Наименьшее совершенное число: Совершенные числа – список, свойства

§ 4. Совершенные числа. Приглашение в теорию чисел

§ 4. Совершенные числа. Приглашение в теорию чисел

ВикиЧтение

Приглашение в теорию чисел
Оре Ойстин

Содержание

§ 4. Совершенные числа

Нумерология (или гематрия, как ее иногда еще называют) была распространенным увлечением у древних греков. Естественным объяснением этому является то, что числа в Древней Греции изображались буквами греческого алфавита, и поэтому каждому написанному слову, каждому имени соответствовало некоторое число. Люди могли сравнивать свойства чисел, соответствующих их именам.

Делители или аликвотные части[6] чисел играли важную роль в нумерологии. В этом смысле идеальными, или, как их называют, совершенными числами являлись такие числа, которые составлялись из своих аликвотиых частей, т. е. равнялись сумме своих делителей. Здесь следует отметить, что древние греки не включали само число в состав его делителей.

Наименьшим совершенным числом является 6:

6 = 1 + 2 + 3.

За ним следует число 28:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,

далее число 496:

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Часто математик, увлеченный решением какой-либо проблемы и имеющий одно или несколько частных решений этой задачи, пытается найти закономерности, которые смогли бы дать ключ к нахождению общего решения. Указанные нами совершенные числа могут быть записаны в виде

6 = 2  3 = 2(2² — 1),

28 = 2²  7 = 2²(2³ — 1),

496 = 24  31 = 2⁴(2⁵ — 1).

Это наталкивает нас на гипотезу:

Число является совершенным, если оно представляется в виде

Р = 2^p-1(2^p — 1) = 2^р q, (3.4.1)

где

q = 2^p — 1

является простым числом Мерсенна.

Этот результат, известный еще грекам, несложно доказать. Делителями числа Р, включая само число Р, очевидно, являются следующие числа:

1, 2, 2²…, 2^р-1,

q, 2q, 2²q…, 2^р-1q.

Запишем сумму этих делителей

1 + 2 +… + 2^р-1 + q(1 + 2 +… + 2^р-1),

которая равна

(1 + 2 +… + 2^р-1)(q + 1) = (1 + 2 +… + 2^р-1) 2^р

Если вы не помните формулы для суммы членов геометрической прогрессии,

S = 1 + 2 +… + 2^р-1,

то умножьте эту сумму на 2:

2S = 2 + 2² +… +2^р-1 + 2^р,

а затем, вычтя S, получите

S = 2^p — 1 = q.

Таким образом, сумма всех делителей числа Р есть

2^pq = 2 • 2^p-1q,

а сумма всех делителей, кроме самого числа Р = 2^p-1q, равна

2 2^p-1q — 2^p-1q = 2^p-1q = Р.

Итак, наше число является совершенным.

Из этого результата следует, что каждое простое число Мерсенна порождает совершенное число. В § 2 второй главы говорилось, что известно всего 23 простых числа Мерсенна, следовательно, мы знаем также и 23 совершенных числа. Существуют ли другие виды совершенных чисел? Все совершенные числа вида (3.4.1) являются четными, можно доказать, что любое четное совершенное число имеет вид (3.4.1). Остается вопрос: существуют ли нечетные совершенные числа? В настоящее время мы не знаем ни одного такого числа, и вопрос о существовании нечетных совершенных чисел является одной из самых знаменитых проблем теории чисел. Если бы удалось обнаружить такое число, то это было бы крупным достижением. Вы можете поддаться соблазну найти такое число, перебирая различные нечетные числа. Но мы не советуем этого делать, так как по последним сообщениям Брайена Такхермана из IBM[7] (1968), нечетное совершенное число должно иметь по крайней мере 36 знаков.

Система задач 3. 4.

1. Используя список простых чисел Мерсенна, найдите четвертое и пятое совершенные числа.

Глава 1 Числа

Глава 1 Числа Альберт! Перестань указывать Богу, что Ему делать! Нильс Бор — Альберту Эйнштейну Вначале были число и фигура. Когда человек попытался овладеть ими, родилась наука, и человек начал познавать окружающий мир. Развитие науки часто сопровождалось забавными,

Приложение Фигурные числа

Приложение Фигурные числа Фигурное число — это число, которое может быть представлено в виде точек, расположенных в форме правильного многоугольника. Эти числа долгое время служили объектом пристального внимания математиков. Греки приписывали им магические свойства,

§ 4.

Фигурные числа

§ 4. Фигурные числа В теории чисел мы часто встречаемся с квадратами, т. е. такими числами, как32 = 9, 72 = 49, 102 = 100,и аналогично с кубами, т. е. такими числами, как23 = 8, 33 = 27, 53 = 125. Рис. 2.Этот геометрический образ рассматриваемой операции с числами является частью богатого

ГЛАВА 2 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

ГЛАВА 2 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА § 1. Простые и составные числа Должно быть, одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителя, например,6 = 2 • 3, 9 = 3 • 3, 30 = 2 • 15 = 3 • 10,в то время как другие, например,3, 7, 13, 37,не

§ 2. Простые числа Мерсенна

§ 2. Простые числа Мерсенна В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателем самого большого из известных простых чисел. Разумеется, можно было бы выбрать несколько очень больших чисел, не имеющих таких

§ 3. Простые числа Ферма

§ 3. Простые числа Ферма Существует также еще один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601–1665), который прославился своими выдающимися математическими работами. Первыми пятью простыми числами

§ 5. Дружественные числа

§ 5. Дружественные числа Дружественные числа также входят в наследство, доставшееся нам от греческой нумерологии. Если у двух людей имена были таковы, что их числовые значения удовлетворяли следующему условию: сумма частей (делителей) одного из них равнялась второму

§ 2. Взаимно простые числа

§ 2. Взаимно простые числа Число 1 является общим делителем для любой пары чисел а и b. Может случиться, что единица будет единственным их общим делителем, т. е.d0 = D(a, b) = 1. (4.2.1)В этом случае мы говорим, что числа а и b взаимно простые.Пример. (39, 22) = 1.Если числа имеют общий

§ 1. Числа

§ 1. Числа «Все есть число» — учили древние пифагорейцы[8]. Однако количество чисел, которыми они пользовались, ничтожно по сравнению с фантастической пляской цифр, окружающих нас сегодня в повседневной жизни. Огромные числа появляются, когда считаем мы, и тогда, когда

Глава 4. Длины и числа

Глава 4. Длины и числа Длина отрезка есть некое соотнесённое с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, то есть квадрата со стороной длины единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Таким

ЧИСЛА, ЧИСЛА, ЧИСЛА…

ЧИСЛА, ЧИСЛА, ЧИСЛА… — Есть такая книга, — начал Мате, — «Диалоги о математике».

Написал ее выдающийся венгерский математик нашего века Альфред Реньи. Форма диалога выбрана им не случайно, как не случайно, вероятно, обратился к ней когда-то Галилео Галилей.Жанр диалога

44. Какие числа?

44. Какие числа? Какие два целых числа, если их перемножить, составят семь?Не забудьте, что оба числа должны быть целые, поэтому такие ответы, как З1/2 ? 2 или 21/3 ? 3, не

47. Три числа

47. Три числа Какие три целых числа, если их перемножить, дают столько же, сколько получается от их

44. Какие числа?

44. Какие числа? Ответ прост: 1 и 7. Других таких чисел

47. Три числа

47. Три числа 1, 2 и 3 дают при перемножении и при сложении одно и то же:1 + 2 + 3 = 6;1 ? 2 ? 3 =

Магические числа

Магические числа Как и во многих ранее проведенных опросах, выяснилось, что среднее число сексуальных партнеров в течение жизни респондентов относительно невелико: примерно семь для гетеросексуальных женщин и примерно тринадцать для гетеросексуальных мужчин.

Теорема Эйлера о нечетных совершенных числах

Древнее доказательство, позволяющее разобраться в нерешенной проблеме.

Идеальные числа очаровывали меня долгое время. Идея проста. Возьмите любое число и выпишите числа, которые его делят (не считая самого себя).

Например: 1,2 и 3 делят 6 поровну. Теперь сложите множители 1 + 2 + 3 = 6.

Когда вы получаете такое число обратно, оно называется идеальным числом.

Позже мы захотим работать с полной функцией суммы делителей.

Определите σ (N) как сумму всех делителей N (включая само N). Обратите внимание: когда вы включаете само число, мы получаем определение: число N является совершенным, если σ (N ) = 2 N.

Большинство чисел не идеальны. Фактически, вы можете быстро проверить сами, что 6 — это наименьшее совершенное число, а затем следующее — 28. Существует удивительно большое количество результатов в форме совершенных чисел, но два наиболее очевидных вопроса остаются нерешенными по сей день:

• Их бесконечно много?
• Есть ли идеальные нечетные числа?

Если бы вы смогли решить любую из этих проблем, вы стали бы знаменитыми. Они выглядят такими простыми, и все же они устояли перед тысячами попыток доказательства или контрпримеров.

Первый вопрос можно преобразовать во многие другие известные вопросы, поэтому сегодня мы не будем им заниматься.

Что мне интересно, так это то, что Эйлер доказал, что нечетные совершенные числа должны иметь очень специфическую форму еще в 1700-х годах, но мы до сих пор не знаем, существуют ли они!

В настоящее время компьютеры проверили примерно до 10 центов и не нашли ни одного. Новые результаты о нечетных совершенных числах были опубликованы совсем недавно, в этом году. Так что это все еще активная область исследований.

Сегодня мы рассмотрим элементарное доказательство Эйлера формы нечетных совершенных целых чисел, и, возможно, кто-нибудь из вас сможет его разгадать.

Форма нечетных совершенных чисел

Несмотря на то, что мы не знаем, существуют ли они, форма, которую должно принимать нечетное совершенное число, была известна веками.

Вот утверждение теоремы. Если N — нечетное совершенное число, тогда

где p — простое число в форме p = 4 n + 1 и не делит Q. Другими словами, нечетное совершенное число должно быть точным квадратом, умноженным на определенный тип простого числа с определенным типом степени (1, 5, 9,…).

Вы можете ввести числа, чтобы почувствовать это. Если n равно 1, то простое число p = 5. Если Q равно 3, то идеальный квадрат равен 9. Это составит N = 45. (Собственные) делители 45 равны 1, 3, 5, 9, 15. Если сложить их, получим 33, так что 45 не является идеальным.

Как видите, теорема не дает совершенные нечетные числа. Он просто говорит нам, что если он существует, он должен иметь такую ​​форму. Опять же, за столетия, прошедшие с тех пор, как это было впервые доказано, было много работы над этим, поэтому в наши дни у нас есть более совершенные формы. Я упомяну о них в конце.

А пока давайте на самом деле докажем это. Доказательство совершенно элементарно и требует только умного обдумывания событий и разногласий и отработки всех возможностей.

Несмотря на отсутствие высокоуровневой математики, я предупреждаю вас, что это сложно удерживать в голове сразу, потому что это просто грубая сила проверяет все случаи. Так что легко потерять из виду, что мы делаем и почему. Я постараюсь прояснить это.

Предварительные концепции

Прежде чем мы начнем, нам нужны формальные определения четных и нечетных чисел. Число x является нечетным, если его можно выразить как x = 2k + 1 для некоторого k. Число x является четным, если его можно выразить как x = 2k для некоторого k.

Факт 1: Нечетное число плюс нечетное всегда четное. Вы можете убедить себя в этом, подумав об этом, но это также можно доказать формально.

Пусть x и y нечетные. Тогда x = 2k + 1 и y = 2j + 1 для некоторых k и j. Таким образом,

x+y=2k+1+2j+1
=2k+2j+2
=2(k+j+1).

Это определение равных, так что мы закончили.

Факт 2: нечетное число плюс четное всегда нечетное. Вы можете убедиться в этом сами, следуя приведенному выше аналогичному доказательству.

Факт 3: делители числа pⁿ, где p — простое число, равны 1, p, p²,…, pⁿ. Это просто определение простого числа.

Факт 4: сумма делителей pⁿ (обозначенная σ (pⁿ)) четна тогда и только тогда, когда n нечетно. Это просто комбинация трех приведенных выше фактов: 1 + p четно, 1 + p + p² нечетно, 1 + p + p² + p³ четно и так далее.

Аналогично, σ (pⁿ) нечетно тогда и только тогда, когда n четно.

Факт 5: сумма делителей слабо мультипликативная. Это означает, что если N и M не имеют общих простых множителей, то σ (NM) = σ (N ) σ (M).

Я не буду доказывать это в общих чертах, но простой пример дает точное представление о доказательстве. Попробуйте это для N = 3 и M = 5.

σ(15)=1+3+5+15
=(1+3)(1+5)
=σ(3)σ(5)

Общее доказательство следует той же логике. Вы разбиваете число на разложение на простые множители, а затем множите его на множители.

Доказательство формы Эйлера

Пусть N — нечетное совершенное целое число. Используйте Основная теорема арифметики, чтобы разложить на множитель N на его уникальное разложение на простые числа:

Поскольку N нечетно, ни одно из простых чисел в факторизации не равно 2. Поскольку N совершенно, мы знаем, что σ (N) = 2N. Теперь мы воспользуемся определением с приведенными выше фактами, чтобы получить ключевое уравнение, которое нам понадобится.

Вот ключевой вывод. Четным может быть только один из этих факторов.

Это связано с тем, что верхняя левая часть уравнения имеет только единственный множитель 2, поскольку N нечетно. Если бы два из нижних правых множителей были четными, мы смогли бы вычесть 4, противоречие.

Поскольку только один фактор является четным, это означает, что все остальные факторы нечетные. Факт 4 говорит нам, что все aᵢ в факторизации N на простые числа четные, за исключением одной нечетной.

Другими словами, мы можем написать N = pˣQ², где x нечетно, а p не делит Q.

Предположим, что p = 4b + 3 для некоторого b. Затем мы замечаем, что можем разложить σ (pˣ) = (1 + p) (1 + p² +… + pˣ⁻¹)) на множители. Это означает, что 1 + p делит σ (pˣ), который, по предположению, делит 2N.

Но это противоречие, потому что 1 + p = 4b + 4 = 4 (b + 1), и мы уже сказали, что 4 может быть множителем 2N. Поскольку p нечетно, единственная другая возможность состоит в том, что оно имеет вид 4b + 1 для некоторого b, что мы и собирались доказать.

Трюк того же типа показывает нам, что x также должен иметь форму 4m + 1 (когда вы подставляете p = 4b + 1 и умножаете σ (pˣ), вы обнаружите, что можете вынести 4, если x = 4m + 3).

Если все это слишком сложно, не волнуйтесь. Суть доказательства сводится к одному факту. Определение совершенного: σ (N) = 2N. Определение N как нечетного состоит в том, что мы не можем исключить дополнительную копию 2 из N.

Это просто заставляет разные части σ (N), когда они записаны, также не содержать слишком много копий 2.

Таким образом, если N — нечетное совершенное число, оно должно иметь вид:

где p — простое число вида p = 4 n + 1 и не делит Q.

Другие результаты

С момента открытия этой формы было получено много результатов. В 1980 году Хагис показал, что должно быть не менее 8 различных простых множителей, а затем в 2005 году Хейр показал, что должно быть не менее 75 (не обязательно различных) множителей. В 2012 году Очем и Рао показали, что его должно быть не менее 101.

Результаты о размере факторов также были доказаны, но вычисления делают это несколько менее интересным, чем фактические «структурные теоремы» нечетного совершенного числа. Существуют десятки таких типов результатов об экспонентах, которые могут иметь место, и соотношениях конгруэнтности, включающих все N.

Если вы хотите решить давнюю проблему и прославиться, стоит поработать с ней. Все, что вам нужно сделать, это найти некоторую гарантированную форму для нечетного совершенного числа, которая противоречит этой форме, и вы раз и навсегда докажете, что его не существует (что является текущим консенсусным предположением).

А пока компьютеры будут проверять.

Презентация «Совершенные числа» (16 слайдов)

Слайд 1

X ОТКРЫТАЯ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ     Секция: математика   Исследовательская работа   СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА         Исследователь: Гречкин Владислав Геннадьевич ученик 8 «А» класса МБОУ «ЮРЛК и НК»     Научный руководитель: Ермуратина Татьяна Викторовна учитель математики высшей категории МБОУ «ЮРЛК и НК»

Слайд 2

Возникновение чисел в нашей жизни не случайность. Людей издавна очаровывали и пленяли таинственные законы чисел. А само возникновение понятия числа — одно из гениальных проявлений человеческого разума. Две с половиной тысячи лет тому назад мыслитель из Кротона Пифагор, чьё имя теперь известно каждому школьнику, сделал из учения о числах религию, считая незыблемые законы чисел мистической основой всего мира.

Слайд 3

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные числа.
Аристотель говорил, что: «Совершенным называется то, что по достоинствам и ценности не может быть превзойдено в своей области».
Натуральное число п называется совершенным, если сумма всех его собственных делителей, отличных от самого п, в точности равна п. Легко заметить, что далеко не всякое натуральное число равно сумме всех своих делителей, отличающихся от этого числа.

Слайд 4

Знаменитый греческий философ и математик Никомах Герасский, живший в 1 веке, писал: «Совершенные числа красивы. Красивые вещи редки и немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии. Избыточными и недостаточными бывают все числа, в то время как совершенных чисел немного». Он не знал, сколько имеется совершенных чисел. Не знаем этого и мы. До настоящего времени нет ответов на два важных вопроса. Существует ли наибольшее совершенное число? Существует ли нечётное совершенное число?

Слайд 5

Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. Так, средневековая церковь полагала, что изучение совершенных чисел ведёт к спасению души, что нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство. Существовало также убеждение, что мир потому прекрасен, что сотворен создателем за 6 дней. В сочинении «Град Божий» Святой Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочёл сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира.

Слайд 6

Как вы уже поняли, первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число 6. На шестом месте, на званом пиру, возлежал самый уважаемый, самый почётный гость. Рассмотрим число 6. Оно имеет делители 1, 2, 3 и 6. Если сложить все его делители, отличные от самого числа 1 + 2 + 3, то мы получим 6. Значит, число 6 является первым совершенным числом.
6 = 1+2+3

Слайд 7

Следующим совершенным числом, известным древним, было 28. Мартин Гарднер усматривал в этом числе особый смысл. По его мнению, Луна обновляется за 28 суток, потому что число 28 — совершенное. В Риме в 1917 году при подземных работах было открыто странное сооружение: вокруг большого центрального зала расположены двадцать восемь келий. Это было здание неопифагорейской академии наук. В ней было двадцать восемь членов. До последнего времени столько же членов, часто просто по обычаю, причины которого давным-давно забыты, полагалось иметь во многих ученых обществах.
28=1+2+4+7+14

Слайд 8

До Евклида были известны только эти два совершенных числа, и никто не знал, существуют ли другие совершенные числа и сколько таких чисел вообще может быть. Великий основатель геометрии много занимался изучением свойств чисел. Конечно, его не могли не интересовать совершенные числа. Евклид доказал, что всякое число, которое может быть представлено в виде произведения множителей 2(р-1) и (2р – 1), где второе число – простое (то есть делящееся только на себя и на единицу), является совершенным числом. Если в формулу Евклида подставить p=2, то получим 2 х 3 = 6 — первое совершенное число, а если p=3, то 2(3-1) х (23-1) = 28.
Леонард Эйлер впоследствии доказал, что все чётные совершенные числа имеют указанный вид. Он же в 1772 году нашёл восьмое совершенное число  при р=31 2 305 843 008 139 952 128.
Благодаря своей формуле,
Евклид сумел найти ещё два совершенных числа: третье при p=5 и четвёртое при p=7. Это числа 496 и 8128. Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида.

Слайд 9

Дальнейшие поиски оказались более сложными. Почти полторы тысячи лет люди знали только четыре совершенных числа, и никто не знал, могут ли существовать ещё числа, которые можно представить в евклидовской формуле, и никто не мог сказать, возможны ли совершенные числа, не удовлетворяющие формуле Евклида. Следующее, пятое, совершенное число было найдено лишь в пятнадцатом веке немецким математиком Региомонтаном, оказалось, что и оно подчиняется условию Евклида и равно 33 550 336.

Слайд 10

В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашёл ещё два совершенных числа – шестое и седьмое. Они соответствуют р = 17 и р = 19 и равны 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Обратите внимание, что счёт идёт уже на миллиарды, и страшно даже представить, что все вычисления были проделаны без калькуляторов и компьютеров!
Катальди Пьетро Антонио, бывший профессором математики во Флоренции и Болонье, который первый дал способ извлечения квадратных корней, тоже занимался поисками совершенных чисел. В его записках были указаны значения шестого и седьмого совершенных чисел. И навсегда осталась в истории загадочная тайна, как он сумел найти их. До сих пор предложено только одно объяснение этой загадке – оно было дано ещё его современниками: помощь божественного провидения, подсказавшего своему избраннику верные значения двух совершенных чисел.

Слайд 11

Девятое совершенное число было вычислено только в 1883 году. В нём оказалось тридцать семь знаков. Этот вычислительный подвиг совершил сельский священник из-под Перми Иван Михеевич Первушин. Первушин тоже считал без всяких вычислительных приборов.

Слайд 12

В начале XX в. были найдены еще 3 совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). А к середине XX века обнаружено ещё семь таких чисел. С 1952 года в поиски включились электронно-вычислительные машины. И если первое совершенное число однозначно, то двадцать четвёртое содержит уже свыше 12000 знаков. В 1971 году за 40 минут работы мощная ЭВМ нашла 24-е совершенное число. А в 1978 году ЭВМ уже работала 440 часов, чтобы дойти до следующего, 25-го совершенного числа. В развёрнутой записи этого числа содержится 26790 цифр! На апрель 2010 года известно 47 чётных совершенных чисел, поиском новых таких чисел занимается проект распределённых вычислений GIMPS. Почти все последующие совершенные числа выдерживают только евклидову форму записи.

Слайд 13

Хочется добавить, что формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел: Все чётные совершенные числа являются треугольными числами. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть могут быть представлены в виде n(2n−1). Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, для совершенного числа 28: Все чётные совершенные числа, кроме 6, являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел. Например, 28 = 13 + 33, а 496 = 13 + 33 + 53 + 73.

Слайд 14

Слайд 15

В заключение хотелось бы сказать, что занимаясь данной работой, я понял, что мир чисел очень загадочен и увлекателен, и если бы каждый из нас уделял ему больше внимания, то нашёл бы для себя много нового и интересного. Выполняя эту работу, я познакомился с удивительными натуральными числами: совершенными. Анализируя научно-популярную литературу об этих числах, я убедился, что совершенные числа и сегодня скрывают много загадок. Вопрос о существовании нечётного совершенного числа и о бесконечности множества чётных совершенных чисел открыт до сих пор. Все открытые совершенные числа парные. Ученые доказали, что может быть не меньше 1036 непарных совершенных чисел, но ни одного из них ещё не нашли. Считают, что даже наименьшее из непарных совершенных чисел может быть чрезвычайно большим. Возникают и другие вопросы, ответа на которые ищет много математиков. Это ещё раз подтверждает, что мир математики полон тайн и загадок, но разгадать их могут только пытливые.

Слайд 16

Благодарю за внимание.

Что такое совершенные числа? Определение, примеры и факты

В теории чисел совершенное число — это положительное целое число, равное сумме своих положительных множителей, исключая само число. Самым популярным и наименьшим совершенным числом является 6, которое равно сумме 1, 2 и 3. Другими примерами совершенных чисел являются 28, 496 и 8128.

1.	Что такое совершенные числа?
2.	История совершенных чисел
3.	Как найти идеальное число?
4.	Список совершенных чисел в таблице
5.	Часто задаваемые вопросы о Perfect Numbers

Что такое совершенные числа?

Совершенное число — это целое положительное число, равное сумме своих множителей, за исключением самого числа. Другими словами, совершенные числа — это целые положительные числа, являющиеся суммой своих делителей. Наименьшим совершенным числом является 6, представляющее собой сумму своих множителей: 1, 2 и 3. Следует отметить, что эта сумма не включает само число, которое также является множителем само по себе.

Знаете ли вы, что когда сумма всех делителей числа равна удвоенному числу, число имеет отдельное имя? Такие номера называются полными номерами . На самом деле все совершенные числа также являются полными числами.

История совершенных чисел

Первоначальное изучение совершенных чисел, возможно, восходит к египтянам, которые могли встречаться с такими числами естественным образом. Информации об открытии совершенных чисел не так много. Говорят, что, возможно, их открыли египтяне. Несмотря на то, что они знали о существовании совершенных чисел, только греки стремились больше узнать об этих числах. Совершенные числа изучались Пифагором и его последователями из-за их мистических свойств. Наименьшим найденным совершенным числом было 6. Это число 6 вначале привлекло большое внимание пифагорейцев больше из-за его мистических и нумерологических свойств, чем из-за какого-либо математического значения. Следует отметить, что 6 — наименьшее совершенное число, следующее за ним — 28.

Как найти идеальное число?

Чтобы найти совершенное число, мы можем использовать метод, описанный Евклидом. Согласно Евклиду, существует выражение, которое может быть совершенным числом при определенных условиях. Согласно его предположению, если 2 ⁿ -1 — простое число, то 2 ^n-1 (2 ⁿ -1) — совершенное число. Это условие можно понять, используя следующую таблицу. Евклид сказал, что (2 ⁿ — 1) умножить на 2 ^{n — 1} может быть совершенным числом, если термин в скобках, то есть (2 ⁿ — 1), является простым числом. Другими словами, [2 ^{n — 1} × (2 ⁿ — 1) = совершенное число], если (2 ⁿ — 1) является простым числом.

Следовательно, нам нужно найти значение ‘n’, для которого (2 ⁿ — 1) является простым числом. Итак, следующая таблица поможет нам лучше понять это. Давайте выполним шаги, указанные ниже, чтобы мы могли обратиться к таблице и понять процесс.

нет	2 н — 1	(2 n — 1)	2 n — 1 × (2 n — 1)
1	1	1	—
2	2	3 (простое число)	6 (совершенное число)
3	4	7 (простое число)	28 (совершенное число)
4	8	15	—
5	16	31 (простое число)	496 (совершенное число)
6	32	63	—
7	64	127 (простое число)	8128 (совершенное число)
8	128	255	—
9	256	511	—
10	512	1023	—

• Шаг 1: Начнем с n = 1. Подставив значение n = 1 в оба выражения, мы увидим результат. Если мы заменим 1 в 2 ^{n — 1} , получаем 2 ^{1 — 1} = 2 ⁰ = 1. И подставляя 1 в (2 ⁿ — 1), получаем, (2 ¹ — 1) = 1.
• Шаг 2: После подстановки n = 2, n = 3, n = 4 и т. д. получаем результирующие числа, записанные в таблицу.
• Шаг 3: Теперь нам нужно наблюдать за столбцом (2 ⁿ — 1), в котором, если число является простым числом, то произведение двух выражений, 2 ^{n — 1} и ( 2 ⁿ — 1) даст идеальное число.
• Шаг 4: Например, если мы возьмем n = 2, мы получим 2 в результате первого выражения и 3 во втором выражении. Когда мы принимаем n = 3, мы получаем 4 в результате первого выражения и 7 во втором выражении.
• Шаг 5: После перечисления чисел в том виде, в каком они даны, нам нужно отметить те числа в столбце (2 ⁿ — 1), которые являются простыми числами. И соответствующие произведения этих всегда будут давать идеальное число. В таблице мы видим, что 3, 7, 31, 127 являются простыми числами, это означает, что их соответствующие произведения, показанные в следующем столбце, всегда будут совершенными числами, то есть 6, 28, 49.6 и 8128 — совершенные числа. Это означает, что произведение двух множителей 2 ^{n — 1} и (2 ⁿ — 1) является совершенным числом, если (2 ⁿ — 1) является простым числом.

Список совершенных чисел в таблице

Несколько совершенных чисел 6, 28, 496 и 8128 известны нам с древних времен. Давайте посмотрим на их делители и их сумму в таблице, приведенной ниже. Их сумма дает само число. Поэтому они известны как совершенные числа.

Идеальный номер	Сумма делителей
6	1 + 2 + 3
28	1 + 2 + 4 + 7 + 14
496	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Важные примечания

• Совершенные числа — это целые положительные числа, являющиеся суммой своих собственных делителей.
• Наименьшее совершенное число — 6.
• Все совершенные числа четные. До сих пор неизвестно, существуют ли нечетные совершенные числа или нет.
• Все совершенные числа оканчиваются на 6 и 8 попеременно.

☛ Похожие темы

• Perfect Number Calculator
• Калькулятор простых чисел
• Как узнать, является ли число идеальным квадратом?

 

Примеры совершенных чисел

1. Пример 1:

   Является ли 28 совершенным числом?

   Решение:

   Собственные множители числа 28 равны 1, 2, 4, 7 и 14. Сумма этих множителей равна 28. Согласно определению совершенных чисел, 28 является совершенным числом. следовательно, 28 — совершенное число.

2. Пример 2: Проверьте, являются ли данные числа совершенными числами, найдя сумму их множителей:

   а) 8

   б) 25

   Решение: число) заданных чисел и сложите их, чтобы проверить, дают ли они одно и то же число.

   а.) Делители числа 8 (исключая число 8) = 1, 2, 4. Их сумма равна 1 + 2 + 4 = 7. Следовательно, 8 не является совершенным числом.

   б.) Делители 25 (исключая число 25) = 1, 5. Их сумма равна 1 + 5 = 6. Следовательно, 25 не является совершенным числом.

3. Пример 3: Укажите истинное или ложное значение:

   а.) Совершенные числа — это целые положительные числа, равные сумме своих множителей, за исключением самого числа.

   б.) Все совершенные числа нечетные.

   Решение:

   а.) Совершенные числа — это целые положительные числа, равные сумме своих множителей, за исключением самого числа.

   б.) Неверно, все совершенные числа четные.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с сертифицированными экспертами ourCuemath.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по совершенным числам

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о Perfect Numbers

Что такое совершенные числа?

Совершенное число — это целое положительное число, равное сумме своих множителей без самого числа. Например, 6 — совершенное число, потому что, сложив все его делители, кроме 6, мы получим 1 + 2 + 3 = 6. Мы получим сумму как само число. Следовательно, 6 — совершенное число.

Какие первые 5 совершенных чисел?

Первые 5 совершенных чисел: 6, 28, 496, 8128 и 33550336.

Сколько существует совершенных чисел?

До сих пор неизвестно, существуют ли бесконечные совершенные числа или нет. Однако до сих пор мы знаем только 51 совершенное число.

Какие первые 10 совершенных чисел?

Согласно предложению Евклида, если 2 ⁿ -1 — простое число, то 2 ^n-1 (2 ⁿ -1) — совершенное число. Первые 10 совершенных чисел:

6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008 139952128
26584559915698317446 54692615953842176
1915619426082361072947933780 84303638130997321548169216

Какое самое большое совершенное число?

Самое большое совершенное число неизвестно.

Является ли 9 совершенным числом?

Нет, 9 не является совершенным числом, потому что его множители (1 и 3), за исключением 9, не дают в сумме 9. Они дают в сумме 4. А мы знаем, что сумма множителей совершенных чисел всегда есть само число .

Какое самое маленькое совершенное число?

Наименьшее совершенное число — 6, представляющее собой сумму 1, 2, 3.

Сколько существует совершенных чисел?

Известно около 51 совершенного числа. Последнее совершенное число было обнаружено в 2018 году и имеет 49.{300}$.

Спросил 5 лет, 10 месяцев назад

Изменено 5 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 279 раз

6

Новинка! Сохраняйте вопросы или ответы и организуйте свой любимый контент.
Узнать больше.

$\begingroup$

Последние две недели я изучаю совершенные числа и испытал столько приключений, изучая такую ​​интересную тему. Основными источниками послужили Википедия и книга Эйлер: Владыка всех нас. 9{300}$.

Поскольку имя математика, давшего результат, в книге не указано, я даже не могу найти его в Интернете. Я буду очень признателен, если вы подскажете, как получить этот результат, или предоставите прямое доказательство. Простите меня, если этот результат тривиален, и я упускаю очень распространенную вещь.

Спасибо.

• теория чисел
• корректура

$\endgroup$

1

$\begingroup$ 9{300}$

Брент, Р. П. и Коэн, Г. Л. «Новая граница для нечетных совершенных чисел». Мат. вычисл. 53, 431-437 и S7-S24, 1989.

Брент, Р. П.; Коэн, Г.Л.; te Riele, HJJ «Улучшенные методы для нижних оценок нечетных совершенных чисел». Math. Comput. 57, 857-868, 1991.

Гай, Р. К. «Совершенные числа». §B1 в нерешенных проблемах числа Теория, 2-е изд. Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 44–45, 1994.

.

$\endgroup$

9{300}$.

См. также предварительное объявление OddPerfect.org.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Существуют ли нечетные совершенные числа? Новые результаты по старой задаче « Ученый-математик

Евклид, из «Афинской школы» Рафаэля, Музей Ватикана, Рим, фото любезно предоставлено Институтом математики Клэя

Совершенные числа

Совершенное число — это положительное целое число, делители которого (не считая самого себя) составляют целое число. Наименьшее совершенное число $6$, так как $6 = 1 + 2 + 3$. Далее 28 долларов = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 долларов, затем 496 долларов = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 долларов и 8128 долларов = 1 + 2 + 4 + 8 + 16. + 32 + 64 $ + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 $. 9n – 1)$ (также опуская ясное условие, что $n$ должно быть простым). В первом веке нашей эры еврейский теолог Филон Александрийский утверждал, что Земля была создана за $6$ дней, а Луна обращается вокруг Земли за $28$ дней, поскольку $6$ и $28$ совершенны. В начале пятого века нашей эры христианский богослов Августин Гиппопотам повторил утверждение, что Бог создал Землю за 6$ дней, потому что 6$ — наименьшее совершенное число.

В 12 веке египетский математик Исмаил ибн Фаллус вычислил 5-е, 6-е и 7-е совершенные числа $(33550336, 8589р – 1$. Этот результат теперь известен как теорема Евклида-Эйлера. Дополнительную информацию об истории и предыстории совершенных чисел см. в этой статье в Википедии.

Нечетные совершенные числа

Теорема Евклида-Эйлера довольно хорошо завершила случай для четных совершенных чисел. А как насчет нечетных совершенных чисел (OPN)? Существуют ли такие целые числа? Этот вопрос упорно оставался без ответа на протяжении веков. Известно множество ограничений на свойства любого возможного OPN, и с каждым годом доказывается все больше ограничений. Современные математики вторят мнению Джеймса Сильвестра, написавшего

продолжительное размышление на эту тему убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] — его побег, так сказать, из сложной паутины условий, которые окружают его со всех сторон, — будет недолгим. чуда.

Вот некоторые из известных ограничений на любые возможные OPN $N$, перечисленные примерно в хронологическом порядке:

1. $N$ не должно делиться на 105 (Sylvester, 1888).
2. Если $N$ не делится на $3, 5$ или $7$, то оно должно иметь не менее $27$ простых множителей (Нортон, 192) (1 + 22021) = 397171152378 = 2 \cdot 198585576189.$$ Однако это вычисление неверно, так как $22021$ не простое число; на самом деле $\sigma(22021) = 23622$, а не $22022$, как указано выше. Таким образом, приведенный выше расчет, который на первый взгляд подтверждает, что $198585576189$ является OPN, недействителен. Правильное значение сигмы для числа Декарта равно $\sigma(198585576189) = 426027470778$.

   В 1999 году Джон Войт из Дартмутского университета обнаружил другую разновидность подделки нечетного совершенного числа: $−220179.2) (1 + (-127)) = -44035915806 = 2 \cdot (-22017975903).$$ Но опять же, это вычисление неверно, в данном случае потому, что рассматриваемое целое число отрицательно, а $\sigma(-127 ) = -128$, а не -126$, как указано выше. Но в обоих случаях эти «подделки» определенно интересны и, возможно, могут вдохновить линию атаки, подтверждающую, что OPN просто не может существовать.

   Компьютерный поиск

   Самая последняя разработка здесь связана с командой под руководством Пейса Нильсена и Пола Дженкинса из Университета Бригама Янга, к которой впоследствии присоединились Майкл Гриффин и Ник Андерсен, которые приступили к компьютерному поиску дополнительных поддельных нечетных совершенных чисел. После примерно 60 лет работы ЦП команда обнаружила 21 подделку с шестью или менее простыми основаниями. Здесь команда смягчила критерии несколькими способами, разрешив непростые основания (как у Декарта), отрицательные основания (как у Войта), а также подделки, основания которых имеют одни и те же простые множители (по правилам, данное простое число может появляться только один раз в списке факторизации).

   Откуда такой интерес к розыгрышам? Согласно Нильсену,

   Любое поведение большего набора должно сохраняться для меньшего подмножества. … Таким образом, если мы обнаружим какое-либо поведение подделок, которое не относится к более ограниченному классу, мы можем автоматически исключить возможность OPN.

   На данный момент они обнаружили несколько интересных фактов о подделках, но ни одно из этих свойств не исключает существования реальных нечетных совершенных чисел. Например, команда обнаружила, что каждая из 21 обнаруженной ими подделки, за исключением примера Декарта, имеет по крайней мере одно отрицательное основание. Если бы это численное наблюдение можно было доказать, то это доказывало бы, что нечетных совершенных чисел не существует, поскольку по определению основания нечетных совершенных чисел должны быть как положительными, так и простыми числами.

   Итак, поиск продолжается. Будет ли работать этот подход? Войт, например, не уверен, что даже с учетом результатов команды УБЯ мы близки к окончательной атаке на проблему. Пол Поллак из Университета Джорджии добавляет:

   Было бы здорово, если бы мы могли взглянуть на список подделок и увидеть какое-то свойство и как-то доказать, что нет OPN с этим свойством.