Разное

Онлайн построение в полярной системе координат: Построение графиков функций онлайн

Содержание

Построение графика в полярных координатах. Контрольные онлайн

Построение графика в полярных координатах

Дано уравнение кривой в полярной системе координат .
Требуется:
   а) построить кривую по точкам, придавая j значения из промежутка  с шагом ;
   б) записать уравнение этой кривой в декартовой прямоугольной системе координат, согласованной с полярной, и определить тип этой кривой.
Решение
   а) Составим таблицу значений функции.

j

0

p/8

p/4

3p/8

p/2

5p/8

3p/4

7p/8

p

9p/8

5p/8

11p/8

3p/2

13p/8

7p/4

15p/8

r

3

2,8

2,32

1,72

1,5

1,26

1,11

1,02

1

1,02

1,11

1,26

1,5

1,72

2,32

2,8

   По этим данным отметим точки на плоскости и, плавно соединяя соседние точки, построим линию.

б) Перейдём к декартовой прямоугольной системе координат, пользуясь формулами , .
Заданное уравнение примет вид .
Преобразуем это уравнение: ,

, , , .
Выделив полные квадраты переменных  и , получим  или  .

   Это уравнение эллипса с центром в точке  и полуосями  и .

Desmos – онлайн графический калькулятор / Хабр

Случалось ли вам, что нужно быстро нарисовать график функции, а под рукой нет любимой десктопной программы? Меня не раз спасал бесплатный онлайн графический калькулятор от компании Desmos. Мультиязычный интерфейс, в т.ч. с поддержкой русского языка.

Desmos — это онлайн-сервис, который позволяет создавать графики по формуле функции. Сама функция вписывается в левый столбец, а график автоматически строится в правой части. Сервис будет полезен тем, кому необходимо быстро и просто построить график функции, для кого построение графиков функций вызывает сложности или тем, кому с наименьшими затратами необходимо проверить правильность построения графика.

Кроме того, что Desmos Calculator может выполнять все функции обычных графических калькуляторов, он также имеет несколько дополнительных возможностей, которых нет у обычных графических калькуляторов.

Что можно делать в DC:

  • рисовать функциями;
  • создавать анимированные картинки с помощью привязки объектов к функциям с параметрами;
  • создавать динамическую наглядность;
  • быстро создавать скриншоты с формулами и функциями.

Desmos Calculator может строить следующие графики:

  • Постоянная функция
  • Зависимость x от y
  • Неравенства
  • Графики в полярной системе координат
  • Кусочно-заданные функции
  • Точка
  • Группа точек
  • Подвижная точка
  • Функции с параметром
  • Сложные функции

При построении графиков можно использовать следующие функции:

  • Степенные, показательные и логарифмические функции
  • Тригонометрические функции
  • Обратные тригонометрические функции
  • Гиперболические функции
  • Статистические функции и функции вероятностей
  • Другие функции

Визуальная линейная алгебра онлайн на бесконечности действительно велика (первый раздел онлайн-учебника)

Прямоугольные координаты на «плоскости»

Игра слов в самом начале раздела 1.1 — своего рода шутка. Поскольку существует (бесконечно) множество различных точек, которые можно рассматривать, нет смысла говорить о «точке».

Однако иногда математики говорят о «прямой» или «плоскости». И это несмотря на то, что можно рассматривать бесконечно много различных линий и плоскостей. Не беспокойтесь об этом слишком сильно. По сути, когда мы говорим о «линии» или «плоскости», мы просто хотим привлечь наше внимание к тому факту, что мы сосредоточены либо на одномерной, либо на двумерной ситуации.

Важно понимать, что мы представляем, что и «линия», и «плоскость» имеют бесконечную протяженность . Линия продолжается вечно в обоих (одномерных) направлениях, а плоскость продолжается вечно в всех (двухмерных) направлениях.

Древние греки, арабы и французы XVII века

Древнегреческие математики (такие как Пифагор, Евдокс, Евклид и Архимед) интересовались геометрическими объектами в их «чистом» виде. Они работали с такими вещами, как точки, линии, треугольники, круги, цилиндры, сферы, почти так, как если бы они были реальными физическими объектами (хотя многие, как Платон, рассматривали их как идеализированные «формы»). Хотя они действительно рассматривали описательные величины, такие как длины, площади, объемы и угловые меры, не было большого продвижения к пониманию этих объектов, величин и их отношений в терминах переменных или фиксированной системы координат .

Понятие системы отсчета пришлось ждать много лет, пока не появилась символическая алгебра в Леванте и на Аравийском полуострове. Затем, в 1600-х годах, французы Рене Декарт и Пьер де Ферма использовали эту символическую алгебру и свое воображение, чтобы определить идею прямоугольных координат на плоскости . Эту систему координат часто называют декартовыми координатами в честь первого из этих двух интеллектуалов.

Один из основных моментов в этом разделе Visual Linear Algebra Online заключается в том, что эти идеи могут быть обобщены, например, на косые координаты и полярные координаты.В конечном итоге мы увидим, что косые координаты, в частности, очень важны в линейной алгебре и ее приложениях.

Построение прямоугольных осей и линий сетки

Как определяется прямоугольная система координат? Начните с определения единицы длины. С физической точки зрения в этом определении можно использовать что-то вроде сантиметра. Затем «наложите» на плоскость набор из двух осей (направленных линий), перпендикулярных друг другу. Точка на пересечении двух осей называется началом координат и иногда обозначается

.

Затем отметьте точки на этих двух линиях, каждая из которых находится на расстоянии одной единицы друг от друга, и пометьте их, как показано на рисунке ниже. Также отметьте две оси. Традиционные этикетки — « x » и « y ». Эта маркировка — часть того, как символическая алгебра начинает играть роль. Эти буквы будут представлять (действительные) «переменные». Но пока это просто названия топоров.

Наложение набора прямоугольных осей (перпендикулярных друг другу) на плоскость.Точка пересечения называется исходной точкой и обозначается

. Как только это будет сделано, используйте эти оси для определения прямоугольной сетки. По сути, вы делаете миллиметровую бумагу, как показано ниже.

Прямоугольная (декартова) система координат. По сути, это похоже на миллиметровую бумагу, за исключением того, что вам нужно представить, как это продолжается вечно во всех направлениях. Вы также должны понимать, что эту сетку можно сделать на «более тонкой», с меньшими квадратами, показывающими линии, которые находятся на произвольно малых расстояниях друг от друга.

Прямоугольные координаты

Каждая точка на плоскости теперь имеет уникальный «адрес»: ее прямоугольные координаты. Для любой заданной точки

проведите через нее вертикальную и горизонтальную линии. Место, где вертикальная линия пересекает горизонтальную ось, называется первой координатой точки. Место, где горизонтальная линия пересекает вертикальную ось, называется второй координатой точки.

Есть три точки

и на картинке ниже вместе с соответствующими вертикальными и горизонтальными линиями, описанными в параграфе выше. Три точки, и имеют прямоугольные координаты, и, соответственно.

Так как вертикальная (красная) линия, проходящая через

, пересекает горизонтальную ось в точке примерно, мы говорим, что это первая координата точки. Так как горизонтальная (красная) линия пересекает вертикальную ось в точке примерно, мы говорим, что это вторая координата точки. Прямоугольные координаты then записываются как «упорядоченная пара». При такой маркировке первая координата также называется -координатой, а вторая координата также называется -координатой.

Аналогично, прямоугольные координаты

— это и прямоугольные координаты -.

Знаковая дистанционная интерпретация

В дополнение к интерпретации, которую мы только что дали, прямоугольные координаты можно рассматривать как расстояния со знаком до осей. В частности, поскольку прямоугольные координаты

равны, мы можем сказать, что это единицы справа от вертикальной оси и единицы ниже горизонтальной оси.

Для простоты обращения и визуализации мы обычно будем злоупотреблять обозначениями и писать

, даже если это точка, а не упорядоченная пара. Следующая анимация движущейся точки подчеркивает интерпретацию координат со знаком расстояния, а также только что упомянутые обозначения — также существует связь с тригонометрией ! (Первая) координата (синего цвета) — это горизонтальное расстояние со знаком до вертикальной оси. Он положительный, когда точка находится справа от оси-ось, и отрицательный, когда точка находится слева. (Вторая) -координата (коричневого цвета) — это вертикальное расстояние со знаком до горизонтальной оси. Он положительный, когда точка находится выше оси -оси, и отрицательный, когда точка находится ниже.

Последний комментарий к этому разделу: координатная плоскость часто описывается с помощью меток для осей. Если оси обозначены цифрами

и, координатная плоскость называется -плоскостью.

Уравнения и графики: большие преимущества координат

После того, как прямоугольные координаты были определены на плоскости, мы начинаем использовать базовое соответствие между уравнениями и графиками. Трудно переоценить историческое значение этого соответствия — как для математики, так и для ее приложений. Книга Стивена Строгаца « Бесконечные силы: как исчисление раскрывает секреты Вселенной» «» представляет собой очень ясное, исчерпывающее и интересное объяснение того, почему это соответствие было таким важным. Изучение соответствия между уравнениями и графиками настолько обширно и глубоко, что, по сути, представляет собой область исследования, называемую аналитической геометрией.

Как работает эта переписка? Для «хороших» уравнений и «хороших» графиков это двусторонний подход.Для любого «хорошего» уравнения у него есть «хороший» график. И наоборот, для любого «хорошего» графика он может быть по крайней мере приближенным к «красивым» уравнением. Мы оставляем слово «хороший» неопределенным, за исключением того, что оно включает в себя большинство примеров, которые вы, вероятно, рассматривали в своих прошлых курсах математики.

С другой стороны, слово «хороший» определенно применимо к уравнениям, которые являются линейными .

Линейные уравнения, нелинейные уравнения и графики

В классах алгебры и предварительного вычисления линейное уравнение , с двумя переменными

и определяется как уравнение, которое может быть помещено в форму для некоторых констант и.Предполагается, что либо или (чаще всего и ). Обратите внимание, что обе переменные и возведены в первую степень.

Нелинейное уравнение — это уравнение, которое не может представить в этой форме. Обычно это означает, что уравнение имеет другие степени

и / или, или что есть выражения, включающие «трансцендентные функции», такие как или в уравнении.

Для любого уравнения, включающего две переменные

и, его график определяется следующим образом.Это набор точек на прямоугольной плоскости, координаты которых делают уравнение истинным . Другими словами, когда вы подставляете каждую такую ​​пару чисел в уравнение одновременно, вы получаете истинное утверждение.

В прямоугольной системе координат линейные уравнения имеют графики, которые являются прямыми линиями, а нелинейные уравнения имеют графики, которые не являются прямыми линиями .

Пример 1:
Постройте график (линейного) уравнения

Вы можете начать решение этой проблемы, угадав некоторые точки на графике.Например, точки с координатами

и обе удовлетворяют уравнению (сделайте его истинным). Это потому что и. Еще одна точка, о которой можно догадаться, — это точка, координаты которой равны, так как.

Более систематический подход состоит в том, чтобы найти

как функцию от. Затем выберите различные значения и используйте функцию, чтобы найти соответствующие значения.

Вот шаги по алгебре:

. Выражение в правой части последнего уравнения определяет функцию по формуле.График этой функции такой же, как график исходного уравнения.

Теперь мы можем составить таблицу значений, используя различные варианты «независимой переменной»

. Например, если мы выберем, то.

Вот пример таблицы значений:

Вот соответствующий график с выделенными точками из таблицы. График можно увидеть в виде прямой линии, если на нем нанесено еще больше точек.

График линейного уравнения представляет собой прямую линию в прямоугольных координатах.Этот график такой же, как график функции. Это линия наклона и пересечения с вертикальной осью.
Пример 2:
Постройте график (нелинейного) уравнения

При осмотре быстро видим, что точки с прямоугольными координатами

и находятся на графике. Чтобы быть более систематичным, мы решаем получить, а затем составляем таблицу значений. Одна из таких таблиц:

Нанесение еще большего количества точек дает график, показанный ниже. Это не прямая линия.Однако оказывается, что это особая кривая, называемая параболой.

График нелинейного уравнения не является прямой линией в прямоугольных координатах. Этот график такой же, как график функции. Это парабола.

Наклонные координаты (также известные как наклонные системы координат)

Есть ли что-нибудь особенное в прямоугольных (декартовых) координатах?

Да. Особенность системы прямоугольных координат заключается в том, что она относительно проста для понимания и использования.Кажется естественным нарисовать сетку с такими горизонтальными и вертикальными линиями.

Но надо использовать прямоугольные координаты? Например, должны ли оси координат быть перпендикулярны друг другу?

Ответ — «нет». Мы могли бы использовать, если захотим, систему наклонных координат s, которые более официально называются наклонными координатами . В такой системе оси координат , а не , перпендикулярны друг другу.

Конечно, вы можете спросить, зачем мы это делаем. На данный момент, достаточно сказать, что это упрощает рассмотрение многих проблем и их решение . Можно даже сказать, что это большая часть цели всего предмета линейной алгебры. Мы увидим множество примеров этого в следующих главах, где мы рассмотрим идею смены основы.

Пример координат перекоса

Примером системы координат с перекосом, который мы можем рассмотреть, является система, в которой вертикальная ось остается вертикальной, а горизонтальная ось становится наклонной.Возможно, мы сделаем невертикальную ось наклонной под углом

° от исходного положения. Ниже представлена ​​картина этой ситуации. Начало координат остается местом пересечения осей. Оси были помечены значками и. И это несмотря на то, что вертикальная ось не изменилась. Наклонная система координат, наложенная на плоскость. Источник по-прежнему помечен значком. «Новые» оси были помечены и. Показанные отметки делятся на одну единицу расстояния друг от друга.

Но если мы это сделаем, как определить «адрес» любой данной точки? Самый естественный способ — использовать наклонную сетку, как показано ниже. Это похоже на наклонную миллиметровку. Каждая из этих строк соответствует либо значению

, либо значению постоянства. Наклонные линии сетки, созданные из наклонных осей. Каждая из этих строк соответствует либо значению, либо значению постоянства. Это пример перекоса координат.
Оценка новых координат перекоса на глаз

Теперь рассмотрим точки

и наклонную наклонную систему координат ниже. В исходной (старой) координатной плоскости координаты были и исходные координаты были.Показанные красные и синие линии показывают, как найти их «новые» координаты в «новой» плоскости. Можете ли вы угадать их приблизительные новые координаты, прежде чем читать дальше? В исходных прямоугольных координатах, и. Можете ли вы угадать их приблизительные «новые» координаты?

По моим приблизительным оценкам, новые координаты перекоса

равны. Я также предполагаю, что новые координаты перекоса равны. Убедитесь, что вы понимаете почему!

Для

причина в том, что наклонная пунктирная красная линия составляет около 2. Длина 8 единиц (в положительном направлении от вертикальной оси), а длина вертикальной пунктирной красной линии составляет около 2 единиц (в отрицательном направлении от наклонной оси). Например, наклонная пунктирная синяя линия имеет длину около 5,7 единиц (в отрицательном направлении от вертикальной оси), а вертикальная пунктирная синяя линия имеет длину около 3 единиц (в положительном направлении от наклонной оси).
Преобразование одной системы в другую и наоборот

Фактически существует система (линейных) уравнений, которая «преобразует» старые (прямоугольные) координаты

в новые (наклонные) координаты перекоса.В этом примере эта система выглядит так:

Для примера возьмем точку

сверху. Его прямоугольные координаты были. Подставление этих значений в эту систему уравнений дает и так, как и предполагалось выше.

Более того, эту систему можно решить для

и получить новую систему линейных уравнений, которая будет возвращаться в обратном направлении (как обратная функция). Он «преобразует» новые (наклонные) координаты перекоса в старые (прямоугольные) координаты.В этом примере эта система выглядит так:

Обратите внимание, что если

и, то эти уравнения дают и так, что.

Графики и уравнения тоже можно преобразовать

Учитывая уравнение в исходных координатах

, мы можем увидеть, что произойдет, если мы построим то же уравнение в новых координатах. Вдобавок, имея график с определенным уравнением в исходных координатах, мы можем увидеть, сможем ли мы найти новое уравнение координат для того же самого графика.

Если вас это смущает, вам может помочь пара примеров.

Пример 3:
Нарисуйте график (линейного) уравнения на наклонной плоскости. Кроме того, изобразите прямолинейный график исходной плоскости в новых координатах.

Чтобы построить график

на наклонной плоскости, мы можем использовать ту же процедуру, что и в Примере 1. Однако мы должны использовать (наклонные) координаты наклона для построения нашего графика. Мы решаем для как функцию от получить. Это дает ту же таблицу значений, что и раньше (но с измененной меткой).

Вот как выглядит новый график в наклонной системе координат вместе с семью точками из таблицы выше. Убедитесь, что вы понимаете, как эти точки построены с использованием значений

и, а также наклонных линий сетки. Также обратите внимание, что график этого линейного уравнения по-прежнему представляет собой прямую линию, даже несмотря на то, что система координат перекошена. График в косоординатной системе. Обратите внимание, например, что черная точка справа имеет новые координаты.Также обратите внимание, что график по-прежнему представляет собой прямую линию даже в наклонных координатах.

Чтобы представить исходную строку

из примера 1 в новых координатах, просто используйте приведенные выше уравнения преобразования: и. Подстановка этих конвертирует в. Это упрощает до. Если вы изобразите это уравнение в наклонных координатах, вы получите ту же линию (визуально говоря), что и линия из Примера 1.
Пример 4:
Нарисуйте график (нелинейного) уравнения на наклонной плоскости. Кроме того, изобразите параболический график исходной плоскости в новых координатах.

В нашем последнем примере мы делаем то же, что и в примере 3, за исключением нелинейной ситуации из примера 2.

Решение

для как функция дает. Таблица точек для построения такая же, как и раньше, но с измененной меткой.

Мы должны построить эти точки относительно новых наклонных координат. Это дает следующий график. Обратите внимание, что это все еще кажется параболой. Это действительно так.

График в косоординатной системе.Обратите внимание, например, что черная точка справа имеет новые координаты. Также обратите внимание, что график по-прежнему представляет собой параболу даже в наклонных координатах.

Еще одним интересным аспектом этого конкретного графика является то, что существует трехмерный (трехмерный) эффект, если вы посмотрите на него правильно. Это как если бы вы смотрели в обычную прямоугольную систему координат, но в перспективе. С этой трехмерной точки зрения положительная ось

должна казаться ближе к вам, чем отрицательная ось.Кроме того, парабола на самом деле будет такой же, как парабола в прямоугольной системе координат, когда вы представляете это изображение в перспективе.

Чтобы представить исходную параболу

из примера 2 в новых координатах, просто используйте приведенные выше уравнения преобразования: и. Подстановка этих конвертирует в. Это упрощает до. Если вы изобразите это уравнение в (наклонных) наклонных координатах, вы получите ту же параболу (визуально), что и параболу из Примера 2.

Нелинейные координаты

Также существует множество нелинейных систем координат .Для самолета наиболее распространенными и полезными из них являются полярные координаты . Для полярных координат не существует «осей» в том же смысле, что и раньше (хотя мы обычно рисуем обычные прямоугольные оси для справки).

Вместо этого мы начинаем с выбора

начала координат плоскости и рисования горизонтального луча, исходящего от нее. Нарисуйте на этом луче метки на одну единицу друг от друга, а затем нарисуйте круги с центром в начале координат, радиусы которых являются расстояниями от начала координат до этих отметок.Наконец, нарисуйте другие лучи, исходящие из начала координат под разными углами от исходного луча. Результатом является полярная система координат с полярной сеткой, как показано ниже. Полярная сетка для полярных координат. Прямоугольник и оси показаны на рисунке для справки. Исходный «исходящий луч» от источника — это положительная ось. Все углы разделены, что равняется радианам.

Полярные координаты любой точки

записываются как. Символ представляет собой расстояние от точки до начала координат.Символ представляет угол, который луч образует с положительной осью. Значение не уникально . Фактически, значение также не является уникальным, если мы позволим представить расстояние со знаком . В этом случае считается, что расстояние со знаком проходит вдоль «противоположного луча» от луча с углом.

Построение графика функции в полярных координатах

Здесь интересно то, что «линейная» функция, такая как

, на самом деле будет иметь график в полярных координатах, который представляет собой , а не , прямую линию.Вот соответствующая таблица данных в полярных координатах:

Убедитесь, что вы понимаете, что

— это , измеренное в радианах здесь. Один полный оборот вокруг начала координат соответствует радианам.

Ниже приведен график этой функции с теми же особыми точками, нанесенными на график в примерах 1 и 3, но теперь в полярных координатах. Это не линия, но разве не красиво?

В полярных координатах график «линейной» функции больше не является прямой линией, но, несомненно, красив.Убедитесь, что каждая из показанных черных точек имеет полярные координаты из таблицы выше. Последнее должно интерпретироваться как расстояние со знаком (расстояние вдоль «противоположного луча»).

Нелинейное преобразование, которое берет полярные координаты

и преобразует их обратно в прямоугольные координаты, можно найти с помощью тригонометрии. Преобразование:

Преобразование из

в требует большей осторожности и включает функцию арктангенса (арктангенса). Оставляем это для упражнений.

Упражнения с прямоугольными координатами
  1. Для линейного уравнения: (a) Решите для как функцию, (b) Составьте таблицу значений этой функции для, (c) Постройте график полученных точек, а также полученную линию прямоугольная плоскость.
  2. Для нелинейного уравнения: (a) Решите для как функцию, (b) Составьте таблицу значений этой функции для, (c) Изобразите полученные точки, а также результирующую линию в прямоугольная плоскость.
  3. Рассмотрим (повернутые) координаты перекоса, где -axis находится под углом к ​​-axis, а -axis находится под углом к ​​-axis, как показано ниже. (a) Изобразите линейное уравнение в этой (повернутой) наклонной системе координат. Результат — линия? (b) График в этой (повернутой) наклонной системе координат. По-прежнему ли результат похож на график кубической функции от переменных и?
Повернутая система координат для упражнения № 3 (ее также можно рассматривать как наклонную).
Преобразования между координатами

4. Для № 3 система линейных уравнений, которая преобразует «старые» прямоугольные координаты

в «новые» (повернутые) координаты перекоса:

С другой стороны, «обратная» система линейных уравнений, которая преобразует «новые» (повернутые) координаты перекоса

в «старые» прямоугольные координаты:

(a) Используйте первую из этих систем, чтобы найти «новые» (повернутые) координаты перекоса

точки со «старыми» прямоугольными координатами. (b) Воспользуйтесь второй из этих систем, чтобы взять ответ из части (а) и преобразовать его обратно в прямоугольные координаты. (c) Используйте первую из этих систем для преобразования в прямоугольные координаты и упрощения. У вас все еще есть линейное уравнение? (d) Используйте первую из этих систем для преобразования в прямоугольные координаты. Возможно ли решить полученное уравнение как кубическую функцию каким-либо простым способом?

Упражнения с полярными координатами

5. (a) Найдите точные прямоугольные

координаты точки, полярные координаты которой равны (где — в радианах). (b) Изобразите эту точку.

6. (a) Найдите точные полярные координаты

точки, прямоугольные координаты которой равны. (b) Изобразите эту точку.

7. Используйте полярные координаты, чтобы тщательно построить график функции

, где выражается в радианах и.

8. Используйте полярные координаты, чтобы тщательно построить график функции

, где выражается в радианах и.

Далее: Раздел 1.2, Векторы в двух измерениях

Векторы

Вектор — это величина, имеющая величину и направление. Для математического описания вектора используется система координат обычно выбирают с ортогональными осями. В этом тексте используется декартовой, круговой цилиндрической и сферической координат системы. В этих трехмерных системах любой вектор полностью описывается тремя скалярными величинами.Например, в декартовом координаты, вектор описывается со ссылкой на взаимно ортогональные оси координат. Тогда величина и ориентация вектор описывается указанием трех проекций вектор на три оси координат.

При математическом представлении вектора A его направление по трем ортогональным координатным осям. В направление каждой оси представлено единичным вектором i , что есть, вектор единичной величины, направленный вдоль оси. В картезианском координаты, три единичных вектора обозначены i x , i y , i z . В цилиндрических координатах это i r , i , i z , а в сферических координатах i r , i , я . A , следовательно, имеет три компоненты вектора, каждый компонент соответствует проекции по трем осям.В декартовых координатах a вектор определяется в терминах его компонентов как

Эти компоненты показаны на рис. А.1.1.

1 Обычно указываются векторы либо с полужирным шрифтом, например, A , либо путем рисования линия (или стрелка) над символом, чтобы указать на его векторную природу, как в \ bar A или \ vec A .
Рисунок A.1.1 Вектор A , представленный его компонентами в декартовых координатах и ​​единичных векторах i .

Сложение векторов

Сумма двух векторов A = A x i x + A y i y + A z i z и B = B x i x + B y i y + B z i z осуществляется путем сложения коэффициентов каждого из компонентов, как показаны в двух измерениях на рис.A.1.2a. Таким образом, из (2) должно быть ясно, что сложение векторов одновременно коммутативный, A + B = B + A , и ассоциативный, ( A + B ) + C = A + ( B + C ) . Рисунок A.1.2 (a) Графическое представление сложения векторов в терминах определенных координат. (b) Представление сложения векторов независимо от конкретных координат.Графически суммирование векторов может выполняться без учета систему координат, как показано на рис. A.1.2b, заметив, что сумма A + B является вектором, направленным вдоль диагональ параллелограмма, образованная A и B .

Следует отметить, что представление вектора в терминах его компоненты зависят от системы координат, в которой он выполненный. То есть для изменения системы координат потребуется соответствующее векторное преобразование.Кроме того, используемые переменные также должны преобразиться. Преобразование переменных и векторов из одного система координат в другую проиллюстрирована рассмотрением одной преобразование декартовых координат в сферические.

Пример 1.2.1. Преобразование переменных и векторов
Нам даны переменные в терминах x, y и z , а также векторы, такие как A = A x i x + A y i y + A z i z .Мы хотите получить переменные в терминах r, и и векторы, выраженные как A = A r i r + A i + А i . На рис. A.1.3a мы видим, что точка P имеет два представления, одно из которых включает переменные x, y и z , а прочие, р, и . В частности, из Инжир.A.1.3b, x связано со сферическими координатами соотношением Рисунок A.1.3 Задание точки P в декартовых и сферических координатах. (b) Преобразование из декартовых координат x в сферические координаты. (c) Преобразование единичного вектора в направлении x в сферические координаты Аналогичным образом переменные y и z оцениваются в сферическом координаты могут быть показаны как Вектор A преобразуется путем разрешения каждой единицы векторов i x , i y , i z в терминах единичных векторов в сферические координаты.Например, i x можно сначала разрешить на компоненты в ортогональных координатах (x , y , z) показано на рис. A.1.3c. По определению, y находится на пересечении константы = и самолеты x-y . Также в плоскости x — y x , что составляет перпендикулярно плоскости y — z . Таким образом, sin, cos и 0 являются компонентами i x вдоль x , y и z соответственно.Эти компоненты в свою очередь разделены на компоненты по сферическим координатным направлениям с помощью распознавая, что компонент sin вдоль оси x находится в направлении i , а составляющая cos по оси y разлагается на составляющие cos cos в направлении i и cos sin в направлении i r .Таким образом, По аналогии,
Следует подчеркнуть, что понятие вектора не зависит от системы координат. (В том же смысле в главах 2 и 4 векторные операции определяются независимо от системы координат в котором они выражены.) A вектор может быть визуализирован как имеющий направление и величину элемент линии со стрелкой. Эта картина дает возможность разобраться с векторами на геометрическом языке, который не зависит от выбор конкретной системы координат, которая теперь будет использоваться для определить наиболее важные векторные операции.

Для аналитических или числовых целей операции обычно выполняется в координатной записи. Затем, как показано на рисунке, либо в следующем тексте, либо в задачах каждая операция будет оцениваться в декартовой системе координат.

Определение скалярного произведения

Для векторов A и B , как показано на рис. A.1.4, скаляр или скалярное произведение между двумя векторами определяется как где — угол между двумя векторами. Рисунок A.1.4 Иллюстрация для определения скалярного произведения. Непосредственно из его определения следует, что скалярное произведение равно коммутативный. Скалярное произведение также является распределительным. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что A C — это проекция A на C раз величину C , | C | и B C — это проекция B на C раз | C | .Поскольку проекции аддитивны, следует (11).

Эти два свойства можно использовать для определения скалярного произведения в члены векторных компонент в декартовых координатах. В соответствии к определению единичных векторов,

С A и B , выраженными в терминах этих компонентов, из дистрибутивных и коммутативных свойств следует, что Таким образом, в соответствии с (9) квадрат величины вектора является

Определение векторного произведения

Перекрестное произведение векторов A и B является вектором C имеющий величину и имеющий направление, перпендикулярное как A, , так и B . Геометрически величина C является площадью параллелограмм, образованный векторами A и B . Вектор C имеет направление продвижения правого винта, как будто забитый путем поворота A в B . Другими словами, правая координата Система образована A B C , как показано на рис.А.1.5. Общепринятое обозначение для перекрестного произведения: Рисунок A.1.5 Иллюстрация для определения векторного произведения Полезно отметить, что если вектор A разлагается на два взаимно перпендикулярные векторы, A = A \ perp + A \ parallel , где A \ perp лежит в плоскости A и B и является перпендикулярно B и A \ параллельно параллельно B , тогда Это равенство следует из того факта, что оба перекрестных произведения имеют равные величина (поскольку | A \ perp x B | = | A \ perp || B | и | A | \ perp | = | A | sin ) и направление (перпендикулярно обоим A и B ).

Распределительное свойство для кросс-продукта,

может быть показан с использованием (17) и геометрической конструкции на рис. A.1.6 как следует. Во-первых, обратите внимание, что ( A + B ) \ perp = ( A \ perp + B \ perp ) , где \ perp обозначает компонент в самолеты A и D или B и D , соответственно и перпендикулярно к D .Таким образом, Рисунок A.1.6 Графическое представление, показывающее, что векторное произведение является дистрибутивным. Теперь нам нужно только показать, что Это уравнение графически представлено на рис. А.1.6 векторами A \ perp , B \ perp и их сумма. С точностью до фактора | D | , три вектора A \ perp x D , B \ perp x D и их sum, являются, соответственно, векторами A \ perp , B \ perp и их сумма, повернутая на 90 градусов. Таким образом, свойство сложения векторов уже показано для A \ perp + B \ perp также относится к A \ перп x D + B \ перп x D .

Поскольку изменение порядка двух векторов требует переназначение направления вектора продукта (направление C на рис. A.1.5) коммутативность не выполняется.Скорее,

Используя закон распределения, векторное произведение двух векторов может быть построенные в их декартовых координатах, используя следующие свойства векторных произведений единичных векторов. Таким образом, Полезная мнемоника для поиска перекрестного произведения в декартовой системе координат. координат реализуется с учетом того, что правая часть (23) — определитель матрицы:

Скалярное тройное произведение

Определение скалярного тройного произведения векторов A , B и C следует из рис. A.1.7, и определение скалярных и векторных произведений. Рисунок A.1.7 Графическое представление скалярного тройного произведения. Скалярное тройное произведение равно объему параллелепипеда. имея три вектора для своих трех оснований. То есть в (25) второй член в квадратных скобках — это площадь базового параллелограмма на рис. A.1.7, а первая — высота параллелепипеда. Скалярное тройное произведение положительно, если три вектора образуют в правой системе координат в том порядке, в котором они написано; в противном случае — отрицательно.Следовательно, циклическая перестановка в порядок векторов оставляет ценность продукта неизменной. Отсюда следует, что размещение креста и точки в скаляре тройное произведение произвольно. Крестик и точка можно поменять местами не влияя на продукт.

Используя правила для оценки скалярного произведения и перекрестное произведение в декартовых координатах, мы имеем

Двойное перекрестное произведение

Рассмотрим векторное произведение A x ( B x C ) . Является есть другой, иногда более полезный способ выражения этого двойного кросс-продукт? Поскольку продукт B x C является перпендикулярно самолет, определяемый B и C , затем конечный продукт A x ( B x C ) должен находиться в самолет B и C . Следовательно, векторное произведение должен быть выражен как линейный комбинация векторов B и C .Один из способов найти коэффициентов этой линейной комбинации, чтобы оценить продукт в Декартовы координаты. Здесь мы предпочитаем использовать геометрический вывод.

Поскольку вектор B x C перпендикулярен плоскости определяется векторами B и C , из рис. A.1.7 следует, что

где A — проекция A на плоскость определяется по B и C .Затем мы разделяем вектор C на компонент, параллельный B , C \ parallel , и компонент перпендикулярно к B , C \ perp , как показано на рис. A.1.8, поэтому что Рисунок A.1.8 Графическое представление двойного перекрестного произведения. Тогда, согласно свойствам перекрестного произведения, величина векторного произведения задается формулой а направление векторного произведения ортогонально A и лежит в плоскости, определяемой векторами B и C , как показано на рис.А.1.8 Правило построения вектора, перпендикулярного заданному вектор, A , в x — y Самолет выглядит следующим образом. Во-первых, два компонента A относительно любых двух ортогональных осей (x, y) . Вот направления C \ perp и B с компоненты A C \ perp и A \ cdot B соответственно.Потом новый вектор создается путем замены компонентов x и y и меняя знак одного из них. Согласно этому правилу, Рис. A.1.8 показывает, что вектор A x ( B x C ) задается как Теперь, поскольку C \ parallel имеет то же направление, что и B , и добавление (31) дает Теперь обратите внимание, что A C = A \ cdot C и A B = A \ cdot B (которые следуют из определение A как проекция A в B C плоскость), и двойное перекрестное произведение становится Этот результат особенно удобен, потому что он не содержат каких-либо специальных обозначений или проекций.

Векторные тождества, найденные в этом Приложении, кратко изложены в Таблица III в конце текста.

Как использовать координатную плоскость в реальной жизни

Понимание такой концепции, как координатная плоскость, часто означает использование абстрактной терминологии и описаний в реальных условиях. Математика описывает реальный мир, но часто неясно, как концепции переводятся в реальную жизнь. Координатные плоскости варьируются от абстрактных представлений других переменных до пространственных координат, которые легко найти в реальных примерах.Чтобы использовать координатную плоскость в реальной жизни, просто выберите, какой тип системы вы собираетесь использовать, и определите направления, в которых они будут двигаться. Однако вам нужно рассмотреть несколько более сложных идей, чтобы получить от нее максимальную отдачу.

TL; DR (слишком длинный; не читал)

Используйте координатную плоскость в реальной жизни, выбрав систему координат, а затем определив, какая точка на осях равна нулю. Выберите единицу измерения для использования, а затем вы сможете описать положение чего-либо относительно вашего нулевого положения, используя свою систему координат.Плоскость x и y декартовых координат является самым простым выбором во многих ситуациях.

Общие сведения о системах координат и плоскостях координат

Системы координат — это разные способы описания пространства. Скорее всего, вы знакомы с декартовой системой координат, в которой одно направление называется x , перпендикулярное направление называется y , а другое направление, перпендикулярное обоим, называется z .Например, направление x может быть влево или вправо, направление y может быть вверх или вниз, а направление z может быть вперед или назад. Если вы выберете единицу измерения, вы можете определить любую точку в пространстве с помощью некоторой комбинации координат x , y и z . Координатная плоскость обычно означает двухмерное описание, поэтому оси x и y рассматриваются, не беспокоясь о направлении x .

Существуют и другие системы координат, и все они одинаково действительны. Например, вы можете определить координату, указывающую прямо от вас к интересующей точке, как r (для радиального), а затем добавить два угла ( θ и φ ), чтобы указать их ориентацию. слева направо и сверху вниз соответственно. Это сферическая система координат. Точно так же для двумерной круговой плоскости вы можете определить r как расстояние от центра и использовать угол θ , чтобы узнать, как далеко она находится от заранее заданного направления.Они называются плоскими полярными координатами.

Все эти системы координат полезны, и ни одна из них не является «правильной»; вы просто используете тот, который лучше всего подходит для ваших целей.

Декартовы плоскости координат в реальной жизни

Декартовы плоскости координат x и y хорошо подходят для многих простых ситуаций в реальной жизни. Например, если вы планируете разместить различные предметы мебели в комнате, вы можете нарисовать двухмерную сетку, представляющую комнату, и использовать соответствующую единицу измерения.Выберите для одного направления значение x , а для другого (перпендикулярного) направления — y , и определите местоположение в качестве начальной точки (то есть нулевую координату по обеим осям). Вы можете указать любое положение в комнате с двумя числами в формате ( x , y ), поэтому (3, 5) будет 3 метра в направлении x и 5 метров в направлении y . -направление от выбранной вами точки (0, 0).

Вы можете использовать этот подход во многих ситуациях.Все, что вам нужно сделать, это определить свои координаты, и вы можете использовать их для описания местоположений в реальном мире. Это важная часть проведения многих экспериментов в физике, в частности, или для составления карты местоположения популяций организмов в биологии. В других настройках экран вашего смартфона также использует декартовую координатную плоскость для отслеживания, где вы касаетесь экрана, а файлы PDF или изображения имеют плоскость для определения местоположения таким же образом.

Сферические координаты в реальной жизни

Линии широты и долготы на картах Земли являются важным примером сферических координат в реальной жизни. С координатой r , зафиксированной на радиусе Земли, двумерная плоскость широты и долготы используется для определения местоположения различных мест на поверхности Земли. Долгота — это угол в направлении восток-запад с нулевой точкой на нулевом меридиане (который проходит через Гринвич, Англия), а широта — это угол в направлении север-юг с нулевой точкой на экваторе.

Итак, когда вы определяете местоположение города или чего-то еще на поверхности Земли, используя широту и долготу, в реальной жизни вы используете сферическую координатную плоскость.

Использование координатных плоскостей для решения других задач

Вы также можете использовать координатные плоскости немного более абстрактно, чтобы описать, как одна величина изменяется с другой. Пометив независимую переменную x и зависимую переменную y , вы можете использовать координатную плоскость для описания практически любых отношений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *