Маткад minimize: Оптимизация функций одной и нескольких переменных в PTC MathCAD — Cadregion.ru

Оптимизация функций одной и нескольких переменных в PTC MathCAD — Cadregion.ru

1. Поиск экстремума функции

Задачи поиска экстремума функции означают нахождение ее максимума (наибольшего значения) или минимума (наименьшего значения) в некоторой области определения ее аргументов. Ограничения значений аргументов, задающих эту область, как и прочие дополнительные условия, должны быть определены в виде системы неравенств и (или) уравнений. В таком случае говорят о задаче на условный экстремум.

Для решения задач поиска максимума и минимума в Mathcad имеются встроенные функции Minerr, Minimize и Maximize. Все они используют те же градиентные численные методы, что и функция Find для решения уравнений.

2. Экстремум функции одной переменной

Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального экстремума. Последние называют еще задачами оптимизации. Рассмотрим конкретный пример функции f(x), показанной графиком на рис.2 на интервале (-2,5). Она имеет глобальный максимум на левой границе интервала, глобальный минимум, локальный максимум, локальный минимум и локальный максимум на правой границе интервала (в порядке слева направо).

В Mathcad с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Последний путь таит в себе некоторую опасность уйти в зону другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее из соображений экономии времени.

Рис. 1. График функции f(х)=х⁴+5х³-10х

Построим график заданной функции (рис.

1). По графику видны участки локальных экстремумов функции.

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

· Minimize (f, x1, … ,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

· Maximize (f, х1, … ,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;

• f (x1, … , хм,…) — функция;

• x1, … , xм — аргументы, по которым производится минимизация (максимизация).

Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения. Примеры вычисления экстремума функции одной переменной (рис.1) без дополнительных условий показаны в листинге на рис.2. Поскольку никаких дополнительных условий в них не вводится, поиск экстремумов выполняется для любых значений.

Рис.2. Поиск локальных экстремумов функции одной переменной

Как видно из листинга, существенное влияние на результат оказывает выбор начального приближения, в зависимости от чего в качестве ответа выдаются локальные различные экстремумы. В последнем случае численный метод вообще не справляется с задачей, поскольку начальное приближение х=-10 выбрано далеко от области локального максимума, и поиск решения уходит в сторону увеличения f (х).

3. Условный экстремум

В задачах на условный экстремум функции минимизации и максимизации должны быть включены в вычислительный блок, т. е. им должно предшествовать ключевое слово Given. В промежутке между Given и функцией поиска экстремума с помощью булевых операторов записываются логические выражения (неравенства, уравнения), задающие ограничения на значения аргументов минимизируемой функции. На рис.3 показаны примеры поиска условного экстремума на различных интервалах, определенных неравенствами. Сравните результаты работы этого листинга с двумя предыдущими.

Рис. 3. Три примера поиска условного экстремума функции

Не забывайте о важности выбора правильного начального приближения и в случае задач на условный экстремум. Например, если вместо условия — 3<х<0 в последнем примере листинга задать -5<х<0, то при том же самом начальном х=-10 будет найден максимум Maximize(f,x) =-0.944, что неверно, поскольку максимальное значение достигается функцией f (х) на левой границе интервала при х=-5. Выбор начального приближения х=-4 решает задачу правильно, выдавая в качестве результата Maximize (f ,x) =-5

.

4. Экстремум функции многих переменных

Вычисление экстремума функции многих переменных не несет принципиальных особенностей по сравнению с функциями одной переменной. Поэтому ограничимся примером (рис.4) нахождения минимума функции, показанной в виде графика трехмерной поверхности (рис. 4).

Рис. 4. Минимум функции двух переменных

Поиск минимума можно организовать и с помощью функции Minerr. Для этого в листинге (рис.4) надо поменять имя функции Minimize на Minerr, а после ключевого слова Given добавить выражение, приравнивающее функцию f (х,у) значение, заведомо меньшее минимального, например f (х,у) =0.

Скачать пример

Экстремумы функций в Мathcad

Для поиска экстремумов в Mathcad существует две функции:

— Minimize (y,x)

— для отыскания значения х, соответствующего локальному минимуму функции у(х);

— Maximize (y,x) — для отыскания значения х, соответствующего локальному максимуму функции у(х).

Так как у(х) может иметь несколько локальных экстремумов, а функции Minimize (y,x) и Maximize (y,x) позволяет найти только одно значение, то в Mathcad дополнительно задается начальное приближение переменной х. В результате находится значение экстремума функции y(x), ближайшее к заданному начальному приближению переменной х.

При отыскании экстремумов посредством записи неравенства может быть задана некоторая область, в границах которой производится отыскание экстремума. В этом случае записи неравенства предшествует введение ключевого слова given. На листинге представлен пример отыскания экстремумов фунции в Mathсad.

К сожалению, функция не всегда дает корректные результаты. Например, в примере на листинге при поиске максимума в диапазоне -2<x<0 функция дает результат –0.452. В то же время в другом примере она дает совсем иной результат:

В этом можно убедиться и по графику функции на листинге

Отсюда в Mathcad можно сделать вывод, что результаты вычислений функций Minimize и Maximize могут зависеть от предшествующих вычислений. И поэтому применять данные функции надо с осторожностью, сверяя результаты по графикам функции.

Если значение аргумента тригонометрической функции (sin, cos, tg) задается в градусах, то  в Mathcad необходимо перевести его в радианы. Это достигается посредством функции deg.

Примеры:

 

 

 

 

 

 

 

При организации вычислений в Mathcad необходимо учитывать следующие особенности. Выполнение расчетов в Mathcad происходит слева направо и сверху вниз. Данную последовательность следует учитывать при вводе алгоритма задачи и строго ей следовать во избежание ошибок и получения неверных результатов.

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет — Сибстрин

Студенты НГАСУ (Сибстрин) проектируют для компании ПИК – крупнейшего девелопера России У группы студентов и магистрантов НГАСУ (Сибстрин), в которую входят представители института строительства, института архитектуры и градостроительства и инженерно-экологического факультета, продолжается производственная практика в группе компаний ПИК. ГК ПИК – крупнейшая российская жилищно-строительная организация, реализующая комплексные проекты в десяти регионах России с фокусом на Москву и Московскую область. Она работает на рынке с 1994 года и специализируется на строительстве жилья комфорт-класса со всей необходимой инфраструктурой. На сегодняшний день ПИК является одним из лидеров в сфере недвижимости по объему ежегодного ввода жилья в эксплуатацию в России и Европе.

Повышение стипендии для успешных студентов-первокурсников набора 2021! Ученый совет НГАСУ (Сибстрин) принял решение ОБ УВЕЛИЧЕНИИ РАЗМЕРА СТИПЕНДИИ НА100 % С 1 сентября 2021 года: студентам бакалавриата и специалитета 1 курса в 1 семестре, поступившим в университет на бюджетной основе с суммой баллов ЕГЭ от 240 и выше (для студентов направления 07.00.00 Архитектура — средний балл по ЕГЭ от 80 и выше). студентам бакалавриата и специалитета 1 курса в 1 семестре, поступившим в университет на бюджетной основе — победителям (призерам) заключительного этапа всероссийской олимпиады по общеобразовательным предметам. Таким образом, для перечисленных категорий студентов академическая стипендия составит 7400.

Студенты-гидротехники посетили с экскурсией гидроузел на реке Тула В период обучения на втором курсе студенты кафедры гидротехнического строительства, безопасности и экологии НГАСУ (Сибстрин), обучающиеся по профилю «Гидротехническое строительство», проходят летнюю технологическую практику, которая дает представление о специфике их будущей профессии. В рамках данной практики студенты 271 группы посетили с обзорной экскурсией гидроузел на реке Тула. Этот объект недавно был реконструирован и отремонтирован. Казалось бы, Тула – небольшая речка, но весной там бывают очень высокие паводки. Уровень воды поднимается на несколько метров, возрастает нагрузка на плотину, во много раз увеличиваются расходы воды через водосливную плотину, которые могут нанести большой вред прилегающей территории.

Море, горы, аэропорт: производственная практика студентов-строителей НГАСУ (Сибстрин) на крупнейшей стройке юга России Благодаря стратегическому партнеру университета – ЗАО «ЛОММЕТА» – студенты работают не на обычном объекте, а на крупнейшей стройке России – возведении нового терминала аэропорта «Геленджик» в Краснодарском крае. Современный аэровокзальный комплекс, строительство которого будет завершено в декабре этого года, значительно улучшит транспортную инфраструктуру курортной зоны юга страны. В Геленджик приехали 23 студента 3-5 курсов бакалавриата по профилю «Промышленное и гражданское строительство» и специалитета «Строительство уникальных зданий и сооружений». ЗАО «ЛОММЕТА» оплатило студентам стоимость проезда в Геленджик и обратно, проживание и питание, а также выплачивает заработную плату. Непосредственно производственная практика проходит с 24 июня по 28 июля, однако у желающих есть возможность остаться работать на объекте и после ее окончания.

Моделирование задач линейного программирования в MathCad

Моделирование решения задач линейного программирования в MathCad

Выполнила: студентка группы МДИ-117

Федюшкина В. А.

Проверила: Кормилицына Т. В.

Задачи линейного программирования в MathCad

К задачам линейного программирования относят задачи:

• рационального расхода материалов и сырья;
• производственной программы какой-либо компании;
• наилучшего размещения и концентрации производства;
• создание наиболее прибыльного плана перевозок, работы транспорта;
• управление производственными запасами;
• множество других задач, которые принадлежат к этой сфере.

Линейным программированием называется наука, изучающая исследования и поиск наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестное которой наложены ограничения.

, Булевый .»

Алгоритм решения задач линейного программирования в MathCad

1. Установить режим автоматических вычислений.

2. Определить целевую функцию как функцию трех переменных.

3. Задать начальные приближения для всех переменных.

4. Ввести ключевое слово Given .

5. Ввести выражения из системы ограничений и условия неотрицательности переменных. Для ввода знаков , Булевый .

Алгоритм решения задач линейного программирования в MathCad

6. Задать вектор-столбец, элементы которого переменные х 1 , х 2 , х 3 . Ввести знак присваивания и функцию Maximize ( f , x 1 , x 2 , x 3 ) для решения задачи линейного программирования на максимум, или Minimize ( f , x 1 , x 2 , x 3 ) для решения задачи линейного программирования на минимум.

7. Еще раз ввести вектор-столбец с переменными x 1 , x 2 , x 3 , нажать знак равенства и будет получено оптимальное решение.

8. Вычислить значение целевой функции в точке экстремума.

9. Оформить документ и сохранить его в файле.

Решение задачи линейного программирования

Задача 1. Найти максимальное значение функции: при заданных ограничениях:

Решение:

• Специальной переменной ORIGIN присваиваем значение 1.

• Вводим исходные данные задачи в матричной форме.

Решение:

3. Вводим линейную целевую функцию.

4. Задаем начальные значения переменным задачи.

5. Вводим ограничения задачи в матричной форме.

Решение:

6. Определим оптимальное решение задачи с помощью встроенной функции Maximize (в случае поиска максимума функции) или Minimize (в случае поиска минимума функции).

Решение транспортной задачи

Задача 2. Имеются n пунктов производства и т пунктов распределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции с і -го пункта производства в j -й центр распределения приведена в таблице, где под строкой понимается пункт производства, а под столбцом — пункт распределения. Кроме того, в этой таблице в i -й строке указан объем производства в і -м пункте производства, а в j -м столбце указан спрос в j -м центре распределения. Необходимо составить план перевозок по доставке требуемой продукции в пункты распределения, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

Решение транспортной задачи

Решение:

1. Ввели исходные данные в матричной форме.

Решение:

2. Ввели линейную целевую функцию.

3. Задали начальные значения переменных:

4. Ввели ограничения задачи в матричной форме.

Решение:

5. Определили оптимальное решение задачи с помощью встроенной функции Minimize:

Решение задачи о назначениях

Задача 3. Имеются n рабочих и т видов работ. Стоимость выполнения і -и работником j -й работы приведена в таблице, где рабочему соответствует строка, а работе – столбец. Необходимо составить план работ так, чтобы все работы были выполнены, каждый рабочий был занят только на одной работе, а суммарная стоимость выполнения всех работ была минимальной.

Решение задачи о назначениях

Решение:

1. Ввели исходные данные в матричной форме.

Решение:

2. Ввели линейную целевую функцию.

3. Задали начальные значения переменных:

4. Ввели ограничения задачи в матричной форме.

Решение:

5. Определили оптимальное решение задачи с помощью встроенной функции Minimize:

Вывод

MathCad – система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

Опыт работы с системой MathCad позволяет сделать вывод, что студенты, аспиранты, инженеры и ученые получили превосходный инструмент для повседневной работы.

Список использованной литературы

• Аверьянова С.Ю., Растеряев Н.В. Содержательные задачи линейного программирования и их решение с помощью ЭТ MS EXCEL и пакета MATHCAD: учебное пособие/ Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2014. – 132 с.
• Гольштейн Е. Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. — М.: Наука, 1969. – 382 с.
• Капустин Е.И. Решение некоторых классов математических задач в программе Excel. URL://exponenta.ru/educat/systemat/kapustin/003.asp/ .
• Карманов В.Г. Математическое программирование: Учеб. Пособие. М.: Физматлит, 2001. 263 с.
• Кудрявцев Е.М. MathCad-2000. М.: ДМК Пресс, 2001. С. 576.
• Кузнецова Л.Г. Системы компьютерной математики / Учебное пособие. Омск, 2003. С. 108.
• Растеряев, Н.В., Герасименко Ю.Я. Решение оптимизационных задач в среде MATHCAD и EXCEL: Учеб. пособие – Новочеркасск: Южно-российский гос. тех. ун-т (НПИ), 2004.- 100 с.

Численные методы решения задач оптимизации

Численное решение задач оптимизации

Актуализация опорных знаний.

Численные методы одномерной оптимизации.

Метод дихотомии.

Метод золотого сечения.

Метод Фибоначчи.

Встроенные функции MathCAD для поиска локального минимума/максимума.

Пример использования.

Условный экстремум.

Экстремум функции многих переменных.

Контрольные вопросы.

Литература

Царегородцева, В. В. Вычислительная математика: лабораторный практикум по курсам «Численные методы» и «Вычислительная математика» для студентов всех специальностей и направлений подготовки / В. В. Царегородцева, Г. И. Севодина; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2014. – 78 с.

Актуализация опорных знаний

Постановка задачи оптимизации сводится к отысканию экстремума (наибольшего или наименьшего значения) скалярной функции f(х) одной или многих переменных.

Оптимизируемую функцию f(x) называют целевой функцией, или критерием оптимальности.

Рассмотрим задачу поиска минимального значения функции f(x) одной переменной и запишем эту задачу следующим образом:

Значение х*, определяющее минимум целевой функции, называется оптимальным.

Отметим, что задачу максимизации можно заменить эквивалентной ей задачей минимизации или наоборот: минимальное значение функции равно максимальному значению функции , взятому с противоположным знаком, т. е.

Если на переменную х или некоторые функции, характеризующие качественные свойства объекта, накладываются ограничения в виде равенств или неравенств, то такую задачу называют задачей условной оптимизации. При отсутствии ограничений имеет место задача безусловной оптимизации.

На заданной области определения независимой переменной у функции может быть несколько локальных минимумов и максимумов, а также по одному глобальному минимуму и максимуму (рисунок 1). На отрезке – точки локального максимума, а – локального минимума. В точке реализуется глобальный максимум, а в точке – глобальный минимум.

Рисунок 1 – Экстремумы функции

Как известно, в курсе математического анализа для определения точки оптимума используют необходимое условие существования экстремума – равенство нулю первой производной функции одной переменной или равенство нулю частных производных для функции многих переменных. Однако при решении практических задач вычисление производных функции бывает затруднительно или невозможно, если функция выражена неявно. В этих случаях приходится использовать аппарат численных методов для нахождения приближенного значения решения задачи с заранее заданной степенью точности.

На данном занятии рассматриваются только некоторые безградиентные методы одномерного поиска экстремума.

Численные методы одномерной оптимизации

К численным методам одномерной оптимизации относятся методы:

— дихотомического деления,

— золотого сечения,

— чисел Фибоначчи,

— полиномиальной аппроксимации

и ряд их модификаций.

Основная идея этих методов заключается в разбиении интервала поиска экстремума на несколько частей в определённом отношении, вычислении функции в этих точках и выборе наименьшего значения. После этого интервал поиска сужается, и процедура повторяется. Критерием окончания поиска может служить соотношение:

т. е. длина нового, суженного интервала поиска экстремума по модулю на i-й итерации меньше или равна заданной степени точности решения задачи.

Метод дихотомии

Пусть задан отрезок , на котором имеется один минимум (в общем случае нечетное число минимумов). Согласно методу дихотомического деления (рисунок 2, а) отрезок делят пополам и в точках, отстоящих от центра с отрезка на величину допустимой погрешности , рассчитывают значения целевой функции и .

Рисунок 2 – Одномерная минимизация:
а – дихотомическое деление; б – золотое сечение

Если окажется, что , то минимум находится на отрезке , если , то минимум – на , если ) – на . Таким образом, на следующем шаге вместо отрезка нужно исследовать суженный отрезок , или . Шаги повторяются, пока длина отрезка не уменьшится до величины погрешности . Таким образом, требуется не более n шагов, где n – ближайшее к целое значение, но на каждом шаге целевую функцию следует вычислять дважды.

Пример 1. Пусть задана функция одной переменной вида

Найти её минимальное значение на интервале [2, 5 ] с заданной точностью методом дихотомического деления.

Программа, реализованная в системе MathCAD, приведена на рисунке 3. Для получения результата с заданной степенью точности потребовалось выполнить 19 итераций.

Метод золотого сечения

В соответствии с методом золотого сечения (рис. 2, б) внутри отрезка выделяют две промежуточные точки и на расстоянии от его конечных точек, где – длина отрезка. Затем вычисляют значения целевой функции в точках и . Если , то то минимум находится на отрезке , если , то на отрезке , если , то на отрезке .

Рис. 3. Программа поиска минимума методом дихотомического деления

Следовательно, вместо отрезка теперь можно рассматривать отрезок , или , т. е. длина отрезка уменьшилась не менее чем в

раз. Если подобрать значение α так, чтобы в полученном отрезке меньшей длины одна из промежуточных точек совпадала с промежуточной точкой от предыдущего шага, т. е. в случае выбора отрезка точка будет совпадать с точкой , а в случае выбора отрезка точка – с точкой , то это позволит сократить число вычислений целевой функции на всех шагах (кроме первого) в 2 раза.

Условие получения такого значения формулируется следующим образом:

откуда с учетом (*) имеем = 0,382. Это значение и называют золотым сечением.

Алгоритм поиска экстремума складывается из следующих этапов:

1) вычисляются значения функции на концах исходного интервала ;

2) вычисляются промежуточные точки интервала по формулам:

а также значения функции в этих точках;

3) по найденным значениям функции определяется её минимальное значение на интервале;

4) в зависимости от того в какой точке расположен минимум ( или ) определяется подынтервал, в котором локализован минимум – или ;

5) в новом интервале определяется точка по одной из формул п. 2 и итерационный процесс поиска продолжается с п. 3 до тех пор пока не будет достигнут критерий окончания поиска, например, такой:

Пример 2. Для функции (см. пример 1) найти минимальное значение методом золотого сечения. Программа поиска решения приведена на рисунке 4. Здесь интервал поиска задан вектором с, а точки деления интервала в заданном соотношении заданы вектором z.

Процедура отсечения интервала задаётся функцией , в которой на каждой итерации из четырёх значений функции выбирается минимальное, а затем определяется новый соответствующий подынтервал. Координаты точек деления в новом интервале и соответствующие значения целевой функции находятся в процедуре-функции ming(eps, c, f).

Здесь задаётся число eps – точность решения задачи, вектор c и функция f. Как видно из приведенных результатов, для достижения заданной точности в методе золотого сечения требуется сделать 28 итераций. Этот метод гарантирует нахождение экстремума в самых неблагоприятных для поиска областях, однако обладает медленной сходимостью.

Рис.4. Метод золотого сечения

Метод Фибоначчи

Рис. 5. Метод Фибоначчи

Встроенные функции MathCAD для поиска локального минимума/максимума

Для численного решения задач поиска локального максимума и минимума в MathCAD имеются встроенные функции Minerr, Minimize и Maximize.

Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется сначала просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область и вычислить все локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший). Другим вариантом будет простое сканирование с вычислением значений функции, позволяющее выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности.

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно:

Пример использования

Всем аргументам функции предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения. Примеры вычисления локальных экстремумов функций одной перемен-ной показаны на рисунке 7.7.

Если начальное приближение выбрать удачно, то итерационный процесс алгоритма сойдется к экстремуму функции, а если выбрать его вдали от него, на участке, где функция неограниченно возрастает, численный метод вообще не справится с задачей, выдавая сообщение об ошибке. Например, при поиске максимума (см. рисунок 7) начальное приближение (x = 10) выбрано далеко от области локального максимума, и поиск решения уходит в сторону увеличения функции.

Условный экстремум

Экстремум функции многих переменных

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте постановку задачи оптимизации.

2. Что такое локальный и глобальный экстремумы?

3. Какие ограничения имеет применение классических методов поиска оптимума?

4. Назовите численные методы поиска оптимума функции одной переменной.

5. Разберите алгоритмы методов одномерного поиска оптимума: дихотомии, золотого сечения, чисел Фибоначчи.

6. Сформулируйте критерий окончания поиска решения в итерационных методах.

7. Какие встроенные в MathCAD функции для решения задачи оптимизации вы знаете?

8. Какие функции могут применяться для решения задачи условной оптимизации?

Практическое занятие. Инструкционная карта

 на выполнение практического занятия по дисциплине «Компьютерная математика»

Тема: Численное решение задач оптимизации

Цель работы: освоить численное решение задач одномерной оптимизации различными методами; изучить возможности пакета MathCAD для поиска экстремума функции одной и двух переменных

Норма времени: 2 часа.

После выполненных работ студент должен

знать: основные методы одномерной оптимизации: дихотомии, золотого сечения, Фибоначчи;

уметь: решать задачи оптимизации с использованием пакета MathCAD.

Оснащение рабочего места: ПК, инструкционные карты, конспект.

Вводный инструктаж.

Метод дихотомии (половинного деления).

Метод золотого сечения.

Метод Фибоначчи.

Встроенные функции MathCAD для поиска локального минимума/максимума.

Условный экстремум.

Экстремум функции нескольких переменных.

Задания для самостоятельного выполнения.

Задание 1 . Поиск минимума функции одной переменной.

Задание 2. Поиск оптимума функции двух переменных.

Контрольные вопросы.

Литература:

Царегородцева, В. В. Вычислительная математика: лабораторный практикум по курсам «Численные методы» и «Вычислительная математика» для студентов всех специальностей и направлений подготовки / В. В. Царегородцева, Г. И. Севодина; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2014. – 78 с.

Вводный инструктаж

Постановка задачи оптимизации сводится к отысканию экстремума (наибольшего или наименьшего значения) скалярной функции f(х) одной или многих переменных.

Оптимизируемую функцию f(x) называют целевой функцией, или критерием оптимальности.

К численным методам одномерной оптимизации относятся методы: дихотомического деления; золотого сечения; чисел Фибоначчи; полиномиальной аппроксимации.

Основная идея этих методов заключается в разбиении интервала поиска экстремума на несколько частей в определённом отношении, вычислении функции в этих точках и выборе наименьшего значения. После этого интервал поиска сужается, и процедура повторяется. Критерием окончания поиска может служить соотношение:

т. е. длина нового, суженного интервала поиска экстремума по модулю на i-й итерации меньше или равна заданной степени точности решения задачи.

Метод дихотомии (половинного деления)

Согласно методу дихотомического деления отрезок делят пополам и в точках, отстоящих от центра с отрезка на величину допустимой погрешности , рассчитывают значения целевой функции  и .

Если окажется, что  , то минимум находится на отрезке , если , то минимум – на , если )  – на  . Таким образом, на следующем шаге вместо отрезка  нужно исследовать суженный отрезок ,  или  . Шаги повторяются, пока длина отрезка не уменьшится до величины погрешности . Таким образом, требуется не более n шагов, где n – ближайшее к  целое значение, но на каждом шаге целевую функцию следует вычислять дважды.

Пример программы поиска минимума методом дихотомии приведен на рис.1.

Метод золотого сечения

В соответствии с методом золотого сечения внутри отрезка  выделяют две промежуточные точки  и  на расстоянии  от его конечных точек, где  – длина отрезка. Затем вычисляют значения целевой функции  в точках  и  . Если  , то то минимум находится на отрезке , если  , то на отрезке , если  , то на отрезке  .

Алгоритм метода золотого сечения складывается из следующих этапов:

1) вычисляются значения функции на концах исходного интервала  ;

2) вычисляются промежуточные точки интервала по формулам: , а также значения функции в этих точках;

3) по найденным значениям функции определяется её минимальное значение на интервале;

4) в зависимости от того в какой точке расположен минимум ( или  ) определяется подынтервал, в котором локализован минимум –  или  ;

5) в новом интервале определяется точка по одной из формул п. 2 и итерационный процесс поиска продолжается с п. 3 до тех пор пока не будет достигнут критерий окончания поиска, например, такой: 

Пример программы приведен на рис. 2.

 

Рис. 1. Программа поиска минимума методом дихотомического деления

Рис. 2. Метод золотого сечения

Метод Фибоначчи

Согласно этому методу при разбиении отрезка используют числа Фибоначчи . Последовательность Фибоначчи образуется по правилу: 

Ряд Фибоначчи имеет вид: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144 …

Алгоритм поиска с использованием числе Фибоначчи включает следующие шаги:

1) По заданной точности  рассчитывается вспомогательное число  ;

2) находится ближайшее к N число Фибоначчи  ;

3) определяется минимальный шаг поиска по формуле ;

4) задается начальное значение счетчика шагов i = 0;

5) вычисляются значения  и соответствующие значения функции в этих точках  и ;

6) в зависимости от соотношения  и  выбирается новый интервал локализации минимума:  или  ;

7) внутри полученного интервала (значение счетчика i увеличивается на 1) находится новая точка (x или x1) , симметричная к уже имеющейся точке и отстоящая от конца интервала на величину  , где i – номер шага. В этой точке рассчитывается значение f(x). Указанный процесс продолжается с пункта 5 до тех пор, пока не будут исчерпаны все числа Фибоначчи в убывающей последовательности  , i = 0; 1; 2; …, т. е. пока i не станет равно s – 2. Это будет соответствовать ситуации достижения решения с заданной точностью.

Пример программы приведен на рис. 3.

Рис. 3. Метод Фибоначчи

Встроенные функции MathCAD для поиска локального минимума/максимума

Для численного решения задач поиска локального максимума и минимума в MathCAD имеются встроенные функции Minerr, Minimize и Maximize. Пример приведен на рис.4.

 

Рис. 4. Поиск локальных экстремумов

Условный экстремум

В задачах на условный экстремум встроенные функции минимизации и максимиза-ции должны быть включены в вычислительный блок (solve block), который имеет следующую структуру:

Начальные приближения переменных

Given

Ограничительные условия

Выражения с функциями Minerr, Minimize или Maximize

Экстремум функции нескольких переменных

Вычисление экстремума функции многих переменных не несет принципиальных осо-бенностей по сравнению с функциями одной переменной. Пример нахождения максимума и минимума функции, показанной в виде графика трехмерной поверхности, приведен на рис. 5. Следует обратить внимание к тому, как с помощью неравенств, задается область на плоскости (x, y).

Задания для самостоятельного выполнения

Задание 1 . Поиск минимума функции одной переменной

Постройте графики функций одной переменной. Напишите программы в среде MathCAD и рассчитайте минимальное значение функции с заданной точностью  методами дихотомии, золотого сечения, с использованием чисел Фибоначчи, с помощью встроенной функции Minner. Сравните результаты. Оцените количество итераций, необходимых для достижения заданной точности (таблица 1).

Задание 2. Поиск оптимума функции двух переменных

С помощью встроенных функций MathCAD решите задачу поиска оптимума функции двух переменных F(x, y), предварительно исследовав функцию графически.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте постановку задачи оптимизации.

2. Что такое локальный и глобальный экстремумы?

3. Какие ограничения имеет применение классических методов поиска оптимума?

4. Назовите численные методы поиска оптимума функции одной переменной.

5. Разберите алгоритмы методов одномерного поиска оптимума: дихотомии, золотого сечения, чисел Фибоначчи.

6. Сформулируйте критерий окончания поиска решения в итерационных методах.

7. Какие встроенные в MathCAD функции для решения задачи оптимизации вы знаете?

8. Какие функции могут применяться для решения задачи условной оптимизации?

Решение задачи минимизации функции n-переменных. Вариант 11

Министерство образования и науки РФ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра ВТ

Отчет по лабораторной работе №7

Решение задачи минимизации функции n переменных

Факультет: АВТ Преподаватель: 
Группа: АМ-415                              Трошина Г.В. 
Вариант: 11

Студенты: Вихарев П.А.

.

Новосибирск, 2006

I. Задание к лабораторной работе

Задание.

Используя подпрограмму Minim, минимизировать заданную целевую функцию.

Порядок выполнения лабораторной работы.

1.  Составить подпрограмму вычисления градиента целевой функции f(x, y).

2.  С помощью подпрограммы Minim минимизировать целевую функцию f(x, y).

3.  Сравнить с результатом, полученным с помощью стандартной функции MathCAD.

Минимизировать функцию методом градиентного спуска.

Вариант 5

№ вар.	a	b	c	d
11	11.0	-0.4	1.00	0.21

Задание.

            Написать программу минимизации и минимизировать заданную целевую функцию.

Порядок выполнения лабораторной работы.

1.  Выбрать значение начального приближения для x.

2.  Составить подпрограмму вычисления grad f(x).

3.  Написать программу минимизации целевой.

4. Провести вычисления.

Вар.	f(x, y)
11

Задание.

Найти методом Нелдера-Мида экстремум заданной функции.

Порядок выполнения лабораторной работы.

1. Составить подпрограмму-функцию для вычисления значений целевой функции.
2. Составить программу-функцию для нахождения экстремума целевой функции методом Нелдера-Мида.

Провести вычисления.

Целевая функция

min

II. Выполнение работы

Метод градиентного спуска

Функция вычисления градиента:

Функция поиска минимума:

Применение стандартной функции MathCAD

Таким образом можно сделать вывод, что с увеличением числа итераций точность результата минимизации повышается.

Сравнение результатов:

Результат, полученный с помощью подпрограммы Minim:

Результат, полученный с помощью стандартной функции Minimize:

III. Вывод

В ходе выполнения работы было освоено решение минимизации функции двух переменных. В результате алгоритм минимизации сработал и значения, полученные с помощью этого алгоритма и стандартной функции минимизации пакета MathCAD сошлись вплоть до третьего десятичного знака.

Оптимизация сетевого графа

Ниже приведено условие задачи и текстовая часть решения.  Закачка полного решения, файлы doc и  mcd  в  архиве zip, начнется автоматически через 10 секунд. 

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

     В издательском предприятии требуется выполнить работу по выпуску изделия, включающую пять операции: набор текста, коррек­тура набора, обработка иллюстраций, верстка, вывод на пленку. Последовательность и нормы средней длительности выполнения опе­раций приводятся в табл. 1.

Таблица 1

№ операции	Наименование операции	На какие опирации опирается	Время выполнения операции, ч.
А1	Набор текста	—	65
А2	Корректура набора	А1	30
А3	Обработка иллюстраций	—	70
А4	Верстка	А2, А3	60
А5	Вывод издания на пленку	А4	20

Необходимо построить временной сетевой график выполнения работы, определить на графике критический путь всей работы, а так­же нормативное время критического пути.

Требуется за счет дополнительных доплат уменьшить продолжи­тельность критического пути на 60 часов по отношению к норматив­ному. Определить оптимальный план выполнения работы, при кото­ром требуется минимум суммы доплаты за всю работу. За счет допла­ты время выполнения каждой операции может быть сокращено не более чем на половину. Задана сумма доплат (в у. е.) в час по каждой операции, приведенная в табл. 2.

Таблица 2

Сумма доплат по категориям, у. е. в час.
Набор текста	Корректура текста	Обработка иллюстраций	Верстка	Вывод на плёнку
3,0	1,5	2,7	3,8	1,5

Задача должна решаться методом целочисленного линейного программирования в Mathcad 2000/2001.

 

 

 

 

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Сетевые методы применяются для оптимального планирования ра­бот, состоящих из ряда операций, выполняемых разными специалистами или на разном оборудовании. В основе метода сетевого планирования лежит понятие о сетевом графике. На сетевом графике изображаются от­дельные операции, входящие в работу, виде взаимосвязанных векторов.

В общем случае вектора могут быть произвольными по вели­чине и направлению. Для рассматриваемой задачи строится времен­ной сетевой график, в котором по оси абсцисс откладываются значе­ния продолжительности выполнения операций, а по оси ординат — произвольные значения вектора так, чтобы давать наглядное пред­ставления об этих работах. Примерный временной график выполне­ния работы предприятием приведен на рис. 1.

Рис. 1. Примерный сетевой график выполнения работы.

Ось абсцисс изображает временную ось. Рядом с концами век­торов указаны соответствующие операции. Проекции векторов на временную ось определяют отрезки времени ti, i= 1, 2, 3, 4, 5, в тече­ние которых выполняются соответствующие работы. Стрелки показы­вают направление перехода.

На схеме A0 — это исходная точка, из которой начинается вы­полнение всех работ. В этой точке начинаются две работы, выполнение которых не зависит от каких либо других работ — набор текста и корректура набора текста. Вектора от точки А0 до точек А1 и А2 ото­бражают эти операции.

Точка А2 характеризует общее время t1+t2  завершения двух операций вместе: набор текста и корректура набора. Точка А3 опреде­ляет конец вектора, характеризующего завершение операции по обра­ботке иллюстраций. Эта операция начинается в точке А0 и не зависит от других операций. Операция верстки может выполняться только по­сле завершения корректуры набора и обработки иллюстраций. Так как операция подготовки иллюстраций завершается раньше, чем набор и корректура набора, от точки А3 проведен пунктиром фиктивный век­тор перехода к точке А2 (к верстке).

Критический путь — это минимальное время выполнения всех операций для данной работы без учета операций, не влияющих на это время (в данном случае это обработка иллюстраций). Для рассматри­ваемой задачи получается следующее критическое время:

F = t1+t2+t4+t5                  (1)

В оптимальном плане выполнения работы в качестве критерия оптимизации принимается минимум суммы доплаты для выполнения всех операции, т. е. выражение:

              (2)

Где Q(x) – целевая функция; х1, х2, х3, х4, х5 – суммы доплаты за выполнение операций сверх основной работы.

Помимо критерия нужно задать ограничения, которые опреде­ляют условия выполнения работ. Первое ограничение связано с неот­рицательностью элементов вектора переменных х:

х0                              (3)

так как доплаты не могут быть отрицательными величинами.

Во втором ограничении задается требуемое сокращение времени работ по отношению к нормативной продолжительности критического пути:

                    (4)

где ti — норма времени на продолжительность выполнения i-й опе­рации;

xi/ci — величина уменьшения длительности выполнения i-й операции за счет дополнительной доплаты xi при расценке ci;

ti – xi/ci — длительность i-й операции с учетом доплаты;

Т- требуемое уменьшение критического времени.

Задано, что время выполнения каждой операции с учетом до­полнительной оплаты не может превышать половину нормативного времени. Это условие имеет вид

(xi/ci)(ti/2),   i=1, 2, …., n.                   (5)

Следующие ограничения связаны с ограничениями критическо­го времени, так как учитывается возможность изменения критическо­го пути. Рассматривается два варианта.

В первом варианте модели должны быть записаны условия, при которых длительность операций набора и корректировки набора вме­сте больше или равна длительности обработки иллюстраций, что со­ответствует графику, приведенному на рис. 1.

В другом варианте критический путь изменяется, если при со­кращении длительности операций возможно, что длительность обра­ботки иллюстраций превысит общую длительность операций набора и корректировки набора.

Необходимо получить решение задачи для обоих вариантов кри­тического пути и найти минимум суммы оплаты из этих вариантов.

Для первого варианта модели следует записать два неравенства:

1) для реализации условия, которое состоит в том, что критиче­ский путь не изменяется, записывается неравенство

                 (6)

2) соблюдение условия, при котором время выполнения всей ра­боты должно быть уменьшено на величину, не меньшую, чем T часов:

          (7)

В другом варианте модели должны быть записаны условия для критического пути, в котором длительность обработки иллюстраций больше или равна длительности операций набора и корректировки набора вместе. В этом случае вместо (6) а (7) должны быть запи­саны неравенства

                     (8)

      (9)

На заключительном этапе решения задачи нужно из двух реше­ний задачи выбрать такое, в котором сумма доплат минимальна.

Если в одном из вариантов решение отсутствует (ограничения противоречивы), то принимается существующее решение.

Окончательно построение модели оптимизации формулируется следующим образом: необходимо решить две задачи линейного про­граммирования для двух вариантов критического пути. С помощью каждой модели требуется определить вектор неизвестных х, при ко­тором обеспечивается минимум дополнительной оплаты — выражение (2), при ограничениях (3)-(9) для первого варианта задачи и ограничениях (3)-(5) и (8)-(9) для второго варианта.

 

 

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В MATHCAD

Исходные данные для примера даны в табл. 1 и 2.

Для решения задачи линейного программирования в Mathcad используется функция minimize, записанная в следующем виде:

x= minimize(x, Q).

В задаче требуется найти минимальную сумму доплат, при ко­торой можно уменьшить время выполнения работы на 60 ч за счет доплаты по операциям.

Сетевой график работ, приведенный на рис. 1, соответствует исходным данным, указанным в табл. 1 и 2. Как следует из графика, при заданных условиях в критическое время входят все операции, ис­ключая операцию обработки иллюстраций, время выполнения кото­рой не влияет на критическое время. Критическое время для этих ус­ловий согласно формуле (1) равно F = 175 ч.

В приложении 1 дано решение задачи в Mathcad для первого вари­анта критического пути. С помощью функции ORIGIN задается начало отсчета векторов с 1. В начальной части решения до ключевого слова Given приводятся исходные данные. Операции транспонирования вве­дены для компактности представления данных на экране. Вектор х с ну­левыми элементами определяет нулевые начальные условия, необходи­мые для решения задачи линейного программирования в Mathcad.

В фрагменте программы, начинающимся ключевым словом Given и заканчивающимся функцией minimize, содержится блок огра­ничений. Особенность имеет запись ограничения, описывающее ус­ловие (5). Оно выражаются в следующей векторной форме:

                   (10)

где стрелка вверху обозначает операцию векторизации, под кото­рой здесь понимается почленное перемножение элементов векторов (без последующего суммирования, как это выполняется в скалярном произведении). Векторизация осуществляется следующим образом: записывается произведение c∙t, затем оно выделяется мышью и на­жимается кнопка Vectorize () в панели Vector and Matrix. Скобки и стрелка вводятся автоматически.

В приложении 1 приводятся решение задачи оптимизации сете­вой модели методом линейного программирования. Получены мини­мальные суммы доплат по категориям xT= (30  22,5  0   95  15), при которых обеспечивается сокращение критического времени 60 часов, и величина затрат составит f(x) = 162,5 у. е. В приложении 2 приводятся результаты расчетов для второго варианта, когда критическим становится другой путь, включающий время обработки иллюстраций, если это время бу­дет превышать время набора и корректировки набора. В этом случае минимальная сумма доплат составит такое же значение 162,5 у. е.

Окончательно результатом решения задачи является первый  ва­риант модели, в которых критический путь включает операции набора и корректуры текста и обеспечивает уменьшение длительности выпол­нения работы на 60 часов при минимальной сумме доплаты 162,5 у. е.

Поиск экстремума в Mathcad

Экстремум функции в Mathcad

Поиск экстремума в Mathcad осуществляется двумя функциями:

— Minimize (y, x) — искать значение х, идентичное локальному минимуму функции у (х ) ;

— Maximize (y, x) — искать значение х, идентичное локальному максимуму функции у (х ) ;

Поскольку у (х ) может иметь несколько локальных экстремумов, тогда как функции Minimize (y, x) и Maximize (y, x) позволяют нам найти только одно единственное значение, оно является дополнительным в Mathcad назначить начальное приближение переменной х .В результате программа ищет значение экстремума функции y (x) , проксимальное к заданному начальному приближению переменной х .

При поиске экстремумов записью неравенства может быть назначено определенное пространство диапазона, и поиск экстремума может выполняться в его границах. Предыдущая процедура в этом случае — это ввод ключевого слова «данный». В листинге программы показан пример экстремума поиска функции в Mathcad.

К сожалению, функция не всегда дает правильные результаты. Например, пример листинга показывает, что при выполнении максимального поиска в диапазоне -2 < x <0 функция показывает результат –0,452. Заодно другой пример и он показывает другой результат:

Отображается как на графике функции, так и в листинге

Поэтому можно сделать вывод, что результаты функций Minimize и Maximize в Mathcad могут зависеть от предшествующих вычислений.Следовательно, нужно быть осторожным при реализации этих функций, проверяя результаты с помощью графиков функций.

Если значение аргумента гониометрической функции (sin, cos, tg) задано в градусной форме, то в Mathcad обязательно преобразовать его в радиан. Это можно сделать с помощью функции deg.

Примеры:

При проведении расчетов в Mathcad важно учитывать следующие особенности.Вычисления в Mathcad выполняются слева направо и сверху вниз. Эту последовательность следует учитывать при вводе алгоритма задачи, который следует тщательно соблюдать, чтобы избежать ошибок и неверных результатов.

Мои три любимых рабочих листа — поиск корня в Mathcad

Большинство вычислений, с которыми мы сталкиваемся каждый день, требуют от нас нахождения корней функции. Например, чтобы минимизировать функцию, вам нужно найти корень ее производной.Вы знаете, как Mathcad может помочь вам найти корни, которые вы ищете?

В сегодняшнем посте я рассмотрю три рабочих листа, демонстрирующих некоторые встроенные функции Mathcad, предназначенные для поиска корней.

Корень

Функция

Первый рабочий лист содержит примеры алгоритмического поиска корней с помощью функции Mathcad root . (Обратите внимание, что эта функция решает только одно уравнение с одним неизвестным.) Вы можете вызвать корневую функцию с двумя или четырьмя аргументами, в зависимости от того, хотите ли вы предоставить значение предположения для корня над вызовом функции или значения в скобках для root в вызове функции.

Для функций со сложными корнями вы также можете использовать комплексные предполагаемые значения, чтобы найти комплексный корень функции.

Пример использования функции корня

Polyroots Функция

Вы можете использовать функцию root для извлечения корней многочлена по одному, но часто удобнее находить все корни сразу, используя функцию polyroots . Эта функция возвращает вектор, содержащий корни многочлена.Входными данными polyroots является единственный вектор действительных или комплексных чисел, содержащий коэффициенты полинома. Коэффициенты перечислены в порядке убывания степени, включая все 0 коэффициентов.

Пример того, как определить вектор коэффициентов и как найти вектор корней.

Если корни многочлена не различны, вы можете прочитать раздел «Повторяющиеся и парные корни» на рабочем листе, чтобы увидеть, как Mathcad справляется с этой ситуацией.

Обнаружение символического корня

Я уверен, что вы знаете, что в Mathcad есть два типа математических механизмов: числовые и символьные. Вы можете использовать символьный процессор в Mathcad для символьного поиска корней. Это может быть более точным, чем числовой поиск корня, а также может дать больше информации о решении.

Простой пример нахождения символического корня

Вы можете назначить символическое решение переменной или функции, сделав его доступным для использования на рабочем листе.Когда существует более одного решения, например, в квадратном уравнении выше, решение сохраняется в векторе, где каждый элемент представляет одну часть общего решения.

Также обратите внимание, что, поскольку выражение содержит несколько переменных, вы должны ввести запятую после слова «решить», а затем переменную x , для которой вы решаете.

Эти три рабочих листа и многие другие подробные примеры можно найти в коллекции PTC Mathcad Worksheet Library — Education в Интернет-магазине PTC.

---

(by-Brent-Maxfield- (Auth)) — Essential-PTC-Mathcad-2278342- (z-lib org) (1) — Cálculo Numérico

 346 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
РИСУНОК 11.6 (продолжение на следующей странице)
Использование блока решения для решения двух уравнений
Решить блоки 347
РИСУНОК 11.6
(продолжение)
РИСУНОК 11.7
Принуждение PTC Mathcad к поиску положительного корня
348 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
Функция lsolve
Функция lsolve используется аналогично блоку решения, потому что вы можете решить для x
уравнения и x неизвестных.Это также похоже на функцию polyroots, потому что
входными аргументами являются векторы, представляющие коэффициенты уравнений. Использование
этой функции показано на рисунке 11.9.
РИСУНОК 11.8
Решите блок, используя функции вместо уравнений
Функция lsolve 349
РИСУНОК 11.9
Использование функции lsolve
350 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
Решайте блоки, используя максимизацию и минимизацию
Функции максимизации и минимизации позволяют найти точку, в которой ввод
функция находится на максимуме или минимуме.Эти функции не нужно использовать
в блоке решения, если вы не хотите предоставить ограничения для функций.
При использовании в блоке решения эти функции решают максимальное и минимальное значение.
mum значения, которые удовлетворяют ограничениям блока решения. Эти функции принимают
форма maximize (f, var1, var2 ,.). Аргумент f - это ранее определенная функция.
с аргументами var1, var2 и т. д. Решение возвращает вектор с
значения var1, var2 и т. д., которые удовлетворяют ограничениям в блоке решения.Примечание
что решение не возвращает фактические максимальные или минимальные значения функции
ция; он возвращает значения переменных, которые при использовании в функции вернут
максимальное или минимальное решение.
Чтобы использовать функцию максимизации в блоке решения, выполните следующие действия:
1. Определите функцию, используя переменные, для которых вы решаете.
2. Задайте начальные предполагаемые значения для переменных, для которых вы решаете.
3. Введите список уравнений ограничений, используя логические операторы.
4. Введите максимизировать (, затем введите имя функции (не включайте
скобки после имени функции), затем введите переменные, которые вы
решение через запятую.Точно так же используется функция минимизации. См. Рисунок 11.10. Примечание
что эти функции очень чувствительны к граничным условиям и начальному
предполагаемое значение. Чтобы убедиться в этом, попробуйте уравнение, показанное на рисунке 11.10, и
варьировать начальное предполагаемое значение и граничные условия. Дополнительные примеры
функций развертывания и минимизации можно найти в технических примерах.
Если развертывание или свертывание не возвращают результат, а в поле ошибки указано: «Не удалось
найти максимум или минимум », попробуйте изменить начальные предполагаемые значения.Сюжет может быть
полезно выбрать начальные предполагаемые значения.
TOL, CTOL и Minerr
TOL и CTOL - это имена встроенных переменных PTC Mathcad. Их можно установить в
группа Параметры рабочего листа на вкладке Расчет (Расчет> Рабочий лист
Настройки> TOL). Значения также можно переопределить в рабочем листе.
TOL, CTOL и Minerr 351
РИСУНОК 11.10
Использование максимума и минимизации
352 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
При использовании блоков решения и корневой функции PTC Mathcad выполняет итерацию решения.
Когда разница между двумя последними итерациями меньше TOL
(допуск сходимости) PTC Mathcad приходит к решению.Значение по умолчанию
TOL составляет 0,001. Если вы не удовлетворены найденными решениями, вы можете переопределить
TOL должен быть меньшим числом. Это повысит точность результата, но
также увеличивают время вычислений или могут сделать невозможным для PTC Mathcad
прийти к решению.
Встроенная переменная CTOL (допуск ограничения) сообщает PTC Mathcad, как
строго ограничение в блоке решения должно быть выполнено, чтобы решение было приемлемым.
Значение CTOL по умолчанию - 0,001. Таким образом, если ограничение блока решения x> 3,
это ограничение выполняется, если x> 2.9990.
Функция minerr используется вместо функции поиска в блоке решения. Ты
может потребоваться использовать minerr, если PTC Mathcad не может выполнить итерацию решения. Функция поиска
выполняет итерацию решения до тех пор, пока разница в двух последних итерациях не станет меньше, чем
ТОЛ. Функция minerr использует последнюю итерацию, даже если она выходит за пределы TOL.
Эта функция полезна, когда find не может найти решение. Если вы используете майнер, это
важно проверить решение, чтобы увидеть, попадает ли оно в допустимые пределы
пределы.Дополнительные сведения по этим темам см. В справке PTC Mathcad. Оно имеет
хорошее обсуждение этих тем гораздо глубже.
Использование единиц
Вы можете использовать юниты с корневыми, поликорневыми и решающими блоками. Это будет проиллюстрировано в
следующие инженерные примеры.
Инженерные примеры
Инженерный пример 11.1 суммирует пять различных способов решения на то время, когда он
занимает определенное расстояние. Технический пример 11.2 вычисляет текущий
поток в многоконтурном контуре. Инженерный пример 11.3 рассчитывает расход воды
в трубопроводной сети. Технический пример 11.4 демонстрирует, как PTC Mathcad может
использоваться для решения уравнений химии. В инженерном примере 11.5 используется блок решения
для решения той же проблемы, представленной в инженерном примере 8.2. Инженерное дело
В примере 11.6 используется функция максимизации, чтобы максимизировать объем коробки с помощью
фиксированная площадь поверхности. В инженерном примере 11.7 используются заданные функции затрат и доходов.
Чтобы рассчитать, сколько продуктов производить, чтобы получить максимальную
и минимальная прибыль.Инженерные примеры 353
Инженерный пример 11.1: объект в движении
354 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
Инженерные примеры 355
356 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
Инженерный пример 11.2: Электрическая сеть
Текущий закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений падает примерно
любой замкнутый путь в цепи равен сумме источников напряжения.
SV = S (I * R). Используя закон Кирхгофа, рассчитайте ток, протекающий в этом
сеть.
Сопротивление
р
1
: = 4 • Ω
р
2
: = 15 • Ом
р
3
: = 2 • Ω
V
2
: = 40 • вольт
V
1
 = R
1
• Я
1
+ R
2
• (I
1
- я
2
)
–V
2
 = R
2
• (I
2
- я
1
)
 
+ R
3
• Я
2
р
2
• (I
2
- я
1
)
 
+ R
3
• Я
2
+ V
2
= 0.0000000 В
р
1
• Я
1
+ R
2
• (I
1
- я
2
) - V
1
= 0,0000000 В
я
2
: = 15 • А
А
V
1
: = 75 • вольт I
1
: = 15 • А
Напряжение
R1
I1
V1 V2
Первоначальное предположение для токов
Список ограничений
Проверять
Текущее: = Найти (I
1
, Я
2
знак равно
я
1
: = Ток1 I2: = ток2 I1 = 6,89 A I2 = 3,72 A
хорошо
хорошо
6,89
3,72
R3
I2R2
Так
lv
э
C
на
ул
ра
в
ts
г
уэ
SS
Ва
Лу
es
Инженерные примеры 357
Инженерный пример 11.3: трубопроводная сеть
358 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
Инженерные примеры 359
360 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
Инженерный пример 11.4: Химия
Инженерные примеры 361
362 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
Инженерные примеры 363
Инженерный пример 11.5: Определение свойств потока
частично заполненной круглой трубы
364 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
Инженерный пример 11.6: Объем коробки
Инженерные примеры 365
Инженерный пример 11.7: максимизация прибыли
366 ГЛАВА 11 Решение инженерных уравнений
Инженерные примеры 367
Резюме
Функции решения PTC Mathcad - это важные мощные инструменты, которые должны быть в вашем наборе инструментов.Их следует держать острыми и часто использовать.
В главе 11 мы:
• Представил корневую функцию и показал, как ее можно использовать для решения одной
переменная с единственной функцией.
• Показано, как можно использовать корневую функцию с первоначальным предположением перед использованием
root, или как два предположения могут быть включены в качестве аргументов в корневую функцию.
• Приветствовали использование графика, чтобы помочь определить начальные предполагаемые значения для корня.
функция.
• Представил функцию polyroots и показал, как ее можно использовать для решения всех
корни полиномиального уравнения.• Представлены блоки решения и показано, как их можно использовать для поиска решений
несколько неизвестных с использованием нескольких уравнений.
• Подчеркнул правила использования поиска, максимизации и минимизации.
• Обсудили встроенные переменные 

Инжиниринг с MathCAD — онлайн-курс для инженеров

Разработка с MathCAD

Описание курса

Математика везде и во всем. От мостов до высоток, от американских горок до космических челноков — математика имеет решающее значение для современного высокотехнологичного общества.MathCAD от MathSoft (теперь часть PTC) делает математику простой и доступной для пользователей от старшеклассников до инженеров, которые находятся на переднем крае некоторых из самых важных и требовательных технических сред в мире. В этом уроке вы познакомитесь с основными функциями MathCAD 15 или более ранних версий и трех приложений MathCAD в реальном мире проектирования конструкций. Если вы хотите узнать о возможностях и функциях последней версии (MathCAD Prime), вы можете выбрать курс PDHonline G388.

Этот курс включает в себя викторину с несколькими вариантами ответов в конце.

Цель обучения

В заключении по этому курсу студент:

• Признать ценность MathCAD для профессиональных инженеров;
• Be знаком с интерфейсом, графикой, текстом и вычислительными возможностями MathCAD; и
• Be способен выполнять

  инженерных расчетов с помощью MathCAD.

Курс Введение

MathCAD, впервые представленный в 1986 г., представляет собой ценный инструмент для технических вычислений. инструмент для инженеров и архитекторов.Вы можете думать о MathCAD как о комбинации

• мощный технический вычислительная среда, основанная на вещественной математической нотации, и
• а гибкий, полнофункциональный технический текстовый редактор.

MathCAD предоставляет широкие возможности для решения проблем среда, которая предоставляет вам широкий спектр инструментов для анализа и визуализации. В отличие от других технических программ, MathCAD выполняет математические вычисления так же, как и вы. Тот потому что он выглядит и работает как блокнот и карандаш.На экране MathCAD интерфейс представляет собой пустой рабочий лист, на котором вы можете вводить уравнения, графические данные или функций, а также добавлять текстовые аннотации в любом месте рабочего листа. Некоторые важные вычислительные возможности MathCAD для инженерных приложений являются:

• Встроенный единицы измерения и проверки размеров.
• Встроенный решатель одновременных уравнений и неравенств.
• Summations, продукты и итерация.
• Тригонометрические, гиперболические, экспоненциальные функции и функции Бесселя.
• Быстрое одномерное и двумерное преобразование Фурье.
• Пользовательские функции.
• Векторы и матрицы, включая операцию умножения матриц, матрица обратное, транспонирование, определитель, скалярное произведение и кросс-произведение.

Математические выражения в MathCAD выглядят так, как в учебнике или справочник. Единственное отличие состоит в том, что уравнения и графики MathCAD живы, что означает, что MathCAD пересчитывает математику и перерисовывает графики каждые когда вы изменяете какие-либо данные, переменную или уравнение на листе.Эта функция в MathCAD называется «Интерфейс живого документа».

В дополнение к интерфейсу интерактивных документов, еще одна важная функция, которая устанавливает MathCAD, помимо других технических вычислительных инструментов, имеет встроенную поддержку единицы измерения. MathCAD может автоматически преобразовывать единицы измерения на листе.

Таким образом, техническая документация, подготовленная с помощью MathCAD, может быть легко понятна. и проверено другими. Кроме того, использование MathCAD в вашей работе может облегчить избавьтесь от утомительных и повторяющихся расчетов конструкции, исключите арифметические ошибки, и произвести качественные проектные расчеты.

Содержание курса

Чтобы изучить основные функции MathCAD, вам потребуется копия MathCAD 15 или более ранних версий, выпущенных до 2010 года. Если у вас ее нет, вы можете приобрести копию в Интернете. После установки программы вам необходимо изучить следующие документы:

MathCAD — Википедия (HTML)
Встроенное руководство MathCAD (файл PDF, 41 страница — это руководство основано на MathCAD 2000).

Посмотрев следующие видео, вы узнаете основные и дополнительные особенности MathCAD и приложения в реальном мире инженерии анализ.

1. MathCAD Intro (6:23 видео)
2. MathCAD Symbolics (12:17 видео)
3. MathCAD Поиск центроидов (11:47 видео)
4. MathCAD 2D Plots (10:38 видео)
5. MathCAD 3D Plots (5:52 видео)
6. MathCAD Solve Blocks (9:49 видео)
7. Нагрузка на диаграмму момента сдвига с Mathcad (11:07 видео)
8. Развертывание и минимизация с помощью Mathcad (видео 9:34)
9. Развлечения с Mathcad: подходящий инструмент для решения инженерных проблем (видео 1:44:29)

В частности, вам необходимо научиться:

1. введите текст
2. строить математические выражения
3. определить переменные
4. определение функций
5. определить переменные диапазона
6. создавать графики
7. указать единицы

MathCAD Веб-библиотека содержит множество примеров приложений MathCAD в различных дисциплины.В этом уроке вам необходимо скачать и изучить следующие два Файлы приложения MathCAD, так как вам будет предложено решить несколько простых задач с лучом. при прохождении викторины.

1. Упругий изгиб балок прямоугольного сечения (bending.mcd -скачать бесплатно, MathCAD 2000i, 24 кб)
2. Диаграммы сдвига и моментов для любых балок с простой опорой / нависанием (ssbeam.mcd-free скачать, MathCAD 7 Prof., 508 кб) К. Хаук

Гибкая среда расчетов и документации MathCAD развивается как единое целое из самых популярных платформ для отраслевых решений, в том числе Электронные книги MathCAD, пакеты расширений MathCAD, динамически связанные библиотеки (DLL, т.е., пользовательские библиотеки C ++) и совместимость с другими приложениями. например, программное обеспечение для работы с электронными таблицами.

Краткое содержание курса

Этот курс охватывает некоторые из основных функций MathCAD, который включает функции интерфейса, графические функции, вычислительные функции, а также функции текста и документов. Через этот онлайн-курс студент должен уметь использовать MathCAD для решения некоторых рутинных задач проектирования в его / ее дизайн-практика. Для более сложных тем о приложениях MathCAD вы можете посетить PTC интернет сайт.

Ссылки по теме

Для дополнительную техническую информацию по этой теме, пожалуйста, посетите следующие веб-сайты или веб-страницы:

PTC — MathCAD

Тест

Как только вы закончите изучение вышеперечисленного Файлы документов и приложений MathCAD, вам необходимо взять викторина для получения кредитов PDH.

***

---

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: Материалы, содержащиеся в онлайн-курсе, не предназначены для демонстрации или гарантии со стороны PDHonline.org или любое другое лицо / организацию по имени здесь. Материалы предназначены только для общего ознакомления. Они не заменяют за грамотную профессиональную консультацию. Применение этой информации к конкретному Проект должен быть рассмотрен зарегистрированным профессиональным инженером. Кто-нибудь делает использование информации, изложенной в настоящем документе, делает это на свой страх и риск и предполагает любую вытекающую из этого ответственность.

---

39

Совет 39. Программируйте без оператора, если

Фиг.39. Программа без оператора, если

Если мы учтите, что альтернативой является резервная структурная управляя построением, то алгоритм любой сложной программы может быть реализовано без оператора, если из панели программирования Mathcad.

Пользователя функция, которая возвращает корень уравнения и использует метод половинного деления, создается первой программой в рис. 39. Цикл с предварительной проверкой, который цикл body есть полная альтернатива.Оператор if исключен из второй программы на рис. 39: альтернативой с одной рукой является цикл с предварительной проверкой, тело которого выполняется либо один раз, либо никогда. Полная альтернатива (альтернатива с двумя arm) — это две неполные альтернативы: две альтернативы с одной рукой. В альтернатива — инструмент для быстрого перемещения по программе только на одном направление (сверху вниз), но цикл является сокращенным движением в обоих направлениях (сверху вниз и снизу вверх).Отсюда мы видим бесполезность альтернативы. Продолжение (открытие) темы вы найдете в совете 45 и в одной из книг Программирование. в Mathcad.

Совет 40. Функция, если вместо этого оператора if

Рис.40. Функция if вместо оператора if

Когда ты реализовать разветвленные алгоритмы конструкцией структурной директивы, а именно альтернативы используется параллельно с циклом.Для этого мы вводим логическую переменную в программа, которая направляет альтернативу. Затем выполняем следующие операции по первому (лучше сказать по нулю) или второй (ненулевой) скрипт в зависимости от того, какое текущее значение (0 нет, не ноль да) у логической переменной есть. Если у каждой из двух альтернатив альтернативы есть по одному по одним операторам, то можно попробовать использовать функцию, если из набора встроенных функции Mathcad (сравните две функции на рис.40) вместо оператора, если из панели программирования. Я толстый что что-то связано с одной и той же переменной в двух плечах альтернатива, тогда можно обойтись только оператор, который используется функцией if. Пример:

c, если (a> b, a, b) вместо из if (a> b, c a, c b)

К сожалению, метод смены оператора при одноименной функции перестает работать в Mathcad 8 Pro, Mathcad 2000 Pro и Mathcad 2001 Pro функция ___2 в Mathcad PLUS 6.0 и Mathcad 7 Pro дает правильный результат, но если мы перенесем его в Mathcad 8 Pro и за это попадает в бесконечную петлю.

Однако для реализации разветвленных алгоритмов вне программы можно измените функцию if на комбинацию операторов if и в противном случае.

в что целесообразно привести операторы к возврату во множественном ветвлении, которое ускорить расчет (подсказка без номера ).

Фактически функция, если стала ненужно: в новой версии Mathcad функция сохранена для совместимости со старыми версиями [2].Та же история произошла с функция до (цикл организация, в органе которой один оператор), которую оператор при этом успешно сменил. (Хотя в восьмая и более поздние версии Mathcad — есть функция до тех пор, пока она работает, но ее нет Мастер-функция.)

Совет 41. Конструкция со сложными операторами в плечах

Рис. 41. Конструкция с составными операторами в плечах

Если есть являются двумя или более операторами в плечах полной альтернативы, тогда они записываются под ключевые слова, если и в противном случае (см. функции на рис.33). Если эти блоки операторов заключены в скобки , то они будут располагаться слева соответствующих ключевых слов (см. рис. 41, где функция поиска минимума методом золотого сечения есть остальное укорочено по сравнению с аналогами на рис. 33).

важное замечание! Невозможно разместить всех операторов на одной линии в плечах оператора. альтернатива (см. совет 33). Такая программа будет работать в Mathcad 7 Pro, но он перестанет работать (попадет в бесконечную цикл или вернет неправильный ответ) в Mathcad 8 и более поздних версиях.

Совет 42. Имитация параллельных вычислений в Mathcad

Рис.42. Имитация параллельных вычислений Mathcad

Размещение из нескольких операторов в одной строке (см. совет 33) имеет один больше объяснений.

Два Первые операторы обеих программ могут выполняться в любом порядке, показанном на рис. 42 (например, сначала два связаны переменная b, но затем один связана с переменной a или наоборот, как на рис.42). Но лучше для выполнения этих операторов одновременно, т.е. параллельно ! Компилятор Mathcad поддерживает только последовательных вычислений на однопроцессорная машина. Расчет может быть значительно ускорен распараллеливанием Расчет . Вот типичная задача для таких вычислений — суммируются две матрицы: соответствующий элемент второй матрицы суммируется каждый элемент первая матрица.

В настоящее время параллельно версии традиционных языков программирования (например, FORTRAN) для работы над появляются многопроцессорные машины.

Когда мы размещаем параллельно операторы в одной строке Mathcad-программы (см. рис. 42) в первую очередь мы как бы готовим его к исполнению на многопроцессорной машине во-вторых, мы подчеркиваем причинно-следственную связь операторов и блоки операторов.

Совет 43. Фиксация программных блоков

Фиг.43. Фиксатор мягких блоков

Всего в языках программирования есть ключевые слова и символы, которые исправляют , начало и заканчивают отдельных мягких блоков. На языке программирования Паскаль слова начинаются и заканчиваются, в языке программирования C символы — фигурные скобки, в языке программирования BASIC конец строки ключевыми словами являются Next, EndIf, Then, Else и т. д. Мягкие блоки Mathcad фиксируются вертикальной линией, которая появляется (продлевается) после нажатия клавиши Добавить Строка на панели программирования.Но если в софте всего один оператор block, то он не будет обведен вертикальной линией. Это немного снижает читаемость Mathcad-программа. В традиционных программах отдельный оператор и блок операторы могут быть выделены абзацами с левой стороны дисплея или бумаги, показывающей таким образом вложенность структур. Mathcad лишен такая возможность тоже, точнее абзац вводит не программист, а системой и более того, это не так сильно проявляется в случае, когда есть только один оператор в блоке.

Кому выделить один оператор вертикальной чертой в Mathcad-программе необходимо добавьте к нему комментарии (см. совет 30). Как в комментариях вы можете использовать ключевые слова или символы языков программирования, которые знакомы некий пользователь Mathcad. На рис. 43 год читатель видит почти Pascal Mathcad-программу поиска корня своего алгебраическое уравнение методом половинного деления, нормальный вариант которого вы можете см. на рис. 39.

Совет 44.Решение системы алгебраические уравнения в теле программы

Рис.44. Решение системы алгебраических уравнений в теле программы

В Mathcad встроенная функция Find, которая работает вместе с клавишей слово Дано, предназначено для решения системы нелинейных алгебраических уравнений (см. пример решения таких проблема в подсказке 10). К сожалению, подобная технология невозможно в Mathcad-программе, так как мы не можем вставить в нее ключевое слово Дано.Есть три решения проблема:

1. это можно попытаться свести нелинейную систему к линейной, используя, для Например, замена переменных. После этого проблема решается с помощью встроенная функция lsolve, не требующая ключевого слова Данный.

2. это можно попытаться свести систему уравнений к одному алгебраическому уравнению с помощью подстановки переменных [5]. Поиск корней уравнения осуществляется возможно с помощью функции root в мягком блоке (общий случай) или многокорнях (уравнение-полином).Решение проблема может быть получена с помощью вложенности встроенной функции корень: корень (f1, root (f2 и т. д.

3. Запуск с восьмой версией в Mathcad добавлены функции Minimize и Maximize, ориентированные на решение задач оптимизации. Эти функции могут работать как с ключевым словом Учитывая (ограниченную задачу см. пример из совета 15) и без него (без ограничений проблема). Это позволяет искать корни системы внутри мягкого блока с помощь функции Minimize.При этом, например, можно минимизировать квадрат максимума согласованность системы: найти такие значения переменных, которые остались и правые части минимально отличаются друг от друга, см. рис. 44. Для него формируется функция дополнительных пользователей F (x, y). Возвращает максимальные значения (max) квадрата отклонения левой и правой частей. уравнений, которые включает текущая задача. К сожалению, это невозможно определить функции пользователей внутри программы (ограничение Mathcad).После этого формируется основных пользовательских функций root (x, y). Его аргументы — первое приближение к решению системы. Функция возвращает матрицу, который первый столбец хранит комментарии, первый элемент второго столбец сохраняет вектор решения и второй элемент второго столбца сохраняет максимальную невязку системы, которая используется для контроля точности решения. На рис. 44 четыре настоящих корня имеют был найден. Графическое решение задачи рассматривалось в подсказке 24, а аналитическое — в подсказке. 29.
Внимание ! Mathcad-документ на рис. 44 год дает правильный результат только в Mathcad 8 Pro и перестает работать в Mathcad 2000 Pro. Автор сообщил об ошибке разработчику Mathcad. Главный Ответ был следующим: Функции, которые входят в Solver Mathcad (группа Solving в основных функциях Mathcad: Minimize, Maximize, Find, MinErr, polyroots и root) не является продуктом MathSoft, Inc., но они покупают у фирмы Frontline, Inc.Вот почему все претензии мы должны направить ему. Тем не менее ошибка была исправлена ​​в Mathcad 2001.

Совет 45. Единицы в программе

Рис.45. Размер внутри программы

В Mathcad функция может возвращать несколько значений, которые объединены в вектор или матрица (массив). Данная функция мягких пользователей возвращает значения периметра и квадрат треугольника в зависимости от длины его стороны в точке 1 в рис.45. Но если пользователь хочет, чтобы аргументы были размерные для функции возвращает значение периметра и квадрата треугольник с соответствующими единицами измерения (длина и квадратная точка 2), тогда его будет ждать неудача. При этом появится вводящий в заблуждение отчет об ошибке: Несовпадение единиц. Пользователь думает, что суммирует метры с килограммами, для пример, но причина кроется в другом, вектор Mathcad может сохранить переменные только одного размера. Мы уже встречались с этим явлением когда мы рассматривали методы отладки программ в подсказке 36 и 37.

Это можно выполнить функцию, показанную на рис. 45 к давать два значения не сразу, а по очереди (см. совет 37) в зависимости от значения дополнительного аргумента (пункт 3): if i = Perimeter затем функция Parameters_triangle возвращает треугольник периметр, если i = Square, функция возвращает квадрат. Но в этом случае работа с размеры также приведут к ошибкам, см. пункт 4. Функция Parameters_triangle, как и любая другая функция, всегда возвращает единицу измерения размерной переменной из первой возвращенной строки программа.

разработчику Mathcad сообщили о данной ошибке (программа на рис. 45 всегда выводит размерность операнда возврат первого оператора). В ошибка была частично исправлена: если мы установим первый патч на Mathcad 2000 Pro после чего номер версии становится длиннее на букву А, затем программа вернет безразмерное значение в пункте 3 на рис. 45.

В советы фирмы MathSoft (см. Совет дня пункт 71) Размерность внутри программ использовать не рекомендуется.Причем почему-то петли упоминаются, но у них нет возможности работать с размерные переменные. В этом случае дело не только в петлях, но и в механизм возврата переменных и, конечно, в массивах, которые не могут хранить переменные разных размеров.

В точка 7 на рис. 45 альтернатива заменена на два цикла While, тело оператора которых выполняется либо один раз, либо не один раз. Об этом методе мы писали в подсказке 39. но здесь он используется для попытки реабилитации программы на рис.45. Надо признать, что попытка обернулась на провал: и альтернатива, и петля работают с габаритами не полностью правильно. Выход есть в подсказке 52 и в Mathcad 2001 Pro. где ошибка была окончательно исправлена.

Совет 46. Защита от дурака и от шутника

Рис.46. Защита от дурака и от шутника

Есть ряд особых шутников, получающих удовольствие от попыток практических анекдоты про компьютер: компьютер, ты слишком много думаешь о сам.Посмотрим, проглотишь ты это или нет! они думают так или об этом при вводе заведомо неверной информации в компьютер. Компьютер должен иметь возможность защищаться от свободного или принудительного ошибки пользователя.

В советах 6 и 21 мы уже давали советы по защита не компьютер, конечно (хотя как бы это сказать: например, пользователь может установить в компьютер неправильную дискету, открыть темное письмо, которое у него есть полученный по электронной почте, принесите вирус и взломайте программное обеспечение или сложная часть компьютера), но сам пользователь от ошибок ввода: контроль попадания в пределах возможного диапазона (совет 6), контроль добавления данных необходимой размерности ( тип 21 ).

Как Правило, невозможно заранее предусмотреть все возможные ошибки пользователя. Обычно эти ошибки появляются во время работы программы. Если ошибка заметил, и это привело к нежелательным последствиям, тогда программа будет добавлена новыми операторами и функциями, препятствующими появлению данного ошибка.

Наши старая задача, которая возвращает объем конуса в зависимости от его геометрических размеров, показано на рис. 46: диаметр основания (d) и длина конусов образующая (l) дополнена путем контроля соотношения между d и l.Когда ты защитить программу важно не только , заблокировать ее работу, если исходные данные неверны, но и дает максимально информативный отчет об ошибках: встроенный или пользовательский. Но встраивание в программу отчета об ошибках пользователей (безразмерная текстовая константа) нарушает его способность работать со значениями измерений: функция V возвращает безразмерные значения в случай, если его аргументы размерны.

Это слишком сложно предположить, какие ошибки может сделать пользователь, вводя начальные данные.Можно пойти наоборот, принять только правильные данные и выявить и отсечь неправильные данные. В этом случае будет полезна оператор error, но не функция: ¾ при ошибке ¾ оператор обработки условий предупреждения. Первый операнд будет выполнен в данном операторе, если ошибка имеет место во время выполнения второго операнда.

Совет 47. Критические точки на графике

Рис.47. Критические точки на графике

Они (см. заголовок подсказки) можно обозначить не только как константы , но и как переменные , выражения и функции.

метод численного поиска локального минимума и локального максимума пользователей функция с одним аргументом показана на рис. 47. Как правило, такая работа сопровождается графическим контролем результата. построение графа с учетом полученных точек в декартовых координатах. Mathcad позволяет маркировать точки на графике красными пунктирными линиями. Для этого в окне форматирования графики на вкладке Axes ставим галочки (опции включены) Show Markers.После этого на графике рядом с осями y и x появляется пара заполнителей, куда пользователь обычно записывает константы. (числа). Однако мы можем ввести их переменных (выражения, функции) и мы это сделали: не фиксированных , а плавающих маркеров появились и отмечают критические точки (минимум и максимум) на графике. Если находим новые точки минимума и максимума (модифицированной начальной функции, при пример), то пунктирные линии для фиксации их на графике уберут автоматически тоже.

Как ну можно вставлять не только числа, но и выражения в заполнители возле осей y и x для плавающих фиксация разброса графика по ординате и абсциссе. Срок плавающая фиксация как ни странно (как в ботинке всмятку) но в в данном случае достаточно точно описывает технологию форматирования графов мы помещаем переменных в места, где разработчик предписывает ставить константы.

Это можно порекомендовать еще один метод фиксации точек на графике для дополнительное форматирование.Очень часто при публикации результатов расчета в Mathcad графика замораживается нажатием клавиши PrnScr (или Alt + PrnScr) а затем они проектируют как общую картину в среде некоторой графики редактор. В этом случае можно добавить график по своему желанию. Довольно хорошо чтобы обратить внимание людей, которые пытаются повторить такую ​​идеальную картинку в Mathcad этого в Mathcad такой вид графика не предусмотрен.

Подсказка 48. Различные масштабы оси абсцисс

Фиг.48. Различные масштабы оси абсцисс

Очень часто в декартовых координатах двух и более функций одной переменной кривая лежит вниз по оси x из-за малого значения соответствующей функции в выбранном диапазоне аргумента. В Mathcad невозможно иметь две оси y с разными масштабами (мы можем иметь это, например, в Excel). Тем не менее решение проблемы существует.

Вид функции и ее производной следующий: показано на первом графике рис.48. Рассеивание значения функции и ее производной несоизмеримы в данном предел аргумента (8-9) в графе.

На втором графике значения функции умножить на 10 (коэффициент подбирается экспериментально) и реанимирует график: теперь видно, что производные равны нулю в точки минимума и максимума и т. д.

Второе отличие графиков на рис. 48 позволяет сформулировать еще одну подсказку (без номер) .

Производная строится с помощью числового вычисления его значений на первом графике. Это достаточно долгая и довольно неточная [10] процедура. Прежде чем мы построим на втором графике мы формируем дополнительную функцию dy, которая сохраняет производную функции y, назначенную инструментами символического математика Mathcad: резко возрастают скорость и точность построения графика.

ошибок измерения — Chemistry LibreTexts

Ошибки измерения

Со всеми измерениями связаны ошибки.Эти ошибки делятся на две категории:

1. Систематические ошибки (детерминированные ошибки) — влияют на точность измерения или на близость результата к «истинному» значению;
2. Случайные ошибки (неопределенные ошибки) — влияют на точность измерений или на близость результатов друг к другу;

Цель любого анализа — получить точные и точные данные. Так как же обеспечить сведение к минимуму ошибок в процессе измерения?

Систематические ошибки

Среднее (или среднее) набора значений считается репрезентативным для этих значений, если значения имеют гауссово распределение (колоколообразная кривая).В этом особом случае среднее значение считается «истинным» значением для набора измерений. Систематические ошибки характеризуются измерениями, которые постоянно превышают истинное значение (положительное систематическое смещение) или ниже истинного значения (отрицательное систематическое смещение). Систематические ошибки делятся на четыре категории:

1. Ошибки выборки возникают, когда собранная выборка не представляет среду, в которой проводится выборка.
2. Ошибки метода возникают из-за невозможности точно измерить концентрацию или массу образца.Обычно это происходит из-за того, что другое вещество, присутствующее в матрице образца, вмешивается в процесс измерения.
3. Ошибки прибора включают использование надлежащей стеклянной посуды / оборудования для анализа и знание ошибок, связанных с его использованием;
4. Персональные ошибки также известны как человеческие ошибки и возникают из-за небрежности, например, при чрезмерном титровании конечной точки или использовании грязной кюветы для анализа.

Способы минимизации систематических ошибок

1. Сбор репрезентативных образцов
2. Анализировать стандартные стандартные образцы с известными концентрациями
3. Анализировать холостые образцы
4. Используйте несколько методов для измерения
5. Принять участие в круговом исследовании с другими лабораториями
6. Изменить размер выборки

Случайные ошибки

Случайные ошибки всегда присутствуют во время любого измерения, и их невозможно контролировать.Они возникают из-за незначительных различий в выборке между разными людьми, из-за того, как люди читают бюретку или интерпретируют цвет конечной точки, и даже из-за электрического шума. Вклад случайной ошибки в измерение можно оценить с помощью методов распространения ошибки, путем измерения стандартного отклонения серии измерений, которые показывают нормальное распределение, и путем мониторинга поведения части оборудования во времени. В общем, величина систематических ошибок значительно превышает величину случайных ошибок, поэтому аналитики обычно сосредотачивают свое внимание на минимизации общей ошибки в процессе.2} \)

Чтобы ответить на эти вопросы, обратитесь к Таблице допусков стеклянной посуды в конце.

1) Предполагая, что ваша цель — минимизировать неопределенность, следует ли вам отмерить 25 мл вашего растворителя с помощью мерной колбы класса A или градуированного цилиндра?

2) Предполагая, что ваша цель — минимизировать неопределенность, следует ли вам отмерить 5 мл вашего растворителя с помощью мерной колбы класса A или пипетки для переноса класса A?

3) Вам потребуется 23 мл растворителя.Что следует использовать: мерный цилиндр или пипетку для переноса на 20 и 3 мл?

4) Я сломал пипетку для переноса на 3 мл, поэтому решил использовать пипетку для переноса на 25 мл, но затем удалил 2 мл с помощью другой пипетки для переноса. В чем моя последняя неуверенность?

5) Я также сломал пипетку для переноса на 5 мл (в лаборатории был тяжелый день!), И мне нужно 5 мл реагента. Следует ли мне использовать пипетку на 1 мл пять раз или следует использовать градуированный цилиндр?

6) Мне нужно ~ 2 г твердого реагента для эксперимента.Я тарирую весы (БОЛЬШОЙ УКАЗАТЕЛЬ !!!) и измеряю 1,9762 г. Как сообщить о массе с неопределенностью?

7) Если формула веса твердого вещества в приведенной выше задаче составляет 382,981 г / моль, сколько молей у меня есть? (Вы можете рассматривать молекулярные массы, указанные с точностью до трех знаков после запятой, как точные значения, то есть значение, не имеющее связанной с этим неопределенности.)

8) Я делаю раствор из твердого реагента из описанной выше задачи, добавляемого в мерную колбу на 500 мл и довожу до объема.Какая молярность раствора?

9) Что из следующего является наилучшим способом дозирования 100,0 мл реагента: (a) дважды используйте пипетку на 50 мл; (б) использовать пипетку на 25 мл четыре раза; или (c) использовать пипетку на 10 мл десять раз?

Таблица допусков посуды

Информация в таблице от Sigma-Aldrich.com

Объем (мл) ≤	Градуированный цилиндр, класс A, tc, (± мл)	Мерные колбы, класс A, tc, (± мл)	Бюретки, класс A, (± мл)	Пипетки, перенос, класс A, (± мл)
0.1
0,2 ​​
1		0.010		0,006
2		0,015		0,006
3		0.015		0,01
4		0,020		0,01
5	0.05	0,02	0,01	0,01
10	0,08	0,02	0.02	0,02
15				0,03
20				0.03
25	0,14	0,03	0,03	0,03
50	0.20	0,05	0,05	0,05
100	0,35	0,08	0.10	0,08
200	0,65	0,10		0,10
250	0.65	0,12
500	1,1	0,15
1000	2.0	0,30
2000	3,5	0,51
4000	6.5

Погрешность аналитических весов: 0,0002 г для тары и измерения, вместимость 120 г

Погрешность весов верхнего загрузчика: 0,02 г для тары и измерения, грузоподъемность 4200 г

Функции регрессии »MathCadHelp.com» Номер 1 в MathCad Assignments

Mathcad включает ряд функций для выполнения регрессии.Обычно эти функции генерируют кривую или поверхность определенного типа, что в некотором смысле минимизирует ошибку между собой и предоставленными вами данными. Функции различаются в первую очередь типом кривой или поверхности, которые они используют для соответствия данным.

В отличие от функций интерполяции, рассмотренных в предыдущем разделе, эти функции не требуют, чтобы подогнанная кривая или поверхность проходила через указанные вами точки данных. Поэтому функции регрессии в этом разделе гораздо менее чувствительны к ложным данным, чем функции интерполяции.

В отличие от функций сглаживания в следующем разделе, конечным результатом регрессии является фактическая функция, которая может быть оценена в точках между указанными вами точками. Всякий раз, когда вы используете массивы в любой из функций, описанных в этом разделе, убедитесь, что каждый элемент в массиве содержит значение данных. Поскольку каждый элемент в массиве должен иметь значение, Mathcad присваивает 0 всем элементам, которые вы явно не присвоили.

Линейная регрессия

Эти функции возвращают наклон и точку пересечения линии, которая наилучшим образом соответствует вашим данным в смысле наименьших квадратов.Если вы поместите свои значения x в вектор vx, а выбранные значения y в vy, эта строка будет иметь значение

Использование наклона и точки пересечения для линейной регрессии.

Полиномиальная регрессия

Эти функции полезны, когда у вас есть набор измеренных значений y, соответствующих значениям x, и вы хотите подогнать полином через эти значения y.

Используйте регресс, если вы хотите использовать один полином для соответствия всем значениям данных. Функция регрессии позволяет подобрать полином любого порядка.Однако на практике вам редко придется выходить за рамки n = 4.

Поскольку регрессия пытается уместить все ваши точки данных с помощью одного полинома, она не будет работать должным образом, если ваши данные не будут вести себя как один полином. Например, предположим, что вы ожидаете, что ваш y i будет линейным от xl до x 10 и будет вести себя как кубическое уравнение от Xli до x20. Если вы используете регресс с n = 3 (кубический), вы можете получить хорошее совпадение для второй половины, но ужасное совпадение для первой половины.

Функция лесса, доступная в Mathcad Professional, устраняет подобные проблемы, выполняя более локализованную регрессию.Вместо генерации одного полинома, как это делает регресс, лёсс генерирует другой полином второго порядка в зависимости от того, где вы находитесь на кривой. Он делает это, исследуя данные в небольшой окрестности интересующей вас точки. Диапазон аргументов контролирует размер этой окрестности. По мере увеличения диапазона лесс становится эквивалентным регрессу с n = 2. Хорошее значение по умолчанию — span = 0,75. .

На рис. 14-10 показано, как интервал влияет на аппроксимацию, создаваемую функцией лесса.Обратите внимание, как меньшее значение диапазона позволяет подобранной кривой более эффективно отслеживать колебания данных. Большее значение диапазона имеет тенденцию сглаживать колебания данных и, следовательно, обеспечивает более плавную подгонку.

Вектор, необходимый функции interp для нахождения полинома n-го порядка, который наилучшим образом соответствует векторам данных vx и vy. vx — это m-элементный вектор, содержащий координаты x. vy — это m-элементный вектор, содержащий координаты y, соответствующие m точкам, указанным в vx.

Возвращает интерполированное значение y, соответствующее x.Вектор vs получается из оценки лесса или регресса с использованием матриц данных vx и vy.

Влияние различных пролетов на функцию лесса. Обратите внимание, что с

Многомерная полиномиальная регрессия

Функции лесса и регрессии, описанные в предыдущем разделе, также полезны, когда у вас есть набор измеренных значений z, соответствующих значениям x и y, и вы хотите подогнать полиномиальную поверхность через эти значения z.

Свойства этих функций описаны в предыдущем разделе.При использовании этих функций для подбора значений z, соответствующих двум независимым переменным x и y, значения аргументов должны быть обобщены. В частности:

• Аргумент vx, который был вектором из m элементов значений x, становится массивом из m строк и 2 столбцов, Mxy. Каждая строка Mxy содержит x в первом столбце и соответствующее значение y во втором столбце.

• Аргумент x для функции interp становится двухэлементным вектором v, элементами которого являются значения x и y, при которых вы хотите оценить полиномиальную поверхность, представляющую наилучшее соответствие точкам данных в Mxy и vz.

Вы можете добавлять независимые переменные, просто добавляя столбцы в массив Mxy. Затем вы должны добавить соответствующее количество строк к вектору v, который вы передаете функции interp. Функция регрессии может иметь сколько угодно независимых переменных. Однако регресс будет вычисляться медленнее и потребовать больше памяти, если количество независимых переменных и степень больше четырех. Функция лесса ограничена максимум четырьмя независимыми переменными.

Имейте в виду, что для регрессии количество значений данных m должно удовлетворять

n, где
n — количество независимых переменных (следовательно, количество столбцов в Mxy), k — степень желаемого полинома, а m — количество значений данных (следовательно, количество строк в vz).Например, если у вас есть пять независимых переменных и полином четвертой степени, вам потребуется более 126 наблюдений.

Обобщенная регрессия

К сожалению, не все наборы данных можно моделировать линиями или полиномами. Бывают случаи, когда вам нужно смоделировать данные с помощью линейной комбинации произвольных функций, ни одна из которых не представляет членов полинома. Например, в ряду Фурье вы пытаетесь аппроксимировать данные, используя линейную комбинацию комплексных экспонент.Или вы можете полагать, что ваши данные можно смоделировать с помощью взвешенной комбинации полиномов Лежандра, но вы просто не знаете, какие веса назначить.

Функция linfit предназначена для решения подобных проблем. Если вы считаете, что ваши данные могут быть смоделированы линейной комбинацией произвольных функций:

Все, что вы можете делать с linfit, вы можете делать, хотя и менее удобно, с genfit. Разница между этими двумя функциями — это разница между решением системы линейных уравнений и решением системы нелинейных уравнений.Первое легко сделать с помощью методов линейной алгебры. Последнее намного сложнее и, как правило, решается путем итераций. Это объясняет, почему genfit нуждается в векторе предполагаемых значений в качестве аргумента, а linfit — нет.

На рис. 14-12 показан пример, в котором genfit используется для поиска экспоненты, которая соответствует набору данных.

Вектор, содержащий параметры, которые делают функцию x и n параметров uo, u1 ′… un наилучшим образом аппроксимирующими данные в vx и vy. F — это функция, которая возвращает вектор-элемент n + 1, содержащий f и его частные производные по n параметрам.vg — это n-элементный вектор предполагаемых значений для n параметров.

Использование linfit для поиска коэффициентов линейной комбинации

Использование genfit для нахождения параметров функции, чтобы она
наилучшим образом соответствовала данным.

Функции сглаживания

значений y, которые более гладкие, чем исходный набор. В отличие от функций регрессии и интерполяции, описанных ранее, сглаживание приводит к новому набору значений y, а не к функции, которая может быть оценена между указанными вами точками данных.Таким образом, если вас интересуют значения y между указанными вами значениями y, вам следует использовать функцию регрессии или интерполяции.

Всякий раз, когда вы используете векторы в любой из функций, описанных в этом разделе, убедитесь, что каждый элемент в векторе содержит значение данных. Поскольку каждый элемент в векторе должен иметь значение, Mathcad присваивает 0 всем элементам, которые вы явно не присвоили. Функция medsmooth является наиболее надежной из трех, поскольку на нее с наименьшей вероятностью могут повлиять ложные данные.Эта функция использует сглаживание скользящей медианы, вычисляет остатки, сглаживает остатки таким же образом и складывает эти два сглаженных вектора вместе. Подробности следующие:

• Оценка medsmooth (vy, n) начинается с текущей медианы входного вектора vy. Назовем это «вы». I-й элемент имеет следующий вид:

.

• Затем он оценивает остатки: vr = vy — vy ’.

• Остаточный вектор, vr, сглаживается с использованием той же процедуры, которая описана в шаге 1. Это создает сглаженный остаточный вектор, vr ’.

• Функция medsmooth возвращает сумму этих двух сглаженных векторов: medsmooth (vy, n) = vy ’+ vr

Обратите внимание, что medsmooth оставит первое и последнее (n — 1) / 2 пункта без изменений. На практике длина окна сглаживания n должна быть небольшой по сравнению с длиной набора данных.

Функция ksmooth в Mathcad Professional использует ядро ​​Гаусса для вычисления локальных взвешенных средних значений входного вектора vy. Этот сглаживающий фильтр наиболее полезен, когда ширина полосы данных относительно постоянна.Если ваши данные разбросаны по полосе, ширина которой значительно колеблется, вам следует использовать адаптивное сглаживание, такое как supsmooth, также доступное в Mathcad Professional.

и b — это полоса пропускания, которую вы передаете функции ksmooth. Полоса пропускания обычно устанавливается в несколько раз больше расстояния между точками данных по оси x, в зависимости от того, насколько большое окно вы хотите использовать при сглаживании.

Функция supsmooth использует симметричную процедуру аппроксимации методом наименьших квадратов симметричных k ближайших соседей, чтобы сделать серию линейных сегментов по вашим данным.В отличие от ksmooth, который использует фиксированную полосу пропускания для всех ваших данных, supsmooth адаптивно выбирает разные полосы пропускания для разных частей ваших данных.