Метод лагранжа интерполяция: Недопустимое название | Математика | Fandom

Интерполяция, полином Лагранжа

3. 1. Общие положения

В вычислительной практике часто приходится иметь дело с функциями , заданными таблицами их значений для некоторого конечного множества значений х: .

В процессе же решения задачи необходимо использовать значения для промежуточных значений аргумента. В этом случае строят функцию Ф(x), достаточно простую для вычислений, которая в заданных точках x₀, x₁,…,x_n, называемых узлами интерполяции, принимает значения , а в остальных точках отрезка (x₀,x_n), принадлежащего области определения , приближенно представляет функцию с той или иной степенью точности.

При решении задачи в этом случае вместо функции оперируют с функцией Ф(x). Задача построения такой функции Ф(x) называется задачей интерполирования.

Чаще всего интерполирующую функцию Ф(x) отыскивают в виде алгебраического полинома.

2. Интерполяционный полином

Для каждой функции , определенной на [a, b], и любого набора узлов x₀, x₁,….,x_n( x_i [a, b], x_ix_j при ij ) среди алгебраических многочленов степени не выше n существует единственный интерполяционный многочлен Ф(x), который может быть записан в форме:

, (19)

где — многочлен n-ой степени, обладающий следующим свойством:

(20)

Для интерполяционного полинома многочлен имеет вид:

(21)

Многочлен (19) и решает задачу интерполирования и называется интерполяционным полиномом Лагранжа.

1. Пример

В качестве примера рассмотрим функцию вида на интервале заданную табличным способом.

X	1	2	3	4
F(x)	1	4	9	16

Необходимо определить значение функции в точке x — 2.5. Воспользуемся для этого полином Лагранжа. Исходя из формул (((19) и (21)) запишем этот полином в явном виде:

(22)

Тогда подставляя в формулу (22) исходные значения из нашей таблицы получим

Полученный результат соответствует теории т. е. .

3. Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в другой форме:

(23)

Запись полинома в виде (23) более удобна для программирования.

При решении задачи интерполяции величина n называется порядком интерполирующего полинома. При этом, как видно из формул (19) и (23), число узлов интерполирования всегда будет равно n+1 и значение x, для которого определяется величина , должно лежать внутри области определения узлов интерполяции т.е.

. (24)

В некоторых практических случаях общее известное число узлов интерполяции m может быть больше, чем порядок интерполирующего полинома n.

В этом случае, прежде чем реализовывать процедуру интерполяции согласно формуле (4.5), необходимо определить те узлы интерполяции, для которых справедливо условие (24). При этом следует помнить, что наименьшая погрешность достигается при нахождении значения x в центре области интерполяции. Для обеспечения этого предлагается следующая процедура:

1. После ввода в программу значения величины х необходимо проверить условие x₀  x  x_m, где x₀ и x_m – начальное и конечное значение узловых точек интерполяции.

2. При выполнения предыдущего условия начинается поиск области интерполяции, для чего находим

   первое x_i такое, для которого выполняется условие x_i > x, при этом номер i будет соответствовать середине интервала интерполяции. Для определения области интерполяции ее левая граница будет начинаться с номера , а заканчиваться узлом с номером .

3. После выполнения пунктов 1 и 2 программируется формула (23).

Основное назначение интерполяции – это вычисление значений табулированной функции для не узловых (промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между строками».

Интерполяция, полином Лагранжа

3. 1. Общие положения

В вычислительной практике часто приходится иметь дело с функциями

, заданными таблицами их значений для некоторого конечного множества значенийх: .

В процессе же решения задачи необходимо использовать значения для промежуточных значений аргумента. В этом случае строят функцию Ф(x), достаточно простую для вычислений, которая в заданных точкахx₀, x₁,…,x_n,называемых узлами интерполяции, принимает значения , а в остальных точках отрезка (x₀,x_n), принадлежащего области определения , приближенно представляет функцию с той или иной степенью точности.

При решении задачи в этом случае вместо функции оперируют с функцией Ф(x). Задача построения такой функции Ф(x) называется задачей интерполирования. Чаще всего интерполирующую функцию Ф(x) отыскивают в виде алгебраического полинома.

2. Интерполяционный полином

Для каждой функции , определенной на [a,b], и любого набора узлов x₀, x₁,….,x_n( x_i [a,b], x_i x_j при ij ) среди алгебраических многочленов степени не выше n существует единственный интерполяционный многочлен Ф(x), который может быть записан в форме:

, (3.1)

где — многочлен n-ой степени, обладающий следующим свойством:

(3.2)

Для интерполяционного полинома многочлен имеет вид:

(3. 3)

Этот многочлен (3.1) и решает задачу интерполирования и называется интерполяционным полиномом Лагранжа.

Пример

В качестве примера рассмотрим функцию вида на интервалезаданную табличным способом.

X	1	2	3	4
F(x)	1	4	9	16

Необходимо определить значение функции в точке x-2.5. Воспользуемся для этого полином Лагранжа. Исходя из формул (3.1 и 3.3) запишем этот полином в явном виде:

(3.4).

Тогда подставляя в формулу (3.

4) исходные значения из нашей таблицы получим

Полученный результат соответствует теории т.е. .

3. Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в другой форме:

(3.5)

Запись полинома в виде (3.5) более удобна для программирования.

При решении задачи интерполяции величина n называется порядком интерполирующего полинома. При этом, как видно из формул (3.1) и (3.5), число узлов интерполирования всегда будет равно n+1 и значение x, для которого определяется величина , должно лежать внутри области определения узлов интерполяции т.е.

. (3.6)

В некоторых практических случаях общее известное число узлов интерполяции m может быть больше, чем порядок интерполирующего полинома

n.

В этом случае, прежде чем реализовывать процедуру интерполяции согласно формуле (3. 5), необходимо определить те узлы интерполяции, для которых справедливо условие (3.6). При этом следует помнить, что наименьшая погрешность достигается при нахождении значения x в центре области интерполяции. Для обеспечения этого предлагается следующая процедура:

1. После ввода в программу значения величины х необходимо проверить условие x₀  x  x_m, где x₀ и x_m – начальное и конечное значение узловых точек интерполяции.

2. При выполнения предыдущего условия начинается поиск области интерполяции, для чего находим первое x_i

   такое, для которого выполняется условие x_i > x, при этом номер i будет соответствовать середине интервала интерполяции. Для определения области интерполяции ее левая граница будет начинаться с номера , а заканчиваться узлом с номером.

3. После выполнения пунктов 1 и 2 программируется формула (3.5).

Основное назначение интерполяции – это вычисление значений табулированной функции для не узловых (промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между строками».

Формула интерполяции Лагранжа. Изучите формулу полинома Лагранжа

Формула интерполяции Лагранжа – это способ найти полином, называемый полиномом Лагранжа, который принимает определенные значения в произвольных точках. Интерполяция Лагранжа – это полиномиальное приближение N-й степени к f(x). Давайте разберемся в формуле интерполяции Лагранжа, используя решенные примеры в следующих разделах.

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций с помощью Cuemath.

Забронировать бесплатный пробный урок

Даны n различных действительных значений \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)​ и n реальных значений \(y_1, y_2, \ldots, y_n\) (не обязательно различных), является уникальным полиномом P с вещественными коэффициентами, удовлетворяющими \(P(x_i) = y_i\) для i ∈ {1, 2,. .., n}, такой, что deg(P) < n. Интерполяционная формула Лагранжа для полиномов разного порядка имеет следующий вид:

Интерполяционная формула Лагранжа первого порядка

Интерполяционная формула Лагранжа для многочленов первого порядка может быть представлена ​​как

 \(f(x) \!\!=\!\! f(x_0)\! +\! (x \!−\! x_0) \!\dfrac{f(x_0) \!−\! f(x_1)}{x_0 − x_1}\)

Использовать упрощенные обозначения \(f_0 \!=\! f( x_0), f_1 \!=\! f(x_1)\), чтобы записать:

\(f(x) \!=\! f_0 \!+ \!\dfrac{(x \!−\! x_0) }{(x_1 \!-\! x_0)} (f_1 \!-\! f_0) \\\! =\! f_0 \dfrac{(x_1 \!-\! x_0) \!-\! (x \! −\! x_0)} {(x_1 \!−\! x_0)} \!+\! \dfrac{(x \!−\! x_0)}{(x_1 \!−\! x_0)} f_1 \\ f (x) \!=\! \dfrac{(x \!-\! x_1)}{(x_0 \!-\! x_1)}f_0 \!+\! \dfrac{(x \!-\! x_0) }{(x_1 \!−\! x_0)}f_1\)

\(f(x) = \dfrac{(x − x_1)}{(x_0 − x_1} f_0 + \dfrac{(x − x_0)}{(x_1 − x_0)}f_1\)

Лагранж Секунда Формула интерполяции порядка

Интерполяционная формула Лагранжа для многочленов второго порядка может быть представлена ​​как

\(f(x) \!=\! f(x_0) \!+\! (x\! −\! x_0) \!\dfrac{f(x_0)\! −\! f(x_1)}{x_0 \!−\! x_1} \!+\!(x − x_0)(x − x_1) \!\dfrac{f( x_0, x_1) \!−\! f(x_1, x_2)}{x_0 − x_2}\) 

или, \(f(x) \!=\! f_0 \!+\! (x \!−\ ! x_0) \!\dfrac{f_0 \!-\! f_1}{x_0 \!-\! x_1} \!+\! \dfrac{(x \!-\! x_0)(x\! −\! x_1 )}{x_0 \!-\! x_2} \!\left[ \dfrac{f_0 \!-\! f_1}{x_0 \!-\! x_1} — \dfrac{f_1 \!-\! f_2}{ x_1 \!−\!x_2} \right]\)

Собирая члены для \(f_0, f_1 \text{и} f_2\), и после некоторых утомительных алгебраических манипуляций формула второго порядка может быть записана как,

\(f(x) \!=\! \dfrac {(x\! −\! x_1)(x \!− \!x_2)}{(x_0 \!−\! x_1)(x_0 \!− \!x_2)} f_0 \!+\! \dfrac{( x\! − \!x_0)(x \!−\! x_2)}{(x_1 \!−\! x_0)(x_1 \!−\! x_2)}f_1 \!+\! \dfrac{(x \ !-\! x_0)(x \!-\! x_1)}{(x_2 \!-\! x_0)(x_2 \!-\! x_1)}f_2\)

Интерполяционная формула Лагранжа для полинома N-й степени

Интерполяционная формула Лагранжа для полинома N-й степени может быть представлена ​​как

Давайте посмотрим, как использовать формулу интерполяции Лагранжа в следующем разделе примеров решения.

1. Пример 1:

     Найти значение y при x = 0 по некоторому набору значений (-2, 5), (1, 7), (3, 11), (7, 34)?

   Решение:

   Учитывая известные значения,

   х = 0; \(х_0\) = -2 ; \(х_1\) = 1 ; \(х_2\) = 3 ; \(х_3\) = 7 ; \(y_0\) = 5 ; \(y_1\) = 7 ; \(y_2\) = 11 ; \(у_3\) = 34

   Используя интерполяционную формулу Лагранжа,

   г = 21/27 + 4/96 + -77/20 + 51/54

   г = 1087/180

   Ответ: Значение y при (x = 0) = 1087/180

2. Пример 2:

     Используя формулу интерполяции Лагранжа, найдите y(10) из приведенной ниже таблицы:

   х	5	6	9	11
   и	12	13	14	16

   Решение:

   Учитывая известные значения,

   х = 10; \(х_0\) = 5 ; \(x_1\) = 6 ; \(х_2\) = 9 ; \(x_3\) = 11 ; \(у_0\) = 12 ; \(y_1\) = 13 ; \(y_2\) = 14 ; \(у_3\) = 16

   Используя интерполяционную формулу Лагранжа,

   г = 12/6 — 13/3 + 70/6 + 64/12

   г = 14,6663

   Ответ: Значение y при (x = 10) = 14,6663

перейти к слайдуперейти к слайду

Примеры интерполяции Лагранжа | eMathZone

Пример № 1 : Интерполируйте значение функции, соответствующее $$X = 4$$, используя интерполяционную формулу Лагранжа из следующего набора данных:

 

$$X$$	2	3	5	8	12
$$f\влево( X \вправо)$$	10	15	25	40	60

 

Решение : Используя формулу интерполяции Лагранжа, мы имеем
\[\begin{gathered} f\left( {{X_}} влево( {{X_o} – a} \right)\left( {{X_o} – b} \right)\left( {{X_o} – c} \right) \cdots }}{{\left( {a – b} \right)\left( {a – c} \right)\left( {a – d} \right) \cdots }}f\left( a \right) \\ \,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\frac{{\left( {{X_o} — a} \right)\left( {{ X_o} – c} \right)\left( {{X_o} – d} \right) \cdots }}{{\left( {b – b} \right)\left( {b – c} \right)\ влево( {b – d} \вправо) \cdots }}f\влево( б \вправо) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\, + \,\,\frac{{\left( {{X_o} – a} \right)\left( {{X_o} – b} \right)\left( {{X_o} – d } \right) \cdots }}{{\left( {c – a} \right)\left( {c – b} \right)\left( {c – d} \right) \cdots }}f\left ( c \right) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\frac{{\left ( {{X_o} – a} \right)\left( {{X_o} – b} \right)\left( {{X_o} – c} \right) \cdot s}}{{\left( {d — a} \right)\left( {d — b} \right)\left( {d — c} \right) \cdots}}f\left( d \right) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\, \cdots \,\,\,\ ,\, \cdots \,\,\,\,\, \cdots \,\,\,\,\, \cdots \,\,\,\,\,\, \cdots \,\,\,\ ,\,\, \cdots \,\,\,\,\,\, \cdots \,\,\,\,\,\, \cdots \\ \end{собраны} \]

\[\begin{gathered} f\left( 4 \right) = \frac{{\left( {4 – 3} \right)\left( {4 – 5} \ right)\left( {4 – 8} \вправо)\влево( {4 – 12} \вправо)}}{{\ влево( {2 – 3} \вправо)\влево( {2 – 5} \вправо)\влево( {2 – 8} \right)\left( {2 – 12} \right)}}\left( {10} \right) + \frac{{\left( {4 – 2} \right)\left( {4 – 5} \ вправо)\влево( {4 – 8} \вправо)\влево( {4 – 12} \вправо)}}{{\ влево( {3 – 2} \вправо)\влево( {3 – 5} \вправо) \влево( {3 – 8} \вправо)\влево( {3 – 12} \вправо)}}\влево( {15} \вправо) \\ \,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\, + \frac{{\left({4 – 2} \right)\left({4 – 3} \right)\left({4 – 8} \right)\ влево( {4 – 12} \вправо)}}{{\ влево( {5 – 2} \вправо)\влево( {5 – 3} \вправо)\влево( {5 – 8} \вправо)\влево( {5 – 12} \right)}}\left( {25} \right) + \frac{{\left( {4 – 2} \right)\left( {4 – 3} \right)\left( { 4 – 5} \right)\left( {4 – 12} \right)}}{{\left( {8 – 2} \right)\left( {8 – 3} \ right)\left( {8 – 5} \вправо)\влево( {8 – 12} \вправо)}}\влево( {40} \вправо) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\, + \frac{{\left({4 — 2} \right)\left({ 4 – 3} \справа)\слева( {4 – 5} \справа)\слева( {4 – 8} \справа)}}{{\ слева( {12 – 2} \справа)\слева( {12 – 3} \right)\left( {12 – 5} \right)\left( {12 – 8} \right)}}\left( {60} \right) \\ \end{собраны} \]

 

Теперь упростите термины в квадратных скобках и запишите их в скобках с соответствующим знаком
\[\begin{gathered} f\left( 4 \right) = \frac{{\left( 1 \right)\left( { – 1} \right)\left( { – 4} \right)\left( { – 8} \right)}}{{\left( { – 1} \right)\left( { – 3} \right) \left( { – 6} \right)\left( { – 10} \right)}}\left( {10} \right) + \ frac {{\left( 2 \right)\left( { – 1} \вправо)\влево( { – 4} \вправо)\влево( { – 8} \вправо)}}{{\ влево( 1 \вправо)\влево( { – 2} \вправо)\влево( { – 5 } \вправо)\влево( { – 9} \right)}}\left( {15} \right) + \frac{{\left( 2 \right)\left( 1 \right)\left( { – 4} \ right)\left( { – 8 } \right)}}{{\left( 3 \right)\left( 2 \right)\left( { – 3} \right)\left( { – 7} \right)}}\left( {25} \right) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \frac{{\left( 2 \right)\left( 1 \right) \влево( { – 1} \вправо)\влево( { – 8} \вправо)}}{{\ влево( 6 \вправо)\влево( 5 \вправо)\влево( 3 \вправо)\влево( { – 4} \right)}}\left( {40} \right) + \frac{{\left( 2 \right)\left( 1 \right)\left( { – 1} \right)\left( { – 4} \вправо)}}{{\ влево( {10} \вправо)\влево( 9\right)\left( 9 \right)\left( 4 \right)}}\left( {60} \right) \\ \end{gathered} \]

 

Теперь подсчитайте количество отрицательных знаков в числитель и знаменатель каждого члена. Например, 1-й член содержит семь отрицательных знаков, а 2-й член содержит шесть отрицательных знаков и т. д. Если число отрицательных знаков в члене четное (т.е. 0, 2, 4, 6, … и т. д.), поставьте положительный подпишите перед этим термином на следующем шаге. Если число отрицательных знаков нечетное (т. е. 1, 3, 5, 7 и т. д.), поместите отрицательный знак перед этим термином на следующем шаге. Как только знак каждого члена установлен, забудьте отрицательные знаки в каждой скобке, рассматривая их все как положительные, упростите почленно и сократите общие множители, встречающиеся в числителе и знаменателе. Таким образом,
\[\begin{gathered} f\left( 4 \right) = – \frac{{1 \times 1 \times 4 \times 8}}{{1 \times 3 \times 6 \times 10}}\left ( {10} \right) + \frac{{2 \times 1 \times 4 \times 8}}{{1 \times 2 \times 5 \times 9}}\left( {15} \right) + \frac {{2 \times 1 \times 4 \times 8}}{{3 \times 2 \times 3 \times 7}}\left( {25} \right) \\ \,\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, – \frac{{2 \times 1 \times 1 \times 8}}{{6 \times 5 \times 3 \ раз 4}}\left( {40} \right) + \frac{{2 \times 1 \times 1 \times 4}}{{10 \times 9 \times 7 \times 4}}\left( {60} \справа) \\ \end{собраны}\]

\[ \begin{gathered} f\left( 4 \right) = – \frac{{16}}{9} + \frac{{32}}{3} + \frac{{800}}{{ 63}} – \frac{{16}}{9} + \frac{{12}}{{63}} \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\, = \frac{{ – 112 + 672 + 800 – 112 + 12}}{{63}} = \frac{{1260}}{{63}} = 20 \\ \end{собрано} \ ]

 

Следовательно, значение функции, соответствующей $$X = 4$$ , равно $$20$$.

 

Пример № 2 : Население штата Миссисипи в течение трех переписных периодов было следующим:

Год:	1951	1961	1971
Население (млн):	2,8	3,2	4,5

 

Интерполировать население в течение 1966.

Решение : Используя формулу интерполяции Лагранжа, мы имеем
$$a = 1951,\,\,\,\,\,\,\,b = 1961,\,\,\ ,\,\,\,\,c = 1971$$      $$X = 1966$$

Если мы перейдем к интерполяции с этими значениями, мы можем ошибиться в наших вычислениях. Поэтому мы должны уменьшить эти значения путем (1) вычитания некоторых значений в качестве начала, например, 1951, и (2) если возможно, разделить каждое вычитаемое значение на общий множитель. Мы можем использовать либо обе техники редукции, либо только первую. Таким образом, вычитая 1951 в качестве начала и деления на общий множитель 5, новые значения равны
$${a_1} = 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{b_1} = 2 ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{c_1} = 4$$         $${X_1} = 3$$

Подставив их в интерполяционную формулу Лагранжа, мы получим
\ [\ begin{gathered} Pop\left( {1966} \right) = \frac{{\left({3 — 2} \right)\left({3 — 4} \right)}}{{\left( {0 – 2} \right)\left( {0 – 4} \right)}}\left( {2.8} \right) + \frac {{\left( {3 – 0} \right)\left( { 3 – 4} \right)}}{{\left( {2 – 0} \right)\left( {2 – 4} \right)}}\left( {3.2} \right) + \frac{{\ влево( {3 – 0} \вправо)\влево( {3 – 2} \вправо)}}{{\ влево( {4 – 0} \вправо)\влево( {4 – 2} \вправо)}}\ влево( {4.5} \вправо) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( 1 \right)\left({- 1} \right)}}{{\left({- 2} \right)\left ( {– 4} \right)}}\left( {2.