Второй способ нахождения обратной матрицы. Запишем рядом с исходной матрицей единичную [latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 7 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex]. Любую матрицу можно привести к единичной, это мы и сделаем с нашей матрицей [latex]A[/latex], выполняя действия по привидению матрицы [latex]A[/latex] к единичному виду, будем выполнять такие же с единичной матрицей.
Умножим вторую строку на [latex]-1[/latex] и прибавим к третьей.
[latex]\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}[/latex]
Поменяем первую и третью строки местами.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
Первую строку умножим на [latex]-2[/latex] и прибавим ко второй.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}[/latex]
Вторую строку прибавим к третьей.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}[/latex]
Поделим третью строку на четыре.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Умножим вторую строку на [latex]-2[/latex] и прибавим к первой.
Умножим третью строку на [latex]-1[/latex] и прибавим ко второй.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ -1/4 & 9/4 & -3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Умножим вторую строку на [latex]-1[/latex].
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} 0 & -7 & 5 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Вторую строку умножим на [latex]-4[/latex] и прибавим к первой.
[latex]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/latex] [latex]\begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ 1/4 & -9/4 & 3/2 \\ 1/4 & 3/4 & -1/2 \end{pmatrix}[/latex]
Полученная матрица является обратной.
Литература
Обращение матриц
Лимит времени: 0
Информация
Обращение матриц
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается…
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Правильных ответов: 0 из 2
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
| Средний результат |
|
| Ваш результат |
|
- С ответом
- С отметкой о просмотре
Таблица лучших: Обращение матриц
| Место | Имя | Записано | Результат | |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
| Нет данных | ||||
Поделиться ссылкой:
Похожее
Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры
Нахождение обратной матрицы — процесс, который состоит из достаточно простых действий. Но эти действия повторяются так часто, что процесс получается довольно продолжительным. Главное — не потерять внимание при решении.
При решении наиболее распространённым методом — алгебраических дополнений — потребуется:
При решении примеров мы разберём эти действия подробнее. А пока узнаем, что гласит теория об обратной матрице.
Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a, не равного нулю, существует такое число b, что произведение a и b равно единице: ab = 1. Число b называется обратным для числа b. Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.
Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица
,
произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
. (1)
Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.
Нахождение обратной матрицы — задача, которая чаще решается двумя методами:
- методом алгебраических дополнений, при котором, как было замечено в начале урока, требуется находить определители, миноры и алгебраические дополнения и транспонировать матрицы;
- методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).
Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.
Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.
Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной
), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.
На сайте есть онлайн калькулятор для нахождения обратной матрицы. Вы можете открыть его в новом окне уже сейчас, если держите перед собой ваши собственные задания. А мы разберём несколько разминочных.
Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица
, (2)
где — определитель матрицы А, а — матрица, союзная с матрицей А.
Разберём ключевые понятия, которые потребуются для решения задач — союзная матрица, алгебраические дополнения и транспонированная матрица
Пусть существует квадратная матрица A:
Транспонированная относительно матрицы A матрица A’ получается, если из строк матрицы A сделать столбцы, а из её столбцов — наоборот, строки, то есть заменить строки столбцами:
Остановимся на минорах и алгебраических дополнениях.
Пусть есть квадратная матрица третьего порядка:
.
Её определитель:
Вычислим алгебраическое дополнение элемента , то есть элемента 2, стоящего на пересечении первой строки и второго столбца.
Для этого нужно сначала найти минор этого элемента. Он получается вычёркиванием из определителя строки и столбца, на пересечении которых стоит указанный элемент. В результате останется следующий определитель, который и является минором элемента :
.
Алгебраическое дополнение элемента получим, если умножим , где i — номер строки исходного элемента, а k — номер столбца исходного элемента, на полученный в предыдущем действии минор этого исходного элемента. Получаем алгебраическое дополнение элемента :
.
По этой инструкции нужно вычислить алгебраические дополнения всех элементов матрицы A’, транспонированной относительно матрицы матрица A.
И последнее из значимых для нахождение обратной матрицы понятий. Союзной с квадратной матрицей A называется матрица того же порядка, элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя матрицы , транспонированной относительно матрицы A. Таким образом, союзная матрица состоит из следующих элементов:
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений
1. Найти определитель данной матрицы A. Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.
2. Найти матрицу, транспонированную относительно A.
3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.
4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A, на союзную матрицу, найденную на шаге 4.
5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.
Пример 1. Для матрицы
найти обратную матрицу.
Решение. Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Находим по правилу треугольников:
Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.
Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А.
Найдём матрицу , транспонированную относительно матрицы A:
Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A:
Следовательно, матрица , союзная с матрицей A, имеет вид
Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A, а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.
Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А:
Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы.
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса
1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.
2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.
2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.
Пример 2. Для матрицы
найти обратную матрицу.
Решение. Составляем сдвоенную матрицу
и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.
Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим
.
Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим
.
Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим
.
Разделим третью строку на 8, тогда
.
Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:
.
Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:
.
Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица . Таким образом:
.
Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:
.
В результате должна получиться обратная матрица.
Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы.
Пример 3. Для матрицы
найти обратную матрицу.
Решение. Составляем сдвоенную матрицу
и будем её преобразовывать.
Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим
.
Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим
.
Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.
Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы.
Матрицы теснейшим образом связаны с системами линейных уравнений. Каждой матрице соответствует система линейных уравнений, коэффициенты в которой есть элементы матрицы. И наоборот, системе линейных уравнений соответствует некоторая матрица.
Поэтому существует метод линейных преобразований для нахождения обратной матрицы. Для решения задач нам будет достаточно знать, что линейное преобразование — это система линейных уравнений, вид которой будет приведён ниже в алгоритме.
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом линейных преобразований
1. Для данной невырожденной матрицы A составить линейное преобразование — систему линейных уравнений вида
,
где aij — элементы матрицы A.
2. Решить полученную систему относительно y — найти для предыдущего линейного преобразование обратное линейное преобразование
,
в котором Aij — алгебраические дополнения элементов матрицы A, Δ — определитель матрицы A. Внимание! Алгебраические дополнения располагаются как в транспонированной матрице, то есть для элементов строки — в столбце, а для элементов столбца — в строке.
3. Находим коэффициенты при y: , которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A.
4. Пользуясь элементами, найденными на шаге 3, записать найденную обратную матрицу.
Наиболее наблюдательные могли заметить, что по сути метод линейных преобразований — это тот же метод алгебраических преобразований (союзной матрицы), но с другой формой записи. Для кого-то метод линейных преобразований может оказаться более удобным как более компактный.
Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы
.
Сначала проверим, не равен ли нулю определитель данной матрицы. Он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.
Для данной матрицы записываем линейное преобразование:
.
Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется находить алгебраические дополнения (урок откроется в новом окне). Запишем обратное линейное преобразование:
Коэффициенты при иксах в обратном линейном преобразовании — это элементы обратной матрицы для матрицы A. Таким образом нашли обратную матрицу:
Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы.
Начало темы «Матрицы»
Другие темы линейной алгебры
Иллюстрированный самоучитель по MatLab › Матричные операции линейной алгебры › Обращение матриц. Функции inv, pinv. [страница — 241] | Самоучители по математическим пакетам
Обращение матриц. Функции inv, pinv.
Обращение матриц – одна из наиболее распространенных операций матричного анализа.-1=Е/Х. Следующие функции обеспечивают реализацию данной операции:
- inv(X) – возвращает матрицу, обратную квадратной матрице X. Предупреждающее сообщение выдается, если X плохо масштабирована или близка к вырожденной.
Пример:
>> inv(rand(4.4))
ans =
2.2631-2.3495-0.4696-0.6631
-0.76201.2122 1.7041-1.2146
-2.04081.4228 1.5538 1.3730
1.3075-0.0183-2.54830.6344
На практике вычисление явной обратной матрицы не так уж необходимо. Чаще операцию обращения применяют при решении системы линейных уравнений вида Ах=b. Один из путей решения этой системы – вычисление x=inv(A)*b. Но лучшим с точки зрения минимизации времени расчета и повышения точности вычислений является использование оператора матричного деления х=А\b. Эта операция использует метод исключения Гаусса без явного формирования обратной матрицы.
- В = pinv(A) – возвращает матрицу, псевдообратную матрице А (псевдообращение матрицы по Муру-Пенроузу). Результатом псевдообращения матрицы по Муру-Пенроузу является матрица В того же размера, что и А’, и удовлетворяющая условиям А*В*А=А и В*А*В=В. Вычисление основано на использовании функции svd(A) и приравнивании к нулю всех сингулярных чисел, меньших величины tol;
- В = pinv (A .tol) – возвращает псевдообратную матрицу и отменяет заданный по умолчанию порог, равный max(size(A))*norm(A)*eps.
Пример:
>> pinv(rand(4.3))
ans =
-1.3907-0.0485-0.24931.8640
-0.87751.1636 0.6605-0.0034
2.0906-0.5921-0.2749-0.5987
Занятие 15
Занятие 15. Алгебра матриц. Транспонирование матриц. Обращение матриц. Решение матричных уравнений.
Пусть над полем . Матрица , полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к данной матрице .
Обозначение: .
Из определения следует, что .
Задача 1. Дана матрица . Найти матрицу .
Решение. Т.к. по определению , то .
Задача 2. Если , т.е. , , , то матрица называется симметрической матрицей. Доказать, что матрица есть симметрическая матрица, где – произвольная квадратная матрица.
Решение. .
Итак, , т.е. матрица – симметрическая матрица.
Задача 3. Записать общий вид симметрических матриц (см. задачу 61) второго и третьего порядков.
Решение. Т.к. , то , .
Задача 4. Доказать, что произведение двух симметрических матриц (см. задачу 62) – симметрическая матрица тогда и только тогда, когда перемножаемые матрицы перестановочны.
Решение. Пусть ,
.
Необходимость.
(, , .
Доказательство: , т.е. .
Достаточность.
(,,).
Доказательство: , т.е. .
Обращение матриц.
Квадратная матрица называется обратной к матрице , если , матрица , обладающая обратной, называется обратимой, или невырожденной, или неособенной.
Критерий обратимости матриц. (теорема) .
Для того чтобы матрица была обратимой (имела обратную), необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля. Укажем основные методы для отыскания обратной матрицы.
Метод присоединенной матрицы. (формула обращения).
Матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы затем транспонированная, называется присоединенной к матрице .
Для невырожденной матрицы имеет место формула обращения:
.
Метод Гаусса. (Метод элементарных преобразований) .
Для невырожденной матрицы го порядка построим матрицу размера , приписывая к справа единичную матрицу . Далее, применяя элементарные преобразования над строками матрицы , приводим ее к виду . Тогда .
Переход с помощью ЭП от к будем записывать ~.
Задача 5. При каких и для матрицы над полем существует обратная матрица?
Решение.
.
Ответ: для матрицы существует обратная, если и – любые вещественные числа, причем .
Задача 6. Найти, если возможно, обратную матрицу к матрице
Решение.
Т.к. , то обратима. Найдем для нее обратную матрицу.
Первый способ обращения матрицы .
Построим присоединенную к матрицу .
; ;
; ;
; ; ;
;
По формуле обращения найдем матрицу обратную к матрице
Второй способ обращения матрицы .
Построим методом Гаусса с помощью ЭП:
~~~
~~~
~
Ответ:
Решение матричных уравнений.
Рассмотрим матричные уравнения вида и , где – неизвестная матрица, и – известные матрицы, причем .
Решить матричное уравнение – значит, найти матрицу .
Т.к. матрица обратима, то умножим на матрицу слева уравнение и справа уравнение , т.е. и , получим единственное решение для уравнения и для уравнения .
Указанные уравнения можно решить методом Гаусса.
Пусть , . Решить уравнение. Построим матрицу размера путем приписывания к справа матрицы . Проведем такие ЭП над строками матрицы , чтобы матрицу привести к виду . Тогда матрица – искомая матрица.
Пусть , . Решить уравнение.
Прежде чем решать это уравнение методом Гаусса, рекомендуем транспонировать матрицы левой и правой частей уравнения , т.е. получить матричное уравнение вида , которое можно решить методом Гаусса, т.е. ~. Искомое решение уравнения будет .
Задача 6. Решить уравнение методом Гаусса
Решение.
~~
~
Ответ:
Задача 7. Решить уравнение методом Гаусса
; ;
~~
~~
Ответ:
Решение матриц методы решений и примеров для чайников, формулы вычислений и действий с матрицами
В высшей математике существует понятие матрицы системы чисел. С комбинацией элементов, заключённых в таблице, выполняют различные операции. Прежде чем переходить к решению матриц сложными методами, следует ознакомиться с понятием этого выражения и простейшими логическими операциями над ним.
Понятие выражения
Определение гласит, что матрица — это прямоугольная таблица с заключёнными в ней числами. Её название обозначается латинскими прописными буквами (А, В). Таблицы бывают разной размерности — прямоугольной, квадратной, а также в виде строк и столбцов.
От количества строк и столбцов будет зависеть величина таблицы. Матрица размера m*n означает, что в таблице содержится m строк и n столбцов. Допустим, первая строка включает элементы а11, а12, а13, вторая — а21, а22, а23. Тогда элементы, где i = j (а11, а22) образовывают диагональ и называются диагональными.
Различают комплексные матрицы, у которых хотя бы один элемент равен комплексному числу, и действительные, когда все её элементы являются действительными числами. В математике комплексные числа представлены в виде a+b*i, где:
- a — действительная часть числа;
- b — мнимая часть;
- i — мнимая единица (квадратный корень из -1).
На приведенном примере показаны варианты.
Простейшие действия с матрицами могут быть разными. К их числу относятся:
- умножение;
- вычитание;
- умножение на число;
- перемножение между собой;
- транспортирование матриц.
Сложение и вычитание
Действия по сложению возможны только тогда, когда матрицы одинакового порядка равны между собой. В итоге получится новое матричное выражение такой же размерности. Сложение и вычитание выполняются по общей схеме — над соответствующими элементами таблиц проводят необходимые операции. Например, нужно сложить две матрицы А и В размерности 2*2.
Каждый элемент первой строки складывается по порядку с показателями верхней строчки второй матрицы. По аналогии производится вычитание, только вместо плюса ставится минус.
Умножение на число
Любую таблицу чисел можно умножить на число. Тогда каждый её элемент перемножается с этим показателем. К примеру, умножим матричное выражение на 2:
Операция перемножения
Матрицы подлежат перемножению одна на другую, когда количество столбцов первой таблицы равно числу строк второй. Каждый элемент Aij будет равняться сумме произведений элементов i-строки первой таблицы, перемноженных на числа в j-столбце второй. Способ произведения наглядно представлен на примере.
Возведение в степень
Формулу возведения в степень применяют только для квадратных матричных выражений. При этом степень должна быть натуральной. Формула возведения следующая:
Иначе, чтобы выполнить операцию возведения таблицы чисел в степень n, требуется умножить её на себя саму n раз. Для операции возведения в степень удобно применять свойство в соответствии с формулой:
Решение представлено на примере. 1 этап: необходимо возвести в степень, где n = 2.
2 этап: сначала возводят в степень n =2. Согласно формуле перемножают таблицу чисел саму на себя n = 2 раз.
3 этап: в итоге получаем:
Расчёт определителя
В линейной алгебре существует понятие определителя или детерминанта. Это число, которое ставят в соответствие каждой квадратной матрице, вычисленное из её элементов по специальной формуле. Определитель или модуль используется для решения большинства задач. Детерминант самой простой матрицы определяется с помощью вычитания перемноженных элементов из побочной диагонали и главной.
Определителем матрицы А n-энного порядка называется число, которое получают из алгебраической суммы n! слагаемых, попадающих под определённые критерии. Эти слагаемые являются произведением n-элементов, взятых единично из всех столбов и строк.
Произведения могут отличаться друг от друга составом элементов. Со знаком плюс будут включаться в сумму числа, если их индексы составляют чётную подстановку, в противоположном случае их значение меняется на минус. Определитель обозначается символом det A. Круглые скобки матричной таблицы, обрамляющие её элементы, заменяются на квадратные. Формула определителя:
Определитель первого порядка, состоящий из одного элемента, равен самому этому элементу. Детерминант матричной таблицы размером 2*2 второго порядка вычисляется путём перемножения её элементов, расположенных на главной диагонали, и вычитания из них произведения элементов, находящихся в побочной диагонали. Наглядный пример:
Для матрицы также можно найти дискриминант многочлена, отвечающий формуле:
Когда у многочлена имеются кратные корни, тогда дискриминант равен нулю.
Обратная матрица
Прежде чем переходить к понятию обратного выражения матрицы, следует рассмотреть алгоритм её транспонирования. Во время операции строки и столбцы переставляются местами. На рисунке представлен метод решения:
По аналогии обратная матрица сходна с обратными числами. Например, противоположной цифре 5 будет дробь 1/5 = 5 (-1) степени. Произведение этих чисел равно 1, выглядит оно так: 5*5 (-1) = 1. Умножение обычной матричной таблицы на обратную даст в итоге единичную: А* А (-1) = Е. Это аналог числовой единицы.
Но для начала нужно понять алгоритм вычисления обратной матрицы. Для этого находят её определитель. Разработано два метода решения: с помощью элементарных преобразований или алгебраических дополнений.
Более простой способ решения — путём алгебраических дополнений. Рассмотрим матричную таблицу А, обратная ей А (-1) степени находится по формуле:
Матрица обратного вида возможна только для квадратного размера таблиц 2*2, 3*3 и т. д. Обозначается она надстроенным индексом (-1). Задачу легче рассмотреть на более простом примере, когда размер таблицы равен 2*2. На первом этапе выполняют действия:
Обратного выражения матрицы не может быть, если определитель равен нулю. В рассматриваемом случае он равен -2, поэтому всё в порядке.
2 этап: рассчитывают матрицу миноров, которая имеет те же значения, что и первоначальная. Под минором k-того порядка понимается определитель квадратной матрицы порядка k*k, составленный из её элементов, которые располагаются в выбранных k- столбцах и k-строках.
При этом расположение элементов таблицы не меняется. Чтобы найти минор верхнего левого числа, вычёркивают строчку и столбец, в которых прописан этот элемент. Оставшееся число и будет являться минором. На выходе должна получиться таблица:
3 этап: находят алгебраические дополнения.
4 этап: определяют транспонированную матрицу.
Итогом будет:
Проверка решения: чтобы удостовериться, что обратная таблица чисел найдена верно, следует выполнить проверочную операцию.
В рассматриваемом примере получается единичная матрица, когда на главной диагонали находятся единицы, при этом другие элементы равняются нулю. Это говорит о том, что решение было найдено правильно.
Нахождение собственных векторов
Определение собственного вектора и значений матричного выражения легче понять на примере. Для этого задают матричную таблицу чисел и ненулевой вектор Х, называемый собственным для А. Пример выражения:
Согласно теореме собственными числами матричного выражения будут корни характеристического уравнения:
Из однородной системы уравнений можно определить координаты собственного вектора Х, который соответствует значению лямбда.
Метод Гаусса
Методом Гаусса называют способ преобразования системы уравнений линейного вида к упрощённой форме для дальнейшего облегчённого решения. Операции упрощения уравнений выполняют с помощью эквивалентных преобразований. К таким относят:
- действия, когда в системе переставляются местами два уравнения;
- произведение одного из уравнений в системе на действительное ненулевое число;
- сложение первого уравнения со вторым, при этом последнее умножено на произвольное число.
Чтобы понять механизм решения, следует рассмотреть линейную систему уравнений.
Следует переписать эту систему в матричный вид:
А будет являться таблицей коэффициентов системы, b — это правая часть ограничений, а Х — вектор переменных координат, который требуется найти. Для решения используют ранг матрицы. Под ним понимают наивысший порядок минора, который отличается от 0.
В этом примере rang (A) = p. Способ эквивалентных преобразований не изменяет ранг таблицы коэффициентов.
Метод Гаусса предназначен для приведения матричной таблицы коэффициентов А к ступенчатому или диагональному виду. Расширенная система выглядит так:
Допустим, а11 не равен 0. В противном случае, если это не так, то меняют эту строку с другой, где в первом столбце находится элемент, отличный от нуля. Когда подобные строчки отсутствуют, переходят к другому столбцу. Все нижние элементы столбца после а11 обнуляют. Для этих целей выполняют операции сложения строк 2,3…m с первой строчкой, умноженной на а21/а11, -а31/а11….- аm1/a11. В результате система примет вид:
На втором шаге повторяют все действия с элементами столбца 2, которые расположены ниже а22. Если показатель равен нулю, строку также меняют местами со строчкой, лежащей ниже с ненулевым элементом во втором столбце. Затем обнулению подлежат все показатели ниже а22. Для этого складывают строки 2,3 ..m, как описано выше. Выполняя процедуру со всеми элементами, приходят к матричной таблице ступенчатого или диагонального вида. Полученная расширенная таблица будет выглядеть:
Обращают внимание на последние строки.
В этом случае система уравнений имеет решение, но когда хотя бы одно из этих чисел отличается от нуля, она несовместима. Таким образом, система совместима, если ранг таблицы А равен расширенному рангу В (А|b).
Если rang А=rang (A|b), то существует множество решений, где n-p — многообразие. Из этого следует n-p неизвестных Хр+1,…Xn выбираются произвольно. Неизвестные X1, X2,…Xp вычисляют следующим образом: из последнего уравнения выражают Хр через остальные переменные, вставляя в предыдущие выражения. Затем из предпоследнего уравнения получают Хр-1 через прочие переменные и подставляют их в предыдущие выражения. Процедуру повторяют.
Найти быстро ответ и проверить себя позволяет онлайн-калькулятор. Решение матрицы методом Гаусса с помощью такого расчёта показывает подробные этапы операций. Для нахождения достаточно указать количество переменных и уравнений, отметить в полях значения чисел и нажать кнопку «Вычислить».
Способ Крамера
Метод Крамера используют для решения квадратной системы уравнений, представленной в линейном виде, где определитель основной матрицы не равен нулю. Считается, что система обладает единственным решением. Например, задана система линейных уравнений:
Её необходимо заменить равноценным матричным уравнением.
Второй столбец вычисляют, а первый уже задан. Есть предположение, что определитель матрицы отличен от нуля. Из этого можно сделать выводы, что существует обратная матрица. Перемножив эквивалентное матричное уравнение на обратного формата матрицу, получим выражение:
В итоге получают выражения:
Из представленных уравнений выделяют формулы Крамера:
Метод Крамера не представляет сложности. Он может быть описан следующим алгоритмом:
Проверить решение матрицы методом Крамера онлайн позволяет калькулятор автоматического расчёта. Для получения быстрого ответа в представленные поля подставляют переменные числа и их количество. Дополнительно может потребоваться указание вычислительного метода разложения по строке или столбу. Другой вариант заключается в приведении к треугольному виду.
Указывается также представление чисел в виде целого числа, обыкновенной или десятичной дроби. После введения всех предусмотренных параметров и нажатия кнопки «Вычислить» получают готовое решение.
ПредыдущаяАлгебраЧетность и нечетность функции как определить, примеры решения задач на исследование функции на определение четности и нечетности, условие
СледующаяАлгебраФункция y=k/х свойства и график, область определения функции, коэффициент в графике функции, примеры решения задач
Обращение Матрицы — Математическая энциклопедия
Алгоритм, применяемый при численном нахождении обратной матрицы. Как и в задаче решения линейных систем, методы численного обращения подразделяются на прямые и итерационные; однако итерационные методы вследствие их трудоемкости играют здесь существенно меньшую роль. Большинство прямых методов О. м. основано на идее разложения заданной матрицы в произведение легко обращаемых сомножителей. Если- такое разложение, то Типичным (и одним из наиболее употребительных) прямых методов О. м. является метод Жордана (см. [1]). Пусть А- невырожденная матрица порядка п. Построение обратной матрицы А -1 происходит в пшагов; результатом k-го шага будет матрица , первые кстолбцов к-рой совпадают с одноименными столбцами единичной матрицы. Переход от (пусть А=А 0 )к с матричной точки зрения эквивалентен умножению .слева на матрицу , к-рая отличается от единичной лишь (k+1)-м столбцом. Элементы этого столбца выбираются так, чтобы привести (k+1)-й столбец к единичному, и имеют вид Из соотношений вытекает и Получение факторизованного представления (1) для обратной матрицы требует примерно операций умножения и примерно операций сложения. Приблизительно такое же число дополнительных операций необходимо для того, чтобы перемножить матрицы в (1) и получить явный вид . Во многих приложениях операции О. м. использование факторизованной формы (1) столь же удовлетворительно, что и явного вида. Напр., вычисление произведения , где b- вектор-столбец, требует одинаковой арифметич. работы в обоих случаях. Одинаковы и требования к памяти при реализации на ЭВМ. В приведенном описании метода Жордана предполагалось для простоты, что все элементы (называемые ведущими элементами) отличны от нуля. В действительности метод Жордана, как и методы типа Гаусса для решения линейных систем, как правило, применяется с той или иной схемой выбора ведущих элементов. Использование такой схемы равносильно введению в (1) дополнительных множителей, учитывающих перестановки строк и столбцов обратной матрицы. Точность вычисленного решения, как и в случае линейных систем, зависит от степени роста матричных элементов на промежуточных шагах метода. Такой рост и, следовательно, ухудшение точности вычисляемого решения в методе Жордана, даже при выборе ведущего элемента, более вероятны, чем в методах типа Гаусса. Невязкой, соответствующей приближенной обратной матрице Xдля А, наз. матрица . Имеет место оценка Таким образом, норма невязки является оценкой относительной точности приближенной обратной матрицы X. В этом состоит важное отличие задачи численного О. м. от задачи решения линейных систем, где (напр., в ортогональных методах или методах типа Гаусса) невязка обычно мала, а качество полученного решения зависит от обусловленности системы. Обращение ряда важных классов матриц может быть достигнуто значительно более экономичными, чем в общем случае, методами. Таковы теплицевы, ганкелевы, ленточные (и, в частности, трехдиагональные) матрицы, блочные матрицы, имеющие теплицеву структуру или структуру кронекерова произведения, и т. д. Напр., пусть Т- теплицева матрица порядка n+1 с элементами из Rили С: Предполагается, что не только Т, но и ее главная подматрица порядка пневырождены. Тогда для матрицы уже, вообще говоря, не являющейся теплицевой, справедливо представление (см. [2]): При этом векторы суть соответственно первый и последний столбцы Таким образом, Тполностью определяется заданием первого и последнего столбцов. При необходимости из (2)могут быть последовательно вычислены все элементы Это вычисление требует арифметич. операций. В экономичных алгоритмах обращения теплицевых. матриц (см., напр., [3]) вычисление проводится по рекуррентным формулам и также требует операций. Условие невырожденности главных подматриц может быть ослаблено с сохранением порядка О( п 2 )необходимой арифметич. работы. Иногда операцию О. м. используют с тем, чтобы решать линейные системы по формуле В случае матрицы общего вида такой образ действий имеет мало смысла, т. к. сопровождается проигрышем и в арифметич. работе, и в численной устойчивости по-сравнению с прямым решением линейной системы. Для теплицевых (и родственных им) матриц ситуация иная. Как показывает представление (2), вычисление сводится к выполнению четырех умножений, теплицевых матриц на векторы и вычитанию векторов. Существуют экономичные алгоритмы умножения теплицевой матрицы на вектор, требующие (для порядка п} операций. Для задачи решения теплицевых систем такая асимптотика арифметич. работы пока недостигнута. Поэтому при многократном решении линейных систем с одной и той же теплицевой матрицей и различными правыми частями bпредварительное обращение , по-видимому, целесообразно. Предварительное О. м. может быть оправданным и в случае многократного решения линейных систем с одной и той же матрицей общего вида на ЭВМ с большим; числом параллельно работающих процессоров. Причина в том, что по сравнению с операцией умножения матрицы на вектор прямые методы решения линейных систем не имеют столь же удобного распараллеливания. Во многих случаях (напр., в квазиньютоновых методах математич. программирования) требуется обратить матрицу А, отличающуюся от матрицы Вс известной обратной матрицей ранга 1 или (в случае симметричной матрицы В)симметричной матрицей ранга 2. Такая перестройка обратной матрицы может быть выполнена для матриц порядка пза арифметич. операций. Примером может служить следующая формула (см. [4]): если и — векторы-столбцы, то где считается отличным от нуля. С точки зрения теории вычислительной сложности задача О. м. общего вида имеет (на последовательной машине) сложность того же порядка, что и задача решения линейной системы (при выполнении нек-рых естественных условий на скорость роста сложности обеих задаче увеличением
Обратная матрица с использованием миноров, сомножителей и адъюгата
(Примечание: также проверьте матрицу, обратную операциями по строкам и калькулятор матриц.)
Мы можем вычислить обратную матрицу по:
- Шаг 1: вычисление матрицы несовершеннолетних,
- Шаг 2: затем превратите это в матрицу сомножителей,
- Шаг 3: затем Адъюгат и
- Шаг 4: умножьте это на 1 / Определитель.
Но лучше всего это объяснить на примере!
Пример: найти обратное значение A:
Требуется 4 шага. Это простая арифметика, но ее много, так что постарайтесь не ошибиться!
Шаг 1: Матрица несовершеннолетних
Первый шаг — создать «Матрицу несовершеннолетних». На этом этапе больше всего вычислений.
Для каждого элемента матрицы:
Поместите эти детерминанты в матрицу («Матрицу миноров»).
Определитель
Для матрицы 2 × 2 (2 строки и 2 столбца) определитель прост: ad-bc
Подумайте о кресте:
|
(становится сложнее для матрицы 3 × 3 и т. Д.)
Расчеты
Вот первые два и последние два вычисления «матрицы второстепенных » (обратите внимание, как я игнорирую значения в текущей строке и столбцах и вычисляю определитель, используя оставшиеся значения):
А вот расчет для всей матрицы:
Шаг 2: Матрица сомножителей
Это просто! Просто нанесите «шахматную доску» минусов на «Матрицу несовершеннолетних».Другими словами, нам нужно изменить знак альтернативных ячеек, например:
Шаг 3: Сопряжение (также называемое сопряженным)
Теперь «транспонируйте» все элементы предыдущей матрицы … другими словами, меняйте местами их позиции по диагонали (диагональ остается прежней):
Шаг 4: Умножить на 1 / Определитель
Теперь найдите определитель исходной матрицы. Это не так уж сложно, потому что мы уже вычислили детерминанты более мелких частей, когда мы делали «Матрицу второстепенных».
На практике мы можем просто умножить каждый из элементов верхней строки на сомножитель для того же места:
Элементы верхнего ряда: 3, 0, 2
Коэффициенты для верхнего ряда: 2, −2, 2
Определитель = 3 × 2
Обращение матрицы с использованием элементарных операций со строками (Гаусс-Джордан)
Также называется методом Гаусса-Жордана.
Это интересный способ найти обратную матрицу:
Поиграйте со строками (сложение, умножение или замена местами) пока мы не превратим Matrix A в Identity Matrix I
И ТАКЖЕ внесение изменений в матрицу идентичности, она волшебным образом превращается в инверсию!
«Элементарные операции со строками» — это простые вещи, такие как добавление строк, умножение и замена местами… но давайте посмотрим на примере:
Пример: найти обратную букву «А»:
Мы начинаем с матрицы A и записываем ее с Матрицей идентичности I рядом с ней:
(это называется «Расширенная матрица»)
Матрица идентификации
«Матрица идентичности» является матричным эквивалентом числа «1»:
Матрица идентификации 3×3
- Это «квадрат» (в нем столько же строк, что и столбцов),
- Он имеет 1 с по диагонали и 0 с везде.
- Его символ — заглавная буква I .
Теперь мы делаем все возможное, чтобы превратить «А» (Матрица слева) в Матрицу Идентичности. Цель состоит в том, чтобы матрица A имела 1 с по диагонали и 0 с в другом месте (матрица идентичности) … и правая сторона используется для поездки, с каждой операцией, выполняемой с ней.
Но мы можем выполнять только эти «Элементарные операции со строками» :
- поменять местами строк
- умножить или разделить каждый элемент в строке на константу
- заменить строку на , добавив или вычтя из нее кратное из другой строки
И мы должны сделать это для всей строки , вот так:
Начните с A рядом с I
Добавить строку 2 к строке 1,
, затем разделите строку 1 на 5,
Затем возьмите 2 раза первую строку и вычтите ее из второй строки,
Умножить вторую строку на -1/2,
Теперь поменяйте местами вторую и третью строки,
Наконец, вычтите третью строку из второй строки,
И готово!
И матрица была преобразована в матрицу идентификации…
… и в то же время идентификационная матрица превратилась в A -1
СДЕЛАНО! Как по волшебству, и так же весело, как решать любую головоломку.
И обратите внимание: не существует «правильного способа» сделать это, просто продолжайте экспериментировать, пока у нас не получится!
(Сравните этот ответ с тем, который мы получили на тему «Обращение матрицы с использованием миноров, сомножителей и адъюгата. Это то же самое? Какой метод вы предпочитаете?»)
Матрицы большего размера
Мы можем сделать это с матрицами большего размера, например, попробуйте эту матрицу 4×4:
Начать как это:
Посмотри, сможешь ли ты сделать это сам (я бы начал с деления первого ряда на 4, но ты делаешь это по-своему).
Вы можете проверить свой ответ с помощью калькулятора матрицы (используйте кнопку «inv (A)»).
Почему это работает
Мне нравится думать об этом так:
- когда мы превращаем «8» в «1» делением на 8,
- и проделайте то же самое с «1», он превратится в «1/8»
И «1/8» является (мультипликативным) , обратным 8
Или, если точнее:
Общий эффект от всех операций со строками такой же, как и при умножении на A -1
Итак, A становится I (потому что A -1 A = I )
И I становится A -1 (потому что A -1 I = A -1 )
Матрица
Инверсия: Для матриц есть нет такого понятия, как разделение.Можете добавить, вычесть и умножить матрицы, но их нельзя разделить. Однако есть и связанная с этим концепция: что называется «инверсия». Сначала я расскажу, почему инверсия полезно, а затем я покажу вам, как сделать это. Вспомните, когда вы впервые узнал о том, как решить линейные уравнения. Если бы вам дали что-то вроде «3 x = 6 «, вы бы решите, разделив обе стороны на 3.Поскольку умножение на 1/3 это то же самое, что и разделение на 3, вы также можете умножить обе стороны на 1/3 чтобы получить тот же ответ: х = 2. Если вам нужно было решить что-то вроде «(3/2) x = 6 «, можно все равно разделите обе стороны на 3/2, но, вероятно, было легче умножить обе стороны на 2/3. Обратная дробь 2/3 — это обратное 3/2 потому что если умножить две дроби, вы получите 1, которая в данном контексте называется «(мультипликативной) идентичностью»: 1 называется тождеством, потому что умножение чего-либо на 1 не меняет своего значения. Эта терминология и эти факты очень важны для матриц. Если вам дано матричное уравнение как AX = C , где вы даны А и C и им предлагается вычислить X , вы хотите «разделить» матрицу на . Но нельзя делать деление с помощью матриц.С другой стороны, что если вы можно было найти инверсию A , что-то похожее на нахождение обратной дроби выше? Обратное из А , г. записывается как « A 1 » и произносится как « A » обратный », позволит вам отменить A из матричного уравнения, а затем решите относительно X . Как появился « A 1 AX »
в левой части уравнения превратиться в « X «?
Вспомните природу обратных чисел для обычных чисел.Если у тебя есть
число (например, 3/2)
и его обратное (в данном случае 2/3)
и вы их умножаете, вы получаете 1.
И 1
это личность, так называемая, потому что 1 x = x для любого числа х .
То же самое и с матрицами. Если вы умножите матрицу (например, А )
и его обратное (в данном случае Следует отметить, что порядок в умножении вышеизложенное важно и вовсе не произвольно. Напомним, что для матриц умножение не коммутативно. То есть AB почти никогда не равно BA .Таким образом, умножая матричное уравнение «слева» (чтобы получить A 1 AX ) это совсем не то же самое, что умножение «справа» (чтобы получить AXA 1 ). И нельзя сказать, что продукт AXA 1 равен A 1 AX , потому что вы не можете изменить порядок умножения. Вместо, надо умножить A 1 слева, поставив рядом с A в исходном матричном уравнении.И поскольку вы должны делать то же самое к обеим сторонам уравнения, когда вы решаете, вы должны умножить на «слева» и в правой части уравнения, в результате получается A 1 C . Вы не можете быть случайным с размещением матриц; Ты должен быть точный, правильный и последовательный. Это единственный способ успешно отменить A и решим матричное уравнение. Как вы видели выше, обратные матрицы могут быть очень полезны для решения матрицы уравнения. Но, учитывая матрицу, как ее инвертировать? Как ты находишь обратное? Техника инвертирования матриц довольно хитрая. За заданная матрица A и его обратная A 1 , мы знаем, что у нас есть A 1 A = I . Собирались использовать единичную матрицу I в процесс инвертирования матрицы.
Сначала я записываю записи в матрицу A , но я пишу их в матрице двойной ширины: В другой половине двойной ширины, пишу единичную матрицу: Сейчас сделаю матрицу строковые операции чтобы преобразовать левую часть двойной ширины в тождество.(Как всегда с операциями со строками, не существует единственного «правильного» способа сделать это. Ниже приведены лишь шаги, которые произошли с мне. Ваши расчеты легко могут выглядеть совершенно иначе.) Теперь, когда левый сторона двойной ширины содержит тождество, правая часть содержит обратное. То есть обратная матрица следующая: Обратите внимание, что мы можем подтвердить что эта матрица является инверсией A умножив две матрицы и убедившись, что мы получили тождество: Авторские права Элизабет Stapel 2003-2011 Все права защищены Обратите внимание, что в «реальном жизнь », инверсия редко бывает матрицей, заполненной красивыми аккуратными такие числа.Если повезет, особенно если вы делаете обратное от руки вам дадут вот такие милые дела. Верх | 1 | 2 | Возвращение к указателю Вперед >>
|
Инверсная матрица
В этом уроке определяется обратная матрица и показано, как определить ли инверсия матрица существует.
Инверсия матрицы
Предположим, что A — это матрица n x n . Обратное из A — это еще одна матрица n x n , обозначается A -1 , что удовлетворяет следующим условиям условия.
A A -1 = A -1 A = I n
, где I n — единичная матрица.Ниже на примере проиллюстрируем взаимосвязь между матрицей и его обратное.
Не всякая квадратная матрица имеет обратную; но если матрица имеет обратную, это уникально.
Существует ли обратное?
Есть два способа определить, является ли матрица, обратная квадратной существует.
- Определить его ранг . Ранг матрицы — уникальное число, связанное с квадратной матрицей. Если ранг n x n матрица меньше n , матрица не имеет обратное. Мы показали как определить ранг матрицы ранее.
- Вычислить его определитель . Определитель — еще одно уникальное число, связанное с квадратной матрицей.Когда определитель для квадратной матрицы равен нулю, обратный для этого матрица не существует. Мы показали как найти определитель матрицы ранее.
Квадратная матрица, имеющая обратную считается невырожденным или обратимый ; квадратная матрица, не имеющая обратное называется в единственном числе .
Проверьте свое понимание
Задача 1
Рассмотрим матрицу A , показанную ниже.
Какие из следующих утверждений верны?
(A) Ранг матрицы A равен 1.
(B) Определитель матрицы A равен 0.
(C) Матрица A является сингулярной.
(D) Все вышеперечисленное.
(E) Ничего из вышеперечисленного.
Решение
Правильный ответ (D).
Примечание: Если квадратная матрица меньше полного ранга, ее определитель равно нулю; и наоборот.
Найти инверсную матрицу
В этом уроке мы покажем, как найти обратный из матрица на двоих особые случаи: а диагональная матрица и матрица 2 x 2. В следующем уроке мы покажем как найти обратное для любой матрицы.
Как найти обратную диагональную матрицу
Диагональная матрица Матрица особого вида из симметричная матрица. Это симметричная матрица с нулями в недиагональные элементы. Ниже показаны две диагональные матрицы.
Обратите внимание, что диагональ матрицы относится к элементам которые бегут из верхнего левого угла в нижний правый угол.
Матрица, обратная диагонали, получается заменой каждого элемент по диагонали с обратной стороной, как показано ниже для матрицы C .
Легко убедиться, что C -1 является инверсия C , начиная с
С С -1 = С -1 С = I
, где I — единичная матрица.
Этот подход будет работать для любой диагональной матрицы, пока ни один из диагональные элементы равны нулю. Если какой-либо из диагональных элементов равны нулю, матрица будет меньше полный ранг, и у матрицы не будет инверсии.
Как найти обратную матрицу 2 x 2
Предположим, что A — это невырожденная матрица Матрица 2 x 2.Затем может быть вычислено значение, обратное A . от A , как показано ниже.
| ||||||||
| А | А -1 |
где детерминант из A это | A | = A 1 1 A 2 2 — A 1 2 A 2 1 .
Чтобы проиллюстрировать, как это работает, давайте найдем обратную матрицу B , который указан ниже.
Сначала вычислим определитель матрицы B .
| B | = B 1 1 B 2 2 — B 1 2 B 2 1 = 2 * 4 — 1 * 4 = 8 — 4 = 4
Затем мы можем найти обратное, как показано ниже.
| В -1 = |
|
| B -1 = | = |
Предупреждение: Если определитель матрицы равен равна нулю, то матрица не имеет обратной.
Проверьте свое понимание
Задача 1
Найдите обратную матрицу A , показанную ниже.
Решение
Это был вопрос с подвохом. Матрица A — диагональная матрица с нулевым элементом в его диагональ. Следовательно, матрица A сингулярна, и не имеет обратного.
Задача 2
Найдите обратную матрицу A , показанную ниже.
Решение
Матрица, обратная диагонали, получается заменой каждого элемента по диагонали с обратной величиной, как показано ниже.
Задача 3
Найдите обратную матрицу A , показанную ниже.
Решение
Сначала вычислим определитель матрицы A .
| A | = A 1 1 A 2 2 — A 1 2 A 2 1 = 3 * 4 — 1 * 9 = 12 — 9 = 3
Затем мы можем найти обратное, как показано ниже.
| А -1 = |
|
| A -1 = | = |
матричных операций
матричных операцийВ комплекте:
Операция с ключевой матрицей — это умножение на .
Произведение двух векторов
Рассмотрим задачу оценки портфеля. Это требует умножение количества акций каждой ценной бумаги на соответствующая цена за акцию, затем суммирование результатов. Этого легко добиться с помощью простой матричной операции. Предположим что:
цена {1 * активы} =
54 21
количество {активы * 1} =
1
2
Пусть значением будет продукт из цена и количество :
значение = цена * количество
В данном случае:
значение = 96
Для вычисления значения необходимо умножить матрицу (здесь вектор) цена по матрице (здесь вектор) количество .
Чтобы понять этот процесс, полезно представить каждый номер условным обозначением:
цена =
p1 p2
количество =
n1
n2
значение =
р1 * п1 + р2 * п2
Первое число в цене умножается на первое число в количество, то второе число в цене умножается на второй номер по количеству.Процесс продолжается до конца достигнуто, когда суммируются все продукты.
Совершенно очевидно, что этого нельзя сделать, если только количество столбцов в первой матрице равно количеству строк в второй. Иными словами, внутренние размеры двух матрицы должны быть одинаковыми. Это всегда требуется в матрице умножение и следует уточнять заранее. Здесь:
цена {1 * активы} * количество {активы * 1} ===> стоимость {1 * 1}
Обратите внимание, что информация в фигурных скобках подтверждает, что умножение может иметь место, поскольку внутренние размеры то же самое (активы).В такой информации также указаны габариты ответа, который задается внешними размерами (здесь: 1 1).
В общем, произведение, полученное путем умножения двух матриц будет иметь то же количество строк, что и первая матрица, а такое же количество столбцов, как и во втором. Например:
{2 * 3} раз {3 * 5} ==> {2 * 5}
{3 * 2} раз {2 * 4} ==> {3 * 4}
{1 * 2} раз {2 * 1} ==> {1 * 1}
Последний случай приведен в примере.В более общем смысле, умножение вектора-строки на вектор-столбец всегда дает скаляр.
Повторяю, хорошая практика (а часто и необходимость) думать о размерности ответа перед выполнением любой матрицы умножение. При этом можно также проверить, чтобы что внутренние размеры такие же, как и требуется. В общая схема:
{a * b} раз {b * c} даст {a * c}
Произведение матрицы и вектора
Когда одна или несколько матриц для умножения представляют собой таблицу, процесс — это просто одно из повторяющихся векторных умножений.Рассмотрим, например, определение значения портфель в три разных дня (понедельник, вторник, среда):
Здесь есть три набора цен. Цена Стол это:
Облигации
Пн 54 21
Вт 55 18
Ср 56 27
, а цена Matrix составляет:
54 21 55 18 56 27
Размеры Цена составляют {дни * активы} — в данном случае {3 * 2}.
Теперь рассмотрим умножение цены на количество, чтобы получить значение:
Цена {дни * активы} * количество {активы * 1} ===> стоимость {дни * 1}
Учитывая вектор количества q :
Связь 1
Сток 2
Результат — вектор-столбец:
96
91
110
Первое число в результате значение равно полученный умножением вектора в верхней строке матрицы Цена вектор-столбец количеством , что дает то же результат как раньше.Второе число в результате получается умножение вектора во второй строке матрицы Цена вектор-столбец , количество , и так далее. С помощью символы:
Цена =
стр. 11 стр. 12
стр.21 стр22
стр. 31 стр. 32
количество =
n1
n2
значение =
р11 * п1 + р12 * п2
р21 * п1 + р22 * п2
р31 * п1 + р32 * п2
Напомним, что значение равно {days * 1}.Следовательно связанная таблица:
Пн 96 Вт 91 Ср 110
Стоимость портфеля составляла 96 долларов в понедельник, 91 доллар во вторник. и 110 долларов в среду.
Произведение двух матриц
Когда две таблицы умножаются, процесс просто расширен, с каждым столбцом результата, полученного с помощью соответствующий столбец второй матрицы. Например, рассмотрим задача нахождения значений двух портфелей на каждом из трех дней.В этом случае Количество само по себе является матрицей. В табличной форме:
ПортA ПортB
Связь 1 5
Сток 2 2
В матричной форме:
1 5 2 2
Продукт представляет собой матрицу, показывающую стоимость каждого портфеля на каждый из трех дней:
Цена {дни * активы} * количество {активы * портфели}
===> Стоимость {дни * портфели}
В табличной форме:
ПортA ПортB
Пн 96 312
Вт
Ср 110 334
Сумма двух матриц
Если две матрицы имеют одинаковые размеры, их можно сложить
все вместе.Результатом является новая матрица с такими же размерами в
каждый элемент которого является суммой соответствующих элементов
предыдущие матрицы. Например, рассмотрим следующие
столы:
portA:
Связь 1
Сток 2
портB:
Связь 5
Сток 2
Чтобы найти общие суммы в двух портфелях, просто
сложите соответствующие матрицы:
portAll = портA + портB
В табличной форме:
portAll:
Связь 6
Сток 4
Сумма матрицы и скаляра
Также можно добавить константу к каждому элементу в
матрица.Например:
portPlus = portAll + 5
Выдает:
portPlus:
Связь 11
Сток 9
Матричное вычитание похоже на сложение. Каждый элемент одного
матрица вычитается из соответствующего элемента из другого.
Если скаляр вычитается из матрицы, первое вычитается
от каждого элемента последнего. Например:
portA:
Связь 1
Сток 2
портB:
Связь 5
Сток 2
портB - портA:
Связь 4
Акция 0
портB - 1:
Связь 4
Акция 1
Сложение и вычитание матриц работают с
поэлементная основа.В некоторых случаях желательно
выполнять умножение, деление или возведение в степень в одном и том же
манера. Мы следуем соглашениям MATLAB перед соответствующими
оператор с точкой (период), чтобы указать, что такой
желательна поэлементная работа.
Поэлементные операции с матрицами
Вот примеры с векторами:
portA:
Связь 1
Сток 2
портB:
Связь 5
Сток 2
порт A.3:
Связь 1
Сток 8
До сих пор мы не обсуждали матричное деление; только массив
деление. Существует матричная конструкция, аналогичная матричной конструкции
разделение, и это центральное место в большей части работы Аналитика.
Ключевым ингредиентом является использование , обратного матрица, к которой мы сейчас переходим.
Во-первых, несколько предварительных.
Квадратная матрица имеет такое же количество строк и
столбцы.Единичная матрица представляет собой квадратную матрицу с единицами
по диагонали сверху слева направо вниз и нули
в другом месте. Например:
Я =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Такая матрица часто обозначается I .
Произведение единичной матрицы (нужного размера) и
вектор-столбец - это вектор-столбец, как можно увидеть, применив
правила умножения матриц.Таким образом, если:
v =
3
4
5
Я * v ==> v
(читать: I умножить на против дает против ).
В более общем смысле, произведение любой матрицы M и
единичная матрица с тем же количеством столбцов, что и M будет исходная матрица:
Я * М ==> М
, как можно увидеть, проработав операции, связанные с
умножение матриц.
Обратная матрица квадратной матрицы - это матрица того же размера
что при умножении на матрицу дает единичную матрицу
такого же размера. Обратную матрицу иногда записывают с помощью
надстрочный индекс "-1". Вместо этого мы используем больше
компьютерная форма MATLAB:
inv (M)
, где M - квадратная матрица.
По определению:
inv (M) * M = I
Обратите внимание, что только квадратные матрицы могут иметь обратные (но не
все делаю).
Чтобы понять, почему обращение матрицы похоже на деление, рассмотрим
Матрица {1 * 1} - т.е. скаляр - со значением 5. Тождество
матрица того же размера также будет скаляром, в этом случае
единственное значение 1. Из этого следует, что обратное
исходная матрица (скаляр) будет обратной величине.
Таким образом:
(1/5) * 5 = 1
Умножение матрицы на обратную аналогично делению на
матрица, за исключением того, что это строго верно, только если матрица
{1 * 1}.
Инверсия матрицы часто используется для решения множества одновременных
линейные уравнения. Рассмотрим ситуацию, в которой есть два
состояния мира («погода хорошая», «погода
плохо ») и две ценные бумаги (Облигация, Акция). Матрица Выплата {состояния * активы} показывает платежи, произведенные по каждой ценной бумаге в каждой
состояние мира. Вектор количество {активы * 1}
показывает состав портфолио. Vector счет {состояния * 1} показывает платежи, которые будут получены от
портфолио во всех возможных состояниях мира.Ниже мы покажем все
три в виде таблицы:
Расплачиваться:
Облигации
хорошо 60 40
плохо 60 10
количество:
Связь 1
Сток 2
результат = Выплата * количество:
хорошо 140
плохо 80
Таким образом, портфель обеспечит 140 долларов при хорошей погоде.
Если погода плохая, вы получите всего 80 долларов.
Теперь предположим, что инвестор хотел бы получить 240 долларов, если
погода хорошая и 150 долларов, если погода плохая.Проблема в том, чтобы
определить портфель (количество), который будет производить желаемый
вектор оплаты.
Рассмотрим уравнение для вычисления:
Выплата * количество = результат
Обратите внимание, что Payoff квадратный, поэтому возможно
вычислить обратное, исключая обсуждаемые сложности
позже. Умножаем обе части уравнения на эту обратную (a
«легальная» матричная операция):
inv (Выплата) * Выплата * количество = inv (Выплата) * результат
Но произведение обратной и исходной матрицы есть
единичная матрица, поэтому:
I * количество = inv (выплата) * результат
Но произведение единичной матрицы и вектора - это
вектор.Таким образом:
количество = inv (Выплата) * результат
Это именно то, что нам нужно - уравнение для портфеля.
( количество ), что обеспечит желаемый набор
денежные потоки ( результат )!
Три компонента показаны ниже, в результате
значения выделены жирным шрифтом:
результат:
хорошо 240
плохо 150
inv (Выплата):
-0.0056 0,0222
0,0333 -0,0333
количество:
Связь 2
Сток 3
Таким образом, желаемый результат может быть достигнут с портфелем из 2
облигации и 3 акции.
Любая система одновременных линейных уравнений, для которой существует
решение может быть решено таким образом. Может показаться, что
требование, чтобы матрица коэффициентов была квадратной, чрезмерно
ограничительный. Однако для решения системы таких уравнений требуется
ровно столько уравнений, сколько неизвестных, поэтому матрица
"левых частей" (здесь Payoff )
должно иметь столько строк (уравнений), сколько столбцов
(переменные).
К сожалению, иногда это не работает. Невозможно
возьмем инверсию некоторых матриц, даже если они квадратные.
В таких случаях рассматриваемая матрица называется сингулярной .
В типичных инвестиционных приложениях это происходит, когда
стратегия не является действительно независимой и может быть предоставлена
с некоторой комбинацией других включенных стратегий. Когда это
происходит, используемая система программирования скорее всего пожалуется
что он не может принять необходимое обратное, потому что матрица в
вопрос единичный (или почти такой).Это сигнал, что
экономия исходной постановки проблемы должна быть
пересмотрел.
Нет ничего необычного в том, что матрица - это "неправильный путь".
вокруг "для необходимого расчета. Точнее, его строки
должны быть столбцами, а его столбцы должны быть строками. К счастью, там
стандартная операция, которая "переворачивает" матрицу
(или вектор).
транспонирует матрицы, по сути, матрица
вращается таким образом.Например, если M :
1 2 3
4 5 6
, затем M ' (читается: M-простое или M-транспонирование) это:
1 4
2 5
3 6
Иногда это обозначается добавлением буквы "T" к
надстрочный индекс после M , но мы будем использовать MATLAB
версия M '.
Для облегчения экспозиции мы, как правило, ограничили
примеры для одной операции с матрицей или массивом.Иногда мы ставили
результат слева; а иногда и справа. Более того, мы
использовали стрелку, когда это было полезно, и знак равенства
в другие времена. При написании команд для выполнения
система программирования, конечно, довольно строгие правила синтаксиса должны
следовать. Обычно результат должен быть записан первым,
за которым следует знак равенства, за которым следует выражение с указанием желаемых вычислений. Такие выражения могут включать
при необходимости, несколько операций с матрицами и / или массивами.Например:
D = inv (A) * (b * c)
Это было бы совершенно законно, если бы размеры A , b и c были подходящими. В
смысл знака равенства - это назначение. Таким образом
заявление действительно говорит: " D должно быть
присвоили результат, полученный путем умножения обратной величины A умноженное на произведение b и c ".