство (30) не имеет смысла.

Пример 7. Найти сумму сумму степенного ряда

Решение. Это геометрический ряд, у которого a = 1, а q = x . Следовательно, его сумма есть функция . Ряд сходится, если , а — его интервал сходимости. Поэтому равенство

справедливо лишь для значений , хотя функция определена для всех значений х , кроме х = 1.

Можно доказать, что сумма степенного ряда f (x ) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке внутри интервала сходимости, в частности в любой точке интервала сходимости ряда.

Приведем теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.

Теорема 1. Степенной ряд (30) в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что исходный ряд, а суммы их соответственно равны .

Теорема 2. Степенной ряд (30) можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до х , если , причём получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны

Разложение функций в степенные ряды

Пусть дана функция f (x ), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде (30):

Задача состоит в определении коэффициентов ряда (30). Для этого, дифференцируя равенство (30) почленно, последовательно найдём:

……………………………………………….. (31)

Полагая в равенствах (30) и (31) х = 0, находим

Подставляя найденные выражения в равенство (30), получим

(32)

Найдём разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

Пример 8. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Производные этой функции совпадают с самой функцией:

Поэтому при х = 0 имеем

Подставляя эти значения в формулу (32), получим искомое разложение:

(33)

Этот ряд сходится на всей числовой прямой (его радиус сходимости ).

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а , производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:

где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:

, где число x заключено между х и а .

Если для некоторого значения х r n ®0 при n ®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :

Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х , если:

1) она имеет производные всех порядков;

2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :

Пример 1 f(x)= 2 x .

Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0

f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2 x ln2, f¢(0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2 x ln 2 2, f¢¢(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.

Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥x

Пример 2 х +4) для функции f(x)= e x .

Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.

f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;

f¢(x) = е x , f¢(-4) = е -4 ;

f¢¢(x) = е x , f¢¢(-4) = е -4 ;

f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .

Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -¥x

Пример 3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),

(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).

Решение . Находим производные данной функции.

Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при

½х- 1½

Ряд сходится, если ½х- 1½x х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х =0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Приведем полученные подобным образом разложения в ряд Маклорена (т.е. в окрестности точки х =0) для некоторых элементарных функций:

(2) ,

(3) ,

(последнее разложение называют биномиальным рядом)

Пример 4 . Разложить в степенной ряд функцию

Решение . В разложении (1) заменяем х на –х 2 , получаем:

Пример 5 . Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение . Имеем

Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х , получим:

Отсюда находим:

Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим

Этот ряд сходится в интервале

(-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание .

Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод иллюстрирует теорему о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример 6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.

Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):

Полученный ряд сходится при или –3x- 3x

Пример 7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции .

Решение .

Ряд сходится при , или -2 x £ 5.

Решение задач по математике | Как решать задачи по тфкп

Введение

Теория функций комплексной переменной (ТФКП) дошла до наших дней почти в том виде, в котором оставил нам ее создатель великий французский математик Огюстен Коши (1789–1857 гг. ).

ТФКП как продолжает, так и расширяет идеи математического анализа функций действительной переменной. Обычные определения, известные из алгебры чисел и математического анализа функций действительной переменной, остаются почти без изменений, но их содержание меняется весьма существенным образом. Хорошо известно, что уже обычные простейшие операции над действительными числами могут вывести за пределы их области. И решения большинства алгебраических уравнений не могут быть выражены только обычными действительными числами. Поэтому приходится расширять область действительных чисел, а таким расширением этой области и является область комплексных чисел.

Основное понятие комплексного анализа аналитическая функция. Это понятие позволяет доказать теоремы о существовании производных любого порядка от этих функций, о независимости интегралов от формы пути интегрирования. Позволяет сравнительно единообразно вычислять сложные интегралы с помощью вычетов и многое другое.

В данных методических указаниях изложены основные вопросы теории функций комплексной переменной в соответствии с действующими рабочими программами для студентов всех направлений подготовки бакалавров инженерно-технических специальностей вуза.

Каждый из выделенных параграфов содержит краткое изложение основных теоретических сведений, практическое руководство по решению стандартных математических задач. В конце предлагаются варианты заданий для расчетно-графической работы.

1. Функциональные ряды в комплексной области.
Степенные ряды

Пусть – последовательность функций, определенных на множестве . Функциональным рядом в комплексной области называется выражение

, (1)

где . Функции , называются членами ряда. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Функциональный ряд (1) называется абсолютно сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Множество точек, в которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости ряда, а функция , – суммой функционального ряда (1).

Функциональный ряд вида

, (2)

где , комплексные постоянные, – комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области. Числа называются коэффициентами ряда, – его центром.

Область определения степенного ряда – вся комплексная плоскость. Очевидно, что в точке ряд (2) сходится. Следовательно, область сходимости любого степенного ряда состоит, по крайней мере, из одной точки.

Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходится в точке , то он сходится абсолютно при любом , удовлетворяющем условию .

Областью сходимости ряда (2) является круг с центром в точке . Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формулам:

(3)

, (4)

если указанные пределы существуют.

Если , то круг сходимости – вся конечная комплексная плоскость.

Если , то круг вырождается в точку , а в его внешности, т. е. во всей комплексной плоскости, кроме точки , ряд расходится.

На окружности ряд (2) может вести себя по-разному: может сходиться во всех точках окружности, расходиться во всех точках, может в одних сходиться, а в других расходиться.

Пример 1. 1. Найти радиус сходимости степенного ряда: .

Решение. Воспользуемся формулой (3). Имеем

,

.

Пример 1.2. Найти круг сходимости степенного ряда: .

Решение. Воспользуемся формулой (4). Имеем

, ,

.

Следовательно, – круг сходимости данного ряда.

2. Разложение функций в ряд Тейлора

Теорема 2 (о разложении аналитической функции в степенной ряд). Пусть – аналитическая функция в области , и – расстояние от до границы . Тогда в круге функция разлагается в степенной ряд

, где , (5)

называемый рядом Тейлора функции . При этом коэффициенты ряда удовлетворяют соотношениям

(6)

при любых , .

Первый отличный от нуля член ряда Тейлора называется главным членом разложения в ряд Тейлора, а его степень – порядком главного члена.

Из этой теоремы следует еще одно определение аналитической функции.

Функция называется аналитической в точке , если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности точки .

Функция называется аналитической в области , если она разлагается в степенной ряд в некоторой окрестности каждой точки .

Ряды Тейлора некоторых элементарных функций:

, ; (7)

, ; (8)

, ; (9)

, ; (10)

, ; (11)

, . (12)

Формула (12) называется суммой бесконечной геометрической прогрессии и является следствием (11) при .

Пример 2.1. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Найдем коэффициенты ряда Тейлора, пользуясь формулой (5):

.

Таким образом

.

Поскольку функция аналитична на всей комплексной плоскости, то по теореме 2 этот ряд сходится также при всех .

Пример 2.2. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Преобразуем данную функцию:

.

Обозначим и воспользуемся разложением (12) для функции при . Получим:

.

Из условия следует, что полученный ряд сходится при , т. е. при .

Пример 2.3. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Найдем нули знаменателя дроби: , . Так как , , то данная функция аналитична в круге как частное двух аналитических функций. Представим данную функцию в виде суммы простейших дробей:

.

Каждое слагаемое разложим в ряд по степеням , пользуясь формулой (12):

, ,

, .

Складывая полученные разложения и учитывая аналитичность функции в круге , получаем:

, .

Пример 2.4. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости ряда.

Решение. Преобразуем данную функцию и воспользуемся разложением (9):

.

Полученный ряд сходится на всей комплексной плоскости, так как ряд (9) сходится при всех .

3. Ряд Лорана

Рядом Лорана называется выражение

, (13)

где , . Ряд Лорана называется сходящимся на множестве , если на этом множестве сходятся оба функциональных ряда:

(14)

и

. (15)

Суммой ряда Лорана (13) называется сумма , где и – суммы рядов (14) и (15) соответственно. Ряд (14) называется главной, а ряд (15) – правильной частью ряда Лорана. Ряд Лорана называется абсолютно сходящимся на множестве , если на этом множестве абсолютно сходятся ряды (14) и (15).

Ряды Лорана позволяют изучать функции, аналитические в кольцах , где , .

Теорема 3 (о сходимости ряда Лорана). Ряд Лорана сходится абсолютно внутри кольца , где – радиус сходимости степенного ряда (15), а – радиус сходимости степенного ряда

, (16)

если .

Теорема 4 (Лорана). Функция , аналитическая в кольце , представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана

,

где

, (17)

, .

Главная часть ряда Лорана сходится во внешности круга с центром в точке и радиусом , где , как и в случае степенных рядов, может быть найден (если существуют соответствующие пределы) по формулам:

(18)

или

. (19)

При эта область вырождается в в несобственную точку , а при – во всю плоскость, за исключением, возможно, .

Пример 3.1. Найти область сходимости ряда .

Решение. Найдем круг сходимости правильной части ряда, т. е. ряда . Воспользуемся формулой (4). Так как

,

то это круг . Для ряда

,

представляющего собой главную часть данного ряда,

,

поэтому его область сходимости . Исходный ряд сходится в кольце .

Пример 3.2. Разложить функцию в ряд Лорана в кольце .

Решение. Записав функцию в виде

,

замечаем, что данная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точек и , в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Эти точки лежат на границе данного кольца (рис. 1).

Рис. 1

Это означает, что в самом кольце функция аналитическая и, следовательно, по теореме 4 разлагается в ряд Лорана с центром в точке . Для получения этого разложения представим функцию в виде

, где , .

Функция аналитична в большем круге . Разложим ее в ряд Тейлора с центром в точке . Преобразуем следующим образом:

.

Положим и воспользуемся разложением (12). Получим:

, .

Функция также разлагается в ряд по положительным степеням , но этот ряд сходится лишь в круге , а мы хотим разложить функцию вне этого круга. Нужно получить разложение этой функции по отрицательным степеням. Преобразуем функцию следующим образом:

.

Положим и воспользуемся разложением (12). Получим:

.

Этот ряд сходится при , т. е. при . Окончательно получаем:

, .

Пример 3.3. Найти все возможные разложения в ряд Лорана по степеням функции .

Решение. Данная функция является аналитической на всей комплексной плоскости, за исключением точек и , в которых знаменатель дроби обращается в нуль. Следовательно, по теореме 4 она разлагается в ряд Лорана в любом кольце с центром в точке , не содержащем точку . Получаем два кольца: и . Найдем разложение функции в ряд Лорана в кольце . Имеем

.

В кольце :

.

Таким образом, получены два разложения данной функции в ряд Лорана по степеням :

, ,

, .

4. Изолированные особые точки аналитических функций

Точка называется правильной точкой функции , если функция аналитична в этой точке. Если функция не является аналитической в точке , но аналитична в некоторой ее проколотой окрестности , то точка называется изолированной особой точкой функции .

Так как проколотую окрестность точки можно рассматривать как частный случай кольца, то функция разлагается в нем в ряд Лорана по степеням . В зависимости от вида этого ряда различают три типа изолированных особых точек.

Изолированная особая точка для функции называется

1)  устранимой, если указанный ряд Лорана содержит только правильную часть:

;

2)  полюсом, если главная часть ряда Лорана содержит лишь конечное число членов:

,

причем , . Число называется порядком полюса, при полюс называется простым.

3)  существенно особой, если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов:

,

причем для бесконечного числа отрицательных номеров .

Во многих вопросах комплексного анализа удобно рассматривать расширенную комплексную плоскость, т. е. плоскость, дополненную символической точкой .

Точка называется изолированной особой точкой функции , если аналитична в области (в окрестности бесконечно удаленной точки). В этом случае точка является изолированной особой точкой функции . Точка называется устранимой особой точкой, полюсом порядка или существенно особой точкой функции в зависимости от того, является ли точка устранимой особой точкой, полюсом порядка или существенно особой точкой функции .

Разложим функцию в ряд Лорана в кольце

и произведем замену переменной . Получим ряд

,

который называется рядом Лорана функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Ряд называется главной, а ряд – правильной частью ряда Лорана функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Если главная часть разложения отсутствует, то точка является устранимой особой точкой. В этом случае полагают по определению и говорят, что является правильной точкой функции . При этом, если является нулем порядка функции , то говорят, что является нулем порядка функции .

Теорема 5 (о связи между нулем и полюсом). Точка является полюсом порядка функции тогда и только тогда, когда она является нулем порядка функции .

Теорема 6 (о существенно особой точке). Если существует окрестность существенно особой точки аналитической функции , в которой , то точка является существенно особой и для функции .

Теорема 7 (Сохоцкого). Если – существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность точек , , сходящаяся к точке , такая что .

Функция, аналитическая на всей комплексной плоскости, называется целой. Целая функция, для которой точка является существенно особой точкой, называется целой трансцендентной. Функция, аналитическая в области всюду, кроме полюсов, называется мероморфной в .

На практике при определении вида особых точек часто бывает полезен следующий простой факт:

если – нуль порядка аналитической функции , а функция аналитична в точке и , то – полюс порядка функции .

Пример 4.1. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция представляет собой частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций, поэтому ее особыми точками могут быть только нули знаменателя. Найдем их:

, , .

Причем они являются простыми нулями.

Так как числитель ни в одной из этих точек не обращается в нуль, то по теореме 5 точки , , являются простыми полюсами исходной функции.

Пример 4.2. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция как частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций может иметь особой точкой только нуль знаменателя, т. е. . Однако точка является также и нулем числителя. Поэтому для выяснения вида особенности разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

.

Ряд не содержит отрицательных степеней , поэтому – устранимая особая точка.

Пример 4.3. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей комплексной плоскости, за исключением точки . Это изолированная особая точка. Запишем ряд Лорана для функции в окрестности точки , пользуясь разложением (7) для функции , полагая :

.

Ряд содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями. Поэтому точка – существенно особая.

Пример 4.4. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция есть частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций. Поэтому ее особыми точками являются нули знаменателя:

, .

Так как числитель дроби в нуль не обращается, то эти точки являются полюсами. Определим порядки полюсов по порядкам нулей функции

.

Вычислим:

, , ,

, , .

Следовательно, точки () являются нулями второго порядка функции и, по теореме 5, полюсами второго порядка функции .

Вид изолированной особенности характеризует поведение функции в окрестности этой особенности:

если – устранимая особая точка функции , то существует конечный предел функции в точке ;

если – полюс, то при

если же – существенно особая точка, то указанного предела не существует.

Эти свойства являются характеристическими, т. е. справедливы и обратные утверждения.

Пример 4.5. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид, используя характеристические свойства особых точек.

Решение. Единственная особая точка данной функции – (см. пример 4.2). Так как

,

т. е. функция имеет конечный предел в точке , то является устранимой особой точкой данной функции.

5. Вычеты и их применение

Пусть – изолированная особая точка однозначной аналитической функции и – окружность такая, что в замкнутом круге нет других особых точек функции , кроме точки . Интеграл от функции по такой окружности , деленный на , называется вычетом функции в точке и обозначается .

Таким образом, по определению

.

Вычислять вычеты, исходя из определения, довольно трудно. Поэтому на практике применяются следующие утверждения:

Теорема 8 (о вычете относительно изолированной особой точки). Вычет функции в изолированной особой точке равен коэффициенту при в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки :

.

Если точка – полюс, то для определения вычета иногда можно и не находить разложение функции в ряд Лорана. Имеются более простые способы.

Теорема 9 (о вычете относительно полюса). Пусть – полюс порядка функции . Тогда

. (20)

Следствие. Если – простой полюс функции , то

. (21)

Вычисление вычета в простом полюсе еще более упрощается, если имеет вид:

,

где , , . Тогда

. (22)

Пример 5.1. Вычислить вычеты функции относительно каждой из ее особых точек.

Решение. В примере 4.3 установлено, что точка – существенно особая точка данной функции, и получено разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки:

,

следовательно,

.

Пример 5.2. Вычислить вычеты функции относительно каждой из ее особых точек.

Решение. Особыми точками данной функции являются нули знаменателя – простой полюс и – полюс второго порядка. Найдем вычет относительно точки по формуле (21):

.

Для определения вычета относительно точки воспользуемся формулой (20) при :

.

Теория вычетов находит широкое применение благодаря следующему утверждению:

Теорема 10 (о вычетах). Пусть функция является аналитической в области всюду, за исключением конечного числа точек , . Пусть замкнутый контур содержится в области и не проходит через особые точки. Тогда интеграл от функции по контуру равен сумме вычетов функции относительно всех особых точек (), заключенных внутри , умноженной на :

.

Теорема 11 (о вычетах на расширенной комплексной плоскости). Пусть функция является аналитической на расширенной комплексной плоскости, кроме конечного числа точек , , ,…, . Тогда

.

Пример 5.3. Вычислить интеграл .

Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются точки , , . Из них внутри окружности лежат только две: и . Поэтому по теореме 10

.

Обе эти точки являются для данной функции простыми полюсами. Воспользуемся формулой (22):

,

.

Следовательно,

.

Пример 5.4. Вычислить интеграл .

Решение. Внутри окружности лежат восемь полюсов второго порядка, а вне ее – простой полюс и . По формуле (21) найдем вычет в точке :

.

Для определения вычета в точке найдем несколько членов разложения подынтегральной функции в ряд Лорана в окрестности этой точки. Введем новую переменную , тогда

.

Так как функция аналитична в круге , то ее можно разложить в этом круге в степенной ряд:

, .

Тогда

,

или

, .

В полученном разложении коэффициент при равен нулю, т. е. . Значит по теореме 11

.

Варианты заданий для РГР

Задание 1. Разложить функцию в ряд по степеням и определить радиус сходимости полученного ряда.

1.  а) , ; б) , .

2.  а) , ; б) , .

3.  а) , ; б) , .

4.  а) , ; б) , .

5.  а) , ; б) , .

6.  а) , ; б) , .

7.  а) , ; б) , .

8.  а) , ; б) , .

9.  а) , ; б) , .

10.  а) , ; б) , .

11.  а) , ; б) , .

12.  а) , ; б) , .

13.  а) , ; б) , .

14.  а) , ; б) , .

15.  а) , ; б) , .

16.  а) , ; б) , .

17.  а) , ; б) , .

18.  а) , ; б) , .

19.  а) , ; б) , .

20.  а) , ; б) , .

21.  а) , ; б) , .

22.  а) , ; б) , .

23.  а) , ; б) , .

24.  а) , ; б) , .

25.  а) , ; б) , .

26.  а) , ; б) , .

27.  а) , ; б) , .

28.  а) , ; б) , .

29.  а) , ; б) , .

30.  а) , ; б) , .

Задание 2. Разложить функцию в ряд Лорана в указанном кольце.

1.  , ;

2.  , ;

3.  , ;

4.  , ;

5.  , ;

6.  , ;

7.  , ;

8.  , ;

9.  , ;

10.  , ;

11.  , ;

12.  , ;

13.  , ;

14.  , ;

15.  , ;

16.  , ;

17.  , ;

18.  , ;

19.  , ;

20.  , ;

21.  , ;

22.  , ;

23.  , ;

24.  , ;

25.  , ;

26.  , ;

27.  , ;

28.  , ;

29.  , ;

30.  , .

Задание 3. Найти все возможные разложения функции в ряд Лорана по степеням .

1.  , ;

2.  , ;

3.  , ;

4.  , ;

5.  , ;

6.  , ;

7.  , ;

8.  , ;

9.  , ;

10.  , ;

11.  , ;

12.  , ;

13.  , ;

14.  , ;

15.  , ;

16.  , ;

17.  , ;

18.  , ;

19.  , ;

20.  , ;

21.  , ;

22.  , ;

23.  , ;

24.  , ;

25.  , ;

26.  , ;

27.  , ;

28.  , ;

29.  , ;

30.  , .

Задание 4. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

8.  ;

9.  ;

10.  ;

11.  ;

12.  ;

13.  ;

14.  ;

15.  ;

16.  ;

17.  ;

18.  ;

19.  ;

20.  ;

21.  ;

22.  ;

23.  ;

24.  ;

25.  ;

26.  ;

27.  ;

28.  ;

29.  ;

30.  .

Задание 5. Вычислить вычеты функции относительно каждой из ее особых точек.

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

8.  ;

9.  ;

10.  ;

11.  ;

12.  ;

13.  ;

14.  ;

15.  ;

16.  ;

17.  ;

18.  ;

19.  ;

20.  ;

21.  ;

22.  ;

23.  ;

24.  ;

25.  ;

26.  ;

27.  ;

28.  ;

29.  ;

30.  .

Задание 6. Вычислить интеграл.

1.  ;

2.  ;

3.  ;

4.  ;

5.  ;

6.  ;

7.  ;

8.  ;

9.  ;

10.  ;

11.  ;

12.  ;

13.  ;

14.  ;

15.  ;

16.  ;

17.  ;

18.  ;

19.  ;

20.  ;

21.  ;

22.  ;

23.  ;

24.  ;

25.  ;

26.  ;

27.  ;

28.  ;

29.  ;

30.  .

Литература

1.  Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2.  Леонтьева Т. А. Лекции по теории функций комплексного переменного. – М.: Научный мир. 2004.

3.  Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного (с элементами операционного исчисления). – М.: Лань, 2002.

4.  Морозова В. Д. Теория функций комплексного переменного. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009.

5.  Пантелеев А. В., Якимова А. С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. – М.: Вузовская книга, 2012.

6.  Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике, 1, 2 часть. – М.: 2004.

7.  Письменный Д. Т. Сборник задач по высшей математике, 1, 2 часть. – М.: 2004.

8.  Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

9.  Шабунин М. И. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2006.

Антоненкова О. Е., Часова Н. А.

МАТЕМАТИКА

Теория функций
комплексной переменной

Методические указания и задания к расчетно-графической работе
для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения

Формат Объем Тираж Заказ

Брянск, Станке Димитрова 3, Редакционно-издательский отдел

Отпечатано: Печатный цех БГИТА

Разложение функции в ряд Лорана : Анализ-II

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

 
GlazkovD 

 Разложение функции в ряд Лорана

14. 02.2008, 13:55 

16/02/07
147
БГУИР(Старый МРТИ)

Решал следующую задачу:

Найти все Лорановские разложения данной функции по степеням z-z0.
где

Начало моего решения
Функция имеет две особые точки.
Центр разложения находится в точке

Расстояние до первой особой точки
Расстояние до второй особой точки
Можно написать 3 сходящихся ряда Лорана по степеням

Мой рисунок к задаче

Разложим дробь на элементарные

А теперь не могу сдвинуться. Вроде бы по началу внутри круго должен идти ряд тейлора

Ну допустим через n-ю производную в точке z0 я получу ряд по данной формуле.
Однако в него никак не входит понятие границы ,
да и во многих примерах используют вообще не эту формулу, а что то другое.

По ряду лорана внутри кольца между и тоже упирается дело в подобную формулу

где вроде если считать по производной, то нет разницы, внутри кольца и определяется либо вообще в бесконечности. Не могу куда то приткнуть условие «между», а так же
создать отличие по данной теореме между рядами внутри кольца и вне кольца на бесконечность.
В примерах такого рода вообще не используют такую формулу.

В общем пока что я в заблуждении, кому не трудно, помогите сдвинуться с мертвой точки(до конца ответ не давайте, я по ходу ваших советов хочу сам добить данную задачу)

Спасибо за внимание.


   

                  

bobo 

 

14. 02.2008, 14:52 

01/04/07
104
ФПФЭ

Если Вы примените формулу для коэффициентов через n-ю производную, то вне круга она даст неверный результат, т.к. интеграл по контуру в формуле не совпадет со значением производной из-за наличия особой точки. Тоже самое и для кольца.


   

                  

Brukvalub 

 

14. 02.2008, 14:53 

Заслуженный участник

01/03/06
13626
Москва

Отвечу примером похожего разложения. Разложим функцию в ряд Лорана по степеням . Если , то

Если , то


   

                  

GlazkovD 

 

15. 02.2008, 05:52 

16/02/07
147
БГУИР(Старый МРТИ)

Проанализировал пример Brukvalub.

Тогда алгоритм решения в общем виде таков:

Разложение по степеням

1 случай: На промежутке |z-z0|<|a-z0|=R внутри окружности(промежуток от z0 до -a)

Разложение ведется по формуле:

Если промежуток выходит за рамки окружности то

Вроде бы таков алгоритм ?

Добавлено спустя 1 час 59 минут 33 секунды:

По сути дела каждая такая функция данного вида имеет только по 2 разложения лорана ?

1)в промежутке от z0(центра разложения) и до своей особой точки

2) От своей особой точки до бесконечности. Вроде бы так ?

Добавлено спустя 1 минуту 37 секунд:

Подходит ли данная выведенная(из примера Brukvalub) формула для данного вида для разложения ?


   

                  

GlazkovD 

 

15.02.2008, 07:16 

16/02/07
147
БГУИР(Старый МРТИ)

извините, кажется решил, так или нет ?

Условие(что бы страницу не листать)

Найти все Лорановские разложения данной функции по степеням z-z0.
где

Внутри круга

В кольце

На бесконечности


   

                  

Brukvalub 

 

15.02.2008, 10:20 

Заслуженный участник

01/03/06
13626
Москва

Разве Вам неизвестно, что 1+1=2? (в записи ряда это выглядит диковато. …)


   

                  

GlazkovD 

 

15.02.2008, 13:30 

16/02/07
147
БГУИР(Старый МРТИ)

Поправил 1+1=2


   

                  

GlazkovD 

 

16. 02.2008, 21:47 

16/02/07
147
БГУИР(Старый МРТИ)

Все. Решил. Вроде бы. С полными выкладками своих рассуждений. Проверьте кому не лень именно ход.
Арифметика- не страшно, ее можно всегда быстро поправить.


Рассмотрим поведение функции. в данном интервале.
(кольцо представленное окружностью до первой критической точки)
От точки разложения ближайшей точкой(из особых) является точка На основе данного факта и сформирована данная окружность.

Функция разложена на две простые дроби.

Обе данные функции не встречаются с особыми точками на интервале т. е для обоих выполняется условие
Где соответствующая особая точка для каждой из двух функций.
(Т.е радиус изменения (от точки ) меньше радиуса от точки до ближайшей особой).

Разложение ведется по формуле:
Если т.е как бы изменение z не превосходит

Сопоставим с формулой: В нашем случае

В нашем случае

Итого в круге


От особой точки z=0 до точки z=-1 образуется интервал, представленный кольцом. Рассмотрим как ведут себя функции и внутри кольца
Точка z=0 является особой для второй функции. Точка 0 не является особой для первой функции. По этому разложение внутри кольца остается таким же, как и разложение внутри круга.

Остается разложить в данном интервале. Данная функция как бы уже вывалилась за особую точку.
Т.е выполняется равенство в нашем случае

В такой ситуации разложение ведется по формуле.

Разложим В нашем случае и

Тогда

Итого в кольце

Окружающая бесконечность. Сдесь уже для обоих функций выполняется условие

Т.е обе функции как бы вывалились за свои соответственные особые точки.

Условие уже выполнялось для \frac {-1} {z} внутри кольца. Сдесь оно тоже выполняется, по этому разложение будет таким же как и в кольце.

Разложим

Итого


   

                  

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
  Страница 1 из 1
 [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы


определения, формулы, примеры с решением

Оглавление:

Числовые ряды
Ряд

членами которого являются комплексные числа, называется числовым рядом (в комплексной области). Ряд (76.1) с комплексными членами можно записать в виде

где и — действительные числа.

Сумма первых членов ряда (76.1) называется -й частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда: , то ряд (76.1) называется сходящимся, a — суммой ряда; если не существует, то ряд (76.1) называется расходящимся.

Очевидно, что ряд (76.1) сходится тогда и только тогда, когда сходится каждый из рядов

и

При этом , где — сумма ряда (76.2), a — сумма ряда (76.3). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (76.2) и (76.3) с действительными членами.

В теории рядов с комплексными членами основные определения, многие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим определениям и теоремам из теории рядов с действительными членами.

Приведем некоторые из них.

Остатком ряда (76.1) называется разность

Теорема 76.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (76.1) сходится, то его общий член при стремится к нулю: .

Ряд (76.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Теорема 76.2. Если сходится ряд (76.4), то абсолютно сходится ряд (76.1).

По условию ряд с общим членом сходится. Тогда в силу очевидных неравенств и и на основании признака сравнения (теорема 60.1) сходятся ряды и . Отсюда, следует сходимость рядов (76.2) и (76.3), а значит, и абсолютная сходимость ряда (76.1).

Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму , то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму , что и исходный ряд.

Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и перемножать.

При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами применимы все известные из действительного анализа признаки сходимости знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера: если существует , то при ряд (76.4) абсолютно сходится, а при — расходится.

Степенные ряды

Степенным рядом в комплексной области называют ряд вида

где — комплексные числа (коэффициенты ряда), — комплексная переменная.

Рассматривают также и степенной ряд вида

который называют рядом по степеням разности , — комплексное число. Подстановкой ряд (76.6) сводится к ряду (76.5).

Ряд (76.5) при одних значениях аргумента может сходиться, при
других — расходиться.

Совокупность всех значений , при которых ряд (76.5) сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абеля, устанавливающая область сходимости степенного ряда.

Теорема 76.3 (Абель). Если степенной ряд (76.5) сходится при (в точке ), то он абсолютно сходится при всех значениях , удовлетворяющих условию .

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абеля в действительном анализе (теорема 63.1).

Следствие 76.1. Если ряд (76.5) расходится при , то он расходится при всех значениях , удовлетворяющих условию (т. е. вне круга радиуса с центром в начале координат).

Из теоремы Абеля следует существование числа такого, что при всех значениях , удовлетворяющих неравенству , степенной ряд (76. 5) абсолютно сходится. Неравенству удовлетворяют точки комплексной области, лежащие внутри круга радиуса с центром в точке .

Величина называется радиусом сходимости ряда (76.5), а круг — кругом сходимости ряда. В круге ряд (76.5) сходится, вне этого круга — расходится; на окружности могут располагаться как точки сходимости, так и точки расходимости ряда.

Принято считать, что , когда ряд (76.5) сходится в одной точке , когда ряд сходится на всей комплексной плоскости. Кругом сходимости ряда (76.6) является круг с центром в точке .

Радиус сходимости ряда (76.5) можно вычислить по формуле (или ), получаемой после применения признака Даламбера (или Коши) к ряду из модулей его членов исходного ряда.

Приведем (без доказательств) некоторые свойства степенного ряда.

  1. Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналитическая функция.
  2. Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз. Полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
Пример №76.1.

Найти область сходимости ряда .

Решение: Здесь ,

т. е. . Следовательно, областью сходимости является вся плоскость .

Пример №76.2.

Найти область сходимости ряда .

Решение:

Здесь . Данный ряд сходится в области .

Дополнительный пример №76.3.

Ряд Тейлора

Теорема 76.4. Всякая аналитическая в круге функция может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд

коэффициенты которого определяются формулами

где — произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри круга.

Степенной ряд (76.7) называется рядом Тейлора для функции в рассматриваемом круге.

Возьмем произвольную точку внутри данного круга и проведем окружность с центром в точке и радиусом так, чтобы точка находилась внутри круга (см. рис. 295).

Так как функция аналитична в круге и на его границе , то ее значение в точке можно найти по формуле Коши (75.9): , где — точка на окружности . Имеем:

Так как , то , следовательно, выражение можно рассматривать как сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Таким образом,

Умножим обе части этого равенства на величину и проинтегрируем его почленно по контуру . Получим:

т. e. , или , где . Используя формулу (75.10), получим представление коэффициентов ряда через -е производные функции в точке : .

Таким образом, мы получили разложение функции в степенной ряд (76.7), коэффициенты которого определяются по формулам (76.8).

Докажем единственность этого разложения.

Допустим, что функция в круге представлена другим степенным рядом

Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное число раз, будем иметь:

Полагая в этих равенствах, а также в исходном ряде , получаем: Сравнивая найденные коэффициенты ряда с коэффициентами ряда (76. 7), устанавливаем, что , а это означает, что указанные ряды совпадают.

Функция разлагается в степенной ряд единственным образом.

Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена):

Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной плоскости, последние два — в круге .

Заменив на в разложении функции , получим:

т. е. формулу Эйлера .

Дополнительная лекция: Нули аналитической функции

Ряд Лорана

Теорема 76.5. Всякая аналитическая в кольце функция может быть разложена в этом кольце в ряд

коэффициенты которого определяются формулой

где — произвольная окружность с центром в точке , лежащая внутри данного кольца.

Рад (76.11) называется рядом Лорана для функции в рассматриваемом кольце.

Возьмем произвольную точку внутри кольца и проведем две окружности и с центрами в точке так, чтобы точка была между ними и каждая окружность находилась внутри данного кольца (см. рис. 296).

Функция аналитична в кольце между окружностями и и на самих окружностях. Поэтому по формуле Коши для многосвязной области имеем:

где обе окружности и обходятся против часовой стрелки.

Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части равенства (76.13), рассуждая, как и при выводе формулы Тейлора.

На окружности выполняется неравенство , или . Поэтому дробь можно представить в виде

Тогда

Проинтегрируем это равенство по контуру :

т.е. , где

(здесь , так как функция , возможно, не аналитична в точке ).

На окружности имеем , т. е. . Тогда

Значит,

Проинтегрируем это равенство почленно по контуру :

т.е. , где

Подставив разложения (76.14) и (76.15) в равенство (76.13), получим

Формулы для коэффициентов и можно объединить, взяв вместо контура и любую окружность с центром в точке , лежащую в кольце между и (следует из теоремы Коши для многосвязной области): .

Можно доказать, что функция , аналитическая в данном кольце , разлагается в ряд Лорана (76. 11) единственным образом.

Ряд Лорана для функции

состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т. е. ряд

называется правильной частью ряда Лорана, этот ряд сходится к аналитической функции внутри круга . Вторая часть ряда Лорана, т. е. ряд

называется главной частью ряда Лорана; этот ряд сходится к аналитической функции вне круга .

Внутри кольца ряд сходится к аналитической функции .

В частности, если функция не имеет особых точек внутри круга , то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тейлора.

Замечание. На практике при разложении функции в ряд Лорана используют известные разложения основных элементарных функций; дробь вида разлагается в ряд, являющийся рядом геометрической прогрессии; дробь вида , где — целое, разлагается в ряд, который получается из ряда геометрической прогрессии последовательным дифференцированием раз; сложная дробь представляется в виде суммы простейших дробей.

Пример №76.4.

Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности точки .

Решение:

Воспользуемся известным разложением

справедливым на всей комплексной плоскости. Положив , получим

Дополнительный пример №76.5.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

  • Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Сумма степенного ряда является аналитической функцией в круге сходимости. — КиберПедия

Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные

Топ:

Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного…

Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья. ..

Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров…

Интересное:

Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются…

Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы…

Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль…

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Рассмотрим функцию f(z). Составим ряд

Ряд (**) – ряд Тейлора для функции f(z).

Известны следующие разложения в ряд Тейлора.

Можно показать, что радиус сходимости равен R = ∞.

Ряд Лорана.

В комплексном анализе имеют дело не только со степенными рядами, но и с двусторонними рядами

Ряд сходится при |t| < R2′

|z – a| > R2, R2 = 1/R2′ . Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце

 
 

R2 < |z – a| < R1

R1 Теорема.

z = aСумма ряда Лорана является аналитической

(С) функцией в кольце сходимости R2 < |z – a| < R1.

R2

 

Найдем коэффициенты ряда Лорана. Рассмотрим

 

 

(все слагаемые в правой части обратились в нуль, кроме одного, когда k + 1 – n = 1, т. е. n = k).

Отсюда

 

Особые точки.

Особыми точками функции f(z) называются точки, в которых нарушается аналитичность функции.

Особая точка z = a называется изолированной, если существует такая окрестность этой точки, в которой она является единственной особой точкой.

Например, f(z) = 1/(z-1) , z = 1 – изолированная особая точка.

Если точка z = a является изолированной особой точкой, то существует достаточно малое кольцо R2 < |z – a| < R1, в котором функция f(z) аналитическая и разлагается в ряд Лорана.

(*)

При этом могут представиться три случая.

1.Разложение (*) не содержит главной части.

Особая точкаz = a называетсяустранимой особой точкой.

П р и м е р. Показать, что z = 0 – устранимая особая точка функции

В полученном разложении отсутствует главная часть, поэтому точка z = 0 – устранимая особая точка. Если принять, что f(0) = 1, то функция станет аналитической.

2. Разложение содержит конечное число слагаемых в главной части.

Если то точка z = a называетсяполюсомm-го порядка. Если m = 1, то полюс называется простым.

П р и м е р .

. Точки z = 1 и z = i являются особыми точками.

z = 1 – простой полюс, т.к.

 

z = i – полюс второго порядка. т.к.

  1. Разложение в ряд Лорана содержит в главной части бесконечное множество членов. Точка z = a называется существенно особой точкой. В существенно особой точке функция f(z) – неопределенна.

Вычеты функции.

Вычетом функции f(z) в конечной изолированной особой точке z = a называется коэффициент а-1при 1/(z – a) в разложенииf(z) в ряд Лорана в окрестности точки
z = a.

Используя формулу коэффициентов ряда Лорана, получим

Здесь (С) – окружность |z – a| = r, принадлежащая кольцу сходимости.

Отсюда, если z = a – правильная или устранимая особая точка, то Res f(a) = 0, т.к. в разложении f(z) отсутствует главная часть.

Вычет функции в конечном полюсе.

Пусть z = a – полюс m-го порядка.

П р и м е р . Найти вычеты функции f(z) во всех конечных особых точках.

Особые точки z = 0 и z =

Теорема Коши о вычетах.

Вычеты имеют важное применение при вычислении интегралов по замкнутому контуру.

Пусть функция f(z) аналитична всюду на

замкнутом контуре (L) и всюду внутри контура

a1 z = a1 (L) за исключением конечного числа точек

a1, a2,…,an, расположенных внутри контура (L).

Тогда

 

z = a2

z = an

Доказательство.

Вокруг каждой из точек ak окружность (Сk) так, чтобы эти окружности не пересекали друг друга и не выходили за (L). Тогда по теореме Коши интеграл по внешнему контуру (L) будет равен сумме интегралов по внутренним контурам (Ck).

П р и м е р 1 .

y

(L) – окружность |z – 2| = 3. Внутрь контура попали две

x

-2 особые точки z = 0 и z = 2.

 

z = 2

z = 0


П р и м е р 2 .( см. предыдущую стр.).

 

 

z = i

 
 

 

(С) |z — 2| = 3

 

 
 

 

z =0

 

 

z =-i

⇐ Предыдущая123

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой. ..

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим…

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни…

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)…



8.7: Серия Лорана — Математика LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    50904
    • Джереми Орлофф
    • Массачусетский технологический институт через MIT OpenCourseWare 9n}\]

      называется особой или главной частью ряда Лорана.

      Примечание

      Поскольку \(f(z)\) не может быть аналитическим (или даже определенным) в \(z_0\), у нас нет никаких формул для коэффициентов с использованием производных.

      Доказательство

      (серия Лоран). Выберите точку \(z\) в \(A\). Теперь установите круги \(C_1\) и \(C_3\) достаточно близко к границе, чтобы \(z\) находился внутри \(C_1 + C_2 — C_3 — C_2\), как показано. Поскольку эта кривая и ее внутренность содержатся в \(A\), интегральная формула Коши говорит

      \[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1 + C_2 — C_3 — C_2} \dfrac{f(w)}{w — z}\ dw\]

      Рисунок \(\PageIndex{1}\): Контур, используемый для доказательства формул для рядов Лорана. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

      Интегралы по \(C_2\) сокращаются, поэтому мы имеем

      \[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1 — C_3} \dfrac{f(w)}{w — z}\ dw.\]

      Затем мы разделим это на две части и воспользуемся нашим приемом преобразования в геометрическую прогрессию. n\]

      Последнее, что следует отметить, это то, что интегралы, определяющие \(a_n\) и \(b_n\), не зависят от точного радиуса круга интегрирования. Любой круг внутри \(A\) даст те же значения. Мы доказали все утверждения теоремы о рядах Лорана. КЭД

      В целом, интегральные формулы не являются практическим способом вычисления коэффициентов Лорана. Вместо этого мы используем различные алгебраические приемы. Еще лучше, как мы увидим, тот факт, что часто нам действительно не нужны все коэффициенты, и мы разработаем больше методов для вычисления тех, которые нам нужны.

      Пример \(\PageIndex{1}\)

      Найдите ряд Лорана для

      \[f(z) = \dfrac{z + 1}{z} \nonumber\]

      вокруг \(z_0 = 0 \). Укажите регион, где он действует.

      Решение

      Ответ прост:

      \[f(z) = 1 + \dfrac{1}{z}. \nonumber\]

      Это ряд Лорана, действительный в бесконечной области \(0 < |z| < \infty\).

      Пример \(\PageIndex{2}\)

      Найдите ряд Лорана для

      92 + 1} \nonumber\]

      около \(z_0 = i\). n \nonumber\] 93 -\ … \nonumber\]

      Следующий пример показывает, что ряд Лорана зависит от рассматриваемой области.

      Пример \(\PageIndex{4}\)

      Найдите ряд Лорана вокруг \(z = 0\) для \(f(z) = \dfrac{1}{z(z — 1)}\) в каждой из следующих областей:

      \[\begin{array} {rl} {\text{(i)}} & {\text{область} A_1: 0 < |z| < 1} \\ {\ text {(ii)}} & {\ text {область} A_2: 1 < |z| < \infty.} \end{array} \nonumber\]

      Решение 92} +\ …) \nonumber\]

      Так как \(|1/z| < 1\) на \(A_2\), наше использование геометрического ряда оправдано.

      Один урок из этого примера состоит в том, что ряд Лорана зависит от области так же, как и от формулы функции.

      Эта страница под названием 8.7: Laurent Series распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Джереми Орлоффом (MIT OpenCourseWare) посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

      1. Наверх
        • Была ли эта статья полезной?
        1. Тип изделия
          Раздел или Страница
          Автор
          Джереми Орлофф
          Лицензия
          CC BY-NC-SA
          Версия лицензии
          4,0
          Программа OER или Publisher
          MIT OpenCourseWare
          Показать страницу TOC
          нет
        2. Теги
          1. Серия Лоран
          2. основная часть (серия Лорана)
          3. стандартная часть (серия Laurent)
          4. source@https://ocw. mit.edu/courses/mathematics/18-04-complex-variables-with-applications-spring-2018

        комплексный анализ — Нахождение ряда Лорана для $f(z)=1/((z-1)(z-2))$

        Вопрос задан

        Изменено 7 лет, 2 месяца назад

        Просмотрено 63k раз

        $\begingroup$

        Пусть $$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$$ и разреши $$R_1=\Bigl\{z\Bigm| 1<|z|<2\Bigr\}\quad\text{ и }\quad R_2=\Bigl\{z\Bigm| |z|>2\Bigr\}.$$

        Как найти ряд Лорана, сходящийся на $R_1$? И как это сделать за $R_2$?

        У меня серьезные проблемы с этим, так как я не вижу, как разложить вещи в ряды с n как любое целое число, а не только натуральное число. Также как применить интегральную формулу Коши к кольцу. Если кто-нибудь может объяснить мне это, я буду очень благодарен.

        • комплексный анализ

        $\endgroup$

        1

        $\begingroup$

        Я предполагаю, что вы хотите разложить эту функцию в ряд Лорана в точке $0$ (поскольку это точка с центром этих колец). Стандартный способ сделать это — вообще не использовать интегральную формулу — только уникальность разложения в ряд Лорана (что, я думаю, часто доказывается с использованием интегральной формулы). Вы выполняете некоторые алгебраические действия, чтобы найти представления этой функции в виде ряда в целых степенях $z$, которые сходятся в заданных кольцах. По единственности эти ряды должны быть рядами Лорана. 92 + \cdots) $$ верно для всех $|z| > 2$. Если вы просто расширите это, вы получите ряд Лорана для $\frac{1}{z — 2}$ в этой области. Конечно, это намного чище, если вы используете сигма-нотацию для записи.

        На кольце $1 < |z| < 2$, конечно, описанный выше метод не работает. Но у нас также есть $$ \frac{1}{z — 2} = -\frac{1}{2} \frac{1}{(1 — \frac{z}{2})} $$ и если $1 < |z| < 2$, то $|\frac{z}{2}| < 1$, поэтому формулу геометрического ряда здесь можно использовать снова, немного по-другому. 9{-1}| < 1$ выполняется для всех $z$ в любом кольце. Таким образом, разложение Лорана этой функции одинаково в обеих областях.

        Идеи, использованные здесь, обобщаются на нахождение ряда Лорана других рациональных функций на других кольцах, конечно.

        $\endgroup$

        1

        $\begingroup$

        Функция $f(z)$ может быть разложена на две частичные дроби $$ f(z):=\frac{1}{\left( z-1\right) \left( z-2\right)}=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z -1}. $$ 92} \frac{1}{\left( 1 — \frac{1}{z}\right) \left( 1 — \frac{2}{z}\right)} $$ и развернуть в $w=\frac{1}{z}$.

        $\endgroup$

        Твой ответ

        Зарегистрируйтесь или войдите в систему

        Зарегистрируйтесь с помощью Google

        Зарегистрироваться через Facebook

        Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

        Опубликовать как гость

        Электронная почта

        Обязательно, но не отображается

        Опубликовать как гость

        Электронная почта

        Требуется, но не отображается

        Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

        Тейлор Лорен

        Ладно, не хочу показаться старым, но… Я создаю онлайн-курсы по социальным сетям уже более 11 лет! Я начал создавать их, когда моя должность называлась «стажер по социальным сетям», и за последнее десятилетие я разработал комплексное обучение работе с социальными сетями для таких брендов, как Skillshare, Shopify и Later!

        Ознакомьтесь со списком всех моих последних курсов (большинство из них бесплатны!) и следите за обновлениями моих Курс Instagram Reels скоро запустится.

        Освоение TikTok: прекратите прокручивать и опубликуйте свой первый TikTok!

        Вы видели танцы, озвучку и вирусные вызовы. TikTok — это забавная, новая, совместная платформа для социальных сетей, и НЕТ, она не только для детей.

        На этом занятии вы узнаете, как снимать, редактировать и оптимизировать свои TikTok для увеличения количества просмотров, а также как ориентироваться в экосистеме TikTok, чтобы прекратить прокрутку и начать публиковать.

        Мы рассмотрим:

        ✦ Развенчание мифов о том, как работает алгоритм TikTok и страница For You
        ✦ Создание и профессиональное редактирование видео в TikTok (включая переходы!)
        ✦ Оптимизация вашего видео в TikTok с текстом, подписями, хэштегами и эффектами
        ✦ Демонстрация того, как создать «менталитет мемов» и помочь вам стать вирусным в TikTok

        Для кого этот класс?

        Этот класс предназначен для всех, кто хочет создавать привлекательный контент для TikTok. Каждый урок содержит пошаговые инструкции о том, как освоить приложение своим творческим путем. Являетесь ли вы человеком, который просто хочет создавать TikTok для развлечения, или брендом, стремящимся расширить свою аудиторию, в этом классе есть что-то для вас!

        СМОТРЕТЬ БЕСПЛАТНО НА SKILLSHARE

        Семинар по планированию контента

        Давайте вместе спланируем ваш календарь контента на 2021 год! Если вы хотите расти, вам нужно организоваться и составить план — так что давайте воплотим его в жизнь.

        2021 ЗАПИСЬ ЗАКРЫТА! ЖДУТ ПРЕДЛОЖЕНИЯ НА 2022 ГОД… 👀

        Вот что будет рассмотрено на двухчасовом семинаре:

        ✦ Календари контента: как эффективно их планировать и оставаться организованным (включает: шаблоны календаря контента для Google Docs, Notion и Asana, плюс рабочая тетрадь по планированию контента, которую вы можете настроить).

        ✦ Годовое планирование: я проведу вас через точный процесс, который я использую для планирования годовой маркетинговой деятельности, и буду работать с вами, чтобы создать вашу собственную! Это относится ко всем маркетинговым каналам, таким как блог, электронная почта, социальные сети, мероприятия, кампании и т. д.

        ✦ Ежеквартальное планирование: я поделюсь примерами того, как взять ваш контент-план на 2021 год и создать на его основе подробный квартальный план и контент-календарь.

        ✦ Метрики успеха: как выбрать KPI/OKR для вашего контента, как измерить вашу аналитику и как СПРОГНОЗИРОВАТЬ на 2021 год! (иначе как произвести впечатление на своего босса)

        ✦ Канальная стратегия: на каких каналах вам следует сосредоточиться в 2021 году? Как создать многоканальный календарь контента, спланировать новый канал (например, TikTok, Clubhouse) и перекрестно продвигать свой контент по всем каналам

        Как использовать TikTok для бизнеса (позже)

        Не знаете, с чего начать с TikTok для вашего бизнеса? Больше ни слова. Этот бесплатный 35-минутный курс научит вас всему, что вам нужно знать — от создания вирусных видео до понимания мощного алгоритма TikTok.

        Настройтесь на этот курс TikTok для бизнеса и узнайте, как:

        ✦ Будьте в курсе последних тенденций и проблем
        ✦ Максимально используйте алгоритм TikTok (да, мы говорим о странице «Для вас»)
        ✦ Привлекайте новую аудиторию с помощью рекламы TikTok

        СМОТРЕТЬ БЕСПЛАТНО НА YOUTUBE

        КУРС БРЕНДИНГА INSTAGRAM, НА КОТОРОМ УЧАТСЯ БОЛЕЕ 30 000 СТУДЕНТОВ!

        Хотите выделиться на многолюдной платформе? У вас уже есть все, что вам нужно! Этот 60-минутный урок посвящен созданию присутствия в Instagram, которое воплощает в себе все ваше «я» и привлекает последователей, которым действительно не все равно!

        Разработанный для всех, кто хочет быть кем-то в сети, каждый урок предлагает доступные и действенные шаги, которые превратят вас из обычного пользователя в обязательную учетную запись.

        Ключевые уроки охватывают:

        ✦ Определение успеха Instagram на ваших условиях
        ✦ Развенчание распространенных мифов и работа с алгоритмом
        ✦ Создание единственного в своем роде аккаунта, за которым стоит подписаться
        ✦ Создание сообщества, одержимого вами

        Независимо от того, являетесь ли вы предпринимателем, начинающим влиятельным лицом или просто тем, кто хочет создавать контент, который небезразличен людям, Taylor’s целостный подход устранит давление и даст вам тактические инструменты, необходимые для достижения ваших целей, онлайн и вне его!

        СМОТРЕТЬ СЕЙЧАС НА SKILLSHARE

        Не являетесь участником Skillshare? Используйте мою специальную ссылку , чтобы посмотреть этот курс бесплатно И получить один месяц бесплатного использования Skillshare Premium!

        Как заработать в Instagram (Shopify)

        Instagram — идеальное место для поиска новых клиентов, информирования аудитории о ваших продуктах и ​​увеличения прибыли. Но в зависимости от вашей аудитории и ваших продуктов важно, чтобы вы нашли функцию покупок в Instagram, которая лучше всего подходит для вас. В этом курсе вы познакомитесь с платформой продаж Instagram, которая поможет вам заработать больше денег на платформе.

        Обложка ключевых уроков:

        ✦ Как заработать на своей ленте, историях и профиле в Instagram
        ✦ Как оптимизировать свой профиль
        ✦ Как настроить продажи в Instagram

        СМОТРЕТЬ БЕСПЛАТНО В SHOPIFY

        Лорен Д. М. Пена, доктор медицинских наук

        Записаться на прием

        Новые пациенты Расписание онлайн

        Существующие пациенты Планирование MyChart

        Позвоните нам, чтобы запланировать Назначения 513-636-4760 Назначения